Principios Variacionales en La Mecánica del Continuo
Descripción
PRINCIPIOS VARIACIONALES EN LA MECANICA DEL CONTINUO Andr´ es L. Granados M. Universidad Sim´on Bol´ıvar, Departamento de Mec´anica Valle de Sartenejas, Estado Miranda Apdo. 89000, Caracas 1080A, Venezuela
RESUMEN Este estudio sobre los principios variacionales aplicados a la mec´ anica del continuo, consta de dos partes principalmente. En la primera parte, de An´ alisis Variacional, se desarrollan todas las herramientas del c´alculo variacional que se requiere en la segunda parte, de Mec´ anica Variacional. La primera parte contiene fundamentalmente dos tipos de formulaciones: La formulaci´ on de Euler-Lagrange, adecuada para funciones con una distribuci´ on discreta, y la formulaci´ on de Euler-Ostrogradski, la cual se establece para funciones con una distribuci´ on continua. Adicionalmente, para ambas formulaciones, se incluye la influencia de restricciones para las trayectorias extremales. La segunda parte incluye el estudio de dos tipos de sistemas: discretos, formado por sistemas de part´ıculas, y continuos, formado por sistemas materiales continuos. Este estudio se hace mediante el uso del principio de Hamilton, reformulado para incluir el efecto de fuerzas no conservativas y de v´ınculos no hol´ onomos. Para el caso especial de los medios continuos, se establece como se deben formular las restricciones (v´ınculos) y los trabajos virtuales para incluir el efecto de las fuerzas a distancia (conservativas y no conservativas) y las fuerzas de contacto (esfuerzos en el medio). En particular, las fuerzas de contacto se tratan mediante el uso de restricciones, m´as que mediante el uso de la definici´ on de un trabajo virtual como cl´ asicamente se ha hecho. Todo lo antes expuesto para sistemas continuos se ha hecho interrelacionando siempre el punto de vista lagrangeano (configuraci´ on de referencia) y el punto de vista euleriano (configuraci´ on actual) definidos para el medio. Para los sistemas discretos, este trabajo constituye un resumen de los resultados cl´asicos ya conocidos, y s´olamente se plantean aqu´ı como una referencia del contexto ampliado para los sistemas continuos. Para los sistemas continuos se han extendido los resultados al estudio de la din´ amica de sistemas multidimensionales expresada en coordenadas generalizadas, cuando lo que existe reportado en la literatura especializada incluye s´ olamente sistemas continuos inmersos en espacios tridimensionales y empleando las coordenadas convencionales con un m´etrica euclidiana. La notaci´on utilizada ampliamente en este trabajo es de tipo simb´olica de manera que los resultados obtenidos pueden ser interpretados f´ acilmente para sistemas inmerso en espacios multidimensionales con una m´etrica distinta a la euclidiana. ABSTRACT This study about the variational principles and their application to the continuum mechanics consists of two principal parts. In the first part, related to Variational Analysis, is developed all the tools of variational calculus which are required in the second part, related to Variational Mechanics. The first part fundamentally contains two types of formulations: Euler-Lagrange formulation, adequate for functions with a discrete distribution, and the Euler-Ostrogradski formulation, which is established for functions with a continuous distribution. Additionally, for both formulation, there is included the influence of restricci´ ons for the extremal trajectories. The second part includes the study of systems of two types: discrete systems, constituted by a system of particles, and continuous systems, constituted by a continuous material system. This study is made using the Hamilton’s Principle, which has been reformulated in order to include the effects of nonconservative forces and non-holonomic vinculums. For the special case of continuous media, it is established 1
the way to formulate the restrictions (vinculums) and the virtual works for the inclusion of the distant forces (conservative and non-conservative) and the contact forces (stresses within the medium). Particularly, contact forces are studied using the restrictions rather than the definition of a virtual work as is classically made. All the aforementioned for continuous systems is made by interrelating always the lagrangean point of view (reference configuration) and the eulerian point of view (actual configuration) defined in the medium. For discrete systems, this work summarizes the classical results already known, and are stated here only for contextual references which are enlarged for continuous systems. For continuous systems the results have been extended to the study of the dynamics of multi-dimensional systems expressed in generalized coordinates, while the specialized literature reports only continuous systems in tri-dimensional spaces and using conventional coordinates with an euclidean metric. The notation used in this work is of symbolic type and therefore the obtained results may be easily interpreted for systems in multi-dimensional spaces with a metric different to the euclidean one. Palabras Claves (Key words): Variacional (Variational), Continuo (Continuum), Mec´ anica (Mechanics).
I
ANALISIS VARIACIONAL
1. LEMAS FUNDAMENTALES El lema fundamental del c´alculo variacional como su nombre lo indica permite establecer o demostrar los resultados principales de los temas que siguen. Lema 0. Lema fundamental del c´alculo variacional. Si una funci´ on f (x) continua de la clase C 0 ([xa , xb ]), definida en el intervalo [xa , xb ], satisface que xb f (x) η(x) dx = 0 (1) xa
para cualquier funci´ on continua η(x) de la clase C 0 ([xa , xb ]), con η(xa ) = η(xb ) = 0, entonces f (x) ≡ 0 en [xa , xb ]. Demostraci´on. Sea f (x) ≡ 0, entonces existe un punto xo ∈ (xa , xb ) tal que f (xo ) = 0. Para mayor precisi´on, supondremos que f (xo ) > 0. Ya que f es continua, existe un entorno (xo − ∆x, xo + ∆x) ⊂ [xa , xb ] en el que f (x) > c. Sea η(x) ≥ 0 una funci´ on continua en [xa , xb ], tal que η(x) > 0 dentro del entorno mencionado y η(x) = 0 fuera del mismo entorno, entonces
xb
f (x) η(x) dx = xa
xo +∆x
xo +∆x
f (x) η(x) dx > c xo −∆x
η(x) dx > 0
(2)
xo −∆x
lo que contradice la hip´otesis del lema. Por consiguiente, f (x) ≡ 0.
k
El lema demostrado sigue siendo v´alido aunque se restringa que la funci´ on η(x) sea de la clase C (o incluso k = ∞) que cumpla con las correspondientes condiciones de frontera. O sea que tiene que verificarse la relaci´ on (1), para una clase m´as reducida de funciones η(x), que la clase de funciones continuas [Kartashov et al.,1980;Arnold,1989]. Lema 1. Lema fundamental para funciones de varias variables. Sean f y η funciones del espacio producto interior [Iribarren,1973] ID0m,n (V; ·, · ) = {f ∈ C 0 (V) | f (x) : V ⊂ IRm −→ IRn }
(3)
de todas las funciones de varias variables (n-dimensionales) continuas de la clase C 0 (V), definidas sobre un dominio V ⊂ IRm . Si se satisface f , η = f (x).η(x) dV = 0 (4) V
2
PRINCIPIOS VARIACIONALES EN LA MECANICA DEL CONTINUO
para cualquier funci´ on η(x), con η(x) = 0 para x ∈ A = ∂V, entonces f (x) ≡ 0. Demostraci´on. Si se cumple que las funciones η i , componentes de η(x), son todas independientes entre s´ı (en lo que respecta a su direcci´on en el espacio), entonces (4) se puede separar en n casos del tipo (1). Una demostraci´on m´ as completa de este lemma se puede encontrar en [Gurtin,1972;Bedford,1985]. Para satisfacer los requerimientos de la funci´ on de prueba en la demostraci´on del lemma fundamental, se debe escoger la funci´on η(x) con componentes positivas y continuas dentro de V, y η(x) = 0 en su frontera A = ∂V. Obviamente, el caso donde V ⊂ IR est´a definido como un intervalo cerrado del eje real (tal como lo expresa el lema 0), es un caso particular de (4). Lema 2. Lema fundamental para regiones de la frontera. Sean f y η dos funciones del espacio producto interior ID0m,n (V; ·, · ), y consid´erese A = ∂V compuesta de dos partes A+ y A− . Si se satisface f , η =
f (x).η(x) dA = 0
(5)
A+
para cualquier funci´ on η(x), con η(x) = 0 para x ∈ A− , entonces f (x) ≡ 0 en A+ . Demostraci´on. Si se aplica el lema 1 al dominio A+ y se observa que η = 0 en ∂A+ , queda desmostrado este lema [Bedford,1985]. 2. FORMULACION DE EULER-LAGRANGE 2.1 Ecuaciones Diferenciales El problema fundamental del c´ alculo variacional se generaliza f´ acilmente para el caso de una funci´ on i i i i escalar f dependiente de la variable x, de varias variables y = y (x) y de sus derivadas y˙ = dy /dx, con i = 1, 2, 3, . . . , n. Consid´erese la siguiente integral
xb
˙ f [ x, y(x), y(x) ] dx
I=
{y(x)} = {y1 (x), y2 (x), y3 (x), . . . , yn (x)}t
(6)
xa
El problema fundamental del c´ alculo variacional consiste en hallar la funci´ on y que minimiza o maximiza el funcional I(y) = I. La funci´ on y(x) hallada en este caso se denomina la trayectoria extremal del funcional I(y). La t´ecnica para hallar la funci´ on extremal consiste en hallar la variaci´ on de la integral I e igualarla a cero. Rec´ıprocamente, toda trayectoria extremal y(x) anula la variaci´ on del funcional δI(y) = 0 (eventualmente se tolerar´a el abuso de la notaci´ on y se escribir´ a δI = 0), por lo que tambi´en se dice que es un punto estacionario del funcional dentro del espacio de funciones IE2n = {y(x) ∈ ID2n ([xa , xb ], · c ) | y(xa ) = ya , y(xb ) = yb }
(7)
siendo IE2n una variedad diferencial lineal [Iribarren,1973;Kartashov et al.,1980], definida dentro del espacio ID2n ([xa , xb ]), el espacio (vectorial) normado de las funciones n-dimensionales de la clase C 2 ([xa , xb ]) (con derivadas continuas de primero y segundo orden en el intervalo), con la norma siguiente y(x) c =
˙ max { y(x) ∞ , y(x) y(x) ∞ } ∞ , ¨
xa ≤x≤xb
y(x) ∞ = max |y i (x)| i
(8)
F´ acilmente se comprueba que ID2n ([xa , xb ]) posee todas las propiedades de un espacio lineal normado. La condici´ on de que las funciones y(x) sean de la clase C 2 ([xa , xb ]) se usar´a m´as adelante para poder intercambiar ˙ tambi´en el orden de la derivaci´on en las derivadas de segundo orden. Adicionalmente, la funci´ on f (x, y, y) 2 alculo variacional. debe pertenecer a la clase C ([xa , xb ]) para poder aplicar el lema fundamental del c´ 3
A. GRANADOS
La variaci´on del funcional I(y) = I se obtiene considerando la funci´ on I(α) como la evaluaci´ on de la integral (6), donde α es un par´ ametro que caracteriza las familias de trayectorias Y1 (x, α) = y1 (x) + α η 1 (x) Y2 (x, α) = y2 (x) + α η 2 (x) Y3 (x, α) = y3 (x) + α η 3 (x) .. .
.. .
Y(x, α) = y(x) + α η(x)
(9)
.. .
Yn (x, α) = yn (x) + α η n (x) donde y(x) es la trayectoria de la soluci´ on extremal del problema variacional planteado, es decir, para α = 0. Las componentes de η(x) son funciones completamente arbitrarias de IE2n con la excepci´on de que deben anularse en los puntos extremos del intervalo [xa , xb ] donde est´a definido el problema variacional. Esta condici´ on se cumple puesto que se trata de un variaci´ on con extremos fijos y como y(x) y Y(x) = y(x)+α η(x) pertenecen a IE2n , entonces η(xa ) = η(xb ) = 0. De esta forma la integral I(α) resulta ser
xb
I (α) =
˙ f [ x, Y(x, α), Y(x, α) ] dx
{Y(x, α)} = { Y1 (x, α), Y2 (x, α), Y3 (x, α), . . . , Yn (x, α) }t
(10)
xa
donde la funci´ on f es ahora dependiente de la variable x, de las variables Y i = Yi (x, α) y de sus derivadas Y˙ i = ∂Yi /∂x, con i = 1, 2, 3, . . . , n. La variaci´on δI de la integral (6) se define como dI dα = dα
xb xa
xb ˙i ˙i ∂f ∂Yi ∂f ∂Yi ∂f ∂ Y ∂f ∂ Y dα + dα + dx = dα dx ∂Y i ∂α ∂Y i ∂α ∂ Y˙ i ∂α ∂ Y˙ i ∂α xa
(11)
calculando luego el l´ımite cuando α → 0. En (11) y en lo que sigue se sobreentender´ a que se ha aplicado la notaci´on indicial con la correspondiente convenci´ on de suma. El segundo t´ermino del integrando de (11) se puede calcular intercambiando el orden de derivaci´ on entre α y x, puesto que son variables independientes i 2 on por partes, se obtiene entre s´ı y la funci´ on Y pertenece a la clase C ([xa , xb ]). Luego, aplicando la integraci´
xb
xa
x xb xb xb ˙i ∂f ∂Yi b ∂f ∂f ∂ Y ∂f ∂ 2 Yi ∂f ∂ 2 Yi ∂Yi d dx = dx = dx = − dx (12) i i i ∂ Y˙ i ∂α ∂ Y˙ i ∂α xa xa ∂ Y˙ ∂α∂x xa ∂ Y˙ ∂x∂α xa ∂α dx ∂ Y˙
donde el primer t´ermino se anula por pasar todas las trayectorias por los extremos dados. Substituyendo este u ´ ltimo resultado en (11), esta expresi´ on se transforma en xb ∂f ∂f d δI = − (13) δy i dx = 0 ∂y i dx ∂ y˙ i xa en la cual, por analog´ıa con la definici´ on dada al inicio de (11), se ha substituido de una vez la variaci´ on δy i , siendo i ∂Y dI i dα δy = dα = η i dα (14) δI = dα α=0 ∂α α=0 Si las variables y i son independientes entre s´ı, tambi´en los ser´an sus variaciones δy i (es decir, las funciones η i (x) ser´an independientes entre s´ı). Por lo tanto, δI ser´ a nula si, y s´ olo si, los coeficientes de la δy i se anulan por separado. As´ı resulta [Goldstein,1980] ∂f ∂f d d (∇y˙ f ) = 0 − (15) =0 ∇y f − ∂y i dx ∂ y˙ i dx 4
PRINCIPIOS VARIACIONALES EN LA MECANICA DEL CONTINUO
o bien desarrollando el segundo t´ermino ∂f − ∂y i
∂2f ∂2f ∂2f + y˙ j j i + y¨j j i i ∂x∂ y˙ ∂y ∂ y˙ ∂ y˙ ∂ y˙
∇y f −
=0
∂ ˙ y ∇y˙ f + y ¨ .∇y˙ ∇y˙ f (∇y˙ f ) + y.∇ ∂x
=0
(15 )
donde la ecuaci´on del lado derecho es la expresi´on simb´ olica del lado izquierdo. Es importante notar que el u ´ltimo procedimiento aplicado para pasar de (13) a (15) es equivalente a aplicar el lema fundamental del c´ alculo variacional a cada componente por separado por ser independientes entre s´ı (Lema 1, Lema fundamental para funciones de varias variables). El conjunto de ecuaciones diferenciales (15) se conoce con el nombre de ecuaciones de Euler-Lagrange. Las funciones y(x) que la cumplen constituyen el espacio de soluci´on de las funciones extremales o los puntos ˙ conocida, entonces su estacionarios del funcional I(y). Complementariamente, dada una funci´ on f (x, y, y) substituci´ on en las ecuaciones de Euler-Lagrange producen ecuaciones diferenciales, cuya soluci´on (si existen) son las trayectorias y i (x) que maximizan o minimizan I. 2.2. Restricci´ on en las Trayectorias Las trayectorias descritas en el secci´ on anterior pueden sufrir una restricci´ on del tipo i = 1, 2, 3, . . . , n
˙ g j [ x, y(x), y(x) ] = φj [ x, y(x) ] + y˙ i (x) ϕji [ x, y(x) ] = 0
j = 1, 2, 3, . . . , m
(16)
lo que hace que las trayectorias en (6), originalmente con n grados de libertad, tenga ahora n − m grados de libertad. Esto cambia necesariamente el resultado (15), ya que la independencia entre las trayectorias y i fu´e una condici´ on para su derivaci´ on. Una forma de resolver el problema planteado es definiendo una funci´ on escalar ˙ ˙ ] λj (x) = 0 h[ x, y(x), y(x) ] = g j [ x, y(x), y(x)
(17)
donde los m coeficientes λj (x) se denominan multiplicadores de Lagrange. Obviamente se debe cumplir que
xb
˙ h[ x, y(x), y(x) ] dx = 0
H=
(18)
xa
y, por lo tanto, tambi´en se tiene que h satisface (13)
xb
xb
δH =
δh dx = xa
xa
∂h ∂h d − δy i dx = 0 ∂y i dx ∂ y˙ i
(19)
aunque las trayectorias no sea independientes entre s´ı. Hasta este punto, la independencia de las trayectorias no es necesaria para que tanto f como h satisfagan (13). Substituyendo (17) en (19) resulta ∂ϕjl l ∂g j ∂φj = + y˙ ∂y i ∂y i ∂y i
∂ϕji ∂ϕji l dϕji d ∂g j = + y˙ = dx ∂ y˙ i dx ∂x ∂y l
∂g j = ϕji ∂ y˙ i
j ∂ϕl d ∂g j ∂ϕji ∂ϕji ∂g j ∂φj + − − − = y˙ l ∂y i dx ∂ y˙ i ∂y i ∂x ∂y i ∂y l y finalmente
xb
δH = xa
∂φj ∂ϕji + − ∂y i ∂x
∂ϕjl ∂ϕji − ∂y i ∂y l 5
y˙ l
(20)
(21)
λj + ϕji λ˙ j
δy i dx = 0
(22)
A. GRANADOS
Si ahora sumamos esta u ´ltima expresi´on a la expresi´ on (13) se obtiene
xb
δK = xa
j j ∂ϕl ∂f ∂φ ∂f d ∂ϕji ∂ϕji j˙ l + − − − + ϕ λ + y ˙ λ δy i dx = 0 j i j ∂y i dx ∂ y˙ i ∂y i ∂x ∂y i ∂y l
(23)
donde K = I +H. Se impondr´ a ahora que los multiplicadores λj (x) sean tales que se cumpla obligatoriamente j j ∂ϕl ∂φ ∂f ∂f d ∂ϕji ∂ϕji + − − − + y˙ l λj + ϕji λ˙ j = 0 ∂y i dx ∂ y˙ i ∂y i ∂x ∂y i ∂y l
i = 1, 2, 3, . . . , m
(24)
para la primeras m variables y i dependientes de las restantes. Esta relaci´on permitir´ a encontrar los multiplicadores λj (x) con j = 1, 2, 3, . . . , m. Las n − m variables y i restantes, independientes entre s´ı, hacen que el integrando de (23) se anule para cada una de ellas, obteni´endose que j j ∂ϕl ∂φ ∂f ∂f d ∂ϕji ∂ϕji + − − − + y˙ l λj + ϕji λ˙ j = 0 ∂y i dx ∂ y˙ i ∂y i ∂x ∂y i ∂y l
i = n − m + 1, . . . , n
(25)
Esta relaci´on permitir´ a encontrar las n−m variables y i independientes (i = n−m+1, . . . , n). Las m variables on (16), se pueden obtener de esta misma ya que y i , dependiente entre s´ı por la relaci´ φj + y˙ i ϕji = 0
i = 1, 2, 3, . . . , m
(26)
En definitiva las relaciones (24)-(26), expresadas de forma simb´ olica como ∇y f −
d ∂φ ˙ y ϕ . λ + ϕ. λ˙ = 0 (∇y˙ f ) + ∇y φ − + ∇y ϕt . y˙ − y.∇ dx ∂x
˙ =0 φ + y.ϕ
(24 − 26 )
forman un sistema de ecuaciones diferenciales que permiten obtener las n + m inc´ ognitas que son: las n trayectorias yi (x) (las primeras m dependientes y las n − m restantes independientes) y los m multiplicadores de Lagrange λj (x). Esta forma de resoluci´on se emplea normalmente cuando existe el inter´es expreso de obtener ecuaciones diferenciales para los multiplicadores de Lagrange. Si este inter´es no existe, entonces es m´as conveniente utilizar el siguiente procedimiento mucho m´as simple y f´ acil de implementar. Otra forma m´ as simple de resolver el problema planteado con restricciones en la trayectoria del tipo (16), es redefiniendo g j y estableciendo la relaci´on variacional δg j = ϕji [ x, y(x) ] δy i = 0
i = 1, 2, 3, . . . , n j = 1, 2, 3, . . . , m
(27)
obtenida de (16) multiplicada por dx. N´ otese que en este caso se han redefinido g˙ j = φj + y˙ i ϕji = 0 y h˙ = g˙ j λj = 0 (la dependencia funcional de g˙ j y h˙ es la misma que antes). Luego se establece que los diferenciales dy i se relacionan igual que las variaciones δy i , con la particularidad de que δx = 0, debido a que la variable x no se var´ıa. Multiplicando la relaci´ on (27) por los multiplicadores de Lagrange en la forma i = 1, 2, 3, . . . , n
δh = λj (x) ϕji [ x, y(x) ] δy i = 0
j = 1, 2, 3, . . . , m
(28)
e introduciendo este resultado en el integrando de (13), sin afectarlo, se obtiene la expresi´on
xb
δK = xa
∂f ∂f d j − λ + ϕ δy i dx = 0 j i ∂y i dx ∂ y˙ i 6
(29)
PRINCIPIOS VARIACIONALES EN LA MECANICA DEL CONTINUO
Se impondr´ a ahora que los multiplicadores λj (x) sean tales que se cumpla obligatoriamente ∂f d ∂f − + ϕji λj = 0 ∂y i dx ∂ y˙ i
i = 1, 2, 3, . . . , m
(30)
a encontrar los multiplipara la primeras m variables y i dependientes de las restantes. Esta relaci´on permitir´ i cadores λj (x) con j = 1, 2, 3, . . . , m. Las n − m variables y restantes, independientes entre s´ı, hacen que el integrando de (29) se anule para cada una de ellas, obteni´endose similarmente que ∂f ∂f d − + ϕji λj = 0 ∂y i dx ∂ y˙ i
i = n − m + 1, . . . , n
(31)
Esta relaci´on permitir´ a encontrar las n−m variables y i independientes (i = n−m+1, . . . , n). Las m variables i y , dependiente entre s´ı por la relaci´ on (16), se pueden obtener de esta misma ya que de nuevo se tiene que φj + y˙ i ϕji = 0
i = 1, 2, 3, . . . , m
(32)
En definitiva las relaciones (30)-(32), expresadas de forma simb´ olica como ∇y f −
d (∇y˙ f ) + ϕ. λ = 0 dx
˙ =0 φ + y.ϕ
(30 − 32 )
forman un sistema de ecuaciones diferenciales que permiten obtener las n + m inc´ ognitas que son: las n trayectorias yi (x) (las primeras m dependientes y las n − m restantes independientes) y los m multiplicadores de Lagrange λj (x). En este caso, los multiplicadores de Lagrange son distintos a los obtenidos por el procedimiento anterior m´ as elaborado (en algunos casos aquellos pueden ser las derivadas de estos). Esta forma de resoluci´ on se emplea normalmente cuando no existe el inter´es de obtener ecuaciones diferenciales para los multiplicadores de Lagrange, resultando solamente al final un conjunto de ecuaciones diferenciales donde intervienen ellos de forma puramente algebraica. En general, cuando se tienen restricciones del tipo ψ j [x, y(x)] = 0
j = 1, 2, 3, . . . , m
(33)
i = 1, 2, 3, . . . , n
(34)
estas pueden llevarse a la forma (16), si se deriva en la forma ∂ψ j ∂ψ j i dψ j = + y˙ = 0 dx ∂x ∂y i
y se hace la siguiente substituci´ on de funciones [Goldstein,1980] gj =
dψ j dx
φj =
∂ψ j ∂x
ϕji =
∂ψ j ∂y i
(35)
3. FORMULACION DE EULER-OSTROGRADSKI 3.1. Ecuaci´ on Diferencial El problema fundamental del c´ alculo variacional se puede generalizar todav´ıa m´as que (6) si se considera la siguiente integral I= V
f [ x, y(x), ∇y(x) ] dV 7
(36)
A. GRANADOS
donde la funci´ on y(x) : IRm → IRn del tipo n-dimensional pertenece a la variedad lineal IE2m,n = {y(x) ∈ ID2m,n (V, · c ) | y(x) = yA (x), x ∈ A = ∂V}
(37)
donde ID2n (V) es el espacio de aquellas funciones continuas n-dimensionales, definidas sobre el dominio V de dimensi´on m, cuyas derivadas de primer y segundo orden son continuas, y con la norma ˙ y(x) c = max{ y(x) ∞ , y(x) y(x) ∞ } ∞ , ¨
y(x) ∞ = max |y i (x)|
x∈V
i
(38)
siendo esta norma es una generalizaci´on de la norma (8), considerando que la derivaci’on en este caso es con respecto a cualquiera de las variables xi . La funci´ on f pertenece a variedad IE 2m,1 . El problema variacional consiste entonces en hallar la funci´ on y(x) que anula la variaci´ on de la integral (36). Es decir, se desea encontrar el punto estacionario del funcional I(y) = I. La variaci´on del funcional I(y) = I se obtiene, de forma similar que en las ecuaciones de EulerLagrange, considerando la funci´ on I(α) como la evaluaci´ on de la integral (36), donde α es un par´ ametro que caracteriza las familias de trayectorias ∇x Y(x, α) = ∇y(x) + α ∇η(x)
Y(x, α) = y(x) + α η(x)
(39)
donde y(x) es la trayectoria de la soluci´ on extremal del problema variacional planteado, es decir para α = 0. Por las rezones antes expuestas en el lema fundamental para funciones de varias variables, la funci´ on η(x) debe anularse en la frontera A del dominio V, o sea, η(x) = 0 para x ∈ A = ∂V. An´ alogamente la integral I(α) resulta ser I (α) = f [ x, Y(x, α), ∇x Y(x, α) ] dV (40) V
donde la funci´ on f es ahora dependiente de la variable x, de la variables Y = Y(x, α) y de su gradiente ∇x Y(x, α) = ∂Y/∂x. El operador diferencial ∇ = d/dx en (36), donde el gradiente se hace derivando totalmente respecto a x, es diferente que el operador diferencial ∇x = ∂/∂x, en el cual el gradiente se hace parcialmente con respecto a x. La variaci´on δI de la integral (36) se define como t ∂∇x Y ∂f ∂Y ∂f · dα + : dα dV ∂α ∂∇x Y ∂α V ∂Y t ∂∇x Y ∂f ∂Y ∂f = · + : dα dV ∂α ∂∇x Y ∂α V ∂Y
dI dα = dα
(41)
calculando luego, como se hizo antes, el l´ımite cuando α → 0. Una vez tomado el l´ımite en el integrando de (41), el primer t´ermino se puede expresar como
∂f ∂Y · ∂Y ∂α
= ∇y f. η
δy =
α=0
∂Y ∂α
= η dα
(42)
α=0
El segundo t´ermino se puede expresar como
∂f : ∂∇x Y
∂∇x Y ∂α
t
= ∇∇y f : (∇η)t = ∇ . (∇∇y f . η) − (∇.∇∇y f ) . η
(43)
α=0
N´otese que en el desarrollo del segundo t´ermino se han intercambiado los ´ordenes de derivaci´ on entre α y x. Adicionalmente, en la parte final de (43), se ha aplicado la identidad ∇. (T. a) = (∇. T). a + T : (∇a)t satisfecha por cualquier tensor T de segundo orden y cualquier vector a. 8
PRINCIPIOS VARIACIONALES EN LA MECANICA DEL CONTINUO
Luego de substituir (42) y (43) en la variaci´ on (41) y aplicar el teorema de la divergencia al primer t´ermino de (43), se obtiene el siguiente resultado d I δI = dα = n . (∇∇y f. η) dα dA + [ ∇y f − ∇. (∇∇y f ) ] . η dα dV = 0 dα α=0 A V
(44)
donde, al eliminar el primer t´ermino por ser η = 0 en A (n es la normal unitaria exterior sobre A), queda finalmente δI = [ ∇y f − ∇. (∇∇y f ) ] . η δα dV = 0 (45) V
Si aplicamos a este resultado el lema fundamental del c´alculo variacional para funciones de varia variables, entonces podemos decir que el integrando de (45) se debe anular en todo el dominio V. Esto es ∇y f − ∇. (∇∇y f ) = 0
(46)
para todo x ∈ V, o expandiendo el segundo t´ermino ∇y f − [ ∇x . (∇∇y f ) + ∇y : (∇y ∇∇y f ) + ∇(∇y)t ˙: (∇∇y ∇∇y f ) ] = 0
(46 )
Para que el problema variacional resultante en (46) quede bien definido, debe imponerse que las condiciones de frontera para y(x) sean conocidas completamente en A = ∂V. En el caso de que no se pueda imponen las condiciones de frontera en la forma establecida, se considerar´a que existe una restricci´on en la trayectoria, tal como se explica en la pr´oxima secci´on. El resultado (46), denominado ecuaci´ on de Euler-Ostrogradski [Kartashov et al.,1980], es sumamente general, puesto que las ecuaciones de Euler-Lagrange (15) son un caso de particular (m = 1) de ella. El parecido es evidente, bien sea sin expandir el segundo t´ermino o expandi´endolo a plenitud (expresiones (15 ) y (46 )). El caso particular con variables independientes del tipo (t, χ), en lugar de x, se obtiene tambi´en de (46) haciendo t = x1 y x1 = x2 , x2 = x3 , . . ., xm−1 = xm . 3.2. Restricci´ on en la Trayectoria Las trayectorias extremales descritas para la ecuaci´ on de Euler-Ostrogradski pueden sufrir una restricci´on del tipo g[ x, y(x), ∇y(x) ] = φ[ x, y(x) ] + ∇y(x) : ϕ[ x, y(x) ] = 0 (47) dentro de una porci´ on V ∗ del dominio V. Aqu´ı φ es una funci´ on vectorial y ϕ es una funci´ on tensorial de tercer orden. Una forma de resolver el problema planteado, es definiendo una funci´ on escalar h[ x, y(x), ∇y(x) ] = g[ x, y(x), ∇y(x) ] . λ(x) = 0
(48)
donde la funci´ on λ(x) es un multiplicador de Lagrange vectorial. Obviamente, para esta funci´ on escalar se debe cumplir H= h[ x, y(x), ∇y(x) ] dV = 0 (49) V∗
y, por lo tanto, tambi´en se tiene que satisfacer [ ∇y h − ∇. (∇∇y h) ] . η δα dV = 0 δH =
(50)
V∗
Incorporando esta integral a la porci´ on de (45) que corresponde, se obtiene que δK = V∗
[ ∇y k − ∇. (∇∇y k) ] . η δα dV = 0 9
(51)
A. GRANADOS
donde k = f + h y K = I + H. Aplicando el lema fundamental para funciones de varias variables (lema 1 o lema 2), finalmente resulta que ∇y k − ∇. (∇∇y k) = ∇y f − ∇. (∇∇y f ) + { ∇y φ − ∇x ϕ + [ ∇y : (∇y ϕ)t ]t − ∇y : ∇y ϕ }. λ + ϕ : (∇λ)t = 0
(52)
donde se han empleado las siguientes relaciones ∇y h = { ∇y φ + [ ∇y : (∇y ϕ)t ]t }. λ
∇∇y h = ϕ. λ
∇.∇∇y h = ( ∇x .ϕ + ∇y : ∇y ϕ ). λ + ϕ : (∇λ)t
(53)
cuyo desarrollo ha sido muy parecido al empleado en (20) y (24 ) − (26 ). La expresi´on (52) se satisface en V ∗ , mientras que (46) se satisface en el resto del dominio V o = V − V ∗ . De esta forma (52) permite obtener el multiplicador de Lagrange vectorial λ(x) y (46) permite obtener la funci´ on y(x), ambas en la on (46) permite obtener la funci´ on y(x). porci´ on V ∗ del dominio. En el resto del dominio V o , la expresi´ Obligatoriamente, debe cumplirse cualquiera de las tres siguientes condiciones en la frontera: η = 0 en A∗ = ∂V ∗ , ∇∇y h = ϕ.λ = 0 en A∗ , o η = 0 en A − A∗ . Las condiciones de frontera para el multiplicador en la porci´ on V ∗ se establecen para que se satisfagan simult´aneamente, (48) y las condiciones de frontera para y(x). En las fronteras colindantes entre V ∗ y V o se impone que las condiciones de frontera sean continuas, es decir, iguales de un lado y del otro. Esto completa el problema en el resto del dominio V o , puesto que las condiciones de frontera estaban ya definidas para el dominio completo V. Otra forma de resolver el problema con restricci´ on es introduciendo la restricci´on (48) (con (47) substituida) en la expresi´on (46 ). Esto es, ∇y f − [ φ . λ + ∇x . (∇∇y f ) + ∇y : (∇y ∇∇y f + ϕ.λ) + ∇(∇y)t ˙: (∇∇y ∇∇y f ) ] = 0
(54)
Esta expresi´on ser´ıa v´ alida para la porci´on V ∗ del dominio. El resto de las condiciones ser´ıan iguales que la otra forma de resoluci´ on. Al igual que para las restricciones en las ecuaciones de Euler-Lagrange, esta segunda forma de resoluci´on produce una ecuaci´on algebraica en el multiplicador de Lagrange λ, mientras que la primera forma de resoluci´ on ofrece una ecuaci´ on diferencial en derivadas parciales para el mismo multiplicador. 4. VARIACIONES EVOLUTIVAS Los casos particulares de variaciones, donde las variables independientes (x) = (x1 , x2 , x3 , . . . , xm ) an variaciones evolutivas, ya que la variable t = son del tipo (t, χ) = (t, x1 , x2 , x3 , . . . , xm−1 ), se denominar´ 0 x se puede identificar con el tiempo en los sistemas din´ amicos. De esta forma las ecuaciones obtenidas anteriormente se pueden expresar incluyendo t como variable, haciendo el siguiente cambio de variables (x) → (t, χ), expl´ıcitamente expresado como: t = x0 = x1 y x1 = x2 , x2 = x3 , . . ., xm−1 = xm . 4.1. Evoluci´ on de Euler-Lagrange Siguiendo el procedimiento indicado, se puede expresar f´acilmente las ecuaciones de Euler-Lagrange (15), simplemente intercambiando x por t, resultando as´ı ∂f d ∂f − =0 ∂y i dt ∂ y˙ i
∇y f −
d (∇y˙ f ) = 0 dt
(55)
o expandiendo el segundo t´ermino ∂f − ∂y i
2 2 ∂2f j ∂ f j ∂ f + y ˙ + y ¨ ∂t∂ y˙ i ∂y j ∂ y˙ i ∂ y˙ j ∂ y˙ i
=0
∇y f −
∂ ˙ y ∇y˙ f + y ¨ .∇y˙ ∇y˙ f ∇y˙ f + y.∇ ∂t
donde la ecuaci´on del lado derecho es la expresi´on simb´ olica del lado izquierdo. 10
=0
(55 )
PRINCIPIOS VARIACIONALES EN LA MECANICA DEL CONTINUO
4.2. Evoluci´ on de Euler-Ostrogradski De manera similar, pero m´ as elaborada, se puede expresar la ecuaci´ on de Euler-Ostrogradski con fronteras fijas (46) como d ∇y f − (∇y˙ f ) − ∇. (∇∇y f ) = 0 (56) dt o expandiendo los dos u ´ltimos t´erminos ∂ y y ˙ ¨ .∇y˙ ∇y˙ f (∇y˙ f ) + y.∇ ∇y˙ f + y ∇f − ∂t − [ ∇x . (∇∇y f ) + ∇y : (∇y ∇∇y f ) + ∇(∇y)t ˙: (∇∇y ∇∇y f ) ] = 0
(56 )
´ ltimos t´erminos de (15 ) y (46 ). Como podr´ a observarse los dos u ´ ltimos t´erminos en (56 ), corresponden a los u Estos resultados pueden igualmente ser obtenido, realizando la variaci´on del funcional I(y) = I definido por la integral
tb
I= ta
V
˙ x), ∇y(t, x) ] dV dt f [ t, x, y(t, x), y(t,
Y(t, x, α) = y(t, x) + α η(t, x) ∇x Y(t, x, α) = ∇y(t, x) + α ∇η(t, x)
(57)
donde V es un volumen fijo, Y(t, x, α) representa la familia de trayectorias admisibles y y(t, x) es la trayectoria de la soluci´ on extremal (α = 0) del problema variacional planteado. 4.3. Restricciones Evolutivas (Euler-Ostrogradski) Para las restricciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange y la ecuaci´ on de Euler-Ostrogradski, se puede sigue un procedimiento similar al descrito en la secci´ on anterior. En estos casos se habla de restricciones evolutivas. Estos resultados no se expresan aqu´ı, pero son de f´ acil consecuci´on, haciendo el cambio de variables arriba mencionado. Sin embargo, para la ecuaci´ on de Euler-Ostrogradski se puede tener un caso especial de restricciones evolutivas, el cual se explica a continuaci´ on. Haciendo el cambio de variables explicado en la secci´on anterior, la restricci´ on (47) se puede expresar como ˙ t, x, y(t, x), ∇y(t, x) ] = φ[ t, x, y(t, x) ] + y(t, ˙ x).ξ[t, x, y(t, x)] + ∇y(t, x) : ϕ[ t, x, y(t, x) ] = 0 g[
(58)
on tensorial de segundo Esta restricci´on act´ ua dentro de una porci´ on V ∗ del dominio V. Aqu´ı ξ es una funci´ orden. Una forma de resolver el problema planteado consiste en en substituir ∇y de la siguiente expresi´on d ˙ t, y−1 (t, y) ] = ∇y.∇y y˙ (∇y) = ∇y˙ = ∇y(t, x).∇y y[ dt
∇y =
d ˙ −1 (∇y).(∇y y) dt
(59)
en la restricci´on (58). De esta operaci´on resulta una nueva forma de expresar la restricci´on (58) ˙ ξ+ g˙ = φ + y.
d (∇y) : ψ = 0 dt
˙ −1 ]li ϕjk ψijk = [ (∇y y) l
(60)
Esta nueva forma de la restricci´on permite expresar una func´ on h˙ como ˙ t, x, y(t, x), ∇y(t, x) ] = g[ ˙ t, x, y(t, x), ∇y(t, x) ].λ(t, x) = 0 h[
(61)
o m´as expl´ıcitamente como d ˙ ξ. λ + (∇y) : ψ. λ = 0 h˙ = g˙ . λ = φ. λ + y. dt 11
(62)
A. GRANADOS
De aqu´ı que la variaci´ on de H
tb
H= V∗
ta
˙ x), ∇y(t, x) ] dV dt = 0 h[ t, x, y(t, x), y(t,
(63)
se pueda calcular como
tb
δH =
tb
δh dV dt = ta
tb
V∗
= ta
A∗
V∗
ta
( η. ξ. λ + ∇η : ψ. λ ) dα dV dt
n . (ψ. λ)t . η dα dA dt +
tb
ta
V∗
[ ξ. λ − ∇. (ψ.λ)t ] . η dα dV dt = 0
(64)
donde δh = ( η. ξ. λ + ∇η : ψ. λ ) dα = 0
δy = η dα
δ(∇y) = ∇η dα
(65)
y donde tambi´en se ha aplicado la identidad ∇η : ψ. λ = ∇. (η.ψ. λ) − [ ∇. (ψ.λ)t ] . η (equivalente a la identidad ∇a : T = ∇. (a.T) − a.( ∇.Tt ) v´ alida para un vector a y un tensor de segundo orden T). Adicionalmente, sabemos de (57) que la variaci´on de I es
tb
δI = V
ta
[ ∇y f −
d (∇y˙ f ) − ∇. (∇∇y f ) ] . η dα dV dt = 0 dt
(66)
con lo que concluimos que dentro de la porci´ on V ∗ se debe satisfacer d (∇y˙ f ) − ∇. (∇∇y f ) + ξ.λ − ∇. (ψ.λ)t = 0 dt
∇y f −
(67)
Esta expresi´on junto con la restricci´ on (60) permite encontrar el multiplicador de Lagrange λ y la trayectoria extremal y(t, x) dentro de V ∗ . La expresi´on (56) permite encontrar la trayectoria extremal para el resto del ogicamente, se debe cumplir que, para que se anule la integral sobre A∗ = ∂V ∗ en dominio V o = V − V ∗ . L´ (64), algunas de estas tres condiciones en la frontera se satisfaga: η = 0 en A∗ = ∂V ∗ , ψ.λ = 0 en A∗ , o η = 0 en A − A∗ . 4.4. Frontera M´ ovil En los problemas variacionales evolutivos se pueden tener casos con una frontera m´ ovil V = V(t), de manera que el funcional se define como la integral
tb
I= ta
V(t)
˙ x), ∇y(t, x) ] dV dt f [ t, x, y(t, x), y(t,
(68)
˙ x) es una derivaci´on total con respecto a t y la funci´ donde debe entenderse que la derivaci´ on y(t, on x(t, X) es la posici´on de un punto X en el espacio. Sin p´erdida de generalidad, la designaci´ on X de cada punto se hace corresponder a su posici´ on en una configuraci´ on de referencia inicial Vo = V(0) para t = 0. Es decir, se debe satisfacer que X = x(0, X). Esta configuraci´ on de referencia no tiene que ser necesariamente real, sin embargo, tiene que ser factible. Definamos que la funci´ on x(t, X) : IR × IRm → IRm es un difeomorfismo, y, por lo tanto, es invertible. Adicionalmente, se puede calcular el tensor gradiente de deformaci´on F(t, X) = [ ∇x x(t, X) ]t
J = J(t, X) = |F(t, X)| > 0
(69)
donde J, que es el determinante de F, es el jacobiano de la transformaci´on entre la posici´ on en la configuraci´ on de referencia X y la posici´ on en la configuraci´ on actual x. Este jacobiano debe ser siempre positivo, ya que 12
PRINCIPIOS VARIACIONALES EN LA MECANICA DEL CONTINUO
el volumen V = V(t), a lo largo de su evoluci´ on desde la configuraci´on de referencia Vo , no debe cambiar de signo. Particularmente, J nunca puede se nulo, puesto que esto significa que el volumen V desaparece. Esto se justifica con las siguientes relaciones n dA = J F−t. N dAo
dV = J dVo
(70)
satisfecha por ser el cambio de posici´on pr´ acticamente una transformaci´on de coordenadas. En (70) n y N son los vectores normales unitarios exteriores sobre A = ∂V y Ao = ∂Vo , respectivamente. Introduciendo la relaci´on (70) y la funci´ on x(t, X) en la integral (68), resulta
tb
I= ta
tb
V(t)
= ta
tb
Vo
˙ X), ∇Y(t, X) ] J(t, X) dVo dt F [ t, X, Y(t, X), Y(t,
= ta
˙ x(t, X)], ∇y[t, x(t, X)] } dV dt f { t, x(t, X), y[t, x(t, X)], y[t,
Vo
˙ Fo [ t, X, Y(t, X), Y(t, X), ∇Y(t, X) ] dVo dt
(71)
donde Y(t, X) = y[t, x(t, X)] = y(t, x) ˙ X), ∇Y(t, X) ] = F [ t, X, Y(t, X), Y(t, ˙ Fo [ t, X, Y(t, X), Y(t, X), ∇Y(t, X) ] J(t, X) ˙ X), ∇Y(t, X) ] = f { t, x(t, X), y[t, x(t, X)], y[t, ˙ x(t, X)], ∇y[t, x(t, X)] } F [ t, X, Y(t, X), Y(t,
(72)
˙ x), ∇y(t, x) ] = f [ t, x, y(t, x), y(t, De esta forma la u ´ ltima integral de (71) permite aplicar la ecuaci´ on de Euler-Ostrogradski (53) substituyendo f por Fo = J F , y y por Y. Es decir, ∇y Fo −
d (∇y˙ Fo ) − ∇. (∇∇y Fo ) = 0 dt
(73)
˙ entonces Pero, como J(t, X) no depende de Y, ni de Y, ∇y F −
d (∇y˙ F ) − ∇. (∇∇y F ) = 0 dt
(74)
˙ significa En estas expresiones se debe tener en cuenta que, para la funci´ on Y, la derivaci´ on con punto, Y, derivaci´ on parcial con respecto a t, manteniendo X constante. La ecuaci´on (74) permite obtener la trayectoria on extremal y(t, x) para el volumen m´ovil V = V(t) extremal Y(t, X) para el volumen fijo Vo , pero la funci´ se puede obtener mediante un simple cambio de variable del tipo χ = x(t, X). 4.5. Funciones Conservativas Las funciones conservativas son aquellas funciones f que satisfacen la condici´on
L(t) = V(t)
˙ x), ∇y(t, x) ] dV = f [ t, x, y(t, x), y(t,
Vo
˙ Fo [ t, X, Y(t, X), Y(t, X), ∇Y(t, X) ] dVo = Lo (75)
Es decir, la integral L(t) = Lo es constante en la variable t, por lo que
tb
I=
L(t) dt = Lo (tb − ta )
δI = δL = 0
xa
13
Fo = J F = J f
(76)
A. GRANADOS
Rec´ıprocamente, si la variaci´ on δI es nula, entonces la funci´ on f es conservativa sobre una trayectoria extremal y(t, x). N´ otese que, para una funci´ on conservativa, la funci´ on Fo no necesariamente es independiente de t. Cuando Fo es independiente de t, se dice que la funci´ on f es conservativa localmente. Cuando depende de t como en (75), se dice que es conservativa integralmente o simplemente conservativa. Por supuesto que, una funci´ on localmente conservativa, tambi´en lo es integralmente. ˙ = x˙ y ∇Y = Ft . Especial atenci´ on tiene aquellos casos en los que Y = x, y, por consiguiente, Y t Si, adicionalmente, la dependencia con respecto a ∇Y = F es a trav´es del jacobiano J = |F| como factor, entonces tb tb ˙ X) ] dVo dt = ˙ X) ] J(t, X) dVo dt I= Fo [ t, x(t, X), x(t, F [ t, x(t, X), x(t, ta
tb
Vo
ta tb
Vo
˙ X) ] dV dt = f [ t, x(t, X), x(t,
= ta
V(t)
˙ dV dt f (t, x, x) ta
(77)
V(t)
Algunos argumentos de las funciones se han eliminado por ser redundantes. Para este sistema la condicional variacional para la trayectoria extremal es ∇x f −
d (∇ f ) = ∇x f − dt x˙
∂ ˙ x ∇x˙ f + x ¨ .∇x˙ ∇x˙ f (∇ f ) + x.∇ ∂t x˙
=0
(78)
˙ entonces (78) predice que f (t, x) = fo es Si agregamos la condici´on de que la funci´ on f no dependa de x, uniforme, y, como la funci´ on es conservativa, es constante en t e igual a Fo . En otras palabras, cuando no ˙ la trayectoria extremal de (64) es aquella que garantiza una distribuci´ existe dependencia respecto a x, on uniforme y constante de la funci´on. Este resultado se puede resumir mediante la siguiente expresi´on
tb
I=
L(t) dt = Lo (tb − ta )
L(t) = V(t)
xa
f (t, x) dV = Lo
δI = δL = δf = 0 =⇒ ∇x f = 0 (79)
Igualmente, f (t, x) = fo = Fo es una constante en la evoluci´on. Se podr´ıa decir que no existe evoluci´on. Sin embargo, al t avanzar existe evoluci´on, aunque nada cambie. 4.6. F´ ormulas de Expansi´ on de Euler Dada una trayectoria admisible χ(t, X, α), debido a (69), ella define un u ´nico gradiente de deformaci´on admisible χ(t, X, α) = x(t, X) + α η(t, X) (80) F (t, X, α) = F(t, X) + α [ ∇x η(t, X) ]t Se puede mostrar que, si J = |F |, entonces
∂J ∂α
α=0
∂J : = ∂F
∂F ∂α
t
˜ = |F| F−t : ∇x η = J ∇x . η
(81)
α=0
donde se ha aplicado la regla ∂|F|/∂F = ∇F |F| = |F| F−t = cof (F) y se ha considerado la propiedad ˜ , con η(t, X) = η ˜ (t, x). Esto permite encontrar la variaci´on del gradiente de F−t : ∇x η = ∇x X : ∇x η = ∇x . η deformaci´on F y del jacobiano J como δF = [∇x η(t, X)]t dα
δJ = J ∇x .˜ η dα
(82)
De acuerdo a esto, entonces el jacobiano admisible, correspondiente a la trayectoria admisible y al gradiente de deformaci´on admisible, es ˜) (83) J = J ( 1 + α ∇x . η Estos resultados parciales servir´an m´ as adelante para facilitar el trabajo de c´alculo de problemas variacionales relacionados. 14
PRINCIPIOS VARIACIONALES EN LA MECANICA DEL CONTINUO
Relaciones importantes se pueden obtener tambi´en derivando J y F con respecto a t. As´ı tenemos que d ˙ t F˙ = (∇x x)t = (∇x x) dt = (∇x v)t . (∇x x)t = G.F
∂J ˙ t J˙ = : F = |F| F−t : (G.F)t = |F| F−t : (Ft . Gt ) ∂F = |F| ( F−t . Ft ) : Gt = |F| tr (Gt ) = J ∇x .v
(84)
˙ X), con la que se mueve el volumen V = V(t). donde G = (∇x v)t es el gardiente de la velocidad v(t, x) = x(t, Estas expresiones reciben el nombre de f´ ormulas de expansi´on de Euler, y permiten afirmar junto con (70) que, si el campo de velocidades es solenoidal ( ∇x .v = 0 ), entonces el diferencial de volumen dV no var´ıa en t y es igual a dVo . Para finalizar, se tiene que la derivaci´ on de la expresi´on (72.b), respecto a t, da los siguientes resultados equivalentes J −1 F˙o = F˙ + F ∇x .v = f˙ + f ∇x .v (85) J F˙ = F˙o − Fo ∇x .v donde se ha empleado la f´ ormula de expansi´on (84.b) y se debe interpretar que la derivada f˙ es una derivaci´ on ˙ total de f respecto a t manteniendo X constante. Es decir, f se obtiene aplicando la regla de la cadena ∂f ˙ yf + y ¨ .∇y˙ f + (∇y) ˙ t : ∇∇y f + v.∇x f + y.∇ f˙ = ∂t
(86)
donde el u ´ltimo t´ermino se ha substituido por la primera parte de la expresi´ on (59.a). Obviamente, si la funci´ on f es conservativa localmente, entonces F˙o = 0 y F˙ var´ıa de acuerdo al movimiento del volumen V = V(t). Si adicionalmente, el campo de velocidades v es solenoidal y Fo es uniforme, se obtiene el caso extremal (79). Esta factibilidad del movimiento, permite definir el caso extremal (79), como la configuraci´ on de referencia can´ oniga para funciones conservativas localmente.
II
MECANICA VARIACIONAL
1. PRINCIPIO DE HAMILTON Toda la mec´anica variacional se basa fundamentalmente en el principio de Hamilton, el cual se puede enunciar de dos formas equivalente. La primera forma del principio de Hamilton expresa: Dentro de los movimientos admisibles de un sistema, el movimiento actual que ´este sigue, es aquel para el cual el valor de la integral tb tb
dt = ( K + W + R ) dt (1) I= ta
ta
es estacionaria en comparaci´on con otros movimientos admisibles cercanos al actual. En (1), K es la energ´ıa cin´etica del sistema, W es el trabajo de las fuerzas externas, R es la restricci´on al movimiento, y la suma de estas tres cantidades, , es lo que se denomina el lagrangeano expandido. El langrangeano L = K + W ◦ , que excluye el trabajo de las fuerzas no conservativas W ∗ y el trabajo de las fuerzas generadas por las restricciones W , es lo que tradicionalmente se ha llamado el lagrangeano. La segunda forma del principio de Hamilton expresa: Dentro de los movimientos admisibles de un sistema, el movimiento actual que ´este sigue es aquel para el cual se satisface
tb
δI = δ ta
(K + W + R) dt =
tb
δ(K + W + R) dt =
ta
tb
(δK + δW + δR) dt = 0
(2)
ta
En otras palabras, el movimiento actual del sistema es la soluci´on o trayectoria extremal de (1). Hasta ahora se han enunciado las dos formas del principio de Hamilton y se destaca que la segunda forma requiere de las expresiones para las variaciones de los componentes de la integral (1). Las formas 15
A. GRANADOS
de dichas componentes y el c´alculo de sus variaciones se har´an en las pr´ oximas secciones, primero para los sistemas discretos, y luego para los sistemas continuos. 2. SISTEMAS DISCRETOS Para los sistemas discretos la formulaci´on apropiada es la de Euler-Lagrange, tal como se describi´ o de manera gen´erica en la secci´on I.2, y particularmente, para variaciones evolutivas en la secci´on I.4. Muchos de los resultados de esas secciones se evocar´an de nuevo aqu´ı. 2.1. Energ´ıa Cin´ etica Normalmente la energ´ıa cin´etica K es una forma bilinear de la velocidad. En el caso de sistemas discretos, se tiene que la energ´ıa cin´etica K se puede expresar como ˙ ]= K[ t, q(t), q(t)
1 1 ˙ . II[ t, q(t) ] . q(t) ˙ q(t) = q˙i II ij q˙j 2 2
(3)
˙ donde q(t) es la coordenada generalizada, q(t) es la velocidad generalizada y II es el tensor de inercia generalizado, el cual es sim´etrico y definido positivo. La variaci´on de la energ´ıa cin´etica en sistemas discretos se obtiene como δK =
1 ∂II ij i j dII ik i q˙ − II ik q¨i q˙ q˙ − 2 ∂q k dt
δq k
(4)
donde se ha empleado el resultado I.(55) s´ olamente para K. La derivada en el tiempo del tensor de inercia se calcula como dII ik ∂II ik ∂II ik = + q˙j (5) dt ∂t ∂q j 2.2. Fuerza y Trabajo El trabajo de las fuerzas externas W = W ◦ + W ∗ puede ser descompuesto en trabajo de fuerzas conservativas W ◦ y en trabajo de fuerzas no conservativas W ∗ . Para sistemas discretos, las fuerzas conservativas on de un potencial U(q) en la forma Q◦ se definen siempre en funci´ Q◦ = −∇U(q)
Q◦i = −
∂U ∂q i
(6.a)
y la potencia del trabajo realizado por estas fuerzas se calcula como ˙ ◦ = Q◦ . q˙ = Q◦ q˙i = − dU W i dt
(6.b)
de manera que
tb
ta
˙ ◦ dt = W
qb
qa
Q◦ . dq = −
b
dU = Ua − Ub
a
dW ◦ = Q◦ . dq = Q◦i dq i = −dU
(7)
En estas expresiones, U tambi´en recibe el nombre de energ´ıa potencial. Para sistemas discretos, las fuerzas no conservativas Q∗ generan una potencia y un trabajo determinados por ˙ ∗ = Q∗ . q˙ = Q∗ q˙i W i
tb qb ˙ ∗ dt = Q∗ . dq W ta
qa
16
d→W ∗ = Q∗ . dq = Q∗i dq i
(8)
PRINCIPIOS VARIACIONALES EN LA MECANICA DEL CONTINUO
donde la integraci´ on y derivaci´ on son de l´ıneas, debido a que estas cantidades son dependientes del camino recorrido. Las variaciones de los trabajos arriba descritos para sistemas discretos tienen la forma δW ◦ = Q◦ . δq = Q◦i δq i = −δU
δW ∗ = Q∗ . δq = Q∗i δq i
(9)
Estas formas se han derivado de (7) y (8), al interpretar los diferenciales como variaciones de las mismas cantidades. 2.3. Restricciones y V´ınculos Las restricciones R al movimiento para sistemas discretos pueden expresarse de forma gen´erica como R = g j λj (t) o ´
i = 1, 2, 3, . . . , n
˙ ] = φj [ t, q(t) ] + q˙i(t) ϕji [ t, q(t) ] = 0 g j [ t, q(t), q(t)
R˙ = g j λj (t)
j = 1, 2, 3, . . . , m
(10)
para un sistema con n coordenadas generalizadas y m restricciones. Es decir, un sistema con n − m grados de libertad. Esto concuerda con la expresi´on I.(16) y su variante I.(27). Las variaciones de las restricciones para sistemas discretos se expresan a partir de (10.a) como δR =
∂φj ∂ϕji + − ∂q i ∂t
∂ϕjl ∂ϕji − ∂q i ∂q l
q˙
l
λj +
ϕji λ˙ j
δq i
(11.a)
o a partir de (10.b) como δR = λj (t) ϕji [ t, q(t) ] δq i
(11.b)
Estos resultados concuerdan con aquellos obtenidos en I.(22) y I.(28), respectivamente. Las restricciones (10), denominadas a veces como v´ınculos, pueden aparecer de varias formas. Cuando en (10.a) ϕji = 0, el v´ınculo se denomina hol´ onomo (no hay dependencia de las velocidades), y existen j variaciones independientes arbitrarias φ [t, q(t)] = 0 s´ olo de las coodenadas generalizadas, sin romper las ligaduras (en los sistemas no hol´ onomos esto no es posible). De los v´ınculos hol´ onomos y no hol´ onomos, se pueden distinguir dos tipos: escler´onomos, si son independientes del tiempo, y re´onomos, si lo contienen expl´ıcitamente. Dicho de otra forma, un sistema escler´onomo es aquel que tiene solamente ligaduras o restricciones “fijas”, mientras que un sistema reon´omo tiene ligaduras o restricciones “m´ oviles”. Cuando el v´ınculo es hol´ onomo, las fuerzas internas generadas por los v´ınculos o reacciones de v´ınculos se c´alculan como Qi =
∂φj λj ∂q i
(v´ınculo hol´ onomo)
(12)
donde se ha considerado el parecido con (9.b) al observar (11.a). Cuando el v´ınculo es no hol´ onomo, entonces es conveniente expresar las reacciones de v´ınculos como Qi = o ´
Qi
=
∂φj ∂ϕji − + i ∂q ∂t
ϕji
∂ϕjl ∂ϕji − i ∂q ∂q l
q˙l
λj + ϕji λ˙ j
(v´ınculo no hol´ onomo)
(13)
λj
donde se ha considerado el parecido con (9.b) al observar (11.a) o´ (11.b), respectivamente. De acuerdo a lo expuesto en las expresiones anteriores, es conveniente escoger las coordenadas generalizadas de forma que las reacciones de v´ınculos (13) sean las m´as sencillas posibles. En el caso de v´ınculos hol´ onomos esto se establece definiendo las coordenadas generalizadas de manera que sean perpendiculares a 17
A. GRANADOS
las reacciones de v´ınculos. En otras palabras, las coordenadas generalizadas se escogen de forma que sean consistente a las reacciones de v´ınculos. De esta forma las reacciones de v´ınculos no aparecer´ an en las ecuaciones diferenciales finales para las coordenadas de los grados de libertad, puesto que son perpendiculares a ellas (n − m variables restantes q i , i = n − m + 1, . . . , n, en I.(25) o´ I.(31)). Si por el contrario, se requiere del c´ alculo de las reacciones de v´ınculos, se resolver´an el resto de las ecuaciones (2m variables q i y λi , i = 1, 2, 3, . . . , m, en I.(24, 26) o´ I.(30, 32)). 2.4. Ecuaciones de Lagrange Substituyendo en (2) los resultados (4), (9), (11) y (13), se obtiene
tb
δI = ta
∂K d ∂K • − + Qi δq i dt = 0 ∂q i dt ∂ q˙i
Q•i = Qi + Qi
Qi = Q◦i + Q∗i
(14)
donde Q• es la fuerza generalizada global, que incluye las fuerzas externas Qi y las reacciones de los v´ınculos an compuestas por fuerzas conservativas Q◦i y fuerzas no conservativas Qi . A su vez las fuerzas externas est´ ∗ Qi . Como la energ´ıa potencial U no depende obligatoriamente de las velocidades generalizadas q˙i , entonces (14) tambi´en se puede expresar en funci´ on del lagrangeano L como
tb
δI = ta
∂L d ∂L i − + Q i δq dt = 0 ∂q i dt ∂ q˙i
Qi = Q∗i + Qi = Q•i − Q◦i (15)
L=K−U
donde Qi es la suma de las fuerzas externas no conservativas Q∗i y las reacciones de los v´ınculos Qi . Las reacciones de los v´ınculos normalmente son del tipo no conservativo, y pueden considerarse como reacciones internas del sistema. La aplicaci´ on del lema fundamental (lema 0) a (14) y (15) a los t´erminos con las coordenadas independientes (i = m − n + 1, . . . , n) e imponiendo la anulaci´ on del integrando para los t´erminos dependientes restantes (i = 1, 2, 3, . . . , m) junto con las restricciones en los v´ınculos, da como resultado d ∂K ∂K − i = Q•i dt ∂ q˙i ∂q
o ´
d ∂L ∂L − i = Qi dt ∂ q˙i ∂q
φj (t, q) + q˙i ϕji (t, q) = 0
(16)
con i = 1, 2, 3, . . . , n y j = 1, 2, 3, . . . , m, donde las fuerzas generalizadas Q•i y Qi est´an definidas en (14) y (15). Finalmente la substituci´ on de la energ´ıa cin´etica, observando el resultado (4), da II ik q¨i +
dII ik i 1 ∂II ij i j q˙ − q˙ q˙ = Q•k dt 2 ∂q k
(17)
que no es nada m´ as que la ley del movimiento de Euler para sistemas inerciales, cuya inercia puede ser variable de la configuraci´ on del sistema en el tiempo. Simult´ aneamente tambi´en debe satisfacerse (16.c). Cuando la inercia es no variable, se puede hablar de la ecuaci´ on de Newton para sistemas de part´ıculas, aunque ´esta designaci´ on es cuestionable. 2.5. Ecuaciones de Hamilton Sabiendo que la funci´ on del Hamiltoniano H = p.q˙ − L es la funci´ on transformada de Legendre de la funci´ on del Lagrangiano L, para funciones de varias variables, entonces ˙ H(t, q, p) = pi q˙i − L(t, q, q) 18
pi =
∂L ∂ q˙i
(18)
PRINCIPIOS VARIACIONALES EN LA MECANICA DEL CONTINUO
De acuerdo a esto, entonces ( L = K − U ) pi q˙i =
∂K q˙i = 2 K ∂ q˙i
H = 2K −L = K +U
(19)
y H es una cantidad conservativa igual a la energ´ıa total (cin´etica + potencial). La variaci´on de H calculada en los dos miembros de (18.a) es ∂H ∂H ∂H δt + δqi + δpi ∂t ∂qi ∂pi ∂L ∂L ∂L δt − = pi δ q˙i + q˙i δpi − δqi − δ q˙i ∂t ∂qi ∂ q˙i
δH =
(20.a) (20.b)
Cancelando el primer y u ´ ltimo t´ermino de (20.b) debido a (18.b) y comparando los t´erminos restantes se obtienen ∂H ∂H ∂L ∂H ∂L q˙i = = (21) − p˙ i = − = − ∂pi ∂qi ∂qi ∂t ∂t denominadas ecuaciones del movimiento de Hamilton, ordinariamente conocidas como ecuaciones can´onicas. La primera igualdad en (21.b) con −p˙ i se obtiene de la ecuaci´on de Lagrange d ∂L ∂L =0 − dt ∂ q˙i ∂qi
(22)
v´ alida solamente para sistemas hol´onomos - conservativos, y de la definici´ on (18.b). Estas ecuaciones implican que si t no est´a de forma expl´ıcita en L, tampoco lo estar´ a en H. Tambi´en pueden escribirse de la forma dqi dpi = = dt ∂H/∂pi −∂H/∂qi
( i no suma )
(23)
Mientras las ecuaciones de Lagrange son n ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden con condiciones iniciales en qi y q˙i , las de Hamilton son 2n ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, por lo que requieren el conocer qi y pi en un punto inicial. 3. SISTEMAS CONTINUOS Para los sistemas continuos la formulaci´on apropiada es la de Euler-Ostrogradski, tal como se describi´ o de manera gen´erica en la secci´on I.3, y particularmente, para variaciones evolutivas en la secci´on I.4. Muchos de los resultados de esas secciones se evocar´an de nuevo aqu´ı. 3.1. Continuidad Por volumen material Vm = Vm (t), se designa aquel volumen el cual contiene materia de densidad ρ(t, q) y cuya masa m es invariante en el tiempo. Esto es,
ρ(t, q) dV =
m= Vm
Vo
ρo (˜ q) dVo
dm =0 dt
(24)
˜ = donde se puede definir, sin p´erdida de generalidad, una configuraci´ on de referencia Vo = Vm (0) con q ˜ (0, q ˜ )], siendo q(t, q ˜ ) las coordenadas generalizadas en la configuraci´ ˜ como q[0, q on actual, donde se emplea q una etiqueta para mantener la identidad de los puntos materiales. Esta configuraci´ on de referencia se define para t = 0, sin embargo, puede ser cualquier configuraci´ on factible en cualquier instante. La descripci´ on ˜ espacial mencionada indica que la derivaci´ on material con respecto al tiempo debe hacerse manteniendo q 19
A. GRANADOS
constante, de manera que dicha derivaci´on se hace siguiendo el recorrido de un punto material identificado o marcado con su coordenada en la configuraci´ on de referencia Vo . ˜ )] es constante en el tiempo por lo que q) = ρ[0, q(0, q La densidad en la configuraci´ on de referencia ρo (˜ la funci´ on ρ en (24) se dice que es localmente conservativa. La aplicaci´ on de la expresi´on I.(85.b) a la funci´ on localmente conservativa ρ, da la ecuaci´on de continuidad ρ˙ + ρ ∇. q˙ = 0 (25) ˜ . Es donde la derivaci´ on con respecto al tiempo debe entenderse que se ha hecho manteniendo constante q decir, conservando la identidad de los puntos materiales. El operador ∇ debe interpretarse como el operador diferencial en funci´ on de las coordenadas q, en la configuraci´ on actual Vm , tal como se indica en I.(85). El ˜ , en la configuraci´ a como operador diferencial en funci´ on de las coordenadas q on de referencia Vo , se indicar´ ˜ ∇. 3.2. Energ´ıa Cin´ etica En el caso de sistema continuos, la energ´ıa cin´etica se define como una forma bilineal convexa K(t) =
1 2
˙ q ˜ ) . II[ t, q(t, q ˜ ) ] . q(t, ˙ q ˜ ) dV ρ q(t,
(26)
Vm
˜ , que es la donde la coordenada y velocidad generalizadas dependen no s´ olo del tiempo, sino tambi´en de q coordenada generalizada en la configuraci´ on de referencia del volumen material Vm = V(t). El tensor de inercia II, al igual que en los sistemas discretos, es de nuevo sim´etrico y definido positivo. Para sistemas continuos la variaci´ on de la energ´ıa cin´etica se calcula como δK = Vm
˙ q˙ − II. q ¨ ) . δq dV ρ ( 12 ∇II : q˙ q˙ − II.
(27)
donde se han empleado los resultados I.(56) y I.(70.a), y el operador ∇ se sobreentiende que act´ ua sobre la variable q. 3.3. Fuerzas y Esfuerzos Para sistemas continuos, la potencia del trabajo de las fuerzas conservativas se calcula como ˙◦= W
dU ρ g . q˙ dV = − dt Vm ◦
◦
g = −∇ϕ(q)
U=
ρ ϕ dV
(28)
Vm
donde ϕ es el potencial que genera la fuerza conservativa g◦ , la cual es una fuerza de cuerpo o a distancia. En las expresiones anteriores se ha empleado la regla de la cadena y el tercer teorema del transporte de Reynolds. Las fuerzas no conservativas pueden ser de dos tipos: fuerzas de cuerpo o a distancia g∗ y fuerzas de superficie o de contacto t = n.T, siendo n el vector normal unitario exterior y T el el tensor de esfuerzo generalizado (g = g◦ + g∗ ). As´ı que en este caso, la potencia del trabajo de las fuerzas mencionadas se calcula como ˙∗= W
Vm
ρ g∗ . q˙ dV +
t. q˙ dA =
Am
Vm
˙ (ρg∗ + ∇.T) + ∇q˙ : Tt ] dV [ q.
∇q˙ = F−t ·
d ˜ (∇q) (29) dt
donde Am = Am (t) es la frontera de Vm = Vm (t), por lo que se ha aplicado el teorema de la divergencia al ˜ = ∇q˜ ). segundo t´ermino, y se ha aplicado la identidad ∇.(T.v) = v.(∇.T) + ∇v : Tt (Nota: ∇ = ∇q y ∇ 20
PRINCIPIOS VARIACIONALES EN LA MECANICA DEL CONTINUO
Para los sistemas continuos, es conveniente expresar las variaciones de los trabajos de las fuerzas externas en las formas ∗ ˜ ∗ . δq dVo = s. δq dA + ρo g δW o δW ◦ =
Vm
A+ o
ρ g◦ . δq dV = −δU
=
A+ m
Vo
t. δq dA +
(30) ρg∗ . δq dV
Vm
donde en la variaci´ on del trabajo no conservativo se han aplicado los resultados de la secci´ on I.4.3 de restric˜ y subindicando V y ciones evolutivas (expresiones I.(62)-I.(65)) y las relaciones I.(70) (cambiando N por n A con m). Aqu´ı se ha asumido que ρo = J ρ no var´ıa, puesto que es una funci´ on localmente conservativa. Las operaciones se han realizado sobre S, el tensor de esfuerzo generalizado en la configuraci´ on de referencia ˜ .S, t = n.T) y luego se ha revertido el cambio a T con la ayuda de las expresiones (s = n S = J F−1 .T
J ρ = ρo
˜ J ∇.T = ∇.S
(31)
ı. (Nota: el cambio de variable La primera integral de (30.b) no incluye la porci´ on A− m , ya que δq es nula all´ ˜ ˜ , y = q, ξ. λ = ρo g ˜ ∗ + ∇.S, empleado en la secci´on I.4.3 es x = q y ψ. λ = St ). Un ejemplo de un medio continuo es un fluido newtoniano, el cual posee la siguiente relaci´ on constitutiva para el esfuerzo T, en funci´ on del tensor velocidad de deformaci´ on D, de la forma D=
1 (G + Gt ) 2
G = (∇v)t
(32)
ϑ = ∇.v = trD
T = (−P + λ ϑ) I + 2µ D
(33)
donde G es el gradiente del campo de velocidades, y λ = − 23 µ si se satisface la hip´ otesis de Stokes. Otro ejemplo de un medio continuo es un s´ olido el´ astico de Hook isotr´ opico, el cual posee una relaci´ on constitutiva para el esfuerzo S, en funci´ on del tensor de deformaci´ on infinitesimal E, de la forma E=
1 (L + Lt ) 2
F = I + L = (∇x)t
L = (∇u)t = ∇.u = trE = trL
S = λe I + 2µe E =
u =x−X G=
2Gν ∇.u I + 2G E 1 − 2ν
(34) E 2(1 + ν)
(35) (36)
Aqu´ı, F es el tensor gradiente de deformaci´on, L es el tensor gradiente de desplazamiento, S es el tensor de esfuerzo de Piola-Kirchhoff, G es el m´odulo de corte, E es el m´odulo de elasticidad de Young, y ν es el m´odulo de Poisson. Los coeficientes 2Gν µe = G (37) λe = 1 − 2ν son denominados coeficientes de Lam´e. 3.4. Restricciones Para sistemas continuos las restricciones se especifican imponiendo el movimiento de la frontera en on de la frontera. una subregi´ on A− m de la frontera. Esto es equivalente a imponer que δq = 0 en esta subregi´ Tambi´en se puede especificar una restricci´on imponiendo que la potencia del trabajo de las fuerzas internas es una funci´ on conocidad. Esto es, ˙ ] dVo = 0 ˜ t (38) ˙ t ˜) − S : F [ Φ(t, q) − T : G ] dV = [ Φo (t, q G = (∇q q) F = (∇q) R˙ = Vm
Vo
21
A. GRANADOS
donde G es el gradiente de la velocidad generalizado calculado en la configuraci´on actual y F es el gradiente de la deformaci´on generalizado calculado en la configuraci´ on de referencia. El tensor de esfuerzo generalizado T en la configuraci´ on actual puede transformarse a la configuraci´ on de referencia mediante (25.b). De aqu´ı se tiene que ˙ (39) JT:G=S:F J Φ = Φo La derivada del tensor F se puede calcular empleando la expresi´on I.(84.a). Para sistemas continuos, las variaciones de las restricciones (38) se pueden expresar como δR = −
Vo
S : δF dVo = −
=−
t
Vm
A+ o
n.S. δq dAo +
T : (∇q η) dα dV = −
A+ m
Vo
˜ (∇.S) . δq dVo
(40)
n.T. δq dA +
(∇.T) . δq dV Vm
donde se ha empleado la expresi´on I.(82) y la integraci´ on por parte para la obtenci´ on del resultado en la configuraci´ on de referencia. Este resultado tambi´en se puede obtener aplicando la expresi´ on I.(64), sin ˙ (Nota: el cambio de variable es x = q ˜ , y = q, φ. λ = Φo , y ψ. λ = St ). considerar el t´ermino con q. Adicionalmente a la integraci´ on por parte y la expresi´ on I.(82), se ha empleado la relaci´ on I.(84.a) para la obtenci´ on del resultado en la configuaci´on actual. Los resultados expresados en (40) pueden ser alternativamente obtenidos definiendo un trabajo virtual tal como se hace en [Bedford,1985]. Sin embargo, por una parte, esto parece ambiguo para sistemas en un espacio de dimensi´on mayor que tres, y, por otra parte, cae fuera del contexto general planteado en la parte I. Por estas razones se ha evitado el enfoque planteado con el trabajo virtual y se ha preferido el enfoque empleando las restricciones en las trayectorias, pareciendo esto u ´ ltimo lo m´ as general. 3.5. Ecuaci´ on de Cauchy Substituyendo los resultados de las variaciones (27), (30) y (40) en el principio de Hamilton (2), se obtiene en la configuraci´ on actual
tb
[ρ(
δI = Vm
ta
1 2 ∇II
˙ q˙ − II. q ¨ ) + ρ g + ∇.T ] . δq dV + : q˙ q˙ − II.
A+ m
( t − n.T ) . δq dAm
dt
(41)
on de referencia se obtiene equivalentemente donde g = g◦ + g∗ . En la configuraci´
tb
δI = ta
Vo
˜ ] . δq dVo + ˜ II ˜ : q˙ q˙ − II. ˜˙ q˙ − II. ˜ q ˜ + ∇.S ¨ ) + ρo g [ ρo ( 12 F−t .∇
A+ o
˜ .S ) . δq dAo (s − n
dt (42)
˜ q ˜ (t, q ˜ ) = g(t, q) y II(t, ˜ ) = II(t, q), son los mismos valores de las funciones evaluadas en la configuraci´ donde g on de referencia y en la configuraci´ on actual. Aplicando finalmente los lemas para funciones de varias variables (lemas 1 y 2), se obtiene la ecuaci´on de Cauchy en la configuraci´ on actual ˙ q˙ − ¨ + II. ρ ( II. q
1 2
∇II : q˙ q˙ ) = ρ g + ∇.T en Vm
t = n.T en A+ m
(43)
o en la configuraci´ on de referencia ˜ q ˜˙ q˙ − ¨ + II. ρo ( II.
1 2
˜ ˜ II ˜ : q˙ q˙ ) = ρo g ˜ + ∇.S en Vo F−t .∇
˜ .S s=n
en A+ o
(44)
Para los sistemas continuos la derivada con respecto al tiempo del tensor de inercia es calculado como ∂II ˙ II˙ = + q.∇II ∂t 22
˜ ˜˙ = ∂ II II ∂t
(45)
PRINCIPIOS VARIACIONALES EN LA MECANICA DEL CONTINUO
La expresi´on (45.a) es equivalente a (5). Para los sistemas continuos, se pueden obtener expresiones similares a (16), si se introduce el concepto de energ´ıa cin´etica espec´ıfica κ y el lagrangeano espec´ıfico en la forma κ=
1 2
=κ−ϕ
˙ q˙ q.II.
(46)
con lo cual se obtiene d (∇q˙ κ) − ∇q κ = g• dt
d (∇q˙ ) − ∇q = g dt
˙ t Φ(t, q) = T : (∇q)
donde g• = g + g
g = g◦ + g∗
g = g∗ + g = g• − g◦
g =
∇.T ρ
(47)
(48)
En la configuraci´ on de referencia, esta descripci´on ya no es posible (ver el primer t´ermino de la ecuaci´on (42)), al menos que se deje sin cambiar los miembros izquierdos de las dos primeras igualdades de (47). Sin embargo, ˜ ˜ . Adicionalmente, si se desean hacer los cambios, por (31) se debe cumplir que g = ∇.T/ρ = ∇.S/ρ o = g ˜ como las mismas funciones (48), pero descritas en la se deben tomar todas las dem´as fuerzas espec´ıficas g ˙ ˜ ) = S : F. configuraci´ on de referencia Vo . Finalmente, la restricci´on (47.c) debe tomarse como Φo (t, q Es importante hacer notar que los resultados obtenidos en esta secci´ on son v´ alidos igualmente para sistemas continuos inmersos en espacios tridimensionales como en espacios multidimensionales. La notaci´on simb´olica empleada a lo largo de todo el trabajo permite la interpretaci´on todos los resultados a espacios con una m´etrica distinta a la euclidiana. El uso de un tensor de inercia II en lugar del tensor identidad 1 permite una generalidad enorme al m´etodo variacional descrito, lo que le da una versatilidad de uso en m´ ultiples casos de estudio. BIBLIOGRAFIA [1] Arnold, V. I. Mathematical Methods of Classical Mechanics, Second Edition. Springer-Verlag, 1989. [2] Bedford, A. Hamilton’s Principle in Continuum Mechanics. Pitman Publishing, 1985. [3] Goldstein, H. Classical Mechanics, 2nd Edition. Addison-Wesley, 1980. [4] Gurtin, M. E. “The Linear Theory of Elasticity”. Encyclopedia of Physics. Fl¨ ugge, S.; Truesdell, C. (Eds.). Vol. VIa/2: Mechanics of Solids II, pp. 1-295. Springer-Verlag, 1972. [5] Iribarren, I. L. Topolog´ıa de Espacios M´ etricos. Editorial Limusa-Wiley, 1973. [6] Kartashov, A. P.; Rozhdenstvenski, B. L. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Fundamentos del C´ alculo Variacional. Editorial Revert´e, 1980.
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