Perspectivas en el Uso de Herramientas Fractales en Arqueología

Antropolog´ıa Fractal Fernando L´ opez Aguilar, Fernando Brambila Paz Editores

Matem´ atica Aplicada y su Ense˜ nanza –Licenciatura–

Editores: Dr. Fernando Brambila Paz Departamento de Matem´aticas, Facultad de Ciencias. UNAM.

Dr. Alejandro J. D´ıaz Barriga Casales Instituto de Matem´aticas, UNAM.

GN34 .3 L864 L´opez Aguilar, Fernando Antropolog´ıa Fractal / Fernando L´opez Aguilar y Brambila Paz, Fernando. Editores – M´exico : CIMAT, 2007. ?? p. ; 23 cm. – (Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza, Nivel Licenciatura) ISBN 968-5733-08-2 1.Antropolog´ıa Matem´atica MSC: 91D10. c °D.R. Centro de Investigaci´on en Matem´aticas, A.C. Jalisco s/n, Mineral de Valenciana, 36240 Guanajuato, Gto., M´exico c °D.R. Sociedad Matem´atica Mexicana Circuito exterior s/n, ´area de la investigaci´on cient´ıfica, Ciudad Universitaria. C.P. 04510 MEXICO D.F. Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente, por ning´ un medio electr´onico o de otro tipo, sin autorizaci´on escrita del editor. This book may not be reproduced, whole or in part, by any means, without written permission from the publisher. Cuidado de edici´on: Hern´ an Gonz´ alez Aguilar Dise˜ no de portada: Odalmira Soto Alvarado Impreso por: S y G Editores, S.A. de C.V. Cuapinol 52, Santo Domingo de los Reyes, Coyoac´an 04369 - M´exico, D.F.

ISBN 968-5733-08-2

90009

9 789685 733083

´Indice general

Presentaci´ on de la Serie “Matem´ atica Aplicada y su Ense˜ nanza”

III

Introducci´ on General Fernando L´ opez Aguilar, Fernando Brambila Paz

1

El Problema de una Teor´ıa General de la Complejidad de Fractales 9

Carlos Eduardo Maldonado

Notas Sobre la Complejidad en las Ciencias Sociales: de la Formalizaci´ on a las Met´ aforas 25

Raymundo Mier

Perspectivas en el Uso de Herramientas Fractales en Arqueolog´ıa Gustavo Sandoval Garc´ıa, Rodrigo Vilanova de Allende

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C´ alculo del Estad´ıstico de Correlaci´ on entre Epocas a trav´ es de Respuestas M´ ultiples y su Representaci´ on Fractal para el Espacio de Trayectorias Mesoamericano Fernando L´ opez Aguilar, Guillermo Bali

75

La Dimensi´ on Fractal como Indicador Arqueol´ ogico en los Estudios de Territorio Rosa Brambila Paz, Fernando Brambila Paz, Flor de Mar´ıa Aceff S´ anchez 95

i

´INDICE GENERAL

ii

El Alt´ epetl. En Busca de Una Definici´ on Blanca Vilchis Flores

115

El Colapso de un Alt´ epetl. Trayectoria de Itzmiquilpan Despu´ es de la Conquista Fernando L´ opez Aguilar, Tatiana M´ arquez Lago 141 Re-Configuraciones Fractales y Manifestaciones Rupestres Aline Lara Galicia

165

Ap´ endice Bibliogr´ afico. Arqueolog´ıa, Antropolog´ıa y Fractales Gustavo Sandoval Garc´ıa

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Introducci´on General

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Gustavo Sandoval Garc´ıa1 , Rodrigo Vilanova de Allende2 Anarchy means “without leaders”, not “without order”. This is not anarchy, Eve. This is chaos. De V for Vendetta. Cap. II ...parece en verdad extra˜ no que, desde ayer, yo sintiera que ten´ıa toda esa tierra nueva para mi solo. Muchos claros poblados la rodeaban, y muchos autores hab´ıan echado una mirada, pero nadie m´ as se hab´ıa quedado en ella. (Mandelbrot, La Geometr´ıa Fractal: 586).

Iniciador Al aproximarnos al estudio y/o uso de fractales en cualquier disciplina es preciso reconocer los antecedentes de ´estos, previo a su descubrimiento por Mandelbrot en los a˜ nos setentas del siglo XX. As´ı sobresale en la figura del fractal una dicotonom´ıa que dista de ser casual en donde tenemos im´agenes y relaciones fractales (como met´afora y como dise˜ no arquitect´onico y art´ıstico) presentes en culturas ajenas al determinismo occidental. De manera similar, los fractales pueden ser catalogados en dos amplios y difusos conjuntos: el del fractal “natural” y el artificial, el primero vinculado a las relaciones perceptibles en virtualmente todos los aspectos de la realidad (en todos los niveles, desde el cu´antico hasta el estelar), mientras que el segundo est´a directamente relacionado con exploraciones y abstracciones. 1 2

Escuela Nacional de Antropolog´ıa e Historia. Escuela Nacional de Antropolog´ıa e Historia. Proyecto Valle del Mezquital. Proyecto Pah˜ nu.

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La Geometr´ıa Fractal garantiza y facilita la trascendencia a un paradigma basado en las teor´ıas de la complejidad. Es pertinente agregar que la noci´on plenamente matem´atica de lo que implica un fractal queda corta e incompleta para los intereses del presente texto3 .

Lo global y lo local. Renfrew y Thom La problem´atica que asume el presente texto puede trazar sus or´ıgenes en la arqueolog´ıa de los a˜ nos setentas, con las nociones de no-linealidad desarrolladas particularmente por Renfrew (1978). En esa ´epoca, concretamente en 1975, Benoit Mandelbrot public´o “Les objets fractals” y para la siguiente d´ecada, las investigaciones arqueol´ogicas hac´ıan uso de la geometr´ıa fractal as´ı como de las teor´ıas de la complejidad. Estas investigaciones fueron seguidas de la consecuente cr´ıtica y reflexi´on en torno a la necesidad de revisar los par´ametros decimon´onicos bajo los cuales las disciplinas antropol´ogicas estaban fundamentadas. Sin embargo, no ser´ıa sino hasta la u ´ltima d´ecada del siglo XX que se elaborar´ıa una aut´entica cr´ıtica a la rigidez determinista del paradigma occidental en las humanidades y ciencias sociales4 . Quedaba claro que la aproximaci´ on cl´asica de las ciencias duras a los fen´omenos sociales no resultaba del todo satisfactoria, era preciso reconocer y aceptar las variables de tiempo y espacio en dichos estudios al mismo tiempo que resultaba inviable el separar los fen´omenos a estudiar en unidades homog´eneas y constantes (Wallerstein, 1996: 82-87). Las disciplinas hist´oricas confrontan entonces una seria revisi´on de sus objetivos y responsabilidades ´eticas (Ib´ıd.: 91-97), en donde no se presente un “equilibrio” entre historias locales y globales, sino una comprensi´on cr´ıtica de las trayectorias locales y globales en el estudio de los desarrollos socio-culturales. 3 Conscientes de las implicaciones te´ oricas y filos´ oficas de esta aseveraci´ on, queremos destacar, nuevamente, que el presente texto pretende ofrecer al lector una introducci´ on al tema y no profundizar en aspectos que, sencillamente, rebasan los objetivos del mismo. 4 Para un acercamiento cr´ıtico a las ciencias sociales y humanidades en el final del siglo XX, v´ease: Wallerstein 1996.

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Otro lugar de reflexi´on surge desde el pensamiento brodeliano, que ya visualizaba la necesidad de confrontar escalas a nivel social. Mc Glade y Van der Leeuw (1997: 3-4) replantean esto al centrarse en las acciones individuales (de car´acter “instant´aneo”) y los procesos largos (enfocados m´as a la sociedad). El objetivo era encontrar una relaci´on entre los fen´omenos a nivel macro y micro (Ib´ıd. 2, Allen, 1997: 40 y Van der Leuw, 2001). La modelizaci´on fue otro paso para la transici´on en el paradigma cient´ıfico. Con la diferencia que esta vez las intenciones no ser´ıan las de generar una realidad a escala, sino desarrollar herramientas para una mejor comprensi´on de la realidad a trav´es de ´areas o eventos reducidos en magnitud (McGlade y Van der Leeuw, 1997: 22), trascendiendo as´ı las implicaciones newtonianas de control absoluto. Una vez en marcha las ideas de la complejidad y modelizaci´on, autores como Morin comienzan a manejar conceptos muy cercanos al desarrollo de los fractales (aunque no de la manera m´as afortunada). En su obra Introducci´ on al pensamiento complejo (Morin,1990), percibe la problem´atica entre lo local y lo global, aunque dista de ser el primero en manejar nociones de no-linealidad y m´as a´ un, de darles un uso relevante. Destaca as´ı la obra de C. Renfrew durante los a˜ nos setentas, cuyas propuestas, a´ un sin hacer una referencia directa a la geometr´ıa fractal, quedan en una etapa preliminar al uso generalizado de los mismos en las ciencias antropol´ogicas. Renfrew aborda situaciones de discontinuidad y divergencia (Renfrew, 1978: 203-204) a partir de la teor´ıa de Cat´astrofes postulada por Ren´e Thom ([1975], 1987). El modelo de cat´astrofes implica plegamientos (esto es, zonas de bifurcaci´on o “cat´astrofes”) en el espacio de fases donde se desplaza el sistema y en el que estos pliegues est´an definidos por las variables de control del sistema (Briggs y Peat, 1994: 84). En arqueolog´ıa se han contemplando dos: la cat´astrofe Pliegue y la cat´astrofe C´ uspide. La primera describe un cambio a partir de una variable (Ib´ıd.: 85) mientras que en la segunda, son dos las variables que controlan las transformaciones sist´emicas, donde un cambio min´ usculo en cualquiera de ´estas produce una transformaci´on apenas perceptible a menos que se encuentre en un punto cr´ıtico (al rebasar dicha zona de pliegue) en el que se producir´a un cambio abrupto (Ib´ıd.: 86). En resumen, la bifurcaci´on se producir´a cuando el sistema vaya m´as all´a del pliegue de cat´astrofe, llevando a una modificaci´on en el valor de dicha zona de pliegue (L´opez Aguilar y Torres, 1998: 63).

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Renfrew present´o como ejemplo de un cambio discontinuo el problema del colapso. Si bien reconoce que son posibles las situaciones de cambio dr´astico por un cambio violento en las variables (v.g. Pompeya), esta situaci´on no es la m´as frecuente (Renfrew,1978: 212) y su an´alisis se enfoca en el estudio de cambios en apariencia repentinos, generadores de divergencias en conjuntos sociales pero que no divisan causas repentinas, con la idea de que existen ciertos factores de cambio que trabajan de manera no discontinua (Ib´ıd.:204). Concretamente, el arque´ologo brit´anico modeliz´o con la cat´astrofe c´ uspide y analiz´o c´omo cambios repentinos en el comportamiento local de un sistema pueden ser reproducidos por cambios graduales y continuos en el control de las variables que, eventualmente, afectar´ıan al sistema de manera “global”. Tanto los fen´omenos de bifurcaci´on como de cat´astrofe descritos por Thom y considerados por Renfrew, implican la comprensi´on de que las condiciones iniciales (i.e. variables) en un sistema dado son de vital importancia para su desarrollo hist´orico, sea como una bifurcaci´on (en donde el sistema logra cambiar, continuando su existencia tras superar la zona de pliegue) o una cat´astrofe (siendo el sistema incapaz de modificar sus rangos de variables, extingui´endose consecuentemente). Estas nociones ser´an m´as tarde retomadas como premisas elementales para la idea de Sistemas Adaptativos Complejos, cuyas causas iniciales son imperantes en la comprensi´on de las trayectorias de dichos sistemas, ´ıntimamente vinculados a la geometr´ıa fractal. Estos son tan s´olo algunos de los aspectos contextuales que promovieron las investigaciones y exploraciones fractales en arqueolog´ıa.

Constituci´ on Fractal Dentro del estudio de fractales, si bien existen caracter´ısticas m´as o menos constantes como son la autosimilitud, la escalaridad y la dimensi´on fraccionaria, Mandelbrot coincide en que no hay una definici´on clara que abarque todos los distintos tipos de fractales, y tal vez esto sea lo mejor (Mandelbrot, 1997: 504). Una de las caracter´ısticas visualmente m´as atractivas de los fractales es la recurrencia de patrones similares as´ı como la constante transformaci´on que se puede observar en ellos. Sin embargo, es esta cualidad en apariencia trivial (colores y formas) una de las primeras lecciones en el estudio y aplicaci´on de fractales

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(y mas a´ un, en su aplicaci´on en antropolog´ıa). Esto es, las im´agenes fractales son muchas veces representaciones gr´aficas de fen´omenos complejos en donde las trayectorias pueden ser diametralmente opuestas a pesar de que la imagen sea similar una con otra (las historias, digamos, son diferentes a lo observado), las relaciones con que se miden dichas im´agenes de igual manera pueden ser casi id´enticas para fen´omenos completamente distintos, o sin relaci´on alguna para fen´omenos ´ıntimamente vinculados. Un texto introductorio a la geometr´ıa fractal es la obra de Barnsley (1988) Fractals Everywhere. El texto se centra en los “sistemas de funciones iteradas5 ” (SFI o IFS en ingl´es). Estas funciones, asegura Barnsley, son cruciales para la comprensi´on de un fractal (Barnsley, 1988: 80). Por otra parte, bas´andonos en los primeros textos de Mandelbrot, los fractales son conjuntos que presentan una dimensi´on de Hausdorff-Besicovitch mayor que su dimensi´on topol´ogica, son autosimilares, tienen una longitud infinita y presentan dimensi´on fraccionaria (D) y pueden ser separados en sus partes, cada una de las cuales ser´a una versi´ on a escala reducida del todo. (Mandelbrot, 1997: 32 y Mandelbrot, 1999). Hofstadter hace alusi´on a la escalaridad, autosimilitud y dimensi´on fractal al explicar la naturaleza no finita de un sistema recursivo (Hofstadter, 1998: 80). En cambio, Kuhn y Levick (2002) advierten: “En esencia, una entidad con caracter´ısticas que son simult´ aneamente apreciables en varios niveles de observaci´ on han llegado a llamarse fractal.” Pero esto no es necesariamente cierto si le damos prioridad a D para definir un fractal como lo hace Mandelbrot (1997: 32). Queda claro entonces que los fractales han trascendido su estatus de “figuras virtuales” hasta relaciones en din´amicas de sistemas complejos.

Algunas otras definiciones: La geometr´ıa fractal es una extensi´on de la geometr´ıa cl´asica. Puede usarse para hacer modelos precisos de estructuras f´ısicas desde helechos hasta galaxias. La geometr´ıa fractal es un nuevo lenguaje. (Barnsley, 1988: 1)6 5

B´ asicamente consisten en un patr´ on matem´ atico inicial que se reitera, a partir de seis operaciones b´ asicas: copia, desplazamiento, reducci´ on, inversi´ on, rotaci´ on y estiramiento, form´ andose as´ı modelos fractales. (Reynoso, 2003: 20) 6 La traducci´ on es nuestra.

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(. . . ) figuras geom´etricas virtuales, formadas por un n´ umero infinito de elementos, infinitamente peque˜ nos, contenidos en una superficie finita (...) (RAE, 1992) Con lo citado se pueden apreciar las cualidades iterativas de los fractales en tanto que conservan su forma independientemente del nivel de observaci´ on (i.e. escala) al que los sometamos y de la herramienta de medici´on arquet´ıpica de los fractales, su dimensi´on fraccionaria. Sin embargo, para comprender c´omo est´a constituido un fractal, es preciso conocer c´omo se construyen. El primer paso consiste en una l´ınea o punto (iniciador) la cual se modificar´a, “injert´andole” (por ejemplo) una curva relativamente simple (a la figura resultante se le llamar´a generador). Acto seguido se proceder´a a repetir (iterar) este generador sobre s´ı mismo (ya sea en el extremo del iniciador o en todos los segmentos que sean iguales -aunque m´as reducidos, debido a la escala, claro est´a -al iniciador). Finalmente, el proceso se repetir´a varias veces o tender´a al infinito. (Mandelbrot, 1997: 60-61).

As´ı, la autosemejanza se refiere a la propiedad que tiene un objeto determinado en donde cualquiera de sus partes es similar a la totalidad del objeto, esta puede ser exacta o estad´ıstica y es producto de la iteraci´on. Adem´ as de la autosemejanza, para que un objeto pueda ser considerado como fractal, es preciso que cuente con una dimensi´ on fraccionaria o fractal (D), esto es que el objeto, adem´as de ser percibido en la realidad cartesiana (1, 2, 3 dimensiones), tenga una relaci´on dimensional “intermedia” (v.g. 0.6, 2.6) generada por iteraci´on y trascienda los l´ımites dimensionales euclidianos.

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De acuerdo a Barnsley (1998: 3), la dimensi´on fractal es: [. . . ] un n´ umero que indica qu´e tan densamente ocupa un conjunto el espacio m´etrico en el que existe. [. . . ] Esto hace significativa a la dimensi´on fractal como un observable experimental [. . . ] y es independiente de las unidades de medida. Esta es, sin duda alguna, la caracter´ıstica m´as u ´til, vers´ atil y definitoria de los fractales. Es a trav´es de esta dimensi´on fraccionaria que se puede establecer una relaci´on entre diversos fen´omenos fractales que comparten una determinada dimensi´on fractal7 . La f´ormula para la dimensi´on fractal es D = log N/ log S, en donde N es el valor del generador en el fractal y S es la relaci´on entre el generador e iniciador. Teniendo en cuenta las ideas presentadas hasta el momento, vale la pena recapitular en torno a los fractales, los cuales suelen ser descritos como poseedores de algunos (o todos) los siguientes atributos: Dimensi´on fractal Autosemejanza Recursividad Ser Virtuales (Abstractos) o Naturales Escalaridad Atractores Mientras tanto, los antrop´ ologos y arque´ologos suelen ver en los fractales (en base a nuestra apreciaci´on) las siguientes ofertas y caracter´ısticas, m´as o menos apoyadas en la literatura especializada (como se ver´ a m´as adelante): Autosemejanza en relaciones y redes sociales 7

Las investigaciones oncol´ ogicas y osteol´ ogicas son un claro ejemplo de esto en las ciencias naturales. En cuanto a las ciencias sociales, invitamos al lector a continuar estudiando esta obra.

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Recursividad a diferentes escalas Interacciones global/ regional/ local Auto-organizaci´on Din´amicas alejadas del equilibrio Trayectorias autosimilares espacio temporales Dimensi´on fractal (en tanto par´ametro de medici´on lo permita) Por ello, presentamos una definici´on para el concepto de fractal en tanto su aplicaci´ on en las disciplinas antropol´ ogicas: Relaciones y din´ amicas autosemejantes y de dimensi´ on fraccionaria, entre uno o m´ as fen´ omenos, perceptibles en distintos niveles de observaci´ on, sean abstractos o naturales. Los fen´ omenos fractales presentar´ an, entonces, elementos como recursividad, autosemejanza (en diferentes grados de observaci´ on) y la posibilidad de c´ alculo de una dimensi´ on fraccionaria D.

Generador Descrita la generalidad de la geometr´ıa fractal se analizar´a la aplicaci´on de ´estos al mundo de las disciplinas antropol´ogicas. African Fractals (1999) es considerado el primer trabajo de aplicaci´on fractal a la antropolog´ıa. Si bien la idea hab´ıa sido ya explorada (Kennedy y Lin, 1988), no hab´ıa sido contemplada como tema u ´nico para toda una publicaci´on. Es preciso destacar que Eglash reconoce en un fractal un conjunto auto semejante con escalaridad y recursividad y dimensi´on fractal caracter´ısticas que estar´an presentes total o parcialmente en objetos culturales (Eglash, 1999 en V. Rauff, 1999).

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En su mayor´ıa un trabajo descriptivo, el de Eglash no incursiona en D. Esto, sin embargo, no resta m´erito a su obra, ya que al analizar tejidos y patrones decorativos, asentamientos, formas de peinado, juegos, etc´etera, logra aproximarse a una comprensi´on de la cognici´on y pensamiento africano m´as all´a de meras suposiciones, basando sus ideas en algoritmos espec´ıficos e identificables (v.g. leyes de potencia). Una consecuencia de esta publicaci´on ha sido la descripci´on de la arquitectura antigua a partir de t´erminos fractales como el templo Kandariya Mahadeva, donde se identifican hasta 84 iteraciones del generador, tan s´olo en la estructura m´as alta (Gunther, 2002). Nuevamente nos encontramos (al igual que las incipientes investigaciones antropol´ogicas), en el inicio de otra iteraci´on. Esta vez circulando en torno a la idea de autosemejanza. Mier (2002: 94), basado en Mandelbrot, plantea una sociedad simple como aquella que ya no puede reducirse en segmentos menores (Mandelbrot, 1987: 32 en Mier, 2002: 94) los cuales son autosimilares entre ellos. El autor entonces reconoce la idea de Durkheim sobre la formaci´on de entidades complejas a partir de una entidad simple (la horda) siendo una iteraci´on de la misma, pero “[. . . ] sin perder su fisonom´ıa fundamental [. . . ]” (Ib´ıd.:94). Atinadamente, se

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reconoce ya la noci´on de autosimilitud y la emergencia de rasgos singulares a cada iteraci´on y escala en relaci´on al generador; y, por lo tanto, ausentes en la horda (Ib´ıd.:96). Por su parte, Xaver Faust ve la posibilidad de tratar una idea cultural como un conjunto autosimilar en donde “[. . . ] toda parte es el total y viceversa.” (Xaver Faust, 1996: 135). Al procurar un acercamiento etnogr´afico que busque establecer leyes globales, Xaver Faust describe un principio l´ogico de un conjunto de pueblos ind´ıgenas del norte de los Andes y Centroam´erica que culturalmente componen un sistema con variaciones regionales y personales (Idem.), en donde a partir de una comprensi´on iterativa, resulta posible entender un grupo a trav´es del otro. Es decir, comprender la globalidad a partir de sus localidades. Estas nociones parten de la observaci´ on y del entendimiento de la idealizaci´on ind´ıgena del agua como vitalidad y por lo tanto elemento incontrolable (Ib´ıd.: 137). Si bien los nombres cambian entre los diferentes grupos de una regi´on, la idea se conserva. As´ı que tras revisar varios mitos de origen, el autor identifica el concepto de “batida” que es una premisa autosimilar que supone que un desastre (cat´astrofe) lleva a una renovaci´ on. Por lo tanto, las tierras de cultivo deben ser batidas por medio de un ba˜ no de agua (elemento incontrolable) para as´ı renovar su fertilidad. En el universo femenino el parto y la menstruaci´on son batidas aunque jer´arquicamente diferentes. A escala personal la batida y renovaci´ on vendr´ a con ba˜ nos (Ib´ıd.: 146-149). De manera similar la sociedad requiere de una batida y renovaci´ on. Una sociedad que sufre de un r´ıgido auto-control cotidiano, que se vuelve emocional y enfatiza esto con el alcohol y la comida en las fiestas: “Donde habr´ a borrachera, aventura amorosa y ri˜ nas con machete; y en la que la pelea no se cesa hasta que alguien sangre” (Xaver Faust, 1996: 147). Es la sangre, al igual que el agua, la fuerza vital y su presencia tanto en las fiestas, como en la celebraci´on, traer´a la ansiada renovaci´on. Si bien el autor llama a esto un “Fractal Indoamericano” (Ib´ıd.:150-151), se trata m´as bien de la aplicaci´on del concepto de autosemejanza a un comportamiento cultural, aunque queda claro que se manejan conceptos de la geometr´ıa fractal, m´as no un fractal en s´ı. Aproxim´andose un poco m´as a los fractales y sus aplicaciones arqueol´ogicas, Mc Leod (1998) refiere el trabajo de Spencer Wood (1993 en Mc Leod 1998), quien

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plantea el problema de escalas en el an´alisis arqueol´ogico (desde una perspectiva brodeliana) en la expansi´on tecnol´ogica haciendo uso de modelos de percolaci´on fractal. Por otro lado, Sandra Olsen (tambi´en citada por Mc Leod) reconoce las trayectorias de atractores extra˜ nos que rigen las migraciones de animales y consecuentemente de los cazadores-recolectores. Estos trabajos representan nuevos alcances desde rutas alternativas8 . (Mc Leod,1998) Desde la d´ecada de los ochentas, Sander Van der Leeuw9 se ha involucrado directamente en las teor´ıas de la complejidad. Apoy´ andose en la investigaci´ on de Prigogine y la teor´ıa de bifurcaciones, a colaci´on de un homenaje a G. Childe, aborda el problema de las revoluciones y destaca c´omo tanto en los procesos hist´oricos, como de conocimiento, se presentan estos eventos. Retoma as´ı el modelo de bifurcaciones y el fen´omeno adquiere una din´amica iterativa que olvida sus condiciones iniciales al haber devenido en un sistema diferente del “original” (Van der Leeuw, 1988: 244-245). Van der Leeuw menciona cuatro niveles de observaci´ on: a) Procesos a muy largo plazo que generan cambios en la evoluci´ on cultural. b) Cambios a mediano plazo, que generan movimiento en las formas de organizaci´on. c) Cambios a corto plazo como fluctuaciones en las formas de organizaci´on y d) procesos instant´ aneos como toma de decisi´on humana (Van der Leeuw, 1988: 248). Aunque valiosos, estos trabajos todav´ıa no presentan un verdadero uso de geometr´ıa fractal m´as all´a del uso de met´aforas y analog´ıas ligadas al principio de autosimilitud.

Herramientas para ver, percibir y sentir fractales En un esfuerzo generoso, Carlos Reynoso ha expuesto nociones generales de las teor´ıas de la complejidad en auditorios latinoamericanos. En ellos, ha recalcado no s´olo la necesidad de tomar en cuenta la no-linealidad, sino de ofrecer posibilidades para evitar un abuso de dichas teor´ıas. 8 Tal vez este es el mejor momento para recordar al lector que el uso de estas herramientas y metodolog´ıas se ve favorecido por una aut´entica aproximaci´ on de transdisciplina, en donde varios especialistas pueden hacerse cargo de los elementos t´ecnicos que escapan a las habilidades tradicionales del arque´ ologo, por ejemplo. 9 Investigador de la Universidad de la Sorbona y SFI.

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De esta manera, Reynoso expone lo que ´el considera un grupo de herramientas y tecnolog´ıas “auxiliares” en los estudios de la complejidad. A saber: la ecuaci´on log´ıstica, los aut´omatas celulares, el algoritmo gen´etico, las redes booleanas, la modelizaci´on fractal, etc´etera10 . Sin embargo, destaca la necesidad de proceder con cierta prudencia, ya que la verdadera utilidad de dichas herramientas radica en tener claro los par´ametros y nociones b´asicas de no-linealidad as´ı como la formulaci´on de problemas. Esto es, que su principal valor est´a no en generar m´as datos, sino en resolver interrogantes. La ecuaci´on log´ıstica aborda comportamientos descritos en aumentos y decrementos. Es una expresi´on recursiva del tipo xt+1 = Kxt (1 − x) (Reynoso y Castro, 2006: 1)11 . A partir de esta ecuaci´on simple y mediante el uso de una hoja de c´alculo, es posible vislumbrar situaciones de equilibrio, atractores de punto, peri´odicos y turbulencias ca´oticas; algunos con propiedades fractales (Ib´ıd. 2-3). Las herramientas conocidas como los Aut´ omatas Celulares (Cellular Automata) son modelos abstractos de un sistema en donde se han definido un conjunto de reglas que lo rigen. El software b´asico para comprender e introducirnos a los AC o CA es el Juego de la Vida (Game of Life) que simula una din´amica celular. Las reglas son elementales: se presenta una rejilla en donde cada cuadro es ocupado (o no) por una “c´elula viva”. En caso de que una c´elula dada tenga menos de dos c´elulas vecinas, ´esta morir´a. Si tiene m´as de tres, morir´a, etc´etera. El objetivo consiste en generar mapas de trayectorias tiempo-espacio de las din´amicas celulares (Ib´ıd. 3) Mientras los aut´omatas celulares y la ecuaci´on log´ıstica complementan de manera excelente una investigaci´ on, la modelizaci´on con agentes permite establecer tendencias y corroborar proyecciones a trav´es del uso de muchas variables que interact´ uan entre s´ı sin permanecer constantes. El ejemplo cl´asico de este tipo de simulaciones es el desarrollado por el SFI en torno a la cultura Anazasi (Dean et al. 1999), en el cual, a partir de variables nutricionales, par´ametros de mortalidad, fertilidad, cosechas, tama˜ nos de los espacios, disponibilidad del agua, etc´etera, busca concordancias en el contexto arqueol´ogico, teniendo siempre en cuenta la sensibilidad a las condiciones iniciales 10

Este listado, dista de ser completo o incluyente, es tan s´ olo una muestra de las muchas herramientas de las que se puede hacer uso. 11 Para detalles sobre el uso sugerimos consultar la fuente.

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de un sistema (Reynoso, 2003: 5-7)12 .

Midiendo fractales: Dimensi´ on fractal Los primeros c´alculos de dimensi´on fractal inmersos en la arqueolog´ıa se deben a Kennedy y Lin, en 1988 (en Brown, 2001), pero son Gibert y Palmqvist (1995) quienes llevan a cabo un estudio particularmente interesante sobre este tema. Ellos analizan D en las suturas de un cr´aneo pleistoc´enico del yacimiento Venta Micena con el objeto de identificar la especie en funci´on del patr´on de sutura de cr´ aneos equinos y humanos (Gibert y Palmqvist, 1995: 563-564). El m´etodo para calcular D en este trabajo es similar al de “Conteo de Cajas” (Box Counting), siendo la principal diferencia el software utilizado. La D (1.058) obtenida se contrast´o con muestras de infantes contempor´aneos y pleistoc´enicos (1.047 a 1.173) concluyendo que el cr´aneo perteneci´o a un hom´ınido infantil13 . En cuanto a los cr´aneos equinos, ´estos ofrecieron valores de D muy superiores a los de los hom´ınidos. M´as tarde, la investigaci´on en torno a D y los fragmentos craneales pretendi´ o elaborar una clasificaci´on taxon´omica basada en rangos de edad. En esta ocasi´on, se aplic´o la t´ecnica de Conteo de Cajas, que consiste en trazar una ret´ıcula dividida en celdas de tama˜ no “s”, cont´ andose el n´ umero de celdas que intercepta la estructura a medir, siendo N(s) el n´ umero de celdas de tama˜ no (s) que toca la estructura. El proceso se repite con valores menores (Arques y Gilbert, 2002: 4) y se procede a graficar el logaritmo de N (s) y el logaritmo de 1/s esperando una pendiente lineal que una dichos puntos, siendo D la pendiente. Hasta ahora la muestra de investigaciones parecer´ıa incentiva, pero un trabajo representativo de la falta de buenas bases te´oricas y metodol´ogicas es el de Burkle Elizondo (2001) quien presenta como hip´otesis que: “[. . . ] el arte, escultura, est´etica y arquitectura mesoamericana es fractal; o que por lo menos tiene dimensi´ on fractal.” (Elizondo, 2001: 4). Lo anterior, resultado de una geometr´ıa c´osmica tomada como referencia para la vida prehisp´anica (Ib´ıd.:3). En base a las definiciones ya presentadas, el error de suponer que un objeto puede presen12

Sugerimos al lector consulte tanto a Reynoso como a Stuart Kauffman como excelentes textos introductorias a la modelizaci´ on. (v.g. Reynoso, 2006 a) 13 Si bien los autores reconocen que podr´ıa tratarse de un p´ ongido, las diferencias morfol´ ogicas permiten aceptar el cr´ aneo como de un hom´ınido de entre 5 y 6 a˜ nos (Ib´ıd. 572).

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tar D sin ser fractal es dolorosamente obvio. A pesar de ello, el autor obtiene una D promedio de 1.92, y la define como un marcador fractal “mesoamericano” (Ib´ıd.:11). Una de las principales fallas en la obra de este autor se puede notar en la divisi´on de diez grandes grupos arbitrarios (en una l´ogica occidental), para establecer sus mediciones (v.g. cabezas olmecas y Coatlicue). De igual manera, al buscar una “est´etica” lleva a pensar qu´e tan consciente est´a el autor de las implicaciones del concepto de “Mesoam´erica”. Con estos ejemplos quedan claras las evasivas de D para conformarse de manera determinista. Regresando a investigaciones m´as afortunadas, Rees et al. analizan el microdesgaste l´ıtico para calcular dimensiones fractales de las superficies de uso en herramientas de pedernal (Rees et al, 1991: 630). El estudio tom´o en consideraci´on diversas variables, como los materiales en los que las herramientas fueron utilizadas, calculando D para cada evento. Sin embargo, no se logr´o nada definitivo debido al gran n´ umero de variables involucradas ya que a´ un al pulir con el mismo material (madera) en dos muestras de pedernal se obtuvieron valores de D diferentes. (Rees et al, 1991: 639). Por su parte, Stemp y Stemp intentaron generar una tipolog´ıa fractal de artefactos l´ıticos que no fue exitosa, sin embargo lograron determinar fractalmente si las muestran han sido utilizadas o no, as´ı como el hecho de que hay un momento en el que se pierde la fractalidad por un pulimento excesivo (Stemp y Stemp, 2001: 86 y 2003: 287-291). Por su parte, C. T. Brown (2001, 2005) toma otro camino en sus an´alisis l´ıticos, reconociendo que ya por ser rocas tienen propiedades fractales (Brown, 2005: 47). Con esto en mente y bas´andose en los trabajos de Kennedy y Lin (1988, 297–301 en Brown, 2005), retoma la idea de que la fragmentaci´ on de las rocas crea una distribuci´on tama˜ no-frecuencia que obedece a la relaci´on N (> r) = 1/rD (Brown, 2005: 48), lo que quiere decir que al fragmentarse una roca habr´a menos fragmentos mayores y muchos fragmentos menores. De esta forma, estados de reducci´on primarios proporcionan lascas mayores y en menor cantidad, mientras que el trabajo final produce lascas menores y m´as abundantes. Brown asume, entonces, que la dimensi´on fractal de los artefactos aumenta con las etapas finales del trabajo, lo cual es visible desde el n´ ucleo: Un n´ ucleo sin preparar ofrece un valor de D menor que un n´ ucleo preparado (Brown, 2001:

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624 y Brown, 2005: 51). Al contrastar con el contexto arqueol´ogico, el autor logr´o diferenciar adem´as un contexto primario de uno secundario. En este u ´ltimo la distribuci´on no se comporta como D por el reacomodo. Destaca adem´as que no todas las distribuciones deben comportarse de manera fractal, siendo tan u ´til la informaci´on proveniente de una, como de otra (Brown, 2001: 629).

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Mapas fractales e historias no lineales Cabe decir que D no es la u ´nica manera de aproximarse a los fractales en arqueolog´ıa. Trabajos como los de Rodr´ıguez et al, Zubrow, King, etc´etera, sugieren una trayectoria alternativa a la aplicaci´on eficaz de estas herramientas. La investigaci´on de Rodr´ıguez et al (1995) gira en torno a la trayectoria de domesticaci´on agr´ıcola a lo largo del Mediterr´aneo Occidental, y se apoya en un fen´omeno previamente reconocido como poseedor de caracter´ısticas fractales, esto es, la percolaci´on. Los investigadores utilizan un modelo de sistemas de intercambio de informaci´on por percolaci´on, el cual genera sistemas auto-organizados, producto de la constante iteraci´on a peque˜ na escala. El resultado es una red fractal de flujo de informaci´on que cubre la regi´on (Rodr´ıguez et al, 1995: 13). As´ı, la informaci´on s´olo puede fluir por caminos abiertos en nodos adyacentes, y en caso de no existir dicha conexi´on, la informaci´on simplemente no fluye (Ib´ıd.: 15). En 1997, Ezra Zubrow publica su trabajo “Clusters of Death” y si bien no maneja de manera expl´ıcita los fractales, su trabajo de simulaci´ on aborda el problema de la expansi´on de la viruela en las poblaciones nativas americanas al momento de la colonizaci´on del continente. El autor describe la infecci´on como un fen´omeno de expansi´on ca´otica que posteriormente se manifiesta a trav´es de un patr´on ordenado de expansi´on de dicha infecci´on llevado a nivel continental14 . En esencia, el modelo simula la expansi´on del virus desde Europa a trav´es de las rutas de comercio. El autor concluye que el fen´omeno se comportaba como un modelo de percolaci´on, esto es, un modelo fractal (Ib´ıd., 231, 249). En la misma publicaci´on, King y Aallan (1997) parten de la consideraci´on del medio ambiente como un proceso fractal en donde el cambio ocurre de manera constante y en todas las escalas, siendo funciones fractales la respuesta y la capacidad de supervivencia de las especies de un ecosistema determinado. Sin enfocarse en la geometr´ıa fractal, los trabajos de Zubrow y King y Aallan abordan de manera exitosa nociones inherentes a los fractales, haciendo evidente una vez m´as la importancia, no de emplear la t´ecnica en un af´an de aplicarla en todo, 14

Cabe mencionarse que el autor ha trabajado previamente el tema en American Archaeology, 1985. Sin embargo, nos result´ o imposible conseguir dicha referencia.

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sino de manejar e interpretar de manera apropiada los datos que involucra la utilizaci´on de dichas herramientas. Por su parte, C´ecile Tannier y Denise Pumain (2005 y Pumain, 1997) han desarrollado una metodolog´ıa de an´alisis fractal aplicable a cualquier distribuci´on urbana15 . Previamente, Pumain hab´ıa elaborado un acercamiento al an´alisis urbano dentro de las ideas de complejidad. Una de las observaciones iniciales que hizo sobre un sistema de ciudades, es la existencia de una persistencia espacial y jer´arquica en su configuraci´on, a´ un a nivel micro, y a pesar de los aumentos poblacionales, del n´ umero y del tama˜ no de las mismas (Pumain, 1997: 98). Siguiendo esta l´ınea, queda claro que no s´olo en la expresi´on espacial existe autosemejanza en un sistema urbano, sino tambi´en en su vida como sistema autoorganizado por las relaciones jer´arquicas a diferentes escalas y por un principio operativo que resulta de la competencia entre ciudades (Ib´ıd., 102-112).

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Si bien, los primeros esfuerzos en aplicaci´ on de fractales y urbanismo son presentados por Batty y Longley en “Fractal Cities”, en un an´ alisis de D como indicador del cambio de las metr´ opolis del planeta.

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Para 2005, Pumain y Tannier trabajaron espec´ıficamente sobre la l´ınea de geometr´ıa fractal. Describieron al sistema urbano con el atributo de autosemejanza, visible en la repetici´on del mismo principio de distribuci´on y en los elementos a m´ ultiples escalas, representados bajo un esquema de jerarqu´ıa escalar (Pumain y Tannier, 2005: 5). M´as que mostrar la aplicabilidad a un caso espec´ıfico, Pumain y Tannier mostraron la utilidad de D, al basarse en una serie de reflexiones previas, que resultar´ıan igualmente valiosas, si no se hubiese calculado D.

Autosemejanza Maya Otro de los usos m´as interesantes para las geometr´ıas fractales es el patr´on de asentamiento, siendo las propuestas de C. Brown de las m´as apasionantes. En sus primeras aproximaciones los arque´ologos localizaron puntos geogr´aficos mediante la utilizaci´on de la tecnolog´ıa GPS en Yucat´ an, en sitios del Cl´asico Terminal. A cada sitio se le asign´o un valor jer´arquico de 1 a 4 (siendo 1 para los sitios de mayor tama˜ no y 4 para los de menor tama˜ no) (Brown y Witshey, 2000: 7). Posteriormente se desarroll´o una hip´otesis para explicar por qu´e el patr´on de asentamiento maya exhibe una relaci´on fractal, tanto a nivel comunal (intra-sitio), como a nivel regional, perceptible gracias a D y a la autosemejanza estad´ıstica (Brown y Witschey, 2003: 1619). La hip´otesis referente a las relaciones intrasitiales describe a los edificios como un patr´on agrupado producto de un patr´on previo que se itera en s´ı mismo (nested clusters of clusters). Con una organizaci´on espacial autosimilar, existen principios de linaje visibles en todo el sistema social. As´ı, las relaciones autosimilares trazan el comportamiento regional en funci´on de distribuciones tama˜ no/ frecuencia y tama˜ no / estatus de los asentamientos (Ib´ıd.). Del mismo modo, el an´alisis regional se basa en la jerarqu´ıa originada de la relaci´on estatus / tama˜ no como una ley de potencia (power law) as´ı como de la relaci´on tama˜ no / frecuencia que presenta una relaci´on fractal y una D. La relaci´on estatus / tama˜ no es una observaci´ on m´as emp´ırica que expresa una relaci´on entre el tama˜ no del asentamiento, y el estatus del mismo (Brown et al, 2005: 61). Obviamente en cada nivel autosemejante habr´a menos sitios de estatus mayor, aunque ´estos ser´an los de mayor tama˜ no.

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Para complementar este an´alisis, se efectu´o un Conteo por Cajas sobre la distribuci´on geogr´afica de los puntos, en este caso D = 1.51 (Brown y Witschey, 2003: 1625). El autor justifica las variaciones obtenidas en D (de 1.23 hasta 1.51) como expresi´on de variaciones locales y regionales del generador (Ib´ıd., 1627), resta determinar los rangos de variabilidad aceptables en D. La autosemejanza en los grupos de asentamientos est´a directamente vinculada al hecho de que ´estos describen un sistema social donde la familia y la unidad habitacional son una r´eplica del linaje y ´este a su vez del clan, haci´endose visible la misma relaci´on en la administraci´on del poder, donde los niveles est´an organizados de manera piramidal. As´ı, el patr´on de asentamiento fractal (contrastado con conteo de cajas) es consecuencia de una organizaci´on fractal y de un gobierno jer´arquico que obedece a una ley de potencia (Ib´ıd.: 1627-1628). Una conclusi´on es que la sociedad maya goz´o de una autoorganizaci´on, como es la capacidad de cambio espont´ aneo en un sistema tras una perturbaci´on constante (Ib´ıd.: 1622). Por su parte, Roberts y Turcotte (1998 en Brown, 2003: 16281629) llevaron a cabo modelizaciones de la auto-organizaci´on y guerra maya cuyo resultado fue un sistema meta-estable con D = 1.27 − 1.54. Este hallazgo se podr´ıa comparar con la din´amica semi-estable definida por L´opez Aguilar y Bali (1995) o con la idea maya seg´ un Duverger (2000). Sobre el mismo problema de comprensi´on de la organizaci´on y trayectoria maya, Joyce Marcus (1993:184) tambi´en ha reconocido a la guerra como un factor que genera ciclos din´amicos de integraci´ on y fragmentaci´ on donde los estados regionales se colapsan en entidades m´as peque˜ nas y viceversa. Un trabajo que ha llegado a resultados semejantes mediante otra v´ıa metodol´ogica, ha sido el de Arthur Demarest (1992), quien sin estar comprometido con la hip´otesis fractal, propone un modelo pol´ıtico maya como estado gal´actico. Dicho modelo consiste en una met´afora de organizaci´on social y espacial donde la misma idea organizacional permanece a diferentes escalas (s´olo que los grados de poder pol´ıtico disminuyen del centro hacia la periferia). (Prem, 1998: 30)

La Casa Del Fara´ on Dentro del compilado del SFI (Gumerman, Kohler, 2000) destaca la propuesta de Mark Lehner sobre el Antiguo Egipto como un Sistema Adaptativo Complejo

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(SAC o CAS en ingl´es)16 , en la que describe varios fen´omenos autosimilares tanto en espacio como en tiempo que nos aproximan un poco a la idea de Bak (1996). En contraste con la visi´on fara´onica absolutista que supon´ıa un expansionismo a capricho del emperador, Lehner revisa a detalle las variables del sistema egipcio para presentar sus analog´ıas. Las vincula principalmente a una imagen fractal arquitect´onica, a la autosemejanza del conjunto social y a ciclos de fragmentaci´on y conglomeraci´on altamente sensibles a las condiciones iniciales de la unidad dom´estica (household). Observa tambi´en la construcci´on/desarrollo de la organizaci´on al interior de la misma (o PHM: Patrimonial House Model 17 ) definida por parentesco y por la relaci´on amo-esclavo como los generadores de trabajo a cualquier escala espacio-socio-temporal. El primer momento para el desarrollo de esta hip´otesis se dio en una revisi´on del modelo segmentario de unidades sist´emicas, las cuales, al colapsarse, conservan la idea general. As´ı, el autor visualiz´o la autosemejanza en la estructura vertical, inferible en la disposici´on de tumbas: organizadas a partir de una gran tumba (tanto de tama˜ no como jerarqu´ıa) y alrededor de ella las de menor tama˜ no y estatus (Lehner, 2000: 277-278). Continuando, se presenta el patr´on de la casa/unidad dom´estica como idea central y principio generador de la relaci´on (“patr´on”) fractal. De esta manera, el principio organizacional de la casa egipcia funcion´o como agente autosemejante que configur´o el Estado egipcio a partir de la expansi´on (amplificada territorialmente, pero con una disminuci´ on jer´arquica) aunada a un proceso de autosimilitud al interior, con lo que se gener´o una estructura auto-contenida (Ib´ıd.: 279-280). Retomando al SAC, las din´amicas y el patr´on egipcio se originaron a partir de las interacciones de agentes locales y Lehner supone que es a partir de ´estas que se construye la Gran Casa Fara´ onica (Great House) descartando tambi´en la idea mon´arquica sobre el fara´on, ya que el t´ermino es s´olo una traducci´on del 16 Enti´endase un SAC como un sistema complejo (previamente descrito) mientras que por adaptativo refiere la capacidad de cambio a trav´es de la experiencia. El termino se origino en el SFI por John H. Holland y Murray Gell-Mann, quienes definen una SAC como un conjunto de agentes en reacci´ on constante a lo que lo otros agentes hacen. El control del sistema tiende a ser disperso y descentralizado y el comportamiento coherente surgir´ a de la competencia y cooperaci´ on entre agentes. (En: Complexity: The Emerging Science at the Edge of Order and Chaos, M. Mitchell Waldrop,1992). 17 Modelo de Casa Patrimonial. (traducci´ on nuestra)

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egipcio que se˜ nala esa Gran Casa (Ib´ıd.: 280). Entonces, a partir del agente b´asico (unidad dom´estica), el siguiente nivel autosemejante es la aldea (village) en donde la esencia organizacional radica en fragmentar terrenos cultivables (iltizams) (Ib´ıd.: 286-287). Ampliando la escala, el pueblo (town) contin´ ua con el patr´on autosemejante, donde la ciudad central se constru´ıa alrededor de la residencia “oficial” y cada suburbio segu´ıa el modelo de dicha casa, con espacio religioso, granero y talleres en los flancos. Igualmente, las casas mayores eran rodeadas por casas menores (Ib´ıd.: 301-303). El nivel organizativo siguiente son los nomes, divisiones territoriales seg´ un la longitud del Nilo, en donde un pueblo principal servia como capital. Finalmente se tiene la fragmentaci´on generadora del sistema egipcio que lo divid´ıa en dos (el Valle del Nilo y el Delta) de modo que el fara´on funcionaba tambi´en como una representaci´on doble (Set y Horus), como el unificador de la casa del Bajo y el Alto Egipto, idea isom´orfica en cada nivel jer´arquico (Ib´ıd.: 307-318). Espacialmente hasta ahora es visible un esquema autosimilar donde no hay diferencia entre lo urbano y lo rural, pues todo nivel es una iteraci´on del mismo principio. Tampoco existe la necesidad de visualizar una sociedad bimodal (´elite y pueblo) sino que se percibe la autosemejanza a cualquier escala de observaci´ on (Ib´ıd.: 281). Un comportamiento semejante ocurrir´ıa en la ausencia de un sucesor fara´onico donde el modelo de parentesco tiene que buscar un reacomodo, potencialmente a trav´es de guerras norte–sur y del reajuste jer´arquico (Ib´ıd.: 337-338). En esencia, Lehner nos da la idea global de un sistema autosimilar entre la unidad dom´estica y el sistema egipcio como una gran unidad dom´estica (La Gran Casa) (Lehner, 2000: 338).

Iteraci´ on final De esta manera, queda clara la valiosa aportaci´on que la geometr´ıa fractal ha tenido en la ciencia occidental desde hace m´as de 25 a˜ nos. Sus aplicaciones son cada vez m´as amplias. Tambi´en lo son las herramientas disponibles para hacer

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uso de ella, en particular los programas para calcular (D)18 . La geometr´ıa fractal se presenta, entonces, como un generador en el que es preciso involucrarse para devenir en una antropolog´ıa cr´ıtica, din´amica y compleja, con oportunidad de desarrollar una verdadera transdisciplina. Es preciso expresar una advertencia para evitar caer en mediciones sin sentido, ya que obtener D y modelizar sin un objetivo es una p´erdida de tiempo, en tanto que la informaci´on obtenida no ser´a de utilidad o caer´a en la redundancia. Adem´as, no s´olo por hacer uso de estas herramientas autom´aticamente se habr´a trascendido el pensamiento lineal. Nuevamente queda en evidencia la necesidad imperante de una revisi´on cr´ıtica al pensamiento occidental. Las revoluciones cient´ıficas no son modas pasajeras, y la necesidad de presentar alternativas al determinismo positivista es claramente un compromiso ´etico y social para el antrop´ ologo actual. Finalmente, la geometr´ıa fractal es una realidad en la antropolog´ıa mundial, ´ıntimamente relacionada con las teor´ıas de la complejidad. Esta disciplina ofrece en M´exico y Am´erica un gran espectro de posibilidades te´oricas y t´ecnicas, las cuales han ido creando un nicho en las disciplinas antropol´ogicas conservadoras. La geometr´ıa fractal ya ha superado (con creces) la etapa de “t´ecnica experimental” siendo v´alido el considerarla como parte integral de la formaci´on de los arque´ologos y antrop´ologos.

Bibliograf´ıa Allen, M. Meter,“Models of Creativity: toward a new science of history”, McGlade & Van der Leeuw (eds.), Time, process and structured transformation in archaeology, pp. 39-56, Routledge, London, 1997. Arques, M. Joseph & Gibert, Joseph, “Fractal Analysis and its Applications in Human Paleontology”, Journal of Human Evolution, Vol. 17, No. 1-2, pp. 45-53, Academic Press, 2002. Barnsley, Michael,Fractals Everywhere, Academia Press, EUA, 1988. 18

Reynoso (2003 y 2006) recomienda el uso de por lo menos dos programas generadores de D en tanto que el investigador se familiariza con los diferentes valores de D que distintos programas (merced a la metodolog´ıa que utilizan) generan.

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Bak, P., How Nature Works: The Science of Self-Organized Criticality, SpringerVerlag, New York, 1996. Batty, M. & Longley, P.,Fractal Cities: A Geometry of Form and Function, Academic Press, London, 1996. Briggs, J. & Peat, F.,Espejo y Reflejo: del caos al orden, Gedisa, Barcelona, 1994. Brown, C. T.,“The fractal dimensions of lithic reduction” , Journal of Archaeological Science, Vol 28, No. 6, pp 619–631pp, Academic Press, 2001. Brown, C. T. & Witschey, R.T. Walter, “Building a GIS System of Ancient Lowland Maya Settlement”, Ponencia presentada en 65th Annual Meeting of the Society for American Archaeology, Philadelphia, Pennsylvania, 2000. en: http://mayagis.smv.org/Paper6.doc Brown, T. C. & Witschey, R.T. Walter, “The fractal Geometry of ancient maya settlement”, Journal of Archaeological Science, Vol. 30, No. 12, pp. 1619-1632, Academic Press, 2003. Brown, C. T. ; Witschey, Walter R. T & Liebovitch, Larry S.,“The Broken Past: Fractals in Archaeology”, Journal of Archaeological Method and Theory, Vol.12, No.1, pp. 37-78, Springer, US, 2005. Burch y Cheswick, Bill Cheswick homepage, en: www.cheswick.com, 1999. Burkle, Elizondo Gerardo,“Fractal Geometry in Mesoamerica”, Symetry Culture and Sicence. Symetry in Ethnomathematics, No. 12, Vol. 1-2, pp. 201-214, International Symetry Foundation, Budapest, Hungary, 2001. Dean, Jeffrey S.; Gumerman, George J.; Epstein, Joshua M.; Axtell, Robert; Swedlund, Alan C.; Parker, Miles T. & Mc Carrol, Steven.,“Understanding Anasazi Culture Change Through Agent-Based Modeling”, Kohler, T.A. & Gumerman, G.J. (eds.) Dynamics of Human and Primate Societies: Agent-Based Modeling of Social and Spatial Processes, pp. 179-206, SFI Studies in the Sciences of Complexity, Oxford University Press, New York, 1999. Demarest, Arthur,“Ideology in ancient maya cultural evolution, the dynamics of galactic polities”, Demarest, A. & Conrad, G. (eds.), Ideology and precolumbian civilization, pp. 135-158, SAR Press, Santa Fe, 1992. Duverger, Christian, Mesoam´erica, arte y antropolog´ıa, CONACULTA, M´exico, 2000.

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70

Gustavo Sandoval Garc´ıa, Rodrigo Vilanova de Allende

Eglash, R., African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design, Rutgers University Press, New Brunswick, NJ, 1999. Gibert, J. & Palmqvist, P.,“Fractal analysis of Orce skull sutures”, Journal of Human Evolution, Vol. 28, pp. 561-575, Academic Press, 1995. Gunther, Michael D., Glosary of Indian Art, 2002. en: http://www.art-and-archaeology.com/india/glossary1.html#fractal Hofstader, Douglas., G¨ odel, Escher, Bach. Un eterno y gr´ acil bucle. Metatemas 14, Tusquets, Barcelona, 2001. Kennedy, S. K. & Lin, W., “A fractal technique for the classification of projectile point shapes”, Geoarchaeology, Vol. 3, No. 4, 1988 pp. 297–301. King, Geoffrey & Aallan, Lindh, “Fractal Enviromental changes and the evolution of culture”, McGlade & Van der Leeuw, (eds.), Time, process and structured transformation in archaeology, pp. 254-268, Routledge, London, 1997. Kohler, T. & Gumerman, G. (eds.), Dynamics in Human and Primate Societies. Agent-Based Modeling of Social and Spatial Processes, SFI Studies in the Science of Complexity, Oxford Univesity Press, Nueva York, 2000. Kuhn, Lesley & Levick, David, “Fractal Geometry, Organisational Management and Creative Change”. Complexity Thinking: A Catalyst for Creativity, pp. 205214, UWS, 2002. Lehner, Mark, “Fractal House of Pharaoh: Ancient Egypt as a Complex Adaptive System, a Trial Formulation”, Kohler, T. & Gumerman, G. (eds.), Dynamics in Human and Primate Societies. Agent-Based Modeling of Social and Spatial Processes, pp. 275-353, SFI Studies in the Science of Complexity, Oxford Univesity Press, Nueva York, 2000. L´opez Aguilar, Fernando & Bali, Guillermo, “Mesoam´erica, Una visi´on desde la teor´ıa de la complejidad”, Ludus Vitalis, No. 5, 1995, p 83-101. L´opez Aguilar, Fernando & Rodr´ıguez Torres, Alfonso, “Cronolog´ıa y tiempos teotihuacanos. El otro lado del espejo”, Brambila, R. & Cabrera, R. (eds.), Los Ritmos de cambio en Teotihuac´ an: reflexiones y discusiones de su cronolog´ıa, pp. 59-69, INAH, M´exico, 1998. McGlade, James & Van Der Leeuw, Sander E., “Introduction: Archaeology and non-linear dynamics- new approaches to long-term change”, McGlade & Van

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

Perspectivas en el Uso de Herramientas Fractales en Arqueolog´ıa

71

der Leeuw (eds.), Time, process and structured transformation in archaeology, pp. 1-32, Routledge, London, 1997. Mac Leod, Iredale Joe, Chaos theory as applied to social change or Chaos theory end the ebb and flow of cultural change, 1998 En: http://www.square-sun.net/arch/index.htm#contents Mandelbrot, Benoit, Los Objetos Fractales: forma, azar y dimensi´ on, Tusquets, Barcelona, 1987. Mandelbrot, Benoit, La geometr´ıa fractal de la naturaleza, Tusquets, Barcelona, 1997. Mandelbrot, Benoit, “A multifractal walk down Wall Street”, Scientific American, Vol. 280, No. 2, New York, 1999. Marcus, Joyce, “Ancient Maya Political Organization”, Sabloff, J. & Henderson, J. (eds.), Lowland Maya Civilization in the Eighth century A.D, pp. 11-184, Dumbarton Oaks Research Library and Collection, Washington, DC, 1993. Mier, Raymundo, “Complejidad: bosquejos para una antropolog´ıa de la inestabilidad”, P´erez Taylor Rafael (ed.), Antropolog´ıa y Complejidad, pp.77-104, Gedisa, Barcelona, 2002. Morin, Edgar, Introducci´ on al pensamiento complejo, Gedisa, Barcelona, 1990. Olsen, Sandra, The complexities of reconstructing paleolithic hunting and foraging strategies, no publicado, 1996. Prem, J Hans, “Modelos de entidades pol´ıticas mayas” , Trejo, Silvia (ed.), Primer Seminario de la Mesa Redonda de Palenque, pp. 3-34, CONACULTA - INAH, M´exico, 1998. Pumain, Dense, “City- size dynamics in urban systems”, McGlade & Van der Leeuw (eds.) Time, process and structured transformation in archaeology, pp. 97-117,Routledge, London, 1997. Pumain, Denise &Tannier, C´ecile, “Fractals in urban geography: a theoretical outline and emprirical example”, Cybergeo: Revue europ´eenne de g´eographie, No 307, 2005 en: http://www.cybergeo.presse.fr/ Rees, D. ; Wilkinson, G.G.;Grace R. & Orton, R., “An Investigation of the Fractal

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72

Gustavo Sandoval Garc´ıa, Rodrigo Vilanova de Allende

Properties of Flint Microwear Images”, Journal of Archaelogical Science, Vol. 18, pp. 629-640, Academic Press, 1991. Renfrew, Colin, “Trajectory Discontinuity and Morphogenesis: The Implications of Catastrophe Theory for Archaeology”, American Antiquity, vol 43, No. 2, pp. 203-222, SAA Press, Nashville, 1978. Reynoso, Carlos, Nuevos Paradigmas de modelizaci´ on en antropolog´ıa, 2003. En: http://www.anthropokaos.com.ar/ Reynoso, Carlos, The impact of chaos and complexity theories in spatial an´ alisis. Problems and perspectives, 2006 En http://www.anthropokaos.com.ar/ Reynoso, Carlos, Complejidad y Caos: Una exploraci´ on Antropol´ ogica, Editorial SB, Buenos Aires, 2006a. Reynoso, Carlos & Castro, Dami´an, Chaos and Complexity tools for Archaeology: State of Art and Perspectivas, 2006 En: http://www.anthropokaos.com.ar/ Roberts, D. C. & Turcotte, D. L., “Fractality and self-organized criticality of wars”, Fractals Vol. 6, 1998, No. 4, pp. 351–357. ´ Rodr´ıguez Alcalde, Angel; Alonso Jim´enez, Carmelo & Vel´ asquez Cano, Juli´an, “Fractales para la arqueolog´ıa: un nuevo lenguaje” , Trabajos de Prehistoria , Vol. 52, No. 1, 1995, pp. 13 - 24, Madrid, Espa˜ na. Spencer-Wood, S., Cultural complexity, non-linear systems theory and multi scalar analysis, Conferencia presentada en 26th Annual Chacmool Conference, 1993. Stemp, James W. & Stemp, Michael, “UBM Laser Profilometry and Lithic UseWear Analysis: A Variable Length Scale Investigation of Surface Topography”, Journal of Archaeological Science, Vol. 28, 81-88, Academic Press, 2001. Stemp, James W. & Stemp, Michael, “Documenting Stages of Polish Development on Experimental Stone Tools: Surface Characterization by Fractal Geometry Using UBM Laser Profilometry”, Journal of Archaeological Science, Vol. 30, pp. 287-296, Academic Press, 2003. Thom, Ren´e, Estabilidad estructural y morfog´enesis: Ensayo de una teor´ıa general de modelos, Barcelona, Gedisa, 1987 [1975].

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

Perspectivas en el Uso de Herramientas Fractales en Arqueolog´ıa

73

Van der Leeuw, Sander, “Las revoluciones revisadas nuevamente”, Manzanilla, L. (ed.), Coloquio V. Gordon Childe, pp. 235-264, IIA-UNAM, M´exico, 1988. Van der Leeuw, Sander, Vulnerability and the integrated study of socio-natural phenomena. IHDP Update 2/01, April 2001:6-7 En: http://www.santafe.edu/˜erica/papers/sander V. Rauff, James, Modern Computing and Indigenous Design, 1999 en: http://www.findarticles.com/p/articles/mi qa3742/is 199911/ai n8856345 Waldrop, M. Mitchell, Complexity: The Emerging Science at the Edge of Order and Chaos, Touchstone, NY, 1992. Wallerstein, I.(cord.), Abrir las ciencias sociales, Siglo XXI, M´exico,1996. Xaver Faust, Franz, “Un pr´estamo de la geometr´ıa fractal para la descripci´on de culturas emparentadas: lo que hace las culturas amerindias similares entre ellas”, Thule Revista italiana di Studi americanistic, No.1,pp.131-154, Centro Studi Americanistici “Circulo Amerindiano”, 1996. Zubrow, Ezra, “Fractals, cultural behavior, and prehistory”, American Archeology, Vol. 5, No,1, 1985, pp. 63–77. Zubrow, Ezra,“Clusters of death, pockets of survival: dinamic modelling and GIS”, McGlade & Van der Leeuw (eds.), Time, process and structured transformation in archaeology, pp.216-253, Routledge, London, 1997.

SMM-CIMAT

177

Re-Configuraciones Fractales y Manifestaciones Rupestres

Bibliograf´ıa Barnsley Michel, Fractal everywhere. 2da. Edici´on. Academic Press. USA. 1993. Bourdieu Pierre, El sentido pr´ actico. Editorial Taurus, Madrid, Espa˜ na. 1991. Brambila Rosa, Fernando Brambila, Flor Aceff, “La dimensi´on fractal como indicador arqueol´ogico en los estudios de territorio”, En prensa en este volumen. Briggs John y Peat David, Las siete leyes del Caos: ventajas de una vida ca´ otica. Editorial Grijalbo. Espa˜ na 1999. Brown Clifford y Witschey Walter, “The Fractal Geometry of Ancient Maya Settlement”. Submitted to the Journal of Archaeological Science 2002. Eglash Ron, African fractals. Modern computing and indigenous design. New Brunswick, Rutgers University Press 1999. Galinier, Jacques, Pueblos de la Sierra Madre: etnograf´ıa de la comunidad otom´ı. Editorial M´exico: INI (Cl´asicos de la Antropolog´ıa Mexicana n.17). M´exico 1987. Gonz´alez, Lauro, Tipos de vegetaci´ on del Valle del Mezquital, Hgo., M´exico, INAH, Departamento de Prehistoria, Paleoecolog´ıa 2,1968. Kulckzycki, S, Non-euclidean geometry. Pergamon Press, Inc. 1961. Lara Aline, La filosof´ıa del espacio y el tiempo. Tesis de Maestr´ıa. Escuela Nacional de Antropolog´ıa e Historia. M´exico, 2006. L´evi- Strauss, Claude, “La estructura de los mitos”. En Antropolog´ıa estructural. Editorial Paid´os b´asica, Barcelona, Espa˜ na, 1995. L´opez Aguilar, Fernando, “Las distinciones y las diferencias en la historia colonial del Valle del Mezquital”. Dimensi´ on Antropol´ ogica. volumen 9-10, enero-agosto. M´exico, 1997, pp. 27-70. L´opez Aguilar, Fernando, S´ımbolos del tiempo. Editorial. Consejo para la Cultura y las Artes. Hidalgo, M´exico, 2005. Mosko Mark y Frederick Damon, On the order of chaos: social anthropology and the Science of Chaos. Berghahn Books, Oxford, 2005. Kelly, Jos´e, “Fractality and the Exchange of Perspectives”. en: On the order of chaos: social anthropology and the Science of Chaos. Berghahn Books, Oxford, 2005.

SMM-CIMAT

178

Aline Lara Galicia

Piot, Charles, “Fractal figurations: Homologues and hierarchies in Kabre Culture” en: On the order of chaos: social anthropology and the Science of Chaos. Berghahn Books, Oxford, 2005. Prigogine Ilya e I.Stengers, Order out of Chaos. Bantam Press. New York, 1984. Reynoso, Carlos, Teor´ıa y M´etodos de la complejlidad y el caos: una exploraci´ on antropol´ ogica. Editorial Biblos. Buenos Aires, Argentina 2004. Talanquer, Vicente, Fractus, fracta, fractal, fractales, de laberintos y espejos. Fondo de Cultura Econ´omica. M´exico, 2003. Van Gennep, Los ritos de paso, Madrid, Taurus, (Par´ıs, 1909 1986). Wagner, Roy, “Afterword: Order is what happens when chaos loses its temper”. En: On the order of chaos: social anthropology and the Science of Chaos. Berghahn Books, Oxford, 2005. Whitehead Alfred, An enquiry concerning the principles of natural knowledge. Cambridge University Press. Londres. Inglaterra, 1919. Wolfram, Stephen, A new kind the science. Champaign. Wolfran Media. Institute Santa Fe, New Mexico. USA, 2002.

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

Ap´ endice Bibliogr´ afico. Arqueolog´ıa, Antropolog´ıa y Fractales

Gustavo Sandoval Garc´ıa

El siguiente listado corresponde a una b´ usqueda bibliogr´afica sobre las investigaciones arqueol´ogicas y antropol´ogicas que han hecho alg´ un uso de la geometr´ıa fractal. Hay que hacer notar, ´esta no es exhaustiva, hay muchas m´as publicaciones que las seleccionadas aqu´ı. Las referencias relacionadas con la arqueolog´ıa son m´as completas, aunque no definitivas. En cuanto a los trabajos antropol´ogicos culturales, la lista parecer´ıa insuficiente, pero quien esto escribe no se especializa en este contexto as´ı que sus recursos fueron limitados. Tambi´en hay que se˜ nalar al lector que dentro de esta lista se han filtrado una serie de referencias que a primera vista no parecer´ıan muy cercanas a la arqueolog´ıa ni a la complejidad, pero que en la l´ınea anal´ıtica que se ha seguido en Sandoval y Vilanova (en esta publicaci´on) cobran cierta l´ogica; ejemplo de esto seria las referencias de Wallerstein. Otra aclaraci´on pertinente sobre los textos referidos es que no todos comparten el mismo est´andar, y habr´an de ser filtrados por el lector seg´ un sus objetivos de consulta. El objetivo consiste en presentar una panor´amica de c´omo la geometr´ıa fractal ha convivido en la arqueolog´ıa, y por lo tanto las omisiones son menores. Por ultimo, habr´a de notarse que muchas referencias son recursos de Internet, con las cuales se han tratado de emplear est´andares m´as selectivos. Por su origen, estas referencias constantemente se actualizan; por lo tanto en este aspecto el lector no deber´ıa conformarse con lo aqu´ı referido. 179

180

Gustavo Sandoval Garc´ıa

Adams, Richard N., La red de la expansi´ on humana. Ediciones de la Casa Chata 7. CISINAH, M´exico, 1978. Adams, Richard N., El octavo d´ıa. La evoluci´ on social como autoorganizaci´ on de la energ´ıa. Universidad Aut´onoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa, Departamento de Antropolog´ıa. M´exico, 2001. Arques, M. Joseph & Gibert, Joseph, “Fractal Analysis and its Applications in Human Paleontology”, Journal of Human Evolution, Vol. 17, No. 1-2, pp. 45-53, Academic Press, 2002. Balandier, Georges, El desorden: La teor´ıa social y las ciencias del caos, Gedisa, Barcelona, 1988. Batty, M. & Longley, P., Fractal Cities: A Geometry of Form and Function, Academic Press, London, 1996. Beekman, S. Christopher & Baden, W. William, Continuing the revolution : nonlinear political and economic models for archaeology, Ashgate Publishing, England, 2005. Bentley, R. A. & Maschner, H. D. G., ”Stylistic change as a self-organized critical phenomenon: An archaeological study in complexity”, Journal of Archaeological Method and Theory, Vol. 8, No.1, pp. 35 - 66, Springer, US, 2001. Bentley, R. A. & Maschner, H. D. G. (eds.), Complex Systems and Archaeology: Empirical and Theoretical Applications, Foundations of Archaeological Inquiry, University of Utah Press, Salt Lake City, 2003. Blakeslee, Donald, “Fractal Archaeology: Intra-generational Cycles and the Matter of Scale, an Example from the Central Plains”, William Parkinson (ed.), The Archaeology of Tribal Societies, pp. 173-199, Monographs in World Prehistory, Ann Arbor, MI, 2002. Brown, C. T., Mayap´ an and Ancient Maya Social Organization, Ph.D. Dissertation, Department of Anthropology, Tulane University, New Orle´ans, 1999. Brown, C. T., “The fractal dimensions of lithic reduction”, Journal of Archaeological Science, Vol 28, No. 6, pp. 619–631, Academic Press, 2001. Brown, T. C. & Witschey, R.T. Walter, “The fractal Geometry of ancient maya settlement”, Journal of Archaeological Science, Vol. 30, No. 12, pp. 1619-1632, Academic Press, 2003.

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

Ap´endice Bibliogr´afico. Arqueolog´ıa, Antropolog´ıa y Fractales

181

Brown, C. T. ; Witschey, Walter R. T & Liebovitch, Larry S., “The Broken Past: Fractals in Archaeology”, Journal of Archaeological Method and Theory, Vol.12, No.1, pp. 37-78, Springer, US, 2005. Cavanagh, W. G. & Laxton, R. R., “The fractal dimension, rank-size, and the interpretation of archaeological survey data”, Johnson, I. (ed.1994), Methods in the Mountains: Proceedings of UISPP Commission IV Meeting, Mount Victoria, Australia, August 1993, pp. 61-64, Sydney University, Australia. Chadwick, Adrian,“Archaeology at the edge of chaos: further towards reflexive excavation methodologies”, Research School of Archaeology and Archaeological Science, University of Sheffield, 1997 en: http://www.assemblage.group.shef.ac.uk/3/3chad.htm Chapman John., Fragmentation in Archaeology. People, Places and Broken Objects in the Prehistory of South Eastern Europe, Routdledge, UK, 2000. Eglash, Ron, “Fractals in African Settlement Architecture”, Complexity, Vol. 4; No. 2, pp. 21-29, SFI, 1998. Eglash, Ron,African Fractals: Modern Computing and Indigenous Design, Rutgers University Press, New Brunswick, NJ, 1999. Eglash, R., Diatta, C. S., & Badiane, N., “Fractal structure in Jola material culture”, Ekistics, No. 368/369, pp. 367–371, 1994. Grace, Roger, “Chaos in Prehistory”, Oslo, 1991 en:http://www.hf.uio.no/iakh/forskning/sarc/iakh/lithic/CHAOS/chaoscon.html#anchor316331 Gibert, J. & Palmqvist, P., “Fractal analysis of Orce skull sutures”, Journal of Human Evolution, Vol. 28, pp. 561-575, Academic Press, 1995. Kohler, T. & Gumerman, G. (eds.), Dynamics in Human and Primate Societies. Agent-Based Modeling of Social and Spatial Processes, SFI Studies in the Science of Complexity, Oxford Univesity Press, Nueva Cork, 2000. Ib´an ˜ez, Jes´ us (ed.) Nuevos avances en la investigaci´ on social. La investigaci´ on social de segundo orden, Anthropos, Barcelona, 1990. Kennedy, S. K. & Lin, W. “A fractal technique for the classification of projectile point shapes”, Geoarchaeology, Vol. 3, No. 4, pp. 297–301, 1988. King, Geoffrey & Aallan, Lindh,“Fractal Enviromental changes and the evolution of culture”, McGlade & Van der Leeuw, (eds.), Time, process and structured

SMM-CIMAT

182

Gustavo Sandoval Garc´ıa

transformation in archaeology, pp. 254-268, Routledge, London, 1997. Laxton, R. R. & Cavanagh, W. G.,“The rank-size dimension and the history of site structure for survey data”, Journal of Quantitative Anthropology, Vol. 5, pp. 327–358, Kluwer Academic Publishers, Boston, 1995. Leakey, Richard & Lewin, Roger,La sexta extinci´ on. El futuro de la vida y de la humanidad, Metatemas 50, Tusquets, Barcelona, 1997. Lehner, Mark, “Fractal House of Pharaoh: Ancient Egypt as a Complex Adaptive System, a Trial Formulation”, Kohler, T. & Gumerman, G. (eds.), Dynamics in Human and Primate Societies. Agent-Based Modeling of Social and Spatial Processes, pp. 275-353, SFI Studies in the Science of Complexity, Oxford Univesity Press, Nueva Cork, 2000. L´opez Aguilar, Fernando,S´ımbolos del tiempo, Consejo Estatal para la Cultura y las Artes de Hidalgo, Pachuca, M´exico, 2005. L´opez Aguilar, Fernando & Bali, Guillermo, “Mesoam´erica, Una visi´on desde la teor´ıa de la complejidad”, Ludus Vitalis, Vol. II, No. 5, p 83-101, M´exico, 1995. L´opez Aguilar, Fernando & Rodr´ıguez Torres, Alfonso, “Cronolog´ıa y tiempos teotihuacanos. El otro lado del espejo”, Brambila, R. & Cabrera, R. (eds.), Los Ritmos de cambio en Teotihuac´ an: reflexiones y discusiones de su cronolog´ıa, pp. 59-69, INAH, M´exico, 1998. L´opez Aguilar, Fernando; Solar Valverde, L. & Vilanova de Allende, Rodrigo, “El Valle del Mezquital. Encrucijadas en la historia de los asentamientos humanos en un espacio discontinuo”, Arqueolog´ıa, pp. 21-40, Segunda ´epoca, INAH, M´exico, 1998. McGlade & Van der Leeuw (eds.),Time, process and structured transformation in archaeology, Routledge, London, 1997. Mac Leod, Iredale Joe, Chaos theory as applied to social change or Chaos theory end the ebb and flow of cultural change, 1998 en: http://www.squaresun.net/arch/index.htm#contents Miceli, J. et. al., “Teor´ıas de la Complejidad y el Caos en Ciencias Sociales. Modelos Basados en Agentes y Sociedades Artificiales”, 2005 en: http://www.anthropokaos.com.ar/ Mier, Raymundo, “Vicisitudes de la inestabilidad: apuntes para una reflexi´on so-

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

Ap´endice Bibliogr´afico. Arqueolog´ıa, Antropolog´ıa y Fractales

183

bre la noci´on de complejidad en antropolog´ıa”, Bolet´ın de antropolog´ıa americana, No 29, pp. 35-64, Instituto Panamericano de Geograf´ıa e Historia, M´exico, 1994. Mier, Raymundo, “Complejidad: bosquejos para una antropolog´ıa de la inestabilidad”, P´erez Taylor Rafael (ed.), Antropolog´ıa y Complejidad, pp.77-104, Gedisa, Barcelona, 2002. Morin, Edgar, Introducci´ on al pensamiento complejo, Gedisa, Barcelona, 1990. Oleschko, K.; Brambila, R.; Brambila, F.; Parrot, J. & L´opez, P., “Fractal analysis of Teotihuacan, Mexico”, Journal of Archaeological Science, Vol. 27, No. 11, pp. 1007–1016, Academic Press, 2000. P´erez Taylor, Rafael (ed.),Antropolog´ıa y Complejidad, Gedisa, Barcelona, 2002. Pumain, Dense, “City- size dynamics in urban systems”, McGlade & Van der Leeuw (eds.) Time, process and structured transformation in archaeology, pp. 97-117, Routledge, London, 1997. Pumain, Dense, Scaling laws and urban systems, 2003 en: ISCOM (www.iscom.unimo.it) Pumain, Denise &Tannier, C´ecile, “Fractals in urban geography: a theoretical outline and emprirical example”, Cybergeo: Revue europ´eenne de g´eographie, No 307, 2005 en: http://www.cybergeo.presse.fr/ Rees, D. ; Wilkinson, G.G.;Grace R. & Orton, R., “An Investigation of the Fractal Properties of Flint Microwear Images”, Journal of Archaelogical Science, Vol. 18, pp. 629-640, Academic Press, 1991. Renfrew, Colin, “Trajectory Discontinuity and Morphogenesis: The Implications of Catastrophe Theory for Archaeology”, American Antiquity, vol 43, No. 2, pp. 203-222, SAA, Nashville, 1978. Renfrew, C. & Cooke, K. (eds.),Transformations: Mathematical Approaches to Culture Change, Academic Press, NY, 1979. Renfrew, Colin; Rowlands, Michael & Segraves Barabara (eds.),Theory and explanation in archaeology. The Southampton Conference. Academic Press, London, 1982. Reynoso, Carlos,“Nuevos Paradigmas de modelizaci´on en antropolog´ıa”, 2003,

SMM-CIMAT

184

Gustavo Sandoval Garc´ıa

en: http://www.anthropokaos.com.ar/ Reynoso, Carlos,Complejidad y Caos: Una exploraci´ on Antropol´ ogica, SB Ediciones, Buenos Aires, 2006. Reynoso, Carlos, Antropolog´ıa de la M´ usica: De los g´eneros tribales a la globalizaci´ on. Vol. 2: Teor´ıas de la complejidad, SB Ediciones, Buenos Aires, 2006. Reynoso, Carlos,”The impact of chaos and complexity theories in spatial an´alisis. Problems and perspectives”, 2006 en: http://www.anthropokaos.com.ar/ Reynoso, Carlos, “Etnomusicolog´ıa y teor´ıas de la complejidad: Situaci´on y perspectivas”, Universidad de Buenos Aires, 2006 en: http://www.anthropokaos.com.ar/ Reynoso, Carlos & Castro, Dami´an, “Chaos and Complexity tools for Archaeology: State of Art and Perspectives”, 2006 en: http://www.anthropokaos.com.ar/ Reynoso, Carlos & Jezierski, Edgard, “A Genetic Algorithm problem solver for Archaeology”, Universidad de Buenos Aires, 2006 en: http://www.anthropokaos.com.ar/ Roberts, D. C. & Turcotte, D. L., “Fractality and self-organized criticality of wars”, Fractals Vol. 6, No. 4, pp. 351–357,1998. ´ Rodr´ıguez Alcalde, Angel; Alonso Jim´enez, Carmelo & Vel´ asquez Cano, Juli´an, “Fractales para la arqueolog´ıa: un nuevo lenguaje” , Trabajos de Prehistoria , Vol. 52, No. 1, pp. 13 - 24, Madrid, Espa˜ na,1995. Sherrat, Andrew, “Fractal Farmers patterns of Neolithic origins and dispersal”, Cherry, J.; Scarre, C.; Shennan, S. & Renfrew, C. (eds.) Explaining Social Change: Studies in Honour of Colin Renfrew, pp. 53-63, McDonald Institute for Archaeological Research, UK, 2004. Sol´e, Ricard V. et. al., ”Long-range correlations in the fossil record and the fractal nature of macroevolution”, Santa Fe Institute, sobretiro,1998. Spencer-Wood, S., “Cultural complexity, non-linear systems theory and multi scalar analysis”, Conferencia presentada en 26th Annual Chacmool Conference, 1993. Stemp, James W. & Stemp, Michael, “UBM Laser Profilometry and Lithic Use-

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza

Ap´endice Bibliogr´afico. Arqueolog´ıa, Antropolog´ıa y Fractales

185

Wear Analysis: A Variable Length Scale Investigation of Surface Topography”, Journal of Archaeological Science, Vol. 28, pp. 81-88, Academic Press, 2001. Stemp, James W. & Stemp, Michael, “Documenting Stages of Polish Development on Experimental Stone Tools: Surface Characterization by Fractal Geometry Using UBM Laser Profilometry”, Journal of Archaeological Science, Vol. 30, pp. 287-296, Academic Press, 2003. Stone, Tammy, “The Chaos Collapse: disintegration and reintegration of interregional systems”, Antiquity, Vol 73, No 279, pp. 110-118,1999. Tainter, Joseph, The collapse of complex societies, University Press, Cambridge,1988. Van der Leeuw, Sander, “Information flows, flow structures and the explanation of change in human institutions”. Van der Leeuw(ed.), Archaeological Approaches to the Study of Complexity, pp. 230-239, Amsterdam: University Printing Office, ´ Amsterdam,1981. Van der Leeuw, Sander, “Las revoluciones revisadas nuevamente”, Manzanilla, L. (ed.), Coloquio V. Gordon Childe, pp. 235-264, IIA-UNAM, M´exico,1988. Van der Leeuw, Sander,The Archaeomedes Project - Understanding the natural and anthropogenic causes of land degradation and desertification in the Mediterranean, Luxemburg: Office for Official Publications of the European Union,1998. Van der Leeuw, Sander, “Vulnerability and the integrated study of socio-natural phenomena”, IHDP Update 2/01, April 2001:6-7, en: http://www.santafe.edu/˜erica/papers/sander Van der Leeuw, Sander, “Non-linear processes and archaeology.”, Renfrew y Bahn (eds.), Key concepts in archaeology, pp. 182-186, Routledge, London, 2004. Vilanova de Allende, Rodrigo, Aspectos fractales del patr´ on de asentamiento mexica en el Valle del Mezquital, Tesis de licenciatura, ENAH, M´exico, 2001. Wagner, Roy,“The fractal person”, Maurice Godelier & Marilyn Strathern (eds.), Big men and great men. Personifications of power in Melanesia, University Press, Cambridge,1991. Wallerstein, I.,Abrir las ciencias sociales, Siglo XXI, M´exico,1996. Wallerstein, I., “Sistemas hist´oricos como sistemas complejos”, Wallerstein, I.

SMM-CIMAT

186

Gustavo Sandoval Garc´ıa

(ed.), Impensar las Ciencias Sociales, pp. 249-256, S. XXI, M´exico,1999. Wallerstein, I., Las incertidumbres del saber, Gedisa, Barcelona, 2005. Xaver Faust, Franz, “Un pr´estamo de la geometr´ıa fractal para la descripci´on de culturas emparentadas: lo que hace las culturas amerindias similares entre ellas”, Thule Revista italiana di Studi americanistic, No.1,pp.131-154, Centro Studi Americanistici“ Circulo Amerindiano” 1996. Zubrow, Ezra,“Fractals, cultural behavior, and prehistory”, American Archeology, Vol. 5, No,1, pp. 63–77, 1985.

Matem´atica Aplicada y su Ense˜ nanza