Péndulo SImple con Fricción

Modelado y Simulación de Sistemas Péndulo

Universidad Politécnica de Victoria Ingeniería en Mecatrónica

Modelado y Simulación de Sistemas Ecuaciones Dinámicas de Sistemas INSTRUCTOR Dr. Roger Miranda Colorado

QUE PRESENTA       

Perla Estefanía Berrones Rivera Bernardo Castillo Cisneros Daniel Orlando López García Samuel Isaí Guevara Martínez Yael Sanngenis Guzmán Orozco Cinthia Perales Moreno Martín Alonso Salazar Martínez

Cd. Victoria, Tamaulipas a 12 de febrero de 2014

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Modelado y Simulación de Sistemas Péndulo

Contenido Enunciado ..................................................................................................................... 3 Diagrama de bloques ..................................................................................................... 7 Código de MATLAB y gráficas .................................................................................... 8

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Modelado y Simulación de Sistemas Péndulo Enunciado 1. Determinar las ecuaciones dinámicas del siguiente sistema así como su comportamiento. Ver figura 1.

Figura 1 Esquema de un péndulo

Se ubica la coordenada generalizada como el ángulo 𝛳, de otra manera se utilizarían dos variables para representar el desplazamiento del péndulo, lo que dificultaría el problema. Sin embargo, el ángulo 𝛳, permite representar el desplazamiento del péndulo con una sola variable. Es decir, se mueve de manera en que existe un ángulo, en donde se va desplazando. Tenemos que: 𝛳=𝑞 Se considera al péndulo como un vector, puesto que de éste surgen componentes en 𝑥 y 𝑦. Para 𝑥 se considera el seno del ángulo, y para 𝑦, el coseno del ángulo. A su vez, estas expresiones se multiplican por la longitud, respectivamente, tomando en consideración que para 𝑦, la longitud es negativa, debido a que la componente del vector 𝑦, tiene una dirección en el plano cartesiano hacia abajo. De lo anterior obtenemos que: 𝑥 = ℓ sen 𝜃 𝑦 = −ℓ cos ϴ Donde: ℓ = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑝é𝑛𝑑𝑢𝑙𝑜 𝜃 = á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 Si a los vectores de posición le aplicamos una primera derivada con respecto al tiempo, obtendremos la velocidad de los vectores, es decir 𝑞̇ : S𝑖 𝑥 = 𝑙 sen 𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝑡

= 𝑥̇ = 𝑢′ cos 𝑢 𝑥̇ = 𝑙ϴ̇ 𝐶𝑜𝑠ϴ

Y para 𝑦, tenemos:

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Modelado y Simulación de Sistemas Péndulo S𝑖 𝑦 = −𝑙 cos 𝜃 𝑑𝑥 𝑑𝑡

= 𝑦̇ = 𝑢′ sen 𝑢 𝑦̇ = 𝑙ϴ̇ sen ϴ

Considérese la siguiente identidad trigonométrica (𝑠𝑒𝑛2 𝛳 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝛳 = 1). Al derivar para obtener la velocidad de las componentes, es decir, el vector velocidad. Las componentes de este vector se elevan al cuadrado para obtener su raíz, lo cual es equivalente a obtener la norma del vector, Si la norma de un vector es: ‖𝑣‖ = |√(𝑣, 𝑣)| = |√𝑥 2 + 𝑦 2 | Entonces: √𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 = √ℓ2 θ2̇ 𝑠𝑒𝑛2 θ + ℓ2 θ̇2 cos 2 θ Factorizando los términos comunes: ̇ √𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 = √ℓ2 𝜃̇ 2 (𝑠𝑒𝑛2 θ + cos 2 θ) Como se vio anteriormente la identidad trigonométrica, 𝑠𝑒𝑛 2 θ + cos 2 θ, es igual a 1, lo cual se muestra a continuación: √𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 = √ℓ2 𝜃̇ 2 2

(√𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 ) = (√ℓ2 𝜃̇ 2 )

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𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 = ℓ2 𝜃̇ 2 Éste es el vector posición, y se puede representar de la siguiente manera: 𝑥 𝑣 = (𝑦 ) Al derivar la posición, el resultado es la velocidad. 𝑥̇ 𝑣 = 𝑟̇ = ( ) 𝑦̇ Se recuerda que no se puede multiplicar un vector por un vector, puesto que sus dimensiones no se admiten para multiplicar, por lo tanto se multiplica ese vector por su transpuesta, y así se puede multiplicar, lo cual da como resultado la norma de ese vector, o sea su longitud. ‖𝑣‖ 2 = 𝑉 𝑇 . 𝑉 4

Modelado y Simulación de Sistemas Péndulo Lo anterior que se mostró (𝑥̇ + 𝑦̇ = ℓ2 ϴ̇ 2 𝑆𝑒𝑛2 ϴ + ℓ2 ϴ̇ 2 Cos 2 ϴ ), es la norma que dio como resultado lo siguiente: ‖𝑣 ‖2 = ℓ2 𝜃 2 Una vez obtenidos los datos anteriores, la norma de la velocidad y altura, se sustituyen en las ecuaciones dinámicas, según donde se ubique. En la ecuación de la energía cinética se sustituyó en la velocidad, la norma del vector velocidad, se arregla para obtener la siguiente forma: 𝑇=

1 𝑚‖ 𝑣 2 ‖ 2

1 2 = 𝑚ℓ2 ϴ̇ 2 1 = 𝑚ℓ2 𝑞̇ 2 2 En la ecuación de la energía potencial se sustituye en la altura, el negativo de la altura multiplicado por el cos 𝑞, que es el complemento del vector a la altura correspondiente del vector. Se arregla y se muestra a continuación la ecuación de la energía potencial 𝑈 = 𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑔(−ℓ cos 𝜃 ) = −mgℓ cos 𝜃 La resta de ésstas dos ecuaciones dinámicas, genera el Lagrangiano, que es la diferencia entre la energía cinética y la energía potencial. La energía potencial, por lo general, es negativa, pero al obtener un resultado negativo en la ecuación anterior, el Lagrangiano toma forma de suma de potencias. 𝐿=

1 𝑚ℓ2 𝑞̇ 2 + 𝑚𝑔ℓ cos 𝑞 2

Ya obtenido el Lagrangiano, se procede a obtener las ecuaciones de Euler-Lagrange, la cual se muestra a continuación: 𝑑 𝜕𝐿 𝜕𝐿 − =𝜏 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝜕𝑞 Se buscan los términos, derivando el Lagrangiano, según se deseé 𝑑 𝜕𝐿 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇

= 𝑚ℓ2 𝑞̈

;

𝜕𝐿 𝜕𝑞

= −𝑚𝑔ℓ sen 𝑞

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Modelado y Simulación de Sistemas Péndulo Considerando un coeficiente de fricción que se opone a la fuerza que se le da al péndulo. 𝜏 = 𝑓 − 𝑏𝑞̇ Con esta ecuación, se pueden sustituir las obtenidas anteriormente. Se sustituyen las derivadas obtenidas. 𝑚ℓ2 𝑞̈ + 𝑚𝑔ℓ sen 𝑞 = 𝑓 − 𝑏𝑞̇ Se despeja 𝑓, para obtener la ecuación de la siguiente manera. 𝑚ℓ2 𝑞̈ + 𝑚𝑔ℓ sen 𝑞 + 𝑏𝑞̇ = 𝑓

Esta es la ecuación de un péndulo.

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Modelado y Simulación de Sistemas Péndulo Diagrama de bloques Una vez obtenida esta ecuación se realiza el diagrama de bloques, despejando a la derivada de mayor orden, la cual es 𝑞̈ . 𝑚ℓ2 𝑞̈ + 𝑚𝑔ℓ sen 𝑞 + 𝑏𝑞̇ = 𝑓 𝑓 − 𝑚ℓ2 𝑞̈ = 𝑚𝑔ℓ sen 𝑞 + 𝑏𝑞̇ −𝑚ℓ2 𝑞̈ = 𝑚𝑔ℓ sen 𝑞 + 𝑏𝑞̇ − 𝑓 𝑚ℓ2 𝑞̈ = −𝑚𝑔ℓ sen 𝑞 − 𝑏𝑞̇ + 𝑓 𝑞̈ =

−𝑚𝑔ℓ sen 𝑞 − 𝑏𝑞̇ + 𝑓 𝑚ℓ2

Despejando 𝑞̈ , podemos realizar el diagrama de bloques, este fue realizado en simulink. Ver figura 2.

Figura 2 Diagrama de bloques de un Péndulo Simple con fricción

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Modelado y Simulación de Sistemas Péndulo Código de MATLAB y gráficas >> %Código para configurar los parámetros M y K, y obtención de sus gráficas según el diagrama de bloques >> m=1; %Valor de masa >> g=9.81; %Valor de la gravedad >> l=2; %Valor de longitud >> b=1; %Valor de b o coeficiente de fricción >> %Se introduce el bloque To Workspace al diagrama de bloques y se exporta como structure with time en el workspace. Se grafica con plot y las direcciones de los valores. >>plot(q.time,q.signals.values),grid %Grafica los valores obtenidos del workspace >>title('Péndulo sin fricción') %Asigna el título a la tabla >>xlabel('Tiempo'); ylabel('Theta') %Asigna nombres a los ejes

Fig. 1. Gráfica del péndulo simple con fricción

Se observa como el ángulo del péndulo va decreciendo, para quedar en un movimiento casi estático. Ver figura 3.

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Modelado y Simulación de Sistemas Péndulo

Fig. 4. Gráfica del péndulo simple sin fricción

Cuando un péndulo no contiene fricción, éste puede seguir oscilando mediante ondas senoidales infinitamente. Ver figura 4. Se puede observar las diferencias entre ambas gráficas, y cómo es importante añadir la fricción, ya que esta genera una salida que se acerca mayormente a la realidad, puesto que todos los sistemas reales contienen cierta fricción la cual es generada por agentes externas, fuerzas, etc.

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