PHYSILAB: Conceptos y ejercicios

COLECCIÓN MAESTROS N° 10

CONCEPTOS Y EJERCICIOS TOMO I Primera Edición

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JUAN CARLOS HENAO LÓPEZ Universidad Católica de Pereira JAMES ANDRÉS BARRERA MONCADA Universidad Católica de Pereira LUIS FERNANDO MULCUE NIETO Universidad Católica de Manizales

UNIVERSIDAD CATÓLICA DE PEREIRA 2013 3

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Barrera Moncada, James Andrés. Physilab: Conceptos y ejercicios / James Andrés Barrera Moncada, Juan Carlos Henao, Luis Fernando Mulcue Nieto. -- 1a. ed. -- Colombia : Pereira : Universidad Católica de Pereira, 2013. 254 p. -- (Colección Maestros, No. 10) Proyecto de Investigación auspiciado por el Ministerio de Educación Nacional. ISBN 978-958-8487-12-0 1. ENSEÑANZA 2. FISICA MECÁNICA.3. TICS 4. TICS - ENSEÑANZA. 5.TICS. 6. LABORATORIO REMOTO. 7. LABORATORIO VIRTUAL 8. DESARROLLO WEB.I. Henao, Juan Carlos. II. Mulcue Nieto, Luis Fernando IIII. Universidad Católica de Pereira CDD 621.81 ed. 21 Catalogación en la publicación – Universidad Católica de Pereira

Universidad Católica de Pereira Título: Physilab: Conceptos y ejercicios Autores: James Andrés Barrera Moncada, Juan Carlos Henao, Luis Fernando Mulcue Nieto Colección Maestros No 10 ISBN: 978-958-8487-12-0 Primera edición 2013 Número de ejemplares 200 Rector de la Universidad Católica de Pereira: Pbro. Álvaro Eduardo Betancur Jiménez Vicerrector Académico: Luis Eduardo Peláez Valencia Director de Investigaciones: Juan Carlos Muñoz Montaño Coordinador Editorial: Judith Gómez Gómez Corrección de Estilo: Giohanny Olave Arias Diseño carátula: ¿??????????? Diagramación e impresión: GRÁFICAS BUDA, SAS. Calle 15 No. 623 PBX.: 335 72 35 Pereira – Risaralda - Colombia Reservados todos los derechos © Universidad Católica de Pereira, 2012 Carrera 21 No. 49-95 Pereira Teléfono 312 40 00 [email protected] © James Andrés Barrera Moncada Juan Carlos Henao Luis Fernando Mulcue Nieto Este libro o parte de él no puede ser reproducido por ningún medio sin autorización escrita de la Universidad Católica de Pereira. El contenido de esta obra corresponde al derecho de expresión de los autores y no compromete el pensamiento institucional de la UCP, ni genera su responsabilidad frente a terceros. Los autores asumen la responsabilidad por los derechos de autor y conexos contenidos en la obra, así como por la eventual información sensible publicada en ella. Pereira, Colombia Febrero de 2013

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ISBN: 978-958-8487-11-3

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AGRADECIMIENTOS

Los autores queremos agradecer a Dios por la oportunidad de poder servir pero también dar infinitas gracias a las siguientes personas, académicos y administrativos por su valiosa colaboración en la construcción, corrección y consecución del presente libro: De la Universidad Católica de Pereira a Luis Alejandro Fletscher Bocanegra, Álvaro Ignacio Morales González, Juan Luis Arias Vargas, María Teresa Ángel Toro, Luis Eduardo Peláez; Mónica María Gómez Hermida, Diego Fernando Arías Mateus, Andres Vargas, a los estudiantes Juan Carlos Mejía, Andrés Felipe Pedreros y a Santiago Bernal, así como a la directora de la biblioteca de la UCP Judy Gómez Gómez, y al personal administrativo Gloria Yineth Giraldo Bedoya ya Jimena López Burbano. De la Universidad Católica de Manizales a Carolina Olaya Alzate, Julián Andrés Largo, Jhon Jairo Angel y a Silvio Rosero; a las Rectorías, Vicerrectorías Académica y a los Centros de Investigación de las tres Universidades, al Ministerio de Educación Nacional y a CINTEL. Igualmente queremos agradecer especialmente a la comunidad estudiantil de la Universidad Católica de Pereira, Católica de Manizales y Universidad de Medellín, quienes apoyaron este proyecto y trabajaron pacientemente con los borradores de este libro. Finalmente a nuestras maravillosas familias, a Angela, Alicia, Dolly, a Rosmery, Isabella y Mariana, a Kerly Andrea y David Esteban, a todos muchas gracias por su comprensión, infinita paciencia y profundo amor. Los Autores

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ÍNDICE DE CONTENIDO PRÓLOGO PRESENTACIÓN INTRODUCCIÓN

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1 INTRODUCCIÓN A PHYSILAB 1.1. Estructura del libro 1.2. Plataforma WEB Laboratorio virtual Laboratorio remoto 1.3. Propuesta alumno–docente

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2 MEDICIÓN, ERROR Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS 2.1. Medición Unidades fundamentales de medida Unidades derivadas de medida Conversión de unidades 2.2. Error Cálculo del error y su propagación Trazabilidad 2.3. Cifras significativas

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3 CANTIDADES VECTORIALES 3.1. Vectores 3.2. Vectores Unitarios 3.3. Operaciones básicas con vectores Suma y resta de dos o más vectores Multiplicación de dos vectores Producto Punto Producto Cruz

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4 MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN 4.1. Posición, velocidad y aceleración 4.2. Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) 4.3. Movimiento rectilíneo uniformemente Acelerado 4.4. Laboratorio de movimiento rectilíneo uniforme Práctica de laboratorio virtual Práctica laboratorio remoto 4.5. Laboratorio de movimiento rectilíneo acelerado Laboratorio virtual Laboratorio remoto 5 CAÍDA DE LOS CUERPOS 5.1. La Caída libre Características de la caída libre 5.2 Caída de un cuerpo en un medio con resistencia Cálculo de la velocidad Cálculo de la altura Cálculo de la aceleración 5.3. Caída en un medio viscoso 5.4. Laboratorio de caída de los cuerpos Práctica de laboratorio virtual Práctica de laboratorio remoto 6 TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA 6.1. Del concepto de fuerza 6.1. Concepto de trabajo para una fuerza constante 6.2. Trabajo para una fuerza variable 6.3. Potencia mecánica 6.4. Energía Energía cinética Energía potencial gravitacional Energía cinética rotacional Energía potencial elástica Energía mecánica 6.5. Principio de la conservación de la energía 6.6. Laboratorio de energía Práctica laboratorio virtual Práctica laboratorio remoto Respuesta a los problemas impares

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PREFACIO

La forma como el ser humano aprende y comprende su mundo es un paradigma que se redefine a sí mismo de forma constante y por dos razones principales; la primera radica en el hecho que los modelos explicativos del cosmos evolucionan acorde con los nuevos descubrimientos científicos, teorías y desde luego las tecnologías, pero también porque el mismo ser humano evoluciona intentando dar respuesta a un mundo cambiante que demanda de él nuevas habilidades y competencias. Es así que nace un proyecto de investigación dentro del grupo de investigación GEMA de la Universidad Católica de Pereira, que busca indagar por las formas de ese aprendizaje para que este sea significativo para el estudiante, pero también para que sea pertinente a las demandas actuales de las comunidades tanto académicas como a las científicas sin olvidar los contextos del sector laboral e industrial. PHISILAB, Conceptos y Ejercicios, es el libro dentro de una gran propuesta curricular–investigativa denominada PHYSIL@B, Laboratorio Remoto y Virtual para la Enseñanza de la Física, que explora el uso de las nuevas tecnologías de la comunicación y la información en los procesos de enseñanza y aprendizaje de la física en estudiantes de pregrado, convirtiéndose así este texto en instrumento de consulta obligado que guía el quehacer del estudiante dentro de los cursos de física, cuando el docente decide adoptar como metodología y didáctica de trabajo las TIC –Tecnologías de la Información y la Comunicación– en el aula bajo el esquema propuesto en PHYSILAB El objetivo principal de este libro de texto es servir como introducción a algunos conceptos en física y especialmente en Mecánica Clásica, proporcionando al estudiante una visión clara con un orden lógico de secuencia de eventos tales que pueda tener, en primera instancia, un entendimiento de los principios mecánicos que rigen el comportamiento de los cuerpos, y así en compañía de los otros procesos curriculares, llegue a altos niveles de comprensión que le permitan desde la física dar respuesta racional y efectiva a las diversas situaciones que se le puedan presentar en contextos académicos y/o laborales. 9

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PHISILAB, Conceptos y Ejercicios, está estructurado para favorecer procesos de pensamiento crítico en estudiantes de pregrado para programas de formación en tecnologías e ingenierías afines a la física como son los programas en sistemas, las telecomunicaciones, la civil, la eléctrica, la mecánica, la industrial, la tecnología y/o ingeniería en petróleos, en suelos, la ambiental, y desde luego la tecnología y/o ingeniería electrónica, mecatrónica, pasando por la química y tecnoquímica y otras ciencias afines a esta y desde luego la ingeniería física; disciplinas que tienen un fuerte componente discursivo científico pero también un componente de desarrollo tecnológico dirigido a las necesidades de las comunidades que atienden, característica principal que reconoce a las ingenierías y las tecnologías de otras disciplinas del conocimiento aplicado. Después de realizar una profunda evaluación que tomó casi dos años donde se analizaron las dificultades cognitivas y cognoscitivas de los estudiantes de pregrado en las universidades Católica de Pereira, Católica de Manizales y la Universidad de Medellín, se llegó a tres conclusiones importantes, la primera sobre la estrategia didáctica, la segunda relacionada con la dimensión pedagógica con que se debe enfocar el problema y la tercera conclusión sobre los ejes conceptuales y categorías que se deben desarrollar con los estudiantes; en cuanto a la didáctica PHYSILAB encuentra en las TIC, una herramienta de aproximación a los objetos de pensamiento debido a su naturaleza altamente atractiva para las nuevas generaciones de aprendientes; en cuanto a la dimensión pedagógica se opta por orientar el trabajo haciendo uso de la estrategia Enseñanza para la Comprensión (Epc) pues permite realizar una revisión constante de las formas y estructuras de pensamiento de los estudiantes ajustando dinámicamente los objetivos y los métodos; finalmente la tercera conclusión arroja que aunque existen dificultades en casi todos los ejes conceptuales es importante desarrollar de la mecánica clásica, los que tienen que ver con la cinemática y con la energía, por lo anterior PHYSIL@B, Laboratorio Remoto y Virtual para la Enseñanza de la Física está pensado para que los laboratorios y demás construcciones apunten al fortalecimiento de habilidades, pero también del conocimiento entorno a estos dos ejes conceptuales, sin desconocer que otros,como las Leyes de Movimiento, la dinámica, la estática, las colisiones en dos y tres dimensiones, son también son importantes para la construcción de herramientas de pensamiento y habilidades cognitivas. Por tanto es fundamental entender que PHISILAB, Conceptos y Ejercicios no es un libro destinado a tener los desarrollos que normalmente se ven en otros libros para cursos de física en los programas de pregrado para estudiantes, sino que PHISILAB, Conceptos y Ejercicios apunta a desarrollar habilidades y a adquirir saberes significativos con apoyo a las prácticas de laboratorio virtual y remoto, que son el resultado de una reflexión profunda sobre las necesidades y circunstancias especiales con las que llegan los alumnos Colombianos a las instituciones de educación superior. Así este libro no entra a competir con otros textos que se encuentran en el mercado, sino todo lo contrario, busca complementar la formación de los alumnos dentro de los nuevos esquemas de trabajo colaborativo y las redes sociales de conocimiento apoyado en las TIC, que la educación tradicional no alcanza a dimensionar. 10

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El libro tiene seis capítulos, donde se exponen algunos desarrollos teórico–prácticos de la física y propiamente de la mecánica clásica; el primer capítulo es una introducción a PHYSILAB, donde se explica con mejor detalle la estructura de proyecto, la forma de trabajo, la plataforma Moodle y WEB, la naturaleza de los laboratorios virtuales y de los laboratorios remotos, otros recursos disponibles y la propuesta de cómo debe trabajar el docente y alumno dentro del esquema metodológico de PHYSILAB. El segundo capítulo retoma algunos elementos de la medición, la conversión de unidades, la incertidumbre, el error y las cifras significativas, esto con el fin que el estudiante construya herramientas propias para el análisis de datos, aspecto importante dentro del método científico moderno y necesario para las prácticas virtuales y remotas. El tercer capítulo trata sobre las cantidades vectoriales, su naturaleza, tratamiento y operaciones básicas, esto debido a que se encontró que los estudiantes tienden a mostrar dificultades para el modelamiento de parámetros físicos a través de este elemento categorial. El cuarto capítulo habla sobre el movimiento en una Dimensión, tanto el rectilíneo uniforme como el rectilíneo acelerado; en este aparte se tratan los conceptos fundamentales de la descripción del movimiento sin ahondar sobre las causas del mismo, igualmente se plantean algunas relaciones matemáticas importantes que se vuelven transversales a otros objetos de conocimiento en física. En este capítulo se introducen los primeros laboratorios virtuales y laboratorios remotos construidos en PHYSILAB, y que en el texto se encuentran al final de cada capítulo El quinto capítulo es la caída vertical y aunque es un movimiento de naturaleza rectilínea y podría enmarcarse dentro del capítulo 4, se decide destinarle un capítulo aparte para tratar elementos que la cinemática no toma, tal como el rozamiento debido a la viscosidad del fluido –gaseoso o líquido– ya que en cinemática no se tiene en cuenta la masa; en este punto es importante que el alumno ya haya recorrido las prácticas virtuales y remotas del movimiento en una dimensión para que así reconstruya su saber en torno a estos nuevos elementos, y que el docente igualmente haga desarrollo curricular entorno a las leyes del movimiento para así poder que el estudiante de una respuesta más coherente a las problemáticas presentes en la caída en medio resistivo; para esto se agregan también una serie de prácticas de laboratorio virtual y remoto tanto en vacío relativo como en medio viscoso, con el fin que el alumno afiance sus saberes y los ponga a interactuar en contexto. El último capítulo trata sobre los principios del trabajo, la potencia y la energía dentro del marco Leyes del Movimiento; en este punto lo que se busca es que el alumno plantee otras alternativas de análisis a los problemas sobre el movimiento de los cuerpos; para el momento en que se aborda secuencialmente este eje, el estudiante deberá tener un mayor nivel en pensamiento crítico y científico de tal forma que actúe racional, reflexiva y flexiblemente en contextos variados. En esta parte PHYSILAB también propone una serie de prácticas de laboratorio virtual para ser desarrolladas en la plataforma.

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Nótese que metodológicamente PHYSILAB divide los capítulos en dos momentos; el primero es una fundamentación teórica –que parte de un diagnóstico realizado con antelación– donde el alumno es llevado de forma reflexiva a entender los principios, teorías y demás modelos explicativos de los fenómenos naturales relacionados con el movimiento; el segundo momento es una serie de prácticas de laboratorio tanto virtual como remoto donde se ponen en juego los saberes reconstruidos, de tal forma que el estudiante pueda pasar del entendimiento a la comprensión que es un estado de pensamiento mucho mayor y de verdadera transformación para el ser humano.

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CAPÍTULO I

INTRODUCCIÓN A PHYSILAB

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¿Qué es PHYSILAB? Cuando se intenta dar una explicación de lo que es y significa PHYSILAB, se encuentra la dificultad de que esta propuesta es una suma sinérgica de muchas cosas intencionadas, con un objetivo claro: Los procesos de enseñanza y aprendizaje de la física. Por lo anterior, una primera aproximación categorial que agrupa la mayor cantidad de conceptos para entender lo que es PHYSILAB, es: PHYSILAB es una propuesta metodológica orientada hacia la enseñanza y comprensión de la FÍSICA, basada en las tecnologías de la información y la comunicación Es una propuesta metodológica, pues a partir de los modelos explicativos actuales de cómo aprende el ser humano, trata de establecer una serie de elementos intencionados por el maestro para lograr una construcción y reconstrucción de los saberes propios de los estudiantes, en torno a una comprensión más científica de conceptos físicos, y que a la vez le permita la formación de estructuras categoriales y teóricas–explicativas del mundo que lo rodea, con la condición de que le sea afín a los requerimientos curriculares de los diferentes programas de pregrado donde el alumno se encuentre inscrito; adicionalmente, PHYSILAB como propuesta metodológica busca el desarrollo de habilidades del pensamiento en los estudiantes y maestros, que sean útiles tanto en los contextos de la física, como en otros contextos tecnológicos y científicos, buscando así altos niveles de desempeño profesional con seres humanos muy competentes. Las Universidades Católica de Pereira, Católica de Manizales y Universidad de Medellín, conscientes de que es deber de las instituciones de educación superior para un mundo competitivo, formar personas de innegable calidad humana, buenos profesionales con una base teórica, experiencial y disciplinar también de calidad, en cada uno de sus programas académicos, deciden desarrollar un proyecto de investigación cuyas conclusiones, en adición a lo anteriormente planteado, fortalezcan los procesos de aprendizaje y enseñanza de la física en el marco de los procesos y herramientas de pensamiento. Por ello, haciendo uso de las tecnologías de la información y la comunicación (TIC) y entendiendo que el individuo ya no es ni la fuente ni el cúmulo de conocimientos–pues este se construye de forma colaborativa, siendo las redes sociales de conocimiento los entes que recogen los saberes–, se desarrolla e implementa un conjunto de prácticas de laboratorio virtual, prácticas de laboratorio remoto, contenidos digitales de referencia y contenidos digitales de conceptualización en entornos virtuales, que puedan ser usados como apoyo didáctico a los cursos de física en los programas de pregrado; con esto se busca que los docentes y estudiantes de los cursos de física hagan uso de todos los recursos de PHYSILAB, potenciando el aprendizaje en ambientes atractivos, incluyentes y flexibles. Estos laboratorios virtuales en física son programas de computadora que 14

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representan simbólicamente, a través de un software, situaciones de forma real o ficticia; esta estrategia para la comprensión mejora constantemente debido al desarrollo en las tecnologías relacionadas con los sistemas informáticos, como son: computadoras más veloces, tarjetas de adquisición de datos más versátiles, tarjetas de audio y video de mayor capacidad y velocidad, programas de simulación con algoritmos más complejos y mejor animados que hacen que los laboratorios virtuales se redefinan, incrementando la calidad de las presentaciones y buscando interesar al usuario final al brindarle una sensación de dinamismo y realismo. Por su parte, los laboratorios remotos son desarrollos de prácticas de laboratorio físicamente reales, con equipos y dispositivos que existen en un espacio determinado, pero sin la presencialidad de los usuarios; lo anterior es posible haciéndolos interactuar con todo un sistema integrado por subsistemas mecánicos, eléctricos, electrónicos y digitales, y que por medio de un software de comunicación, una serie de tarjetas de adquisición de datos que capturan la información tanto de las intenciones del usuario como de los equipos comprometidos en la práctica, y de un conjunto de actuadores y sensores que monitorean constantemente el laboratorio, dan al estudiante el control casi total de lo que sucede, así se encuentre a kilómetros de distancia. 1.1.

Estructura del libro

Este libro está estructurado para servir como elemento de apoyo conceptual y procedimental a los procesos de enseñanza de la física de los docentes que tienen estudiantes en cursos de física general de programas de pregrado, en carreras universitarias afines a las tecnologías e ingenierías. La estructura curricular se muestra en la figura 1.1.

Figura 1.1. Diseño curricular del libro

En el momento de fundamentación conceptual, el estudiante es acompañado para que realice una construcción o de construcción de saberes previos, a fin de que pueda dar cuenta de los principios físicos de la mecánica clásica; para esto, el docente puede proponer como actividades complementarias la participación de los estudiantes en foros de discusión, en wikis de construcción colectiva, cuyos enlaces se encuentran en la página electrónica oficial de PHYSILAB; igualmente, en la fase de 15

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fundamentación el alumno encuentra un conjunto de ejercicios y problemas que apuntan a la verificación de los niveles de desempeños esperados dentro de las competencias de curso. En las secciones de los laboratorios se hace una breve descripción de los recursos con que dispone PHYSILAB en su plataforma web, como un MOODLE con recursos bibliográficos digitales, foros y blogs, wikis, laboratorios virtuales y remotos, con sus respectivas prácticas. Lo anterior es el tercer elemento que se desarrolla en el cuerpo del libro. Finalmente, en la etapa de la producción, en articulación con los elementos existentes en la página WEB, se hace una propuesta para que los estudiantes, en compañía del docente, realicen una serie de actividades programadas en la plataforma, como los laboratorios remotos y virtuales u otras definidas por el maestro si fuesen necesarias, a fin de alcanzarlas competencias específicas esperadas en física, según sean demandadas en los planes de curso y de asignatura. 1.2.

Plataforma WEB

Para su desarrollo, PHYSILAB cuenta con un sitio WEB que organiza los recursos y enlaces. El ingreso a PHYSILAB se realiza a través del sitio http://physilab.ucp.edu.co/web/, como lo muestra la figura 1.2.

Figura 1.2. Página de inicio en el portal electrónico de PHYSILAB

En esta primera fase, PHYSILAB propone a los sus usuarios una serie de herramientas educativas que permite abordar algunos conceptos y categorías en física desde diferentes enfoques, es decir, en un mismo sitio –que es el portal electrónico– cada usuario podrá encontrar referentes teóricos y conceptuales de varios autores, así como ejercicios, lecturas de interés en física, reflexiones, noticias relevantes, invitación a foros, a wikis, a través del enlace Cursos. También los usuarios pueden encontrar simulaciones digitales de algunos fenómenos físicos a los cuales acceden a través del enlace Simulaciones. Finalmente, el alumno que esté registrado en el sistema tendrá acceso y control remoto a equipos físicos, para la elaboración de prácticas reales a través del enlace Laboratorios. Estos elementos están acompañados por noticias, ayudas, tutoriales y otros enlaces de interés, todos en el campo de la física. 16

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Laboratorio virtual El laboratorio virtual está conformado por una serie de aplicaciones y simulaciones por computadora, desarrolladas en Flash o Java, con dos fines específicos: el primero de ellos es permitir al estudiante tener una primera aproximación al objeto de conocimiento –sea este el movimiento rectilíneo, la caída libre o la caída en medio viscoso, por nombrar algunos– y cuyas características son representadas mediante ecuaciones y gráficas dentro de un ambiente virtual de familiarización. Una de las ventajas es que el alumno puede manipular los objetos de manera muy simple y de forma siempre segura, puede repetir la práctica cuantas veces lo desee. El segundo objetivo perseguido por las prácticas virtuales es permitir que el alumno analice los sistemas con prácticas donde manipule algunas variables que, con equipos reales, serían más difíciles de llevar a cabo; por ejemplo, cambiarla gravedad del sitio, tener muchos fluidos con viscosidades y temperaturas diferentes o superficies con diferentes coeficientes de fricción, que demandarían una infraestructura real más grande y costosa. Una vez completada la fase de los laboratorios virtuales por parte del estudiante y luego de ser revisada y evaluada por parte del docente, el alumno contará con modelos explicativos de los fenómenos físicos estudiados mucho más precisos y complejos, e igualmente su discurso científico será más pertinente a los niveles de comprensión esperados en la educación superior–. Las figuras 1.3 y 1.4 muestran dos pantallazos de las prácticas virtuales: una simulada en Flash y otra simulada en Java.

Figura 1.3. Simulación en Flash

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Figura 1.4.Simulación en Java

Laboratorio remoto Las prácticas de laboratorio remoto se desarrollan sobre una interfaz tecnológica educativa, dentro de redes colaborativas sociales de conocimiento, que tienen como objetivo guiar al estudiante a través de actividades previamente diseñadas, donde tenga acceso a equipos reales, pueda modificar variables en el experimento y observar la respuesta en tiempo cuasi-real, sin requerir que se encuentre físicamente presente en el laboratorio. Además del experimento real controlado de forma remota, los estudiantes podrán también observar una simulación del fenómeno físico que le permita entender mejor el concepto involucrado en la práctica y obtener conclusiones más acertadas, logrando así un aprendizaje significativo y contextualizado a las necesidades. El laboratorio remoto permite al estudiante realizar prácticas de forma real, pero no presencial en el mismo sitio donde se encuentran los equipos, los cuales manipula a través de redes informáticas con el concurso de webcams, micrófonos, hardware específico para la adquisición local de datos y software para administrar los recursos y gestionar la información, con una sensación de proximidad al equipamiento. La figura 1.5proporciona una arquitectura de referencia, así como pautas a seguir para completar los diferentes componentes involucrados en los laboratorios remotos (servidor de aplicaciones, aplicaciones remotas, etc.). Entre las características del diseño está la posibilidad de concentrarse en el análisis del fenómeno físico y no en las complejidades de la arquitectura y funcionamiento de los componentes; por otro lado, las tecnologías escalables y abiertas facilitan la modificación de las prácticas, la ampliación de los recursos y la inclusión de nuevos parámetros de análisis, lo que finalmente lleva a un crecimiento controlado y con sentido del laboratorio de física. Así, el laboratorio remoto, otro elemento fundamental de PHYSILAB y presente en este libro en la sección de Prácticas, consta en su primera fase de tres montajes para el desarrollo de las prácticas de laboratorio, formuladas para la mecánica clásica; estos montajes cuentan con equipos instrumentados, de forma tal que puedan ser controlados y manipulados desde cualquier computador con conexión a RENATA ( Red Nacional Avanzada de Alta velocidad),previa reserva y autorización del administrador del sistema. 18

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Figura 1.5. Esquema generalizado para laboratorios remotos (“PHYSILAB, Laboratorio Real y Virtual para la Enseñanza de la Física”)

Los laboratorios remotos geográficamente se encuentran distribuidos en la Universidad Católica de Pereira y la Universidad Católica de Manizales; en cada ciudad están ubicados e instrumentados todos los equipos con los cuales el estudiante desarrolla sus prácticas reales de laboratorio; encada ciudad hay en total dos laboratorios, para un total de cuatro ejercicios prácticos a desarrollar. Las prácticas instrumentadas para trabajar de manera remota a través de PHYSILAB son: • Movimiento rectilíneo uniforme. • Movimiento uniformemente acelerado. • Caída de los cuerpos. • Conservación de la energía Para el ingreso al sistema, es necesario que el usuario sea correctamente autorizado y registrado en la base de datos por parte del administrador; para esto, debe estar matriculado en alguno de los programas en cualquiera de las tres universidades y estar cursando física. Una vez cumplidos estos requisitos, el alumno hace su reserva, con el fin de destinar los recursos del sistema a su práctica particular. Como organización, movimiento rectilíneo uniforme y el movimiento rectilíneo acelerado son las dos prácticas remotas instrumentadas en la Universidad Católica de Pereira. Por su parte, caída de los cuerpos y conservación de la energía son las otras dos prácticas que se encuentran funcionando en la Universidad Católica de Manizales. 1.3. Propuesta alumno–docente En este libro se propone la implementación de la metodología empleada por la Universidad de Harvard para el diseño de las prácticas de laboratorio, denominada“Enseñanza para la comprensión”1, que en modo resumido plantea: 1. Para más información al respecto refiérase al artículo “Teaching for Understanding in the Disciplines-and Beyond”, por Howard Gardner &VeronicaDyson, publicado en 1994.

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“La comprensión se presenta cuando la gente puede pensar y actuar flexiblemente con lo que sabe. Por el contrario, cuando un estudiante no puede ir más allá de un pensamiento y acción memorísticas y rutinarias, significa que falta comprensión” Esta propuesta metodológica lleva al maestro y a las instituciones a una profunda reflexión sobre la praxis en el aula, y le permite a PHYSILAB realimentar continuamente su propuesta para ajustarla mejor a las necesidades del entorno y estado del arte de los procesos y estructura cognitiva de los estudiantes; entender qué se requiere enseñar y qué se espera que los alumnos comprendan es un elemento fundamental para redefinir los objetivos de los laboratorios en búsqueda de mejores niveles de competencias, a la vez que lleva a nuevos métodos de enseñanza del docente para la comprensión en sus aprendientes; por otro lado, PHYSILAB crea criterios claros y objetivos de evaluación basados en los procesos y evidencias dejadas durante el proceso. Dado lo anterior, se recomienda una relación abierta y de confianza entre alumno y docente, donde la información fluya en ambos sentidos, permitiéndole a cada parte cumplir con su rol de forma flexible; así, el estudiante debe comprender que es él el único artífice de la creación de su propio saber, que solo él 'sabe lo que sabe' y que el docente lo acompaña en esa construcción, evaluándolo desde unos indicadores previamente construidos, que validan o no el saber adquirido y las habilidades desarrolladas. Por otro lado, la comprensión no es un evento que sucede de un momento a otro, sino que pasa por fases, construcciones y reconstrucciones; por ello, es esencial que el maestro entienda que cada alumno aprende y comprende a su propio ritmo Sin embargo, el programa propone unos tiempos definidos para las actividades, lo que lleva a una característica importante en PHYSILAB y es que cada alumno ajusta y programa su propia agenda según dos factores: el primero son los requerimientos del curso y formulados por el docente dentro del marco institucional; el segundo, la disponibilidad de los equipos de laboratorio remoto, pues estos son compartidos. Entendiendo estas limitantes, es el estudiante quien destina la cantidad de trabajo y tiempo necesarios para cumplir con las metas de desempeño esperadas –gran responsabilidad que se le entrega al estudiante– y que, desde luego, son evaluadas. Este proyecto busca convertirse en una herramienta complementaria para el trabajo en el aula, adaptándose a las dinámicas propias que cada maestro le imprime a su clase; por tanto, no se pretende que el docente cambie su esquema pedagógico, sino que lo vincule con las tecnologías de la información y la comunicación, que lleve al estudiante a escenarios virtuales donde construya con otros, comunidades cuyo objeto principal sea el conocimiento en ambientes flexibles e incluyentes; así, el mensaje que se quiere hacer llegar a alumnos y docentes es que busquen fortalecer los esquemas de trabajo, donde el maestro haga la conceptualización y categorización de los elementos de pensamiento necesarios, apoyándose ya sea en este texto y/o en otros, también que use blogs, wikis, como herramientas de construcción, pero tal vez lo más importante es que se siga haciendo énfasis en los laboratorios como medio para corroborar o falsear postulados de forma analítica y crítica, y para esto se pueden apoyar ya sea en los recursos virtuales, en las prácticas remotas y en las reales, pues PHYSILAB no las desplaza; de hecho, las refuerza y potencia, ya que un alumno con modelos explicativos estructurados, puede comprender mucho mejor que otro principiante en un laboratorio de física. 20

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CAPÍTULO II

MEDICIÓN, ERROR Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS

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De los sentidos de la física La física es una de las ciencias fundamentales que busca dar una explicación racional del universo, sus cualidades y comportamientos en todas las escalas de tamaño y tiempo, por lo cual otras disciplinas científicas encuentran en la física su sustento teórico, tanto en sus descubrimientos como en sus desarrollos. Las tecnologías y las ingenierías, tal como la civil, la eléctrica, la mecánica, los sistemas, las telecomunicaciones, la ingeniería de petróleos, entre muchas otras, son producto directo de los descubrimientos hechos por la física, pero también disciplinas como la medicina y sus especializaciones tienen en la física un referente teórico conceptual importante, sin olvidar que áreas como la química, la biología, la paleontología, la música, el arte y los deportes han tenido también grandes desarrollos científicos y tecnológicos al usar los principios físicos como elemento de análisis del comportamiento de los sistemas. Aplicaciones como los rayos X, el láser, el radar, las teorías sobre la naturaleza de los campos, la resonancia electromagnética, el comportamiento de la materia y nanomateria, la metalurgia, la electricidad y la electrónica, son solo algunos fenómenos estudiados y explicados por la física, que han permitido la comprensión de otros fenómenos naturales más complejos; esto a su vez ha impulsado el desarrollo científico en áreas del conocimiento, con campos tan amplios que sería muy difícil resumirlos en un solo libro; estas nuevas áreas de conocimiento han favorecido la invención de dispositivos, siendo tal vez los de mayor impacto, aquellos relacionados con la electrónica como son los transistores y microchips, elementos constitutivos fundamentales de cualquier computadora. El desarrollo de la física ha posibilitado los viajes al espacio, develar algunos de los misterios del universo profundo, ha facilitado el desarrollo de la industria y mejorado el tratamiento de algunas enfermedades, e inclusive, curar algunas; es así que la física indiscutiblemente ha aportado de muchas formas en el crecimiento de la humanidad. En el campo industrial, la física como disciplina científica de conocimiento, ha permitido el desarrollo de diversos equipos tecnológicos, como el lectores y cortadoras láser, motores eléctricos y de combustión más eficientes y pequeños, resonadores magnéticos aplicados en medicina, toda la industria de las comunicaciones, pasando por la tecnología celular y el mismo sistema de posicionamiento global –GPS–, aportes que en la vida cotidiana se dan por sentado, pero que son producto del esfuerzo de equipos de investigadores que aplican los principios físicos de la materia al servicio de la sociedad. 2.1. Medición Las disciplinas que tienen carácter de ciencia se caracterizan porque sus objetos de conocimiento son obtenidos por medio de la indagación, la observación racional y la medición de parámetros, agrupando saberes en leyes generales estructuradas, demostrables y replicables, que se organizan en un sistema lógico secuenciado y confiable. Estos principios deben ser verificables en cualquier momento bajo condiciones iniciales prestablecidas y definidas dentro de las mismas leyes que los 22

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explican; por tanto, la medición de las cantidades físicas de los fenómenos busca hacer una descripción matemática confiable de los mismos para establecer regularidades, proponer comportamientos o controlar procesos a través de sus variables. Medir es comparar dos magnitudes, una de las cuales es el patrón de medida. Cuando se mide, por ejemplo, la altura de una persona, se compara esta cualidad física con otro objeto; no tiene sentido decir que una persona mide 1,8 si no se especifica claramente el elemento de referencia: si es 1,8 metros ya se puede inferir que la persona es 1,8 veces más grande que 1 metro. El problema es entonces definir un patrón adecuado para medir. Desde el inicio temprano de la condición humana, se ha intentado definir patrones de medida para varios parámetros físicos como el tiempo, la longitud y la masa, con el fin de poder establecer relaciones entre las cantidades presentes en un conjunto de elementos; saber, por ejemplo el peso de un vaca, la longitud a la cual se debe cortar el tallo de trigo, o el tiempo que se gasta la construcción de un obra, son situaciones que tratan sobre las necesidades de medición en las comunidades de la antigüedad, para las cuales en el caso de la longitud se tenía el pie inglés, el metro francés, la cuarta árabe, la vara española, entre muchos otros; elementos estos que se basaban en la disponibilidad de recursos con que contaba la región y una intención de invariabilidad. Pero…. ¿cuál es el mejor?, realmente ninguno es mejor que otro para medir, siempre que se cumplan algunas propiedades importantes: 1. Fácil de convertir de una unidad a otra o de un sistema a otro cuando se tiene la equivalencia. 2. Que sea invariable en el tiempo y el espacio, es decir, no se vea afectado por ningún otro parámetro. 3. Que se pueda reconstruir a partir de una definición. El sistema adoptado no puede cambiar con el paso del tiempo. Si por ejemplo, se tuviese como patrón de medida para la longitud la extensión del brazo de una persona adulta –como antiguamente se hacía–, se tendría el problema de que este valor depende de la persona, su edad, la raza e inclusive su genética: las dimensiones corporales de cualquier individuo pueden variar entre uno y otro, por tanto, la longitud de un brazo de una persona adulta no es un patrón de medición confiable. El patrón que se adopte debe cumplir con las tres cualidades anteriormente descritas y debe ser universalmente aceptado, pues facilita la comunicación entre diferentes comunidades y el intercambio de bienes, servicios y conocimiento. Por lo anterior, en el año 1960, la Oficina Internacional de Pesas y Medidas –BIPM, por sus siglas en francés– adopta lo que se constituye como el “Sistema Internacional de Medida” –SI–, que es una evolución natural del sistema métrico decimal y que tiene como particularidad que casi todos los patrones de medida se obtienen a partir de definiciones de fenómenos físicos. 23

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Figura 2.1. Reloj de Sol, tomado de http://horologyzone.com Uno de los instrumentos de medida más antiguos construidos por el hombre es el reloj de sol, para medir el tiempo. Este reloj se basa en el principio del movimiento de las sombras proyectadas por el sol cuando la Tierra gira sobre su propio eje.

Unidades fundamentales de medida En esencia, el sistema de medición se centra en siete unidades básicas y en otras unidades derivadas a partir de las básicas: Tabla 2.1. Unidades fundamentales de medida Unidad SI Fundamental MAGNITUD Longitud Masa Tiempo Corriente eléctrica Temperatura termodinámica Intensidad luminosa Cantidad de substancia

UNIDAD metro kilogramo segundo ampere kelvin candela mol

SÍMBOLO M kg s A K cd mol

Investigadores en todo el mundo buscan la manera de reproducir por medios físicos el estándar del patrón de medida para la masa, el kilogramo; la idea es construir de manera muy precisa una esfera de cristal de silicio-28 a la cual se le pueda determinar el número de átomos presentes y así, a partir de una constante física–el número de Avogadro–, definir el kilogramo masa. Las equivalencias se obtienen a partir de una definición de un parámetro físico, exceptuando el kilogramo, cuya definición equivale a un modelo de masa o prototipo internacional del kilogramo, guardado en una bóveda en la Oficina Internacional de Pesos y Medidas. A continuación se definen de las unidades de medida que actualmente se usan: þ Longitud (metro – m):El metro es la longitud del trayecto recorrido por la

luz en el vacío, durante un intervalo de tiempo de (1/299 792 458) de segundo (7ª CGPM, 1983)1 þ Tiempo (segundo – s): El segundo es la duración de 9 192 634 770 periodos de la radiación del átomo de Cesio 133(13ª CGPM 1967). þ Masa (kilogramo – kg): El kilogramo es la unidad de masa del Prototipo Internacional que es mantenido por la Oficina Internacional de Pesos y Medida BIPM (3ªCGPM, 1901) y depositado en el pabellón de Breteuil de Sévres. þ Temperatura (kelvin – K): Kelvin es la unidad de temperatura correspondiente a la fracción (1/273,16) de la temperatura termodinámica del punto triple del agua (13ª CGPM, 1967). 1. Este código se refiere al número de la reunión y año en el cual la Conferencia General de Pesas y Medidas –CGPM– adopta la definición.

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þ Intensidad luminosa (candela – cd): La candela es la intensidad luminosa

en una dirección dada de una fuente que emite una radiación monocromática de frecuencia http://tec.nologia.com Figura 2.2 Esfera perfecta. Investigadores en todo el mundo buscan la manera de reproducir por medios físicos el estándar del patrón de medida para la masa, el kilogramo; la idea es construir de manera muy precisa una esfera de cristal de silicio-28 a la cual se le pueda determinar el número de átomos presentes y así, a partir de una constante física–el número de Avogadro–, definir el kilogramo masa.

Unidades derivadas de medida Existen otro conjunto de unidades que son las derivadas; estas se obtienen por la combinación de las unidades fundamentales de medida y describen dimensionalmente muchos otros fenómenos físicos. Entre las unidades derivadas están las dadas por la velocidad, el volumen, la fuerza, la presión, entre muchas otras; a manera de ejemplo, se definen algunas de estas unidades derivadas: þ Área: La unidad es el metro cuadrado, que corresponde a un cuadrado de un metro [1m] de lado. þ Volumen: La unidad es el metro cúbico, que es el volumen de un cubo de un metro [1m] de arista. þ Rapidez: La unidad es el metro por segundo, que corresponde a la rapidez con que un cuerpo recorre un metro en un segundo [m/s]. þ Aceleración: Tiene por unidad el metro por cada segundo al cuadrado, que corresponde al cambio de rapidez por cada unidad de tiempo [m/s²]. þ Densidad volumétrica: La unidad es el kilogramo por metro cúbico, que corresponde a la masa contenida por unidad de volumen [kg/m³] de un cuerpo homogéneo Tabla 2.2. Prefijos del Sistema Internacional de Medidas

Nombre Exa Peta Tera Giga Mega Kilo Hecto Deca

PREFIJOS DEL SI Símbolo Factor Nombre Símbolo Factor 10 18 E d Deci 10 -1 15 P 10 c Centi 10 -2 12 T 10 m Mili 10 -3 9 G 10 Micro 10 -6 m 6 M 10 Nano 10 -9 n 3 k 10 p Pico 10 -12 2 h 10 f Femto 10 -15 1 da 10 a atto 10 -18

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Tabla 2.3.Algunas unidades derivadas Parámetro Área Volumen Velocidad Aceleración Densidad

Unidad metro cuadrado

Símbolo

metro cúbico metro por segundo metro por segundo cuadrado kilogramo por metro cúbico

m2 m3 m/s m/s2 kg/m3

La unidad internacional de velocidad es el metro por cada segundo m/s ;nótese que es el cociente entre una unidad de longitud y una unidad de tiempo; la unidad de aceleración es la razón existente entre el cambio de velocidad por cada segundo recorrido, dimensionalmente corresponde a (m/s)/s=m/s² para este ejemplo, la unidad de aceleración es el cociente entre una unidad de longitud y el cuadrado de la unidad de tiempo. La unidad de fuerza, el newton, es el producto entre una unidad de masa por una unidad de aceleración (N=kg·m/s²), siendo esta unidad el ejemplo de la existencia de algunas unidades derivadas que históricamente se les ha dado nombres especiales, por lo general, nombres de científicos notables de considerable influencia que han aportado al desarrollo de la física, pero también de otras disciplinas como la química y la ingeniería. La tabla 2.4., muestran algunos de estos parámetros especiales, las unidades que lo conforman y el nombre común que se les ha dado. Tabla 2.4. Nombres especiales para algunos parámetros físicos Parámetro Fuerza Presión Energía Potencia Carga eléctrica Frecuencia

Nombre newton pascal joule watt coulomb hertz

Símbolo N Pa J W C hz

Equivalencia – N.m-2 N.m J.s - 1 – –

Unidades -2 m.Kg.s -1 m .Kg.s-2 m 2.Kg.s-2 m 2.Kg.s-3 s.A s –1

Como ya fue enunciado, el Sistema Internacional de Medidas se fundamenta en el sistema métrico decimal, debido entre otras razones a la comodidad y facilidad para conversión de un factor de unidad a otro, lo que se hace con una simple multiplicación de una potencia de diez; igualmente, muchos países lo utilizaban para medir, sufriendo pocos cambios desde el momento de su invención y es connatural del sistema de numeración decimal. Conversión de unidades Lamentablemente, el Sistema Internacional de Medida no es universalmente aceptado por todos los países, entre ellos los de mayor resistencia son Estados Unidos y el Reino Unido2, quienes utilizan el sistema inglés o anglosajón de medida, algunos de cuyos factores se ilustran en la tabla 2.5.Esto hace necesario tener un mecanismo para la conversión de un sistema al otro: el factor de conversión. 2 Sin embargo, por la presión de la Comunidad Europea, Inglaterra adopta el Sistema Internacional de Medida, aunque en el común del país se maneja el sistema anglosajón.

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Tabla 2.5. Unidades de medida en el Sistema Anglosajón Unidad

Equivalencia Inglés – 12 in 1760 yd 5280 yd 6 ft – 16 oz 2 pt 4 qt

Símbolo in yd mi – – oz pt qt gal

1 pulgada 1 yarda 1 milla 1 legua 1 braza 1 Onza 1 pinta 1 cuarto 1 galón

Equivalencia SI 2,54 cm 91,44 cm 1609,3 m 4828 m 183 cm 29,6 ml 473,2 ml 946,4 ml 3,79 litros

Cuando se tiene un parámetro cualquiera expresado en cierta unidad de medida, se debe también tener la equivalencia a la unidad que se quiere transformar. Esa equivalencia se escribe como una razón, de tal manera que la unidad del parámetro se cancele con la unidad de la equivalencia; se pueden emplear simultáneamente varias equivalencias sobre el mismo parámetro, lo que simplifica enormemente las operaciones necesarias para la conversión. Tómense como ejercicio de esta operación los ejemplos 2.1. y 2.2. Ejemplo 2.1. Expresar 144 km/h en m/s. Solución: Al tener las equivalencias 1km = 1000m

1h = 60 min

1min = 60 s

Se puede escribir: 144

km 1000 m 1h 1min ´ ´ ´ = 40 m /s h km 60 min 60 s

Por tanto 144 km/h es igual a 40 m/s Ejemplo 2.2. Expresar 200 yardas en metros: Solución: Con la equivalencia 1 yd = 91,44 cm y 1m = 100 cm Se obtiene 200yd ×

91,44cm 1m =182,88m 1yd 100cm

La clave del proceso son los factores lineales y la posición que deben ocupar en el numerador o en el denominador, lo cual depende de la posición de la unidad que se pretende transforma. En el ejemplo anterior, yarda está como numerador, por tanto, 27

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en el factor de conversión yarda debe aparecer como denominador; como se debe pasar centímetro a metro y la unidad están en el numerador, el factor de conversión debe organizarse de tal forma que en el denominador quede la cantidad expresada en centímetros. 2.2. Error La exactitud es un término cualitativo que puede convertirse en cuantitativo y que se refiere a la capacidad de establecer qué tan cerca está un valor medido con respecto al valor verdadero o al valor real; por otro lado, la precisión o repetitividad es un término que cuantifica la cercanía que tienen un conjunto de mediciones entre sí, y esta cuantificación para un conjunto de datos se basa en las medidas de tendencia central, a la cual se le asocia una desviación. Cuando se tiene un conjunto de datos que representan un parámetro y especialmente en física, estos se acumulan en ciertas regiones; aplicando las herramientas de análisis de la probabilidad, se sabe que los datos obtenidos de fenómenos naturales se pueden asociar a una función de probabilidad, que en la gran mayoría de casos tiende a ser representada por una distribución normal. Como un primer ejemplo, considérense dos grupos de estudiantes que realizan una misma práctica de laboratorio, “Determinación de la gravedad a nivel del mar”, y cada grupo obtuvo un conjunto de datos, con los cuales se realizaron histogramas, obteniendo las siguientes funciones de probabilidad:

Figura 2.3. Distribución normal de un conjunto de datos En los datos del grupo 1, las gravedades que se encontraron estuvieron en el rango 9,78m/s² a 9,82m/s², es decir, tuvieron una variación de 0,04; por otro lado, los datos del grupo 2 estuvieron en el rango de 9,81m/s² a 9,84m/s², con una variación de 0,03, lo cual indica que en el grupo 2 fueron más precisas las mediciones que en el grupo 1. En cuanto a la exactitud, el mayor valor de densidad de probabilidad del grupo 1, está más cerca del mejor valor conocido para la gravedad a nivel del mar; el grupo 2, por 28

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otro lado, está más distante de este valor. Lo anterior establece que un conjunto de datos pueden ser precisos, pero no tan exactos como otro conjunto de datos más dispersos. Para explicar mejor la diferencia entre exactitud y precisión, considere la siguiente figura:

Figura 2.4. Disposición de los impactos sobre dianas En las dos dianas superiores se nota que los impactos están igualmente espaciados unos con respecto a los otros; sin embargo, en la diana superior derecha estos impactos están mejor centrados, lo que indica que aunque su nivel de precisión es el mismo, el nivel de exactitud es mejor. Por otro lado, las dianas de la vertical izquierda muestran que existen impactos sobre el centro, pero en la diana inferior izquierda estos están menos separados; en conclusión, los impactos son muy precisos, pero poco exactos. Finalmente, en la diana inferior derecha los impactos son muy precisos, y además, todos están muy cerca del centro, por lo cual estos impactos son precisos y exactos a la vez. Ahora, un concepto asociado con la medición es la incertidumbre: esta se entiende como el espacio bidireccional en torno a un valor específico que caracteriza la dispersión de los datos y que de forma razonable son aceptados como característicos de la medición; esta incertidumbre depende de muchos factores, pero especialmente de dos: la exactitud que puede manejar el equipo y la habilidad y precisión que tenga el operador para leer, interpretar y manipular los valores que le proporcione el instrumento. Otra de las dificultades de la medición radica en el hecho de que no es posible, en muchas situaciones, determinar el valor exacto de un parámetro; por ejemplo, si se necesita encontrar la longitud de un lápiz usando como instrumento de medición una regla común, se podría establecer el valor aproximado de su longitud en centímetros 29

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con una precisión de tal vez un dígito en milímetros, ya que este sería la máxima precisión con que contaría el instrumento, por lo cual siempre existirá una incertidumbre asociada sobre el valor exacto de la medida y obviamente conducirá a un error en ella y en todos los cálculos que se hagan con estos valores. Por tanto, la pregunta no es si se acepta o no una respuesta con error; la pregunta es qué nivel de error se está dispuesto a permitir, o por otro lado, qué precisión y exactitud es la que se demanda en la respuesta. A manera de ejemplo, supóngase que se tiene una regla graduada en centímetros y se quiere medir la longitud de un pedazo de lápiz, como muestra la figura 2.5. Con certeza se sabe que el lápiz de la figura mide al menos 4,6cm; sin embargo, no se tiene certeza de un valor más exacto con la regla utilizada para el siguiente decimal y solo se puede especular; claramente se ve que no sobrepasa los 4,65cm, pero las 5 centésimas son una medida aproximada, y como parámetro de incertidumbre se debe especificar de forma explícita Medida del lápiz = 4,63cm ± 0.03 cm Esto quiere decir que la medida del lápiz cumple con la relación Bajo otras circunstancias, con este mismo problema se podría generar otro valor de incertidumbre con mayor o menor tolerancia, siendo igualmente válido según sea la precisión del equipo de medida. Generalizando, se tiene entonces la ecuación 2.1. [2.1] Aquí x es la medida real, es la mejor medida estimada y Dx es la incertidumbre absoluta de la medición. La incertidumbre invalida la medida tomada, razón por la cual se debe definir un rango infinito de valores donde existe una muy alta probabilidad, casi 1, de encontrar la medida exacta.

Figura 2.6. Intervalo numérico donde existe una probabilidad muy alta de que se encuentre la medida

http://autofillforms.mozdev.org Figura 2.5. Incertidumbre de las medidas

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Como los errores en las medidas generan incertidumbres sobre el valor definido, los dos conceptos se encuentran íntimamente relacionados; las incertidumbres o errores se pueden producir por diversos factores, tanto humanos como sistemáticos. Entre los errores más comunes que se presentan al momento de toma de medidas, están: þ Errores de apreciación o paralelaje: Se presentan por la falta de agudeza sensorial de las personas que toman la medida; por ejemplo, no se tiene la suficiente certeza del punto exacto donde quedó finalmente la aguja del medidor y se debe aproximar tomando la decisión del mejor valor. þ Errores de exactitud: Cada instrumento de medida tiene una capacidad para realizar comparaciones en una escala determinada; el nivel de detalle de la escala es la que finalmente determina la exactitud de la medida. þ Errores de calibración: Los equipos de medida por el uso o por abuso eventualmente se deterioran y pierden su patrón de referencia; por esa razón, se usan otros dispositivos con patrones más precisos que permiten recuperar esta referencia en los medidores iniciales. Este proceso se denomina calibración. Sin embargo, algunas veces el dispositivo calibrador pierde su patrón sin que el operador se dé cuenta, agregando un error a todos los medidores que se calibren con esta herramienta, y en consecuencia, las medidas que se hagan con estos medidores contendrán estos mismos errores. Existen otros errores de calibración y aparecen cuando el medio externo o el objeto medido interfieren con el instrumento de medición, y por tanto, el equipo se debe re-ajustar. Un ejemplo concreto se presenta al usar una cinta metálica para medir longitudes, pues el calor hace que el metal se dilate y puede ocasionar que se registre una distancia menor de la que realmente existe. Dado lo anterior, es necesario hacer un ajuste por temperatura sobre la cinta metálica. þ Errores Metódicos: Son muchos las clases de errores metódicos; algunos de los más comunes son: dificultades de conectividad entre equipos, tiempos de respuestas no sincronizados, pérdida de información, interferencia del objeto medido y no ajustado, entre otras. Existe otro grupo de errores que generan incertidumbres: los errores estadísticos o aleatorios. Sus causas son muy variadas y se generan al azar, cometiéndose con igual probabilidad por exceso o por defecto. Aunque no es posible eliminar los errores y las incertidumbres, sí pueden reducirse y mitigar sus efectos en metrología, lo cual se logra mejorando la calibración de los instrumentos de medición o remplazándolos por instrumentos de mayor exactitud. En el caso de las calibraciones, es importante disponer de una trazabilidad documentada y ampliamente demostrable según los estándares de medida aceptados internacionalmente. La reducción del error también se logra por correcciones sucesivas, por métodos analíticos más sofisticados o por la selección de modelos físicos más apropiados. 31

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Error de Conversión

http://www.jpl.nasa.gov Figura 2.7. Sonda espacial prototipo enviada a Marte La sonda espacial MarsClimateOrbiter (MCO) fue un satélite artificial lanzado por la NASA en 1999, que después de un viaje de 9 meses y medio y una inversión cercana a los $US 120 millones de dólares, se pierde en Marte por un error de conversión. El control en Tierra, responsable de la navegación, hacía los cálculos con el Sistema Anglosajón de unidades (distancia en millas), mientras que la computadora a bordo de la sonda los recibía y procesaba como si fueran del Sistema Métrico decimal (distancia en kilómetros), lo que ocasionó que la nave se desviara de su curso y terminara estrellada contra el gigante rojo, en vez de orbitarlo como se tenía pensado.

La incertidumbre total combinada o efectiva de una variable, es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las incertidumbres individuales, como se muestra en la ecuación2.2. [Ec. 2.2] Si, por ejemplo, se necesita encontrar el valor de un parámetro físico a través de varios instrumentos o en el proceso de encontrar el valor del parámetro secuencialmente se usan varios medidores, cada uno con una incertidumbre asociada, la incertidumbre total de la medición corresponde al valor numérico proporcionado por la ecuación anterior. Entre las formas de cuantificar los errores en las incertidumbres están: Error absoluto: Es el rango máximo de valores que puede tomar la variable; por esta razón, muchos autores asumen que el error absoluto es exactamente igual a las incertidumbres y aunque esto en gran parte es cierto, la diferencia entre una y otra se puede dar por el contexto. [Ec. 2.3] 32

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El error no solo se define para las incertidumbres, sino también para las mediciones realizadas; cuando se hace una práctica experimental y por medio de un análisis se determina la magnitud de algún parámetro, es posible establecer una medida de error entre el valor obtenido y el valor calculado, siendo entonces: [Ec. 2.4] Donde vteo es el valor teórico y vexp el valor experimental, convirtiéndose esto en una discrepancia de la medida. Error relativo por unidad: Algunas veces es difícil establecer la calidad de una respuesta obtenida solo con el error absoluto; por esa razón, es una costumbre comparar este error con un patrón de referencia; este patrón puede ser el mejor valor estimado: [Ec. 2.5] El error relativo es un indicativo más concluyente, pues permite comparar diferentes medidas realizadas sobre un mismo parámetro, de una forma sencilla. Error porcentual: Es el mismo error por unidad expresado en porcentaje e igualmente esta forma de mostrar el error es muy utilizada, tal vez más que el error por unidad, ya que la comparación de la magnitud de la incertidumbre o del error se hacen con respecto a la escala porcentual: [Ec. 2.6] Las causas de estos errores son variadas y se pueden clasificar en tres grandes factores, como se ilustra en la figura 2.8.

Figura 2.8. Causas del error en procesos de medición El factor instrumental introduce errores en la medida debido principalmente a calibraciones incorrectas o al uso de equipos de medida sin el respectivo cuidado y mantenimiento, lo que hace perder precisión del mismo. Los errores por factor procedimental ocurren cuando no se toman correctamente las medidas o hay errores 33

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conceptuales en la forma de representar el problema, y en consecuencia, el modelo que se obtiene no lo representa; finalmente, el factor humano sigue siendo otra causa de error, cuando el operario no es cuidadoso al tomar la medida, usa incorrectamente el equipo o carece de experticia e incide negativamente en medidas. Cálculo del Error y su propagación Existen diversos factores que introducen incertidumbres en las medidas; sin embargo, son objetivos de esta sección analizar los errores instrumentales absolutos, los errores estadísticos y su propagación a través de las operaciones. Para calcular el error es fundamental conocer la forma como se desarrolla el proceso de medición. Medición única directa: Esta medición se realiza una sola vez y a través de un instrumento de medida, con el fin de simplificar cálculos se va a suponer que el error es sólo de naturaleza instrumental; para calcular el error total se debe sumar el error dado por la clase de exactitud (emax) del instrumento y el error de lectura (elec)

Dx = emax + elec

[Ec. 2.7]

Este último error de lectura se calcula como se muestra en la ecuación 2.8: C [Ec. 2.8] d Donde C es un valor denominado Constante del Instrumento y es proporcionado por el fabricante, y es un parámetro de ajuste de acuerdo con las características del instrumento, como se ilustra en la tabla 2.6: elec =

Tabla 2.6. Tipos de escalas en los instrumentos de medida d 1 2 10 Número de divisiones en el nonio

Caso Escala fina (Sin apreciación) Escala fina (con apreciación) Escala gruesa Instrumento con nonio

Cuando se cuenta con estos dos errores, el valor encontrado se debe reportar adecuadamente con la suma de los errores instrumentales y de medida. Medición directa realizada varias veces: Cuando es posible contar con muchas mediciones de un mismo parámetro con el mismo instrumento de medida, se debe calcular el error estadístico a partir de la desviación estándar (s) del conjunto de valores. N

x=

å xi i= 1

N

N

y

s=

å (x - x ) i =1

2

i

N ( N - 1)

34

[Ec. 2.9]

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Donde x ̅ es el valor promedio, xi es un dato cualquiera y N es el número total de datos. Medición indirecta hecha una sola vez: En algunas situaciones no es posible obtener una medida directa de alguna variable y es necesario realizar otro tipo de medidas para así, mediante un análisis matemático o físico, encontrar el valor deseado. Supóngase que se quiere medir el volumen de un tanque cilíndrico y para ello se toma la medida del radio y de la altura, mediante una operación matemática, que corresponde a la fórmula del volumen del cilindro V=πr²h se encuentra la medida solicitada. Supóngase que se tiene una función de la forma con sus respectivos errores absolutos:

x1 = x1 + Dx1 x2 = x1 + Dx2 O

O +O

xn = xn + Dxn Usando herramientas estadísticas se puede demostrar fácilmente que el error absoluto de la medida indirecta está dado por la expresión: n

Df = å i=1

¶f Dx ¶xi i

[Ec. 2.10]

Medición indirecta realizada varias veces: Cuando se tiene la oportunidad de realizar las mismas mediciones varias veces con el mismo instrumento, se puede obtener el valor promedio de cada parámetro medido y la desviación estándar: este es el error estadístico: xx1 =

1

+ s1

x 2 = x1 + s 2 O O+ O x n = xn + s n

Dadas estas condiciones, el error final de la medida indirecta se calcula como se muestra en la ecuación 2.11: 2

æ ¶f ö 2 Df = å ç ÷ si i=1 è ¶xi ø n

35

[Ec. 2.11]

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Mediante procedimientos estadísticos, fácilmente se puede demostrar que las incertidumbres asociadas a mediciones indirectas, son menores que cuando se realiza una única medición. Finalmente, cuando se tiene el error estadístico y el error instrumental, siempre se debe usar el error más grande, pues es el peor de los escenarios posibles. Discrepancia: En algunas ocasiones es posible medir la misma variable física a través de métodos diferentes, y como es de esperar, se obtienen resultados también diferentes; en consecuencia, es importante saber si la discrepancia entre estos valores es significativa o no. Supóngase que se tienen dos medidas para el mismo parámetro: x1 = x1 ± D x1 x 2 = x1 ± Dx2

Con ellos se puede definir un error estadístico de discrepancia, como se ilustra en la ecuación 2.12: Dx = Dx1 + Dx2 2

2

[Ec. 2.12]

Y en consecuencia, las medidas con un límite de confianza del 68% cumplen con x1 - x2 ³ 2Dx y si se cumple con x1 - x2 ³ Dx el límite de confianza es de un 96%. Es importante hacer una clara diferencia entre el error y la discrepancia: el error se define en virtud de sí mismo o se asocia con la exactitud de los equipos de medida; la discrepancia se define en términos de otros resultados, inclusive resultados ya tabulados y teóricos. Cuando se hace una medición de algún parámetro físico es común denominar error a la diferencia que existe con un valor ya conocido u obtenido a través de algún procedimiento matemático, o como resultado de una práctica mejor elaborada con instrumentos muy exactos y parámetros muy controlados, pero realmente y para ser justos con la terminología empleada, este no es propiamente un error sino una discrepancia, y se debe tratar como tal. Trazabilidad Un evento natural es aceptado como verdadero para la física cuando es medible, cuantificable y repetible en el tiempo y el espacio; es aquí donde el laboratorio de física toma importancia, pues es el lugar en el que ocurren estas comprobaciones. Ahora bien, cuando se toma una medida cualquiera existen factores internos y externos que hacen diferir el valor adquirido finalmente con el valor verdadero del parámetro que se está midiendo, y en consecuencia se deben tomar acciones para mitigar esta variabilidad o para reconocer en términos matemáticos el impacto del error en la toma de las medidas. Esto se logra o ajustando los instrumentos de medida o repitiéndola de forma concisa y metódica; para comprender mejor el error en la toma de datos, es importante antes unificar y clarificar conceptos. Atendiendo a la definición de la Organización Internacional de Normalización (ISO), 36

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“La trazabilidad es una propiedad que tiene la medición donde esta pueda relacionarse con referencias especificadas, usualmente estándares nacionales o internacionales, a través de una cadena continua de comparaciones, todas con incertidumbres especificadas” Este concepto apareció aproximadamente a mediados de la década del90, como respuesta a la Encefalopatía Espongiforme Bovina, más conocida como la enfermedad de las vacas locas, que apareció inicialmente en Europa cobrando la vida de muchas personas; se necesitaba entonces tener un referente histórico de las condiciones sanitarias bajo las cuales se procesaba la carne, para definir si eran aptas o no para el consumo humano.

El GPS y Einstein http://concurso.cnice.mec.es Figura 2.9. Satélite GPS Los GPS –Global PositioningSystem– son dispositivos que permiten identificar y ubicar cualquier punto sobre la Tierra, con una precisión de hasta algunos pocos centímetros. Se basan en la señal proveniente de no menos de cinco satélites de un gran grupo de 33 en órbita, para calcular la posición en la que se encuentra el dispositivo GPS. Los satélites GPS se mueven en órbitas casi circulares a 14.000 km/s y una altura aproximada de 20.000 km, y cuentan con un reloj atómico para sincronizar los tiempos de emisión de las señales; sin embargo, a esa altura y velocidad, los relojes atómicos se adelantan 38 microsegundos al día, lo que equivale a decir que los satélites estarían viajando al futuro 38 microsegundos cada día;esto corrobora la Teoría de la Relatividad de Einstein. Este error, aunque aparentemente pequeño, de no ser corregido, ocasionaría que el GPS tuviera un error de más de 10 km de distancia sobre la superficie de la Tierra, inutilizando totalmente el equipo. Estas sincronizaciones y correcciones las hace el mismo satélite, para proporcionar al GPS en Tierra los valores correctos que le permiten así determinar su posición de forma casi exacta.

Aunque el concepto de trazabilidad como tal es nuevo, se viene aplicando en la ciencia desde hace muchos años dentro del método científico. En particular, la trazabilidad en el laboratorio de física toma vital importancia, pues permite definir un referente histórico de la manera como se realizó la medición del parámetro físico que se está analizando, y de esta manera, permite comprobar a otros investigadores el 37

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valor de veracidad de las conclusiones que se alcanzaron; por tanto, en cualquier práctica de laboratorio la trazabilidad debe tener en cuenta las siguientes componentes: þ Definición del objeto de estudio. Es fundamental delimitar muy bien las variables que se van a tener en cuenta en el estudio del fenómeno físico, intentando simplificarlo lo mejor posible, pero teniendo cuidado de no llegar a un modelo simplista que finalmente no describa acertadamente el evento. þ Historicidad de la práctica: Para poder aceptar un resultado como verdadero, este debe repetirse y para poder realizar este proceso, es importante establecer muy bien la cadena de eventos que sucedieron, la forma como se midieron, aportando todas las condiciones particulares que se presentaron y en adición el tipo y calidad de instrumentos que se utilizaron. Los resultados deben mostrarse con un formato estadístico, con su respetivo error o incertidumbre. þ Una presentación adecuada, que resuma de forma concisa y muy precisa para el lector, los resultados alcanzados en la práctica de laboratorio. En consecuencia, la trazabilidad en física describe de forma detallada la manera como se hace la experiencia, el sustento teórico que se emplea y la manera como se obtienen los resultados. Aunque no existe un formato único de trazabilidad, sí es posible encontrar modelos comúnmente aceptados por comunidades científicas y por los grupos económicos. 2.3. Cifras significativas Cuando se hacen mediciones de parámetros físicos, algunas veces con ellos se deben realizar operaciones algebraicas, y como consecuencia, aparecen resultados con una cantidad infinita de dígitos; por ello, se debe tener especial cuidado con la cantidad de números decimales a tomar y a manejar, para que estos resultados sean consistentes y coherentes. Se denomina cifras significativas a los dígitos que se conocen con cierta certeza en una cantidad mesurada, tomando el caso anterior del lápiz de 4,63cm ± 0.03 cm, se tiene que: Tabla 2.7. Cifras significativas Número Incertidumbre

Unidad Décima Centésima 4 6 3 0 0 3

Sobre el dígito de las unidades y de las décimas se tiene total certeza; sin embargo, en el dígito de las centésimas existe cierta incertidumbre. Dado lo anterior, se puede decir que la longitud del lápiz se está expresando con tres cifras significativas; agregar 38

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más dígitos después de las centésimas no tiene ningún sentido si el valor de la incertidumbre está expresado hasta las centésimas, sería una especulación que no lleva a ninguna conclusión importante. Para determinar la cantidad de cifras significativas de un número menor a 1, se cuentan el número de dígitos que lo conforman, incluyendo los ceros que están a la derecha o en medio, los ceros que estén a la izquierda no se cuentan; como ejemplo, considere la tabla 2.8. Tabla 2.8. Cifras significativas

Cantidad 0,125 0,00125 0,001250 0,001250125 0,12500

Cifras significativas 3 3 4 7 5

En el caso de cantidades mayores a 1, para determinar el número de cifras significativas se cuentan los dígitos que la conforman, incluyendo los ceros situados en el medio, pero no se cuentan los ceros a la derecha, con la excepción de que la cantidad tenga parte decimal, en cuyo caso esos ceros cuentan como dígitos. Tabla 2.9. Cifras significativas

Cantidad 4568 456800 456801 456800100 45,68 45,6800

Cifras significativas 4 4 6 7 4 6

Cuando se operan cantidades con cifras significativas seguras y dudosas, es importante tener en cuenta que los errores se ven modificados. A estos errores no se les puede aplicar propiedades de la linealidad de números enteros, y en consecuencia, es preciso aplicar herramientas más elaboradas del cálculo. Para estos cálculos con cantidades que tienen cierto nivel de incertidumbre, el resultado numérico igualmente poseerá esa misma incertidumbre o mayor, por lo que las cifras significativas del resultado de una multiplicación o división, por ejemplo, no pueden tener más cifras significativas que las correspondientes a la cantidad de mayor 39

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incertidumbre. Tómese como ejemplo la siguiente multiplicación de dos cantidades que se midieron en un laboratorio con instrumentos de diferente precisión: 3,14159 × 4,31 = 13 ,5402529

La primera cantidad tiene 6 cifras significativas, mientras que la segunda tiene 3 cifras significativas; por tanto, el resultado de la multiplicación de las dos cantidades no puede tener más de tres cifras significativas. Así, es correcto establecer que: 3,14159 × 4,31 ˜ ˜ 13 ,5

Lo cual tiene más sentido que el primer resultado. Para el caso de suma o resta de cantidades con incertidumbre, ya no se tiene en cuenta la cantidad de cifras significativas sino la cantidad de cifras decimales del número, con lo que se obtiene en el resultado la misma precisión de la cantidad de menor número de dígitos después de la coma. Tómese como ejemplo la siguiente operación: 45,1254 - 2,14 = 42.9854

La primera cantidad tiene cuatro dígitos después de la coma, con una precisión de 0,0001, mientras que el otro número tiene dos dígitos después de la coma, lo que corresponde a una precisión de 0,01; así, el resultado no debe tener más de dos cifras después de la coma, es decir, su precisión solo puede ser alrededor de las centésimas: 45,13 - 2,14 ˜ 42.99 ˜

Nótese que la cantidad de mayor número de cifras después de la coma, se redondea a la centésima que es la menor precisión que tiene cualquier otra cantidad en la operación; esto tiene mayor sentido, ya que más decimales no mejoran la precisión del resultado, pudiéndose llegar a conclusiones equivocadas si fuera necesario tomar una decisión a partir de estos resultados.

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PREGUNTAS Y EJERCICIOS DE MEDICIÓN, ERROR Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS PREGUNTAS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Para medir el tiempo, arbitrariamente se toma como elemento de referencia el movimiento de la Tierra sobre su propio eje y alrededor del Sol. ¿Qué otro fenómeno podría tomarse para medir el tiempo? Justifique su respuesta. ¿Qué patrón propondría usted como referencia para medir la masa de los cuerpos y cuáles serían las características de este patrón de medida? Si fuera a medir el diámetro de una esfera, el espesor de una hoja y la curvatura de un cascarón, ¿qué instrumentos utilizaría? Explique las razones por las cuales se considera que un patrón de medida confiable, debe ser invariante en el tiempo. Consulte sobre otras unidades derivadas y defínalas en términos de las unidades fundamentales. ¿Cuáles son las causas más frecuentes de error cuando se toman medidas en un laboratorio de física? Establezca un cuadro comparativo de semejanzas y diferencias entre los conceptos de precisión y exactitud. ¿Qué precisión se obtiene típicamente con una regla, un vernier, un esferómetro y un tornillo micrométrico? Explique qué error conceptual hay en la expresión numérica x=(3±2)cm ¿Por qué cuando se quiere obtener el valor de un parámetro físico, es preferible realizar varias medidas a realizar una sola? Enuncie algunos escenarios laborales y/o académicos donde es fundamental la aplicación de la trazabilidad. Una unidad para la altura de los caballos que aún es posible encontrar es la “mano”. Explique por qué este patrón no es conveniente. Estime la masa de este libro texto en gramos y compárela usando un instrumento de medición. ¿Qué puede concluir de la experiencia? Realice una pequeña consulta sobre la datación por prueba de carbono-14 y exponga las principales características de este método, prestando especial atención a los posibles errores en los resultados arrojados por la prueba.

EJERCICIOS 1.

La distancia aproximada entre la Tierra y la Luna es 350.000 km. Haciendo uso de notación científica, exprese esta cantidad en metros. 41

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2.

Una cuadra es un sistema de medición de origen español que consiste en un cuadrado de 80m de lado.Encuentre el área de una cuadra expresada en metros cuadrados y yardas cuadradas.

3.

La velocidad del sonido en el acero es aproximadamente 5200 m/s. Encuentre esa rapidez en km/h y en milla/h.

4.

Una piscina tiene una dimensión de 12m×8m×140 cm. Encuentre la capacidad de la piscina expresada en litros y en galones americanos.

5.

Dada su edad en años, exprésela en días, horas y segundo, usando notación científica cuando esto sea necesario.

6.

Si un galón de pintura cubre una superficie de 25m², cuántos litros de pintura se necesitan para pintar 200m².

7.

Un automóvil promedio tiene un tanque de 12 galones con un rendimiento de 40 km/gal. Exprese este mismo rendimiento en kilómetros por litro y la capacidad del tanque del auto en litros.

8.

Una lámina rectangular tiene (4,51±0.03)cm de largo y (2,4±0,1)cm de ancho. Encuentre el perímetro de la lámina y su área, con sus respectivas incertidumbres.

9.

Por medio de un nonio, se determina que el diámetro de cierta moneda es (1,72±0.01)cm. Encuentre el perímetro y la superficie de la moneda con sus respectivas incertidumbres.

10. En cierta práctica de laboratorio se hace la medida del punto de impacto de la caída de un cuerpo, llegando a los siguientes valores consignados en la tabla: Dato Valor (cm)

1 14,23

2 14,4

3 13,98

4 14,01

5 13,88

6 14,32

7 14,17

8 14,1

A. ¿Pueden asumirse estos datos como representativos para el parámetro medido? B. ¿Cuál es el mejor valor que representa la distancia medida? Incluya el valor de incertidumbre.

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CAPÍTULO III

CANTIDADES VECTORIALES

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Los vectores son herramientas matemáticas que permiten definir y estudiar muchos fenómenos físicos tales como la velocidad, el desplazamiento, la aceleración, la fuerza, la cantidad de movimiento, el campo eléctrico y la inducción magnética, todos los cuales involucran algunas características como la magnitud y dirección, elementos que deben ser considerados conjuntamente para comprender mejor los modelos matemáticos explicativos que los estructuran. La presente sección busca conceptualizar algunos elementos de vectores en R², es decir, aquellos vectores que se pueden representar en un plano ortogonal, y en R3, que son los vectores dados en tres dimensiones; definiendo para cada uno las operaciones básicas de suma, resta y multiplicación en adición a algunos tipo de representaciones matemática-geométrica que suelen tener; sin embargo, antes de iniciar este estudio es necesario establecer claramente las diferencias entre las cantidades vectoriales y las escalares. Cantidades escalares Las cantidades escalares son aquellas que quedan totalmente especificadas si de ellas se conoce su orden de magnitud, es decir, su valor o su longitud con su correspondiente unidad de medida; como ejemplos, pueden nombrarse la masa de un cuerpo, la temperatura absoluta, el color, el volumen, entre otras. Conociendo el valor de la masa de un cuerpo se está especificando completamente esta característica. La masa es independiente de la forma del cuerpo y de su posición, del sitio donde se pueda encontrar el cuerpo, del color del mismo y de cualquier otro parámetro; al decir, por ejemplo, que un cuerpo tiene 40 kg se conoce totalmente la masa del mismo, a esta masa se le puede añadir otra masa y sin ningún otro procedimiento especial, se suman para encontrar una masa resultante. Algo semejante sucede con el volumen, la longitud y la temperatura. Por otro lado, existe un segundo tipo de cantidades, para las cuales hay que definir procedimientos diferentes en las operaciones matemáticas; estas son las cantidades vectoriales o simplemente, vectores. 3.1. Vectores Los vectores son aquellas cantidades que, además de poseer un orden de magnitud como en las cantidades escalares, requieren también definir otros parámetros como la dirección, el sentido y el punto de aplicación; un ejemplo clásico de cantidades que se modelan matemáticamente como vectores son las fuerzas. Al actuar dos fuerzas sobre un mismo cuerpo y querer obtener una fuerza equivalente, no se puede simplemente sumar o restar las magnitudes de estas fuerzas; es necesario tener en cuenta hacia dónde apuntan las fuerzas y en dónde actúan, porque no es lo mismo aplicar una fuerza sobre la chapa de una puerta, que sobre las bisagras, el efecto que se obtiene es diferente. Considere ahora que se necesita levantar un cuerpo que está sumergido en agua: al aplicar la fuerza hacia arriba se obtienen algunos resultados, pero al aplicar la misma fuerza hacia abajo, se obtienen otros; por tanto, es importante el sentido y dirección que esa fuerza tiene, ya que con causas diferentes se obtienen efectos diferentes. 44

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Al unir o mezclar dos cuerpos de diferentes masas, volúmenes y temperaturas es posible establecer que la masa resultante es igual a la suma de cada una de las masas; sin embargo, esto no es necesariamente cierto con el volumen y la temperatura. Al mezclar dos gases, el volumen resultante no es obligatoriamente igual a la suma de los volúmenes de cada muestra, sino que depende de otros factores, como la presión y la temperatura. Así mismo sucede con la temperatura. Cuando se mezclan, por ejemplo, dos líquidos de diferentes temperaturas, la temperatura final nunca es igual a la suma algebraica de las temperaturas de cada muestra; de hecho, es un promedio ponderado a la cantidad de masa y al calor específico de las sustancias. Por lo anterior, es necesario prestar atención al momento de realizar ciertas operaciones matemáticas con cantidades escalares, ya que estas pueden verse afectadas, atendiendo a la naturaleza del parámetro mismo. Se puede definir un vector como una asociación ordenada de números reales1 que, en términos geométricos y para los objetivos de este curso, existen en el espacio euclidiano; este orden ya preestablecido es importante e históricamente se ha usado (x,y,z) como convención.

Figura 3.1. Forma gráfica de representar un vector La figura anterior muestra un vector representado en forma geométrica, como una flecha orientada sobre el plano; para diferenciarlo de otras cantidades, se le representa con letras mayúsculas, en negrilla o con una pequeña flecha colocada en la parte superior: Vector 1. Inclusive, es posible definir vectores cuyo conjunto ordenado sean números imaginarios y hasta complejos.

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Las cantidades vectoriales quedan completamente definidas con un orden de magnitud (tamaño, longitud o norma), una dirección, un sentido y un punto de aplicación. A continuación se hace una breve descripción de cada concepto: Magnitud à |A|: Es la longitud o dimensión del vector, también conocida como Norma, corresponde el tamaño del vector. Dirección à q: Es el ángulo o conjunto de ellos que forma el vector con respecto a algún eje de referencia. Sentido: Indica la posición y ubicación en el espacio bidimensional o tridimensional, estableciendo si el vector sube, baja, tiende hacia un lado o a otro. Punto de aplicación: Es el lugar geométrico desde donde actúa el vector. Existen diversas formas de representar un vector, tanto gráficas como analíticas; en la forma gráfica se usa la flecha orientada y para las formas analíticas se presta especial atención a las formas cartesianas, polares y unitarias, que son las que se emplean con mayor frecuencia en física. En la representación cartesiana, al punto origen del vector se le hace coincidir con el origen coordenado2; de esta manera; el punto terminal del vector A , identificado como el punto (ax,ay), define un mecanismo que permite representar cualquier vector euclidiano; de la misma manera, un vector B en el espacio tridimensional queda explicitado en notación cartesiana como: B= (bx, by, bz ) Donde bi es la proyección del vector en el eje i-ésimo. La siguiente figura ilustra la representación del vector A y un vector B.

Figura 3.2. Representación Cartesiana de un Vector en el plano y en el espacio 2 El origen de un vector se puede colocar en cualquier punto del plano cartesiano y sus propiedades como la magnitud, la dirección y el sentido se mantienen; sin embargo, se acostumbra escoger el origen, pues simplifica cálculos.

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Figura 3.3. Magnitud y dirección de un vector En el plano cartesiano, al ubicar el punto origen de un vector en el origen se puede notar la formación de un triángulo rectángulo, para el cual la hipotenusa hace las veces de la magnitud, y el ángulo se mide entre la hipotenusa y el cateto adyacente; aunque la posición del ángulo no tiene que ser con respecto al eje x y se puede referenciar con respecto a otro eje, sí es importante especificar muy claramente esa referencia cuando se cambia.

Y para vectores en el espacio tridimensional, se tiene:

Y por definiciones trigonométricas, la dirección del vector es:

Medida desde el semieje x positivo. Estas últimas expresiones llevan a un segundo sistema para representar vectores analíticamente, y es la forma polar, cuya estructura es equivalente a la forma mostrada a continuación:

Donde es la magnitud del vector y θ la dirección del vector medida desde el semieje x positivo. Por otro lado, cuando se tiene la magnitud y la dirección en forma polar, se pueden obtener las componentes cartesianas del mismo; aplicando principios básicos de la trigonometría se puede concluir que:

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PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Con lo que se llega a:

Con esto se tiene el mecanismo para convertir un vector expresado en un sistema cartesiano a sistema polar y viceversa. 3.2. Vectores unitarios Una tercera forma de representar los vectores utilizando las facilidades que brinda el plano cartesiano, son los vectores unitarios. Un vector unitario es un vector paralelo a cada eje cartesiano, cuya magnitud es uno (1); cada componente de cualquier otro vector se puede escribir como n veces la magnitud del vector unitario. Si se consideran vectores en el plano, hay dos vectores unitarios: el vector î =(1,0) es un vector de magnitud 1 y paralelo al eje de las abscisas; el otro vector unitario es ĵ = (0,1), que es un vector de magnitud 1 y paralelo al eje de las ordenadas. como se muestra en la figura 3.4. Como ejemplo, si se tiene el vector A = (2,3), este se puede representar en términos de los vectores unitarios como A =2i+3j ; de igual manera, si B =(-2,4) su representación en términos de los vectores unitarios corresponde a B = -2i+4j. Una de las ventajas de usar la representación de vectores con vectores unitarios, estriba en el hecho de que se puede cambiar el orden sin que esto implique un cambio en vector mismo. Para el caso de vectores tridimensionales, el tratamiento es muy similar anexando un tercer eje –eje z– y paralelo a este un vector unitario k, con lo que las coordenadas de los tres vectores unitarios paralelos a los ejes coordenados es: 1,0,0

0,1,0

0,0,1

Por tanto, un vector A = axi + ayj + azk expresado en coordenadas cartesianas, tiene en términos de vectores unitarios la forma: 3

La figura 3.5.representa geométricamente los vectores unitarios en R

Figura 3.5. Representación tridimensional de vectores en el espacio, en términos de los vectores unitarios 48

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Aunque los vectores son cantidades n dimensionales, es decir, están definidos para 2, 3 o más dimensiones, en esta parte de la física solo interesan los vectores en el plano o en el espacio. Por otro lado, a los vectores como cantidades matemáticas se les puede asociar algunos comportamientos, propiedades y operaciones especiales; a continuación se fundamentan algunos de estos conceptos necesarios para comprender, desde el análisis matemático, los fenómenos naturales. 3.3. Operaciones básicas con vectores Los vectores son cantidades con los cuales se pueden realizar operaciones como suma, resta, la multiplicación de un vector por un escalar, el producto punto entre dos vectores y el producto cruz entre dos vectores, entre otras. A continuación se fundamentan de manera sencilla estas operaciones y queda a criterio del lector profundizar en las mismas. Suma y resta de dos o más vectores Cuando se tienen los vectores en representación cartesiana o en términos de los vectores unitarios, sumarlos o restarlos es una operación matemática simple, que equivale a sumar o restar término a término los que sean semejantes, es decir, se operan las componentes correspondientes. Para ejemplificar esto, considérense los vectores tridimensionales A, B y C:

Para los cuales la operación suma se define como:

Dos de las propiedades importantes que cumple la suma de vectores, son la conmutativa y la asociativa, es decir, el orden en que se suman los vectores NO modifica el resultado y la forma como se agrupen para sumarlos, tampoco altera el resultado. Propiedad Conmutativa en Vectores

Propiedad Asociativa en Vectores

Por otro lado, la resta es una operación binaria tanto en cantidades escalares como en cantidades vectoriales, está definida inicialmente para pares de elementos a la vez, lo que significa que solamente se pueden restar de forma directa dos vectores; en caso de 49

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

haber una segunda resta, esta debe realizarse con el resultado de la primera resta. En el caso de los vectores y de la misma forma que la suma, la resta se hace componente con componente; así, dados los vector A y B anteriormente definidos, se llega para la diferencia de vectores a la expresión:

Al igual que en los reales, la resta de vectores NO cumple con la propiedad conmutativa, por lo que se debe prestar especial atención al momento de realizar este cálculo, verificando cuál es el vector que resta y cuál es el vector restado. También es posible realizar gráficamente la suma de dos o más vectores a través de una estrategia denominada Método del Paralelogramo; este consiste en ubicar un vector a continuación del otro, hasta ubicarlos todos, y posteriormente la suma es el vector que resulta de unir la cola del primer vector con la cabeza del último vector ubicado. Considérese el caso mostrado en la figura 3.6., bajo el siguiente contexto: una persona realiza dos desplazamientos en línea recta, partiendo del punto a y llegando al punto c, representándose estos desplazamientos como vectores; el efecto final –llegar al punto c–hubiese sido exactamente el mismo si la persona, partiendo del mismo punto a, hace un desplazamiento directo al punto c, a través de un vector C que se denominará vector suma o vector resultante. Una de las propiedades geométricas interesantes de esta operación, es que el orden en que se suman los vectores NO cambia el resultado, es decir, el vector resultante que en este caso es el vector suma, sigue siendo el mismo en magnitud y dirección, lo se puede apreciar en la figura 3.6.

Figura 3.6. Propiedad conmutativa para la suma de vectores Combinando las dos gráficas de la figura 3.6., se tiene el Método del Paralelogramo para la suma gráfica de vectores, según se muestra en la figura 3.7., lo que en forma resumida plantea que para el Método del Paralelogramo se traslada de forma paralela cualquiera de los dos vectores hasta llegar a la cabeza del otro –también se puede hacer simultáneamente con los dos vectores, con idéntico resultado–; 50

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posteriormente, se traza el vector suma o vector resultante entre el punto inicial y el punto final, donde terminan por encontrarse los vectores. Para ejemplificar esto, considérese la siguiente situación en R2. Ejemplo 3.1: Sumar gráficamente

Figura 3.7. Método del paralelogramo para la suma de vectores Solución: Como se plantea, el método consiste en unir la cabeza de un vector con la cola del otro (figura 3.8):

Figura 3.8. Suma gráfica de tres vectores Lo que se puede fácilmente corroborar de forma analítica:

Que corresponde al resultado obtenido de forma gráfica. En el caso de tener la forma polar de cantidades vectoriales y que se precise sumar o restar analíticamente, lo más aconsejable es transformar los vectores a la forma cartesiana o en términos de los vectores unitarios. 51

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Figura 3.9. Propiedad conmutativa de la suma de vectores Para la restar de vectores de forma gráfica, el vector que resta –el vector negativo– gira 180º y se procede a sumar el primer vector con el vector girado, lo que de forma analítica corresponde a:

Considérese la situación mostrada en la figura 3.9: en la representación, se tiene el vector B al cual, por la naturaleza misma de la operación, se cambia de sentido –situación 2–; posteriormente se suman los dos vectores, el vector A con el vector –B, para obtener el vector resultante:

Figura 3.10. Resta de dos vectores Existe una segunda forma gráfica para restar vectores. En la misma situación, considérese que se tienen los vectores A y B representados en el plano y se quiere restarlos; para ello, simplemente se dibujan los vectores partiendo de un mismo punto y se dibuja el vector resta partiendo del vector que resta hasta el vector que es restado, como se muestra en la figura 3.11:

Figura 3.11. Método triangular para resta de vectores 52

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Nótese que tanto el método del paralelogramo para restar vectores como el método anteriormente visto –denominado método triangular–, obtienen vectores de la misma magnitud, dirección y sentido; tal vez difieren en el punto de aplicación, pero considerando que es posible en física trasladar vectores de forma paralela, sin que ello implique el cambio en las características de la solución, se puede concluir que se llega exactamente a la misma respuesta con cualquiera de las dos estrategias. Ejemplo 3.3: Restar gráficamente los vectores A = 5i+3j y B = i+4j Solución: La figura 3.12 muestra gráficamente la solución de este problema, (2) usando el método del paralelogramo y(3) usando el método triangular.

Figura 3.12. Resta de dos vectores del ejemplo 3.3 Analíticamente se tiene que: A

Que corresponde al resultado obtenido de forma gráfica, tanto en la forma (2) como en la (3). El siguiente conjunto de operaciones para vectores son las multiplicaciones; a continuación se conceptualizan algunos procesos relacionados con el producto de vectores.

Figura 3.13. Multiplicación de un vector por un escalar 53

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Multiplicación de dos vectores Existen tres tipos de operaciones relacionadas con la multiplicación, que se pueden realizar con vectores: la multiplicación de un vector por un escalar, el producto escalar entre dos vectores o producto punto y el producto vectorial entre dos vectores o producto cruz. En el producto escalar simple, se multiplica un vector por una constante; esto equivale a multiplicar cada componente del vector por el escalar, lo que resulta en un nuevo vector paralelo al original, ampliado, reducido y/o rotado 180º cuando la constante es negativa. Sea el vector A =axi + ayj + azk un vector en tres dimensiones, el producto escalar simple nA ?,donde n es una constante numérica no nula -diferente de cero-, equivale a: nA = naxi + nayj + nazk

[Ec. 3.9]

þ Si n > 1, el vector resultante tiene una mayor magnitud y es paralelo al vector original. þ Si 0 < n < 1, el vector resultante tiene una menor magnitud y es paralelo al vector original. þ Si –1< n < 0, el vector resultante tiene una menor magnitud y está rotado 180º þ Si n < –1, el vector resultante tiene una mayor magnitud y está rotado 180º. La conclusión es que al multiplicar un vector por un escalar, varían su magnitud y sentido si la constante es menor que cero, pero no cambia la inclinación, es decir, su dirección. Producto punto Una segunda forma de multiplicación vectorial es lo que se denomina el producto punto o producto escalar entre dos vectores, que corresponde a la multiplicación de la proyección de uno de los vectores sobre otro vector por la magnitud del segundo vector; para comprender mejor este concepto, tómense inicialmente dos vectores no paralelos en el plano:

Figura 3.14. Producto punto de dos vectores 54

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Así, el producto punto de dos vectores se define como se muestra en la ecuación 3.10:

Otra conclusión muy importante es que el producto punto de dos vectores corresponde a un escalar, es decir, un número, y en tal sentido se cumple la propiedad conmutativa; adicionalmente, cuando los vectores son perpendiculares el producto punto vale cero, ya que , y esto se explica por el hecho de que cuando dos vectores son perpendiculares, no existe proyección de uno sobre el otro.

El Vector Etimológicamente, la palabra vector viene del latín Vectoris, que significa “el que conduce, el que lleva” y esta connotación lo ha llevado a ser aplicado en muchas ramas de la ciencia. En las matemáticas, por ejemplo, el término Vector se usa para representar cantidades que llevan en sí, otras cantidades con cierto orden y dos operaciones fundamentales: la suma y el producto. En medicina también se usa la palabra vector para representar a todos aquellos organismos capaces de transportar enfermedades.

http://blog.ciencias-medicas.com Figura 3.15. Zancudo Aedes aegypti El zancudo Aedes aegypti, es el único vector que transmite la enfermedad conocida como Fiebre Amarilla, que ha causado más muertes que todas las guerras de la humanidad, juntas.

Cuando dos vectores son paralelos, el producto punto es igual a la multiplicación de las magnitudes, ya que el coseno del ángulo vale 1 {cos(0º)=1} en el caso que tengan el mismo sentido o vale –1 cuando tienen sentidos opuestos, es decir, formen entre ellos un ángulo de 180º. Lo anterior permite definir el producto punto entre vectores unitarios con fines de establecer la forma analítica del producto punto de vectores. 1 1

1 1

55

2

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

De esta manera, el producto de dos vectores en el plano:

Se obtiene como lo muestra la expresión 3.11:

Y si están en el plano tridimensional, quedan:

Donde θ corresponde al ángulo entre los dos vectores. Ejemplo 3.4: Encuentre el producto punto entre los vectores

Solución: Existen dos formas con las cuales se puede encontrar el resultado del producto punto entre los vectores: la primera es usando la magnitud y ángulo entre ellos; la segunda, usando las componentes. A continuación se explora cada una de ellas: Primera Forma: Atendiendo a la representación gráfica de los vectores que se muestra en la figura 3.16.

Figura 3.16. Representación de los vectores en el problema 3.4 El ángulo entre vectores vale 105º, así, el producto punto vale:

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Segunda forma: A partir de la representación polar, se obtiene las componentes para la representación en términos de los vectores unitarios.

De la misma forma para el vector N.

Con estas componentes se puede encontrar el producto punto dada la ecuación 3.12:

Los dos procedimientos son igualmente válidos; la aplicación de uno u otro depende del contexto del problema y de la naturaleza de los datos que se tienen. Producto cruz El último producto que se analiza en este libro –el producto vectorial entre dos vectores o producto cruz– es una operación definida en el espacio tridimensional, es decir, en R3, y se denota mediante la expresión matemática: X

Para definir el producto vectorial, se dibujan nuevamente los dos vectores en el plano unidos por la cola; el resultado del producto cruz es un tercer vector ortogonal al plano donde están los dos primeros vectores, como lo muestra la figura 3.17:

Figura 3.17. Producto cruz de dos vectores Sin embargo, siempre existen dos direcciones perpendiculares al plano de los vectores que se multiplican, para escoger el correcto se sigue lo que se conoce como la Regla de la Mano Derecha; para esto, asúmase que el vector A gira hasta alinearse con el vector B escogiendo siempre el ángulo más pequeño entre A y B; usando la mano derecha y rotando los dedos índice y central sobre la perpendicular con las puntas señalando en la dirección de los vectores que se multiplican, la dirección correcta del vector producto cruz X es siempre la dirección hacia donde apunta el dedo pulgar. 57

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Adaptado de http://wdict.net/es/gallery/regla+de+la+mano+derecha/ Figura 3.18.Sentidos en el producto cruz de dos vectores Y de la misma manera se determina la dirección de X , haciendo girar el vector B hacia el vector A, donde la dirección del vector es la misma que hacia donde apunta el dedo pulgar. En términos matemáticos es posible establecer que el producto vectorial o producto cruz de dos vectores, denotado como ,está dado por la relación: X

Por tanto, si dos vectores son paralelos entonces su producto cruz vale cero, y si son perpendiculares, su producto cruz es máximo; tómense ahora los vectores unitarios y la ley de la mano derecha anteriormente descrita; así se puede establecer claramente que: Pero también:

Figura 3.19. Producto cruz entre vectores unitarios 58

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La figura 3.19 muestra el sentido positivo en el orden en que se deben multiplicar los vectores unitarios para obtener el vector siguiente; si se va contra de este sentido, el vector resultante será de signo negativo. Esto concuerda con los planteamientos dados en las expresiones anteriores del producto cruz de los vectores unitarios. Ejemplo3.5: Obtener el producto cruz de los vectores

Solución: Indicando la operación dada la expresión 6.13., se tiene:

Que es igual a:

Por tanto,

En el caso que se tengan vectores tridimensionales, resulta más útil aplicar el método matricial–determinante para hallar el resultado del producto cruz. Para ejemplificarlo, considérense los vectores A y B en R3

Entonces,

se dispone como un determinante para una matriz de 3x3:

Con lo que se llega a la expresión para el producto cruz de vectores:

Que corresponde a un tercer vector C, perpendicular al plano formado entre los vectores A y B. Ejemplo 3.6: Obtenga el producto cruz de:

59

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Solución: Usando el arreglo matricial, se tiene:

Con lo que obtiene:

Y se llega a:

Que es un vector perpendicular al plano formado por los otros dos vectores.

60

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PREGUNTAS Y EJERCICIOS DE VECTORES PREGUNTAS 1. ¿La suma de dos vectores no nulos, puede dar cero? Ejemplifique su respuesta. 2. ¿El producto punto de dos vectores no nulos, puede dar cero? Ejemplifique su respuesta. 3. ¿El producto cruz de dos vectores no nulos, puede dar cero? Ejemplifique su respuesta. 4. ¿A qué es igual la magnitud de la suma de dos vectores que son perpendiculares? 5. Dado el vector |A|=4cm y el vector |B|=3cm, encuentre los valores máximos y mínimos para la magnitud del vector resultante suma. Analice el comportamiento del ángulo entre los vectores. 6. ¿Es posible que la magnitud de un vector sea una cantidad negativa? 7. ¿Es posible que la dirección de un vector sea una cantidad negativa?

EJERCICIOS 1. Para los siguientes vectores, determine la magnitud y la dirección, y represéntelos en el plano: a. (–1,2) d. (–1,–2) g. (–3,–4)

b. e.

(2,3) (3,–4)

c. f.

(4,5) (–3,4)

2. Para los siguientes vectores, determine la magnitud y la dirección, y represéntelos en el plano: a. d. g.

b. e. h.

c. f. i.

61

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

3. Para los siguientes vectores expresados en forma polar, obtenga la representación en términos de los vectores unitarios: a.

º

b. º

d. g.

º

8

e.

º 5

c. º

h.

º

f. º

º

i.

º

4. Sean los siguientes vectores:

Obtenga la norma para cada uno. 5. Realice las siguientes operaciones vectoriales de manera analítica y gráfica: a.

A+B

b.

A+C–D

c.

B–A+C

d. C–A+B–D

e.

2A+3B

f.

5D+4B

g.

h.

2A+3B–4D

–2B–3C

6. Realice las siguientes operaciones vectoriales empleando diversos métodos: a.

A·B

b.

–B·C

c.

C·(–D)

d. AB

e.

BA

f.

(AD)·B

g.

h.

(A+B)×(C-D)

(B×C)·(C×D)

62

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CAPÍTULO IV

MOVIMIENTO EN UNA DIMENSIÓN

63

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadas Figura 4.1 Sistema de Referencia conformado por tres coordenadas mutuamente ortogonales y un instante de tiempo.

La cinemática es la parte de la mecánica clásica que estudia el movimiento de los cuerpos sin considerar su masa, forma y tamaño, lo que resulta una aproximación bastante buena para cuerpos pequeños, uniformes y que se mueven a velocidades bajas, por debajo de los 30000 m/s, que es una fracción de la velocidad de la luz; esto con el fin de no considerar efectos relativistas del movimiento. Para esta primera entrega se consideran sistemas de referencia inercial, es decir, sistemas físicos en los cuales las leyes del movimiento que explican el comportamiento del cuerpo, cumplen también con las leyes del movimiento de Newton. Para esto, considérese una persona que viaja dentro de un tren. En su marco de referencia, puede asumir que con respecto a él mismo, la silla donde va sentado no se mueve; sin embargo, una persona que está fuera del tren y ve hacia adentro puede notar que la silla sí se está moviendo. Por lo anterior y de forma general, resulta muy útil definir un sistema de referencia que facilite la descripción de estos movimientos e históricamente se ha usado en mecánica clásica el sistema ortogonal de coordenadas cartesianas para el espacio euclidiano, que considera el tiempo como parámetro de medición, así cualquier posición de un cuerpo o de una partícula está completamente definido por tres coordenadas cartesianas y un momento en el tiempo P(x,y,z,t), siendo el movimiento, el cambio de posición que experimenta un cuerpo con respecto a otros dentro de este marco de referencia, que en primera instancia se considera en reposo. El concepto de movimiento es un concepto relacional de un cuerpo con respecto a otro o a una determinada posición; resulta especialmente útil asumir que este referente está en reposo absoluto –lo cual realmente no posible, pero simplifica de manera significativa los cálculos–; supóngase que se desea caracterizar el movimiento de un tren y parte de esa descripción se debe hacer con respecto a un referente común, de tal forma que se puedan hacer comparaciones con otros objetos que están en movimiento; queda intuitivo para todos, tomar como referente la Tierra, asumiendo inicialmente que esta se encuentra en reposo y que todos los demás cuerpos, están o se mueven cerca a su superficie a velocidades muchísimo menores a la velocidad de la luz –por debajo del 1% de la velocidad de la luz–; sin embargo, es un hecho ampliamente conocido que la Tierra tiene velocidad de rotación sobre su eje, de casi 30.000 km/s, al igual que cualquier cuerpo que se encuentre sobre su superficie. PREGUNTA Un cuerpo que se mueve en una trayectoria circular, ¿puede tener desplazamiento cero?, ¿puede tener trayectoria cero? 64

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EL TREN BALA http://bajurtov.wordpress.com El tren bala es un modelo para explicar el movimiento rectilíneo; este medio de transporte puede fácilmente alcanzar velocidades de hasta 500 km/h, pero tiene una limitante y es que por la seguridad y comodidad de los pasajeros, solo puede hacerlo en trayectos rectos…. ¿por qué?

4.1. Posición, velocidad y aceleración Este capítulo analiza el movimiento rectilíneo, el cual considera las partículas que solo pueden moverse en una dimensión, es decir, sobre una línea recta, que puede ser vertical, horizontal o en cualquier otra dirección. A continuación se definen algunos conceptos importantes. Trayectoria: La trayectoria de un cuerpo es la longitud del camino que el cuerpo recorre en su movimiento. Nótese que la trayectoria es una cantidad escalar, por lo tanto, no interesa las direcciones que sufre el cuerpo en su movimiento; solo el valor absoluto de las distancias recorridas, lo que corresponde en otras palabras, a establecer la cantidad de espacio recorrido durante su movimiento, y que algebraicamente se entiende como la suma de todas las longitudes sobre las que el cuerpo se traslada. Desplazamiento: El desplazamiento que realiza un cuerpo en su movimiento es un vector que une la posición inicial con la posición final del movimiento. Al ser el desplazamiento una cantidad vectorial, la dirección del movimiento y el sentido son dos elementos importantes para establecer correctamente el desplazamiento de un objeto. Por otro lado, en la física clásica se considera que un cuerpo solo puede existir en un espacio determinado y en un momento específico del tiempo, y la variación de este espacio en relación con el tiempo se denomina velocidad. Velocidad Media: La velocidad media es un vector que representa el desplazamiento de la partícula sobre el intervalo de tiempo que tarda ese movimiento. La velocidad media es una cantidad que permite establecer aproximadamente la tasa de variación de espacio con respecto al tiempo, pero que puede no representar exactamente la velocidad del cuerpo en cualquier punto de la trayectoria. En términos matemáticos, la velocidad media se simboliza y calcula como: 65

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

[Ec.4.1]

Cuando un vector, como es el desplazamiento, se divide entre un escalar como lo es el tiempo (una cantidad siempre positiva), solo se cambia la magnitud del vector, no su dirección o sentido, lo que lleva a concluir que la velocidad media es independiente de la trayectoria que toma el cuerpo en su movimiento y solo depende de las posiciones inicial y final.

Figura 4.3. Trayectoria no lineal de una partícula La línea punteada de la figura 4.3 muestra los diferentes lugares por donde un cuerpo pasa en su movimiento, desde una posición inicial hasta una posición final, en un tiempo determinado; así, el desplazamiento es el vector que une la posición final con la posición inicial, es decir, un vector con magnitud, dirección y sentido que tiene como punto inicial a xi y como punto final a xf ; como se puede apreciar, este desplazamiento no coincide con la trayectoria, llegando acertadamente al hecho que la magnitud del desplazamiento nunca puede ser mayor a la trayectoria, a lo sumo, igual y eso cuando el cuerpo se mueva en línea recta. Ahora supóngase que un vehículo recorre la distancia que separa dos ciudades; por obvias razones debe estar obligado a cambiar su velocidad, acelerando, frenando y posiblemente deteniéndose; en consecuencia, la rapidez, que es la magnitud de la velocidad, no es la misma durante todo el trayecto, sino solamente para aquellos tramos donde el vehículo tiene un comportamiento uniforme. Por lo anterior, es necesario definir un nuevo parámetro físico que estime la velocidad de un cuerpo en momentos muy pequeños; este parámetro es la velocidad instantánea. Velocidad Instantánea: La velocidad instantánea es el vector que define la velocidad de la partícula en un instante de tiempo determinado.

66

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SABÍAS QUE…. La magnitud de la velocidad media o instantánea, recibe el nombre de rapidez, siendo esta una cantidad escalar. Muchos autores, en sus problemas, asumen que los cuerpos se mueven en línea recta, lo que implica que la dirección del vector velocidad no cambia, sino solo la magnitud, siendo esta la variable de interés y denominándola indistintamente velocidad o rapidez, aunque el concepto no sea equivalente.

EFECTO CHERENKOV Es un efecto asociado a radiaciones de tipo electromagnético, producido cuando una partícula en un medio sobrepasa la velocidad de la luz (fotones) en ese medio, lo cual se logra con partículas cargadas y aceleradas eléctricamente. Parte de su explicación nace del efecto Doppler en sonido y se caracteriza por proyectar emisiones muy azuladas, como se ve en la figura. http://darkdruid.blogsome.com Figura 4.4. Imagen de una central eléctrica nuclear Este efecto es ampliamente utilizado en los detectores de partículas, donde la radiación es usada como trazador de las mismas.

La velocidad instantánea es entonces el límite de la velocidad promedio tiende a cero, que se ilustra en la ecuación 4.2:

cuando [Ec. 4.2]

Y esto, según el cálculo diferencial, corresponde a la primera derivada de la función posición con respecto al tiempo, según la ecuación 4.3: [Ec. 4.3]

Para comprender mejor estos dos conceptos, considérese la siguiente situación: Se sitúan tres cronómetros sobre una línea recta para medir la rapidez de un vehículo en las posiciones que se muestran en la figura 4.5:

Figura 4.5.Posición de un cuerpo en un movimiento rectilíneo uniforme 67

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Para cada uno de los tramos es posible definir tanto la posición inicial como la posición final y el tiempo gastado en el recorrido, y según la expresión 4.1.:

Se puede construir la siguiente tabla: Tabla 4.1. Comportamiento de un auto que se mueve en línea recta Tramo A B C

xf 400 0m 760 0m 1280m 0

xi 0m 400m 760m

x 400m 360m 520m

ti tf 0s 10s 10s 22s 22s 35s

t 10s 12s 13s

Para cada uno de los tramos se puede definir una velocidad media en atención a la ecuación anteriormente presentada, así: Tabla 4.2. Velocidad media en cada tramo Tramo A B C

V Velocidad media 40 m/s 30 m/s 40 m/s

Igualmente, se puede definir una velocidad media para todo el recorrido: | |

1280 35

Figura 4.7. Representación de la posición de un cuerpo que se mueve en línea recta De los anteriores cálculos se establece que de un tramo a otro, la velocidad cambia, es decir, cada tramo tiene una velocidad media propia que de hecho es diferente a la velocidad media de todo el trayecto; por tanto, la velocidad o rapidez media es un estimativo del cambio de posición por unidad de tiempo de un cuerpo equivalente, pero que se mueve a velocidad o rapidez constante a lo largo del mismo tramo, esto no necesariamente corresponde con la realidad del movimiento. Por otro lado, la velocidad o rapidez instantánea corresponde al valor de la rapidez en el punto donde se hace la medición, independientemente de la velocidad que traía o la velocidad con que continúa. Supóngase que se tiene un objeto que se mueve a lo largo de una línea recta, cuya posición se muestra en el diagrama de la figura 4.7.; esta figura representa las 68

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posiciones sucesivas del cuerpo a lo largo de una trayectoria rectilínea, nótese que en algunos momentos avanza mientras que en otros retrocede lo que lleva a establecer que la velocidad es una cantidad variable con el tiempo en este contexto.

Figura 4.8. Rapidez media de un objeto que se mueve sobre una línea recta Sobre la trayectoria se sitúan varios puntos de control o referencia, y por ejemplo, puede establecerse que la velocidad entre el origen y el punto a es aproximadamente 3,1 m/s, mientras que la velocidad media hasta el punto b es aproximadamente 1,5 m/s², ambas situaciones con velocidades crecientes; en el punto c con respecto al origen, el objeto tiene velocidad 0 m/s, es decir, aparentemente a los dos segundos NO se ha movido; con respeto al punto d y e, el objeto tiene velocidad negativa, lo que equivale a decir con respecto al origen del movimiento, que el objeto está retrocediendo; sin embargo, la velocidad instantánea en esos mismos puntos cuenta una historia diferente. En la figura 4.9 se muestra en cada punto la velocidad instantánea, y recordando que esta no es más que la primera derivada de la función posición con respecto al tiempo y que la derivada representa en cada punto la pendiente de la curva, se obtiene:

Figura 4.9. Velocidad instantánea de un vehículo que se mueve en línea recta Nótese ahora que en el punto a la línea es horizontal, lo que indica que el objeto en ese punto está en reposo, mientras que en el punto b el cuerpo está retrocediendo, ya que su velocidad para ese punto tiene pendiente negativa; igual sucede en los puntos c y d. Para el punto e la pendiente es cero, lo que plantea que la velocidad instantánea en ese punto específico es cero, contrario al valor negativo que arrojaría la rapidez media entre el origen y el punto e. 69

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

ANÁLISIS DIMENSIONAL Atendiendo a las definiciones anteriormente planteadas, se pueden establecer las unidades para la magnitud de la posición, velocidad y aceleración de los cuerpos. La tabla que se muestra a continuación, ilustra las unidades empleadas por el Sistema Internacional de Medidas y por el Sistema Inglés. Tabla 4.3. Unidades de posición, velocidad y aceleración en el SI Espacio Velocidad Aceleración

SI m m/s m/s²

Inglés ft ft/s ft/s²

Tanto la velocidad instantánea como la velocidad media, son cantidades vectoriales y es costumbre utilizar la misma variable para reconocerlas, por lo que el contexto sobre el que se describe el movimiento, determina el tipo de parámetro que se usa para una u otra; ahora bien, bajo ciertas circunstancias, es posible que la velocidad cambie tanto en dirección como en magnitud, a este cambio se le conoce con el nombre de aceleración, que es un concepto físico importante y que se analiza con detenimiento más adelante en este libro. CAMBIOS INSTANTÁNEO DE VELOCIDAD La figura 4.10., contiene algunas impresiones, por lo menos a la luz de física clásica. El problema radica en el hecho que no existe un cambio instantáneo de un valor de velocidad a otro, por ejemplo en el primer tramo la velocidad es de 200 m/s y en el segundo la velocidad es de 50 m/s y el punto de quiebre ocurre a los dos segundos, es decir, a los dos segundos, el vehículo pasa inmediatamente de los 200m/s a los 50m/s, sin pasar por valores intermedios de velocidad lo cual bajo condiciones normales debería ocurrir. En términos matemáticos, la primera derivada de la función posición con respecto al tiempo es la velocidad y en la gráfica, a los dos segundos se tiene una “punta” lo que imposibilita al cálculo diferencial encontrar el valor de velocidad en ese punto. Sin embargo, para fines prácticos en este curso no se tendrán en cuenta estas singularidades matemáticas y físicas y se deja al lector la consulta de las mismas en bibliografía especializada.

Ejemplo 4.1: La figura muestra la posición contra el tiempo de un vehículo que se mueve en línea recta

Figura 4.10. Posición de un vehículo que se mueve en línea recta, en función del tiempo. 70

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a. b. c. d.

Encuentre la rapidez media en cada tramo de la curva Encuentre la rapidez media en el intervalo de tiempo [0,5]s Encuentra la rapidez media en el intervalo de tiempo [0,6]s Encuentre la rapidez media en el intervalo de tiempo [0,10]s

Solución: Para cada una de las preguntas, es necesario realizar un análisis del comportamiento del cuerpo en el tiempo. a.

Para la primera cuestión, la representación gráfica tiene seis intervalos de tiempo claramente definidos, así:

Intervalo [0,2]s

Intervalo [2,4]s

Intervalo [4,5]s

En este tramo, el vehículo estuvo en reposo relativo, es decir, con respecto al sistema de referencia que se escoge inicialmente, el objeto se encuentra en reposo. Intervalo [5,6]s

Realmente el concepto “negativo” para la velocidad indica una dirección; en este caso corresponde a que el cuerpo se está moviendo hacia atrás con respecto a su sentido original de movimiento, e inclusive lo hace a rapidez constante, y no que está reduciendo su velocidad, como podría pensarse equivocadamente; los cambios en las velocidades corresponden a una desaceleración, que es el concepto categorial que se explica en la siguiente sección. Intervalo [6,8]s

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PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

De nuevo el vehículo queda detenido relativamente en el intervalo de los 6 a los 8 segundos. Intervalo [8,10]s

De nuevo el vehículo se mueve en sentido contrario. b.

En el intervalo de 0 a 5 segundos, se usa de nuevo la expresión de velocidad media, con lo cual se tiene:

Nótese que esta velocidad puede corresponder a un promedio ponderado de las velocidades medias en cada uno de los dos tramos. c.

En el intervalo de 0 a 6 segundos, se tiene:

No es extraño pensar en este valor, si se considera que el vehículo empieza a retroceder y en consecuencia, otro vehículo que quiera recorrer esa misma distancia a velocidad constante, precisaría de una velocidad mucho menor. d.

En este intervalo, la rapidez media será:

Si se compara con respecto al problema anterior, se encuentra que en los dos segundos siguientes el vehículo se encontraba en reposo, y en consecuencia, otro vehículo que se mueva a rapidez constante desde el origen tendría dos segundos más para hacer el mismo recorrido, lo que implica que su velocidad media debe ser menor. e.

Finalmente, después de 10 segundos el vehículo llega al origen, y en consecuencia, si se compara con el inicio el objeto no se movió, lo que permite establecer que la velocidad media en los 10 primeros segundos es cero; esto para el lector puede ser confuso, pues es un hecho que existió un movimiento en el espacio y en el tiempo, por lo cual necesariamente tuvo que haber una rapidez, y decir que la rapidez es cero en ese intervalo puede asumirse erradamente como que el carro nunca se movió; sin embargo, hay que tener presente que este es un promedio.

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Ejemplo 4.2: Una partícula se mueve sobre el eje x, y su posición en el tiempo está determinada por la expresión dada, con x expresada en metros y el tiempo t en segundos:

Figura 4.11. Representación gráfica del movimiento de la partícula del ejemplo 4.2.

Cuya representación gráfica se muestra en la figura 4.11.Aquí x representa la posición medida en metros y t el instante de tiempo medido en segundos. A. Determine el desplazamiento de la partícula en el intervalo de tiempo de [0,6]s y en el intervalo de [6,10]s. B. Igualmente, determine la rapidez media en los mismos intervalos de tiempo. C. Obtenga la representación gráfica de la ecuación de velocidad y encontrar la velocidad instantánea a los 9s. Solución: Atendiendo a la expresión algebraica que representa matemáticamente el problema, en el intervalo de tiempo de los 0 a los 6 segundos se tiene: 6

6² 0

0²

Por tanto, el desplazamiento de la partícula es:

Adviértase de nuevo que no existen posiciones negativas; el signo negativo en este resultado indica que con respecto al punto inicial del movimiento y el sentido original definido, la partícula se movió en sentido contrario. Para el intervalo de los 6 a los 10 segundos se tiene: 10 6

10² 6²

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PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Así, el desplazamiento de la partícula es:

Por tanto, el objeto entre los 6 y 10 segundos se movió en línea recta una distancia total de 208m y recordando que había retrocedido 108, con respecto a la posición original, se movió con respecto a esta 100m. B. Para encontrar las velocidades promedio, considérese sobre las gráficas las pendientes entre los puntos indicados; teniendo los desplazamientos en los intervalos de tiempo, se puede encontrar la rapidez media. Entre los segundos 0 y 6: 6

Entre los segundos 6 y 10: 4

Lo que equivale a la pendiente de la gráfica para los puntos señalados. C. Recordando que la velocidad corresponde a la primera derivada de la función de posición con respecto al tiempo, se tiene entonces: ³

²

²

La figura 4.13 muestra simultáneamente la posición y velocidad para la partícula que se mueve en línea recta. Para la velocidad instantánea se usa la ecuación de velocidad, así: 9

9

9

Nótese que la velocidad promedio en cualquier punto de un intervalo está entre los valores extremos de la velocidad instantánea, lo que fácilmente se puede explicar con el teorema de valor medio, propuesto en cálculo diferencial.

Figura 4.12. Velocidad Media de la partícula para dos intervalos de tiempo

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Figura 4.13. Representación gráfica de la posición y rapidez de un cuerpo en función del tiempo. De la misma forma que la velocidad describe la tasa de cambio de la posición con respecto al tiempo, la aceleración describe la tasa de variación de la velocidad con respecto al tiempo.En la gráfica de posición, fácilmente se puede apreciar que en los primeros seis segundos, la pendiente de la curva en todos sus puntos es negativa, lo que implica que la velocidad es negativa y es lo que efectivamente corresponde con la gráfica que se muestra para la ecuación de velocidad; igualmente, para los últimos cuatro segundos, la gráfica de posición tiene pendientes positivas, y por tanto, la velocidad es de magnitud positiva. El tercer concepto importante para conceptualizar y que se vuelve elemento fundamental en la descripción del movimiento de cualquier cuerpo es la aceleración; de la misma forma que la velocidad, la aceleración, que es una cantidad vectorial se puede definir en términos de una aceleración media o de una aceleración instantánea. Supóngase que se tiene un objeto en movimiento que en la posición 1 tenía una velocidad v1 en el instante de tiempo t1, posteriormente en la posición 2, tenía una velocidad v2 en el instante de tiempo t2, dado esto, se puede establecer un parámetro que defina ponderadamente el cambio de esta velocidad en la unidad de tiempo. De la misma forma que la velocidad describe la tasa de cambio de la posición con respecto al tiempo, la aceleración describe la tasa de variación de la velocidad con respecto al tiempo.

Figura 4.14. Aceleración en el movimiento rectilíneo 75

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Si se define un cambio de velocidad como Dv=v2 - v1 en un intervalo de tiempo Dt = t2 - t1 siendo el punto 2, el punto final y el punto 1 el punto inicial, entonces: La aceleración media de una partícula que se mueve es el cambio del vector velocidad instantánea dividido en el intervalo de tiempo. [Ec. 4.4]

Esto es un vector cuya componente en x es . Posteriormente se hará énfasis en el hecho de que pueden existir otras componentes de la aceleración a las que aquí inicialmente se plantea, especialmente cuando el cuerpo no se mueve en línea recta. Ejemplo 4.3. Una partícula tiene un movimiento rectilíneo en la dirección positiva del eje x, cuya curva de rapidez contra tiempo se representa en la figura 4.15. Teniendo en cuenta las características mostradas, determine la curva de la aceleración contra tiempo para el movimiento. Solución: En la curva se puede fácilmente apreciar que existen cinco tramos diferentes, para los cuales se puede establecer un valor de aceleración, así En el tramo [0,2] segundos, la aceleración es según la ecuación 4.4: 40 ²

En el tramo [2,3] segundos, la aceleración es: 40 ²

Aquí se puede apreciar que el cuerpo no cambia su magnitud de velocidad, lo que implica que no hay aceleración y que se corrobora matemáticamente según la expresión anterior. En el tramo [3,5] segundos, la aceleración en dirección de las x es: 60 ²

En el tramo inicial se puede apreciar, con respecto a este, que tiene más inclinación, lo que corresponde a una mayor aceleración.

Figura 4.15. Representación de la velocidad contra tiempo de una partícula que se mueve en línea recta.

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En el tramo [5,7] segundos, la aceleración es según la ecuación 4.4: 20 ² Este valor negativo indica que la velocidad está reduciéndose lo que efectivamente se comprueba en la gráfica.

En el tramo [7,8] segundos, la aceleración es: 20 ²

De nuevo el vehículo se mueve sin aceleración, es decir, con velocidad constante. La figura 4.16 muestra la representación gráfica de la relación entre la velocidad y la aceleración de la partícula.

Figura 4.16. Velocidad y aceleración de una partícula que se mueve, en el problema 4.3 En esta gráfica, al igual que en el problema 4.1, existen cambios instantáneos de velocidad y aunque son buenas aproximaciones, siguen siendo aplicaciones de orden académico. La aceleración media solo considera los valores extremos de la velocidad instantánea en el intervalo, uno en el momento inicial y otro en el momento final; sin embargo, es muy probable que a lo largo del trayecto, el cuerpo cambie continuamente de aceleración, y así es preciso encontrar su cambio en cualquier instante; dado lo anterior, la aceleración instantánea se define con la misma estructura que la velocidad instantánea: 77

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Aceleración instantánea: Es la derivada del cambio de la velocidad, por unidad de tiempo. En otros términos, la aceleración instantánea es el cambio instantáneo de la velocidad, cuando Dt tiende a cero; en términos matemáticos queda como:

Así, se llega a la expresión dada por la ecuación 4.5: Ec. [4.5]

Tanto la aceleración media como la aceleración instantánea son cantidades vectoriales. Ejercicio 4.4. La ecuación de posición de un objeto que se mueve en línea recta en dirección de las x está dada por la ecuación (Distancia en centímetros y tiempo en segundos): [cm]

a. b.

Encuentre las ecuaciones de velocidad y aceleración para esta partícula. Obtenga las presentaciones gráficas de las tres ecuaciones

Solución: En la sección anterior se establece que la primera derivada de la función posición es la función velocidad, por tanto

Por tanto, después de derivar se tiene: [cm/s]

De la misma forma, la aceleración es la primera derivada de la función velocidad, o también la segunda derivada de la función posición; así: [cm/s²]

La figura 4.17 ilustra las representaciones gráficas de la posición, velocidad y aceleración de la partícula; de estas, es posible concluir lo siguiente: þ El movimiento es periódico, es decir, se repite con características similares en la misma unidad de tiempo, tanto para la posición, como para la velocidad y aceleración. þ El recorrido máximo de la partícula está entre los 2 y –2 cm; este es el valor de la amplitud del movimiento. 78

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þ Cuando el objeto está en las posiciones extremas, su velocidad es cero. þ Cuando el objeto está en las posiciones extremas, su aceleración es máxima. þ Cuando el objeto pasa por el origen (posición de equilibrio), su velocidad adquiere la máxima magnitud. þ Cuando el objeto pasa por el origen (posición de equilibrio), su la aceleración es cero. Para el movimiento rectilíneo existen dos movimientos característicos que agrupan una gran cantidad de fenómenos físicos: uno es el movimiento rectilíneo uniforme y el otro es el movimiento rectilíneo acelerado; a continuación, se tratan cada uno a partir de los conceptos anteriormente vistos.

Figura 4.17. Posición, velocidad y aceleración para el cuerpo del problema 4.4. 4.2 Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) El movimiento rectilíneo uniforme (MRU, por sus siglas), es un movimiento simple que asume las siguientes características: þ La partícula se mueve sobre una línea recta. þ La velocidad es constante, lo que implica que no existe aceleración. Estas dos son las características más importantes del MRU y que desde luego lo definen. Partiendo del concepto de velocidad media, es posible definir la expresión matemática que relacionala posición de los cuerpos que se mueven uniformemente en función de la velocidad y el tiempo; para ello se tiene: 79

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Asumiendo que el momento inicial es la referencia para tiempo, es decir t1 = 0 y que el tiempo final es el tiempo total del movimiento, se llega a la expresión matemática

Despejando se obtiene: [Ec. 4.6]

Donde x representa el espacio, v el vector velocidad y t el tiempo que tarda el movimiento. Finalmente, en muchas situaciones se toma como referencia para el espacio el lugar donde el movimiento inicia, esto es xi = 0 , lo que lleva a la expresión matemática más recurrente para explicar el movimiento rectilíneo uniforme. [Ec. 4.7] En muchos problemas, aplicaciones y sistemas, se usa indistintamente el término velocidad o el término rapidez, aunque son conceptualmente diferentes, pues el primero se refiere a una cantidad vectorial con magnitud, dirección, sentido y punto de aplicación, y el segundo a un orden de magnitud de esa cantidad vectorial; sin embargo, bajo ciertas condiciones (como en el movimiento rectilíneo), el vector velocidad es paralelo al vector desplazamiento del movimiento y durante todo el movimiento no cambia la dirección, así, estas se asumen como cantidades dadas y conocidas, refiriéndose al orden de magnitud como velocidad. En este libro utilizaremos indistintamente el concepto de velocidad y rapidez cuando la dirección del movimiento no cambie y se harán las claridades que se necesiten para dar precisión a otros conceptos aquí tratados. Muchos fenómenos naturales se desarrollan con velocidad constante, tales como el movimiento de la luz o el movimiento de las ondas sonoras, pero también otros fenómenos causados por el hombre tienen características que bajo ciertas simplificaciones pueden considerarse como MRU; entre ellas está un avión viajando a velocidad de crucero, una línea de producción para ensamble en las fábricas, el tren bala en trayectos rectos a velocidad de crucero, son ejemplos cuyas características cinemáticas pueden explicarse con el movimiento rectilíneo uniforme. La figura 4.18 ilustra las características geométricas que describen el movimiento rectilíneo uniforme en diagramas xt , vt y at

Figura 4.18. Representaciones cartesianas para el Movimiento Rectilíneo Uniforme 80

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Nótese que la figura 4.18., que þ El espacio que recorre el cuerpo es proporcional al tiempo y su crecimiento es constante. þ La pendiente de la línea en un plano de espacio contra tiempo, corresponde con la magnitud de la velocidad. þ La magnitud de la velocidad es constante, lo que corresponde a una línea horizontal en un diagrama de v-t. þ El movimiento no tiene aceleración (característica fundamental para que la velocidad sea constante) y se representa gráficamente como un línea recta sobre el eje del tiempo, en un diagrama de aceleración contra tiempo. RAYOS EN COLOMBIA El rayo eléctrico es una de las fuerzas poderosas de la Tierra que se producen normalmente antes y durante una tormenta -aunque también pueden ocurrir aún sin presencia de lluvia-. Se atribuye principalmente a interacciones de carácter electrostático cuando nubes cumulonimbos se cargan eléctricamente a causa del viento, la convección, atracciones eléctricas con otras nueves y demás cuerpos, e inclusive emanaciones volcánicas. Cuando ocurre un rayo, que corres-ponde a una descarga eléctrica de corriente, la atmósfera circundante se ioniza pasando a estado plas-mático, con temperaturas muy superiores a las de la superficie de Sol, lo que ocasiona una expansión violenta del aire, que se percibe como trueno.

http://www.xweather.org Figura 4.19. Descarga Eléctrica Según estudios de la, Universidad Nacional de Colombia, aproximadamente 1000 personas sufren lesiones ocasionadas por rayos y de ellas más de 100 son fatales; la probabilidad de ser alcanzado por un rayo en Colombia es una de las más altas del mundo, casi 1 por cada 50.000, lo que hace verídico el dicho popular:"Más fácil me cae encima un rayo a que me gane la lotería".

81

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Ejercicio 4.5: En una tormenta eléctrica se produce un rayo que un observador inmóvil escucha 3 segundos después de ver el relámpago. Asumiendo que la luz viaja instantáneamente, determine el espacio entre el punto de impacto del rayo y el observador. Solución: Una buena aproximación es considerar que la luz se ve instantáneamente, (la rapidez de la luz es casi 3 × 108 muy superior a la rapidez del sonido en el aire, que es aproximadamente 340m/s); así la distancia recorrida por el sonido en 3 segundos es: =

= 340

· 3 = 1020

El sonido cada tres segundos viaja poco más de 1km, aunque estos valores dependen de otros factores como la densidad del aire y la temperatura del aire. 4.3 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado En la primera sección se analizaron las implicaciones que la aceleración constante o variable tiene en el movimiento de los cuerpos, especialmente su efecto sobre la velocidad media o instantánea; en esta parte se analiza un conjunto de movimientos muy comunes en los cuales la aceleración es de magnitud y dirección constante, lo que desde luego simplifica enormemente los cálculos, ya que la aceleración media se convierte en la misma aceleración instantánea. Considérese un cuerpo que se mueve sobre una línea recta, que por simplicidad se supone sobre o paralelo al eje x con el fin de obviar la necesidad de especificar direcciones; dado que la aceleración media es igual a la aceleración instantánea y que el tiempo inicial es cero (ti=0), entonces es posible establecer que: =

=

Ec. 4.8

Despejando, se llega a una expresión para la velocidad final en un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: =

+

[Ec. 4.9]

Donde Vf representa la velocidad final, que en el sistema internacional de medidas se expresa en ; Vi la velocidad inicial con la misma unidad; a es la aceleración en ² y t es el tiempo que tarda en desarrollarse el movimiento, expresada en segundos y considerando que el tiempo inicial es cero, que es el momento que se toma como referencia para estos movimiento. Por otra parte, esta aceleración puede tener magnitudes positivas o negativas, lo que corresponde a movimientos acelerados (en los que aumenta la magnitud de la velocidad) o movimiento desacelerados (en los que la magnitud de la velocidad se reduce), lo que en términos geométricos es una pendiente negativa en una gráfica de velocidad contra tiempo. La gráfica de velocidad en función del tiempo para la expresión anterior corresponde a: 82

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Figura 4.20. Curva de velocidad contra tiempo para un movimiento uniformemente acelerado Dado esto, es posible definir una velocidad media: + [Ec. 4.10] 2 Lo cual es cierto solo si la aceleración es de magnitud constante; así, el desplazamiento realizado por el objeto en función del tiempo puede obtenerse por su equivalente a otro cuerpo que se mueve en ese mismo espacio y tiempo, pero a velocidad constante 1 2 Y con la ecuación de velocidad anteriormente demostrada se puede llegar a: =

1 2

Simplificando, la anterior expresión se llega a la ecuación: 1 2 De la misma manera como el tiempo inicial es cero, para muchas aplicaciones es costumbre tomar como referencia la posición inicial igual a cero (xi=0), quedando la posición final como el espacio recorrido en función del tiempo x(t): 1 2

[Ec. 4.11]

Finalmente, es posible determinar una expresión para la velocidad donde no está involucrada la variable tiempo, tomando a: 1 2

1 2

83

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Y reduciendo se llega a:

Finalmente, se obtiene:

1 2

[Ec. 4.12] Donde a representa la aceleración constante del movimiento, vf y vi las velocidades final e inicial respectivamente, y x el espacio recorrido por el móvil. La figura 4.21 ilustra las representaciones gráficas para la posición, velocidad y aceleración de un cuerpo que se mueve sobre una línea recta con aceleración constante.

1 2

Cuando el espacio inicial es cero (xi=0) se puede cambiar a Dx=x

Figura 4.21. Representación gráfica de la posición, velocidad y aceleración de los cuerpos que tienen movimiento rectilíneo uniforme acelerado Como se puede apreciar en la figura anterior, la gráfica de espacio contra tiempo corresponde a una función parabólica, que en este caso se representa con aceleración positiva, pero también es posible que sea una parábola que abre hacia abajo –concavidad negativa– cuando tiene aceleración negativa; la gráfica de velocidad contra tiempo corresponde a una función lineal que, para la situación, se representa con pendiente también positiva; finalmente, la aceleración es una función lineal paralela al eje x de valor diferente a cero. 84

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Ejemplo 4.6. A un carro de fórmula 1 se le quiere hacer una prueba de aceleración sobre el tramo recto de una pista. Esta tiene una longitud lineal de 250m entre dos puntos de control, los cuales debe cruzar y que marcaron una velocidad para el vehículo de 72km/h y 360km/s. Dadas estas condiciones, determine: A. La aceleración media del vehículo. B. El tiempo que tarda el vehículo en recorrer los 250m. C. La velocidad media que tendría que tener un segundo auto de carreras para recorrer esa misma distancia, pero a rapidez constante. Solución: Empleando las ecuaciones anteriormente demostradas, se tiene: 1 2

Pasando primero las velocidades expresadas en km/h a m/s: 72km/h 360 km/h

20 m/s 100 m/s

100² 500

Entonces:

² ²

Esta es una aceleración media, es decir, un valor de aceleración equivalente a un vehículo que se mueve entre los dos puntos con la misma velocidad en los puntos extremos, tardando el mismo tiempo, pero a aceleración constante. b.

Para el tiempo que tarda en recorrer los 250 m, se tiene:

Remplazando: 100

²

Despejando se obtiene: 80 19.2

²

C. Finalmente se tienen los valores de tiempo y espacio; la velocidad media de un segundo vehículo que haga este mismo recorrido en el mismo tiempo debe ser:

Nótese que este valor es intermedio entre la velocidad mínima y la velocidad máxima del primer auto de carreras. 85

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

http://www.esmas.com Figura 4.22. Avión de combate aterrizando en la cubierta de un portaviones. Ejemplo 4.7.Un avión de combate que aterriza sobre un porta-aviones, debe aproximarse con velocidad mínima de 216km/h y detenerse sobre una cubierta de apenas 40m. Bajo estas condiciones, determine la aceleración media que ejercen los cables para detener completamente el avión y el tiempo que tarda en hacerlo. Solución: Primero, es necesario pasar la rapidez del avión a metros por cada segundo: 216

Esta es la velocidad inicial del avión cuando toca cubierta; como debe detenerse por completo, la velocidad final vale cero. Por otro lado, el espacio que tiene disponible es 40m, así: Remplazando los valores, se llega a: 0 ²

Despejando: 3600

² ²

² Este valor corresponde a más de cuatro gravedades. Para el tiempo de frenado se tiene:

Dado el valor de aceleración, encontrado en el numeral anterior, al remplazar se tiene: Despejando: 45

Cuando el avión toca cubierta debe acelerar al máximo, pues si ninguno de los cuatro ganchos que buscan sujetarlo, lo atrapa, a la velocidad de 216 km/h y con poco más de 40 m de pista, el piloto no tendría ni tiempo ni espacio suficiente para reaccionar y volver a elevarse, así que tienen que aterrizar pensando que tiene que despegar. 86

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PREGUNTAS Y EJERCICIOS DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO PREGUNTAS PREGUNTAS 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

¿Qué relaciones puede establecer entre la posición, la velocidad y la aceleración de un cuerpo que se mueve en línea recta? ¿El velocímetro de un carro mide velocidad y aceleración? ¿Es posible tener desplazamiento cero y velocidad media distinta de cero? Proporcione un ejemplo donde ilustre la situación. Si la aceleración es constante, ¿la velocidad media puede ser igual al promedio de la velocidad inicial y final? Si la aceleración no es constante, ¿la velocidad media puede ser igual al promedio de la velocidad inicial y final? ¿Cuáles son los elementos comunes y los elementos diferenciadores entre la velocidad media y la velocidad instantánea? ¿Cuáles son los elementos comunes y los elementos diferenciadores entre la aceleración media y la aceleración instantánea? Explique la imposibilidad de los cambios instantáneos de posición, velocidad y aceleración, y bajo qué condiciones puede aceptarse esta aproximación conceptual. Construya un cuadro comparativo y/o diferencial entre la velocidad y la rapidez, la aceleración media y la aceleración instantánea. Defina, explique y ejemplifique los conceptos de trayectoria y desplazamiento. ¿Bajo qué condiciones es posible asemejar la velocidad media y la velocidad instantánea? Sustente conceptualmente la posibilidad de que la velocidad y/o la aceleración sean valores negativos. Proponga una situación específica. Cuando un avión vuela a rapidez constante de 600 km/h sin variar la altura de vuelo, los pasajeros no perciben esta velocidad. De una explicación sustentada de esto. ¿Es posible que un vehículo que se mueve sobre el eje x positivo, tenga aceleración en dirección del eje x negativo? Explique su respuesta.

EJERCICIOS 1.

La luz viaja a una rapidez constante en el vacío de 3 × 108 m/s; si tarda en viajar del Sol a la Tierra aproximadamente 8min con 20s, determine la distancia aproximada entre la Tierra y el Sol. 87

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

2.

Una partícula que se mueve sobre una línea recta parte del reposo con una aceleración constante de 2 m/s² durante 8 segundos; posteriormente, continua con la velocidad adquirida de forma constante 10 segundos más; y finalmente, desacelera a razón de 3 m/s² hasta que se detiene completamente. Para esta situación, determine analíticamente: A. El espacio recorrido por la partícula. B. El tiempo gastado en todo el recorrido. C. Represente el movimiento en gráficas de posición, velocidad y aceleración en función del tiempo. D. ¿Cuál debe ser la velocidad de una partícula que haga el mismo recorrido en el mismo tiempo, pero a rapidez constante?

3.

Un vehículo se mueve sobre una línea recta y su ecuación de posición está dada por la expresión x(t)=2t+6t² (unidades en el sistema internacional de medidas); dado esto, encuentre: A. La ecuación de velocidad y la velocidad para t=2s. B. La ecuación de aceleración y la aceleración para t=2s. C. La velocidad media para el intervalo de tiempo [0,3]s.

4.

La posición de un resorte que vibra con amortiguamiento, está dada por la expresión: y(t)=e-t sen (0.5t - 1) A. Obtenga la ecuación de velocidad en función del tiempo. B. Obtenga las representaciones gráficas tanto de la posición como de la velocidad en función del tiempo.

5.

Una motocicleta se mueve a lo largo de una autopista muy larga. Lleva una rapidez constante de 144 km/h cuando pasa frente a una patrulla de la policía que, cinco segundos después, inicia su persecución a aceleración constante de 4 m/s²; encuentre: A. El espacio que tarda la patrulla en alcanzar a la motocicleta. B. El tiempo empleado por la patrulla para alcanzar la motocicleta. C. La velocidad que tiene la patrulla cuando alcanza a la motocicleta.

6.

La trayectoria de un cuerpo está dada por la siguiente representación gráfica:

88

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A. Determine la gráfica de velocidad contra tiempo. B. Determine la gráfica de aceleración contra tiempo. 7.

La siguiente figura muestra la velocidad de un cuerpo en función del tiempo:

A. Obtenga la gráfica de aceleración contra tiempo para este movimiento. B. Obtenga la gráfica de posición contra tiempo para este movimiento. 8.

La siguiente figura muestra la aceleración de una partícula en función del tiempo:

A. Obtenga la curva de velocidad en función del tiempo. B. Obtenga la curva de aceleración en función del tiempo. 9.

En 1865, en su libro “De la Tierra a la Luna”, Julio Verne propone lanzar un hombre en una cápsula a lo largo de un trayecto de 220m, hasta alcanzar una velocidad de 11 km/s. Si un hombre promedio puede soportar en promedio 6g (seis gravedades, con 9,8m/s² por cada gravedad), determine el valor de gravedades de este lanzamiento. Los pilotos mejores entrenados pueden soportar hasta 11 gravedades.

10. Una partícula viaja en línea recta desacelerando uniformemente, desde una velocidad de 100 km/h hasta 20km/h, en un trayecto de 48m. Dadas estas condiciones, determine la aceleración media y el tiempo del recorrido. 11. Un auto “DRAG” normal, de unos 900 caballos, puede acelerar desde el reposo y recorrer ¼ de milla (400m aproximadamente) en 8s; asumiendo que la aceleración es constate, determine: 89

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

A. Su velocidad al final de la pista, expresada en km/h. B. La aceleración media del vehículo, en valores g. 12. El Boeing 747 es un avión comercial utilizado en vuelos trasatlánticos que tiene una velocidad normal de crucero de 900 km/h; si entre Bogotá y New York hay aproximadamente 4014 metros lineales, determine el tiempo promedio que tarda este avión en recorrerla. 13. El mismo avión del problema anterior, completamente cargado, necesita una pista de despegue de mínimo 2,4 km de longitud. Sabiendo que este avión para poder alzar vuelo debe alcanzar una velocidad mínima de 288 km/h, determine: A. La aceleración media de despegue. B. El tiempo de despegue. 14. Sobre una misma línea férrea recta se sitúan dos trenes con velocidades de 60 y 80 km/h respectivamente, separados 2km y dirigiéndose uno contra el otro a velocidad constante. Una supermosca se encuentra en uno de los trenes y vuela directamente hasta el otro a 120 km/h hasta tocarlo para regresar de nuevo al primer tren, continuando con este comportamiento hasta un instante antes de la colisión. Bajo estas consideraciones, determine el espacio recorrido por la supermosca. 4.4 Laboratorio de movimiento rectilíneo uniforme A continuación se proponen prácticas de laboratorio, tanto virtuales como remotas, que buscan la reconstrucción de saberes relacionados con comprensión del conocimiento científico en física, la solución de problemas contextualizados y el método científico como herramienta para la investigación. Recuerde programar su agenda para no congestionar la plataforma y teniendo en cuenta el cronograma de actividades del plan de asignatura, hacer las reservas de los equipos para las prácticas remotas con suficiente tiempo. Fase preparatoria Lea con cuidado el siguiente contenido; en él recordará algunos conceptos y categorías importantes tratadas en el libro y en clase. Recordemos Muchos fenómenos en física se refieren al movimiento de objetos o cuerpos en el espacio; comprender las causas de estos movimientos y las condiciones bajo las cuales operan es un elemento de gran importancia para predecir el comportamiento de los mismos, cuando se cambian algunas de las condiciones iniciales.

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¿Y TÚ QUE PIENSAS? ¿Por qué crees que es importante predecir el comportamiento de un cuerpo en movimiento?¿Podrías citar algunos ejemplos concretos? El movimiento rectilíneo agrupa a todos aquellos movimientos cuya trayectoria es una línea recta, como por ejemplo la caída libre de un cuerpo o la trayectoria corta de una bala disparada por un arma de fuego; ambos ejemplos considerados en cortas distancias, para poder así asumir una trayectoria rectilínea. ¿Y TÚ QUE PIENSAS? En el texto se habla de movimientos considerados en cortas distancias. ¿Qué puedes intuir si estas distancias son más considerables?¿Qué situaciones podrían darse para que el movimiento no fuera rectilíneo?, es decir, ¿qué evento físico afecta la trayectoria del cuerpo que intenta moverse en línea recta?

http://www.fuscanet.com Figura 1. Tacómetro de revoluciones

Ahora bien, existen tres elementos fundamentales con los cuales se describe el comportamiento de un cuerpo que se mueve en una línea recta: posición, velocidad y aceleración. Estas tres características, a su vez, se asocian con el tiempo. La posición de un cuerpo es el lugar geométrico en el espacio donde se encuentra o se ubica el cuerpo en un instante determinado, es importante recordar que un mismo cuerpo no puede ocupar dos espacios diferentes al mismo tiempo, o su teorema equivalente, que dos cuerpos diferentes no pueden ocupar el mismo espacio al mismo tiempo. El otro concepto asociado con el movimiento de los cuerpos es la velocidad, que es una cantidad vectorial, es decir, tiene magnitud, dirección, sentido y punto de aplicación. Existen varias formas de definir la velocidad de un cuerpo, una de ellas es la velocidad media, que es el vector cambio de posición por unidad de tiempo. En términos algebraicos, la velocidad es:

91

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Sin embargo, es costumbre hablar solo de la magnitud (el orden de magnitud que es el número) de esa velocidad, y que se denomina rapidez, y de forma un poco ligera, algunos autores usan indistintamente las palabras velocidad y rapidez para referirse a lo mismo. ¿Y TÚ QUE PIENSAS? Los vehículos, como los autos y las motocicletas, tienen tacómetros en sus tableros que indican entre muchas cosas, la velocidad a la que se mueven. ¿Realmente el dato que entrega este instrumento es la velocidad? Explica y sustenta tu respuesta. Por ejemplo, cuando un vehículo viaja de una ciudad a otra, su velocidad no es constante; en algunos trayectos la velocidad es una, mientras que en otros la velocidad cambia y en ciertos instantes de tiempo el vehículo puede estar detenido, razón por la cual algunas veces resulta más útil hablar de velocidad instantánea, que es la velocidad en un momento determinado e independiente de la velocidad en otros instantes de tiempo. En términos matemáticos, la velocidad instantánea se define como:

De igual forma, la magnitud de esa velocidad instantánea es la rapidez instantánea. ¿Y TÚ QUE PIENSAS? ¿Bajo qué circunstancias la velocidad media de un vehículo puede ser igual a la velocidad instantánea?, ¿La velocidad media puede ser cero mientras que la velocidad instantánea sea diferente de cero?, ¿la velocidad media puede ser distinta de cero mientras que la velocidad instantánea pueda ser cero? Propón algunos ejemplos que ilustren tus respuestas.

Figura 2. Características del movimiento

Las prácticas de laboratorio que vas a realizar, te permitirán adquirir nuevas habilidades de pensamiento, reconstruyendo saberes, para formular modelos explicativos mejor estructurados en torno a movimientos en una dimensión. 92

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Actividades Elabora un pequeño informe sobre los siguientes conceptos matemáticos y físicos, compartiendo tus desarrollos en un foro o una wiki. Puedes trabajar con tus compañeros de curso, o si lo prefieres, previa autorización del docente, formar un equipo de trabajo con compañeros de otras universidades. Los conceptos y categorías a desarrollar son: 1. 2. 3. 4.

Velocidad media, velocidad instantánea y rapidez –ecuaciones, demostraciones, consideraciones especiales-. Las características geométricas de las funciones de posición y velocidad para un cuerpo que se mueve en línea recta con rapidez uniforme. El carril de aire como herramienta para el estudio de fenómenos en el laboratorio. Rozamiento dinámico y rozamiento estático –principios-.

Fase experimental A continuación, vas a realizar un conjunto de prácticas virtuales y remotas, con el fin de poner en acción la construcción conceptual y categorial de tus saberes. Esto también te permitirá afianzar lo comprendido, incrementando tu capacidad para dar respuesta a situaciones cada vez más complejas dentro del pensamiento científico en física. Objetivos Con el presente conjunto de prácticas de laboratorio, se busca que el alumno adquiera los siguientes desempeños de competencia: þ Establece críticamente las condiciones necesarias para considerar que el movimiento de un cuerpo se puede modelar como Movimiento Rectilíneo Uniforme. þ Describe de forma gráfica y analítica el comportamiento de objetos que se mueven en línea recta con velocidad constante. þ Predice la situación futura en la que se pueden encontrar los cuerpos que se mueven en línea recta con velocidad constante. Práctica de laboratorio virtual Ingrese a la página oficial de PHYSILAB (physilab.ucp.edu.co) y en la barra de estado, ingrese a la sección de “Simulaciones”, para desarrollar la práctica virtual de movimiento rectilíneo

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PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Movimiento Rectilíneo Uniforme

Figura 3. Pantalla para el ingreso a las simulaciones Una vez se cargue el plugging, debe ver una pantalla similar a la que se muestra a continuación:

Figura 4. Applet del Movimiento Rectilíneo Uniforme Aquí se aprecia un equipo de laboratorio denominado Carril de Aire. Esta simulación es una réplica de un equipo real, al cual usted puede tener acceso a través del laboratorio remoto; con este dispositivo es posible realizar prácticas de velocidad y aceleración constante. Consta de un generador de aire(cuya función es proporcionar al interior del carril, un flujo de aire que hace que el carro que está encima, se eleve uno cuantos milímetros y así se obtiene una superficie con rozamiento casi nulo), un carril de aire por el cual se desplazará el carro, un sistema de disparo que permite generar una velocidad inicial al movimiento y tres sensores–fotocompuertas– que permiten medir el instante de tiempo en el cual el carro cruza por ellos, teniendo como tiempo inicial, el lanzamiento del vehículo. Estos sensores se pueden mover a lo largo de todo el carril, permitiendo realizar medidas en diferentes distancias. En la parte inferior se encuentra un selector de nivel de barras que simula la intensidad del lanzamiento, es decir, la fuerza con la cual el solenoide impulsa el carro, un botón de inicio para liberar el carro e iniciar la prueba y un botón de “RESET” que repite la experiencia y reconfigura el dispositivo. 94

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Práctica Virtual A. MRU. Con los sensores ubicados específicamente A.1. Ubique el selector de intensidad en cualquier nivel y los sensores en las posiciones que muestra la tabla 1. Número del Sensor Sensor 1 Sensor 2 Sensor 3

Posición en el carril de aire

Valor indicado de tiempo por el sensor

160 cm 100 cm 40 cm

Para cada uno, una vez inicia la práctica consigne el valor de tiempo proporcionado por el instrumento. A.2. Con las distancias entre cada sensor, y el tiempo encontrado en el numeral anterior, determine la velocidad media para los dos tramos

Figura 5. Applet para la práctica A del Movimiento Rectilíneo Uniforme

A.3. Ubique los sensores en tres posiciones diferentes a las mostradas en A.1.y complete la tabla 2: Número del sensor Sensor 1 Sensor 2 Sensor 3

Posición en el carril

Valor indicado de tiempo por el sensor

A.4. Con las distancias entre cada sensor y el tiempo encontrado en el numeral anterior, determine la velocidad media para los dos tramos:

A.5. Compare estos valores de velocidad obtenidos, con la velocidad proporcionada por el applet –asuma que este valor es el valor exacto– y determine el error porcentual de su medida, indicando las posibles causas del error.

Figura 6. Nivel de intensidad para el disparo en el movimiento rectilíneo uniforme 95

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

A.6. Analice la información obtenida y saque sus propias conclusiones. A.7. Repita todos los pasos anteriores, pero cambie el nivel de la barra de intensidad para aumentar o disminuir la fuerza del disparo sobre el carro. Práctica Virtual B. MRU. Construcción de las características Recuerde que: Para esta práctica se asume que el carro inicialmente se encuentra en la posición 183cm B.1. Ubique dos de los sensores en la parte izquierda, no se van a utilizar durante esta práctica; adicionalmente cambie el nivel de intensidad del disparo a cualquier valor. B.2. Sin modificar el nivel de la intensidad del disparo, ubique el sensor en las posiciones mostradas en la tabla y consigne los tiempos proporcionados por el instrumento.

Figura 7. Pantalla para la práctica virtual B del movimiento rectilíneo uniforme Tabla 3. Posición del Sensor

Tiempo (proporcionado por el sensor)

170 cm 160 cm 150 cm 140 cm 130 cm 120 cm 110 cm 100 cm 90 cm 80 cm 70 cm 60 cm 50 cm 40 cm 30 cm

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B.3. Construya una gráfica de posición contra tiempo, recordando que la referencia es x=183 cm.

Figura 8. Gráfica de posición en función del tiempo B.4. Aplicando cualquier método de regresión lineal, encuentre la ecuación de espacio en función del tiempo, agregando los valores a la plantilla mostrada: x(t)= ____+____t Donde el primer y segundo espacio corresponde al término independiente y a la pendiente de la ecuación obtenida por regresión. Finalmente, compárela con la forma general con la ecuación para la posición en el Movimiento Rectilíneo Uniforme: x = x0+v · t B.5. Obtenga una gráfica de velocidad contra tiempo para el problema anterior:

Figura 9. Gráfica de velocidad contra tiempo 97

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

B.6. Compare la velocidad obtenida por este método –incluya el coeficiente de correlación de la regresión– con la velocidad proporcionada por el applet. Asimismo, determine el error porcentual y explique las posibles causas para la existencia de este error. B.7. Saque sus propias conclusiones. B.8. Repita todos los pasos dela práctica B para un nuevo valor de intensidad de disparo; use simultáneamente los tres sensores, para ahorrar tiempo. Práctica virtual C. MRU. Comparación de gráficas. Ingrese a la página oficial de PHYSILAB (physilab.ucp.edu.co) y en la barra de estado, ingrese a la sección “Simulaciones” para desarrollar la práctica virtual de movimiento rectilíneo, donde verá una pantalla similar a la mostrada en la siguiente figura:

Figura 10. Pantalla para la práctica virtual C En la parte superior izquierda encuentra la imagen del carril de aire, que corresponde aproximadamente con el equipo real de laboratorio; igualmente, sobre él se tienen cuatro fotocompuertas que son los dispositivos para medir el tiempo. Las variables de control son la posición inicial que puede variar entre 0 cm y 180 cm, y la velocidad inicial que puede variar entre 0 y 20 cm/s. En la parte de los sensores se puede cambiar la posición de los cuatro sensores entre 0 y 180 cm, y finalmente, el applet tiene en la parte inferior izquierda dos graficadores, uno para la velocidad y otro para la posición. 98

COLECCIÓN MAESTROS N° 10

C.2. Defina velocidad inicial a un valor menor a 20 cm/s y posición inicial igual a cero; parta de la ecuación del movimiento: x = vt Para analizar las características del movimiento rectilíneo uniforme a la velocidad por usted escogida, dibuje las representaciones gráficas de la posición y velocidad contra tiempo y compárelas con las proporcionadas por el applet. Saque sus propias conclusiones. C.3. Ubique las fotocompuertas en la posición mostrada en la tabla y usando la ecuación, determine si los tiempos proporcionados por el applet para los sensores, corresponden a los valores teóricos encontrados; para ello, apóyese en la construcción de la siguiente tabla: Tabla 4. Sensor Sensor 1 Sensor 2 Sensor 3 Sensor 4

Posición 10 cm 50 cm 100 cm 150 cm

Tiempo Applet

Tiempo teórico

C.4. Asuma en una segunda instancia que la posición inicial vale cero y la velocidad inicial vale 5 cm/s. Usando las ecuaciones del movimiento, obtenga la representación gráfica de la posición y velocidad contra tiempo. ¿Corresponden sus gráficas alas del applet? C.5. Para el punto anterior, corrobore el resultado arrojado por los sensores, en las posiciones que usted considere convenientes y diferentes a las establecidas en el punto C.3. Complete la tabla: Tabla 5 Sensor Sensor 1 Sensor 2 Sensor 3 Sensor 4

Posición

Tiempo Applet

Tiempo Teórico

C.6. Saque sus propias conclusiones. Práctica de laboratorio remoto En la Universidad Católica de Pereira, va a encontrar un montaje igual al mostrado anteriormente en las simulaciones, que consiste en un carril de aire, unos sensores y unos actuadores con los cuales usted puede interactuar de manera REAL, pero a distancia con el dispositivo. Recuerde que para utilizarlos, debe realizar previamente 99

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

la reserva de equipos; este proceso lo puede adelantar a través de la etiqueta “Reservas”, en el menú principal, como lo muestra la figura:

Figura 11. Pantalla de la página WEB para las reservas Para iniciar, entre al sistema y teclee su nombre de usuario y contraseña (Para identificar cómo hacer reservas, remítase al Libro PHYSILAB: Manuales Prácticos de Operación):

Figura 12. Pantalla de la página WEB para el ingreso a la plataforma de los laboratorios remotos Una vez realizado el proceso “Login”, dé clic en la etiqueta Laboratorios y finalmente a los laboratorios de la UCP; si usted tiene una reserva previa, el sistema le permitirá acceder al entorno de control del Laboratorio en el cual podrá, a través de una cámara, visualizar y controlar un carril de aire, como lo muestra La figura.

Figura 13. Controlador del carril de aire 100

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El carril de aire consiste en un riel de aluminio hueco de sección rectangular, que presenta una serie de pequeñas perforaciones sobre su superficie, de tal forma que al hacer circular aire, este sale por los orificios, generando un colchón de aire que eleva el carro, evitando así el rozamiento de las dos piezas –el carro y el carril– (figura 14):

Figura 14. Imagen del carril de aire en la parte de disparador El disparador impulsa el carro con diferentes velocidades sobre el carril de aire y finalmente los sensores (Fotocompuertas) estiman el tiempo que tarda el carro en llegar al punto donde se encuentran. Usted puede controlar el flujo de aire, la velocidad inicial del carro y la posición de los sensores; esto con el fin de realizar la experiencia en diferentes escenarios y corroborar los principios físicos que explican y predicen el comportamiento de los objetos que se mueven en línea recta.

Figura 15. Fotocompuertas que miden el tiempo entre dos eventos 101

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Los tres sensores de tiempo –fotocompuertas– se pueden mover libremente dentro de un rango definido y que se especifica en la siguiente tabla: Tabla 6. Sensor S01 S02 S03

Posición mínima 0 cm 61 cm 121 cm

Posición máxima 60 cm 120 cm 180 cm

Esta información debe tenerse en cuenta en las prácticas que desarrolle con este carril de aire. Test de diagnóstico del sistema Antes de desarrollar una experiencia, realice este test de diagnóstico con el fin de comprobar que el sistema funciona correctamente y que se tiene control sobre los diferentes elementos y dispositivos con que cuenta el laboratorio: Protocolo 1. Cámara: Revise que tenga una buena calidad de video, mueva la cámara y obtenga la visual de todo el carril de aire. Protocolo 2. Flujo de Aire: Cerciórese de que existe flujo de aire sobre el carril a través de los testigos ubicados en los extremos. Protocolo 3. Disparador: Accione el disparador para todas las opciones con que cuenta, note que el carro se mueve con mayor o menor velocidad según corresponde con el actuador. Protocolo 4. Sensores: Cambie la posición de los sensores de tiempo, corrobore que el valor solicitado corresponde a la posición real donde se ubique finalmente el sensor; sírvase de la cámara WEB en el carril para hacer esto. Protocolo 5. Realice varios disparos con el carro en la posición inicial, con flujo en el riel y con los sensores en diversas posiciones, asegúrese de que el sistema le entregue mediciones de tiempo. Si uno de estos protocolos no se cumple, no podrá realizar la práctica de laboratorio y deberá comunicarse con el administrador del sistema a través del correo que se encuentra en la plataforma, en la etiqueta “Contacto”.Después de corroborar que el sistema funciona como se espera, ya puede desarrollar la serie de pruebas para comprobar los principios físicos del movimiento rectilíneo de los cuerpos. 102

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Práctica Remota 1. Movimiento Rectilíneo Uniforme 1.1

Ubique el primer sensor de tiempo a 30 cm y manténgalo fijo en esa posición (use la cámara para verificar la posición de los sensores).

1.2. Fije los demás sensores en otras posiciones, tomando nota del sitio y consignándolo en la parte superior de la tabla. 1.3. Para la primera posición del actuador, lance 12 veces el carro y capture las medidas de tiempo, consignándolas en la tabla: Tabla 7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x=0,3m t= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t=

x= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t=

x= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t=

x= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t=

Para cada sensor, estime el mejor valor que lo representa, con su respectivo error: Mejor t= valor

t=

t=

t=

1.4. Obtenga la gráfica de posición contra tiempo para las cuatro posiciones; use la cuadrícula anexa especificando para cada eje la escala utilizada:

Figura 16. Gráfica de posición en función del tiempo 103

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

1.5. Determine la pendiente de la gráfica anterior. 1.6. Por medio de una regresión, estime la función que mejor representa los valores mostrados en la gráfica; de igual forma, estime el error de las medidas y consigne estos valores en el siguiente esquema: x(t)= ____+____t Donde el primer y segundo espacio corresponde al término independiente y a la pendiente de la ecuación obtenida por regresión. Finalmente, compárela con la forma general de la ecuación para la posición en el Movimiento Uniforme Rectilíneo: x = x0 + v·t 1.7. Saque sus propias conclusiones. 1.8. Cambie la posición de los sensores y repita la práctica 1 en todos sus puntos, sin cambiar la fuerza del disparador. 1.9. Cambie la fuerza del disparador que le da el impulso inicial al carro y repita los siete primeros puntos. Práctica Remota 2. Determinación de la posición en el MRU 2.1. Escoja una fuerza para el disparador, para el cual ya conoce su velocidad y las ecuaciones que representan el movimiento. 2.2. Sitúe los sensores en distintas posición predeterminadas y estime los momentos de tiempo en los cuales el carro debería estar pasando por cada uno; complete los valores de la tabla que se muestra a continuación Sensor

Posición del sensor

Tiempo teórico

Tiempo real

% Error

Sensor 1 Sensor 2 Sensor 3

2.3. Lance el carro y corrobore experimentalmente los datos calculados teóricamente; igualmente, determine el error de las medidas. 2.4. Repita el procedimiento anterior para los otros niveles del disparador y otras posiciones de los sensores. 2.5. Saque sus propias conclusiones. 104

COLECCIÓN MAESTROS N° 10

4.5. Laboratorio de movimiento rectilíneo acelerado A continuación se proponen prácticas de laboratorio, tanto virtuales como remotas, que buscan la reconstrucción de saberes relacionados con la comprensión del conocimiento científico en física, la solución de problemas contextualizados y el método científico como herramienta para la investigación. Recuerde programar su agenda para no congestionar la plataforma; teniendo en cuenta el cronograma de actividades del plan de asignatura, haga las reservas de los equipos para las prácticas remotas con suficiente tiempo. Fase preparatoria Lea con cuidado el siguiente contenido; en él recordará algunos conceptos y categorías importantes tratadas en el libro y en clase. Recordemos Otro concepto que se asocia con el movimiento de los cuerpos es la aceleración. Este vector indica el cambio del vector velocidad respecto al tiempo. En términos matemáticos, la aceleración de un cuerpo que se mueve en línea recta es:

Precisando en esta definición como cantidad vectorial, igualmente se necesita la dirección y el sentido. ¿Y TÚ QUE PIENSAS? ¿Es posible y tiene sentido hablar de velocidades y/o aceleraciones positivas o negativas?, ¿en qué contexto puede suceder que la velocidad de un cuerpo que se mueve en línea recta es positiva mientras su aceleración es negativa?, y viceversa, ¿es posible que la velocidad de un cuerpo sea negativa mientras su aceleración es positiva? Como ya fue mencionado, en muchas ocasiones se habla indistintamente de velocidad como si fuera rapidez, es decir,se le da el carácter de magnitud escalar a la velocidad, por lo cual se debe prestar especial atención al contexto de la situación problema para identificar las direcciones y sentidos de los movimientos. Lo mismo sucede con el concepto de aceleración: aunque es un vector muchas veces se le trata como una cantidad escalar; lo que sucede es que en las aplicaciones del movimiento rectilíneo acelerado, la aceleración es una cantidad vectorial paralela a la velocidad, por lo cual se obvia la dirección, solo se menciona el sentido cuando se establece que el cuerpo acelera –la velocidad y aceleración tienen el mismo sentido– o que el cuerpo frena –la aceleración tiene sentido contrario a la velocidad–. 105

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Los movimientos rectilíneos se clasifican en dos grandes grupos: el primero es el movimiento rectilíneo uniforme, que fue analizado en la sección anterior; y el segundo es el movimiento rectilíneo acelerado que es el tema central de esta sección. En el movimiento rectilíneo la velocidad no cambia, es decir, no existe aceleración, mientras que en el movimiento acelerado la velocidad si cambia, ya sea para aumentar o para disminuir dependiendo del sentido. La tabla que se muestra a continuación ejemplifica las ecuaciones y las características del movimiento acelerado:

1 2

La gráfica de posición corresponde a una función cuadrática representada por la curva parabólica que puede abrir hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de si la aceleración es positiva o negativa; si es positiva, la parábola abre hacia arriba; si es negativa, la parábola abre hacia abajo (concavidad negativa).Por otra parte, la función de velocidad contra tiempo es representada por una línea recta, ya que la aceleración –como se muestra en la figura– es una constante ocasionando que la rapidez varíe a una tasa constante; esta variación puede ser incremental si la aceleración tiene un valor positivo o puede ser decremental si su aceleración es de magnitud negativa. Las unidades de espacio, velocidad y aceleración, empleadas por los tres sistemas de medición más frecuentes, son:

Espacio Velocidad Aceleración

SI CGS m Cm m/s cm/s m/s² cm/s²

Inglés Ft ft/s ft/s²

En el carril de aire, por las dimensiones de los equipos de medida, se va a utilizar el sistema CGS (centagesimal), esto es masas expresadas en gramos, distancias expresadas en centímetros y tiempo en segundos. Aunque existen muchos 106

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fenómenos acelerados, centraremos el estudio en el análisis de lo que sucede cuando un cuerpo se deja simplemente deslizar a lo largo de un plano que tiene una pequeña inclinación sin rozamiento; para ello, considérese la figura que se muestra a continuación:

Figura 2. Movimiento de un carro en una superficie inclinada sin rozamiento La figura anterior muestra un bloque de masa m que se desliza sobre una superficie inclinada en un ángulo θ sin rozamiento a lo largo de una distancia. Entre las condiciones iniciales está que el cuerpo parte del reposo en la posición inicial y que cambia su velocidad a razón constante debido a una aceleración uniforme. Aunque no es tema de este capítulo, se introduce el concepto de la Segunda Ley de Newton para el movimiento, la cual establece que la sumatoria de fuerzas que actúa sobre un cuerpo es igual a la masa por la aceleración, esto es:

El diagrama de cuerpo libre del objeto se muestra a continuación; por otro lado y según el plano cartesiano ubicado paralelo a la superficie, el objeto se mueve exclusivamente sobre el eje de las x:

Figura 3. Diagrama de cuerpo libre 107

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

En consecuencia, al aplicar la segunda ley al eje de las abscisas, se obtiene:

Como solo existe una fuerza sobre el eje x, entonces:

Como en ambos lados existe la misma masa, esta se puede eliminar y se llega a la expresión:

Que corresponde a una de las ecuaciones que se usan en este laboratorio y donde g y θ son los valores de la gravedad y el ángulo de inclinación de la superficie con respecto a la horizontal. Actividades Elabore un pequeño informe sobre los siguientes conceptos matemáticos y físicos, compartiendo sus desarrollos en un foro o una Wiki. Puede trabajar con sus compañeros de curso o si lo prefiere, previa autorización del docente, formar un equipo de trabajo con compañeros de otras universidades. Los conceptos y categorías a desarrollar son: 1. 2. 3. 4.

Aceleración media e instantánea –ecuaciones, demostraciones, consideraciones especiales-. Las características geométricas de las funciones de posición y velocidad para un cuerpo que se mueve en línea recta con aceleración constante. La aceleración gravitacional: causas y efectos. Variación de la gravedad con respecto a la altura sobre el nivel del mar. Rozamiento dinámico y rozamiento estático –principios-.

Fase experimental A continuación usted va a realizar un conjunto de prácticas virtuales y remotas, con el fin de poner en acción la construcción conceptual y categorial de sus saberes. Esto también le permitirá afianzar lo comprendido, incrementando su capacidad para dar respuesta a situaciones cada vez más complejas dentro del pensamiento científico en física. Objetivos Con el presente conjunto de prácticas de laboratorio, se busca que el alumno adquiera los siguientes desempeños de competencia: 108

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þ Establece críticamente las condiciones necesarias para considerar que el movimiento de un cuerpo se puede modelar como Movimiento Rectilíneo Acelerado. þ Describe de forma gráfica y analítica el comportamiento de objetos que se mueven en línea recta y aceleración constante. þ Predice la situación futura en la que se puede encontrar los cuerpos que se mueven en línea recta y aceleración constante. Práctica de laboratorio virtual Ingrese a la página oficial de PHYSILAB (www.physilab.edu.co) y en la barra de estado, ingrese a la sección de “Simulaciones” para desarrollar la práctica virtual MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME ACELERADO

Figura 4. Pantalla de la página WEB para el ingreso a las simulaciones Una vez se cargue la aplicación debe ver una pantalla similar a la que se muestra a continuación:

Figura 5. Applet para el movimiento rectilíneo acelerado. Note que es muy similar a la simulación del movimiento rectilíneo uniforme; aquí se vuelve a apreciar un generador y carril de aire, un actuador que inclina el carril según 109

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

sea la necesidad en la práctica y tres sensores de tiempo –fotocompuertas– que empiezan su conteo al momento en que el carro es liberado y que se pueden mover a lo largo de todo el carril. En la parte inferior se encuentra un selector de inclinación que gira el carril de aire un ángulo entre 0º y 20º y un botón de “RESET” para repetir la experiencia o reconfigurar el dispositivo. Recuerde que el carro empieza su movimiento en la parte superior derecha y lo hace sin velocidad inicial en la posición del carril x = 183; esta es nuestra referencia para las distancias. Práctica virtual A. Movimiento acelerado con sensores ubicados A.1. Ubique el selector de inclinación en 5º y los sensores en las posiciones que muestra la tabla: Tabla 2 Número del sensor Sensor 1 Sensor 2 Sensor 3

Posición en el carril de aire

Valor indicado de tiempo por el sensor

160 cm 100 cm 40 cm

Para cada uno, una vez inicia la práctica, consigne el valor de tiempo proporcionado por el instrumento. A.2. Sabiendo que la velocidad inicial es cero, con las distancias entre cada sensor al punto de inicio y el tiempo encontrado y consignado en la tabla en el numeral anterior, determine la aceleración para los tres intervalos de tiempo mediante la ecuación:

Ya que no hay velocidad inicial de disparo y el carro simplemente se libera:

A.3. Ubique los sensores en tres posiciones diferentes a las mostradas en A.1 y complete la tabla para la misma inclinación: Tabla 3 Número del Sensor Sensor 1 Sensor 2 Sensor 3

Posición en el carril de aire

110

Valor indicado de tiempo por el sensor

COLECCIÓN MAESTROS N° 10

A.4. Con las distancias entre cada sensor y el tiempo encontrado en el numeral anterior, determine la aceleración media para los dos tramos:

A.5. Compare estos valores de aceleración obtenidos, con la aceleración proporcionada por el applet –asuma que este valor es el valor exacto– y determine el error porcentual de su medida, indicando las posibles causas del error. A.6. Analizando la información obtenida, saque sus propias conclusiones. A.7. Repita todos los pasos anteriores, pero cambie la inclinación para aumentar o disminuir la aceleración sobre el carro. Práctica virtual B. Características del MRA Recuerde que: Para esta práctica, asuma que el carro inicialmente se encuentra en la posición 183cm B.1. Ubique dos de los sensores en la parte izquierda, pues no se van a utilizar durante esta práctica; adicionalmente, cambie la inclinación del carril a cinco grados. B.2. Sin modificar el ángulo, ubique el sensor en las posiciones mostradas en la tabla y consigne los tiempos proporcionados por el instrumento: Tabla 4 Posición del Sensor

Tiempo (proporcionado por el sensor)

170 cm 160 cm 150 cm 140 cm 130 cm 120 cm 110 cm 100 cm 90 cm 80 cm 70 cm 60 cm 50 cm 40 cm 30 cm

111

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

B.3. Construya una gráfica de posición contra tiempo, recordando que la referencia es x=183 cm.

Figura 6. Gráfica de posición contra tiempo B.4. Aplicando cualquier método de regresión polinómica de grado dos, encuentre la ecuación de espacio en función del tiempo agregando estos valores a la plantilla mostrada: x(t)= ___t² Donde el espacio en blanco debe contener el coeficiente directriz de la parábola de la ecuación obtenida por regresión. Finalmente compárela con la forma general de la ecuación para la posición del Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado (MRUA). 1 2

B.5. Obtenga una gráfica de velocidad contra tiempo para el problema anterior conociendo que el cuerpo parte del reposo y el valor de aceleración encontrado.

Figura 7. Gráfica de velocidad contra tiempo. Fuente Propia. B.6. Compare la aceleración obtenida por este método –incluya el coeficiente de correlación de la regresión– con la aceleración proporcionada por el applet. Asimismo, determine el error porcentual y explique las posibles causas para la existencia de este error. 112

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B.7. Sabiendo que

Y conociendo la inclinación del carril de aire, encuentre la gravedad del sitio y compárela con el valor de gravedad 9,8 m/s² B.8. Saque sus propias conclusiones. B.9. Repita todos los pasos de la práctica B para un nuevo valor de intensidad de disparo; use simultáneamente los tres sensores para ahorrar tiempo. Práctica virtual C. MRUA. Comparación de gráficas C.1. En la misma sección de Simulaciones, busque el segundo applet de Movimiento Rectilíneo Uniforme Acelerado, debe encontrarse con un pantalla similar a la que se muestra a continuación.

Figura 8. Applet para el movimiento rectilíneo acelerado. Fuente Propia. Aquí se tiene una utilidad para corroborar los resultados de movimientos rectilíneos uniformes y acelerados; en la parte superior izquierda se muestra una simulación del movimiento del cuerpo y en la parte inferior izquierda se cuentan con las curvas características de posición y tiempo. En la parte derecha el applet se encuentran los controles para cambiar valores iniciales de posición, velocidad y ángulo en adición a que es posible –parte media del applet– ubicar los sensores en cualquier posición y la simulación proporciona el tiempo del instrumento. C.2. Defina velocidad inicial igual a cero y posición inicial igual a cero y un ángulo entre 0 y 10º, y mediante las ecuaciones: 1 2

113

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Dibuje las representaciones gráficas de la posición y velocidad contra tiempo y compárelas con las proporcionadas por el applet. C.3. Usando las ecuaciones, determine si los tiempos proporcionados por el applet para los sensores, corresponden con los valores teóricos encontrados, para ello complete la tabla: Sensor Sensor 1 Sensor 2 Sensor 3 Sensor 4

Posición 10 cm 50 cm 100 cm 150 cm

Tiempo applet

Tiempo teórico

C.4. Asuma en una segunda instancia que la posición inicial vale cero, la velocidad inicial vale 5 cm/s y ángulo vale 7º. Usando las ecuaciones del movimiento, obtenga la representación gráfica de la posición y velocidad contra tiempo. ¿Se corresponden sus representaciones con las representaciones proporcionadas por el applet? C.5. Para el punto anterior, corrobore el resultado arrojado por los sensores, en las posiciones que usted considere convenientes y diferentes a las establecidas en el punto C.3. Complete la tabla: Tabla 6 Sensor Sensor 1 Sensor 2 Sensor 3 Sensor 4

Posición

Tiempo Applet

Tiempo teórico

C.6. Saque sus propias conclusiones Práctica de laboratorio remoto Usted va a encontrar en la Universidad Católica de Pereira un montaje que consiste en un carril de aire, unos sensores y unos actuadores con los cuales usted puede interactuar de manera REAL, pero a distancia; recuerde que para utilizarlos, debe hacer previamente la reserva de equipos. Para iniciar entre al sistema y teclee su nombre de usuario y clave, dada previamente por el administrador.

Figura 9. Pantalla de la página WEB para el ingreso a los laboratorios remotos. Figura Propia. 114

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Y una vez allí, entre a Laboratorios y finalmente a los laboratorios de la UCP, donde encontrará un carril de aire acompañado de unos sensores, actuadores y cámaras de video.

http://jair.lab.fi.uva.es/~manugon3/laboratorio/MovRecUnifAcel/index.html Figura 10. Carro sobre riel de aire El motor paso a paso inclinan el carril de aire y finalmente los sensores de tiempo estiman el tiempo que tarda el carro en llegar al punto donde se encuentran. Usted puede controlar el flujo de aire, el ángulo de inclinación del carril y la posición de los sensores, esto con el fin de realizar la experiencia en diferentes escenarios y corroborar los principios físicos que explican y predicen el comportamiento de los objetos que se mueven en línea recta bajo condiciones aceleradas. Los tres sensores de tiempo –fotocompuertas– se pueden mover libremente dentro de un rango definido y que se especifica en la siguiente tabla. Sensor S01 S02 S03

Posición mínima 0 cm 61 cm 121 cm

Posición máxima 60 cm 120 cm 180 cm

El cual usted debe tener en cuenta en las prácticas que desarrolle con este carril de aire. Test de diagnóstico del sistema Va a probar que el sistema funciona correctamente y que tiene control sobre los diferentes elementos y dispositivos con que cuenta la práctica.

115

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Protocolo 1. Cámara: Revise que tenga una buena calidad de video, mueva la cámara y obtenga la visual de todo el carril de aire. Protocolo 2. Flujo de Aire: Cerciórese que existe flujo de aire sobre el carril a través de los testigos ubicados en los extremos. Protocolo 3. Inclinación: Accione el motor paso a paso para inclinar en menor o mayor grado el carril de aire; recuerde de este puede variar de 0 a 20º. Protocolo 4. Sensores: Cambie la posición de los sensores de tiempo, corrobore que el valor solicitado corresponde con la posición real donde se ubique finalmente el sensor, sírvase de la cámara WEB para esto. Protocolo 5. Realice varios movimientos con el carro en la posición inicial, con flujo en el carril y con los sensores en diversas posiciones, asegúrese que el sistema le entregue valores. Si uno de estos protocolos no se cumple, no podrá realizar la práctica de laboratorio y deberá comunicarse con el administrador del sistema a través del correo que se encuentra en la plataforma. Después de corroborar que el sistema funciona correctamente, usted desarrollará una serie de pruebas para comprobar los principios físicos del movimiento rectilíneo de los cuerpos. Práctica remota 1. Características del MRUA 1.1 Ubique el primer sensor de tiempo a los 30 cm y manténgalo fijo en esa posición. (Use la cámara para verificar la posición de los sensores) 1.2. Fije los demás sensores en otras posiciones tomando nota del sitio y consignándolo en la parte superior de la tabla. 1.3. Para la primera posición del actuador, lance 12 veces el carro y capture las medidas de tiempo y consígnelas en la tabla 8. Tabla 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

x=0,3m t= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t=

x= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t=

x= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t=

x= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t= t=

Para cada sensor, estime el mejor valor que lo representa con su respectivo error. 116

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Mejor valor

t=

t=

t=

t=

1.4. Obtenga la gráfica de posición contra tiempo para las cuatro posiciones, use la cuadrícula anexa especificando para cada eje la escala utilizada:

Figura 11. Gráfica de posición contra tiempo 1.5. Determine la pendiente de la gráfica anterior. 1.6. Por medio de una regresión, estime la función que mejor representa los valores mostrados en la gráfica; de igual forma, estime el error de las medidas y consigne estos valores en el siguiente esquema: x ( t ) = ___ t² Donde el espacio en blanco debe contener el coeficiente directriz de la parábola de la ecuación obtenida por regresión. Finalmente compárela con la forma general para la ecuación de posición para un Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado. 1 2

1.7. Saque sus propias conclusiones. 1.8. Cambie la posición de los sensores, y repita la práctica 1 en todos sus puntos sin cambiar la inclinación del carril de aire. 1.9. Cambie la inclinación del carril de aire y repita los siete primeros puntos. Práctica remota 2.Determinación de la posición en el MRUA 2.1. Escoja una inclinación para el carril de aire, para el cual ya conoce el ángulo y las ecuaciones que representan el movimiento. 117

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Recuerde que estas prácticas no tienen velocidad inicial. 2.2. Sitúe los sensores en distintas posiciones predeterminadas y estime los momentos de tiempo en los cuales el carro debería estar pasando por cada uno; complete los valores de la tabla que se muestra a continuación: Tabla 9 Sensor

Posición del sensor

Tiempo teórico

Tiempo real

% Error

Sensor 1 Sensor 2 Sensor 3

2.3. Lance el carro y corrobore experimentalmente los datos calculados teóricamente; igualmente, determine el error de las medidas. 2.4. Repita el procedimiento anterior para los otros niveles del disparador y otras posiciones de los sensores. 2.5. Saque sus propias conclusiones.

118

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CAPÍTULO V

CAÍDA DE LOS CUERPOS

119

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

¿Has dejado caer alguna vez un objeto? Aunque la pregunta parezca obvia, comprender las implicaciones cinemáticas y dinámicas de este movimiento no fue sencillo para el ser humano. Usualmente, cuando las personas escuchan hablar de caída libre piensan que es sinónimo de caída, pero son dos cosas diferentes; a continuación se analizan las implicaciones de la caída libre y la caída de los cuerpos 5.1. La caída libre El primer tipo de caída que se va a analizar es la caída libre y para ello se parte del concepto: Caída Libre: Es el movimiento de un cuerpo que se caracteriza porque solo actúa el peso. Este es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, ya que la velocidad varía linealmente todo el tiempo.

Figura 5.1. Caída libre de un cuerpo. La rapidez aumenta en cada segundo 9,8m/s con respecto a la rapidez anterior

Cuando se deja caer una moneda de la mano, inicialmente la moneda parte desde el reposo porque la velocidad es cero; inmediatamente después, la velocidad empieza a aumentar aproximadamente a una razón de 9,8 m/s cada segundo, es decir, en el primer segundo la velocidad adquirida es de 9,8 m/s; el segundo la velocidad aumenta de nuevo 9,8 m/s y ahora es de 19,6 m/s; y así sucesivamente, como se aprecia en la figura 5.1.Esto implica que el valor de la aceleración para cuerpos que caen cerca a la superficie de la Tierra es 9,8 m/s²;a este valor se le denominala aceleración de la gravedad. Aceleración de la gravedad: Es la aceleración aproximada a la cual cae un cuerpo desde alturas cercanas a la superficie terrestre.

120

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Lo anterior permite describir matemáticamente el movimiento de caída libre mediante las ecuaciones para la posición, la velocidad y la aceleración, demostradas en el capítulo de Movimiento Rectilíneo y propiamente las analizadas en el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, con dos modificaciones importantes:

1 2

La aceleración corresponde a la aceleración de la gravedad: a = -g El signo negativo para la aceleración se explica en términos del sentido hacia donde actúa la gravedad; tomando como referencia el punto más bajo de la trayectoria -por ejemplo, el suelo- y distancias positivas en la dirección positiva de la ordenada, es decir, hacia el eje y positivo, la gravedad como cantidad vectorial es una magnitud que siempre apunta hacia abajo, buscando el centro de la Tierra; esta es la razón por la cual se usan valores negativos en las ecuaciones. Como el movimiento se describe sobre el eje de las ordenadas, la posición, las velocidades inicial y final se especifican con respecto a ese eje:

Lo que lleva a las expresiones:

²

1 2

121

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Donde:

A continuación se plantea un ejemplo para ilustrar la aplicación de estos conceptos:

http://www.creabits.com Figura 5.2. Imagen del problema 5.1. Ejemplo5.1. Un hombre deja caer un balón desde la terraza de un edificio de 15 pisos. Si cada piso mide 3 metros, calcular: A. B. C.

El tiempo de caída La velocidad con que toca el suelo Si rebota a la mitad de la velocidad, ¿hasta qué piso sube?

Solución. Para la primera pregunta se extrae la información del problema, recordando que es un edificio de 15 pisos, a tres metros por cada piso, entonces:

Utilizando las ecuaciones del movimiento, se tiene: ² ²

De esta última ecuación, despejando la variable tiempo: ²

Con lo que:

122

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Remplazando en la ecuación, se obtiene:

9,8

Que es el tiempo que tarda el cuerpo en golpear el suelo. Para la segunda cuestión, se tiene:

Pero como la velocidad inicial vale cero, entonces:

El signo negativo indica que la velocidad, como cantidad vectorial, está dirigida hacia abajo cuando golpea el suelo. C.

Para la última pregunta, la velocidad inicial de la pelota es:

La pelota sube hasta que se le acaba la velocidad, es decir, en el punto más alto su velocidad final vertical vale cero; con esto y la ecuación: 1 2

Remplazando, se tiene: 1 2

14,9 9,8

Lo que corresponde aproximadamente a la mitad del cuarto piso. A esta distancia, que corresponde a la altura a la cual es posible que suba un cuerpo, se le conoce con el nombre de altura máxima, y para este punto en particular, las ecuaciones del movimiento se transforman en:

Donde el tiempo de subida corresponde exactamente al tiempo de bajada. 123

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Características de la caída libre Es importante notar que hasta el momento en las ecuaciones tratadas en este capítulo o en los anteriores, no aparece el término de la masa del cuerpo, esto es porque en las condiciones planteadas –cuerpos que se mueven en el vacío–ninguna de las variables es afectada por el peso del cuerpo; sin embargo, el sentido común demuestra el hecho de que si se deja caer una hoja de papel al mismo tiempo que un lapicero, este caerá primero que la hoja de papel.

Figura 5.3. La resistencia del aire hace que la hoja no tenga una caída libre, a diferencia del lapicero, cuya fricción con el aire se puede despreciar. Lo que sucede en el movimiento es que la caída del papel y el lapicero no es una caída libre, ya que sobre estos no solamente incide la fuerza de gravedad sino también la resistencia del aire que se opone al movimiento, producto de parámetros propios como densidad, viscosidad y temperatura, pero también a características del cuerpo que cae, como su masa y su geometría.

http://www.fisica.uh.cu Figura 5.4. Representación del experimento de Galileo en la Torre inclinada de Pisa Aristóteles pensaba que los cuerpos más pesados caían más rápido que los livianos, pero fue solo hasta alrededor del año 1600 cuando Galileo realiza su famoso experimento –suceso histórico no documentado directamente por Galileo sino por 124

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uno de sus estudiantes, razón por la cual se duda de su veracidad– en la torre inclina a de Pisa, dejando caer dos balas de diferente peso y comprobando que ambos cuerpos caían a igual tiempo y con la misma velocidad, demostrando así que el peso no incide en el tiempo de caída siempre y cuando se pueda despreciar la resistencia del aire; así, es posible concluir que en un sitio donde no haya aire –como una cámara al vacío o como en la superficie de la Luna– todos los cuerpos caen en una trayectoria lineal, donde la velocidad no se ve afectada ni por la masa ni la forma del cuerpo. En el vacío todos los cuerpos caen al mismo tiempo, con igual velocidad, sin importar la masa. Las características del movimiento de caída libre son las mismas definidas en el Movimiento Rectilíneo Uniforme y planteadas en el capítulo anterior de este libro. GRAVEDADES EN EL SISTEMA SOLAR Cada planeta tiene su propia gravedad, que depende básicamente de la masa y de la distancia hasta su centro. La siguiente tabla muestra los valores de gravedad en diferentes objetos del sistema solar, cerca o sobre su superficie. Tabla 5.1. Gravedades del sistema solar

Tabla 5.2. Gravedades de satélites naturales

* A excepción de la Luna y de Titán, que pertenece Saturno, todos son satélites de Júpiter.

Ejemplo 5.2. Se lanza un objeto hacia arriba con una velocidad inicial de 25m/s, desde una terraza de un edificio de 5 pisos (cada piso tiene 3m de alto). Hallar: A. El tiempo de demora en caer a la base del edificio. B. La velocidad con la que golpea a la tierra. 125

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Solución: Los datos del problema son:

Para calcular el tiempo, partimos de las ecuaciones ya planteadas, remplazando los datos del problema: ²

Remplazando los valores, se obtiene una ecuación de segundo grado con una incógnita: el tiempo: ²

Que organizándola, queda: ²

Usando la fórmula general para ecuaciones cuadráticas, se tiene entonces.

Donde: Llegando a dos valores de tiempo:

Tomando como respuesta el tiempo positivo, el cuerpo tarda en llegar al suelo, una vez es lanzado, t = 5,64 s. b.

La velocidad con que golpea el suelo se puede encontrar mediante la expresión:

Así:

²

El signo negativo implica que el cuerpo va hacia abajo cuando toca el suelo, lo que desde luego tiene sentido. 126

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5.2 Caída de un cuerpo en un medio con resistencia Cuando un cuerpo cae en un medio actúan principalmente dos fuerzas en la dirección vertical. La primera es el peso que actúa hacia abajo, mientras que la fuerza de resistencia que se opone al movimiento apunta hacia arriba. Esto se representa en la figura 5.5, donde se muestra el diagrama de caída libre para un cuerpo que cae en un medio resistivo, como el aire, aclarando que además de estas dos fuerzas hay una tercera que se desprecia para el aire, pero no para los líquidos: esta tercera fuerza es conocida como la fuerza de empuje del fluido sobre el cuerpo, que apunta verticalmente hacia arriba. Tal aproximación es válida para el aire, pero cuando la caída se da en otro medio mucho más denso, como los líquidos, se debe incluir en el análisis porque incide de forma significativa en las respuestas. Figura 5.5. Caída de un cuerpo en medio viscoso Diagrama de fuerzas que actúan sobre un cuerpo que cae hacia abajo en un medio resistivo, como el aire. Fr representa la fuerza de resistencia del aire, mientras que mg representa el peso del cuerpo. Por mecánica se puede demostrar que la fuerza resistiva es directamente proporcional de la velocidad con la que el cuerpo se desplaza dentro el medio resistivo; esto significa que cuando la velocidad del cuerpo que se mueve dentro del fluido aumenta, también lo hace así la fuerza resistiva que se opone a este movimiento, al punto de aumentar hasta igualarse al peso del cuerpo, llegando así al equilibrio estacionario, donde la sumatoria de fuerzas es igual a cero. Dada la segunda ley del movimiento de Newton:

Como la masa no es cero, necesariamente la aceleración vale cero, lo que implica que el cuerpo se empieza a mover con velocidad constante y con las características del movimiento rectilíneo uniforme; esta es la velocidad que se conoce como velocidad límite. La figura 5.6 ilustra el comportamiento en velocidad para dos cuerpos que se mueven, uno en el vacío y el otro en un medio viscoso:

Figura 5.6. Comportamiento en velocidad de dos cuerpos que se mueven en el vacío y en un medio viscoso 127

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Los cuerpos que caen en el vacío aumentan linealmente su velocidad con el tiempo, pero cuando caen en un medio viscoso como el aire o el agua, su velocidad crece linealmente al principio, pero a medida que aumenta esta velocidad empieza a disminuir su tasa de variación hasta estabilizarse en cierto valor –velocidad límite–,que depende de las características tanto del medio como del cuerpo que se mueve. Experimentalmente se demuestra que la fuerza resistiva se describe en términos matemáticos mediante la expresión: [Ec. 5.6] Fr= -bV n Fuerza resistiva para un cuerpo que se mueve con una velocidad V en un medio Donde el signo negativo significa que la fuerza resistiva es opuesta al sentido del movimiento, b es una constante que depende de las propiedades del medio y de las características físicas y geométricas del cuerpo–si es una esfera, el valor de b es proporcional a su radio–, el exponente n igualmente se determina con la forma y el tamaño del cuerpo, tomando el valor de 1 para cuerpos muy pequeños que se mueven lentamente como una partícula de polvo en el aire; para cuerpos grandes y que se mueven más rápido, esta cantidad puede tomar valores diferentes. Por lo tanto, al hacer la sumatoria de fuerzas en el eje de las ordenadas –eje y–,se llega a la forma:

Con lo que:

Que es la ecuación newtoniana de la velocidad del cuerpo en función del tiempo.

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Figura 5.7.Caída Libre en Paracaídas. En paracaidismo realmente no existe la caída libre, pues es gracias a que el aire ofrece una resistencia al movimiento, que un paracaidista puede llegar sano y salvo a tierra. Por lo tanto, al hacer la sumatoria de fuerzas en el eje de las ordenadas –eje y–,se llega a la forma:

128

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Cálculo de la velocidad La anterior expresión es una ecuación diferencial de primer orden, cuya solución para el caso de n=1 está dada por:

Donde m es la masa, b una constante característica del medio y del cuerpo que se mueve, g la gravedad del sitio y t el tiempo. Al graficar la ecuación de velocidad en función del tiempo,se obtiene la curva de la figura 5.6., aquí se puede observar que inicialmente la gráfica es aproximadamente una línea recta inclinada, similar a lo que sucede en la caída libre, pero luego, cuando se alcanza la velocidad límite, se vuelve horizontal constante, característica fundamental de un movimiento uniforme.

Figura 5.8 Gráfica de la altura en función del tiempo para un cuerpo que cae en un medio resistivo Cálculo de la altura A partir de la expresión de velocidad se puede obtener la ecuación para la altura del cuerpo. Al integrar la ecuación con respecto al tiempo, se llega a:

²

Esta ecuación es válida asumiendo que la altura inicial es igual a cero, es decir, en t=0 el cuerpo se encuentra en el lugar de referencia. Por otro lado, a través del cálculo diferencial se puede verificar en la expresión 5.9, que el límite de la función cuando b tiende a 0, –que corresponde a una caída en el vacío–,es igual a: 2

129

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Al graficar la ecuación de la altura de caída en función del tiempo, se llega a la figura 5.8., en la que se observa que inicialmente la gráfica es aproximadamente creciente de forma parabólica, similar a un movimiento de caída libre; después de un tiempo, cuando se alcanza la velocidad límite, la altura se comporta de forma casi lineal, característica de un movimiento uniforme. Cálculo de la aceleración Aceleración en función del tiempo para un cuerpo que cae en un medio resistivo, partiendo desde el reposo. Al derivar la ecuación de velocidad con respecto al tiempo se obtiene la ecuación de aceleración contra tiempo, quedando la expresión:

El límite cuando b tiende a cero es el caso del vacío, donde no hay resistencia, y esta ecuación se reduce a la aceleración de la gravedad:

Aceleración en función del tiempo para un cuerpo que cae en un medio resistivo, partiendo desde el reposo. Al graficar la expresión de aceleración de caída en función del tiempo, se obtiene la figura 5.9, donde se puede apreciar que la aceleración disminuye a medida que transcurre el tiempo, implicando que la caída se convierte en un movimiento uniforme donde la aceleración es cero.

Figura 5.9Aceleración en función del tiempo para un cuerpo que cae en un medio viscoso Nótese que al inicio el cuerpo cae con una aceleración igual a la aceleración de la gravedad; sin embargo, rápidamente cae terminando casi en una aceleración igual a cero, que corresponde a la característica del movimiento rectilíneo uniforme. 130

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5.3. Caída en un medio viscoso En la sección anterior se estudió el caso de un cuerpo que cae en el aire; sin embargo, si se deja caer una piedra dentro de un estanque con agua, aparte del rozamiento entre el cuerpo y el fluido, es necesario considerar la fuerza de flotación. Esta fuerza recibe el nombre de empuje y se calcula teniendo en cuenta el principio de Arquímedes. Principio de Arquímedes: Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una fuerza de empuje cuya dirección es verticalmente hacia arriba. La magnitud de esta fuerza es igual al peso del líquido desalojado por el cuerpo.

Figura 5.10. Esfera cayendo dentro de un líquido. En términos matemáticos, corresponde a:

En la anterior ecuación, L es la densidad del líquido, g es la gravedad y Vs es el volumen sumergido dentro del fluido -se asume una esfera que cae dentro del fluido, como se muestra en la figura 5.10-. Para calcular la posición, velocidad y aceleración del cuerpo, se parte de la segunda ley del movimiento de Newton.

Donde Fr es la fuerza resistiva; remplazando las expresiones se llega a:

Con la aceleración de la caída igual a la primera derivada de la función velocidad:

131

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La constante b que está presente en la fuerza de resistencia se calcula mediante la ley de Stokes; así, para la esfera considerada de radio R:

Donde h es la viscosidad del fluido, es decir, la oposición de un fluido a las deformaciones tangenciales, y por tanto, la oposición a dejarse mover. Remplazando este valor en ecuación, se obtiene:

La solución de esta ecuación involucra separación de las variables e integración a ambos lados, con la condición de frontera que en t=0 la velocidad es igual a cero. Finalmente, se tiene que:

La velocidad límite se obtiene cuando la velocidad es constante y su derivada es, por lo tanto, igual a cero:

Despejando la velocidad, se obtiene:

Pero la masa del cuerpo se puede expresar en términos de su volumen y densidad:

Con p la densidad del cuerpo y V su volumen, siendo este último igual al volumen de líquido desalojado:

Y dado que el cuerpo que cae es una esfera, entonces: 4 3

132

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Simplificando la última expresión se llega finalmente a: 9

En esta ecuación se puede apreciar que para un mismo material, la velocidad límite aumenta de forma proporcional al cuadrado de su radio. Asimismo, entre más viscoso sea el líquido en el cual se encuentra sumergida, más lento se moverá la esfera. VISCOSIDAD EN ACEITES PARA MOTORES A COMBUSTIÓN

http://www.nauticanova.es Figura 5.11. Gota de Aceite El aceite en un motor cumple con dos funciones importantes: reducir el rozamiento o fricción, para optimizar la duración de los componentes evitando un desgaste innecesario y reducir el calentamiento de los elementos del motor que se mueven unos con respecto a otros. Entre las características que debe tener un buen aceite para motor están que tenga un adecuado coeficiente de viscosidad y que sus características sean invariantes con el tiempo, la temperatura y las altas presiones. Los fabricantes clasifican los aceites con un estándar propio denominado SAE (Society of Automotive Engineers) y uno o dos números que se basan en la viscosidad de los aceites a 100° C, presentando dos escalas: una de baja temperatura (de 0 hasta 25) y otra de alta temperatura (de 20 a 60). La letra "W" significa "Winter"; así, un aceite SAE 20W40 a bajas temperaturas tiene una viscosidad de 20pc y a altas temperaturas su viscosidad llega hasta 40pc. Adicionalmente, para hallar la posición se integra con respecto al tiempo, obteniendo:

133

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Por último, su aceleración resulta de derivar la velocidad con respecto al tiempo, por tanto:

En t=0, esta aceleración es:

Que es:

A partir de la expresión para velocidad límite, demostrada anteriormente:

Simplificando y reduciendo esta ecuación: 9

Con lo que se llega a la ecuación 5.17:

3

Factorizando de esta última expresión la densidad del cuerpo y a partir de la expresión para su densidad, se obtiene fácilmente:

Es posible notar que si la densidad del líquido es igual a la del cuerpo no hay aceleración, es decir, que el cuerpo no se mueve o lo hace a velocidad constante. Por otro lado, si la densidad de líquido es mayor a la del cuerpo, se obtendría un valor negativo y el cuerpo se aceleraría hacia arriba hasta alcanzar la superficie. Por último, si la densidad del líquido es menor a la del cuerpo se obtiene una aceleración hacia abajo menor a la gravedad, como era de suponerse debido tanto a la fuerza de empuje que se opone al peso como a la viscosidad. 134

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PREGUNTAS Y EJERCICIOS DE CAÍDA DE LOS CUERPOS PREGUNTAS 1. 2. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

¿Por qué si existe una fuerza de atracción entre la Tierra y la Luna, esta última no cae? Enuncie algunas evidencias experimentales de que entre la Tierra y la Luna existe una fuerza de atracción Explique el principio del funcionamiento de un paracaídas mientras cae en la Tierra; ¿funcionaría en la Luna? Dé razones sustentadas del por qué los cuerpos más pesados tienden a caer primero en el aire. ¿En la caída libre, cuándo la aceleración es opuesta a la velocidad? ¿Cuándo van en la misma dirección? Cuando un cuerpo cae desde un avión que está volando a 1 km dealtura, ¿se puede tomar la gravedad como constante en todo el recorrido? Cuando se deja caer una pelota desde una determinada altura y esta rebota contra el suelo, ¿por qué no sube hasta la misma altura? Explique por qué dos cuerpos de diferente masa, que son soltados simultáneamente cerca a la superficie de la Luna, caen con las mismas características. Es un hecho que cuando nos acercamos al centro de la Tierra, la fuerza gravitacional varía. Explique este hecho y la forma en que ocurre esta variación. Explique de forma amplia la manera en que se mueve un ladrillo que se deja caer en una piscina. Con respecto a la situación anterior y comparándola con un cuerpo que cae en el aire, ¿dónde es mayor la gravedad? ¿Qué relación se puede establecer entre la fuerza de resistencia que ofrece un medio al movimiento de un cuerpo y la densidad del medio viscoso? Si se deja caer una bola de poliestireno expandido (“icopor”) y otra de madera de igual radio, al mismo tiempo ¿Cuál caerá primero? ¿Por qué? ¿Qué implicaciones tiene la forma de los cuerpos para su movimiento en medios viscosos, como el aire o el agua? ¿Cómo es posible calcular la masa de la Tierra?

EJERCICIOS A menos que se especifique claramente lo contrario, en los siguientes problemas, considere que los objetos son lanzados o dejados caer en medios NO viscosos y de densidad cero, para no considerar el efecto de la resistencia dinámica al movimiento: 135

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1.

Una bola se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 40 m/s; determinar: A. El tiempo total que demora en volver al mismo punto. B. La altura máxima alcanzada por la bola.

2.

Una persona deja caer un balde dentro un pozo de 20m de profundidad. Si la velocidad del sonido es aproximadamente 340m/s, ¿Cuánto tiempo demora en escuchar el sonido una vez liberado el balde?

http://www.freepik.es 3.

Posteriormente, esta persona quiere medir la profundidad de un pozo; para eso deja caer simplemente el balde y este toca el fondo tres segundos después. Planteado lo anterior, ¿cuál sería la profundidad del pozo?

4.

Con respecto al problema anterior, suponga ahora que la persona escucha cuando el balde golpea el fondo, tres segundos después. Para esta nueva condición, determine la profundidad del pozo.

5.

Un cuerpo de 4kg es lanzado verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial de 60m/s. La fuerza resistente del aire es de magnitud: 3 100

Calcule: A. El tiempo que demora el cuerpo en alcanzar la altura máxima. B. El valor de esta altura máxima.

6.

Se deja caer una pelota desde la parte alta de un edificio; si tarda 5s en llegar al piso, ¿Cuál es la altura del edificio? ¿Con qué velocidad llega al piso?

7.

Se deja caer un objeto desde la terraza de un edificio. Cuando pasa junto a una ventana, de 2m de altura, por debajo del punto inicial, se observa que el objeto invierte 0,30s en recorrer la altura de la ventana:

136

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http://cosadeinformatica.blogspot.com A. ¿Qué velocidad llevaba en lo alto de la ventana? B. ¿Cuál es la altura del edificio, si el borde inferior de la ventana está a 6 metros del suelo? 8.

Usted está parado en la calle y observa que a su hermana se le cayó una pelota desde una ventana que está situada 450m de altura. ¿Con qué velocidad debe correr para atrapar la pelota a una altura de 1m si está a una distancia de 30m del pie del edificio?

9.

Usted se encuentra en la terraza de un edificio de 89 pisos –cada piso es de tres metros–. En el piso 32 ocurre un incendio, no hay posibilidad de llamar a los bomberos, el ascensor está bloqueado y no se puede subir ni bajar escaleras; un amigo suyo está en el piso 15 asomado por la ventana mirando hacia arriba, exactamente en la línea de caída. Desesperado, usted decide lanzar globos con agua hacia abajo, con una velocidad de 15m/s

http://tumundovirtual.wordpress.com A. ¿Cuánto tiempo tiene su amigo para evitar que le caiga un globo encima? B. Si su amigo permanece asomado, ¿Con qué velocidad lo golpea el globo? 10. La tabla muestra el valor de gravedad en algunos planetas y en la Luna: Objeto Mercurio Tierra Luna Marte Júpiter Saturno

Gravedad (m/s 2) 3,70 9,8 1,6 3,7 26,4 11,7

Para cada uno, determine cuánto tarda en caer un cuerpo a 100m por encima de su superficie. 137

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

11. Un cañón lanza verticalmente hacia arriba una bala de 2kg en el aire a una velocidad de 800 km/h; dadas estas condiciones, determine el tiempo que tarda la bala en subir, la altura máxima que alcanza la bala en el recorrido y el tiempo que le toma a la bala regresar a la Tierra. 12. Luisa Lane se cae desde el piso 102 del Empire State, en la ciudad de New York. Clark Kent, quien inmediatamente la ve, se convierte en Superman y empieza su persecución para alcanzarla: A. Si debe atraparla un instante antes de que Luisa toque el suelo, ¿con qué aceleración constante debe volar Superman para rescatarla? B. Si Clark tarda 2 segundos en transformarse en Superman y empezar a volar, con qué aceleración debe moverse para alcanzar a Luisa justo antes de que toque el suelo. 5.4. Laboratorio de caída de los cuerpos A continuación se proponen prácticas de laboratorio, tanto virtuales como remotas, que buscan la reconstrucción de saberes relacionados con la comprensión del conocimiento científico en física, la solución de problemas contextualizados y el método científico como herramienta para la investigación. Recuerde programar su agenda para no congestionar la plataforma y teniendo en cuenta el cronograma de actividades del plan de asignatura, hacer las reservas de los equipos para las prácticas remotas con suficiente tiempo. Fase preparatoria Lea con cuidado el siguiente contenido; en él recordará algunos conceptos y categorías importantes tratadas en el libro y en clase. Recordemos La caída de los cuerpos ha tomado importancia desde tiempos antiguos, su naturaleza y características ha inspirado a muchos pensadores; a continuación se plantean algunos de sus argumentos: POSTULADOS DE ARISTÓTELES (350 a.C.)

http://www.venamimundo.com Figura 1. Aristóteles 138

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NO EXISTE EL VACÍO… 1.

Todo cuerpo se mueve con menor velocidad entre mayor sea la resistencia del medio en que se mueve; por lo tanto, NO existe el vacío, porque la velocidad del cuerpo sería infinita. ¿Y TÚ QUE PIENSAS? Piensa un momento en lo que hay fuera del planeta. ¿Hay aire fuera de la Tierra? ¿En la luna podrías respirar normalmente? Entonces, ¿Existe o no existe el vacío?

EL MOVIMIENTO NATURAL 2.

Todo cuerpo tiende a moverse a su “lugar natural”. Por ejemplo, el humo tiende a moverse hacia arriba por ser este su lugar natural; mientras que otros se mueven naturalmente hacia abajo y por esto caen; y no se necesita ninguna fuerza para que se muevan hacia su lugar natural. ¿Y TÚ QUE PIENSAS? Coge un libro pesado y pon tu mano entre el libro y la mesa. ¿Qué sientes sobre tu mano? ¿Es esto una fuerza? ¿Qué es lo que empuja el libro hacia abajo? Entonces, ¿Ninguna fuerza hace que se mueva hacia abajo?

EL MOVIMIENTO VIOLENTO 3.

Para mover un cuerpo en contra de su lugar natural es necesario aplicarle una fuerza; esto se llama movimiento violento. Para levantar una piedra hacia arriba, es decir, en contra de su lugar natural, es necesario aplicar una fuerza; pero cuando esta cae no actúa ninguna fuerza. ¿Y TÚ QUE PIENSAS? Si lanzas un objeto para que se deslice sobre la pista de hielo, ¿Por qué se detiene? ¿Sería posible que siguiera indefinidamente? Entonces, ¿Es siempre necesario aplicarle una fuerza para mover un cuerpo?

Aristóteles vs. Galileo Durante siglos, la idea de que la Tierra estaba en su lugar natural de reposo fue muy aceptada, y ya que ponerla en movimiento requería de una enorme fuerza, lo más lógico era pensar que la Tierra no se movía, sino que el resto del universo se movía alrededor de ella. De esta manera, el Sol era el que giraba alrededor de la Tierra. Este punto de vista de Aristóteles perduró hasta el tiempo de Copérnico, aproximadamente en el año 1.500 d.C., quien afirmó que era la Tierra la que se movía alrededor del sol. Toda la física que se conocía hasta el momento era deducida a partir de la lógica y se llegó a conclusiones erróneas, hasta que apareció Galileo Galilei, quien por primera vez hizo experimentos para deducir las leyes del movimiento. María Inés Aguilar, Mariana Ceraolo y Mónica Pose (Fragmento tomado de http://www.cienciaredcreativa.org/informes/caida%202.pdf) 139

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

POSTULADOS DE GALILEO GALILEI (1.600 d.C)

http://es.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei Figura 2. Galileo Galilei NO SE NECESITA FUERZA PARA MANTENER UN OBJETO EN MOVIMIENTO 1.

En ausencia de rozamiento no se necesita aplicar una fuerza para que un cuerpo se mueva indefinidamente. ¿Y TÚ QUE PIENSAS? Si dejas rodar una pelota por un plano inclinado, ¿Por qué se detiene al llegar a la superficie plana? ¿Cómo se puede hacer que la pelota siga moviéndose indefinidamente? ¿Es necesario aplicarle una fuerza?

TODO CUERPO TIENDE A CONSERVAR SU ESTADO DE MOVIMIENTO 2.

Todo cuerpo se resiste a cambiar su estado de movimiento. Por ejemplo, un cuerpo en reposo presenta una resistencia a moverse; así mismo todo, cuerpo en movimiento presenta resistencia a detenerse. Esta resistencia se llama inercia. ¿Y TÚ QUE PIENSAS? Cuando estás en un bus que de repente empieza a moverse, ¿Qué te sucede? Y una vez el bus está en movimiento y frena ¿Qué te sucede? ¿Qué puedes concluir de estas experiencias?

LOS CUERPOS CAEN SIN IMPORTAR SU MASA 3.

En usencia de aire, una pluma caerá al mismo tiempo y con la misma velocidad que una piedra. Esto sucede aunque tengan masas diferentes. ¿Y TÚ QUE PIENSAS? Toma un lapicero y una hoja de papel y déjalos caer al mismo tiempo ¿Cuál de los dos cae primero? ¿Cómo explicas lo anterior? Ahora, toma el papel, arrúgalo y déjalos caer de nuevo. ¿Cuál cae primero? ¿Concluyes que el tiempo de caída depende de la masa o no? 140

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POSTULADOS DE ISAAC NEWTON (1685 d.C.)

http://www.biografiasyvidas.com Figura 3. Sir Isaac Newton LEY DE INERCIA 1.

Todo cuerpo tiende a conservar su estado de movimiento o de reposo, a no ser que actúe una fuerza externa sobre él. ¿Y TÚ QUE PIENSAS? Piensa que tienes que hacer mover una caja: ¿Cuáles la forma para lograrlo? ¿Qué debes aplicarle a la caja? Por otro lado, si un carro frena ¿Qué hace que este pare? ¿Qué pasaría si no hubiera rozamiento?

LEY DEL MOVIMIENTO 2.

Todo cuerpo al cual se le aplique una fuerza, acelera de forma proporcional a la fuerza aplicada e inversamente proporcional a su masa. Esta ley se enuncia como: Fuerza neta = masa x aceleración ¿Y TÚ QUE PIENSAS? Cuando vas al supermercado y empujas el carrito de compras, ¿Cuándo acelera más el carrito?, ¿cuando está vacío o cuando está lleno? ¿Es decir que la aceleración aumenta o disminuye con la masa? Si deseas que el carro acelere más, ¿Debes aplicar más o menos fuerza?

LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN 1.

A toda fuerza de acción le corresponde otra fuerza de reacción de igual magnitud y sentido contrario. ¿Y TÚ QUE PIENSAS? Cuando le pegas a una puntilla con el martillo, ¿Hacia dónde se mueve la puntilla? ¿Quién la empuja en esa dirección? y ¿Hacia dónde se mueve el martillo? ¿Quién lo empuja? Entonces, ¿Cuál es la fuerza de acción y cuál la de reacción? 141

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Actividades Elabore un pequeño informe sobre los siguientes conceptos matemáticos y físicos, compartiendo sus desarrollos en un foro o una wiki. Puede trabajar con sus compañeros de curso, o si lo prefiere, previa autorización del docente, formar un equipo de trabajo con compañeros de otras universidades. Los conceptos y categorías a desarrollar son: 1. Fuerza, masa, peso –ecuaciones y consideraciones especiales–. 2. La ley de inercia, ley del movimiento y ley de acción y reacción. 3. La caída de los cuerpos en el vacío. Fase experimental A continuación usted va a realizar un conjunto de prácticas virtuales y remotas con el fin de poner en acción la construcción conceptual y categorial de los saberes. Esto también le permitirá afianzar lo comprendido, incrementando la capacidad para dar respuesta a situaciones cada vez más complejas dentro del pensamiento científico en física. Objetivos Con el presente conjunto de prácticas de laboratorio, se busca que el alumno adquiera los siguientes desempeños de competencia: þ Establece críticamente las condiciones necesarias para considerar la caída de un cuerpo como un movimiento de caída libre, e igualmente, predice el comportamiento del cuerpo en cualquier instante de tiempo. þ Describe de forma gráfica y analítica el comportamiento de objetos que caen en el aire o en otros medio viscosos. þ Comprende las implicaciones de la aceleración gravitacional que una masa planetaria ejerce sobre el movimiento de un cuerpo, cerca a su superficie. Práctica de laboratorio virtual Ingrese a la página oficial de PHYSILAB (www.physilab.edu.co) y en la barra de estado, ingrese a la sección de “Simulaciones” para desarrollar la práctica virtual: CAÍDA DE LOS CUERPOS

Figura 4. Pantalla de la página WEB para las simulaciones virtuales 142

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Una vez se cargue el sistema, debe ver una pantalla similar a la que se muestra a continuación:

Figura 5. Applet para el movimiento vertical El sistema representa un disparador que lanza verticalmente un objeto desde el suelo con cierta velocidad inicial; tanto la posición de disparo como la velocidad del lanzamiento se pueden cambiar. A lo largo de la trayectoria se tiene una serie de sensores que determinan el tiempo, según la altura a la que se coloquen. Finalmente, en la parte inferior izquierda están las representaciones gráficas para la posición y la velocidad en función del tiempo del movimiento. Práctica virtual A. Caída libre variando la altura A.1. Corra la simulación de la caída de los cuerpos en el vacío para una altura determinada. Observe las gráficas de aceleración, velocidad final, distancia y tiempo de caída. A.2. Duplique y triplique la altura de caída y corra de nuevo la simulación. Observe las gráficas obtenidas. Preguntas 1. 2. 3. 4. 5.

Explique cómo cambiaron las gráficas de aceleración, velocidad final, distancia y tiempo de caída al duplicar y/o triplicar la altura. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la altura de caída en la velocidad final? Establezca el tipo de relación. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la altura de caída en la aceleración? Establezca el tipo de relación. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la altura de caída en la distancia? Establezca el tipo de relación. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la altura de caída en el tiempo de caída? Establezca el tipo de relación. 143

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Práctica virtual B. Caída libre variando la velocidad inicial B.1. Corra la simulación con una velocidad inicial de cero. Observe las gráficas de aceleración, velocidad final, distancia y tiempo de caída. B.2. Corra de nuevo la simulación con velocidades de 200cm/s y 400cm/s,tanto positivas como negativas. Observe las gráficas obtenidas. Preguntas 1. 2. 3. 4. 5.

Explique cómo cambiaron las gráficas de aceleración, velocidad final distancia y tiempo de caída al cambiar la velocidad a200cm/s, 400cm/s, –200cm/s y –400cm/s. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la velocidad inicial en la velocidad final? Establezca el tipo de relación. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la velocidad inicial en la aceleración? Establezca el tipo de relación. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la velocidad inicial en la distancia? Establezca el tipo de relación. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la velocidad inicial en el tiempo de caída? Establezca el tipo de relación.

Práctica virtual C. Variando la gravedad C.1. Corra la simulación con la aceleración de la gravedad de la tierra 9,8m/s2. Observe las gráficas de aceleración, velocidad final, distancia y tiempo de caída. C.2. Cambie la aceleración de la gravedad al doble y después a la mitad. Observe las gráficas obtenidas. Preguntas 1. 2. 3. 4.

Explique cómo cambiaron la gráficas de aceleración, velocidad final, distancia y tiempo de caída al cambiar la aceleración de la gravedad al doble y a la mitad. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la gravedad en la velocidad final? Establezca el tipo de relación. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la gravedad en la distancia? Establezca el tipo de relación. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la gravedad en el tiempo de caída? Establezca el tipo de relación.

Práctica virtual D. Caída en medio resistivo cambiando el medio D.1. Corra la simulación de la caída de los cuerpos en el vacío con velocidad inicial cero. Observe las gráficas de aceleración, velocidad final, distancia y tiempo de caída. D.2. Cambie medio de resistencia a agua y aceite. Observe la gráficas obtenidas. 144

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Preguntas 1. 2. 3. 4.

Expliqué cómo cambiaron las gráficas de aceleración, velocidad final, distancia y tiempo de caída al cambiar el medio a agua y a aceite. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la resistencia de caída del medio, en la velocidad final? Establezca el tipo de relación. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la resistencia de caída del medio, en la distancia? Establezca el tipo de relación. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la resistencia de caída del medio, en el tiempo de caída? Establezca el tipo de relación.

Práctica virtual E. Caída en medio resistivo variando la altura E.1. Corra la simulación de la caída de los cuerpos en agua. Observe las gráficas de aceleración, velocidad final, distancia y tiempo de caída. E.2. Duplique la altura de caída y triplique la altura inicial. Corra la simulación y observe las gráficas obtenidas. Preguntas 1. 2. 3. 4. 5. F.

Expliqué cómo cambiaron la gráficas de aceleración, velocidad final, distancia y tiempo de caída al duplicar y triplicar la altura. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la altura de caída en la velocidad final? Establezca el tipo de relación. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la altura de caída en la aceleración? Establezca el tipo de relación. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la altura de caída en la distancia? Establezca el tipo de relación. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la altura de caída en el tiempo de caída? Establezca el tipo de relación. Práctica virtual F. Caída en medio resistivo variando la velocidad inicial

F.1. Corra la simulación de la caída de los cuerpos en agua con una velocidad inicial de cero. Observe las gráficas de aceleración, velocidad final, distancia y tiempo de caída. F.2. Corra de nuevo la simulación con velocidades de 200cm/s y 400cm/s,tanto positivas como negativas. Observe la gráficas obtenidas. Preguntas 1.

Expliqué cómo cambiaron la gráficas de aceleración, velocidad final distancia y tiempo de caída al cambiar la velocidad a200cm/s, 400cm/s, -200cm/s y 400cm/s. 145

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

2. 3. 4. 5.

¿Qué puede concluir sobre la influencia de la velocidad inicial en la velocidad final? Establezca el tipo de relación. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la velocidad inicial en la aceleración? Establezca el tipo de relación. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la velocidad inicial en la distancia? Establezca el tipo de relación. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la velocidad inicial en el tiempo de caída? Establezca el tipo de relación.

Práctica de laboratorio remoto Usted va a encontrar en la Universidad Católica de Manizales un montaje que consiste en un tubo transparente, unos sensores y unos actuadores con los cuales puede interactuar de manera REAL, pero a distancia. Recuerde que para utilizarlos, debe realizar previamente la reserva de equipos. Para iniciar, entre al sistema proporcionando nombre y clave, dadas previamente por el administrador:

Figura 6. Pantalla de control de acceso al laboratorio remoto Una vez allí, ingrese a Laboratorios y finalmente a los laboratorios de la UCM, donde encontrará un tubo transparente acompañado de unos sensores, actuadores y cámaras de video. El tubo de caída está hecho de material transparente y hace la función de aislar la caída de los objetos del medio para evitar turbulencias, vientos y demás factores que puedan incidir en las mediciones.

Figura 7. Applet para el movimiento vertical 146

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Mediante un sistema se suelta la esfera que cae dentro de un tubo transparente, a lo largo del cual hay sensores que detectan el tiempo transcurrido para llegar a una altura determinada. Estos sensores se pueden mover a lo largo del tubo para ajustar la posición deseada. Usted puede controlar el material de la esfera que se lanza y las alturas a las cuales se medirán los tiempos; esto con el fin de realizar la experiencia en diferentes escenarios y corroborar los principios físicos que explican y predicen el comportamiento de los objetos que caen en condiciones reales. El sistema cuenta con tres sensores de tiempo que se pueden mover libremente dentro de un rango definido y que se muestran en la tabla: Tabla 1 Sensor S01 S02 S03

Posición mínima 150 90 20

Posición máxima 160 120 60

Tenga en cuenta estos datos en las prácticas que desarrolle con el tubo de caída. Test de diagnóstico del sistema Va a probar que el sistema funciona correctamente y que tiene control sobre los diferentes elementos y dispositivos con que cuenta la práctica: Protocolo 1. Cámara: Revise que tenga una buena calidad de video, mueva la cámara y obtenga la visual de todo el tubo de caída. Protocolo 2. Sistema de liberación: Accione el motor de tal forma que la esfera se pueda liberar desde su posición inicial. Protocolo 3. Variación del material: Cambie una esfera por otra de diferente material, de forma que verifique el funcionamiento adecuado y que corresponde al material solicitado. Protocolo 4. Sensores: Cambie la posición de los sensores de tiempo, corrobore que el valor solicitado corresponde a la posición real donde se ubique finalmente el sensor; sírvase de la cámara para esto. Protocolo 5: Libere la esfera con los sensores en diversas alturas; asegúrese de que el sistema le entregue valores. Si uno de estos protocolos no se cumple, no podrá realizar la práctica de laboratorio y deberá comunicarse con el administrador del sistema a través del correo que se encuentra en la plataforma. Después de corroborar que el sistema funciona correctamente, usted desarrollará una serie de pruebas para comprobar los principios físicos del movimiento de caída de los cuerpos. 147

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Práctica Remota 1 1.1 Solicite que el cuerpo a trabajar sea el balín. 1.2

Ubique el primer sensor de tiempo a 150cm del suelo y manténgalo fijo en esa posición(Use la cámara para verificar la posición de los sensores).

1.3. Fije los demás sensores en otras posiciones, tomando nota del sitio y consignándolo en la parte superior de la tabla. 1.4. Para la primera posición del actuador deje caer el balín, capture las medidas de tiempo y consígnelas en la tabla. Tabla 2 Material Altura (m) Tiempo (s)

y=1,5m t=

y= t=

y= t=

y= t=

1.5. Obtenga la gráfica de posición contra tiempo para las cuatro posiciones; use la cuadrícula anexa especificando la escala utilizada para cada eje:

Figura 8. Gráfica de la posición contra el tiempo para la caída de un cuerpo 1.6. Determine la forma de la gráfica anterior. ¿Qué tipo de movimiento es? ¿Se aproxima a movimiento de caída libre o caída en un medio con resistencia? 1.7. Utilice los datos obtenidos anteriormente para calcular los datos de velocidad final. Llene la siguiente tabla con los resultados obtenidos: Tabla 3 Material Tiempo (s) Velocidad (m/s)

t= V=

t= V=

t= V=

148

t= V=

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1.8. Obtenga la gráfica de velocidad contra tiempo; use la cuadrícula anexa especificando la escala utilizada para cada eje:

Figura 9. Gráfica de velocidad contra tiempo de un cuerpo que cae 1.9. Determine la forma de la gráfica anterior. ¿Qué tipo de movimiento es? ¿Se aproxima a movimiento de caída libre o caída en un medio con resistencia? 1.10.Obtenga una regresión en matemática con el conjunto de datos y estime la función que mejor representa los valores mostrados en la gráfica; de igual forma, estime el error de las medidas y consigne estos valores en el siguiente esquema: V(t)= ____+____t Donde el primer y segundo espacios corresponden al término independiente y a la pendiente de la ecuación obtenida por regresión. Finalmente, compárela con la forma general para la posición en movimientos uniformes rectilíneos: Vf = Vo + gt 1.11.¿Cuál es el valor de la aceleración de la gravedad en Manizales? Obtenga sus propias conclusiones sobre si la caída es libre o si es en medio de resistencia. Relacione esta conclusión con los análisis hechos para las gráficas anteriores. 1.12.Cambie la posición de los sensores y repita la práctica en todos sus puntos. ¿Se obtiene el mismo valor para la gravedad? ¿Qué indica esto? Práctica Remota 2 2.1. Cambie el balín por la esfera de madera. 2.2. Repita los puntos 1.2 hasta 1.8 de la práctica 1. 149

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

2.3. ¿El valor obtenido de la aceleración de la gravedad en Manizales es el mismo que el obtenido para el balín?, ¿Qué indica esto?, ¿El movimiento se puede aproximar a una caída libre? Práctica Remota 3. 3.1. Cambie la esfera de madera por la bola de poliestireno expandido (“icopor”). 3.2. Repita los puntos 1.2 hasta 1.8 de la práctica 1. 3.3. ¿El valor obtenido de la aceleración de la gravedad en Manizales es el mismo que el obtenido para el balín?, ¿Qué indica esto? ¿El movimiento se puede aproximar a una caída libre? 3.4. Grafique en un solo plano las alturas de caída contra tiempo para los cuerpos 1, 2 y 3. Use la cuadrícula anexa especificando la escala utilizada para cada eje:

Figura 10. Altura contra tiempo para cuerpos que caen 3.5. ¿Cuál está por encima de todas?, ¿Cuál está por debajo?, ¿Qué se puede concluir? 3.6. Grafique en un solo plano las velocidades contra tiempo para los cuerpos 1, 2 y 3. Use la cuadrícula anexa especificando la escala utilizada para cada eje. 3.7. ¿Cuál está por encima de todas? ¿Cuál está por debajo? ¿Qué se puede concluir? 3.8. Saque sus propias conclusiones de toda la práctica.

150

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CAPÍTULO VI

TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA

151

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Las Leyes de Newton plantean un procedimiento para comprender el movimiento o las condiciones en las que se encuentra un cuerpo, teniendo en cuenta la masa y la aceleración del mismo; por otro lado, la aceleración es un parámetro que cuantifica la variación de la velocidad por unidad de tiempo, siendo este elemento importante y determinante en la descripción matemática; sin embargo, hay otra forma de analizar los movimientos o las condiciones en que se encuentran los cuerpos y esta es desde el punto de vista de la energía y el trabajo, que son parámetros independientes del tiempo, por lo que simplifican sustancialmente el nivel de complejidad de algunos problemas. Adicionalmente, existen situaciones donde la fuerza no es constante sino que varía con el tiempo y con la posición del cuerpo, y desde el enfoque de las leyes de Newton resulta innecesariamente dispendioso hacer los análisis, si se compara con los análisis dados desde el enfoque del trabajo y la energía. Antes de analizar el problema del trabajo, la potencia y la energía en sistemas físicos, es necesario hacer una introducción al concepto de fuerza, de forma tal que el lector pueda comprender mejor las relaciones, conceptos y categorías presentes en este capítulo. 6.1. Del concepto de Fuerza De muchas maneras el ser humano experimenta la fuerza como acciones que ocasionan cambios y que la cotidianidad asocia con el esfuerzo muscular, la capacidad para mover objetos o imprimirles rapidez. La fuerza de gravedad es otra acción familiar que experimentan todos los objetos cercanos a la Tierra y que determina parámetros como el peso; sin embargo la fuerza en sus diversas manifestaciones, explican otros fenómenos no tan evidentes a simple vista –o por lo menos no para el simple sentido común–, como por ejemplo la atracción entre la Tierra y la Luna, las trayectorias de los planetas y demás cuerpos celestes, las interacciones presentes en cargas eléctricas en reposo o en movimiento, la naturaleza de los eventos que permiten que el núcleo de un átomo se mantenga unido y estable, pero estos últimos tipos de fuerzas no se estudian en este documento y se dejan al lector como temas complementarios de interés y profundización particular. Aunque existen diversas formas para definir la fuerza1, a continuación se establece con muchas simplificaciones, una primera aproximación al concepto: Fuerza: Es la interacción que se dan entre dos o más cuerpos o sistemas, que pretende el cambio de las condiciones actuales de movimiento de todo el conjunto2. 1. En física se definen cuatro tipos de fuerzas fundamentales, a saber: la fuerza gravitacional, la fuerza electromagnética, la fuerza de interacción fuerte y la fuerza de interacción débil; cada una con expresiones propias y características únicas. 2. La fuerza es la interacción que se da entre cuerpos y/o sistemas y que ocasionan el cambio del momento inercial de cada uno.

152

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La Primera Ley de Newton En su primera ley, Newton establece que: “Todos los cuerpos tienden a conservar el estado natural en que se encuentran, a menos que una fuerza neta externa distinta de cero, se lo impida” Cuando se lanza una nave al espacio exterior, sus cohetes la impulsan con cierta aceleración haciendo variar su rapidez; sin embargo, cuando los cohetes cesan, el impulso dado a la nave y la velocidad alcanzada se conservan, y a menos que aparezca una nueva fuerza, la nave seguirá una trayectoria recta sin detenerse nunca. Esto no sucede en la Tierra: si se impulsa una pelota en el suelo, sin importar que tan fuerte esta se golpee, eventualmente se detendrá, pero no porque el estado natural sea el reposo sino porque durante la trayectoria de la pelota, aparecen fuerzas que se oponen al movimiento –estas son las fuerzas de rozamiento–. En el espacio exterior no existen estas fuerzas, y en consecuencia, no hay nada que detenga el movimiento de la nave espacial. En otras palabras, la fuerza busca cambiar el estado de movimiento o reposo de un cuerpo o sistema cuando se aplica de forma externa a él, o en su defecto, una fuerza provoca una deformación de los cuerpos. En el caso del cambio inercial, la variación de la velocidad, ya sea en módulo –magnitud– o en dirección, lleva a la aparición de una aceleración, que es otra de las características presentes en las fuerzas.

http://www.vi.cl/foro/topic/8224-fisica-apuntes/ Figura 6.1. Introducción al concepto de Fuerza Considérese un cuerpo que descansa sobre una mesa y del cual pende un segundo cuerpo por medio de un hilo; es sabido que la fuerza de gravedad sobre el objeto que pende arrastra al cuerpo que está sobre la mesa si estas –las masas– no son tan diferentes. Inicialmente, considérese que el sistema se encuentra en reposo, es decir, 153

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

que la rapidez inicial es cero; cuando el sistema se libera, los dos bloques se empiezan a mover incrementándose proporcionalmente la velocidad, lo que lleva a establecer que aparece una aceleración constante; pero ¿qué sucede cuando una de las dos masas cambia? Supóngase que el cuerpo de la mesa se cambia por uno más grande de mayor masa: el cuerpo que pende igualmente lo moverá; sin embargo, el cambio de velocidad debe ocurrir a una menor tasa, lo que conduce a una menor aceleración. Por tanto, debe existir una relación entre la masa de los cuerpos que se mueven, la fuerza y la aceleración de todo el sistema. Se toma m1 como la masa del primer cuerpo sobre la mesa, que se mueve con aceleración constante a1, y a m2 y a2como la masa y aceleración cuando el cuerpo de la mesa se cambia por un segundo objeto, donde la fuerza de arrastre es producida siempre por el mismo cuerpo y entendiendo que una masa mayor ocasiona una menor aceleración. De forma experimental, es posible llegar a la siguiente conclusión:

Donde el cociente de las masas es el cociente del inverso de las aceleraciones; además, al juntar estas dos masas, la masa del cuerpo compuesto es m1 + m2, y aunque esta propiedad parece obvia, debe verificarse experimentalmente. Así, sabiendo que la masa se compone de protones, electrones y neutrones, la masa corresponde a la cantidad de materia de los cuerpos; sin embargo, no resulta práctico contar estas cantidades de elementos.

Tomado de: Física I, Raymond Serway Figura 6.2. Sumatoria de Fuerzas Considérese ahora que se tienen dos fuerzas que se aplican sobre una misma balanza de resorte. La primera fuerza F1elonga el resorte una distancia de 1cm (figura 6.2.a), mientras que la segunda fuerza elonga el resorte una distancia de 2cm (figura 6.2.b). Al aplicar las fuerzas simultáneamente sobre el mismo resorte y en la misma dirección, este se elonga 3cm (figura 6.2.c), lo que permite inicialmente concluir que las fuerzas se pueden sumar, y aunque esto es correcto, se debe ser más preciso. La figura 6.2.d ilustra estas mismas dos fuerzas, pero ahora son perpendiculares; el 154

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efecto combinado lleva a concluir que aparece una tercera fuerza F que remplaza a las dos anteriores y que hace inclinar la balanza de resorte en su dirección, y tal como puede verse en la figura 6.3, esta fuerza resultante corresponde en magnitud y dirección a la hipotenusa del triángulo rectángulo; por tanto:

Y la dirección está dada por:

Lo que eventualmente permite concluir dos conceptos importantes: el primero es que las fuerzas son cantidades vectoriales, caracterizadas por una orden de magnitud, una dirección, un sentido y un punto de aplicación; y el segundo, que es posible sumar fuerzas –suma vectorial de fuerzas– y remplazar todas las fuerzas combinadas por una sola que, aplicada sobre el mismo cuerpo, produce que este se mueva con el sentido de la aceleración.

Figura 6.3. Fuerza resultante de dos fuerzas combinadas perpendiculares entre sí Así, para los datos de la figura 6.2, se tiene entonces que la magnitud de la fuerza resultante que remplaza a las dos fuerzas es:

Al ver experimentalmente estos resultados, Newton concluyó acertadamente lo que se conoce como la Segunda Ley del Movimiento de Newton, para cuerpos grandes que se mueven a velocidades muy inferiores a la velocidad de la luz:3 Segunda Ley de Newton: La suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es igual en magnitud y dirección al producto entre la masa del cuerpo y su aceleración.

3 Estas dos condiciones no fueron establecidas por Newton, sino que pertenecen a la física relativista, casi 300 años después de las Leyes de Newton.

155

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Dado que la masa es una cantidad escalar, no tiene dirección, necesariamente la dirección de la fuerza resultante está dada por la aceleración de sistema, es decir, la dirección de la fuerza resultante es igual a la dirección del movimiento. En términos algebraicos, la segunda Ley de Newton se escribe como:

Y si es una sola fuerza la que actúa sobre el cuerpo, entonces:

La unidad de fuerza en el Sistema Internacional de Medidas es el newton, que dimensionalmente corresponde a:

Ó:

Entre más grande sea un cuerpo, es necesario aplicarle mayor fuerza para cambiar el estado en que se encuentra; así, la masa es la propiedad inercial que tiene la materia para resistirse a estos cambios. 6.2. Concepto de trabajo para una Fuerza constante ¿Ha escuchado alguna vez a alguien decir “este deportista tiene mucha fuerza”?, infortunadamente, se tiende a confundir el concepto de fuerza con la capacidad que se tiene para cumplir una acción en cierto tiempo; puede que una persona no tenga tanta fuerza como otra, pero está en mejores condiciones para llevar a cabo una tarea y esto es lo que generalmente sucede con los deportistas de alto rendimiento: son individuos con capacidades excepcionales, pero que no necesariamente tienen una fuerza excepcional. Y a todas estas…. ¿Qué es el trabajo? Trabajo: Es el producto de la fuerza y la distancia cuando un cuerpo se mueve a través de cualquier trayectoria.

Aquí es importante aclarar que se multiplica la componente de la fuerza que es paralela al desplazamiento, cuya unidad es el joule, que corresponde a 1 N·m, o en unidades fundamentales: 156

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En términos vectoriales, el trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo es el producto punto entre el vector Fuerza y el vector Desplazamiento; este producto es una cantidad escalar:

Y de la definición del producto punto se tiene, entonces:

Esta expresión es la definición más aproximada para el trabajo realizado por una fuerza constante. Con el fin de comprender mejor este concepto, considérese la figura 6.1:

Figura 6.1. Trabajo hecho por una fuerza paralela al sentido y dirección del desplazamiento Aquí se puede observar que al aplicar una fuerza constante a un bloque de masa m, este tiene un desplazamiento hacia la derecha, representado por d. Para la situación en particular se puede apreciar que el trabajo es paralelo al desplazamiento del objeto, con lo que se establece que para cuerpos que se mueven bajo la acción de una fuerza paralela al desplazamiento, el trabajo realizado por o sobre el cuerpo está dado según la expresión: W = Fd

Ahora supóngase la situación de la figura 6.2: aquí la fuerza ya no es paralela a la distancia, por lo que es necesario descomponer el vector fuerza para hallar una componente de la fuerza que es paralela al desplazamiento; este procedimiento se llama descomposición de las componentes horizontal y vertical de F, analizado en el capítulo de vectores y representado en la figura 6.3:

Figura 6.2. Trabajo hecho por una fuerza no paralela al vector de desplazamiento 157

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Acá se tiene entonces que:

En la figura 6.3 se puede ver que la componente paralela a la fuerza ejercida es F cos q, por lo tanto, el trabajo es:

Donde es más conocida la expresión:

En esta situación, F es la magnitud de la fuerza, d es el vector desplazamiento del objeto y θ el ángulo comprendido entre el vector fuerza y el vector desplazamiento. Bajo ciertas circunstancias, la fuerza puede estar en anti-paralelo a la distancia recorrida, y aunque parece extraño, resulta totalmente posible; por ejemplo, cuando un automóvil está moviéndose en una carretera y aplica los frenos, la fuerza de rozamiento de ellos va en dirección contraria al movimiento, realizándose un trabajo al tratar de detener el automóvil. Se establece entonces que los vectores fuerza y desplazamiento forman un ángulo de 180º, con lo que se tiene: Dado el ángulo:

Y en consecuencia: W = Fd(-1) = - F·d

Figura 6.3 Descomposición de las componentes de la fuerza F 158

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Lo que efectivamente corresponde al análisis anterior. El último caso es cuando la fuerza es perpendicular al desplazamiento: como no hay componente de la fuerza que sea paralela al desplazamiento, el trabajo es igual a cero. Un ejemplo de la anterior situación es el trabajo que hace el peso –fuerza– que va en dirección vertical hacia abajo, cuando el cuerpo se desplaza por la superficie horizontal. Bajo esta situación, es posible afirmar que trabajo neto realizado por el peso vale cero. A continuación se propone un problema que ejemplifica estas situaciones:

Figura 6.4. Situación del problema 6.1 Ejemplo 6.1. Una caja de 3kg es arrastrada mediante una fuerza de 40N, inclinada 30º con respecto a la vertical y desplazándose 5m, como se muestra en la figura 6.4. Si el coeficiente de fricción entre el piso y la caja es 0,3, calcular el trabajo realizado sobre la caja por: A. B. C. D.

La fuerza aplicada La fuerza de rozamiento El peso La fuerza normal

Solución: Primero se construyen el diagrama de cuerpo libre de las fuerzas que actúan sobre la caja:

Figura 6.5. Fuerzas que actúan sobre la caja Y con esto se procede a hallar el trabajo de cada una de las fuerzas: A.

La fuerza aplicada no es paralela al desplazamiento, por lo tanto, representa el caso de la figura 6.3, y el trabajo está dado por: 159

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Lo que corresponde a: B.

La fuerza de rozamiento es anti-paralela a la distancia; considerando que la fuerza de rozamiento está dada en términos de la normal, el peso y la fuerza que hala es, entonces:

Así:

Remplazando y despejando la fuerza normal, se tiene:

Con lo que se obtiene que la normal vale: Ya con este valor es posible determinar el trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:

Remplazando los valores:

C.

En este caso, el peso es un vector perpendicular al vector desplazamiento, por lo tanto, el trabajo vale cero:

D.

La fuerza normal, al igual que el peso, son vectores perpendiculares al desplazamiento; por lo tanto, el trabajo realizado por esta fuerza en la dirección del desplazamiento vale cero:

Sin embargo, no en todos los problemas la fuerza es constante. A continuación se analiza el trabajo hecho por una fuerza variable. 160

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6.3 Trabajo para una fuerza variable En las anteriores situaciones se asumió que la fuerza aplicada sobre el cuerpo es constante en magnitud y dirección, pero es posible y de hecho más frecuente, que la fuerza varíe con el tiempo y la posición; para ello, considérese una fuerza que varía, como muestra la figura 6.6 (a):

Figura 6.6. Trabajo realizado por una fuerza variable Para este caso, el trabajo realizado entre los puntos a y b no se puede calcular con las ecuaciones anteriormente definidas, porque en este tramo la fuerza no es constante; sin embargo, el tramo se divide en pequeños intervalos de desplazamiento y en cada subintervalo se aproxima el comportamiento de la fuerza a una fuerza constante, como se muestra en la figura 6.6 (b); haciendo esto, es posible calcular el trabajo total como la suma combinada de los trabajos realizados en cada subintervalo, donde Dx es la longitud del subintervalo, que se asumen iguales por simplicidad: En cada uno de estos pequeños desplazamientos actúa una fuerza aproximadamente constante, por lo cual la forma de las figuras es rectangular. El trabajo total se puede calcular mediante la expresión: Siendo n el número de subintrevalos de la región plana. En forma abreviada, se puede decir entonces que:

Sin embargo este trabajo calculado no es exacto, sigue siendo una aproximación debido a que en cada subintervalo la fuerza constante no es necesariamente igual a la fuerza verdadera; para mejorar esto es necesario dividir la región en rectángulos cada vez más pequeños para acercarse de forma precisa al comportamiento de la fuerza a lo largo del desplazamiento, así cuando n tiende a infinito y el paso de cada subintervalo tiende a cero:

El trabajo puede escribirse como:

161

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Que corresponde a lo que se conoce como una suma de Riemanny que el cálculo infinitesimal asocia con la integral definida: El trabajo en una dimensión es igual a la integral de la fuerza aplicada con respecto a la posición.

Esta expresión corresponde al trabajo realizado por una fuerza variable paralela a la dirección del desplazamiento y cuyo significado geométrico es el área bajo la curva, en una función de Fuerza contra desplazamiento.

EL TRABAJO http://www.europamundo.com En el uso cotidiano del lenguaje, es frecuente llamar Trabajo a ciertas actividades que desde el punto de vista de la física no lo son; para ello, veamos las siguientes situaciones: “Es posible que al lector le esté costando trabajo entender algunos conceptos de este libro”. El pensamiento es una actividad que no demanda fuerza sino esfuerzo, que son dos cosas distintas; por tanto, al no haber fuerza, pensar no es trabajo. “Mi secretaria trabaja de 8am a 4pm, de lunes a viernes”. En esta aseveración tampoco hay trabajo, pues si la secretaria mantiene en su punto, no hay desplazamiento, y en consecuencia, tampoco trabajo. “El trabajo de ese hombre es levantar bultos de cemento de 50 kg y llevarlos a espaldas a una distancia de 40m”. Es cierto que el hombre hace fuerza para levantar y mantener el bulto en sus hombros y que lo desplaza 40m; sin embargo, al ser esta fuerza vertical y el desplazamiento horizontal, tampoco existiría trabajo. Para ser justos con el concepto de trabajo establecido en Física, las actividades anteriores no se deberían asociar con trabajo, sino con lo que verdaderamente son: actividades laborales. 162

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Ejercicio 6.2 Al transportar una caja de materia prima en un proceso industrial se aplica una fuerza en una banda transportadora, como se muestra a continuación:

Adaptado de: http://www.elprado.co.cr/sob_rod.html Figura 6.7. Representación gráfica del problema 6.2 La función de fuerza –en newton– en términos del desplazamiento, está dada por la expresión polinómica:

Calcular: A. B.

El trabajo que hace la banda sobre la caja para llevarla hasta el proceso 1 El trabajo desde que inicia el proceso 1 hasta el final de la banda.

Solución: Para la primera parte, los límites de la integral van de cero a ocho metros:

Recordando los mecanismos para integrar una función polinómica, se tiene: 0,01 3

5,1 2 8

5,1 8 2

8 0

0,01 8 3

Lo que equivale a:

B.

Para la segunda parte de la integral, se evalúa el trabajo entre los 8 y los 20m:

163

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

0,01 3

5,1 2

Así:

20

5,1 20 2 2,5 8

0,01 20 3 5,1 8 2

20 8

0,01 8 3

Lo que equivale a:

6.4 Potencia mecánica Aunque el concepto de potencia está ampliamente utilizado en muchos sistemas y situaciones cotidianas, como los motores de combustión, equipos eléctricos, el sonido, las ondas electromagnéticas, entre otros, esta sección se centra en el concepto más general y aplicable. A medida que se avance en los desarrollos categoriales de la física, se hará énfasis en las particularidades para llegar a cada concepto individual de potencia. La potencia mecánica –aplicable en muchas otras situaciones– es la cantidad de trabajo realizado o necesario por unidad de tiempo. En términos matemáticos, la potencia es:

http://medellin.olx.com.co Figura 6.8. Un computador portátil, como cualquier equipo eléctrico, demanda cierta cantidad de energía para realizar un determinado trabajo en un tiempo definido; este consumo de energía por cada unidad de tiempo es lo que se conoce como potencia. Cuando la fuerza variable no tiene la misma dirección del desplazamiento, es necesario aplicar el método de la integral de línea, que es una herramienta proporcionada por el cálculo vectorial, pero que no es de interés para los objetivos del curso. 164

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Un sistema o equipo puede demandar potencia para su correcto funcionamiento, como lo hace un motor, una plancha, un aparejo, o también puede suministrar potencia tal como sucede en los generadores eléctricos, las pilas y las baterías para equipos como celulares y autos. Atendiendo a las unidades en las que se da el trabajo (joule) y el tiempo (segundo), la unidad de potencia eléctrica es:

Aunque el vatio es la unidad de potencia aceptada para la lengua castellana, es más común encontrar la palabra watt (W) como unidad para la potencia.

Otra Unidad de Energía http://www.directindustry.es Figura 6.9. Contador de energía eléctrica El vatio-hora, representado W-h, es una unidad de energía expresada en unidades de potencia por tiempo. Esta unidad representa la cantidad de energía necesaria para mantener una cierta potencia durante un determinado tiempo; así, por ejemplo, 1W-h es la energía necesaria para mantener una potencia constante de un vatio durante una hora: 1W-h = 3600 J Las facturas de energía que llegan a las casas, cobran la energía suministrada por las empresas, expresando este consumo en unidades W-h, más precisamente, en kW-h. Por otro lado, si la fuerza ejercida sobre el cuerpo varía en función de la posición y el tiempo, es posible establecer un diferencial de trabajo para un subintervalo e igualmente un diferencial de potencia para ese mismo subintervalo, con lo que se llega fácilmente a la expresión:

165

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Así se obtiene una expresión equivalente para el trabajo en función del tiempo, conocida como la función de potencia:

Aunque es más común encontrar en los equipos y demás dispositivos una potencia promedio que sirve para determinar el trabajo realizado y la energía consumida. Ejemplo 6.3.Si la banda transportadora del ejercicio 6.2consume en promedio 200 W para transportar la caja, determinar: A. B. C.

¿Cuánto tiempo se demora la caja en ser transportada durante todo el proceso? Si la empresa debe evacuar 2000 cajas en este proceso,¿Cuántos KW-h consumirá? Si el KW-h tiene un costo de 500 pesos, ¿Cuánto dinero representa el movimiento total sobre la banda de las 2000 cajas?

Solución: Del problema anterior se sabe que el trabajo necesario para mover la caja entre los 0 y 20 metros es: De la expresión para potencia media, se tiene entonces que:

Por tanto:

Remplazando, se tiene:

Que es el tiempo empleado en la banda para transportar la caja. B.

El tiempo total resulta del producto entre el tiempo empleado para cada caja y el número de caja:

Lo que corresponde a 1044s, que es igual a 2,9 horas para mover las 2000 cajas. El número de kilovatios hora (kW-h) consumidos en este intervalo se calcula multiplicando este resultado por la potencia de la banda:

166

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Lo que da: De trabajo –realmente de energía– necesario para mover las 2000 cajas. C.

Como el costo de cada kW–h son $500, el costo para mover las 2000 cajas entre el punto 0 al punto 20m en la banda transportadora es: $500

Esto es aproximadamente $290. 6.5 Energía Volviendo a la afirmación de que un deportista tiene mucha fuerza, ya se puede dar precisión de que lo que se quiere decir es que el deportista tiene gran capacidad de hacer un trabajo o es capaz de realizarlo con gran potencia. Esta capacidad de hacer trabajo es lo que se conoce como energía: La energía es la capacidad que tienen los cuerpos para realizar un determinado trabajo

http://abreuoftalmologia.blogspot.com La energía química está almacenada en las moléculas de los alimentos.

http://www.otromundoesposible.net Un generador de energía eólica para aprovechar la energía del viento.

La energía solar fotovoltaica tiene la finalidad de realizar trabajo eléctrico 167

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Lo anterior implica precisamente para el problema del deportista, que la energía almacenada en sus músculos lo faculta para convertirla en trabajo, el cual puede dosificar en cierto tiempo, desarrollando así una potencia Aunque la energía es una sola, es decir, NO existen tipos de energía, sí se puede manifestar de muchas maneras; entre ellas está la energía química almacenada en los alimentos o en la gasolina, la energía solar, la energía eólica o del viento, la nuclear, por sólo mencionar algunas; ante esta gran variedad. el estudio se centrará en la energía cinética, la potencial gravitacional y la potencial elástica, que son transversales a muchas otras manifestaciones energéticas. Energía cinética Cuando ocurre una colisión entre dos automóviles generalmente la carrocería de ambos se deforma, indicando que hubo una transferencia de energía, y en consecuencia, un trabajo. Esta capacidad para hacer trabajo depende de la velocidad de ambos autos antes del choque y de la masa de cada uno; a tal capacidad se le denomina energía cinética: Energía Cinética: Es la energía que posee un cuerpo debido a su movimiento relativo. Se calcula mediante la ecuación: 1 2

Donde m es la masa del cuerpo y v la magnitud de la velocidad. Realizando un análisis dimensional en el sistema internacional, la masa se expresa en kilogramos y la velocidad en metros por cada segundo; elevándola al cuadrado y utilizando la ecuación, se llega a que la unidad de energía cinética es:

Lo que corresponde a las afirmaciones sobre la relación entre energía y trabajo. Energía potencial gravitacional Es un hecho que al ser liberado en presencia de un campo gravitacional, todo cuerpo simplemente cae, lo que indica que el campo gravitacional hizo sobre el cuerpo un trabajo para moverlo desde una posición hasta otra; eso es lo que sucede cuando se deja caer un vaso de cristal: el impacto produce una acumulación y liberación rápida de energía, que se manifiesta en la fractura de la pieza:

168

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Energía Potencial Gravitacional: Es la energía que posee un cuerpo debido a su altura con respecto a un nivel de referencia en presencia de un campo gravitacional. Se calcula mediante la ecuación: Donde m es la masa del cuerpo que cae, g el valor de gravedad y h la altura o distancia vertical con respecto a la referencia. Según el anterior concepto, un cuerpo tiene tantos valores de energía potencial como número de niveles de referencia que existen, por lo que es más conveniente definir el nivel de referencia con respecto al nivel más bajo al que el cuerpo pueda caer. Es importante notar que la ecuación para la energía potencial gravitacional solo se cumple en el caso de que el cuerpo esté cerca a la superficie de la Tierra y no se desplace grandes distancias, comparables al radio del planeta. En una situación como esta, se emplea la ley de la gravitación universal de Newton para calcular la energía potencial. Los procesos matemáticos de esta ecuación escapan del propósito de este libro, por lo cual no son tratados; la ecuación final que interesa es:

Donde M es la masa planetaria, r la distancia desde el cuerpo hasta el centro del planeta y G es la constante de gravitación universal definida por Cavendish. Muy seguramente han visto un partido de futbol en televisión; el principal objeto y centro de atención en la cancha es el balón que rueda, se traslada y vuela a medida que transcurre el juego. Cuando se traslada con una velocidad se le asocia una energía cinética; cuando vuela se le asocia una energía potencial gravitacional, pero como también está rotando con respecto a su eje, se le asocia una nueva manifestación energética: la energía cinética rotacional.

Figura 6.12. Un balón girando tiene energía rotacional, además de la energía cinética y potencial. Energía cinética rotacional Esta energía es análoga a la energía cinética, pero con algunas diferencias: mientras que la energía cinética depende en forma proporcional del grado de resistencia a trasladarse, que es la masa, la energía cinética rotacional depende del grado de 169

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

resistencia a rotar, que es el momento de inercia; por otro lado, la energía cinética depende del cuadrado de la velocidad lineal, mientras que la energía cinética rotacional depende del cuadrado de la velocidad angular. Momento de Inercia: Es una variable física de un cuerpo, que representa el grado de resistencia a cambiar su estado de rotación. Depende de la distribución de masa del cuerpo con respecto a su centro de giro,para una partícula puntual de masa m rotando a una distancia R del eje, su momento de inercia es: El momento de inercia depende de qué tan cerca esté la masa al centro de giro; por ejemplo, en un anillo la masa está más alejada del centro que en una esfera del mismo radio, por lo cual resultará más difícil poner en movimiento rotacional a un anillo que a una esfera. Algunas fórmulas matemáticas del momento de inercia para cuerpos conocidos se presentan en la siguiente tabla: Tabla 6.1. Momentos de inercia para geometrías conocidas Momentos de inercia de algunos objetos Disco o cilindro Esfera

Anillo

2

I = mR

Varilla girando en su centro

I=

1 2 mR 2

Varilla girando en extremo

I=

2 2 mR 5

Rectángulo h b

1 2 I= mL 12

1 2 I= mL 3

I=

1 2 mb 3

Las anteriores ecuaciones del momento de inercia del anillo, cilindro y esfera, solo se cumplen en el caso de que el cuerpo gire con respecto a su centro, es decir, que el eje de giro pase por este punto. Si se desea conocer el momento de inercia cuando el cuerpo rota respecto a un punto diferente, se procede a utilizar el teorema de los ejes paralelos: Teorema de los ejes paralelos: El momento de inercia de un cuerpo de masa m y cuyo eje de giro se encuentra a una distancia R del centro de masa, es:

Donde I0 representa el momento de inercia del cuerpo con respecto a su centro de masa o centro geométrico. 170

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Dados los anteriores conceptos, ya es posible definir la energía rotacional de un cuerpo que gira: Energía cinética rotacional: Se debe al movimiento de rotación de un cuerpo de momento de inercia I que rota con una velocidad angular. Está dada por la ecuación:

Donde w es la magnitud de la velocidad angular, expresada en Energía potencial elástica Todos los objetos tienen propiedades elásticas, inclusive las paredes y los vidrios, pero a otros objetos se les puede apreciar más fácilmente estas propiedades; por ejemplo. los muebles o el colchón tendrán resortes, o en su defecto algún tipo de espuma que se deforma cuando alguien se sienta en ellos, pero pueden recuperar su forma original una vez desaparece la fuerza.

http://orochisensou.blogspot.com Figura 6.13. Mientras que la fuerza hace que el arco se estire hacia abajo, la fuerza que este aplica sobre la flecha se ejerce hacia arriba. Ahora bien, hay algunos elementos como los resortes y las caucheras en los que la fuerza que es necesario aplicar para deformarlos es directamente proporcional al alargamiento o compresión, según sea el caso. A esta propiedad que tienen ciertos objetos se le conoce como ley de Hook: Ley de Hook:La fuerza aplicada sobre un resorte de constante de rigidez k, es directamente proporcional a su deformación x Su representación matemática es:

El signo negativo de la ecuación indica que la fuerza desarrollada por el resorte es opuesta al sentido de la deformación. 171

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Cuando un resorte se deforma almacena energía que puede liberar una vez se elimina la restricción que lo amarra; esta energía recibe el nombre de energía potencial elástica: Energía potencial elástica: Es la energía asociada a un objeto elástico que se encuentre estirado o comprimido. Su ecuación es:

1 2

Donde k es la constante de deformación lineal característica de cada cuerpo y x la distancia deformada –por estiramiento o compresión–, medida desde la posición de equilibrio hasta la posición deformada. Energía mecánica En muchas situaciones en física, interesa describir el comportamiento de un sistema en términos de su posición y velocidad, y los análisis energéticos proporcionan una herramienta concluyente fácil de usar, así que para comprender mejor la forma como se comportan los sistemas, se emplea una manifestación energética, que es el conjunto de las energías cinética y potencial. A este tipo de energía se le denomina energía mecánica: Aunque inicialmente está definida en términos de la energía cinética y de energía potencial gravitacional, también es posible incluir otras manifestaciones energéticas en la ecuación, como la energía potencial elástica y la energía rotacional. SISTEMA ELÉCTRICO COLOMBIANO El sistema eléctrico colombiano está representado por el conjunto de generadores, transmisores, distribuidores y consumidores de energía eléctrica. En el 2011, la demanda de energía en el país estuvo cerca a los 60,000GW-h,y fue atendida con una potencia instalada de 14,420 MW.

http://www.elmundo.com Figura 6.14. Hidroeléctrica San Carlos La hidroeléctrica más grande con que cuenta Colombia, con una capacidad instalada de 1240MW, asumiendo casi el 10% de la demanda de energía de toda Colombia. 172

COLECCIÓN MAESTROS N° 10

6.6 Principio de la conservación de la energía Cuando un cuerpo está inicialmente en reposo y suspendido en el aire, se le asocia a la energía potencial gravitacional, pero si es liberado y empieza a descender, esta energía disminuye, pues la distancia –altura– se reduce, pero empieza a ganar velocidad y a adquirir energía cinética, por lo que es un hecho demostrable que estas energías no se destruyen, tampoco se crean, sino que pasan de un sistema a otro, es decir, se transforman. La energía potencial gravitacional del cuerpo suspendido hace que adquiera velocidad cuando cae, transformándose en energía cinética. En este punto es importante dar claridad sobre dos tipos de fuerzas presentes en análisis energéticos: las fuerzas conservativas y las no conservativas. Se dice que una fuerza es conservativa cuando el trabajo que se realiza para mover una partícula desde un punto inicial hasta otro punto final, es totalmente independiente de la trayectoria que se escoja; por otro lado, una fuerza no conservativa se caracteriza porque el trabajo efectuado por dicha fuerza aplicado a un cuerpo que se mueve entre dos puntos distintos depende de la trayectoria. El rozamiento es una de las principales fuerzas de naturaleza no conservativa, pues dependiendo de la trayectoria que siga el cuerpo, puede existir o no más trabajo:

Figura 6.15. Fuerzas conservativas y no conservativas Considérese la figura 6.15, donde un cuerpo quiere ir del punto A al punto B sobre una superficie y tiene tres trayectorias posibles. Si la superficie no tiene rozamiento, la fuerza necesaria para mover el cuerpo hace trabajo que es totalmente independiente de la trayectoria que escoja; sin embargo, si la superficie tiene algún rozamiento, el trabajo que se gasta para ir del punto A al punto B dependerá de la trayectoria, es decir, la trayectoria 1 necesitará mayor trabajo que la trayectoria 3 y esta a su vez necesitará más trabajo que la trayectoria 1. Con lo anterior, ya se puede establecer la ley de la conservación de la energía en sistemas conservativos. 173

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

http://www.flickr.com Figura 6.15. Presa de las Tres Gargantas Es el proyecto eléctrico más grande del mundo. Está situada en el curso del río Yangtsé, en China, con un embalse de capacidad volumétrica cercano a los 40,000 millones de metros cúbicos de agua; con sus 32 turbina eléctricas, tiene una potencia instalada combinada de 24,000 MW, con lo que la presa podría suministrar por sí sola la demanda de potencia de Colombia, Panamá y Ecuador juntos; sin embargo, solo alcanza a proporcionar el 3% de la demanda de China. Ley de la conservación de la energía mecánica: En presencia de fuerzas conservativas, la cantidad de energía mecánica inicial de un sistema es igual a la cantidad de energía mecánica final, esto es, la energía mecánica es una constante. En términos matemáticos, la variación de la energía cinética, la variación de la energía potencial gravitacional, la variación de la energía potencial elástica y demás variaciones energéticas que se quieran considerar, es igual a cero: Que puede ser rescrito como sigue: Si se consideran más manifestaciones energéticas, estas se anexan a ambos lados de la igualdad. En el principio de la conservación de la energía, cuando existen fuerzas no conservativas como el rozamiento, la energía mecánica del sistema al inicio del movimiento es diferente a la energía mecánica final, esto es:

Pero, ¿se estaría violando el principio de la conservación de la energía? Realmente NO; parte de la energía inicial del sistema se deriva en trabajo realizado por fuerzas no conservativas de naturaleza disipativa, es decir, no se puede recuperar fácilmente la energía gastada en este trabajo. Entonces, para hacer cumplir el 174

COLECCIÓN MAESTROS N° 10

principio de la conservación, se debe considerar este trabajo dentro de la ecuación de la conservación. Principio de la Conservación de la Energía con fuerzas no conservativas: El trabajo realizado por las fuerzas no conservativas, es igual al cambio de la energía mecánica realizada por las fuerzas conservativas. En términos matemáticos, puede expresarse: Donde WNC es el trabajo realizado por las fuerzas no conservativas, como la fuerza de rozamiento. Que es la expresión utilizada normalmente para analizar problemas desde el punto de vista energético. Pasos para resolver un problema de conservación de la energía 1. Identificar el punto inicial y el punto final del movimiento y dónde se puede aplicar Conservación de Energía 2. Analizar las manifestaciones energéticas en cada punto y aplicar la ley de la conservación de la energía entre dos puntos determinados 3. Remplazar en la ecuación, cada una de las fórmulas de energía según corresponda. 4. Remplazar los valores que se tienen y despejar la variable de interés. 5. Si la incógnita despejada no es la de interés se continúa analizando el comportamiento del sistema, con el fin de emplear otras estrategias como las leyes del movimiento. 6. Finalmente, se despeja la incógnita del problema. A continuación se muestra un ejemplo de energía y conservación de la misma: Ejemplo 6.4. En una tienda de juguetes se inventó un juego para afinar la puntería de un jugador:

Figura 6.16. Representación gráfica del problema 6.4 175

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

La esfera de 100g de masa comprime un resorte de 1000 N/m sobre una tabla que forma un ángulo de 30° y cuya longitud es 1m. La bola comprime el resorte 5cm. ¿A qué distancia se debe poner la canasta de 5 cm de alto para que la bola caiga dentro? El radio de la bola es igual a 5cm. La caloría La caloría (cal) es la unidad de energía que corresponde a la cantidad de energía calorífica necesaria para elevar la temperatura de un kilogramo de agua de 14,5ºC a 15,5ºC a una presión de una atmósfera. Su equivalencia es: 1cal=4,184 J Cualquier ser vivo necesita energía para desarrollar normalmente actividades, como su metabolismo basal –funciones propias del organismo como respirar, palpitar, renovación celular–, y demás actividades físicas como desplazarse, alimentarse y reproducirse. Esta energía, en el caso de los animales, proviene de los alimentos que aportan los nutrientes necesarios para que el organismos los descomponga en unidades más simples –ATP– y aprovechables por las mitocondrias celulares.

Para el ser humano, cualquier producto alimenticio que esté a la venta, debe tener en su empaque la información nutricional mínima, es decir, debe contener por cada porción, la cantidad de proteínas, carbohidratos, grasas, fibra y adicionalmente su aporte calórico, esto con el fin de que cada persona conozca el tipo de alimentos que está consumiendo y así pueda balancear su dieta. En promedio, un adulto sano debe ingerir al menos 1600 calorías diarias para cumplir con su gasto energético basal.

Solución: Utilizando el procedimiento descrito anteriormente: 1. Identificar en qué partes se divide el problema; en este caso, se emplea la siguiente estrategia: De A hasta B: Conservación de la energía De B hasta C: Movimiento parabólico 2. Analizar la energía en cada punto. En este caso, solo se aplica la ley de la conservación de la energía entre los puntos A y B: Punto A: Solo tiene energía elástica Punto B: Energía cinética, energía rotacional y energía potencial 176

COLECCIÓN MAESTROS N° 10

Por lo tanto, se plantea que: Esto es: 3. Remplazar la ecuación de cada tipo de energía: 1 2

1 2

1 2

4. Remplazar cada variable en términos de los parámetros conocidos. La velocidad angular se relaciona con velocidad de traslación de la siguiente forma:

Y la altura de la rampa es: 5. Remplazando estos valores en la ecuación de energía: 1 2 1 2

1 2

1 2

1 2 2 5

1 2

Simplificando, se llega a la siguiente expresión: 1 2

1 2

1 5

Despejando la velocidad, se obtiene:

Remplazando los valores se llega a la conclusión de que, cuando la pelota deja la rampa, su velocidad es de 3,29 m/s. Desde B hasta C hay movimiento parabólico: 1 2

Pero: Llegando a la expresión:

1 2

177

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Como L = 1m, q = 30º, g = 9,8 m/s² y v = 3,19 m/s y como la altura de la rampa es 50 cm y la altura de la canasta es 5 cm, es decir, 10 veces menor, esta se asume como igual a cero. Así, remplazando estos valores se llega a: 1 2 3,29

Resolviendo para xse obtienen dos valores, uno positivo y el otro negativo, tomando el valor positivo para la distancia: La canasta debe colocarse a 148cm de la base de la rampa para que la pelota entre en la cesta. Energía solar Es una forma de obtener energía limpia, segura y de muy poco impacto para el medio ambiente. Se basa en el hecho de capturar las radiaciones electromagnéticas y caloríficas provenientes del Sol, por medio de estructuras como celdas fotovoltaicas, colectores solares térmicos, que almacenan la energía en bancos de baterías para luego ser utilizados. La potencia que recibe la Tierra desde el Sol equivale a casi 200.000 billones de vatios, una cifra gigantesca comparada con los escasos 20GW que demanda el mundo, lo que equivale a decir que tan solo capturar la energía proveniente del Sol, durante fracción segundo, es suficiente para suplir todas las demandas de la Tierra durante un año.

http://www.kalipedia.com Figura 6.17. Paneles fotovoltaicos Los problemas de pasar a este tipo de energía están relacionaos especialmente con los altos costos de los materiales, la gran dependencia a buen clima, las bajas tasas de transferencia y rendimiento –de 1000 W/m², solo el 20% es aprovechado– y la corta vida útil de algunos materiales. Algunos gobiernos en la actualidad –especialmente en Europa–, están subsidiando la compra de paneles y colectores solares, con el fin de reducir la dependencia a otras formas de energía contaminantes; se espera que con la evolución de la tecnología, se abaraten los equipos y se mejore su eficiencia.

178

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PREGUNTAS Y EJERCICIOS DE TRABAJO, POTENCIA Y ENERGÍA PREGUNTAS 1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

¿Qué es la energía eólica?, ¿cuales transformaciones de energía ocurren y qué variables intervienen en la potencia? ¿Qué es energía hidráulica y cuáles variables intervienen en ella? Explique si el trabajo de las llantas de un carro es positivo, negativo o cero. En una obra de construcción, un trabajador traslada bultos de cemento de un lado a otro. ¿Hace trabajo durante todo su recorrido? Cuando usted está en la cafetería de la universidad, ve una taza de café sobre una mesa; su compañero le discute a usted que el valor de la energía potencial gravitacional de la taza de café solo puede tener un valor. ¿Está usted de acuerdo? ¿Por qué? ¿Por qué el cuerpo humano no tiene la misma temperatura cuando hace combustión al consumir los alimentos, que un papel al quemarse? Una lata de gaseosa y un balón ruedan cuesta abajo por una colina. ¿Cuál llega primero? ¿Por qué? ¿En qué se convierte la energía que se “pierde” en un choque automovilístico? En la reacción química de la fotosíntesis, ¿En qué se convierte la energía de la luz solar? Cuando un hombre sube por una escalera, ¿Qué tipo de transformación de energía está ocurriendo? Cuando un CD esta rotando, ¿Cómo se puede calcular su energía? ¿Cuánta energía calórica hay en un paquete de papas fritas? Exprese la respuesta en calorías y julios ¿Qué transformaciones de energía se dan mientras explota una bomba atómica? Cuando un helicóptero está en vuelo, ¿Qué tipos de energía tiene? ¿De dónde sale esa energía?

EJERCICIOS 1. ¿Cuál es la altura del edificio más alto del mundo? ¿Cuál es la energía potencial de un hombre de 60kg a esa altura? 2. Si una persona consume 2000 Kcal, ¿Cuántos pisos de 2m debe subir por las escaleras para quemar estas calorías? Asuma que la eficiencia muscular es del 30%. 3. ¿Cuál planeta del sistema solar se mueve con más velocidad en torno al sol? Calcule su energía cinética. 179

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

4. ¿Cuál planeta del sistema solar se mueve con más velocidad rotacional? Calcule su energía cinética rotacional. 5. Utilizando la ley de la conservación de la energía, deduzca la ecuación de la altura máxima de un lanzamiento hacia arriba vertical. 6. Una doble polea tiene una masa de 16kg y un radio de giro centroidal de 180mm. El cilindro A de 11,5kg está colgando de una cuerda enrolladla al radio exterior de 250mm y el bloque B de 9Kg en el radio interior de 150mm descansa sobre una superficie (Ver figura).Si el sistema se suelta desde el reposo, el bloque A golpea el suelo con una velocidad de 2,62 m/s:

Hallar: a. b. c. d. e.

El coeficiente de fricción entre el bloque B y la superficie. La aceleración del bloque A La aceleración del bloque B La aceleración angular de la polea La distancia total que recorre B antes de quedar en reposo.

AYUDA: Tenga en cuenta que el radio de giro centroidal R se utiliza para calcular el momento de inercia así: I = mR2, donde m es la masa de la polea. 7.

El bloque A de 900gr parte desde una altura h=80cm, se desliza sin fricción y choca contra B de 1200gr:

Si el bloque A le comunica el 30% de su velocidad al bloque B, calcularla altura que sube B. 8.

El bloque A de 200gr comprime 15 cm el resorte de constante 10 kN/m y se libera deslizándose sobre la superficie, cuyo coeficiente de fricción entre esta y el bloque es de 0,1: 180

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Finalmente, choca contra el bloque B del doble de masa. Si el bloque A comunica el 25% de su energía cinética al bloque B, calcular: A. B. C. D.

La velocidad a la que el bloque A abandona el resorte. La velocidad del bloque A un instante antes de chocar con B. Las velocidades finales después del choque de ambos cuerpos. La altura hasta la cual sube el bloque B, si el ángulo de inclinación es 20°

9.

Un collarín de 7.5 lb se suelta desde el reposo en la posición indicada en la figura:

La distancia entre el collarín y el borde del resorte es de 18 pulgadas y el ángulo de inclinación es de 30°; se desliza hacia abajo y comprime el resorte de constante 60lb/ft. Si el coeficiente de fricción dinámica es 0.08, determine: A. La deflexión máxima del resorte. B. La velocidad máxima del collarín. C. Si se devuelve después de comprimir el resorte, ¿Qué distancia sube? 10. La figura muestra 3 masas con m1 = 3Kg, m2 = 1Kg y m3 = 2Kg:

http://www.freewebs.com

El sistema parte del reposo y se mueve hacia la izquierda con una aceleración, y los coeficientes de rozamiento son 0,1 para m2 y 0,3 para m3. Utilice la ley de la conservación de la energía para calcular la velocidad con que la masa 3 golpea el suelo que está a 150 cm más abajo. 181

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

6.6. Laboratorio de conservación de la energía A continuación se proponen prácticas de laboratorio, tanto virtuales como remotas, que buscan la reconstrucción de saberes relacionados con la comprensión del conocimiento científico en física, la solución de problemas contextualizados y el método científico como herramienta para la investigación. Recuerde programar su agenda de trabajo para no congestionar la plataforma y teniendo en cuenta el cronograma de actividades del plan de asignatura, hacer las reservas de los equipos para las prácticas remotas con suficiente tiempo. Fase preparatoria Lea con cuidado el siguiente contenido; en él recordará algunos conceptos y categorías importantes tratadas en el libro y en clase. Recordemos EL CONCEPTO DE ENERGÍA Actualmente, no existe un consenso general para definir la palabra energía. Alguna vez habrá escuchado de alguien que es muy “energético”, para denotar que es muy activo. También hay otras definiciones más técnicas como: “es la capacidad para realizar trabajo”, pero esta definición no es exacta, ya que existen tipos de energía que no producen trabajo. Se puede hacer una idea general sobre la energía al estudiar sus manifestaciones más comunes y que son las que se utilizan en este laboratorio. ENERGÍA POTENCIAL GRAVITACIONAL: Es la energía que se debe a la altura a la que se encuentra un cuerpo por encima o por debajo de un nivel de referencia. U U m g h

= = = = =

mgh Energía potencial gravitacional (J) masa (Kg) aceleración de la gravedad (m/S2) altura (m)

¿Y TÚ QUE PIENSAS? Si tomas un lapicero y está a 1m del suelo, ¿Tiene un valor fijo de energía potencial? ¿De qué depende esto? ENERGÍA CINÉTICA: Es la energía que está presente cuando un cuerpo se mueve 2 K = 21 mv 182

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m = Masa (Kg) v = Velocidad (m/s2) K = Energía cinética (J) ¿Y TÚ QUE PIENSAS? Una botella que está encima de una mesa, ¿Tiene energía cinética? Sin embargo, aunque la mesa esté en reposo, está sobre la superficie de la Tierra que se traslada en torno al sol. ¿Indica esto que tiene energía cinética diferente de cero? ¿Cómo se resuelve esta paradoja? ENERGÍA MECÁNICA: Es la suma de la energía potencial más la energía cinética: E=U+K Si no hay fuerzas de rozamiento, también llamadas fuerzas disipativas, entonces la energía mecánica debe permanecer constante. A esto se le llama la Ley de la conservación de la energía mecánica. ¿Y TÚ QUE PIENSAS? La Ley de la conservación de la energía, ¿Cómo se cumple cuando abres la ducha? Cuando el agua se evapora del mar, ¿Se está violando esta ley? Actividades Elabore un pequeño informe sobre los siguientes conceptos matemáticos y físicos, compartiendo sus desarrollos en un foro o una wiki. Puede trabajar con sus compañeros de curso o si lo prefiere, previa autorización del docente, formar un equipo de trabajo con compañeros de otras universidades. Los conceptos y categorías a desarrollar son: 1. Energía potencial, cinética y mecánica –ecuaciones y consideraciones especiales–. 2. Ley de la conservación de la energía mecánica, con fuerzas conservativas y no conservativas. 3. Energías alternativas, prospectos para los próximos años. Fase experimental A continuación usted va a realizar un conjunto de prácticas virtuales y remotas con el fin de poner en acción la construcción conceptual y categorial de sus saberes. Esto también le permitirá afianzar lo comprendido, incrementando su capacidad para dar respuesta a situaciones cada vez más complejas dentro del pensamiento científico en física.

183

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Objetivos Con el presente conjunto de prácticas de laboratorio, se busca que el alumno adquiera los siguientes desempeños de competencia: þ Establece correctamente las manifestaciones energéticas presentes en sistemas físicos, igualmente sus variaciones, cuando existen o no fuerzas no conservativas. þ Propone modelos explicativos desde el punto de vista de los análisis energéticos, que establecen las condiciones iniciales de cuerpos o sistemas, y que igualmente sirven para predecir las situaciones futuras de los mismos. þ Resuelve correctamente problemas contextualizados a situaciones reales, por medio de consideraciones energéticas y las leyes del movimiento. Práctica de laboratorio virtual Ingrese a la página oficial de PHYSILAB (www.physilab.edu.co) y en la barra de estado, ingrese a la sección de “Simulaciones” para desarrollar la práctica virtual Conservación de la energía

Figura 1. Pantalla para el ingreso a las simulaciones Una vez se cargue el plugging debe ver una pantalla similar a la que se muestra a continuación:

Figura 2. Applet sobre el Teorema de la Conservación de la Energía 184

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En la figura 2 se aprecia un péndulo que oscila con parámetros que se pueden variar, como la longitud, la masa puntual y la altura inicial. A medida que transcurre la simulación hay un cronómetro que registra el tiempo y que se puede pausar en cualquier momento. También se pueden observar los valores de energía cinética y potencial para cualquier instante, al igual que la velocidad y la altura de la masa que oscila. Práctica virtual A. Conservación de la energía variando la altura inicial A.1. Corra la simulación de conservación de la energía. Observe las gráficas de energía potencial y energía cinética. A.2. Duplique y triplique la altura inicial. Observe las gráficas obtenidas. Preguntas 1. Explique cómo cambiaron la gráficas de energía potencial, energía cinética y energía mecánica al triplicar la altura inicial. 2. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la velocidad inicial en la energía potencial? Establezca el tipo de relación. 3. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la velocidad inicial en la energía cinética? Establezca el tipo de relación. 4. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la velocidad inicial en la energía mecánica? Establezca el tipo de relación. Práctica virtual B. Conservación de la energía variando la masa B.1. Corra la simulación de conservación de la energía. Observe las gráficas de energía potencial y energía cinética. B.2. Duplique y triplique la masa. Observe las gráficas obtenidas. Preguntas 1. Explique cómo cambiaron la gráficas de energía potencial, energía cinética y energía mecánica al duplicar y triplicar la masa. 2. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la masa en la energía potencial? Establezca el tipo de relación. 3. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la masa en la energía cinética? Establezca el tipo de relación. 4. ¿Qué puede concluir sobre la influencia de la masa en la energía mecánica? Establezca el tipo de relación. Práctica de laboratorio remoto Usted va a encontrar en la Universidad Católica de Manizales un montaje que consiste en un péndulo, unos sensores y unos actuadores con los cuales puede interactuar de manera REAL, pero a distancia. Recuerde que para utilizarlos, debe realizar previamente la reserva de equipos. 185

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Para iniciar, entre al sistema y teclee su nombre de usuario y clave, dada previamente por el administrador:

Figura 3. Pantalla de la página WEB para el ingreso a la plataforma de los laboratorios remotos Una vez allí, entre a Laboratorios y finalmente a los laboratorios de la UCM, donde encontrará un péndulo acompañado de unos sensores, actuadores y cámaras de video. El péndulo está formado por una masa suspendida de una varilla rígida, pero de masa despreciable. La rigidez se debe a la condición de que la oscilación de la masa debe ser solo en un plano, es decir, con un grado de libertad:

Figura 4. Oscilador con un solo grado de libertad El soporte para variar la altura del mecanismo consiste en un juego de piñones soportados sobre una tuerca que hacen girar cuando se mueven. Al girar la tuerca, y al estar anclada en el soporte, el tornillo irá subiendo a la altura deseada. El movimiento de la tuerca se logra con un motor paso a paso. El mecanismo para empujar el péndulo es un sistema anclado al poste, que por medio de una palanca igualmente accionada por un motor paso a paso, gira el soporte para obtener la inclinación deseada. Las variables que se pueden controlar son la altura inicial (mediante la longitud del péndulo) y la posición de los sensores de velocidad. Test de diagnóstico del sistema Compruebe que el sistema funciona correctamente y que tiene control sobre los diferentes elementos y dispositivos con que cuenta la práctica: 186

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Protocolo 1. Cámara: Revise que tenga una buena calidad de video, mueva la cámara y obtenga la visual de todo el sistema pendular. Protocolo 2. Sistema de liberación: Accione el motor de tal forma que el péndulo se pueda liberar desde su posición inicial. Protocolo 3. Variación de la altura inicial: Solicite dos alturas diferentes y verifique que el sistema entregue valores. Protocolo 4. Sensores: Cambie la posición de los sensores de tiempo; corrobore que el valor solicitado corresponde con la posición real donde se ubique finalmente el sensor, sírvase de la cámara para esto. Si uno de estos protocolos no se cumple, no podrá realizar la práctica de laboratorio y deberá comunicarse con el administrador del sistema a través del correo que se encuentra en la plataforma. Después de corroborar que el sistema funciona correctamente, usted va a desarrollar una serie de pruebas para comprobar los principios físicos de la ley de la conservación de la energía. Práctica remota 1: 1.1. Ajuste el péndulo a una altura inicial determinada. 1.2. Ubique el primer sensor de tiempo a la mitad del recorrido y manténgalo fijo en esa posición (use la cámara para verificar la posición de los sensores). 1.3. Fije los demás sensores en otras posiciones tomando nota del sitio y consignándolo en la parte superior de la tabla. 1.4. Mida el diámetro del objeto que pasará por el sensor de velocidad, para así calcular la velocidad. Consigne este dato en la siguiente tabla: Tabla 1 Diámetro del objeto Altura (m) Tiempo de paso (s) Velocidad (m/s)

y= t=

y= t=

1.5. Duplique la altura inicial, lea los datos y repita el procedimiento anterior. Registre los datos en la tabla 2: Tabla 2 Diámetro del objeto Altura (m) Tiempo de paso (s) Velocidad (m/s)

y= t=

y= t=

1.6. Utilice los datos de la tabla 1 para calcular la energía cinética, potencial y mecánica en cada punto. Haga el mismo procedimiento con la tabla 2. 1.7. Compare el resultado anterior con la energía mecánica inicial. Especifique el error. 187

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

1.8. Grafique en un mismo plano las energías de los puntos 1.4, 1.5 y 1.6. Use gráfico de barras. 1.9. Concluya sobre la relación entre la energía potencial y la energía cinética.

188

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RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS IMPARES CAP. 2. Medición, error y cifras significativas 1. 3. 5.

; ñ

í ;

7. 9.

;

;

CAP. 3. Cantidades vectoriales 1. a. d. g.

º º º

b. e. 5

º º

c. f.

º º

3. a. d. g. 41,6

b. h.

i.

5. a. d. 2 g.

b. e.

c. f.

c. e.

f.

h.

CAP 4. Movimiento rectilíneo uniforme 1. 3.

;

;

189

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

5.

; 24,142 s; 96,568

9. 11.

gravedades 1360 km; 1,3 gravedades

Cap. 5. Caída de los cuerpos 1. 8.2 s 3. 5.9s

;

174.8m

5. 5.2 ; 9.4 m 7 4,2s

; – 56.3

Cap 6. Trabajo, potencia y energía

1. 636m

; 373.968 J

3. Mercurio; 47,9

;

7. 7,2cm 9. 5,51in

;

6.45

; 3,37 in

190

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ÍNDICE ANALÍTICO A Aceites, Aceleración concepto de, en medio viscoso, gravitacional, instantánea, media, resistivo, unidades, Altura en medio resistivo, máxima, Ampere, Análisis dimensional, Área, Arquímedes, C Caída características de la, en el vacío, en medio resistivo, instantánea, libre, Caída en medio resistivo características de la, velocidad de, Candela, Cantidad Escalar, Carril de aire, Certeza, Cherenkov, Cifras Error, Incertidumbre, Significativas, Cinemática,

135 24, 25, 64, 81,84,107 133 124 77 75 132 109 131 24 68 25 133

127 123 127 129 69 123 130 130 24 44 95, 103 30 65 38, 39 38, 39 38, 39 63 191

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

Conversión Unidades, Corriente,

26 24

D Densidad, Desplazamiento,

25 64, 65

E Efecto Cherenkov, Ejes Paralelos, Empuje, Energía cinética, conceptos de, mecánica, potencial elástica, potencial gravitacional, rotacional, Error concepto de, causas, cifras de, tipos, Escalares, Espacio, Exactitud, F Fotocompuerta, Frecuencia, Fuerza, concepto de, de empuje, resistiva viscosa G Galón, Gravedad,

65 174 129 168 26, 126, 168 177 176 173 170 27, 30, 33 38, 39 31,32, 33 44 109 28

95, 103 26 26, 152 129 129, 133 133 26 124

192

COLECCIÓN MAESTROS N° 10

H Hertz,

26

I Incertidumbre, Intensidad luminosa,

29, 30 34

J Joule,

26, 158,159

K Kilogramo,

24

L Laboratorio remoto, virtual, Legua, Ley de Hook, de la conservación, Leyes de Newton, Longitud, Luminosa, M Magnitud vectorial, Marte, Masa Medición concepto de directa indirecta Metro, Milla, Mol, Momento de inercia, Movimiento Rectilíneo, rectilíneo acelerado, características de, Multiplicación de vectores,

17 15 26 172 178 160 23 24 25 31 24 22 33 33 23 26 24, 27 174 79, 91 81,84 80, 81,84, 93, 108 53 193

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

N Newton, Leyes de, Normal, P Pascal, Plataforma, WEB Polar forma, Posición, Potencia, Precisión, Prefijos del, SI Presión, Principio de Arquímedes, de la conservación de la energía, Probabilidad normal, Producto cruz, Producto punto, Pulgada,

26 160 28 26 14 46 64 26, 165 28 25 26 133 173 28 57 53 26

R Rapidez, Remoto, Renata, Representación Cartesiana, Polar, devectores,

45 46 44

S Segundo, Sentido Vectorial, Sistema Inercial, Sonda, Sustancia,

24 45 63 31 24

25 17 17

194

COLECCIÓN MAESTROS N° 10

T Teorema de Eje Paralelos, Test del sistema, Tiempo, Tolerancia, Trabajo concepto de, por una fuerza constante, por fuerza variable, Trayectoria, Trazabilidad,

158 162 166 64, 65 37

U Unidades de Conversión, de Medida, derivadas, para vectores,

26 23 24 47

V Vacío, Vatio Vector concepto de, cartesiano dirección de un, magnitud de un, multiplicación de, operaciones básicas, forma polar, producto cruz, producto punto, representación de un, resta de, resta gráfica de, sentido de un, suma, suma gráfica, Vector unitario, Velocidad concepto de, en medio resistivo

174 104 24 30

127 26, 170 1 45 45 45 53 48 46 57 53 44 52 52 45 48 50 47 64,92,134 131 195

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

en medio viscoso instantánea, limite, media, media, unidades de, Virtual Volumen

134 65, 92 135 65, 92 92 109 15 25

W Watt

26, 166

Y Yarda

26

196

COLECCIÓN MAESTROS N° 10

OTRAS FUENTES BIBLIOGRÁFICAS Andrade, R. (2010). Enseñanza de las fuerzas en física general en el marco del EEES. Ciencia, Tecnología y Medio Ambiente,8,50-62. Apóstol, T. (2006). Cálculus. Cálculo con funciones de una variable e introducción al álgebra lineal.Mexico: Reverté. Barnaby, D. (2001). Techniques for Web Telerobotics. Tesis doctoral, Department of Mechanical.Sidney. Blitzer, R. (2001). Algebra & Trigonometry. U.S.A: Prentice Hall. Ferrero, A. (2003). ReMLab: A Java-Based Remote, Didactic Measurement Laboratory. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 52-63 Gil, S., y E, R. (2006). Física re-Creativa. México:Prentice-Hall. Halliday, D., Robert, R., & Walker, J. (2010). Fundamentals of Physics. New York: John Wiley & Sons. Hewitt, P. (2044). Física conceptual. Mexico: Pearson, Addison Wesley. Hugh, D., Young, A., & Freedman, R. (2000). Sears and Zemanskky's university physics. Ney York: Addison-Wesley. Larson, R., & Hostetler, E. (2006). Precalculus. New York: Cengage Learning. Larson, R., Hostetler, R., & Edwards, B. (2010). Calculus. New York: Cengage Learning. Raymond, S. y Jewett, J. (2008). Física para ciencias e ingeniería.Cengage Learning. Rohrig, C., & Jochheim, A. (1999). The Virtual Lab for Controlling Real Experiments Via Internet. IEEE International symposium on Computer – Aided Control System Design. Rosado, L., y Herreros, J. (2006). Nuevas aportaciones didácticas de los laboratorios virtuales y remotos en la enseñanza de la Física. IV Conference m-ICTE200. Madrid. Stewart, J. (2009). Calculus: Concepts and context.New York: Cengage Learning. Tipler, P., & Gene, M. (2005). Physics for scientists and engineers. Mechanics (Vol. I). New York: Reverté. 197

PHYSILAB. Conceptos y ejercicios

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