Practica 1 probabilidad

Practica N.1: 1.

Teor´ıa de Probabilidades

a) Describa el espacio muestral del funcionamiento del siguiente sistema donde

A1

>

>

A2

>

A3

>

Ai = 0

, si el sistema est´a descompuesto

Ai = 1

, si el sistema est´a operativo

i=1,2,3. b) Describe los eventos A : “ Por lo menos una componente funciona ” B : “ Todo el sistema funciona ” ¿ Son A y B mutuamente excluyentes? Soluci´ on: a) Ω = {(w1 , w2 , w3 )/ wi = 0, 1, i = 1, 2, 3} n(Ω) = 28 elementos. b) A={(1,0,0);(0,1,0);(0,0,1);(1,1,0);(0,1,1);(1,0,1);(1,1,1)} B = {(1, 1, 1)} A ∩ B = {(1, 1, 1)} ̸= ∅ =⇒ A y B no son mutuamente excluyentes OJO: f = P (Ω) = 2Ω tiene 28 = 256 elementos. 2. La demanda de dos productos A y B vari´an cada uno aleatoriamente en un rango de 1000 a 5000 kg. Si el distrubuidor decide bajar el precio de venta de ambos productos cuando la suma de sus demandaa var´ıa de 3000 kg. a 5000 kg. ¿Cu´al es la probabilidad de que el precio de venta de ambos productos baje?.

1

Soluci´ on: Denotemos con X e Y las demandas en miles de kg. de los productos A y B respectivamente. =⇒ Ω = {(x, y) ∈ R2 / 1 ≤ x ≤ 5; 1 ≤ y ≤ 5} Sea el evento: E = “ El precio de venta de ambos productos baja ”

5 4 3 2 1

| | | | |

=⇒ E = {(x, y) ∈ R2 / 3 ≤ x + y ≤ 5}

W

| | | | |

1 2 3 4 5 ´ Area(E) P(E) = = ´ Area(Ω)

3×3 2

− 42

1×1 2

=

9 2

− 12 4 1 = = = 0,25 16 16 4

3. Un dado se lanza sucesivamente hasta que aparesca el primer uno. a) Describa el espacio muestral del experimento aleatorio y asigne una probabilidad a cada uno de sus elementos. b) Comoruebe que P(Ω) = 1. c) Si dos personas A y B juegan lanzando el dado uno despu´es del otro y si gana el que obtiene el primer uno. Calcule la probabilidad de que A gane el juego si el comienza primero. Soluci´ on:

2

a) Sean los sucesos E:

“ sale uno en el lanzamiento i ”

F :

“ no sale uno en el lanzamiento i ”

i = 1, 2, 3, 4 . . . Entonces el espacio muestral que resulta de lanzar el dado sucesivamente hasta obtener uno se puede escribir como: Ω{E; F E; F F E; F F F E; . . .}

w1 = E w2 = F E w3 = F F E .. . wn = F . . . F} E | F {z n−1

=⇒ Ω =

∞ ∪

{wi }

i=1

Asignemos probabilidades (equiprobables) a los elementos de Ω 1 6 5 1 · P({w2 }) = 6 6 ( )2 5 1 P({w3 }) = · 6 6 .. . ( )n−1 5 1 P({wn }) = 6 6 P({w1 }) =

Resumiendo: ( )i−1 5 1 P({wi }) = · 6 6

3

i = 1, 2, 3 . . .

etc.

b) Sabemos que

∞ ( )i−1 ∑ 5 i=1

entonces:

(

P(Ω) = P

n ∪

6 )

{wi }

=

i=1

=

n ∑ i=1

1 1−

5 6

=6

1∑ P({wi }) = 6 i=1 n

( )n−1 5 6

1 = (6) 6 = 1 c) Si A comienza el juego entonces A juega las veces impares 1, 3, 5, . . ., etc y la probabilidad de que A gane el juego es: Sea el evento C : “ A gana el juego ” =⇒ C = {E; F F E; F F F F E; . . .} P[C] = P(E) + P(F F E) + P(F F F F E) + · · · ( )2 ( )4 5 5 1 1 1 = + · + · + ··· 6 6 6 6 6   ( ) ( )2 ( )2 2 (( )2 )3 5 5 5 1 1+ + + + ··· = 6 6 6 6 ∞ ( )2(i−1) 1∑ 5 = 6 i=1 6 ( ) 1 1 = ( ) 6 1− 5 2 6 ( ) 1 1 = 6 1 − 25 ( ) 36 1 1 = 6 11 ( 36 ) 1 36 = 6 11 6 = 11 4. Si la probabilidad de que acurra un evento A es es

3 4

determine los posibles valores de P(A ∩ B). 4

1 2

y que ocurra un evento B

Soluci´ on: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) Caso 1: Si A ∩ B = ∅ =⇒ P(A ∩ B) = P(∅) = 0 Caso 2: Si A ⊂ B =⇒ A ∪ B = B P(B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) P(A ∩ B) = P(A) P(A ∩ B) =

1 2

Caso 3: Si A ̸⊂ B P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) 1 3 = + − P(A ∩ B) 2 4 5 = − P(A ∩ B) 4 =⇒ P(A ∩ B) =

5 − P(A ∪ B) 4

Pero P(A ∪ B) ≤ 1 −P(A ∪ B) ≥ −1 5 1 − P(A ∪ B) ≥ 4 4 =⇒

1 ≤ P(A ∩ B) ≤ 1 4

5. Demuestre el principio de Inclusi´on-Exclusi´on Soluci´ on:

( P

n ∪

) Ai

n ∑

=

i=1

P(Ai ) −

i=1

+

∑∑∑

∑∑ 1≤i1