Practica 2 Probabilidad

Practica N.2:

Teor´ıa de Probabilidades

1. Demostrar que si {Hi }∞ i=1 son eventos disjuntos dos a dos en F tales que ∞ [

P(Hi 6= 0)

Hi = Ω ,

i=1

entonces: P(A) =

∞ X

P(A | Hi )P(Hi ) ,

A∈F

i=1

2. Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad y A, B ∈ F eventos independientes entonces demostrar que: a) A y B c son independientes. b) Ac y B son independientes. c) Ac y B c son independientes. 3. Sea A, B ∈ F y considerar FA = {A, Ac , ∅, Ω}

FB = {B, B c , ∅, Ω}

Demostrar que FA y FB son independientes si y solo si A y B son independientes. 4. Sean A1 , A2 , A3 , . . . , An eventos independientes, entonces demostrar que: ! n n [ Y P Ai = 1 − P(Aci ) i=1

i=1

Interprete el resultado. 5. Si A1 , A2 , . . . , An son eventos independientes, demostrar que: ! n n \ Y P Ai = P(Ai ) i=1

i=1

¿SE cumple el rec´ıproco? Si A1 , A2 , . . . , An no son independientes, demostrar que: ! n \ P Ai = P(A1 )×P(A2 | A1 )×P(A3 | A1 ∩A2 )×. . .×P(An | A1 ∩. . . An−1 ) i=1

siempre que P(A1 ∩ A2 ∩ . . . ∩ An−1 ) > 0. i

6. Sea X la variable aleatoria definida como el n´ umero de casos que ocurre al lanzar una moneda cuatro veces a) Describa el espacio muestral, el rango de la variable aleatoria y obtenga la probabilidad de distribuci´on de la variable aleatoria X. Grafique. b) Calcule la probabilidad P[0 < X ≤ 2]. c) Defina la probabilidad de distribuci´on de X si la moneda se lanza n−veces. d ) Obtenga y grafique la funci´on de distribuci´on acumulada FX 7. Sea X : Ω −→ R una variable aleatoria y PX su probabilidad de distribuci´on definida sobre la σ−´algebra de Borel B(R), demostrar que PX es una medida de probabilidad.

ii