Persecución

PERSECUCION TRAYECTORIA “Un punto huye en l´ınea recta perpendicularmente, el otro lo persigue siguiendo una curva. Lo alcanzar´ a s´olo si el perseguidor se mueve m´ as r´ apido. En que punto lo alcanza y cuanto tiempo tarda, depende de la distancia que los separa y de la relaci´on de velocidades.”. Supongamos que la presa, identificada con la letra Q huye a velocidad constante v en la direcci´on de y a partir de su origen O, y el perseguidor, identificado con la letra P , est´a a una distancia a de la presa sobre el eje x inicialmente en el punto A, y la persigue con rapidez constante u sobre un recorrido curvo, tal que la relaci´on de velocidades λ = v/u es constante. Ver figura al final. Es obvio que el recorrido curvo comienza tangente al eje x. Luego se desv´ıa paulatinamente en la medida que recorrido avanza sobre su curva, teniendo una curvatura c´ oncava positiva, osea hacia el valor positivo de y. La persecuci´on se lleva a cabo con la mirada del perseguidor siempre sobre la presa, de manera tal que su avance en el plano es tal que la pendiente de recta dada por la derivada siempre apunta hacia la presa. De esta forma el recorrido se realiza sobre la curva (λ < 1) y=

1 1 − λ2




 −λ     λ x x x − (1 + λ) + aλ (1 − λ) 2 a a

p=

1 dy = dx 2

  λ  −λ  x x − a a

(1)

cuya derivada, que denominamos p, se calcula como en (1.b). Se ha expuesto el caso donde λ < 1, de otra forma el perseguidor nunca alcanzar´ıa a la presa. Debido a la constancia de la velocidad v de la presa, la distancia η = |OQ| se calcula como η = v t = y − x p (p < 0), donde el tiempo t se mide a partir de la posici´on original. El perseguidor alcanza a la presa cuando y de la curva (1.a) coincide con d = η = v T , para cuando x = 0. Esto da el resultado d = |OQ| =

aλ 1 − λ2

T =

d v

(2)

Lo que nos indica que el tiempo de la atrapada es T . La distancia d es la ordenada en el origen de la curva (1.a), s´olo cuando λ < 1. Cuando λ se acerca a 1, la distancia d puede ser muy grande, como lo indica (2.a). Geom´etricamente se tiene que − tan α = p =

dy dx

sec α =

 1 + p2

(3)

Pero tambi´en, por una cambio de variables z = λ ln(x/a), resulta en p=

ez − e−z = senh z 2

 ez + e−z = cosh z 1 + p2 = 2

(4)

 λ x e = a

(5)

satisfaci´endose las siguientes ecuaciones diferenciales  dp x = λ 1 + p2 dx

dz =λ x dx

z

De hecho la ecuaci´on diferencial (5.a) es la que nos da la soluci´ on (1). Por lo que finalmente se obtiene |P Q| = x sec α = x



1+

p2

x = x cosh z = 2

  λ  −λ  x x + a a

que es la distancia que separa al perseguidor P de la presa Q en todo instante t = η/v = ( y − x p )/v.

(6)

Por otro lado, el valor λ = 1 (iguales rapideces) produce una singularidad en la ecuaci´ on (1.a), como se observa en el primer factor. Por consiguiente, la soluci´ on del problema en este caso es otra (λ = 1)   x a x2 − a2 − ln y= 4a 2 a

1 dy = p= dx 2



x2 − a2 ax

 (7)

cuya derivada para este caso, que denominamos de nuevo p, se calcula como en (7.b), que es una particularizaci´on de (1.b) para λ = 1 (la derivada no contiene la singularidad). Sorpresivamente, en el l´ımite cuando el perseguidor P se acerca a x = 0 (la curva es asint´ otica), la distancia entre el mismo P y la presa Q tiende a ser constante y, particularizando (6) para λ = 1, casualmente da lim |P Q| =

x→0

a 2

λ=1

(8)

Lo que indica que el perseguidor y la presa en el l´ımite se mantienen a igual distancia, que es la mitad de la distancia a que los separaba al principio y nunca la alcanza. La soluci´ on al problema para λ > 1 sigue siendo (1), pero es innecesaria, puesto que el alcance de la presa por el perseguidor es imposible en este caso. Adem´as la curva (1.a) es asint´otica al eje x = 0, pero nunca lo corta.

Fig. Trayectoria de la curva en el problema de la persecuci´on.

REFERENCIAS: [1] Kuipers, L.; Timman, R (Ed.) Handbook of Mathematics. Pergamon Press (Oxford), 1969. pp.339-341. Andr´es L. Granados M., 16/Mayo/2015.