Parametros de un Controlador PID para una Planta

UNIVERSIDAD VERACRUZANA FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA ELÉCTRICA

“DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE UN CONTROLADOR PID PARA UNA PLANTA CON FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA CONOCIDA “

TESINA Que para obtener el título de: INGENIERO MECÁNICO ELÉCTRICISTA

PRESENTA: MAGNO GUERRERO NABOA

DIRECTOR: MTRO. MARCOS GUSTAVO CASTRO

XALAPA, VER.

JUNIO 2012

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Dedicatorias A MIS PADRES Por el apoyo brindado para realizar mi trayecto escolar y culminar con mis estudios universitarios. Por apoyarme en los momentos difíciles que se presentaron en este duro camino de la educación.

A MIS HERMANOS Por apoyarme estos años tanto económicamente como moralmente y mostrarme el ejemplo del trabajo duro, por estar conmigo en las buenas y en las malas. Gracias.

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ÍNDICE INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................ 6 HIPÓTESIS ................................................................................................................................. 7 CAPÍTULO 1 DEFINICIONES .................................................................................................. 8 1.1 Introducción ........................................................................................................................................... 8 1.2 Conceptos básicos .................................................................................................................................. 8 1.3 Sistemas de control en lazo abierto y sistemas de control en lazo cerrado........................................... 10 1.4 ejemplos de sistemas de control .......................................................................................................... 12

CAPÍTULO 2 RESPUESTA DE LOS SISTEMAS DE CONTROL ........................................ 15 2.1 Introducción ......................................................................................................................................... 15 2.2 Función de transferencia ...................................................................................................................... 15 2.3 Modelado matemático de sistemas de control .................................................................................... 17 2.3.1 Sistemas eléctricos ........................................................................................................................ 17 2.3.2 Sistemas mecánicos ....................................................................................................................... 18 2.4 Diagrama de bloques de sistemas de control ....................................................................................... 20 2.5 Respuesta transitoria y estacionaria .................................................................................................... 21 2.5.1 Estabilidad ..................................................................................................................................... 22 2.5.2 Sistemas de primer orden .............................................................................................................. 22 2.5.3 Sistemas de segundo orden ........................................................................................................... 26 2.5.4 Especificaciones de la respuesta transitoria de sistemas de segundo orden .................................... 27 2.6 Errores en estado estacionario en los sistemas de control ................................................................... 30

CAPÍTULO 3 CONTROLADORES ........................................................................................ 32 3.1 Introducción ......................................................................................................................................... 32 3.2 Clasificación de los controladores ........................................................................................................ 33 3.3 Controlador de dos posiciones o controlador on-off ............................................................................ 33 3.4 controlador proporcional ..................................................................................................................... 34

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3.5 Controlador integral............................................................................................................................. 34 3.6 Controlador proporcional integral (PI) ................................................................................................. 35 3.7 Controlador derivativo ......................................................................................................................... 36 3.8 controlador proporcional derivativo .................................................................................................... 36 3.9 Controlador proporcional integral derivativo (PID) .............................................................................. 37 3.9.1 Reglas de Ziegler - Nichols para sintonizar controladores PID ......................................................... 38 3.9.2 Modificaciones al controlador PID.................................................................................................. 39 3.10 Compensadores ................................................................................................................................. 41 3.11 Compensación en serie y en paralelo ................................................................................................. 41 3.12 Metodología para el diseño de un compensador de atraso ................................................................ 42 3.13 Metodología para el diseño de un compensador de adelanto ............................................................ 43 3.14 Diseño de un compensador de atraso-adelanto ................................................................................. 43

CAPÍTULO 4 DISEÑO DE UN CONTROLADOR PID ......................................................... 44 4.1 Introducción ......................................................................................................................................... 44 4.2 Análisis de la planta ............................................................................................................................. 44 4.3 Análisis del sistema con un controlador proporcional (Kp) ................................................................... 49 4.4 Análisis del sistema con un controlador PD ......................................................................................... 61 4.5 Análisis del sistema con un controlador PI ........................................................................................... 69 4.6 Análisis del sistema con un controlador PID ......................................................................................... 75 4.7 Análisis del sistema con una entrada perturbación .............................................................................. 83 4.8 Análisis del sistema con un controlador I-PD........................................................................................ 85

CONCLUSIONES...................................................................................................................... 88 BIBLIOGRAFÍA ....................................................................................................................... 89

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Introducción La obtención de la función de transferencia de los controladores PID puede realizarse de varias formas. Se obtiene su función de transferencia con ayuda del lugar geométrico de las raíces y con el análisis de la respuesta en el dominio de la frecuencia. Otra alternativa es analizar el sistema por medio del modelado y análisis en el espacio de estados. Antes de abordar la forma de obtener la función de transferencia se necesita conocer e interpretar conceptos de la ingeniería de control. Algunos de ellos son: sistemas de control en lazo cerrado y lazo abierto, las acciones de control, función de transferencia, polos y ceros, variables de entrada y salida, diagramas de bloques, respuesta del sistema para entradas típicas, etc. El presente trabajo presenta las definiciones de la ingeniería de control, la respuesta de los sistemas de control a entradas de referencia típicas y las acciones de control en los primeros tres capítulos. Se analiza la respuesta para una planta con función de transferencia conocida cuando se tiene una acción de control proporcional, control proporcional derivativo, control proporcional integral, control proporcional integral derivativo y un control I-PD. Se comparan las respuestas con los distintos controladores para observar como se mejora la respuesta, con el objetivo de elegir el controlador que genere la mejor respuesta del sistema de control. Para obtener la primera referencia de comparación se obtiene la respuesta de la planta sin acción de control ante una entrada de referencia escalón unitario y una entrada rampa unitaria. Los análisis se realizan por medio del lugar geométrico de las raíces y las gráficas y programas se obtienen con el software Matlab ®. Se procede con el diseño del controlador a partir de la función de transferencia de la planta, se desconoce la naturaleza física de la planta. Además no se realiza de manera física el controlador. El objetivo es determinar la función de transferencia del controlador que genere la mejor respuesta del sistema de control.

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Hipótesis La función de transferencia de la planta es la que se presenta a continuación:

Se busca obtener la función de transferencia de un controlador para que el sistema ante una entrada de referencia escalón unitario, cumpla con una sobreelongación máxima de 20% y mayor de 2% y un tiempo de asentamiento menor de 4 segundos. Además se busca que el error en estado estacionario para una entrada de referencia rampa unitaria sea igual con cero.

Hipótesis “Un controlador PID en el sistema con una entrada de referencia escalón unitario genera una curva de respuesta con una sobreelongación máxima de 20% y mayor de 2%, un tiempo de asentamiento menor de 4 segundos y con una entrada de referencia rampa unitaria se obtiene un error igual con cero en estado estacionario.”

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Capítulo 1 Definiciones 1.1 Introducción La Ingeniería de control es una disciplina que se enfoca en modelar matemáticamente una gama diversa de sistemas dinámicos y el diseño de controladores que harán que estos sistemas se comporten de la manera deseada. Aunque tales controladores no necesariamente son electrónicos y por lo tanto la ingeniería de control es a menudo un subcampo de otras ingenierías como la mecánica. Dispositivos como circuitos eléctricos, procesadores digitales y los microcontroladores son muy utilizados en todo sistema de control moderno. La ingeniería de control tiene un amplio rango de aplicación en áreas como los sistemas de vuelo y de propulsión de los aviones de aerolíneas, militares, en la carrera espacial y últimamente en la industria automotriz.

1.2 Conceptos básicos Un sistema de control es aquel donde se controla la salida (o salidas) del sistema para tener un valor específico o cambiarlo, según lo determina la entrada (o entradas) del sistema. Un sistema de control consiste en un conjunto de aparatos coordinados de tal manera que proporcionen la respuesta deseada en un determinado proceso o planta, entendiendo por ambos cualquier operación que se quiere controlar. En un sistema de control se encuentran distintos tipos de variables. Se tiene una o varias variables de entrada también conocidas como excitaciones o consignas y set point, estas expresan el comportamiento que se desea conseguir a la salida. Además se encuentra una o varias variables de salida, también llamadas respuesta. También pueden existir perturbaciones que actúen sobre el sistema en forma de acciones incontroladas que pueden afectar al sistema en cualquier punto del mismo, y su efecto será generalmente una desviación sobre la respuesta deseada. Por ejemplo, un sistema puede ser el piloto automático de un avión, en cuyo caso, la entrada será el rumbo marcado por el piloto, la salida del sistema será el rumbo real seguido por la aeronave y la perturbación será el viento incidente sobre el avión. Una planta puede ser un equipo o una sola parte de él, es el lugar donde se controla la variable. Un tanque donde se mantiene controlado su nivel, un tanque donde se controla la temperatura del líquido, un avión donde se controla el rumbo, 8|P á gin a

un motor donde se controla la velocidad de giro de su eje, son ejemplos de plantas. A la planta también se le conoce como proceso. El control realimentado es una operación que se realiza sobre la planta, con la que se consigue que a pesar de las perturbaciones, el sistema siga una entrada de referencia. Esto se consigue comparando la señal de la salida con la señal deseada (se puede trabajar con la diferencia de ambas señales) y actuando en consecuencia. En un sistema de control de temperatura se coloca un sensor de temperatura dentro del líquido en el tanque (planta), el cual tiene la función de convertir la temperatura a voltaje y enviar la señal a un amplificador y funcionar como el lazo de realimentación. El controlador es un elemento en el sistema en lazo cerrado que tiene como entrada la señal de error y produce una salida que se convierte en la entrada al elemento correctivo. La relación entre la salida y la entrada al controlador con frecuencia se denomina acción de control. Existen tres acciones de control: proporcional, integral y derivativo. En algunos sistemas es necesario mejorar el desempeño del controlador, lo cual se logra al introducir en el sistema de control elementos adicionales denominados compensadores. Esta alteración en el desempeño se denomina compensación. Controlador o compensador: expresión matemática que describe el comportamiento del sistema. Si una acción de control funciona aunque se haya equivocado en el modelo, se dice que esa ley es robusta. Un controlador puede construirse con amplificadores operacionales, con dispositivos mecánicos, con redes RC (eléctricas, mecánicas, neumáticas, hidráulicas o una combinación de ellas). Un servosistema es un sistema de control realimentado en el que se hace especial hincapié a la capacidad del sistema de seguir una referencia. Regulador: sistema de control realimentado en el que se hace especial hincapié a la capacidad del sistema de rechazar las perturbaciones. En los reguladores la referencia no cambia, es una señal continua y si cambia, lo hace lentamente.

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1.3 Sistemas de control en lazo abierto y sistemas de control en lazo cerrado Los sistemas en los cuales la salida no tiene efecto sobre la acción de control se denominan sistemas de control en lazo abierto. En un sistema de control en lazo abierto no se mide la salida ni se realimenta para compararla con la entrada. Así, a cada entrada de referencia le corresponde una condición de operación fija; como resultado de ello la precisión del sistema depende de la calibración. Ante la presencia de perturbaciones, un sistema de control en lazo abierto no realiza la tarea deseada. En la práctica, el control en lazo abierto sólo se usa si se conoce la relación entre la entrada y la salida y si no hay perturbaciones internas ni externas. También se emplea cuando la señal de salida es imposible o muy difícil de medir. Cualquier sistema de control que opere en base de tiempo está en lazo abierto. Los sistemas en lazo abierto tienen la ventaja de ser bastantes sencillos y en consecuencia de bajo costo, y con una buena confiabilidad. Sin embargo, con frecuencia son inexactos, porque no hay corrección de errores. Elementos básicos de un sistema en lazo abierto Se puede considerar que un sistema en lazo abierto consiste en algunos subsistemas básicos arreglados como se muestra en la siguiente figura:

Figura 1.1: Componentes de un sistema en lazo abierto

Los subsistemas son: 1. Elemento de control: este elemento determina que acción se va a tomar dada una entrada al sistema de control 2. Elemento de corrección: este elemento responde a la entrada que viene del elemento de control e inicia la acción para producir el cambio en la variable controlada al valor requerido. 3. Proceso: el proceso, o planta, es el sistema en el que se va a controlar la variable.

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Un sistema de control en lazo cerrado es aquél en el que la acción de control es, en cierto modo, dependiente de la salida. La señal de salida influye en la entrada. Para esto es necesaria que la entrada sea modificada en cada instante en función de la salida. Esto se consigue por medio de lo que se llama realimentación o retroalimentación negativa (feedback negativo). La realimentación negativa es la propiedad de un sistema en lazo cerrado por la cual la salida (o cualquier otra variable del sistema que esté controlada) se compara con la entrada del sistema (o una de sus entradas), de manera que la acción de control se establezca como una función de ambas. A veces también se le llama a la realimentación transductor de la señal de salida, ya que mide en cada instante el valor de la señal de salida y proporciona un valor proporcional a dicha señal. En un sistema de control en lazo cerrado, se alimenta al controlador la señal de error de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal de realimentación, con el fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor deseado. Los sistemas en lazo cerrado son más complicados y costosos que aquellos en lazo abierto, con una gran posibilidad de descomposturas debidas a la gran cantidad de componentes. Elementos básicos de un sistema en lazo cerrado

Figura 1.2: Componentes de un sistema en lazo cerrado

La entrada global al sistema de control es el valor requerido de la variable, y la salida es el valor real de la variable.

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Los subsistemas son: 1. Elemento de comparación: este elemento compara el valor de referencia de la variable por controlar con el valor medido de lo que se obtiene a la salida, y produce una señal de error la cual indica la diferencia del valor obtenido a la salida y el valor requerido. 2. Elemento de control: este elemento decide qué acción tomar cuando se recibe una señal de error. A menudo se utiliza el término controlador para un elemento que incorpora el elemento de control y la unidad de corrección. 3. Elemento de corrección: este elemento se utiliza para producir un cambio en el proceso al eliminar el error, y con frecuencia se denomina actuador. 4. Proceso: el proceso, o planta, es el sistema donde se va a controlar la variable. 5. Elemento de medición: este elemento produce una señal relacionada con la variable controlada, y proporciona la señal de realimentación al elemento de comparación para determinar si hay o no error. Se dice que se tiene realimentación negativa cuando: Señal de error= valor de referencia – señal de realimentación

1.4 ejemplos de sistemas de control Muchos sistemas de control en lazo abierto utilizan un elemento de control que envía una señal para iniciar la acción después de algún periodo o una secuencia de señales para iniciar una secuencia de acciones en tiempos diferentes. En tales sistemas el controlador es en esencia un dispositivo de conmutación operado por un reloj. Un ejemplo de sistema de control de este tipo es el ciclo básico de operación de la lavadora de ropa domestica. La secuencia podría ser: 1. Establecer los controles para el tiempo de ropa que se va a lavar. 2. Encender e iniciar el reloj. 3. Llenar con agua fría, la válvula que permite la entrada de agua está abierta un tiempo específico. 4. Calentar el agua, el calentador se enciende un tiempo específico. 5. Lavar, el tambor de la lavadora de ropa gira un tiempo específico. 6. Vaciar el agua, la válvula se abre un tiempo específico. 7. Llenar con agua fría, la válvula que permite la entrada de agua se abre un tiempo específico. 8. Enjuagado, el tambor de la lavadora de ropa gira un tiempo específico. 9. Vaciar agua, la válvula se abre un tiempo específico. 12 | P á g i n a

10. Exprimido, la válvula se abre un tiempo específico. 11. Paro, después de que ha transcurrido cierto tiempo.

Algunos otros ejemplos de sistemas de control en lazo abierto son: 1. El control de tráfico mediante un semáforo que actúe en función del tiempo. 2. El tostador, la entrada es el pan y las instrucciones del grado de tostado requerido, la salida es el nivel de tostado del pan. El grado de tostado requerido se determina mediante el ajuste de la escala del tostador y no se altera por la condición del pan. El tostador reaccionará de la misma manera ante una pieza de pan fresco (sin tostar) o si la pieza de pan que se introduce ya está tostada, sin embargo, la salida será diferente: una pieza de pan fresco bien tostado o una como carbón. 3. El horno eléctrico. 4. Etc. Algunos ejemplos de sistemas de control en lazo cerrado se presentan a continuación: 1. Un trabajador mantiene el nivel de líquido en un contenedor a un nivel constante. Para esto se observa el nivel a través de una mirilla de vidrio en una de las paredes del tanque, y ajusta la cantidad de líquido que sale del tanque con la apertura o cierre de una válvula. En este sistema de control la variable controlada es el nivel del líquido en el tanque; el valor de referencia es el nivel requerido, tal vez marcado en el vidrio; la señal de error es la diferencia entre los niveles requerido y real; el elemento de control es la persona; el elemento de corrección es la válvula; la planta o proceso es el agua en el contenedor y el dispositivo de medición es la observación visual de la mirilla de vidrio.

Figura 1.3: Ejemplo 1

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2. La siguiente figura muestra un sistema de control automático sencillo para la velocidad angular de un eje. Se utiliza un potenciómetro para fijar el valor de referencia, es decir, qué voltaje se aplica al amplificador diferencial como valor de referencia para la velocidad angular requerida. El amplificador diferencial se usa tanto para comparar como para amplificar la diferencia entre los valores de referencia y realimentación, esto es, amplifica la señal de error. Después, la señal de error amplificada se aplica al motor que, a su vez, ajusta la velocidad del eje giratorio. La velocidad angular del eje se mide con un tacogenerador, conectado al eje por medio de un par de engranes cónicos. La señal que viene del tacogenerador se realimenta al amplificador diferencial. De este modo, el sistema está formado por: la variable controlada es la velocidad angular del eje; el valor de referencia es el voltaje especificado para la velocidad requerida; el elemento de comparación es el amplificador diferencial; la señal de error es la diferencia entre el voltaje del valor de referencia y el voltaje de realimentación; el elemento de control es el amplificador; el elemento de corrección es el motor; la planta o proceso es el eje giratorio; el dispositivo de medición es el tacogenerador y la realimentación es negativa.

Figura 1.4 Ejemplo 2

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Capítulo 2 Respuesta de los sistemas de control 2.1 Introducción La respuesta de los sistemas de control es la señal que se controla, a ello se deben tener en cuenta algunos parámetros importantes como constante de tiempo en los sistemas de primer orden; el tiempo de subida, de asentamiento, tiempo de retardo, tiempo pico y la sobreelongación sistemas de segundo orden y superior.

debido son la tiempo en los

2.2 Función de transferencia Un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria, y ambos son constantes. Si la parte real y/o imaginaria son variables, el número complejo se denomina variable compleja. En la transformada de Laplace, se emplea la notación s como variable compleja; esto es,

Donde

es la parte real y

Una función compleja

es la parte imaginaria.

es una función de s, que tiene una parte real y

una parte imaginaria, o bien,

Donde

son cantidades reales.

Se dice que una función compleja es analítica en una región, si y todas sus derivadas existen en esa región, o si satisfacen las dos condiciones siguientes, y

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La derivada de dG(s)/ds se determina de forma única. Estas dos condiciones se conocen como las condiciones de Cauchy-Riemann. Si se cumplen estas condiciones, la función es analítica. Los puntos en el plano s en los cuales la función de

es analítica se

denominan puntos ordinarios, mientras que los puntos del plano s en los cuales la función no es analítica se denominan puntos singulares. Los puntos singulares en los cuales la función o sus derivadas tiendes a infinito se denominan polos. Los puntos singulares los cuales la función

es igual a cero

se denominan ceros. Si se incluyen puntos en infinito,

tiene el mismo número de polos que

de ceros. Un sistema se denomina lineal si se aplica el principio de superposición. Este principio establece que la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de entradas diferentes es la suma de las dos respuestas individuales. Una ecuación diferencial es lineal si sus coeficientes son constantes o son funciones sólo de la variable independiente. Los sistemas dinámicos formados por componentes de parámetros concentrados lineales invariantes en el tiempo se describen mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo (de coeficientes constantes). Tales sistemas se denominan sistemas lineales invariantes en el tiempo (o lineales de coeficientes constantes). Los sistemas que se representan mediante ecuaciones diferenciales cuyos coeficientes son funciones del tiempo, se denominan sistemas lineales variantes en el tiempo. La función de transferencia de un sistema descrito mediante una ecuación diferencial lineal invariante en el tiempo se define como el cociente entre la transformada de Laplace de la salida (función respuesta) y la transformada de la entrada (función de excitación) bajo la suposición de que todas las condiciones iniciales son cero.

A partir del concepto de función de transferencia, es posible representar la dinámica de un sistema mediante ecuaciones algebraicas en s. si la potencia más alta de s en el denominador de la función de transferencia es igual a n, el sistema se denomina sistema de orden n-ésimo.

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La aplicación del concepto de función de transferencia está limitada a los sistemas descritos mediante ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo; sin embargo, el enfoque de la función de transferencia se usa extensamente en el análisis y diseño de dichos sistemas. 1. La función de transferencia de un sistema es un modelo matemático porque es un método operacional para expresar la ecuación diferencial que relaciona la variable de salida con la variable de entrada. 2. La función de transferencia es una propiedad de un sistema, independientemente de la magnitud y naturaleza de la entrada o función de excitación. 3. La función de transferencia incluye las unidades necesarias para relacionar la entrada con la salida; sin embargo, no proporciona información acerca de la estructura física del sistema. (Las funciones de transferencia de muchos sistemas físicamente diferentes pueden ser idénticas.) 4. Si se conoce la función de transferencia de un sistema, se estudia la salida o respuesta para varias formas de entrada, con la intención de comprender la naturaleza del sistema. 5. Si se desconoce la función de transferencia de un sistema, puede establecerse experimentalmente introduciendo entradas conocidas y estudiando la salida del sistema. Una vez establecida una función de transferencia, proporciona una descripción completa de las características dinámicas del sistema, a diferencia de su descripción física. Para un sistema lineal e invariante en el tiempo, la función de transferencia es

Donde X(s) es la transformada de Laplace de la entrada e Y(s) es la transformada de Laplace de la salida, y se supone que todas las condiciones iniciales involucradas son cero. De aquí se obtiene que la salida Y(s) se escribe como el producto de G(s) y X(s), o bien

2.3 Modelado matemático de sistemas de control 2.3.1 Sistemas eléctricos Las leyes fundamentales que gobiernan los circuitos eléctricos son las leyes de corrientes y voltajes de Kirchhoff. La ley de corrientes de Kirchhoff (la ley de 17 | P á g i n a

nodos) plantea que la suma algebraica de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es cero. (Esta ley también puede plantearse del modo siguiente: la suma de las corrientes que entran a un nodo es igual a la suma de las corrientes que salen del mismo.) La ley de voltaje de Kirchhoff (la ley de mallas) establece que en cualquier instante determinado la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier malla en un circuito eléctrico es cero. (Esta ley también se plantea del modo siguiente: la suma de las caídas de voltaje es igual a las elevaciones de voltaje alrededor de una malla.) Un modelo matemático de un circuito eléctrico se obtiene aplicando una o ambas leyes de Kirchhoff. En las funciones de transferencia para circuitos eléctricos resulta conveniente escribir las ecuaciones transformadas directamente mediante el método de Laplace, sin escribir las ecuaciones diferenciales. El enfoque de impedancias sólo es válido si todas las condiciones iniciales son cero. Como las funciones de transferencia requieren condiciones iniciales cero, el enfoque de impedancias se aplica para obtener la función de transferencia del circuito eléctrico.

Nota: los símbolos y unidades son: v (t)= V (volts), i (t)=A (amperes), q (t)= C (coulomb), C=F (faradios), R =Ω (ohm), G= (mhos), L=H (Henrios). Figura 2.1 Elementos eléctricos y sus formulas

2.3.2 Sistemas mecánicos El modelado matemático de los sistemas mecánicos está relacionado con el movimiento de traslación y de rotación, por lo cual se presentan las leyes que describen el comportamiento de estos y las definiciones de los elementos que interactúan en los mismos.

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Los sistemas mecánicos se componen de elementos que pueden comportarse como masas, amortiguadores o muelles. La ecuación diferencial que rige el comportamiento de una masa es la segunda ley de Newton:

Donde F es la suma de las fuerzas exteriores aplicadas a la masa y x es su desplazamiento. El parámetro constante m es la propia masa. Si el sistema gira en lugar de desplazarse, la ecuación que gobierna su movimiento es:

Donde

es la suma de los pares exteriores aplicados al sistema y

su giro.

El parámetro constante J es la inercia del sistema. La fuerza F que restituye un amortiguador cuando se comprime es proporcional a la velocidad con que se aproximan sus extremos. La ecuación diferencial que rige su comportamiento es:

El parámetro c es la constante del amortiguador o viscosidad. Si una masa se desplaza dentro de un medio viscoso (al aire, el agua, etc.), además de su propia inercia debe vencer una fuerza viscosa proporcional a la velocidad con que desplaza la masa. Este efecto se puede modelar matemáticamente con un amortiguador cuyos extremos estuvieran anclados uno en el centro de gravedad de la masa y otro en un punto exterior fijo del medio. La fuerza F que restituye un muelle o resorte cuando se comprime es proporcional a la distancia x que se han acercado a sus extremos desde su longitud natural. La ley que rige estos elementos es la ley de Hooke:

La constante k representa la rigidez del muelle. Para obtener las ecuaciones diferenciales que describen el comportamiento de los sistemas mecánicos se analiza cada elemento del sistema teniendo en cuenta las fuerzas de enlace y aplicando la segunda ley de Newton al elemento.

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2.4 Diagrama de bloques de sistemas de control Un sistema de control es la unión de varios componentes (eléctricos, mecánicos, electrónicos, etc.) para realizar la acción de controlar una o varias variables de salida. Para representar las funciones de trasferencia de los componentes se utilizan los diagramas de bloques. En un diagrama de bloques se representa el flujo de señales y las funciones de los componentes mediante una representación gráfica. En un diagrama de bloques las variables del sistema o señales se enlazan mediante bloques funcionales los cuales se usan para indicar una correspondencia proporcional entre dos señales transformadas de Laplace. La función de proporcionalidad o transmitancia, relaciona las señales de entrada y salida. Las funciones de transferencia de los componentes se escriben dentro de los bloques correspondientes. Las señales solo pasan en la dirección que indica la flecha, entonces las flechas representan gráficamente la dirección y sentido de las señales del sistema de control. R(s)

C(s)

G(s) Figura 2.2 Bloque funcional y señales de entrada y salida

Los diagramas de bloques al representar una función de transferencia y en consecuencia las transformadas de Laplace de las ecuaciones diferenciales lineales e invariantes en el tiempo brindan información relacionada con el comportamiento dinámico de un sistema de control y no información respecto a la construcción física del sistema. Por lo cual, varios sistemas pueden ser representados por un mismo diagrama de bloques. Además de las flechas y los bloques, en un diagrama de bloques se encuentran los puntos suma y puntos de bifurcación también llamados puntos de derivación, puntos de separación, puntos de unión y puntos de reparto los cuales se definen a continuación: Punto de bifurcación: indica que la señal se dirige hacia diferentes lugares como pueden ser otros bloques o puntos suma. Punto suma: se representa mediante un círculo con una cruz y a él llegan las señales que se adicionan y/o sustraen para obtener una señal como

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resultado. Las señales deben tener las mismas dimensiones para poder sumarse o restarse. Punto de suma Punto de bifurcación

R(s)

E(s)

C(s)

G(s)

+ -

B(s)

H(s) Figura 2.3 Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado

En la figura 2.3 se muestra un diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado. Se observa el punto suma, punto de bifurcación, los bloques y el flujo de señales representadas con flechas. El cociente de la señal de realimentación B(s) entre la señal de error E(s) se denomina función de transferencia en lazo abierto.

El cociente entre la salida C(s) y la señal de error E(s) se denomina función de transferencia de la trayectoria directa.

La función de transferencia que relaciona C(s) con R(s) se denomina función de transferencia en lazo cerrado.

2.5 Respuesta transitoria y estacionaria La respuesta de un sistema de control es el producto de la función de transferencia del sistema de control y la transformada de Laplace de la señal de entrada, al producto se le aplica la transformada inversa de Laplace y se obtiene la 21 | P á g i n a

ecuación de c (t), la señal de salida en función del tiempo, la cual se conforma por dos partes: Respuesta transitoria: es la que va del estado inicial al estado final. Respuesta estacionaria: es la manera como se comporta la salida del sistema conforme t tiende a infinito.

Donde: : es la respuesta transitoria : es la respuesta en estado estacionario : es la respuesta del sistema en función del tiempo 2.5.1 Estabilidad Estabilidad absoluta: si un sistema lineal invariante en el tiempo es estable volverá a su condición de equilibrio después de ser sometido a una perturbación en una de sus entradas. Matemáticamente, se sabe que un sistema es estable cuando todas las raíces de su ecuación característica se encuentran localizadas en el semiplano izquierdo del plano s. Estabilidad relativa: se refiere al grado de estabilidad de la respuesta y se mide con parámetros como el factor de amortiguamiento relativo (ζ), la sobreelongación máxima (Mp), tiempo de asentamiento (ts), tiempo de subida (tr),tiempo de retardo (td) y tiempo pico (tp). 2.5.2 Sistemas de primer orden Para el diagrama de bloques que se presenta a continuación se le aplica la señal de excitación escalón unitario, rampa unitaria e impulso unitario para analizar las características de la respuesta a cada una de las señales de entrada. R(s)

E(s)

C(s)

1/(Ts)

+ -

Figura 2.4 Diagrama de bloques de un sistema de primer orden

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La función de transferencia queda expresada de la siguiente forma:

La respuesta en función del tiempo del sistema de control se obtiene mediante la transformada inversa de Laplace de la siguiente ecuación:

Respuesta escalón unitario: La transformada de Laplace de una señal escalón unitario es R(s)=1/s, de modo que C(s) se expresa como:

La respuesta c (t) se obtiene aplicando la transformada inversa de Laplace de C(s) que da como resultado la ecuación siguiente:

La gráfica de la respuesta c (t) se muestra en la figura 2.5 para T=1. En la gráfica se observa lo siguiente: t (seg.)

C(t) en %

T

63.2

2T

86.5

3T

95

4T

98.2

5T

99.3

Tabla 2.1 Valores característicos de un sistema de primer orden

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Figura 2.5 Grafica de la respuesta de un sistema de control con entrada escalón unitario

Respuesta rampa unitaria de un sistema de primer orden: La transformada de Laplace de una función de excitación rampa unitario es R(s)=1/s2 de modo que la respuesta C(s) es:

Obteniendo la transformada inversa de Laplace de la respuesta C(s) se obtiene:

La gráfica del sistema de control de primer orden con una entrada rampa unitaria se muestra en la figura 2.6:

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Figura 2.6 Gráfica de un sistema de primer orden con una entrada rampa unitaria

Conforme t tiende a infinito e^ (-t/T) se aproxima a cero de modo que:

Donde: : es el error para un tiempo muy grande T: es la constante de tiempo El error en un sistema de control de primer orden alimentado con una señal de excitación rampa unitaria para un tiempo t suficientemente grande el error se aproxima a la constante de tiempo T. Respuesta impulso unitario de sistemas de primer orden: La transformada de Laplace de una función impulso es R(s)=1 y la salida se expresa mediante la siguiente ecuación:

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Aplicando la transformada inversa de Laplace a C(s) se obtiene:

La curva de respuesta es la que se muestra en la figura 2.7.

Figura 2.7 Gráfica de la respuesta de un sistema de primer orden para una entrada impulso unitario

2.5.3 Sistemas de segundo orden Un sistema de segundo orden es aquel que posee dos polos en su función de transferencia.

Donde: : es la frecuencia natural no amortiguada. : es el factor de amortiguamiento relativo.

26 | P á g i n a

, : Se llama atenuación. A esta forma de escribir la función de transferencia de un sistema de segundo orden se le conoce como forma estándar del sistema de segundo orden. Se presentan tres casos dependiendo de los valores del factor de amortiguamiento. Caso subamortiguado (

) (polos complejos conjugados)

Donde: . La frecuencia

se llama frecuencia natural amortiguada.

Los polos son: Caso críticamente amortiguado (ζ= 1) (polos iguales y reales)

Los polos son Caso sobreamortiguado (ζ> 1) (polos reales negativos y diferentes)

Los polos se localizan en: 2.5.4 Especificaciones de la respuesta transitoria de sistemas de segundo orden Todo sistema de control debe poseer características o parámetros de diseño que se deben cumplir o mantener en rangos o intervalos adecuados para su correcta operación. Los sistemas de segundo orden excitados con una señal de entrada escalón unitario presentan las siguientes especificaciones de desempeño:

27 | P á g i n a

Tiempo de retardo ( ). El tiempo de retardo se define como el tiempo que tarda la señal de respuesta en alcanzar por primera vez la mitad del valor final, (t en que c(t)=0.5). Tiempo de subida ( ). El tiempo de subida es el tiempo requerido para que la respuesta pase del 10 al 90%, 5 al 95% o del 0 al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden se usa del 0 al 100% y para sistemas sobreamortiguados se usa del 10 al 90%.

Tiempo pico ( ). Es el tiempo requerido para que el sistema alcance el primer pico de sobreelongación.

El tempo pico corresponde a medio ciclo de la frecuencia de oscilación amortiguada. Sobreelongación máxima (Mp). La máxima sobreelongación es el valor máximo valor pico de la curva de respuesta, medido a partir de la unidad.

Tiempo de asentamiento ( ). Es el tiempo que se requiere para que la curva de repuesta alcance un rango alrededor del valor final, por lo general 2 o 5%.

Figura 2.8 Definición del ángulo β

28 | P á g i n a

Figura 2.9 Parámetros de desempeño de un sistema de segundo orden con entrada escalón unitario

Respuesta impulso de sistemas de segundo orden: Para una entrada impulso unitario la transformada de Laplace es R(s)=1. De manera que se obtiene la respuesta C(s) como:

Aplicando la transformada inversa de Laplace dela respuesta C(s) se obtiene:

La ecuación anterior es la respuesta en función del tiempo para un sistema de segundo orden con una señal de entrada impulso unitario.

29 | P á g i n a

Figura 2.10 Gráfica de la respuesta de un sistema de segundo orden para una entrada impulso unitario

2.6 Errores en estado estacionario en los sistemas de control En los sistemas de control se presentan errores en la curva de respuesta, errores que pueden ser ocasionados por un cambio en la señal de entrada, la fricción estática, juego o bamboleo, la derivada del amplificador, envejecimiento del equipo, etc. En la presente sección se analiza el error que se produce por la incapacidad de los sistemas de control al seguir algunos tipos de entrada. Los sistemas tal vez presenten error nulo para una determinada entrada pero para una entrada diferente si generan error. Una clasificación de los sistemas de control se basa en la función de transferencia en lazo abierto G(s) mediante el grado o número de integradores que posea. Un sistema es de tipo 0 si no posee un integrador, un sistema tipo 1 si posee un integrador, etc. En la práctica es poco común encontrar sistemas tipo 3 o superiores debidos a lo complicado que resulta diseñar sistemas estables con dos o más integradores. El error se define como la diferencia entre la señal de entrada y la señal de salida. El error en estado estacionario se obtiene mediante el siguiente límite:

30 | P á g i n a

El error en estado estable es inversamente proporcional a la constante de error estático. Una constante de posición se refiere a la posición (valor) de la salida, una constante de velocidad se refiere a la razón de cambio de la salida, etc. La constante de error de posición para una entrada escalón unitario se obtiene mediante:

El error en estado estacionario se calcula por la siguiente ecuación:

Para una entrada escalón unitario e error en estado estacionario es :

La constante de error de velocidad para una entrada rampa unitaria se define como:

El error en estado estacionario para una entrada rampa unitaria se define como:

La constante de error de aceleración estática

para una entrada parábola

unitaria se obtiene mediante el siguiente límite: El error en estado estacionario para una entrada parábola unitaria se obtiene mediante la siguiente ecuación:

31 | P á g i n a

Capítulo 3 Controladores 3.1 Introducción El controlador es un elemento en el sistema de control en lazo cerrado. Tiene como señal de entrada la señal de error y genera una señal de salida

que se convierte en la entrada al elemento correctivo o

actuador. (El actuador es un dispositivo de potencia que genera la señal de entrada a la planta para obtener la respuesta lo más próxima o igual a la señal de entrada, también se le conoce como etapa de potencia). La relación entre la salida y la entrada al controlador se denomina acción de control. Existen tres acciones de control: proporcional, integral y derivativa. En algunos sistemas de control es necesario mejorar el desempeño del controlador, lo cual se logra introduciendo elementos adicionales al sistema, denominados compensadores. Existen compensadores de atraso (retardo), adelanto y de atraso-adelanto (retardo-adelanto). La alteración al desempeño del sistema de control se llama compensación. Existen dos tipos de compensación: compensación en serie y compensación en paralelo. El efecto de agregar un compensador es mejorar las características o parámetros de la respuesta transitoria como son: el factor de amortiguamiento, la sobreelongación, tiempo de asentamiento, ancho de banda proporcional, margen de fase, etc. Los compensadores tienen el efecto de añadir polos y ceros. El añadir un polo en la función de transferencia en lazo abierto tiene el efecto de desplazar el lugar geométrico de las raíces a la derecha, lo cual produce una disminución en la estabilidad relativa y la disminución en el tiempo de asentamiento en la respuesta del sistema de control. El añadir un cero a la función de transferencia en lazo abierto provoca el corrimiento del lugar geométrico de las raíces hacia la izquierda, esto conlleva al aumento de la estabilidad relativa del sistema y acelera el tiempo de asentamiento de la respuesta. El capítulo se relaciona con la correcta selección del controlador y la obtención de los parámetros del controlador con los que se obtiene una buena respuesta y que la respuesta cumpla con los criterios y expectativas de diseño. Se presentan los controladores on-off, proporcionales, integral, proporcional integral, derivativo, proporcional derivativo, proporcional integral derivativo y las distintas redes de compensación: red de atraso, red de adelanto y red de atraso-adelanto.

32 | P á g i n a

3.2 Clasificación de los controladores Una clasificación bastante sencilla se basa en el tipo de energía que utilizan para operar. Según el tipo de energía se clasifican en: Neumáticos Hidráulicos Electrónicos Otra clasificación más completa se basa en la acción de control. Según la ley de control se presentan los tipos siguientes de controladores: De dos posiciones u on-off Controlador proporcional Controlador integral Controlador proporcional integral (PI) Controlador derivativo Controlador proporcional derivativo (PD) Controlador proporcional integral derivativo (PID) Para la correcta selección del controlador se deben considerar la naturaleza de la planta, las condiciones de operación, seguridad, costo, disponibilidad, fiabilidad, precisión, peso y tamaño.

3.3 Controlador de dos posiciones o controlador on-off En este controlador el elemento de actuación solo tiene dos posiciones, que suelen ser encendido y apagado. Ley de control:

La brecha diferencial es el rango en que debe moverse la señal de error antes de que ocurra la conmutación.

33 | P á g i n a

R(s)

E(s) +

U(s)

U1 U2

-

Figura 3.1 Diagrama de bloques de un controlador de dos posiciones

3.4 controlador proporcional El control proporcional tiene como entrada la señal de error y la salida del controlador es proporcional a la entrada, es decir:

La función de transferencia del controlador proporcional se define como:

La ganancia constante tiende a existir solo sobre cierto rango de errores que se conoce como banda proporcional. El controlador proporcional determina la ubicación de los polos en lazo cerrado, el sistema no cambia de tipo, es decir, si un sistema es de tipo 1, el sistema permanece en tipo 1. El controlador proporcional no añade polos o cero en la trayectoria directa. R(s)

E(s) +

Kp

U(s)

C(s) Gp(s)

-

Figura 3.2 Diagrama de bloques con un controlador proporcional

3.5 Controlador integral El controlador integral como lo sindica su nombre tiene como señal de salida la integral de la señal de error, es decir, la salida en cualquier tiempo es proporcional a la acumulación de los efectos de los errores pasados. 34 | P á g i n a

La función de transferencia del controlador integral es la siguiente:

El controlador integral aumenta el tipo de sistema en 1. Además al introducir un polo en tiene como efecto disminuir la estabilidad relativa y disminuir el tiempo de asentamiento. R(s)

E(s) +

Ki/s

U(s)

C(s) Gp(s)

-

Figura 3.3 Diagrama de bloques con un controlador integral

3.6 Controlador proporcional integral (PI) La señal de salida de un controlador proporcional integral es la suma de los efectos del controlador proporcional y el controlador integral, es decir:

La función de transferencia del controlador proporcional integral es la siguiente:

Donde:

(constante de tiempo integral)

El controlador proporcional integral añade a la trayectoria directa un polo y un cero. El controlador proporcional integral conlleva a un aumento en le tipo de sistema en 1 y a un corrimiento del lugar geométrico de las raíces hacia la derecha lo cual origina una disminución en la estabilidad relativa, pero es menor que la que se obtiene con el controlador integral. El controlador proporcional integral es un compensador de atraso o retardo. 35 | P á g i n a

Kp + +

R(s) + -

C(s) Gp(s)

Ki/s

Figura 3.4 Diagrama de bloques de un sistema de control con un control PI

3.7 Controlador derivativo La señal a la salida del controlador derivativo es proporcional a la razón de cambio con el tiempo del error. Cuando el error es grande, el controlador tiene una salida grande si el error tiene una razón de cambio grande. El controlador derivativo no tiene acción de control sobre señales de error constantes o que varíen lentamente. La ley de control para un controlador derivativo e:

La función de transferencia del controlador PD es:

El controlador agrega un cero en la trayectoria directa por lo cual disminuye en 1 el tipo de sistema. Estos controladores se usan en combinación con otras formas de controlador.

3.8 controlador proporcional derivativo La señal de salida de un controlador PD es la suma de los efectos de un controlador proporciona y un controlador derivativo.

La función de transferencia del controlador proporcional derivativo es la siguiente:

36 | P á g i n a

El controlador PD es una red de adelanto o compensador de adelanto. Mejora las características de la respuesta transitoria, la estabilidad del sistema e incrementa el ancho de banda con lo cual se reduce el tiempo de asentamiento. Kp + +

R(s) + -

C(s) Gp(s)

KdS

Figura 3.5 Diagrama de bloques de un controlador PD

3.9 Controlador proporcional integral derivativo (PID) La señal de salida de un controlador PID es la suma de los efectos de los controladores por separado, es decir:

La función de transferencia par aun controlador PID es la que se muestra a continuación:

El controlador PID es un compensador de atraso-adelanto. La acción PD ocurre en frecuencias altas y la acción PI ocurre en la región de frecuencias bajas. Este controlador se usa cuando se necesitan mejoras en el comportamiento transitorio y es estado estacionario. Además incrementa el número de ceros en dos y el de polos en uno en la trayectoria directa, en consecuencia se incrementa el tipo de sistema en 1 mejorando la estabilidad del sistema.

37 | P á g i n a

Kp

R(s)

Ki/s

+

C(s)

+ +

Gp(s)

-

KdS

Figura 3.6 Diagrama de bloques con un controlador PID

3.9.1 Reglas de Ziegler - Nichols para sintonizar controladores PID El método fue propuesto en 1942 por Jhon G. Ziegler y Nataniel B Nichols para el control de servomecanismos hidráulicos en baterías antiaéreas empleadas en la segunda guerra mundial. Existen dos métodos de ajuste. El primero consiste en alimentar a la planta con un escalón unitario (la planta no debe tener polos complejo conjugados e integradores) y analizar la respuesta según la siguiente gráfica de la figura 3.7. Para obtener los valores de los parámetros del controlador se usan los valores establecidos en la tabla 3.1.

Tipo de controlador

Kp

Ti

Td

P

T/L

∞

0

PI

0.9T/L

L/0.3

0

PID

1.2T/L

2L

0.5L

Tabla 3.1 Valores de los parámetros por el método de la curva de reacción

38 | P á g i n a

Figura 3.7 Curva de respuesta en forma de s

El segundo método se localiza en la ganancia crítica oscilación crítica

y el periodo de

. De esta forma para un controlador PID se fija:

Si la función de transferencia se conoce, se puede obtener la ganancia proporcional mediante el arreglo de Routh o simplemente en la ecuación característica sustituir K por

y

.

Para obtener los valores de los parámetros

se emplea la tabla

3.2. Tipo de controlador

Kp

Ti

Td

P

0.5Kcr

∞

0

PI

0.45Kcr

(5/6)Pcr

0

PID

0.6Kcr

0.5 Pcr

0.125 Pcr

Tabla 3.2 Valores de los parámetros del controlador a partir de K cr y Pcr

3.9.2 Modificaciones al controlador PID La forma estándar del controlador PID suele modificarse para obtener mejores características en la respuesta. Algunas modificaciones típicas son para suprimir el fenómeno patada en el punto de consigna (efecto Kick – off) para una entrada escalón unitario o cuando las señales que pasen por el controlador van

39 | P á g i n a

cargadas de ruido, la parte derivativa los amplifica por lo cual se usa una configuración I-PD para suprimir este efecto. El efecto patada en el punto de consigna se produce en todos los sistemas controlados en los que actúa de forma proporcional a la derivada del error y la referencia es una entrada escalón. En el momento del cambio finito de la referencia la derivada del error se hace infinita, por la que la actuación se hace muy grande provocando la saturación de los actuadores. El efecto se soluciona cuando la parte derivativa del controlador PID no actúa sobre la señal de error, sino solamente en la señal de salida del sistema. Esta modificación al controlador PID hace que se convierta en un controlador PI-D. El diagrama de bloques de un controlador PID se muestra en la figura 3.8. R(s)

E(s) +

Kp(1+1/(Tis))

-

U(s)

C(s) +

-

Gp(s)

KpTdS

Figura 3.8 Sistemas de control PI-D

Las señales que pasan por el controlador suelen ir cargadas de ruido. Como la parte derivativa amplifica sin limitación el ruido de alta frecuencia, es común introducir un filtro de primer orden en la parte derivativa, de tal forma que posea ganancia finita para altas frecuencias. Esto se consigue añadiendo un polo a la parte derivativa. A esta configuración se conoce como controlador I-PD. R(s)

E(s) + -

Kp/TiS

U(s)

C(s) +

-

Gp(s)

Kp(1+TdS)

Figura 3.9 Sistema de control I-PD

40 | P á g i n a

3.10 Compensadores Compensador. Es un elemento o dispositivo que se integra al sistema para mejorar las especificaciones diseño y parámetros de la respuesta. Un compensador puede ser mecánico, neumático, hidráulico o electrónico. Compensación. Se llama compensación a la introducción de un nuevo elemento o dispositivo para mejorar la estabilidad y la respuesta del sistema de control.

3.11 Compensación en serie y en paralelo Compensación en serie. Se llama compensación a la introducción de un nuevo elemento o dispositivo para mejorar la estabilidad y la respuesta del sistema de control. R(S) + -

C(S)

Gp(S)

Gc(S)

H(S)

Figura 3.10 Compensación en serie

Compensación en paralelo. También llamada compensación mediante realimentación. Se colocan algunos elementos en un lazo interno de realimentación como muestra la siguiente figura. R(s)

E(s) + -

U(s)

G1(s)

C(s) +

-

G2(s)

Gc(s)

H(s)

Figura 3.11 Compensación en paralelo

41 | P á g i n a

3.12 Metodología para el diseño de un compensador de atraso Los pasos para obtener la función de transferencia del compensador de atraso son los siguientes: 1. Dibujar la gráfica del lugar del lugar geométrico de las raíces del sistema sin compensar y situar los polos dominantes en lazo cerrado. 2. Suponer la función de transferencia del controlador como:

3. Calcular la constante de error estático especificado (

) y la constante

de error estática del sistema. 4. Determinar el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer las especificaciones.

5. Ubicar el polo y el cero de atraso que producen el incremento necesario en la constante de error estático.

6. Verificar que el ángulo que aporta el compensador sea a 5°

7. Obtener la ganancia

del compensador de atraso a partir de un nuevo

trazo del lugar geométrico de las raíces del sistema compensado.

42 | P á g i n a

3.13 Metodología para el diseño de un compensador de adelanto Los pasos a seguir para diseñar un compensador de adelanto por el método del lugar geométrico de las raíces es el siguiente: 1. Determinar la ubicación deseada para los polos dominantes en lazo cerrado. 2. Dibujar el lugar geométrico de las raíces del sistema sin compensar y calcular la deficiencia del ángulo . 3. La función de transferencia del compensador

es:

se determinan a partir de la deficiencia de ángulo. Determinar

a

partir del requisito de la ganancia en lazo abierto. 4. Determinar la localización del polo y el cero del compensador de adelanto. El compensador de adelanto debe contribuir el ángulo necesario. 5. Obtener la ganancia en lazo abierto del sistema compensado en la condición de magnitud.

3.14 Diseño de un compensador de atraso-adelanto Un compensado de adelanto-atraso es el producto de uno de adelanto y uno de atraso:

Se utilizan cuando se deben cumplir tres especificaciones en un sistema. Se recomienda diseñar primero la parte de adelanto del compensador que cumpla las dos especificaciones de régimen transitorio y luego la parte de atraso que no modifique las altas frecuencias y mejore el error en régimen permanente.

43 | P á g i n a

Capítulo 4 Diseño de un controlador PID 4.1 Introducción El diseño de un controlador que cumpla con las especificaciones de respuesta en estado transitorio y estacionario de un sistema, puede realizarse de diversas formas o por diferentes métodos como lo son: el lugar geométrico de las raíces y el análisis de la respuesta en el dominio de la frecuencia. Además para sintonizar los controladores a valores que se produzca una respuesta adecuada y que cumpla con lo criterios de diseño se utilizan reglas como las propuestas por Ziegler–Nichols y software como Matlab. Las acciones de control son tres: acción proporcional, acción integral y acción derivativa. Las acciones de control se combinan para mejorar la respuesta del sistema de control.

4.2 Análisis de la planta La función de transferencia de la planta

que se muestra en el

diagrama de bloques de la figura 4.1, se analiza para diseñar un controlador que para una entrada escalón unitario se presente una sobreelongación máxima de 20% y mayor de 2%, con un tiempo de asentamiento menor de 4 segundos y para una entrada de referencia rampa unitaria un error en estado estacionario igual con cero.

R(s)

E(s)

C(s)

Gc(s)

+

1/[s(s+1)(s+5)]

-

controlador Figura 4.1 Diagrama de bloques de la planta y el controlador

44 | P á g i n a

La función de transferencia para el sistema de control en lazo cerrado sin controlador es:

Mediante el arreglo de Routh se analiza la estabilidad del sistema. La ecuación característica del sistema es:

El arreglo de Routh es el siguiente:

La primer columna del arreglo de Routh es positiva en todos los números (1, 6, 29/6, 1), por lo cual el sistema es estable. El sistema es de tipo 1 por poseer un integrador (1/s), lo cual asume que ante una entrada escalón unitario el error en estado estacionario es igual con cero.

Como se observa, para el sistema la constante de error de posición y el error en estado estacionario son y , respectivamente. Con el uso del software Matlab® R2009a se obtiene la respuesta del sistema c (t) ante una entrada escalón unitario. El programa es el siguiente: %Programa 1 %Programa que alimenta una señal escalón unitario al sistema

45 | P á g i n a

%Se escriben el numerador y el denominador de la función de transferencia %en lazo cerrado como vectores num=[1]; den=[1 6 5 1]; %Se alimenta la señal de entrada escalón unitario con el comando step()y el %comando grid es para la cuadricula al fondo de la gráfica step(num,den) grid %Los comandos title,xlabel y ylabel son para escribir el titulo de la %gráfica, el título al eje x y el titulo al eje y respectivamente title('Respuesta a una entrada escalón unitario') xlabel('Tiempo (seg.)') ylabel('c(t)')

Figura 4.2 Respuesta del sistema con una entrada de referencia escalón unitario

46 | P á g i n a

De la gráfica se observa que el tiempo de asentamiento es de para un criterio del 5% y de

para un criterio del 2%. No presenta

sobreelongación ni error en estado estacionario. Alcanza el valor de referencia en un tiempo de 27 segundos. Para una entrada rampa unitaria la constante de error de velocidad K v y el error en estado estacionario ess son:

El siguiente programa muestra la señal de salida del sistema con una entrada de referencia rampa unitaria. %Programa 2 %Respuesta del sistema ante una entrada de referencia rampa unitaria %La función de transferencia de una entrada rampa unitaria es 1/s^2 igual a %1/s*1/s. Entonces se multiplica el denominador por s y el numerador se %escribe con el mismo número de elementos que el denominador, los %elementos sin valor se escriben con cero. Se aplica una entrada escalón %unitario 1/s con el comando step() para obtener la entrada rampa %unitaria. num=[0 0 0 0 1]; den=[1 6 5 1 0]; %Se define un tiempo t como t:0:0.01:35 t=0:0.01:35; y=step(num,den,t); %Se grafica con el comando plot() plot(t,y,t,t)

47 | P á g i n a

%Se colocan los nombres a los ejes ylabel('Entrada rampa unitaria') xlabel('Tiempo (seg.)') title('Respuesta rampa unitaria del sistema de control') %El comando gtext()permite colocar texto en la posición que uno desea en la %gráfica y se coloca según el orden en que se escribió. gtext('Entrada rampa unitaria') gtext('Respuesta del sistema') %Las flechas se colocan desde el menú 'insert' y de clic en 'arrow' y %después se colocan en la posición deseada en la gráfica.

Figura 4.3 Respuesta del sistema con una entrada de referencia rampa unitaria

El error en estado estacionario antes calculado

es el mismo que se

muestra en la gráfica de la respuesta del sistema de control ante una entrada rampa unitaria.

48 | P á g i n a

4.3 Análisis del sistema con un controlador proporcional (K p) El sistema es el descrito mediante el diagrama de bloques de figura 4.4. El sistema posee un integrador (1/s) en la función de transferencia de la planta, por lo cual se aplica el segundo método de sintonización de las reglas de Ziegler – Nichols. Se determina la ganancia crítica y el periodo crítico . La ganancia crítica raíces cruza al eje

se presenta cuando el lugar geométrico de las

, es decir,

R(s)

en la ecuación característica del sistema.

E(s)

C(s)

Kp

+

1/[s(s+1)(s+5)]

-

Figura 4.4 Sistema con control proporcional

La función de transferencia del sistema con un controlador proporcional es:

De la función de transferencia se observa que la ecuación característica es:

Sustituyendo

y

, donde

y

son la ganancia

proporcional crítica y la frecuencia angular crítica, respectivamente.

49 | P á g i n a

De donde la ganancia proporcional critica critica

y la frecuencia angular

rad/seg. El periodo crítico se obtiene de la siguiente forma:

Remitiéndose a la tabla 3.2 Valores de los parámetros del controlador a partir de y , para un controlador proporcional se tiene:

El sistema sintonizado de acuerdo a las reglas de Ziegler –Nichols la ganancia del controlador proporcional es . Para una entrada de referencia escalón unitario el error en estado estacionario es de cero, debido a que el sistema es tipo 1. La función de transferencia en lazo cerrado del sistema de control es:

Mediante el siguiente programa en Matlab se obtiene la respuesta del sistema con un controlador proporcional y una entrada de referencia escalón unitario. %Programa 3 %Respuesta del sistema de control con Kp=15 y una entrada de referencia %escalón unitario

50 | P á g i n a

num=[15]; den=[1 6 5 15]; step(num,den) grid title('Respuesta del sistema con Kp=15 y una entrada de referencia escalón unitario') ylabel('Escalón unitario') xlabel('Tiempo (seg.)') gtext('Respuesta del sistema')

Figura 4.5 Respuesta a un escalón unitario con Kp=15

La gráfica muestra la respuesta del sistema de control ante una entrada escalón unitario y una ganancia proporcional de . El sistema posee oscilaciones y una sobreelongación máxima de ; según el criterio del 5% el tiempo de asentamiento es Y para el criterio del 2% es de

.

51 | P á g i n a

Los polos en lazo cerrado se encuentran en:

Los polos dominantes son los polos complejos conjugados P 2 y P3. A partir de ellos se obtiene la frecuencia natural no amortiguada y el factor de amortiguamiento relativo .

El valor del factor de amortiguamiento relativo es muy pequeño, se recomienda que se encuentre en un intervalo de . Tomando en cuenta esta recomendación mediante el lugar geométrico de las raíces se obtendrán los valores de la ganancia K, de modo que el sistema se encuentre con un factor de amortiguamiento de . Procedimiento para realizar el lugar geométrico de las raíces El sistema no posee ceros en lazo abierto, pero tiene tres polos en:

Existe lugar de las raíces sobre el eje real en

.

Los ángulos y el punto de intersección de las asíntotas se obtienen de la siguiente manera.

52 | P á g i n a

Existen tres asíntotas con ángulos de 60°, -60°, 180° y se intersectan en . De la ecuación característica de la función de transferencia en lazo cerrado sin controlador:

Existe un punto de ruptura en s=-0.472. El lugar geométrico de las raíces cruza con el eje

en

.

Este procedimiento se desarrollo al encontrar la ganancia critica y la frecuencia angular critica ( ). Los puntos de prueba que se usaron son:

Los cuales pertenecen al lugar geométrico de las raíces debido a que cumplen con la condición de ángulo. Además se usaron las imágenes de estos puntos para trazar la parte inferior del lugar geométrico de las raíces.

53 | P á g i n a

Figura 4.6 Lugar geométrico de las raíces

En la gráfica del lugar geométrico de las raíces se muestran las líneas con factor de amortiguamiento y con una frecuencia natural no amortiguada de

. Una forma de determinar estas líneas es

con el ángulo que forman con el eje real negativo, es decir:

Se trazan las líneas con los ángulos correspondientes y en donde corten al lugar geométrico de las raíces se encuentran los polos dominantes para ese factor de amortiguamiento relativo, los valores de ganancia proporcional se determinan por medio de la condición de magnitud.

El diseño del controlador es para que el sistema de control cumpla con un requisito de un sobrepaso máximo aproximado de 25%. El siguiente programa en Matlab genera un conjunto de valores de ganancia K que cumplen esta condición.

54 | P á g i n a

%Programa 4 %'K' valores a comprobar K=[2.08 2.538 2.996 3.454 3.912 4.37 4.83]; %Comprobar la respuesta del sistema en lazo cerrado a una entrada escalón %unitario que cumpla con una sobreelongación máxima menor que el 25%. t=0:0.01:35; k=0; for i=1:7; num=[0 0 0 K(i)]; den=[1 6 5 K(i)]; y=step(num,den,t); m=max(y); if m> solution solution =

2.0800

1.0436

2.5380

1.0801

2.9960

1.1164

3.4540

1.1510

3.9120

1.1836

4.3700

1.2143

4.8300

1.2433

>> sortsolution=sortrows(solution,2)

55 | P á g i n a

sortsolution =

2.0800

1.0436

2.5380

1.0801

2.9960

1.1164

3.4540

1.1510

3.9120

1.1836

4.3700

1.2143

4.8300

1.2433

Se generan tres gráficas para analizar el comportamiento de la respuesta del sistema de control ante una entrada de referencia escalón unitario. %Programa 5 %Grafica con k=2.08 num=[0 0 0 2.08]; den=[1 6 5 2.08]; step(num,den) grid title('Gráfica del sistema con ganancia k=2.08')

Figura 4.7 Respuesta escalón unitario con K=2.08

56 | P á g i n a

Del análisis de la curva de respuesta a una entrada de referencia escalón unitario con un valor de ganancia proporcional k=2.08 se presenta: una sobreelongación máxima de , para el criterio del 5% el tiempo de asentamiento es de

y para el criterio del 2% es de

.

%Programa 6 %Grafica con k=3.454 num=[0 0 0 3.454]; den=[1 6 5 3.454]; step(num,den) grid title('Gráfica del sistema con ganancia k=3.454')

Figura 4.8 Respuesta a un escalón unitario con K=3.454

Se observa en la curva de respuesta para un valor de K=3.454: un tiempo de subida , una sobreelongación máxima de , para un criterio del 5% un tiempo de asentamiento de

y para el 2%

57 | P á g i n a

%Programa 7 %Grafica con k=4.83 num=[0 0 0 4.83]; den=[1 6 5 4.83]; step(num,den) grid title('Gráfica del sistema con ganancia k=4.83')

Figura 4.9 Respuesta a un escalón unitario con k=4.83

Para la ganancia proporcional K=4.83 con una entrada escalón unitario, se observa un tiempo de asentamiento de para el criterio del 5% y 2% respectivamente y una sobreelongación máxima de

.

58 | P á g i n a

Ganancia proporcional (kp)

Tiempo de retardo (td) seg.

Tiempo de subida (tr) seg.

Tiempo pico (tp) seg.

Sobreelongación máxima Mp ( %)

Tiempo de asentamiento (ts) seg. 5%

2%

1

4.12

27

---

0

12

15

2.08

2.44

5.4

6.29

4

4.78

9.15

3.454

1.79

3.22

4.38

15

6.6

9.82

4.83

1.48

2.47

3.63

24

5.56

8.93

15

0.833

1.23

2.09

64.1

14.04

18.02

Tabla 4.1 Comparación de las especificaciones de diseño para distintos valores de K p

De la tabla 4.1 las especificaciones más utilizadas son el tiempo de asentamiento y la sobreelongación máxima, además se recomienda que los sistemas de control se encuentren entre rangos del factor de amortiguamiento relativo . En consecuencia, el mejor sistema de control con un controlador proporcional es el que posee una ganancia proporcional de K=2.08. Los sistemas presentados hasta ahora son de tipo 1, motivo por el cual presentan un error en estado estacionario de cero para una entrada escalón unitario. Sin embargo, no es así para una entrada de referencia rampa unitaria. La función de transferencia para k=2.08 es la siguiente:

Los polos en lazo cerrado, el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada son:

La constante de error de velocidad para una entrada rampa unitaria es:

59 | P á g i n a

El error en estado estacionario para una entrada rampa unitaria se calcula de la siguiente forma:

Cuando se analizo el sistema sin controlador proporcional se presentaba un error en estado estacionario de y para el nuevo sistema con un controlador proporcional de ganancia

se presenta un error de

, lo que

significa que disminuyo más del 50%. El programa 8 es el código en Matlab para generar la respuesta a una entrada de referencia rampa unitaria del sistema con un controlador proporcional. %Programa 8 %Respuesta del sistema ante una entrada de referencia rampa unitaria

num=[0 0 0 0 2.08]; den=[1 6 5 2.08 0]; t=0:0.01:15; y=step(num,den,t);

plot(t,y,t,t) ylabel('Entrada rampa unitaria') xlabel('Tiempo (seg.)') title('Respuesta rampa unitaria del sistema de control') gtext('Entrada rampa unitaria') gtext('Respuesta del sistema')

60 | P á g i n a

Figura 4.10 Respuesta ante una entrada rampa unitaria con k=2.08

4.4 Análisis del sistema con un controlador PD Un controlador proporcional derivativo (PD) es una red de adelanto, también conocida como compensación derivativa ideal. Un controlador PD acelera la respuesta del sistema. El diseño de un controlador PD se puede realizar de diferentes formas. El diseño que se presenta es para cumplir una sobreelongación máxima de 10% y un tiempo de asentamiento inferior a 6 segundos. En el diseño del controlador proporcional con K=2.08, se obtuvo una sobreelongación máxima de 4% y un tiempo de asentamiento de 9.15 segundos para un criterio del 2%. El nuevo diseño con un controlador PD, intenta mantener el criterio de inicio de una sobreelongación menor de 20% y mayor de 2%. Ahora se intenta hacer que el sistema responda más rápido.

61 | P á g i n a

De las condiciones de diseño se calcula el polo dominante (PD).

62 | P á g i n a

Con los resultados anteriores se toman valores que cumplan las desigualdes:

El polo dominante con los valores calculados es:

La frecuencia natural no amortiguada es amortiguamiento relativo es

y el factor de

. El polo dominante no se encuentra en el lugar

geométrico de las raíces, vea la figura 4.11.

Figura 4.11 Ubicación de polo dominante Pd=-0.7+j0.933

Los siguientes ángulos se obtienen por trigonometría o medidos con un transportador. Los resultados mostrados se obtuvieron por trigonometría.

La condición de ángulo se expresa matemáticamente como:

Al no cumplir la condición de ángulo se comprueba que el punto P D no se encuentra en el lugar geométrico de las raíces. Para que este punto se encuentre en el lugar de las raíces se necesita que el cero del controlador PD contribuya con esa deficiencia de ángulo.

Lo que significa que el cero en

debe contribuir un ángulo de

31.2975°. Por trigonometría se determina el punto donde se debe colocar el cero del controlador PD. Del lugar geométrico de las raíces se observa que:

Figura 4.11a Localización del cero del controlador PD

64 | P á g i n a

De donde:

La función de transferencia del controlador proporcional derivativo es:

Por medio de la condición de magnitud se obtiene el valor de K p.

65 | P á g i n a

El diagrama de bloques con un controlador PD se muestra en la figura 4.12. Controlador PD

R(s)

E(s)

C(s)

2.8(s+2.2352)

+

1/[s(s+1)(s+5)]

-

Figura 4.12 Sistema con un controlador PD

El siguiente programa genera el lugar geométrico de las raíces con una acción de control proporcional derivativa. %Programa 9 %Lugar geométrico de las raíces con un controlador PD num=[1 2.2352]; den=[1 6 5 0]; rlocus(num,den) grid title('Lugar geométrico de las raíces con un controlador PD')

Figura 4.13 Lugar geométrico de las raíces con un controlador PD

66 | P á g i n a

La función de transferencia del sistema en lazo cerrado es:

Los polos del sistema son:

Los polos dominantes son los polos P2,3. El programa 10 genera la respuesta del sistema con una entrada escalón unitaria. %Programa 10 num=[2.8 5.25856]; den=[1 6 7.8 5.25856]; step(num,den) grid title('Respuesta escalón unitario del sistema con un controlador PD')

Figura 4.14 Respuesta del sistema con un controlador PD

La respuesta del sistema presenta las siguientes características:

67 | P á g i n a

Tiempo de retardo td=1.02 segundos Tiempo de subida tr=2.44 segundos Tiempo pico tp=3.24 segundos Sobreelongación máxima Mp=7% Tiempo de asentamiento ts=5.01 segundos Tomando como punto de comparación el sistema diseñado con un controlador proporcional Kp=2.08, el controlador PD supera por mucho las características de respuesta. Véase la tabla 4.2.

controlador

td seg

tr seg

tp seg

Mp %

ts seg(2%)

Kp=2.08

2.44

5.4

6.29

4

9.15

PD

1.02

2.44

3.24

7

5.08

Tabla 4.2 Comparación de los controladores K y PD.

Como se observa, el error en estado estacionario para una entrada de referencia escalón unitario es igual con cero. Para una entrada de referencia rampa unitaria el error en estado estacionario es:

El programa 11 obtiene la respuesta del sistema ante una entrada de referencia rampa unitaria. %Programa 11 num=[0 0 0 2.8 5.25856]; den=[1 6 7.8 5.25856 0]; t=0:0.001:10; y=step(num,den,t); plot(t,y,t,t) xlabel('Tiempo (seg.)')

68 | P á g i n a

ylabel('Respuesta rampa') title('Respuesta rampa unitaria')

Para una entrada rampa unitaria el controlador PD mejoró el error en estado estacionario de 2.403 a 0.8, disminuyó a una tercera parte del valor que tiene con un controlador proporcional Kp=2.08.

Figura 4.15 Respuesta rampa unitaria del sistema con PD

4.5 Análisis del sistema con un controlador PI Un compensador con un polo en el origen y un cero cerca del polo, se llama compensador integral ideal o controlador proporcional integral (PI). Además, un controlador PI es un compensador de retardo y su función de transferencia es la siguiente:

69 | P á g i n a

Según las reglas de Ziegler-Nichols, antes expuestas y aplicadas al controlador proporcional se obtuvo . De la tabla 3.3, para un controlador PI se tiene:

Con los datos anteriores de

se obtiene la función de transferencia

del controlador PI.

El diagrama de bloques del sistema con un controlador PI se presenta en la figura 4.16. Controlador PI

R(s)

E(s)

C(s) 13.5(s+0.427)/s

+

1/[s(s+1)(s+5)]

-

Figura 4.16 Diagrama de bloques del sistema con controlador PI

La función de transferencia en lazo cerrado es la siguiente:

70 | P á g i n a

El siguiente programa genera la curva de respuesta para el sistema con un controlador PI sintonizado con la reglas de Ziegler-Nichols. %Programa 12 num=[13.5 5.7645]; den=[1 6 5 13.5 5.7645]; step(num,den) grid title('Respuesta escalón unitario con Kp=13.5 y Ti=2.342seg')

Figura 4.17 respuesta escalón unitario del sistema con Kp=13.5 y Ti=2.342 segundos

Este sistema presenta grandes oscilaciones, por lo cual el sistema es inestable para un tiempo muy grande. Para el criterio del 2% tiene un tiempo de asentamiento de 237 segundos. Cuando se diseño el controlador PD se observó que parad tener una sobreelongación por debajo del 10%, el factor de amortiguamiento tiene que ser mayor de 0.5212. Para cumplir este criterio se toma .

71 | P á g i n a

El controlador PI agrega un polo en s=0 en lazo abierto, para no modificar la ubicación de los polos en lazo cerrado con de manera pronunciada, se coloca el cero del controlador en s=-0.1. De forma que la función de transferencia del controlador es:

El lugar geométrico de las raíces se obtiene con Matlab. %Programa 13 %Lugar geométrico de las raíces num=[1 0.1]; den=[1 6 5 0 0]; rlocus(num,den) sgrid(0.6,0.628) title('Lugar geométrico de las raíces con PI')

Figura 4.18 lugar geométrico de las raíces con Kp=2.56 y Ti=10 seg.

72 | P á g i n a

Por la condición de magnitud y la gráfica de la figura 4.18 en Matlab, se observa que Kp=2.56, entonces:

%Programa 14 num=[2.56 0.256]; den=[1 6 5 2.56 0.256]; step(num,den) grid title('Respuesta escalón unitario con Kp=2.56 y Ti=10 seg')

Figura 4.19 respuesta escalón unitario con K=2.56 y Ti=10 segundos

Los polos del sistema con Kp=2.56 y Ti=10 segundos son:

73 | P á g i n a

De la figura 4.19 se tiene: Tiempo de retardo td=2.04 segundos Tiempo de subida tr=3.55 segundos Tiempo pico tp=5.6 segundos Sobreelongación máxima Mp=28% Tiempo de asentamiento ts=20.9 segundos para 2% %Programa 15 num=[0 0 0 0 2.56 0.256]; den=[1 6 5 2.56 0.256 0]; t=0:0.01:35; y=step(num,den,t); plot(t,y,t,t) grid xlabel('Tiempo (seg.)') ylabel('Respuesta rampa') title('Respuesta rampa unitaria con Kp=2.56 y Ti=10 seg')

Figura 4.20 Respuesta rampa unitaria con K=2.56 y Ti=10 segundos

De la figura 4.19 se observa que el sistema en comparación con el diseñado con un controlador PD, responde más lento y tiene mayor 74 | P á g i n a

sobreelongación. Comparando la figura 4.17 y 4.19, la figura 4.19 presenta mayor estabilidad, esto se debe al cambio de ganancia y la posición del cero del controlador PI. Para una entrada rampa unitaria, como se observa en la figura 4.20 el error en estado estacionario es igual con cero. Se pueden determinar otros valores de Kp y Ti que mejoren o empeoren la respuesta del sistema para una entrada escalón unitario y rampa unitaria. Una forma es variando la ganancia y dejando el cero en s=-0.1 o variando ambos.

4.6 Análisis del sistema con un controlador PID La función de transferencia de un controlador PID es:

Se sabe que

De la tabla 3.2:

La función de transferencia del controlador es:

75 | P á g i n a

Controlador PID

R(s)

C(s) (6.3225(s+1.4235)^2)/s

+

1/[s(s+1)(s+5)]

-

Figura 4.21 Sistema con controlador PID sintonizado con reglas de Ziegler-Nichols

La función de transferencia en lazo cerrado es:

%Programa 16 %Respuesta escalón unitario con PID num=[6.3225 18 12.812]; den=[1 6 11.3225 18 12.812]; step(num,den) grid title('Respuesta escalón unitario con PID sintonizado por ZieglerNichols')

Figura 4.22 Respuesta escalón unitario con PID sintonizado con reglas de Ziegler-Nichols

76 | P á g i n a

La respuesta a una entrada de referencia escalón unitario presenta una sobreelongación de 62%, lo cual no cumple con la condición de una sobreelongación menor de 25%. En el controlador PI se obtuvo una mejor respuesta cuando el cero se coloco más cerca del origen. Con base en lo anterior se mueve el cero doble del controlador PID a s=-0.5 y Kp=18.

De donde:

La función de transferencia del controlador con doble cero en s=-0.5 es:

La nueva función de transferencia en lazo cerrado es:

%Programa 17 %Respuesta escalón unitario con PID num=[18 18 4.5]; den=[1 6 23 18 4.5]; step(num,den) grid title('Respuesta escalón unitario con PID que posee doble cero en s=0.5')

Las características del sistema se mejoran a una sobreelongación de 13% y un tiempo de asentamiento de 5.83 segundos para un criterio del 2%.

77 | P á g i n a

Se pueden diseñar más configuraciones de un controlador PID, variando los tiempos integral y derivativo y con el lugar geométrico de las raíces determinar la ganancia proporcional. Se puede diseñar también utilizando el procedimiento de diseño de un compensador de atraso-adelanto, el controlador PID es un compensador de atraso-adelanto. Una alternativa es mediante programación, y hacer que el sistema cumpla con las condiciones de respuesta establecidos en el diseño.

Figura 4.23 Respuesta escalón unitario con PID que tiene doble cero en s=-0.5

La función de transferencia del controlador PID puede escribirse como:

Para la ultima configuración se puede realizar un programa en Matlab que varié los valores de K y a que satisfagan las condiciones de diseño. El programa 18 es un ejemplo para que la sobreelongación sea mayor que 2% y menor que 10% y con un tiempo de asentamiento menor de 4 segundos. 78 | P á g i n a

La función de transferencia del sistema en lazo cerrado es:

El programa genera una tabla con los valores de K, a, m y t s. En la ventana de comandos para visualizar la tabla, introduzca ‘table’. %Programa 18 t=0:0.01:30; k=0; for i=1:49; K(i)=51-i*1; for j=1:40; a(j)=2.05-j*0.05; num=[0 0 K(i) 2*K(i)*a(j) K(i)*a(j)*a(j)]; den=[1 6 5+K(i) 2*K(i)*a(j) K(i)*a(j)*a(j)]; y=step(num,den,t); m=max(y); s=3001; while y(s)>0.98 && y(s) table table =

35.0000

0.1500

1.0982

3.8100

34.0000

0.1500

1.0907

3.8600

>>

Las curvas de respuesta se obtienen con los programas siguientes, observe las figuras 4.24 y 4.25.

79 | P á g i n a

%programa 19 K=35; a=0.15; num=[0 0 K 2*K*a K*a*a]; den=[1 6 5+K 2*K*a K*a*a]; step(num,den); grid title('Respuesta escalón unitario')

Figura 4.24 Respuesta escalón unitario con K=35 y a=0.15

%programa 20 K=34; a=0.15; num=[0 0 K 2*K*a K*a*a]; den=[1 6 5+K 2*K*a K*a*a]; step(num,den); grid title('Respuesta escalón unitario')

80 | P á g i n a

Figura 4.25 Respuesta escalón unitario con K=34 y a=0.15

Tomando en cuenta el tiempo de asentamiento más pequeño t s=3.81 segundos, la función de transferencia del controlador PID es:

De donde:

La función de transferencia en lazo cerrado es:

81 | P á g i n a

El sistema en lazo cerrado tiene dos ceros en:

El sistema tiene 4 polos en lazo cerrado:

La gráfica del lugar geométrico de las raíces es el siguiente:

Figura 4.26 Lugar geométrico de las raíces con PID con K=35 y a=0.15

La curva del sistema ante una entrada de referencia rampa unitaria se obtiene con el siguiente programa y la curva se presenta en la figura 4.27. %Programa 21 num=[0 0 0 35 10.5 0.7875]; den=[1 6 40 10.5 0.7875 0]; t=0:0.01:25; y=step(num,den,t); grid plot(t,y,t,t) xlabel('Tiempo (se.)') ylabel('Respuesta rampa') title('Respuesta rampa unitaria con PID que tiene K=35 y a=0.15')

82 | P á g i n a

Figura 4.27 Respuesta rampa unitaria del sistema con PID que tiene K=35 y a=0.15

Al aumentar el sistema de tipo 1 a tipo 2 el error en estado estacionario para una entrada escalón unitario y rampa unitaria son cero, tal como muestran las gráficas de las figuras 4.24, 4.25 y 4.27.

4.7 Análisis del sistema con una entrada perturbación Considerando una entrada perturbación y los parámetros del controlador PID obtenidos anteriormente, el diagrama de bloques se muestra en la figura 4.26 D(s)

R(s)

+ -

10.5(1+1/13.333s+3.333s)

U(s) +

+

1/ (s(s+1)(s+5))

C(s)

Figura 4.28 Sistema de control con entrada perturbación D(s)

83 | P á g i n a

Para D(s)=0:

Para R(s)=0:

Por el principio de superposición:

Con el programa 19 se obtuvo la curva de respuesta para una entrada de referencia escalón unitario y una entrada de perturbación D(s)=0. La curva se muestra en la figura 4.24. %Programa 22 num=[1 0]; den=[1 6 40 10.5 0.7875]; step(num,den) grid title('respuesta escalón unitario con R(s)=0')

De la figura 4.29 se tiene que la curva de perturbación escalón unitario, el sistema de control la lleva a cero en un tiempo de aproximadamente 55 segundos.

84 | P á g i n a

Figura 4.29 Respuesta escalón unitario con R(s)=0 y D(s) escalón unitario

4.8 Análisis del sistema con un controlador I-PD El diagrama de bloques de la figura 4.30 muestra un controlador I-PD con los parámetros que se determinaron para el controlador PID. D(s) R(s)

1/13.333s

+ -

+ +

-

+

10.5

1/ s(s+1)(s+5)

C(s)

1+3.333s

Figura 4.30 Sistema con un controlador I-PD

85 | P á g i n a

Para D(s)=0:

Para R(s)=0:

Observe que para el controlador I-PD la función de transferencia el control PID

y para

son iguales. Lo que conlleva a que los dos controladores

eliminen la entrada de perturbación de igual forma y con el mismo tiempo. La gráfica es la misma de la figura 4.28 para la entrada de perturbación y controlador I-PD. Por el principio de superposición la respuesta del sistema C(s):

El programa 23 obtiene la curva de respuesta de D(s)=0 y una entrada de referencia R(s) escalón unitario.

86 | P á g i n a

%Programa 23 num=(0.7875); den=[1 6 40 10.5 0.7875]; step(num,den) grid title('Respuesta con controlador I-PD, R(s)=1/s y D(s)=0')

Figura 4.31 Respuesta escalón unitario con controlador I-PD con D(s)=0

El sistema con un controlador I-PD, responde muy lento en comparación con el que posee un controlador PID. La ventaja del controlador I-PD es que al estar el control PD en el camino de realimentación no amplifica sin límite el ruido de alta frecuencia en comparación con el controlador PID.

87 | P á g i n a

Conclusiones En el capítulo 4 se obtienen las respuestas del sistema de control con entradas de referencia escalón unitario y rampa unitaria para distintos controladores. La mejor respuesta que satisface los criterios de respuesta de una sobreelongación máxima de 20% y mayor de 2%, con un tiempo de asentamiento menor de 4 segundos para una entrada de referencia escalón unitario y un error igual acero para una entrada de referencia rampa unitaria es el controlador PID con la función de transferencia:

Tiene una ganancia proporcional de

, un tiempo integral de

. y un tiempo derivativo de Se obtiene un tiempo de asentamiento de ts=3.81segundos y una sobreelongación máxima de Mp=9.82%. Con el análisis anterior se verifica la hipótesis del presente trabajo la cual dice: “Un controlador PID en el sistema con una entrada de referencia escalón unitario genera una curva de respuesta con una sobreelongación máxima de 20% y mayor de 2%, un tiempo de asentamiento menor de 4 segundos y con una entrada de referencia rampa unitaria se obtiene un error igual con cero en estado estacionario.”

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Bibliografía 1. Katsuhiko Ogata “Ingeniería de Control Moderna” Cuarta edición. Madrid, 2003 Editorial Pearson Education 2. Bolton, William “Ingeniería de Control” Segunda edición Editorial ALFAOMEGA 3. S. Nise Norman “Sistemas de control para ingeniería” Primera edición Compañía Editorial Continental 4. Katsuhiko Ogata “Dinámica de sistemas” Primera edición Editorial Prentice Hall 5. C. Dorf Richard, H. Bishop Robert “Sistemas de control moderno” Décima edición Editorial Pearson Prentice Hall 6. Gil Novajas Jorge, Rubio Díaz-Cordovés Ángel “Fundamentos de control automático de sistemas continuos y muestreados” Universidad de Navarra. Escuela Superior de Ingenieros

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7. Mazzone Virginia “Introducción a Matlab y Simulink” Universidad Nacional de Quilmes 8. Mazzone Virginia “Herramientas de Matlab” Universidad Nacional de Quilmes 9. Paginas web consultadas. http://www.engin.umich.edu/group/ctm/basic/basic.html http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/index.html http://es.wikipedia.org/wiki/Ingeniería_automática

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