PERSPECTIVA TRIDIMENSIONAL MEDIANTE PROYECCIONES AXONOMETRICAS Y CONICAS Andrés L. Granados M. Departamento de Mecánica. Universidad Simón Bolívar. Valle de Sartenejas, Edo. Miranda, Apdo.89000, Caracas 1080A, Venezuela.
[email protected]
RESUMEN En este trabajo se presentan las relaciones geométricas necesarias para realizar la visualización tridimensional de objetos mediante el empleo de perspectivas generadas por las proyecciones axonométricas (isometrías, dimetrías o trimetrías) y cónicas (con uno o dos puntos de fuga). Los objetos a visualizar deben estar definidos mediante puntos cuyas coordenadas cartesianas tridimensionales son conocidas. Las proyecciones se plantean como una transformación de un espacio tridimensional de los puntos que forman el objeto a visualizar a un espacio bidimensional de las coordenadas de proyección en el plano de visualización. Las proyecciones axonométricas dependen de tres parámetros angulares que constituyen los ángulos de Euler empleados en la descripción del movimiento de cuerpos rígidos. Estos ángulos son: ángulo a la línea de nodos, ángulo zenital del eje de giro y ángulo de rotación alrededor del eje de giro inclinado. Las proyecciones axonométricas conservan inalteradas las distancia con la lejanía aparente. Las proyecciones cónicas dependen de dos parámetros de distancia constituidos por la distancia horizontal al origen del sistema de coordenadas tridimensional y la altura al mismo punto, siendo ambas distancias medidas desde el observador. Adicionalmente, la proyección cónica depende de dos parámetros angulares formados por el ángulo de soslayo y el ángulo de rodeo al objeto a visualizar. Estas proyecciones producen un efecto de lejanía aparente, reduciendo las distancias verticales y horizontales en la medida que se aleja cierta porción del objeto. Todos los parámetros en ambas proyecciones, si son variados apropiadamente, permiten realizar navegación visual alrededor del objeto observado. Estas proyecciones son adecuadas para objetos formados por superficies poliédricas, como en el caso de los elementos finitos. En los casos restantes las superficies deben discretizarse mediante elementos poliédricos muy pequeños, de manera que produzcan un efecto aparente de suavidad. PROYECCIONES AXONOMETRICAS Las proyecciones axonométricas [1,2] son un tipo particular de proyección ortogonal sobre el plano de visualización o de proyección (PP) paralelo al plano XZ de la Fig.1. Se fundamenta en que el cuerpo a proyectar se rota un
ángulo sobre el plano horizontal XY alrededor del eje Z, y luego se rota un ángulo sobre el plano MZ, alrededor del eje N. Obviamente, el ángulo permanece nulo.
Figura 1. Angulos de Euler Los ángulos involucrados , y son los denominados ángulos de Euler [3] y están representados en la Fig.1. Estos ángulos representan la transformación mediante rotaciones del sistema de coordenadas OXYZ al sistema de coordenadas oxyz. La rotación está en el plano XY , alrededor del eje Z. La rotación es alrededor de la línea de los nodos N. La rotación , alrededor del eje z, está en el plano NM, el cual contiene a su vez al plano xy. El resultado de todas estas transformaciones se pueden expresar analíticamente mediante una operación matricial, la cual puede incluir las tres rotaciones mencionadas. El resultado de la proyección axonométrica sería entonces las coordenadas ( X , Z ) de dicha transformación global, a partir de las coordenadas ( x , y , z ) del objeto a proyectar. Estos resultados quedan resumidos mediante la siguiente expresión matricial, considerándose = 0.
cos cos sin cos sin X sin cos Y cos cos sin Z sin sin
cos sin sin cos cos sin sin cos cos cos sin cos
sin sin x cos sin y z cos (1)
En la proyección axonométrica los ejes x , y y z , originalmente de igual medidas, pueden en la figura proyectada llegar a medir diferentes. A continuación se describen algunnos casos particulares de la proyección axonométrica, dependiendo de cómo son estas medidas. Isometrías En la proyección isométrica, los ejes proyectados sobre el plano XZ , miden todos ellos 6/3 0.8165 de la medida original de los ejes x , y y z . Las medidas de los ejes proyectados son todas iguales. Para obtener este resultado la transformación de coordenadas (1) debe considerar que los ángulos correspondientes tengan los siguientes valores : = 0 , = 45 , = arcos6/3 35.26 . Con estos valores de los ángulos la transformación (1) se reduce a
X
2 ( x y) 2
Z
6 x y z 3 2
(2)
donde se ha considerado sólamente la proyeccción isométrica sobre el plano XZ . Las coordenadas (X,Z) en el plano del cuadro permiten la visualización en perspectiva de un objeto tridimensional con coordenadas (x,y,z) . Dimetrías En la proyección dimétrica, los ejes proyectados sobre el plano XZ , miden dos de ellos, x y y , iguales, y el eje z mide diferente. Para obtener este resultado la transformación de coordenadas (1) debe considerar que los ángulos correspondientes tengan los siguientes valores : = 0 , = 45 , arcos6/3 .
oxyz .El ángulo o es el ángulo horizontal visto desde el punto de estación (PE), entre el punto de vista (PV) y el punto (0,0,h), estando ambos puntos sobre la línea del horizonte (LH) a una altura h sobre el plano de tierra (Ver Fig.2). Se ha supuesto aquí que el origen del sistema de coordenadas oxyz se encuentra sobre la línea de tierra (LT). Las cantidades L y D son las distancias horizontales entre el punto (0,0,h) y los puntos de fuga (PF) izquierdo y derecho, respectivamente. El ángulo de rotación del eje ox del sistema de coordenadas oxyz, respecto a la línea de tierra es . De acuerdo a esto se tiene que ro tiene dos componentes xo y yo perpendiculares entre si definidas como
yo L xo tan xo D yo
xo ro sen o
yo ro cos o
(3)
Dos Puntos de Fuga Considérese dos puntos auxiliares 1 y 2 ubicados en las coordenadas (x,0,y) y (0,y,z), respectivamente. Adicionalmente, defínase un sistema de coordenadas OXY, cuyo origen coincide con el sistema de coordenadas oxyz , pero está ubicado sobre el plano del cuadro (PP) que contiene la línea del horizonte (LH) y la línea de tierra (LT). El eje OX de este sistema coincide con la línea de tierra. El sistema OXY servirá para visualizar cualquier objeto en perpectiva sobre el plano del cuadro. De acuerdo a lo planteado anteriormente, la visualización en perspectiva se puede hacer planteando el cambio de coordenadas del sistema de coordenadas oxyz al sistema de coordenadas OXY. Así, se tiene que las coordenadas (X1 ,Y1 ) del punto 1 se pueden obtener mediante la aplicación del teorema del seno al triángulo entre los puntos PE , (0,0,h) y 1. De esta forma resulta que
rx x sen ( o / 2) sen ( x o )
(4)
Similarmente, el teorema del coseno permite obtener que rx2 ro2 x 2 2ro x cos( o / 2)
(5)
La resolución para x resulta en xsen( o / 2) x o arcsen ro2 x 2 2ro x cos( o / 2)
(6)
Trimetrías En la proyección trimétrica, todos los ejes proyectados sobre el plano XZ miden distinto. Para lograr esto sólo basta considerar que = 0 , 45 .
con lo cual se obtienen las coordenadas deseadas X 1 y o tan x x o tan p (h z ) / D
PROYECCIONES CONICAS La proyección empleada para la visualización de un objeto es de tipo cónica de manera que se visualice el efecto de la distancia en el tamaño de las diferentes partes de dicho objeto. La perspectiva obtenida con este tipo de proyección se denomina perspectiva angular.
Un procedimiento similar se puede aplicar para obtener las coordenadas (X2 ,Y2 ) del punto 2 mediante la aplicación del teorema del seno al triángulo entre los puntos PE , (0,0,h) y 2. Así se tiene que ry y (8) sen( o ) sen(o y )
Perspectiva Angular La perspectiva usada es de tipo angular y de dos puntos de fuga [1,2]. Considérese que ro es la distancia horizontal entre el punto de estación (PE) y el origen del sistema de coordenadas
Similarmente, el teorema del coseno permite obtener que
Y1 ( y o tan x x o ) tan p z
ry2 ro2 y 2 2ro y cos( o )
(7)
(9)
izquierdo (PFL)coincide con el punto de vista (PV). Algo similar purede obtenerse con el punto de fuga derecho (PF D), haciendo = 90o. REFERENCIAS [1] Smart, V, 1975, Dibujo del Ciclo Diversificado, 4 ta Edición, Venezuela. [2] Schaarwächter, G., Perspectiva para Arquitectos, 2 da Edición, Editorial Gustavo Gili, Barcelona, España, 1970. [3] Goldstein, H., Classical Mechanics, 2nd Edition, Addison-Wesley, 1980.
Figura 2. Perspectiva Angular de Dos Puntos La resolución para y resulta en ysen ( o ) y o arcsen 2 2 ro y 2ro y cos( o )
(10)
con lo cual se obtiene
X 2 yo tan y xo tan p (h z ) / L
Y2 ( xo yo tan y ) tan p z
(11)
Finalmente, resulta que las coordenadas (X,Y) del punto P se obtienen con la intersección de las dos rectas PFL-1 y PFD-2 definidas por
Y h
h Y1 h Y2 ( L X )Y h (D X ) L X1 D X2
(12)
La coordenada X se resuelve haciendo un simple despeje de la igualación hecha en las Ecs. (12)
h Y2 h Y1 L D D X L X 1 2 X h Y2 h Y1 D X 2 L X1
(13)
La coordenada Y se resuelve de alguna de las dos ecuaciones de rectas en las Ecs. (12). Las coordenadas (X,Y) en el plano del cuadro permiten la visualización en perspectiva de un objeto tridimensional con coordenadas (x,y,z) . Los parámetros ro , o , h y de esta perspectiva pueden ser definidos por el usuario de manera que dé la sensación de navegación en el espacio del punto de observación. Un Punto de Fuga El caso particula de un sólo punto de fuga se obtiene haciendo = 0o. En estas circunstancias el punto de fuga
