Practica 3 Probabilidad

Practica N.3:

Teor´ıa de Probabilidad

1. Sea X : Ω −→ R una variable aleatoria y B(R) la σ-´algebra de Borel. Demostar que FX = X −1 (B(R)) = {A ∈ F : A = X −1 (B), para alg´ un B ∈ B(R)} es una σ-´algebra. (Esta σ-´algebra es llamada la σ-´algebra generada por X). Si X es una variable aleatoria constante, hallar FX . Si X asume dos valores distintos, hallar FX . ¿ Qu´e pasa con FX si X asume n-valores distintos o infinitos valores ?. 2. Sea X : Ω −→ R una variable aleatoria no negativa, con funci´on de distribuci´on acumulada FX (x) = P[X ≤ x]. Demostrar que Z+∞ E[X] = [1 − FX (x)]dx o

¿ Qu´e sucede con E[X] si X es una variable aleatoria no negativa discreta con RX = {0, 1, 2, . . .} ?. 3. Suponer que X : Ω −→ R es una variable aleatoria no negativa X ≥ 0 y h : [0, ∞i −→ [0, ∞i continuamente diferenciable, no decreciente y h(0) = 0. Demostrar que: Z+∞ E[h(X)] = h0 (t)P[X ≥ t]dt o

Utilizando este resultado probar que: Z+∞ E[X] = P[X > t]dt 0

si p ≥ 1 Z+∞ E[X ] = ptp−1 P[X > t]dt p

0

1

4. Si ϕ : R −→ R es una funci´on convexa y X : Ω −→ R una variable aleatoria con E[X] < ∞ y E[ϕ(X)] < ∞, entonces demostar que ϕ(E[X]) ≤ E[ϕ(X)] 5. Si PX =

∞ X

pi Pi donde Pi son medidas de probabilidad,

i=1

∞ X

pi = 1 y pi ≥ 0,

i=1

demostar que Z g(x)dPX (x) =

∞ X

Z

R

g(x)dPi

pi

i=1

R

6. Si g : R −→ R es mon´otona creciente y diferenciable, entonces si X : Ω −→ R es una variable aleatoria con funci´on densidad fX y Y = g(X) demostrar que fY (y) = fX (g −1 (y))

d −1 g (y) dy

¿ Qu´e pasa si g es decreciente ? a) Encontrar la funci´on densidad de Y = X 3 donde fX = 1 [0,1] . 1 2 b) Encontar la funci´on densidad de Y = µ + σX, σ > 0 si fX = √ e−x /2 . 2π −λX 1 c) Encontrar la funci´on densidad de Y = e , λ < 0 si fX = [0,1] . d ) Encontar la funci´on densidad de Y = ln (1 − X) si fX = 1 [0,1i 7. Sea X : Ω −→ R una variable aleatoria de Bernoulli con p = P[X = 1] y q = P[X = 0] donde 0 < p < 1, q = 1 − p a) Obtenga la probabilidad de distribuci´on de X. b) Obtenga la funci´on de distribuci´on acumulada FX . c) Calcule E[X] y V ar[X], demuestre que V ar[X] ≤ 14 . d ) Grafique PX , FX e interprete los resultados. e) Explique en que consiste un experimento de Bernoulli. 8. Sea X : Ω −→ R una variable aleatoria con distribuci´on binomial de par´ametros n y p, X ∼ Bin(n, p) cuya funci´on de probabilidad es   n k n−k P[X = x] = p q , k = 0, 1, 2, . . . , n k

2

a) Graficar la funci´on de probabilidad para p =

1 2

n = 5. ¿ Qu´e pasa si

p −→ 1 o p −→ 0 ?. b) Obtenga la funci´on de distribuci´on acumulada FX y grafique para el caso p=

1 2

y n = 5.

c) Calcule E[X] y V ar[X]. (Sugerencia expresar X como la suma de n variables aleatorias independientes de Bernoulli) d ) Explique en que consiste un experimento binomial. 9. Sea X una variable aleatoria geom´etrica (X ∼ Geo(p)) cuya funci´on de probabilidad es P[X = x] = q k−1 p,

k = 1, 2, . . . , etc,

q =1−p

a) Calcular E[X] y V ar[X]. b) Demostar que P[X > a] = q a , a ∈ Z. c) Explique en que consiste un experimento aleatorio geom´etrico. 10. Sea X una variable aleatoria condistribucion de Poisson con par´ametro λ > 0. ´ X ∼ P ois(λ) cuya funci´on de probabilidad es NOTACION: P[X = k] =

e−λ λk , k!

λ > 0,

k = 0, 1, 2, . . .

Calcular E[X] y V ar[X], explique en que consiste un experimento aleatorio de Poisson. 11. (Distribuci´on Gamma) Dados α, λ > 0 definir f (x) =

λα α−1 −λx x e , Γ(α)

∀x>0

Verificar que f es una funci´on densidad, calcular E[X] y V ar[X] en t´erminos de la funci´on gamma Γ.

3

12. (Distribuci´on de Cauchy) Demostrar que f es una funci´on densidad donde: f (x) =

1 , π(1 + x2 )

∀x∈R

Si X tiene una funci´on densidad dada por f (x), entonces se dice que tiene una distribuci´on de Cauchy. Demostrar que en este caso E[X] no existe. 13. Suponer que E[X] = 0 y P[|X| ≤ c] = 1 para alguna constante c > 0. Demostrar que ∀ ξ ∈ R, E[eξX ] ≤ eξ

2 c2 /2

y E[eξ|X| ] ≤ 2eξ

2 c2 /2

.

14. Sean X e Y dos variables aleatorias no negativas y p ≥ 1 una constante fija. Suponer que existe β > 1, γ ∈ h0, 1i y δ < β −p tal que P[X > βλ, Y < γλ] ≤ δP[X > λ] ∀ λ > 0. Entonces demostrar que E[X p ] ≤ αγ −p E[Y p ] donde α = (β −p − δ)−1 .

4