Presentación TEDX - 2013 extendida: Neurociencia Cognitiva en la enseñanza y aprendizaje de la matemática
Descripción
“ Neurociencia Cognitiva en la enseñanza y aprendizaje de la matemática” Mauricio Herrera.
Universidad del Desarrollo, Facultad de Ingeniería. Chile M.C Escher, Relativité [1953]
Ejes de la presentación:
•
La adquisición de competencias matemáticas tempranas determinan en gran medida el éxito académico e incluso el éxito en la vida de un individuo y se correlacionan positivamente con el crecimiento del bienestar económico de todo un país.
•
¿Por qué surgen diferencias individuales en la adquisición de habilidades matemáticas tempranas?. ¿Por qué la aritmética es importante?.
•
¿Por qué se cometen tantos errores en la resolución de problemas matemáticos? y en general ¿Por qué aprender implica cometer errores?
•
¿Qué aportes ofrece la Neurociencia en la educación y en particular en la educación matemática? Reportes de una investigación.
Algunos Hechos
. The High Cost of Low Educational Performance
✓ Aumentar el rendimiento promedio en 25 puntos en el examen PISA - implica una ganancia conjunta del PIB de los países OCDE de USD 115 billones durante la vida de la generación nacida en 2010
THE LONG-RUN ECONOMIC IMPACT OF IMPROVING PISA OUTCOMES
✓ Llevar todos los países al nivel medio de Finlandia - daría lugar a ganancias del orden de USD 260 billones
✓ Traer a todos a un nivel de Programme for International Student Assessment
Informe de la “Organisation for Economic Co-operation and Development ”
06-Jan-2010 2:58:36 PM
habilidad mínimo de 400 puntos del examen PISA - implicaría un aumento del PIB agregado de cerca de USD 200 billones
Tendencia en el crecimiento del PIB
Trends in educational performance and trends in economic growth rates
0.1500
y = 0.1339x - 0.0539
0.1125
New Zealand
0.0750
Sweden Netherlands Australia
0.0375 Belgium
0 -0.0375
United Kingdom
United States
France Germany
-0.0750 -0.1125
1
Finland
Italy
Japan
-0.1500 -0.750
1975-2000
-0.375
0
0.375
0.750
1.125
1.500
Tendencia en el puntaje PISA
and behaviors are measured in the fall of kindergarten (referred to Preparación la escuela futuros logros are hereafter as FK), para whereas math and y reading achievement measured in the springacadémicos.* of third grade (referred to hereafter as 3rd). The resulting equation is as follows:
Modelo de regresión
ACH i3rd ! a 1 " " 1 ACAD iFK " " 2 ATTN iFK " " 3 SE iFK " # 1 FAM i " # 2 CHILD i " e it, (1) 2
where is thei math orgrado reading achievement ACHi3rd: ACH Logrosi3rd del alumno en tercer en matemática/ lectura of child i in the spring of third grade; ACAD is the collection of math, iFK ACAD : Colección de habilidades en lectura, matemática o conocimientos iFK reading, andel niño general knowledge thatmedido child ali final has del acquired at generales que i adquirió a la entradaskills del colegio kindergarten. school entry, assessed by achievement tests in the fall of the ATTNiFK: Medida de atención reportada kindergarten year; ATTN is ael profesor. teacher-reported measure of iFK por attention; SEiFK is the collection of socioemotional SEiFK: Habilidades socio-emocionales reportadas por el profesor. skills that child i’s teacher reports; FAMi and CHILDi are sets of family backFAM i y CHILDi : Conjunto de factores familiares y características del niño ground and child characteristics, respectively, included in analyses respectivamente que pueden influir en los logros del niño. control for individual differences that might influence child ato 1 es una constante eachievement error estocástico. it es un término de before and after school entry; a1 is a constant; and eit is a stochastic error term.
*Greg J. Duncan et. al. Developmental Psychology 2007,Vol. 43, No. 6, 1428–1446. Un estudio de 6 bases de datos con miles de niños con diferentes edades desde el kindergarten y primeros años de la escuela primaria en USA y Canada.
Coeficientes estandarizados
1440
DUNCAN ET AL.
ra u t c Le
m e at M
ic t á
a
A
te
i c n
ón I
e t n
r
ar z li a n E
e xt
r
r a liz a n
. b a H
es l ia c So
Figure 1. Standardized coefficients from models of reading achievement estimated from six data sets. Filled squares indicate statistically significant coefficients.
Valores de los coeficientes para el logro de competencias de lectura. fairly high, particularly in the case of teacher reports, which were includes measures of school-entry reading achievement as well as language and verbal ability. When we reran the meta-analytic all .79 or higher. regression in the third column of Table 3 with separate groups for To investigate the potential impact of unreliable measurement reading achievement and the collection of other language-related on our results, we used the reported internal consistencies in the measures, we found that we could not reject the hypothesis of ECLS-K and NLSY data to estimate regression models, using the *Greg J. Duncan et. al. Developmental Psychology 2007, Vol. 43, No. 6, 1428–1446 equal effects ( p ! .11). errors-in-variables reliability adjustment in the EIVREG procedure in Stata (Stata Corporation, 2004). To accord the behavioral measures maximum explanatory power, we included in our regressions Extensions school-entry academic test scores as well as family and child Beyond shared method variance, there are a number of other
1441
Coeficientes estandarizados
SCHOOL READINESS AND LATER ACHIEVEMENT
ra u ct e L
at M
em
ic t á
a
A
t
en
ó ci
n In
r te
r a iz l na E
e t x
r
ar z li a n . b a H
es l ia c So
Figure 2. Standardized coefficients from models of math achievement estimated from six data sets. Filled triangles indicate statistically significant coefficients.
Valores de los coeficientes para el logro de competencias matemáticas.
The third issue, overcontrol, is complicated. Our regression average effect sizes ranging from –.01 to .01 (see Table 3), it is unlikely that even substantial reliability adjustments to our behavmodels control for school-entry achievement, but if early attention ior and social skills measures would change our conclusions. and socioemotional skills affect later achievement primarily by The overall validity of the attention and socioemotional behavaffecting school-entry achievement skills, are we not robbing the *Greg J. Duncan et. al. Developmental Psychology 2007, Vol. 43, No. 6,nonachievement 1428–1446 measures of some of their explanaior measures is much more difficult to assess. Correlations shown school-entry in the first column of Table 3 between later achievement and the tory power?12 The pattern of average correlations presented in the attention and socioemotional behavioral measures have the exfirst column of Table 3 bears on this issue. Bivariate associations pected signs and range from .10 to .25 in absolute value, suggestbetween school-entry attention and socioemotional skills are con-
Conclusiones de la investigación Los resultados muestran que las habilidades tempranas en matemáticas tienen mayor capacidad de predicción en el futuro rendimiento académico, seguido por las de lectura y las habilidades de atención. Por el contrario, las medidas de comportamiento socio-emocionales, incluyendo la internalización y externalización de problemas junto a habilidades sociales, fueron en general predictores insignificantes del futuro rendimiento académico, incluso entre los niños con niveles relativamente altos de problemas de comportamiento. Los patrones de asociación fueron similares para los niños y las niñas y para los niños de altos y bajos niveles socioeconómicos.
*Greg J. Duncan et. al. Developmental Psychology 2007,Vol. 43, No. 6, 1428–1446
¿Por qué la aritmética es importante?. La activación cerebral durante la aritmética de un dígito predice mejor desempeño matemático en secundaria. Price et al. • Arithmetic Brain Activation Predicts Math Skills
J. Neurosci., January 2, 2013 • 33(1):156 –163 • 157
correcto
Tiempo
Si
promedio
Simbólico
incorrecto
Tiempo
No Price et al. • Arithmetic Brain Activation Predicts Math Skills
158 • J. Neurosci., January 2, 2013 • 33(1):156 –163
Qualifying Test” (PSAT/NMSQT). Therefore, Figure 1. Arithmetic verification (A) andreledigit matching (B) example stimuli and paradigm timing. performance on the PSAT is profoundly vant to higher education success among students in the U.S. Most individuals who take the tenth graders, andmathematical in most states (ina single white dot at the center of the screen (font size, 60). Poststimulus If arithmetic fluency servesPSAT as are a scaffold for cluding Maryland, where most of the particifixation duration was 6 s on average but was varied between trials to competence, individual differences in performance on the PSAT pants resided) tenth graders are enrolled in a improve deconvolution of the hemodynamic response function (HRF). Math test should be associated mathematics with variation the brain mechcourse.in Beginning in Grade 11, Thus, interstimulus intervals (ISI) could be 4, 5, 6, 7, or 8 s, with a mean some studentsprocedural choose not to calculation: pursue elective anisms associated with retrieval versus mathematics coursework (Updegraff et al., ISI across the run of 6 s. Varying the ISI in this way ensures that stimulus the left inferior parietal lobe (LIP) and bilateral intraparietal sul1996). Thus, Grade 10 PSAT Math was chosen onset is not locked with the time to repeat (TR), as trial duration is not promedio cus (IPS), respectively (Grabneraseta measure al., 2007; Grabner et al.,outcomes 2009). of broad achievement consistently an integer multiple of the TR and therefore allows for overat the latest school grade during which all parWe predict that individuals with higher PSAT Math scores will sampling ofTiempo the HRF. ISI length and trial type (subtraction correct and ticipants are likely to be receiving ongoing demonstrate increased activation LIP regions during single math of instruction. incorrect, addition correct and incorrect) were balanced such that no ISI Gavin R. Price, Michèle M. M. Mazzocco, and Daniel Ansari The PSAT Math items, includdigit calculations compared to individuals withcontains lower38PSAT Math length was more frequently associated with a given trial type. ing word problems, geometry, algebraic equaJournal of Neuroscience, 2, 2013activation • 33(1):156 –163 scores, who are expected toJanuary exhibit greater of the IPS. Digit matching. Participants were presented with three single digits tions, and complex (no single-digit simple Nobysimbólico separated an equal sign (#) and rotated 90° into a vertical rather than We predict that such individual differences in brain activation calculations) arithmetic, and it therefore represents aMath broad test of mathematical competence horizontal orientation (Fig. 1 B). Participants were required to indicate patterns will be specific to PSAT and thus unrelated to of significant importance to an individual’s ac2. Nonsymbolic numerical magnitude comparison paradigm timing. via dualFigure button press whether or not the thirdexample digitstimuli was and identical to either
El experimento se realizó con 33 estudiantes hasta la edad de 17 años los resultados se correlacionaron con el puntaje de la prueba PSAT (Preliminary Scholastic Aptitude Test)
PSAT Critical Reading scores.
C
Conclusiones de la investigación: Estrategia Extracción desde la memoria
Procedimientos (Contar con los dedos ...)
Puntaje (PSAT-math*)
Región del Cerebro
Alto Lóbulo parietal izquierdo (correlación positiva) inferior (Supra-Marginal Girus)
Bajo (correlación negativa)
Surco Intra-Parietal bilateral
*Preliminary Scholastic Aptitude Test (PSAT) parte matemática: Examen tomado en USA a nivel nacional (aproximadamente 3.5 millones de estudiantes) en secundaria.
Gavin R. Price, Michèle M. M. Mazzocco, and Daniel Ansari Journal of Neuroscience, January 2, 2013 • 33(1):156 –163
FIGURE 5.3
The location of the brain in the head, showing a midsagittal view of the right hemisphere.
FIGUR
Cun eu s
m a r r r io Pars e t os rus y P g l Pars opercularis a por e lcus r m u s u e l triangularis rt por a ss o i i m r f e t e al or up i r Pars r S e s pe u al gyr u r orbitalis o S p tem d i lcus M u s temp oral r o i er yrus g l a Inf por m or te i r e f In La t
Parieto-occipital sulcus
Latera l occipit a sulcus l
s cu
su l
s
na te
Asc. ramus
s
s
ta
Precent ral su Precent lcu ral gy ru Central sul s cu s Postc ent ral gy ru Postcen tral su l cu Sup ra gy ma r u rg s
Sup e ri or Intrap pari e a sulc r ieta tal lo us l Infe r io lob r pa ule r ie
r io e f In
ont r f r
yr u g l a
s
le bu
r io e p l sulcus a t u n S r fro o i r pe l u o n ta S r f le dd yrus i M g
Lu
yr u s
An g g y u la r rus
al g t n o r fr
are four lobes in each hemis
of the co view of th of the lef ine r a lobe c(pur l a C l ua the parie g in the Lfront C of the br posterior to the pa lobe (yell etal and occipital which is visible fr Source: Sq
4 FIGURE Lóbulos5.5 + Cerebelo Some important landmarks of the brain in the left hemisphere f perspective (right panel). Source: Standring, 2005. Surcos y Giros
Esquema de trabajo RMNf Actividad de estimulación
-
Actividad de control
Actividad diferenciada
Imágenes de Actividad diferenciada para diferentes individuos FIGURE 4.27
How the MRI equipment looks to t ject. Most fMRIs are taken with the subject lying down. MRIs are still very noisy, as the electromagnetic coil is s on and off. Small visual displays may be used to present or headphones for auditory stimuli. Because the machine g high-intensity magnetic fields, no metal objects like pens paperclips can be taken into the examination room. Source: and Sharma, 2004.
FIGURE 4.33
The subtraction method for PET and fMRI. The brain has constant dynamic background we can see a activity. drop inTothe BOLD signal, back remove background activ baseline. ity, the BOLD or PET signal for an Actividad diferenciada Thus, as the oxygen content of blood poin pro experimental task is subtracted, promedio changes in thebyBOLD we can measure point, signal, from a closely-matched con trol task.The Individual of the differ activation indirectly. BOLDscans signal comes Actividad cerebral debido al encesthe are then and produc six seconds after onsetaveraged, of neuronal firing the group average. Source: Posner and experimentorelationship between neural activation and the Raichle, 1997.
fMRI signal is shown in Figures 4.28 and 4.29. Positron emission tomography (PET) was dev much earlier than MRI or fMRI, and provides a
4 R
L
2
Red cortical involucrada en la resolución de problemas de cálculo integral. Talairach Brain region
x
L inferior parietal sulcus (BA 40) !44 L dorsolateral prefrontal cortex (BA 46) !40 !28 !48 L posterior superior parietal lobe (BA 7) !8 !36 L and R precuneus (BA 7 and 9) !8 40 !32 L posterior cingulate (BA 23 and 31) 0 !4 !4
y !56 14 14 21 !71 !71 !72 !72 !80 !33 !38 !30
z z score q(FDR)a 43 43 51 28 59 48 37 37 41 35 20 24
4.29 4.92 4.07 3.99 3.55 4.55 4.89 3.85 4.55 3.45 3.22 3.22
0.008 0.003 0.012 0.014 0.023 0.006 0.003 0.016 0.006 0.026 0.039 0.039
Brodmann’s areas (BA) are depicted in parentheses. The stereotaxic coordinates of the peak voxel of the activation are given in Talairach space. Laterality (right and left hemisphere) and z-scores are also given. a q(FDR) o0.05 with more than10 voxels (3 " 3 " 3 mm3). FDR, false discovery rate.
IGURE 5.5
n
na te
Lu
L
Lu
La t
L
Pars orbitalis
s
sulcus
ael g al S Supetemrpioor rt us er e d i M Sup guylcr us l s a r l o p a p or em r tetm ruslcus er io id aol rgayl su Inf M r tepm r p o o yrus ferr item Irnio ral g o e f p In em ior t Infer
orbitalis
ulcu hip mp s po al g Collateral M ca yrus sule mp cudsial al g occ yr ipito M ed tem us ial o c p c ip ora L atera l gy l oc Oictoctiepm i t r us o p t c e orm ipit L atera a O lpgoyr a l oc ccoipteitm us r o te cip pm orpaol gyusl s u lcs itot r ru u em p oral gya l s uslc ru s
Subcallosal area Subcallosal area
Uncus
Uncus
Rhinal sulcus
Rhinal sulcus
Some important landmarks of the brain in the left hemisphere from a lateral perspective (left panel) and a midsagittal
FIGURE 5.5 Some important landmarks erspective (right panel). Source: Standring, 2005.
of the brain in the left hemisphere from a lateral perspective (left panel) and a midsagittal perspective (right panel). Source: Standring, 2005.
2
8 9
10 10
8 6
4 4 6
9
5 5
46 46 44 44 45
8
40 40
43 43 42 42
99
1919
3939
1818
32
11
47
47
38
21
38
21
17
17
37
37
11
20 5241
(a)
52
The Brodmann classification of regions in the left hemisphere, in a lateralclassification view. Areas 41 52 are FIGURE 5.6 shown The Brodmann ofand regions inindicated the left by lines. shown Some areas, like theview. insulaAreas and auditory region, are tucked emisphere, in a lateral 41 and 52 are indicated away behind the temporal lobe. and auditory region, are tucked y lines. Some areas, like the insula
37
37
34
34
38
17 17 19
19 18 18
28
28
20
20
41
FIGURE 5.6
11
18 18
3030
27 27
25 25
12
12
19 19
2626 2929
38
20
2323
33 33
10 10
7 7
3131
24 24
22 22 11
44
66
7B7B
1 1 2 2 3 3
45
7A 7A
1 12 33 55
35 36
35
36
FIGURE 5.7
The Brodmann classification of regions in the FIGURE 5.7 shown The Brodmann classification of regions in the right hemisphere, in a midsagittal view.
right hemisphere, shown in a midsagittal view.
(b) We can see the major lobes with the naked eye,
We with can see lobes with the and naked eye, along theirthe hillsmajor and valleys, the gyri sulci. along with their and valleys, thewill gyricall and sulci. Some of these arehills so important that we them way behind the temporal lobe. Zonas de Brodman. (a) HemisferioSome izquierdo, (b) Hemisferio derecho of these areneed so important we call them landmarks – we to know that them to will understand everything else. Figure , we them show to some of the landmarks – weInneed to 5.5 know understand front or anterior part of the brainindicadas (shown the left major landmarks that brain 5.5 scientists have some long used else. In Figure , we show of the *Se marcan las zonas en laon diapositiva anterioreverything Figure 5.4 ), we see the frontal lobe. Immediately to identify regionsthat in the brain. These landmarks rontside or of anterior part of the brain (shown on the left major landmarks brain scientists have long are used
04
Diferentes partes del cerebro intervienen en la resolución de procesos matemáticos. Estudios con pacientes afectados por ciertas limitaciones han indicado que los LEA01 3/23/05 10:56 PM Page 11 procesos que se requieren para la realización de cálculos exactos residen en el hemisferio izquierdo en el lóbulo parietal. Una diferente región del cerebro, en el hemisferio derecho, parece tener que ver con la aproximación de números. 3/23/05
11:02 PM
Introduction 11
Page 56
La corteza parietal está críticamente involucrada en representar cómo las cosas están ubicadas en el medio, The Mathematical Brain es56decir la habilidad denominada representación espacial.
Figure 1.5 The brain viewed from its surface. The brain is divided into four lobes: the temporal, frontal, parietal, and occipital lobes. The brain’s outermost surface is known as the cortex.
Referencias scientists all round the world are trying to figure out. But we do know some facts about the brain (see Figure 1.5). Figure 4.1 The Brian parietal cortex, which can be divided into superior (higher) London: and inferior Macmillan. Butterworth, (1999) The Mathematical Brain. The adult brain weighs about 3 pounds (1.4 kg) and contains about 100 billion (lower) sections is involved in spatial manipulations and in arithmetic and number underDehaene, Stanislas (1998) The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics. London:Penguin. standing. brain cells (or neurons—see Figure 1.6). This is a gigantic number of cells.
Normalmente los dos hemisferios del cerebro trabajan de manera conjunta, comparando y procesando la información continuamente. Esta conexión se realiza de manera instantánea mediante el Corpus Callosum, una masa de fibra que se ubica en la parte central del cerebro
Los pacientes con “cerebro separado” son incapaces de comparar números cuando un número se le presenta a un hemisferio y el otro al segundo hemisferio. Ellos no tienen forma de integrar la información. Sin embargo, cuando los números se presentan juntos al specificmismo experiences. lado Evidence del from brain imaging studies is in princicerebro el paciente no tiene dificultad en hacer la comparación. Esto ble to answer these questions. But these studies have yet to be done. muestra que ambos hemisferios son capaces de reconocer y comparar dígitos. Pero cuando las cantidades se muestran con ayuda del lenguaje, el hemisferio derecho no puede wo sides of the brain procesar la información en la comparación de las cantidades.
The corpus callosum is a mass of fibers that lies in the middle of the brain and e two hemispheres, allowing them to communicate with each other instantly and y.
implicating the parietal lobe in calculation, the study of Mr M also sugt the different sides of the brain (the hemispheres) might be responsible nt components of mathematics and quantity. The idea that the two res have different functions is an intriguing possibility that has interntists for many decades. Normally the two sides of the brain work continually comparing and processing information that is transferred side of the brain to the other by a mass of fibers connecting the two res, called the corpus callosum. dy the different sides of the brain, scientists have investigated patients ht and left hemispheres are no longer connected together and thereindependently of each other. Such patients, of whom there are very world, have had their corpus callosum surgically removed or lesioned, as an attempt to cure intractable epilepsy. As a result, their brain is effect into two halves—hence the name split-brain patients. Although the
Estudios de imágenes del cerebro han mostrado que en un cerebro saludable el lóbulo parietal es activado durante el cálculo. Particularmente la parte inferior del hemisferio derecho es activado cuando se comparan, se restan o se suman números. Como mencionamos arriba el lóbulo parietal está críticamente relacionado con la representación espacial. Esto indica que el proceso de cálculo también contiene elementos de representación espacial. La parte inferior del lóbulo parietal es activado también por la multiplicación y la comparación, de hecho su nivel de activación depende la dificultad de la tarea matemática. Durante la multiplicación la activación se corre ligeramente hacia el lado izquierdo, mientras que en la comparación se activan ambos hemisferios, pero con un ligero corrimiento hacia el lado derecho.
De regreso a la educación matemática
Los errores matemáticos ...
Los diez mandamientos del Profesor (según Polya). 1. Demuestre interés por su materia. Si el profesor se aburre, toda la clase se aburrirá. 2. Domine su materia. Si un tema no le interesa personalmente, no lo enseñe. 3. Sea instruido en las vías del conocimiento: el mejor medio para aprender algo es descubrirlo por sí mismo. 4. Trate de leer en el rostro de sus estudiantes, intente adivinar sus esperanzas y sus dificultades. 5. No les deis únicamente "saber", sino "saber hacer", actitudes intelectuales, el hábito de un trabajo metódico. El conocimiento consiste, parte en "información" y parte en "saber hacer".
Los diez mandamientos del Profesor (según Polya) continuación 6. Enseñadles a conjeturar. Primero imaginar, después probar. Así es como procede el descubrimiento, en la mayor parte de los casos. 7. Enseñadles a demostrar. "Las matemáticas son una buena escuela de razonamiento demostrativo". De hecho, la verdad va más allá: las matemáticas pueden extenderse al razonamiento demostrativo, que se infiltra en todas las ciencias desde que alcanzan un nivel matemático y lógico suficientemente abstracto y definido. 8. En el problema que estéis tratando, distinguid lo que puede servir, más tarde, a resolver otros problemas - intentad revelar el modelo general que subyace en el fondo de la situación concreta que afrontáis. 9. No reveléis de pronto toda la solución; dejad que los estudiantes hagan suposiciones, dejadles descubrir por sí mismos siempre que sea posible. 10. No inculquéis por la fuerza, sugerid. Se trata de dejar a los estudiantes tanta libertad e iniciativa como sea posible, teniendo en cuenta las condiciones existentes de la enseñanza.
“Learning begins with actions and perception, proceeds hence to words and concepts and should end in good mental habits. This is the general aim of mathematics teaching, to develop in each student as much as possible the Good Mental Habits of tackling any kind of problem”. [Cómo plantear y resolver problemas,1965.] G. Polya
Esquema: ⊡(X∆Y)= ⊡X ∆ ⊡Y Uso Correcto
Uso Incorrecto
A·(B + C)=A·B + A·C lim (f(x)+g(x)) = lim f(x) + lim g(x)
x→ a
x→a
x→a
d_______________ (f(x)+g(x)) d______ f(x) d______ g(x) + = dx dx dx
log(A+B)=log A+ log B cos(x+y)=cos(x)+cos(y) ∫f(x)·g(x)dx =∫f(x)dx ·∫g(x)dx n
∫(f(x)+g(x)) dx =∫f(x)dx +∫g(x) dx
n
∑
k=1
1 _______ k2 +5k + 6
∑
=
1 k=1 ___________ n k2 +5k + 6 k=1
∑
Ejemplo de cómo el uso indiscriminado de un esquema que es exitoso en algunos casos puede conducir a errores en otros casos. Aliciente para el pensamiento crítico y el discernimiento analítico
Ejemplo: TOME EN CUENTA CUIDADOSAMENTE LOS DATOS DADOS ANTES DE RESOLVER EL PROBLEMA. LA FIGURA PUEDE NO ESTAR A ESCALA. En la figura, si el área del triángulo BCE es 8, ¿cuál es el área del cuadrado ABCD? A B 30o
60o
D
E
C
Correctas)
Error)1)
Error)2)
Error)3)
2)
20)
8)
11)
5%)
49%)
19%)
27%)
Error)1:)Aplica)la)fórmula)de)área)de)un)triángulo,)pero)no)correctamente).) Error)2:)Área)pedida)equivale)al)doble)del)área)del)triángulo.) Error)3:)Agrega)variables)para)resolver)las)medidas)del)triángulo)especial,) pero)no)logra)obtener)un)resultado)correcto) *A diferencia de la variabilidad en la frecuencia de los errores 1 y 3 el error 2 es muy persistente y regular
Matemática Experimental (J. Borwein, D. Bailey 2004):
• Reconoce el valor de la exploración experimental de conjeturas. • Permite la adopción de procedimientos informales. • Incentiva el estudio cuidadoso de los resultados de la experimentación
para validar las conjeturas hechas y para la búsqueda de posibles vías de demostraciones formales. • Estimula el empleo inteligente de herramientas computacionales con valor práctico y epistémico.
J. Borwein, D. Bailey. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century, A. K. Peters, Natick, Massachucetts (2004). * La búsqueda de nuevas metodologías de enseñanza/aprendizaje para implementar el decálogo de Polya, nos condujo a la matemática experimental que nos sugiere “alimentar” la experiencia matemática previo introducir definiciones, teoremas, corolarios..... Se alienta que el alumno conjeture, sin embargo frecuentemente la inexperiencia matemática del estudiante lo conduce a conjeturas muy alejadas de las plausiblemente adecuadas. “Nuevas metodologías implican nuevos errores”
Ejemplo: Conjeture con ayuda de la calculadora la regla de diferenciación el producto (en este caso,a el producto de un Try to find apara general rule for differentiating product Try find general ruletrigonométrica). for differentiating of ato polynomial with trigonometric function.a product polinomio conauna función of a polynomial with3trigonometric function.
7 x3 2 x cos x 7 x 2 x cos x
The students not only ignored the basic principles of The students not onlybut ignored basic principles of a algebraic structures, ratherthe they didn't also adopt algebraic structures, rather they didn't also adopt athe en el centro. Conjetura propuesta: Derivar los extremos, invertir restar y colocar critical position beforebut giving their answer. They threw critical position before their answer. They threw the first thing that came to giving mind without thinking for an instant first that came to mind without forbásicos an instant that thing theirno answer could be mistaken. Los estudiantes solamente ignoraron los thinking principios de las estructuras that their could no be adoptaron mistaken. un Pensamiento Crítico antes de dar algebraicas, sino answer que además una respuesta. Ellos expresaron lo primero que se les vino a la mente sin dudar por un instante acerca de la validez de su conclusión.
La fórmula
Ejemplo: k
ula
d x
d x
k
kx
dx
k 1
es incorrecta
es incorrecta k d x dx fórmulak correcta Dada la constante se tiene:es: dx k d x traria. k 1 correcta es: kx si k es una constan dx frecuente Un error es el siguiente: error bastante común es:
kx
k 1
astante común es:
x
x 1
kx
k 1
x
x
si k es un
xx
x 1
x
x xx x Posible explicación:
a la mayoría de los estudiantes la matemática es como un idi sitan su atención en la parte que más “extranjera” – la fórmu explicación: está en español y por tanto no destaca lo Posible explicaciónconstate (dada arbitraria” por un colega): ía de los estudiantes la matemática es como un idioma extranjer Para la mayoría de los estudiantes la matemática es como un idioma ecordada. tención en la parte que más “extranjera” – la fórmula. La frase “k extranjero y depositan suexplicación atención en la parte más “extranjera” –hecho la fórmula. factible puede hallarse en el de que los e rbitraria” está en español y por tanto no destaca lo suficiente pa La frase “ Dada la constante k y” mecanizan está en español y por tanto por no destaca lo orizan las operaciones falta de madurez. suficiente para ser recordada. ón factible puede hallarse en el hecho de que los estudiantes mecanizan las operaciones por falta de madurez.
Clasificación de los errores: 1. Errores debido a dificultades de lenguaje; para muchos alumnos un problema similar al aprendizaje de una lengua extranjera. 2. Errores derivados del mal uso de los símbolos y términos matemáticos, debido a su inadecuado aprendizaje. 3. Errores debido a dificultades para obtener información espacial. Errores provenientes de la producción de representaciones icónicas (imágenes espaciales) inadecuadas de situaciones matemáticas. 4. Errores debidos a asociaciones incorrectas o a rigidez del pensamiento. La experiencia sobre problemas similares puede producir una rigidez en el modo habitual de pensamiento y una falta de flexibilidad para codificar y descodificar nueva información. Los alumnos continúan empleando operaciones cognoscitivas aún cuando las condiciones originales se hayan modificado. Están inhibidos para el procesamiento de nueva información. En general son causados por la incapacidad del pensamiento para adaptarse a situaciones nuevas. Interesan cinco subtipos: a. Errores por perseverancia, en los que predominan elementos singulares de una tarea o problema. b. Errores de asociación, que incluyen razonamientos o asociaciones incorrectas entre elementos singulares. c. Errores de interferencia, en los que operaciones o conceptos diferentes interfieren con otros. d. Errores de asimilación, en los que una audición incorrecta produce faltas en la lectura o escritura. Cuando la información es mal procesada debido a fallas de percepción. e. Errores de transferencia negativa a partir de tareas previas. 5. Errores debidos a la aplicación de reglas o estrategias irrelevantes. Surgen con frecuencia por aplicar con éxito reglas o estrategias similares en áreas de contenidos diferentes. El razonamiento por analogía sabemos que no siempre funciona en Matemática. 6. Falta de verificación en la solución. Son los errores que se presentan cuando cada paso en la realización de la tarea es correcto, pero el resultado final no es la solución de la pregunta planteada.
Rico, Luis (1995). Errores en el aprendizaje de la Matemática. En Kilpatrick Jeremy, Gómez Pedro y Rico Luis (Editores) Educación Matemática. México: Grupo Editorial Iberoamérica, pp. 69 – 108.
Esteley – Villarreal (1990, 1992, 1996) realizaron una clasificación de errores en matemática y discutieron las siguientes categorías: A. Errores al operar con números reales en cálculos, planteo y resolución de ecuaciones. B. No empleo o uso parcial de la información. C. No verificación de resultados parciales o totales que se manifiesta en: desconexión entre lo analítico y lo gráfico, respuestas consecutivas incoherentes entre sí y no comprobación de que los resultados obtenidos satisfacen la o las ecuaciones originales. D. Empleo incorrecto de propiedades y definiciones (de números o funciones). E. No verificación de condiciones de aplicación de teoremas, definiciones, etc. en un caso particular. F. Deducción incorrecta de información o inventar datos a partir de la dada. G. Errores de lógica: justificaciones inadecuadas de proposiciones y uso inadecuado del lenguaje. H. Errores al transcribir un ejercicio a la hoja de trabajo.
Astolfi (1999) describe la siguiente tipología de los errores: 1. Errores debidos a la redacción y comprensión de las instrucciones. 2. Errores resultado de los hábitos escolares o de una mala interpretación de las expectativas. 3. Errores como resultado de las concepciones alternativas de los alumnos. 4. Errores ligados a las operaciones intelectuales implicadas. 5. Errores en los procesos adoptados. 6. Errores debidos a la sobrecarga cognoscitiva en la actividad. 7. Errores que tienen su origen en otra disciplina. 8. Errores causados por la complejidad propia del contenido.
Esteley, C.; Villarreal, M. (1990). Categorización de errores en Matemática. XIII REM. San Luis Esteley, C.: Villarreal, M. 1992. Análisis y Categorización de errores en Matemática. XV REM. Tandil. ESTELEY, C. Y VILLARREAL, M. 1996. Análisis y Categorización de errores en Matemática. Revista de Educación Matemática. Volumen 11. No 1. (16␣35). Universidad Nacional de Córdoba. Córdoba. Astolfi, J. P. (1999). El "error", un medio para enseñar. Díada Editora. Sevilla.
Si bien el error puede tener procedencias diferentes, generalmente tiende a ser considerado como la presencia de un esquema cognoscitivo inadecuado en el alumno y no solamente como consecuencia de una falta específica de conocimientos. Es de destacar que los errores no aparecen por azar sino que surgen en un marco conceptual consistente, basado sobre conocimientos adquiridos previamente, y todo proceso de instrucción es potencialmente generador de errores, debido a diferentes causas, algunas de las cuales se presentan inevitablemente (Marcel D. Pochulu) Asimismo, los profesores aducen que muchas veces los alumnos leen un enunciado – casi siempre en forma incompleta – y quieren tener la respuesta en forma instantánea. Si no la obtienen en pocos segundos, recurren de manera inmediata al docente o a un compañero que sabe resolver la situación. Gómez (1995) explica que esta actitud del estudiante tiene una causa natural, puesto que el profesor resuelve un ejercicio y la solución se presenta “en limpio”, sin que haya la menor indicación del proceso “de borrador” por medio del cual se llegó a la misma. En consecuencia, el estudiante piensa que él también debe encontrar la solución “en limpio” y no es consciente de que, para solucionar un ejercicio, debe tener un método o estrategia adecuada, por lo que busca atajos. Estos atajos lo desvían del camino apropiado y lo inducen a cometer errores. Al mismo tiempo, también es frecuente ver que en muchos casos los alumnos desean saber simplemente el algoritmo que permite resolver un ejercicio, sin preocuparse por los conceptos subyacentes o las ideas involucradas en el tema. Cuando estas ideas son explicadas, es común observar que los alumnos se "desconectan" dejando pasar ese ruido molesto (la voz del docente) y esperan la llegada del momento en que se les dice “cómo se hace”, “cuál es la receta”, en tanto perciben a la Matemática como un conjunto fijo de conocimientos pulidos y acabados.
Marcel David Pochulu, Análisis y categorización de errores en el aprendizaje de la matemática en alumnos que ingresan a la universidad. Universidad Nacional de Villa María, Argentina.
Los errores surgen en la clase generalmente de manera espontánea y 1. sorprenden al profesor. 2. Son persistentes, particulares de cada individuo y difíciles de superar porque requieren de una reorganización de los conocimientos en el alumno. 3. Predominan los errores sistemáticos (revelan los procesos mentales que han llevado al alumno a una comprensión equivocada, en general, son resultado de concepciones inadecuadas de los fundamentos de la Matemática, reconocibles o no reconocibles por el profesor) con respecto a los errores por azar u ocasionales. 4. Los alumnos en el momento no toman conciencia del error. 5. Algunos errores se gestan en la comprensión o el procesamiento que hace el alumno de la información que da el profesor. Los alumnos recrean o inventan su propio método en base al método descrito por el profesor.
Mulhern, G. (1989). Between the ears: Making inferences about internal proceses. En Greer, B. & Mulhern, G. (Eds.). New Directions in Mathematics Education. Routledge. Londres. Sacado del artículo: “LOS ERRORES EN EL APRENDIZAJE DE MATEMÁTICA”,
Adriana Engler, María Inés Gregorini, Daniela Müller, Silvia Vrancken y Marcela Hecklein. Facultad de Ciencias Agrarias - Universidad Nacional del Litoral Argentina Santa Fe (Argentina)
Reglas Intuitivas Tirosh y Stavy (1999) declaran haber observado que los estudiantes reaccionan de manera similar ante una amplia variedad de problemas conceptualmente distintos, pero que comparten ciertas regularidades externas. Estas observaciones les permitieron establecer lo que denominaron “Reglas Intuitivas” tales como:
“More of A – More of B”, “Same A – Same B”, “Everything can be divided”, “Over-generalized linearity” Ben-Zeev T.(1996), When erroneous mathematical thinking is just as ““correct””. The oxymoron of rational erros. In The nature of mathematical Thinking, p55, Edited by R. J. Stemberg, T. Ben-Zeev, Lawrence Eribaum Associates, Inc. Tirosh D. & Stavy R., (1999). Intuitive rules: A way to explain and predict students’ reasoning. Educational Studies in Mathematics. 38: 51-66. * La denominada escuela de Israel publicó numerosos artículos explotando la idea de las reglas intuitivas. Reglas que poseen un alto grado de predicción del desempeño matemático de los estudiantes. Estas reglas destacan la atención selectiva del estudiante a ciertos estímulos y distractores que condicionan el desempeño matemático
3x 7 x 6 xx 66 plificación no distributiva: Ejemplo 22 Ejemplo Ejemplo 2 2 do es aditivo o regla intuitiva “Sobre-generalización do es aditivo o regla intuitiva “Sobre-generalización 3 x 7 2 x 9 x 1 2x 9 x Regla intuitiva: Over generalized linearity f x nealidad”: nealidad”: 3 x 7 x3 6 3 aa bb
9
x
x
3
bb
2 22 Ejemplo 22
utiva: 2
aa
1
6
22
sinesaaaditivo b 2osin sin a intuitiva sin bb “Sobre-generalización sin b a sin do regla 2x 9 x 1 nealidad”: ff xx yy ff xx a b3 a b
a xb 6 a b a b a b 2 2 2
sin a b sindea intuitiva “Sobre-generalización
a b 1
sin b
b
x 6 11 11 11 xx yy xx yy
x
f x y
y
1 x
f x
1 y
a
f y
1
sin b
b
x
f x y
y
1 x
f x
1 y
Ejemplo Regla intuitiva: “Same A – Same B” Consideremos un pentágono y un hexágono. Todos los lados del pentágono son iguales, todos los lados del hexágonos son iguales. Los lados del pentágono son iguales a los lados del hexágono. Indique la respuesta correcta:
1 es of mayor que of el the ángulo 2 nsider a pentagon andElaángulo hexagon. Allthe sides entagon and a hexagon. All sides El ángulo esare mayor queare el ángulo ntagon areAllequals. Allthe sides of 2the hexagon equal.1 e equals. sides of hexagon equal. eheside of the pentagon equal of the 2 pentagon is equal to the side ofthe theside Elisángulo 1to es igual al ángulo Es imposible de determinar xagon.
your answer: wer:
is greater than Angle than 2. Angle 2.
is greater than Angle than 1 Angle1 1
1
2
2
is equal angle 2. to angle 2.
ossible to determine. determine.
Intuitive rule:A –“Same Intuitive rule: “Same SameAB”– Same B”
Findrthe intersection points. r cos sin These equations represent two circles (see figure). section points. Ejemplo con TIC : Regla intuitiva: “Same A – Same B” The answer offered by students Find the intersection points. TheConsider answer offered bycurves students isinthat These equations represent circles (see figure). thetwo following curves polar coordinates: Consider the following in polar coordinates: The answer offered by students is that these two points can be obtained The answer offered by students is that these two points can be obtained if the Find the intersection points. equations of both curves are equ r cos r sin r cos r sin these two points can be obtained if the these two points can be obtained if the equations of both curves are by equated. The answer offered students isthe thatequation: cos Solving s equations ofare both curves are equated. Solving the equation: equations of both curves equated. These equations represent two circles (see figure). These equations represent two circles (see figure). these two points can be obtained ifthat: the we find Solving the equation: cos sin Find the intersection points. Find the intersection points. we find that: of both curves are equated. Solving the equation: equations cos sin we findSolving that: the The The answer offered by students is that answer offered by students is that equation: cos sin k , k we find that: these two points canobtained be obtained these two points can 4be if theif the we find that: k , equations k equations of both curves are equated. of both curves are equated. 4 ? For k 0 we obtain one of the Solving the equation: ? kSolving , kthe equation: sin cos cos sin given intersection points, by: ? For k 0 we one of the 4 obtain we that: find that: we find intersection by:one of the 2 ? For kpoints, wegiven obtain 0 r, , For k 0 we obtain intersection one of the k , k k , by:k 2points, given 2 4
4
k ,
k
r , by: , 4 4 intersection points, given 2 4 2 ? For we obtain of the r , For k ,0k we0 obtain ? one one of the
2
2 4 points, intersection points, given by: intersection given by: Estudiantes e r incluso algunos profesores expresaron usando su intuición 2 valor de k se 2 (procesos relacionados con el sistema S1) que para ralgún otro r, , , , obtendrá el otro punto de intersección situado en el polo. 2 42 4 Un error bastante común es asociar los puntos de intersección de las gráficas de curvas con los puntos obtenidos al igualar sus ecuaciones. Si bien esto es cierto en coordenadas cartesianas no siempre lo es en coordenadas polares, donde debe distinguirse la diferencia entre curvas que se “cortan” y curvas que se “cruzan”, es decir, curvas que pasan por un mismo punto, pero en diferentes momentos.
j
p
Más ejemplos de errores frecuentes:
plificación no distributiva: f x
3x 7 2 x 9
x
2
1
2x 9
x
2
1
3
3 3x 7 x 6 x 6 do es conmutativo: ksin 3x 3sin x d x Ejemplo 2 La fórmula log kxx k 1 log es xincorrecta dx do es aditivo o regla intuitiva “Sobre-generalización de f x dx g x dx nealidad”:f x g x dx k d x k 1 correcta es: 1 1 1 a b fórmula a b kx si k es una constan emplo 4 ¿Es –x un número negativo?. 2 2 2 dx p x y x y traria. depende algunos sinvidentemente a xb sin a xdel sinvalor b xde x. sin embargo x Hay quexdestacar 1 x studiantes lo asumen como número negativo. error x xx x y ybastantey común yes:
ue este tipo 1 a un nivel 1 de 2error ocurre f2 xsubconsciente. y f x La mayor f y e los estudiantes reconocen rápidamente su error si llamamos l explicación: tención Posible sobre esto. Otra posible causa está en la manera que se sible ee explicación: “menos x” que indica “x negativa”. Esta dificultad a la mayoría de los estudiantes la matemática es comocausa un idioma extranjer sitan su atención en la partese que más “extranjera” – la fórmula. La frase “k roblema al principiante cuando enseña la definición del multiplicación esarbitraria” conmutativa, porytanto lanomayoría constate está en español por tanto destaca lo suficiente pa módulo:
a b
a
b
Ejemplo:
¿
La figura muestra un error extraído de una evaluación de álgebra correspondiente al primer año de ingeniería. Para salir del “atasco” el alumno creó un nuevo algoritmo y después continuó tratando de observar los pasos “correctos”.
Observaciones empíricas sobre las regularidades de los errores en el aprendizaje de la matemática* ✓
Los errores parecen ser sistemáticos, persistentes y estar basados en reglas en lugar de ser aleatorios. ✓
El número de errores durante una evaluación se incrementa si existe presión de tiempo. ✓
Cuando los estudiantes que quedan atascados frente a un problema a menudo “inventan” sus propios algoritmos para sortear el obstáculo, pero tratando de conservar ciertas reglas generales en principio correctas. ✓
Los estudiantes extrapolan conocimientos y procedimientos de otras áreas que son incompatibles con la resolución del problema dado. ✓
Los estudiantes ignoran datos importantes y fijan su atención en atributos irrelevantes, hacen asociaciones incorrectas, responden rápidamente sin pensar y sin valorar las consecuencias de su respuesta, no comprueban la veracidad de esta, ni se cuestionan si el procedimiento empleado es adecuado. ✓
Los estudiantes con frecuencia “olvidan” el conocimiento ya pasado y evaluado.
*Borasi R.(1996). Reconceiving Mathematics Instructions: A focus on Errors. Ablex, Publishing Corporation, Norwood, NJ. *Confrey J., (1990). A review of research on student conceptions in mathematics, science and programming, C. Cazden (Ed.), Review of Research in Educations 16, Washington, DC; American Education Research Association, pp. 3 – 56. *Rico, L (1995) Errores en el aprendizaje de la Matemática. En Kilpatrick Jeremy, Gómez Pedro y Rico Luis (Editores) Educación Matemática, México. Grupo Editorial Iberoamérica, pp 69 - 108
“Si cerráis la puerta a todos los errores, también la verdad se quedará fuera.” Rabindranath Tagore.
Preguntas: ✓ ¿Por qué son frecuentes los errores en los procesos de enseñanza/aprendizaje? ✓¿Por qué existen patrones comunes y reglas en la forma en qué se cometen errores ? ✓¿No existirá una forma más eficiente de aprender/ enseñar?
Un hecho fundamental proveniente de la Neurociencia y las Ciencias Cognitivas: ✓Recientes investigaciones en Neurociencia* han evidenciado el re-uso de circuitos o zonas del cerebro en el procesamiento matemático. La actividad matemática comparte muchos de los mismos circuitos con los que el individuo resuelve problemas de la vida cotidiana.
✓Las Ciencias Cognitivas ** parecen confirmar este hecho destacando que los objetos y estructuras matemáticas son conceptualizados con el uso de los mismos procesos cognitivos que el individuo emplea para interiorizar otros conceptos no necesariamente matemáticos. Entre estos procesos se nombran: las analogías, asociaciones, esquemas de imágenes (image schemas), metáforas conceptuales, paradigmas, etc. * Dehaene S. (2011). The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics, Oxford University Press. ** Lakoff, G., & Núñez, R. (2000). Where mathematics comes from: How the embodied mind brings mathematics into being. New York, NY: Basic Books.
Causas y orígenes de los patrones de errores. Algunas explicaciones plausibles sobre la existencia de regularidades : a)
Los conceptos matemáticos no son asimilados o interiorizados de la manera “matemáticamente correcta”. La manera matemática en que se dan las definiciones, teoremas, lemas, etc., no es precisamente intuitiva o autoevidente. b)
Muchos conceptos matemáticos son memorizados para las evaluaciones no siempre de la manera correcta y después son simplemente olvidados en un mecanismo natural de la mente cuando no se emplean con la frecuencia necesaria, dando lugar a una especie de “conocimiento desechable”. c)
Algunos conceptos matemáticos entran en contradicción con experiencias adquiridas y frecuentemente usadas por el individuo. d)
Muchos de los errores matemáticos ocurren de manera involuntaria y pueden ser el resultado de estrategias heurísticas aprendidas, probadas con anterioridad y repetidas indiscriminadamente por el estudiante en la resolución de problemas. Muchas de estas estrategias son adquiridas desde la niñez. e)
Los problemas matemáticos cuentan con atributos o “salientes” que hacen disparar ciertas respuestas rápidas y automáticas de la mente. Esto ocurre tan rápidamente que el individuo no se da cuenta de que puede estar respondiendo a otro problema distinto al planteado originalmente. f)
Algunos datos importantes del problema, son ignorados o reemplazados por otros que vienen más rápido a la mente.
La explicación más simple (La navaja de Ockham) En todos los casos lo común es el ser humano resolviendo un problema complejo o tomando una decisión con el cerebro/mente como herramienta. Por tanto, las regularidades encontradas en última instancia podrían ser provocadas por dos hechos básicos, que pueden aparecer simultáneamente o por separado:
✓
La manera automática/heurística con que frecuentemente la mente procesa la información.
✓
La conceptualización inadecuada/parcial de objetos abstractos.
Marco teórico: “Dual Process Theory” [1], “Pensamiento Metafórico” [2] “Global Neuronal Workspace Model” [3], Las dos primeras teorías tienen que ver con la manera en que se procesa la información, la asimilación y organización de los conceptos matemáticos, mientras que la tercera es una confirmación desde las neurociencias del carácter semiautomático o inconciente de mucha de la actividad cerebral. [1] Kahneman, D., (2002) Nobel Prize Lecture, December 2002, http://www.nobel.se/economics/laureates/2002/ kahnemannlecture.pdf [2] Lakoff, G., & Núñez, R. (2000). Where mathematics comes from: How the embodied mind brings mathematics into being. New York, NY: Basic Books. [3] Dehaene S., Naccache L., (2001). Towards a cognitive neuroscience of consciousness: basic evidence and a workspace framework. Cognition 79, 1 -37
Las heurísticas de la mente y los límites a la racionalidad. Ejemplo 1
En un lago, hay un parche de lirios flotando. Todos los días, el parche duplica sus dimensiones. Si toma 48 días para que el parche cubra el lago por completo, cuanto le tomaría al parche cubrir la mitad del lago?
Respuesta Intuitiva: 24 días
Ejemplo 2
Respuesta: 47 días
Indique la validez del siguiente razonamiento lógico:
Todas las rosas son flores Algunas flores se marchitan pronto Luego algunas rosas se marchitan pronto Respuesta intuitiva: Correcto
Respuesta: Incorrecto
Ejemplo 3 Le toma a 5 máquinas 5 minutos para hacer 5 piezas, ¿Cuánto tiempo le toma a 100 máquinas hacer 100 piezas? Respuesta Intuitiva: 100 minutos Respuesta: 5 minutos
Ejemplo 4 Un bate y una pelota cuestan juntos $1.10. Si el bate cuesta 1$ más que la pelota, ¿Cuánto cuesta cada uno? Respuesta Intuitiva:
El bate cuesta $1.00 y la pelota 10 centavos Respuesta: El bate cuesta 1.05$ y la pelota 5 centavos “People are not accustomed to thinking hard, and are often content to trust a plausible judgment that quickly come to mind", D. Kahneman* *MAPS OF BOUNDED RATIONALITY: A PERSPECTIVE ON INTUITIVE JUDGMENT AND CHOICE Prize Lecture, December 8, 2002 by DANIEL KAHNEMAN* Princeton University, Department of Psychology, Princeton, NJ 08544, USA.
!
T
o T
T
o
o
T
T
!
o
o T
T
o
Conflict detection system
Detección de conflictos
o
La corteza prefrontal derecha lateral/dorsal (BA 45, 46) es activada durante la detección de conflictos ( sistema S2). Por ejemplo el siguiente argumento lógico: "Todas las manzanas son frutas rojas. Todos los frutos rojos son venenosos: Todas las manzanas son venenosas La respuesta lógica es the correct logical answer is "valido"/"verdadero", pero la conclusión es inconsistente con nuestro mundo conocido, lo que resulta en un conflicto creencia/lógica. (Reproducido de Goel et al.(Goel & Dolan, 2003))
T
T
o
o
!
A
B
(A) El razonamiento sobre un material familiar ( Todas las manzanas son frutos rojos; Todos los frutos rojos son nutritivos: Todas las manzanas son nutritivas activa el sistema frontal izquierdo (BA 47) y el sistema temporal (BA 21/22). (B) El razonamiento sobre material no familiar (Todo A es B; Todo B es C; Todo A es C) activa de manera bilateral los lóbulos parietales (BA 7, 40) y la corteza prefrontal dorsal (BA 6). (Reproducido de Goel et al. (Goel et al., 2000))
La mente en muchos casos puede trabajar de manera automática, sin esfuerzo
C13R70 ¿Podrías leerlo?
C13R70 D14 D3 V3R4N0, 3574B4 3N L4 PL4Y4 0853RV4ND0 A D05 CH1C45 8R1NC4ND0 3N 14 4R3N4, 357484N 7R484J484ND0 MUCH0 C0N57RUY3ND0 UN C4571LL0 D3 4R3N4 C0N 70RR35, P454D1Z05 0CUL705 Y PU3N735. CU4ND0 357484N 4C484ND0 V1N0 UN4 0L4 D357RUY3ND0 70D0 R3DUC13ND0 3L C4571LL0 4 UN M0N70N D3 4R3N4 Y 35PUM4... P3N53 9U3 D35PU35 DE 74N70 35FU3RZ0 L45 CH1C45 C0M3NZ4R14N 4 L10R4R, P3R0 3N V3Z D3 350, C0RR13R0N P0R L4 P14Y4 R13ND0 Y JU64ND0 Y C0M3NZ4R0N 4 C0N57RU1R 07R0 C4571LL0. C0MPR3ND1 9U3 H4814 4PR3ND1D0 UN4 6R4N L3CC10N: 64574M05 MUCH0 713MP0 D3 NU357R4 V1D4 C0N57RUY3ND0 4L6UN4 C054 P3R0 CU4ND0 M45 74RD3 UN4 0L4 LL1364 4 D357RU1R 70D0, S010 P3RM4N3C3 L4 4M1574D, 3L 4M0R Y 3L C4R1Ñ0, Y L45 M4N05 D3 49U3LL05 9U3 50N C4P4C35 D3 H4C3RN05 50NRR31R.
NU357R4 M3N73 R3C0N57RUY3 3L 73X70 51N 4P4R3N73 35FU3RZ0
La Teoría de Procesos Duales (La manera automática e heurística con que frecuentemente la mente procesa la información)
Los procesos S1 están caracterizados por ser rápidos, automáticos, ocurren sin esfuerzos, inconscientes e inflexibles (difíciles de cambiar o evitar, pueden ser mediados por el lenguaje). Los procesos S2 son lentos, ocurren con esfuerzo, son conscientes y relativamente flexibles. Los dos sistemas difieren principalmente en la dimensión de la accesibilidad: cuan rápido y cuan fácil los pensamientos llegan la mente. Los sistemas S1 y S2 a grandes rasgos corresponden a nuestras nociones comunes de intuición y razonamiento. Estos sistemas operan en diferentes formas y son activadas por diferentes partes del cerebro y tienen diferentes orígenes evolutivos (S2 es de reciente evolución y de hecho refleja en gran medida la evolución cultural)
Percepción
Procesos
Contenidos
Intuición Sistema 1
Rápidos Paralelos Sin esfuerzo Aprendidos lentamente Emocionales
Percepciones Estimulación momentánea Estímulo-acotada
Razonamiento Sistema 2 Lentos En Serie Controlados Requieren esfuerzo Gobernados por reglas Flexibles Neutrales
Representaciones conceptuales Pasado, Presente y Futuro Puede ser evocado por el lenguaje
¿Qué relación existe entre la Teoría de Procesos Duales y los errores matemáticos?. El estudiante frente a un problema matemático que aún no sabe resolver puede hacer asociaciones incorrectas, él no puede controlar estas asociaciones, pues son reacciones internas ante estímulos externos que se disparan de manera semiconsciente y por lo general responden a procesos normales de adaptación S1 que pretenden disminuir la explosión de información que el cerebro debe procesar para resolver un problema complejo. El comportamiento dual da cuenta además de la falta de pensamiento crítico. Frecuentemente los estudiantes asumen que su respuesta es correcta sin activar los procesos reguladores característicos del sistema S2. Cuando esto ocurre no surge la duda. La duda está relacionada con la existencia de pensamientos incompatibles sobre un mismo tema y en el modo S1 únicamente una opción alcanza a ser representada.
El modelo de escrutinio selectivo. Usando técnicas de fMRI, Goel y Dolan (2003) hallaron que diferentes áreas del cerebro son activadas cuando los problemas se resuelven con el uso de “bias” o cuando se emplean argumentos lógicos. Esto se ha interpretado como una evidencia que apoya el modelo de “Escrutinio Selectivo”, basado en el marco de la teoría de los procesos duales (Evans, 2003, Stanovich, 2004).
Respuesta directa basada en heurísticas
No
Si
Análisis lógico. ¿Puede la conclusión obtenerse lógicamente de las premisas?
Solución al problema
Solución al problema
Goel, V., and Dolan, R. J. (2003). Explaining modulation of reasoning by belief. Cognition, 87, B11-B22.
Metáforas conceptuales. (La conceptualización de las definiciones y objetos abstractos.)
✤ Las metáforas son la base de la lingüística
cognitiva, en Lakoff, G., & Johnson, M. 1980 se indica que la semántica refleja la estructura conceptual y a su vez la estructura conceptual se deriva de la cognición corporal (embodied cognition). Similarmente, en matemática las metáforas conceptuales activan distintas facetas ya interiorizadas de la experiencia corporal cotidiana para captar la esencia del objeto matemático de estudio Lakoff y Nuñez 2000.
✤Mediante las metáforas, el sujeto transfiere la estructura de un dominio fuente (source domain), al dominio target (target domain) que conceptualiza.
✤Las
metáforas pueden ser del tipo “grounding” o del tipo “linking”. En el primer caso el dominio fuente está relacionado con conocimientos fuera del ámbito matemático, es concreto, más simple y accesible y se utiliza para asimilar conceptos más abstractos y menos accesibles del dominio target. Mientras que en el segundo caso las metáforas son aquellas donde tanto el dominio fuente como el target radican en la matemática misma.
Ejemplos: El conjunto matemático es un contenedor (Metáfora de tipo “grounding”) Un espacio vectorial de dos dimensiones es un plano (Metáfora de tipo “linking”) Lakoff, G., & Johnson, M. (1980) Metaphors we live by. Chicago, IL: Chicago University Press. Lakoff, G., & Núñez, R. (2000). Where mathematics comes from: How the embodied mind brings mathematics into being. New York, NY: Basic Books.
¿Qué relación tienen las metáforas conceptuales con las regularidades en los patrones de errores matemáticos? Tres hechos básicos están directamente relacionados con la regularidad, frecuencia y persistencia de los errores matemáticos considerados más arriba. Las transformaciones metafóricas:
✓ ✓
Se ejecutan de manera automática o inconsciente.
Son mecanismos universales propios del pensamiento e independientes de las posibles diferencias entre los individuos. ✓ Son procesos mediante los cuales se asimilan y se organizan los conceptos abstractos.
Las metáforas más simples se interpretan mediante Analogías En el proceso de resolución de un nuevo problema (problema target) por analogía el estudiante recupera un problema similar que con anterioridad resolvió exitosamente (problema fuente) y procede a establecer un “mapping” entre los dos problemas para poder llegar a la solución* El objetivo final del “analogical mapping” en matemática es la inducción de un “schema” o un conjunto de reglas que relacionan las estructuras de los problemas fuente y target. Si la analogía entre la fuente y el target resulta ser exitosa la estructura declarativa se convierte en procedimientos para generar reglas, que a su vez permiten ser más eficientes en futuros problemas, en los que la solución no se busca desde el principio** Hay al menos dos maneras en que las analogías pueden conducir a errores: 1. Los estudiantes pueden emplear problemas fuentes inadecuados. II. El “analogical mapping” se realiza de manera inadecuada.
Ejemplo: Fuente A·(B + C)=A·B + A·C
Schema o regla
⊡(X∆Y)= ⊡X ∆ ⊡Y
Target
√(A+B) =√A+√B
Operadores no especificados
* Genter D. (1983) Structure - Mapping: Theoretical framework. Cognitive Science, 7, 155 - 170 *Holyoak and Thagard (1989) Analogical mapping by constraint satisfaction. Cognitive Science, 13, 295 - 355. ** Anderson, J. R. 1993, Rules of the mind, Hillsdade, NJ: Lawrence Eribaum Associative.
Ejemplo: Schema
⊡(X∆Y)= ⊡X ∆ ⊡Y Aplicación errónea de schema. El problema fuente no es el adecuado
n
n
∑
k=1
1 _______ k2 +5k + 6
Te∑ 1 =
k=1 ___________ n k2 +5k + 6 k=1
∑
Ejemplo: (Factorización y Raíces) Problema Fuente
(x-n)(x-m)=0
x-n = 0 ⋁ x-m= 0
x=n⋁x =m
Aplicación errónea en el Problema Target:
(x-n)(x-m)=K
x-n=K ⋁ x-m=0
El estudiante puede haber aprendido “correctamente” la regla
a·b=0
x=K+n ⋁ x = K+m a=0⋁b=0
Para a y b variables con valores numéricos Sin embargo, frecuentemente la frase bajo los símbolos es menospreciada. (Después de todo el “schema” debe ser simple, lo más parecido posible a una “fórmula”) Esto se convierte en un problema en algunos casos como por ejemplo:
A･B=0 A∩B=
A y B son matrices y 0 es la matriz nula A y B son conjuntos y
es el conjunto vacío
“Image Schemas” Investigaciones en lingüística cognitiva indican que las relaciones espaciales en los idiomas se descompone en primitivas conceptuales denominadas “image schemas” que resultan ser universales. Por ejemplo: “el libro está sobre la mesa” se compone en tres image schemas: ARRIBA (ABOVE) CONTACTO (CONTACT) APOYO (SUPPORT)
la oración anterior indicaría entonces que el libro está arriba de la mesa, en contacto con ella y apoyado en ella. El schema ARRIBA es de orientación, específica una orientación en un espacio relativo al campo gravitacional que sentimos en nuestro cuerpo. El schema CONTACTO es uno de los schemas topológicos que indica la ausencia de separación entre dos superficies. El schema APOYO es de naturaleza fuerza-dinámica e indica la dirección y naturaleza de la fuerza. Uno de los schemas comunes más empleados en matemática es CONTENEDOR (CONTAINER). Este schema tiene tres partes: interior, exterior y frontera. Esta estructura forma un todo (gestalt) de modo que las partes no tienen sentido sin el todo. Las “image schemas” son ambas conceptuales y perceptuales y permiten construir un puente entre el razonamiento, el lenguaje y la visión.
Objetivo Schema: FUENTE-TRAYECTO-OBJETIVO Vehículo Fuente
Trayectoria
B
A x
y
(SOURCE-PATH-GOAL) En matemática usamos expresiones tales como: ... alcanzando el mínimo en cero Dos rectas se encuentran en el punto P
Schema: CONTENEDOR
Usted no tiene que deducir que si el contenedor A está dentro del contenedor B y x está en el interior de A entonces x está en el interior de B. Esto es autoevidente de la imagen. Los schemas tienen una lógica espacial, pueden usarse como conceptos espaciales o directamente como razonamientos espaciales.
Metáforas Conceptuales y Conjuntos. Los conceptos más abstractos son típicamente comprendidos, mediante metáforas en términos de conceptos más concretos. Uno de los resultados más notables de las ciencias cognitivas es la demostración de que las transformaciones metafóricas no son arbitrarias sino sistemáticas. Dominio Fuente Inferencias schema CONTENEDOR Todo objeto X está dentro o fuera del CONTENEDOR A
Dominio Target Inferencias Conjuntos MEDIO EXCLUIDO Todo elemento X pertenece o no pertenece al conjunto A
Dados dos schemas CONTENEDORES A y B y un objeto X. Si A está dentro de B y X está en A entonces X está en B
MODUS PONENS Dados dos conjuntos A y B y un elemento X. Si A es subconjunto de B y X pertenece a A entonces X pertenece a B
Dados tres schemas CONTENEDORES A, B y C. Si A está dentro de B y B está dentro de C entonces A está dentro de C
SILOGISMO HIPOTÉTICO Dados tres conjuntos A, B y C. Si A es subconjunto de B y B es subconjunto de C entonces A es subconjunto de C
A x
A
∨
x
B
A x
B
A C
Dados dos schemas CONTENEDORES A y B y un objeto Y. Si A está dentro de B e Y está fuera de B entonces Y está fuera de A
MODUS TOLLENS Dados dos conjuntos A y B y un elemento Y. Si A es subconjunto de B e Y no pertenece a B entonces Y no pertenece a A
B A y
Algunos experimentos: Metáforas y Conjuntos El estudio de patrones de errores en las respuestas a diferentes preguntas sobre conjuntos, podría dilucidar las conceptualizaciones que el estudiante maneja. En este tipo de investigación la idea es destacar en la pregunta algún atributo en particular del concepto de conjunto y verificar el modelo intuitivo o metáfora empleado por los alumnos.
Ejemplo 1:
Atributo: propiedad común de los elementos que pertenecen al conjunto. Hacemos la siguiente pregunta: 1.
Determine si: 3, 6, 11, 12, 14, 17 forman un conjunto o no. 2.
Determine si: 2, 4, 6, 8, 10 forman un conjunto o no. Las conceptualizaciones con schemas CONTENEDOR o COLECCIÓN de manera implícita conservan la idea de que los elementos que están en un conjunto deben poseer una propiedad en común. En efecto, parece poco intuitivo tener una colección de cosas distintas o un contenedor que guarde distintas cosas.
Ejemplo 2:
Atributo: Operación unión
1.
Determine verdadero o falso, justifique A∪C = B∪C implica que A = B Muchos estudiantes consideran a primera vista que la proposición es correcta. Las justificaciones son variadas. El primer tipo de justificación radicó en el empleo de un “schema” relacionado con un “analogical mapping” Schema
XZ= YZ
X=Y
A C=B C
A=B
Esta schema está relacionado con una “regla intuitiva” denominada “Todo puede dividirse”* La otra fuente de error radica en el empleo del schema CONTENEDOR. Este schema presenta ciertas dificultades con la operación de unión de conjuntos, ya que en el CONTENEDOR unión los elementos repetidos serán contados tantas veces como aparecen. Con el objetivo de descartar el uso del schema anterior se tomó la siguiente pregunta 2.
Demuestre que (A∩B)-(A∩D)= (A∩B)-(Ac D) . ¿Se deduce de aquí que para cualquier par de conjuntos A y D de un cierto universo, A∩D = Ac D. Argumente su respuesta.
*Tirosh D. & Stavy R., (1999). Intuitive rules: A way to explain and predict students’ reasoning. Educational Studies in Mathematics.38: 51-66.
Regresamos a la Neurociencia La actividad eléctrica del cerebro....
vÞÈ
²ë ^¼Ųå Ýë
Modelo de espacio de trabajo neuronal global.* (Global Neuronal Workspace Model)
* Dehaene S., Naccache L., (2001). Towards a cognitive neuroscience of consciousness: basic evidence and a workspace framework. Cognition 79, 1 -37
Espacio ¦ ڮೂदࢴ¦အ de ࡎೃඣஆ൧ࢵेအ trabajo global
Representación esquemática
Ǹș͎ʤɬΗх ϫအ Ʀ̠˾ͽȾ̡φ;х Consciente/analítico ʷ6ʧʸхͻΙ͐ɮ˸ʦΚʶх esfuerzo y atención ైশအ țΛΜɯ˹Ν6̞˺х
a
ۢအ
Pre-consciente ǷȘ͍ʣɫΖх ѭအ ǟ͒ɲȿ̢˿Ϳɀ̣χх esfuerzo y no ʺ7ʩʻхͼΞ͑ɰ˻ʨΟʹ ¼х atención దುအ ȜΡɱ˼Π7̟˽х
ǹȚ͏ʥɭΘхӁအ ǯψȴ
Lihat lebih banyak...
Comentarios
