Paradoja de la regularidad

Paradoja de la regularidad March 1, 2015

Abstract Generalmente medimos cardinalidad desde comparando con el conjunto de los naturales. Esto es el

{1, 2, 3, 4, 5 . . .}

hasta lo que concebimos

por innito. Cabe preguntarse ¾Porque? Porque entendemos que es el único conjunto en el que aplica el principio de inducción, esto es, que hay un sucesor nito a cada elemento nito. E interpertamos este concepto como el innito.

Decimos puedes contar

innitos elementos Pero luego de éste surgen otros conceptos como el transnito que simplemente no podemos contar, como la recta del contínuo

R = Reales

Vemos que debemos utilizar una mecánica discreta, es decir, separamos el 1 del 2, lo verdadero lógicamente de lo falso, etc. Sin embargo, tal parece que la realidad es continua y no innita (nada en el Universo es innito, ni los quarks ni la energía.) Cabría preguntarse entonces.

¾Que hay de natural en los números

llamados naturales? A continuación demostraré que el principio de inducción necesariamente no describe a un conjunto innito sino a uno necesariamente nito. Es decir que existen conjuntos nitos mayores a cualquier conjunto innito. Este hecho suena como paradójico y de hecho lo es,. La conclusión matemática de lo mismo será que si damos por válido lo siguiente: A.El principio de inducción B.El axioma de regularidad, según el cual un conjunto no puede contenerse a sí mismo.

=⇒Entonces, ello implica una paradoja matemática a la que podríamos denominar paradoja de la regularidad

Iván Abril Palma

1 Demostración: 1. Supongamos que el lugar de existir todos los números naturales, solo existen, como máximo, x números.

Aunque desafíe nuestra imaginación,

pensemos que x puede ser mayor o menor a urales que concebimos.

1

N

es decir, los números nat-

2. Matemáticamente, la manera en la que contamos es, enlazando los elementos del conjunto que queremos contar con el conjunto de referencia. Generalmente utilizamos

N = N aturales

pero ahora utilizaremos otro

conjunto de referencia cualquiera al que llamaremos mente

x

elementos. Entonces

otro conjunto con

x

U

U

y

U

tiene excta-

puede contarse a sí mismo y a cualquier

o menos elementos. Cualquier conjunto con más de

x

elementos es simplemente incontable. 3. Ahora, ¾Cómo podría denirse el conjunto

U

? Hemos dicho que

U

puede

ser un conjunto cualquiera, por lo que no le presumimos ninguna propiedad en particular ni hemos denido un universo mayor de referencia. Entonces, U no es denible por comprensión.

Propongo que para seguir mejor la

explicación supongamos, por ejemplo que

x=7

pero podría haber sido

cualquier otro número, incluso uno no natural u otra cosa que no sea un número (por ejemplo, vacas o suspiros) ¾Cómo denir U mediante una fórmula matemática?

1

4. Pero tampoco es posible denir U por extensión (es decir, nombrando a todos y cada uno de los elementos) porque sería necesario enumerar, además de a todos los elementos

x

también al mismo conjunto

U

lo que

superaría la máxima cardinalidad disponible. Nótese que separamos entre un conjunto y sus elementos por el axioma de regularidad, si fuera así, se darían ciertas paradojas como la de Rusell y además podría existir el conjunto Universal al que pertenecen todos los conjuntos (en el que se debería incluir él mismo) 5. Podríamos utilizar entonces, una herramienta llamada Sucesión Inductiva para construir un conjunto equipotente a U. Recordemos que la inducción aplica si tras cada elemento nito hay otro elemento también nito. Digamos entonces que empezamos a contar desde el 1 y que no paramos nunca. ¾Hasta donde llegaríamos? 6. Pero en realidad solo sabemos contar hasta 7 que es la cardinalidad máxima que hemos establecido en el ejemplo.

¾Que pasaría?

¾Llegaríamos

alguna vez al 7? 7. De ninguna manera podríamos llegar, para hacer una sucesión inductiva de 7 elementos, esto es

Sinductiva= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Hace falta enumarar

la propia sucesión más los 7 elementos.... lo cual, supera la nuevamente la máxima cardinalidad disponible (en computación llamaríamos a esto buer overow) 8. Sí, podríamos enumerar al antecesor del 7, es decir, el 6, pero ¾Como sabríamos que es el penúltimo elemento?

Si el último elemento no está

disponible ni por comprensión ni tampoco se puede enumerar, simplemente no se puede tener noción de que exista un último elemento.

1 Incluso, U es independiente de N o R o cualquier otro conjunto concebido, por lo que no existe la referencia de ellos para denir al primero.

2

9. Por lo que entonces aplica perfectamente el principio de inducción (=no existe un último elemento) a cualquier conjunto de cualquier cardinalidad. 10. Y el 7 sería el innito, es decir, sería contable pero jamás llegaríamos a él. 11. Cabría plantearse, ¾No podríamos simplemente decir que

U = x + 1 y que

podemos contar hasta el x+1 ? En realidad, este concepto de x+ 1 solo está disponible desde un punto de referencia mayor. Igual que nosotros no podemos concebir el el innito más uno porque para ello habría que llegar primero al innito lo cual por denición no es concebible, podría existir un innito de menor tamaño o mayor tamaño que el nuestro y ¾Cómo poderlo distinguir? Entonces, ¾Como saber que el nuestro es el máximo? 12. Finalmente tampoco se puede cambiar el innito una vez establecido... sería como discretizar el continuo o denir las matemáticas del segundo orden desde el primer orden. 13. Y podemos establecer matemáticamente que para todo

U

existe un uni-

verso mayor (Nuevamente por el axioma de regularidad no se puede denir un conjunto universal que los contenga a todos, porque se contendría a sí mismo, y, por lo tanto, siempre se puede concebir uno mayor) pero si cualquiera llamado menor es en sí mismo innito, entonces tampoco se puede denir, y por lo tanto no se puede denir ninguno. Con lo que se genera la paradoja buscada.

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