Origen de los Espacios funcionales y su relacion con las EDP\'s

EL ORIGEN DE LOS ESPACIOS FUNCIONALES Y SU RELACION CON LAS EDP`S

Huaman Bolaños, Mario Daniel

1 INTRODUCCION En este trabajo, veremos como surgió la necesidad de los espacios funcionales y de innumerables teorías muy abstractas en el análisis funcional, las cuales fueron el resultado de años de investigación de las mentes matemáticas más brillantes de los siglos XIX y XX, motivados por problemas físicos, que hoy en día a nuestros ojos parecieran no tener ninguna relación. De ellos principalmente tratarían estas notas, en las que intentare mostrar algunas de las raíces en las que se sustenta esta parte de las Matemáticas.

JUSTIFICACION E IMPORTANCIA

Ya desde el comienzo del Calculo Diferencial fue poniéndose de manifiesto la conveniencia de considerar conjuntos cuyos elementos, a diferencia de lo que sucede en el Análisis clásico, no son puntos del espacio euclídeo ordinario, sino funciones. Y este es el origen mismo del nombre de Análisis Funcional: el estudio de los “Espacios Funcionales”, es decir, conjuntos formados por funciones, dotados de determinadas estructuras que permiten realizar en ellos gran parte de las operaciones habituales del Análisis (limité de sucesiones, continuidad de funciones sobre ellos, etc.). Si se tiene en cuenta que la noción de función arbitraria, tal como hoy la entendemos, no aparece claramente hasta mediados del pasado siglo, podremos darnos cuenta fácilmente de lo novedosas que son las ideas que llegan a configurar las nociones del Análisis Funcional.

Sin embargo, no hay duda de que se pueden encontrar antecedentes claros del modo de hacer del Análisis Funcional desde el mismo comienzo del Calculo Diferencial, pues el estudio de las Ecuaciones Diferenciales lleva de inmediato a la necesidad de considerar el conjunto de las soluciones y, eventualmente, al estudio de sus propiedades. En este sentido puede entenderse, por ejemplo, el famoso “principio de superposición”, enunciado por Daniel Bernouilli en torno a 1750, que afirma que la forma mas general que puede tomar una cuerda homogénea de longitud  , mantenida en tensión y sometida a vibración en un plano, puede obtenerse como “superposición” de las posiciones mas sencillas que puede adoptar. Teniendo en cuenta que, para pequeñas vibraciones, la posición u(x, t) que ocupa el punto de abscisa x de la cuerda en el instante t viene dada, aproximadamente, por la solución general de la ecuación diferencial

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 2u  2u u ( x,0)   ( x),  2 , con u ( x,0)   ( x), 2 t x t

………..1

donde  y  son la posición y velocidad iniciales de la cuerda, el principio de superposición establece que la solución general de (1) se puede escribir en la forma 

u ( x, t )   a n sennx. cos n(t  bn ), n 1

para elecciones adecuadas de an y bn. En terminología actual, esto significa que el conjunto de soluciones de (1) es un espacio vectorial, cerrado para alguna topología, generado por una familia numerable de funciones. Como ya hemos dicho, uno de los rasgos distintivos del Análisis Funcional es la algebrización del Análisis. Los métodos algebraicos se han desarrollado casi siempre antes que los analíticos y, al considerar esencialmente conjuntos finitos, suelen ser más fáciles de usar. Por ello, una idea reiteradamente utilizada por los analistas ha sido la de considerar las ecuaciones funcionales como casos límites de ecuaciones algebraicas, cuya solución es mas sencilla. Así, por ejemplo, la deducción que hace D. Bernouilli en 1750 de la solución general de la cuerda vibrante, se basa en sustituir la cuerda por n masas puntuales, calcular la posición general del sistema a lo largo del tiempo, y hacer tender formalmente n a infinito. Sin embargo, había muchas imprecisiones, pues ni siquiera existía una definición de lo que era una solución de este tipo de ecuaciones, aquí radica la justificación de la creación de ciertos ambientes en donde estas funciones pudieran vivir tranquilamente, y la importancia de la existencia de estos espacios es debido a que permite un mayor y preciso control de las soluciones de las ecuaciones diferenciales, las cuales modelan procesos físicos, así ayudaban a obtener una base teórica para los modelos estudiados.

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ANTECEDENTES

El concepto de espacio vectorial, operador lineal aun la de dimensión de un espacio vectorial (basado en la independencia) fue introducido por Peano alrededor de 1888, sin embargo estos fueron olvidados El ejemplo mas representativo y, probablemente, mas influyente en el establecimiento del Análisis Funcional, es el de las Ecuaciones Integrales. A lo largo del siglo XIX se habían planteado algunas ecuaciones integrales especiales, habitualmente en relación con cuestiones de la Física. Fue en 1888 cuando P. du Bois-Reymond sugirió el nombre de ecuaciones integrales para designar este tipo de problemas, y propuso desarrollar una teoría general de tales ecuaciones como método alternativo para resolver problemas de ecuaciones diferenciales. Los primeros resultados generales en esta dirección, fueron obtenidos por J.M. Le Roux (1894) y V. Volterra (1896). Ambos establecieron teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones del tipo x

f ( x)   k ( x, t ) f (t )dt  g ( x), a

mediante hipótesis adecuadas sobre el núcleo k. Los resultados son muy similares, pero el trabajo de Volterra tuvo una mayor influencia posterior, al destacar las propiedades algebraicas del operador, lo que le permite obtener la solución en términos de una nueva ecuación integral de segunda especie, cuyo núcleo (núcleo resolvente) viene dado por la suma de la serie de núcleos iterados. Fredholm, estudiante de Mittag – Leffer publico en 1900, una nota, titulada “Sur une nouvelle m´ethode pour la resolution du probl`eme de Dirichlet”. La elegancia y potencia de los resultados de Fredholm causaron un profundo impacto, poniendo la teoría de ecuaciones integrales en el centro de interés de los matemáticos contemporáneos. Los sensacionales resultados de Fredholm se extendieron rápidamente. En el invierno de 1900-1901 E. Holgrem expone estos resultados en Gottingen, en el Seminario de Hilbert, quien se interesó vivamente por el tema y entre 1904 y 1910 publicó seis artículos sobre el Ecuaciones Integrales . En el aparecen nociones y directrices novedosas que posteriormente, en manos de matemáticos como E.Schmidt y F. Riesz, van a convertirse en los fundamentos del Análisis Funcional. El artículo cuarto es uno de los más apreciados de Hilbert. En él aparece claramente el espíritu actual del Análisis Funcional y la Teoría Espectral.

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En sus trabajos el espacio real  2 de las sucesiones ( x n ) de números reales de cuadrado sumable, está implícito en todos estos desarrollos. Más aún, por analogía con la norma euclídea en Rn, Hilbert introduce en  2 la distancia 

d ( x, y )  (  ( x n  y n ) 2 ) 2 , 1

n 1

y extiende, para funciones escalares sobre  2 , las nociones de continuidad, límites, etc. Rápidamente aparece el hecho crucial de que no se cumple el análogo del teorema de Bolzano-Weierstrass en la “bola unidad” de  2 , lo que lleva a Hilbert a considerar el equivalente a la noción actual de “topología débil” en  2 , y prueba su famoso principio de elección, que permite extraer de cada sucesión acotada en  2 una subsucesíon convergente “débilmente. Es evidente, con una perspectiva actual, que estos resultados están prefigurando la teoría de los espacios de Hilbert en su versión canónica de espacio  2 . Por otro lado, en 1906 aparece también la famosa Tesis Doctoral de M. Fréchet “Sur quelques points du calcul fonctionnel”, que tuvo una tremenda influencia, tanto para el desarrollo del Análisis Funcional como para el de la Topología. En su Tesis, Fréchet introduce la noción abstracta de distancia en un conjunto, lo que permite extender las nociones habituales de entornos, límites, continuidad, etc. en conjuntos abstractos. También introdujo Fréchet las nociones de compacidad, completitud y separabilidad, y las estudió en distintos espacios funcionales (C([a, b]), H(D), B([a, b]), etc.), mostrando la importancia de las mismas .Con esto Haussdorff presenta la teoría de espacios métricos en su forma actual. Estas ideas topológicas se difundieron rápidamente. No es extraño, pues, que se intentaran aplicar en el contexto de los importantes trabajos desarrollados por Hilbert. Este programa fue llevado a cabo por el mismo Fréchet y uno de los mejores discípulosde Hilbert: E. Schmidt quien, en un artículo publicado en 1908, definió el “espacio de dimensión infinita”  2 , con las nociones actuales de producto escalar, norma, ortogonalidad,etc. Introdujo también el lenguaje geométrico moderno, probando el teorema de la proyección ortogonal y el proceso de ortogonalización que lleva su nombre. E. Fischer y F. Riesz, también compartieron esta visión geométrica y topológica del espacio de Hilbert, lo que les llevó a descubrir (independientemente) el llamado “teorema de Fischer-Riesz”, que a su vez establece una inesperada relación de estos temas con otro gran descubrimiento de la época: la Teoría de integración de Lebesgue.

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El teorema en cuestión establece que, fijado un sistema ortonormal completo de funciones (  n ), la aplicación f  (( f , n )) n 1 es un isomorfismo hilbertiano entre el espacio L2([a, b]) de las (clases de) funciones de cuadrado integrable Lebesgue sobre [a, b] (que se define en estos trabajos), y el espacio de Hilbert  2 . Como importante subproducto, resulta que los resultados de Hilbert se pueden aplicar a cualquier ecuación integral con núcleo k  L2 ([a, b]2 ) , objetivo perseguido infructuosamente por distintos matemáticos de la época (Hadamard y Hilbert entre ellos.) Las consecuencias de este resultado estructural, hicieron ver la importancia del nuevo Análisis, y abrieron el camino hacia la introducción de los espacios L p y  p por Riesz y, en definitiva, la aparición de la noción general de espacio normado. En1907 Fréchet y Riesz, independientemente, obtienen la representación de cualquier forma lineal continua T sobre el espacio L2 en la forma T ( f )  ( f , g )   f ( x) g ( x) dx

para alguna g del mismo espacio. En 1909, Riesz prueba que cualquier funcional lineal continuo T sobre el espacio C([a, b]) de las funciones reales continuas sobre [a, b], puede escribirse en forma de integral de Stieltjes. Este el famoso “teorema de representación de Riesz”. En 1910, Riesz introduce los espacios Lp, 1  p   , como generalización natural de L2 .Se plantea Riesz la resolución de un sistema de infinitas ecuaciones del tipo b

 f ( x) g ( x)dx  c i

i

(i  I )

a

donde las fi y los escalares ci son los datos, y se trata de encontrar una solución g. Así Riesz muestra que la solución g debe buscarse en la clase [ Lq ], siendo 1  1  1 . De esta manera, aunque sin usar la palabra dual, Riesz establece la p

q

dualidad L*p  Lq . Y define la transpuesta de un operador. En 1913 por lo menos todos los espacios clásicos de Banach habían sido descubiertos: C[a, b]  2 L2 [a, b] L p [a, b] y  p (orden cronológico) En 1918 en Acta Mathematica, Riesz crea su famosa teoría de operadores compactos,. Aunque el desarrollo de la teoría lo hace Riesz en un espacio de Banach concreto, el espacio C ([a, b]), él mismo señala que esto no es esencial, y los resultados son válidos en otros espacios funcionales. De hecho, toda la teoría se desarrolla en términos de la noción de norma, cuyos axiomas se introducen también en este trabajo, para el caso concreto de C ([a, b]).

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Las contribuciones fundamentales a que nos hemos venido refiriendo, preparan el camino para el desarrollo de una teoría general de espacios normados, funcionales y operadores lineales entre ellos. Esto aconteció en la Tesis de S. Banach, defendida Lwow en Junio de 1920 y publicada dos años después en Fundamenta Mathematicae. En la Introducción, Banach declara su intención de demostrar una serie de resultados validos en distintos “campos funcionales”, para lo cual establece un conjunto de teoremas en un marco muy general que, por especialización, dan lugar a los distintos resultados buscados. El marco general en cuestión es precisamente lo que hoy conocemos como espacio normado completo. Banach da la definición axiomática de espacio vectorial real, normado y completo y comprueba que numerosos campos funcionales verifican esos axiomas. En 1929, Banach extiende los conceptos de operador adjunto, conjugado y de operador dual. Por sugerencia de Fréchet estos se llamaron espacios de Banach. La Tesis contiene, entre otros, el principio de acotación uniforme y la forma general del principio de contracción en espacios métricos completos y Banach aplica con gran habilidad estos resultados a distintos espacios funcionales. Finalmente, entre 1930 y1935, von Neumann axiomatiza los espacios de Hilbert, quien agrega que H sea infinito dimensional y separable; encontrando muchas propiedades que hoy en día se estudian (desigualdad de Cauchy ,la ley del paralelogramo y su relación con los espacios normados ), publicando la primera monografía sobre espacios de Hilbert(1932).

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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

¿Cuál es la relación existente entre el origen del análisis funcional y las EDP,s? Hemos visto como por el estudio de determinadas EDP`s y de cómo encontrar sus soluciones surgieron los espacios funcionales, con esto respondemos la pregunta: ¿Cómo se originaron los Espacios Funcionales a partir de la búsqueda de soluciones de determinadas EDP`s? Sin embargo, las EDP son también elemento esencial en otras ramas de la propia matemática, por tanto esto debía ser fundamentado sobre todo en lo que se refiere a su solución y donde estas están; pues pareciera que una vez que se desarrollo el análisis funcional este no haya aportado en el entendimiento de las EDP´s ; entonces nos preguntamos: ¿Cómo ayudan los espacios funcionales para clarificar la noción de solución de una EDP? OBJETIVOS

Conocer las ventajas del uso de los espacios funcionales en el estudio de las EDP. Verificar si existe teoría respecto a las soluciones de las ecuaciones y que tan aplicables son.

POSIBLES SOLUCIONES

La relación existente esta en la búsqueda de solucionar determinadas EDP´s se fue formando una teoría que hoy en día es fundamental en las matemáticas, como es el análisis funcional y veamos de que manera retribuye a las EDP´s su origen. En cualquier caso, como toda otra teoría matemática, el Análisis Funcional surge de la necesidad de encontrar nuevas técnicas para abordar una serie de problemas que los métodos tradicionales no podrían resolver. En la práctica, nos encontramos con soluciones de EDP´s que parecieran no tener sentido pues no son de clase C1 o C2 o de lo que pareciera ser lo mínimo que exige una solución n un determinado problema, así que una alternativa de solución seria: Considerar un o unos conjuntos de funciones mas grandes en donde se encuentren estas soluciones raras. Podríamos tan solo extenderlas a que sean de clase Ck por partes, que parecen ser todas las soluciones no clásicas.

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PRELIMINARES

El estudio sistemático de las EDP (ecuaciones diferenciales parciales) comienza en el siglo 18 con los trabajos de Euler, d’Alembert, Lagrange y Laplace, revelándose como la herramienta principal para un estudio analítico de los modelos provenientes de la física. Esta relación entre las EDP y la física se ha mantenido en el tiempo y es hasta el día de hoy una de las causas principales del desarrollo de las EDP. En el curso del siglo 18 y en los albores del 19 aparece el trío de EDP clásicas, a saber, las ecuaciones de onda, de Laplace y del calor. Estas ecuaciones han servido de paradigma para los desarrollos posteriores y son los indiscutidos ejemplos principales de EDP de segundo orden, aunque su rol central en la clasificación de las EDP y los PVF (problemas con valores en la frontera ) asociados no fueron formulados de manera clara hasta finales del siglo 19. Además de los tres ejemplos clásicos, variadas ecuaciones asociadas con fenómenos físicos surgen en el periodo entre 1750 y 1900, como la ecuación de Euler (1755) para el flujo de fluidos incompresibles, la ecuación de superficie minimal (1760) por Lagrange, la ecuación de Monge-Amp´ere (1755) por Monge, las ecuaciones de Navier-Stokes para el flujo de fluidos por Navier en 1822-1827, complementado por Poisson (1831) y Stokes (1845), las ecuaciones de Maxwell en electromagnetismo (1864), el problema de Plateau como modelo de las burbujas de jabón en la década de 1840, etc. El descubrimiento por D’Alembert de la ecuación diferencial que rige el movimiento y el desarrollo de las técnicas analíticas, relegó el método de Bernouilli a un segundo plano. Sin embargo, la idea persistió y tuvo una influencia decisiva en los trabajos sobre Física de L. Lagrange y, sobre todo, de J. B. Fourier, para la obtención de las ecuaciones diferenciales que controlan los fenómenos de transmisión del calor. Al mismo tiempo, esta idea del paso de lo finito a lo infinito, fue Sistemáticamente utilizada por Fourier para la obtención concreta de soluciones. Aparte de las objeciones formales, el método de truncamiento de Fourier fue muy importante en relación con el problema de resolver sistemas de infinitas ecuaciones lineales y resultó muy fecundo para la teoría, como reconoció un siglo mas tarde F. Riesz, quien le dio el nombre de principio de las reducidas. Este principio se puede entender como un paso “de lo finito a lo infinito” y resultara también, muy útil en la teoría de las ecuaciones integrales, como veremos más adelante. Después de Fourier, los sistemas de infinitas ecuaciones lineales no fueron estudiados en los siguientes 50 años, pero a partir de 1870 volvieron a aparecer en relación con distintos problemas algebraicos y analíticos, estos últimos motivados fundamentalmente por la búsqueda de soluciones del tipo de determinadas ecuaciones diferenciales.

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Durante el último tercio del siglo XIX se hicieron diversos intentos para resolver los sistemas lineales de infinitas ecuaciones con infinitas incógnitas (Poincare, 1895; Van Koch,1896, etc.), pero con un éxito discreto. Hubo que esperar a la publicación de la Memoria definitiva de F. Riesz Les systemes d’equations a une infinite d’inconnues (Paris, 1913), para conseguir una teoría satisfactoria. El punto fundamental es la clarificación de la noción de solución. Los trabajos de Fourier influyeron decisivamente en el tratamiento posterior de las ecuaciones diferenciales. El método de separación de variables, aplicado a otras ecuaciones diferenciales (en general no homogéneas), conduce al estudio de la ecuación diferencial ordinaria de segundo orden y” - q(x)y  y  0, 3 donde  es un parámetro complejo, q(x) es real, y la función incógnita es de clase 2 en un intervalo [a, b] y satisface unas condiciones de contorno  1 y(a)  1 y0(a)  0,  2 y(b)   2 y0(b)  0.

Ch. Sturm (1836) y J. Liouville (1837) desarrollaron una teoría general para abordar este tipo de problemas (llamados desde entonces problemas de SturmLiouville) DESARROLLO FORMAL

Hasta la década de 1920, se entendía que las soluciones de las EDP lo eran en el sentido clásico, esto es, soluciones de clase Ck para operadores diferenciales de orden k. La noción de solución generalizada o débil surge por variadas razones. La primera y más directa tiene relación con el cálculo de variaciones. Por ejemplo, se trata de minimizar la integral de Dirichlet E y se tiene una sucesión minimizante (un) de funciones suaves, fue observado por B. Levi y S. Zaremba que (un) es una sucesión de Cauchy en la norma de Dirichlet, y también en la norma L2. Luego, resulta natural introducir la completación H bajo la norma de Dirichlet del espacio de las funciones suaves que satisfacen una condición de frontera dada. Esto es una variante del proceso comenzado una década antes en el caso de los espacios L2. El espacio H es un subespacio lineal de L2 y está dotado de una norma diferente. Por definición, para cada elemento u de H existe una sucesión (un) de funciones suaves cuyo gradiente converge a un límite en L2. Tal límite puede interpretarse como el gradiente de u en un sentido generalizado. Esto es parte del trabajo de B. Levi, L. Tonelli, que fue continuado por K. O. Friedrichs, C. Morrey y otros. Siguiendo esta línea, la sucesión minimizante (un) convergerá entonces a un límite u en H. Este límite no es en principio una solución clásica de la ecuación de Laplace u  0

en 

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pero puede verse que mantiene ciertas propiedades que tienen las soluciones clásicas, en particular, las relaciones que se obtienen multiplicando la ecuación por una función test   C c () e integrando por partes. Así, las soluciones satisfacen

 u.  0

  C c (), …

 u  0

  C c (),

…..2

y también ……..3

El punto esencial es que (2) tiene sentido para funciones u  C 1 () , e incluso puede verse que para u  H. La relación (3) tiene sentido si u  L2, o incluso cuando sólo u  L1loc . Esto lleva a definir una solución débil de la ecuación de Laplace como una u en un espacio adecuado que satisfaga (2) o, aun más débil, (3). Los espacios adecuados son generalmente los espacios de Sobolev, y el espacio más débil que puede tomarse, asociado a la relación (3), es el espacio de las distribuciones. Existencia de soluciones débiles y regularidad. A menudo es posible demostrar que soluciones débiles, aun en el sentido mas débil (3), resultan ser soluciones clásicas. El primer ejemplo de esto es el celebre lema de Weyl probado en 1940 para la ecuación de Laplace. Ahora, la existencia de soluciones débiles es a veces una consecuencia inmediata del proceso de completación por el que se definen. Esto sucede por ejemplo con la integral de Dirichlet. Así, la introducción del concepto de solución débil representa una evolución metodológica fundamental en el estudio de las EDP y sus PVF asociados, pues introduce la posibilidad de descomponer el estudio de una EDP en dos pasos: 1.- Existencia de soluciones débiles. 2.- Regularidad de las soluciones débiles. Resulta que en varios casos el segundo paso es técnicamente complicado, o simplemente imposible; a veces se puede obtener sólo una regularidad parcial. Este es el caso especialmente de las ecuaciones no lineales Una herramienta importante para la teoría de las EDP fue introducida a mediados de la década de 1930 por S. L. Sobolev, los llamados espacios de Sobolev. El define estos nuevos espacios de funciones, y demuestra la mas importante de sus propiedades, contenida en el las desigualdades de Sobolev. Con los espacios de Sobolev los conceptos de derivada generalizada y solución generalizada de una EDP son clarificados y puestos sobre fundamentos firmes. En el caso unidimensional, los espacios de Sobolev fueron inventados por Banach en 1922, pero usando la norma:

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11 b

f ( x )  max f ( x )  r a xb

 a

r

d p f ( x) dx dx p

La definición de Espacio de Sobolev sobre dominios en Rn se retrasó por el obstáculo: poder encontrar un cómodo concepto de diferenciación. Sobolev en 1938 de manera exitosa resolvió este problema:

Laurent Schwartz presenta en 1950 una nueva perspectiva para las soluciones generalizadas de EDPs. El extiende la clase de las funciones a una nueva clase de objetos, las distribuciones, en la cual se puede definir un calculo que preserva las operaciones básicas del análisis, incluyendo la adición, multiplicación por funciones C1, diferenciación además de, bajo ciertas restricciones, convolución y transformada de Fourier. Esta teoría sistematiza y hace más transparentes definiciones anteriores de funciones generalizadas hechas por Heaviside, Hadamard, Leray y Sobolev en EDP, y por Wiener, Bochner y Carleman en análisis de Fourier. Un antecedente principal del origen de las distribuciones está relacionado con el anterior: Los ingenieros, físicos y técnicos venían usando desde el siglo XIX diferentes cálculos operacionales para resolver fácilmente diversos tipos de ecuaciones funcionales. Estos cálculos, que adolecen de falta de rigor matemático, conducen en muchos casos a resultados satisfactorios. Herramienta fundamental en ellos es el uso de ciertas funciones singulares, como la ubicua “función”  que, aunque introducida explícitamente por G. R. Kirchoff en su tratamiento de la ecuación de ondas en un trabajo publicado en 1882, realmente aparece mas o menos maquillada a lo largo de la historia, en conexión con distintos temas: series de Fourier (Fourier, Th´eorie Analytique de la Chaleur, 1822), funciones de Green, etc. Mas significativa es la utilización de la función  por parte de físicos e ingenieros.

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Así, el ingeniero eléctrico O. Heaviside desarrolló, a finales del siglo XIX, un cálculo operacional de difícil justificación matemática, basado en razonamientos experimentales y que alcanzo una gran difusión en el primer tercio del siglo XX. En este cálculo, la función  aparece como función impulso unidad, derivada de la función H(t), que vale 0 si t < 0 y 1 si t  0. Como explica Heaviside: ...Como H es 0 antes de 0 y constante después, H´ es cero, excepto en t = 0, donde es infinita. Pero su suma total es H. Esto es, H0 es una función de t enteramente concentrada en t = 0, de suma total 1...

(Lo que propugna Heaviside es la validez del teorema fundamental del cálculo para H´, es decir,





H ´ 1 ). La función H aparece de modo natural en la



modelización de todo fenómeno físico que comience en un momento dado. Otros aportes significativos de las distribuciones son los siguientes. Se da un significado mas transparente a la noción de solución elemental fundamental E asociada a un operador elíptico L. Muchas de las aplicaciones de las distribuciones son en problemas formulados en términos de los espacios de Sobolev. Las distribuciones constituyen un conjunto que se asemeja mucho al universo matemático ideal de los físicos e ingenieros, en el que “todo vale”: las funciones son siempre derivables, las series pueden derivarse o integrarse termino a termino, etc. Este universo contiene, por un lado, a las funciones (localmente integrables) y, por otro, a las distintas funciones singulares, como la  y sus derivadas. A Schwartz se debe el lúcido análisis que le condujo a la creación de una teoría sistemática, coherente y muy potente, aplicable a la solución de muy diversos problemas.

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CONCLUSIONES Junto con los espacios Lp, los espacios de Sobolev han resultado ser una de las herramientas mas poderosas del análisis creadas en el siglo 20. Ellos se usan y son estudiados en una amplia variedad de áreas de la matemática que abarca desde la geometría diferencial y el análisis de Fourier hasta el análisis numérico y la matemática aplicada. De manera reciproca usando estos espacios se establece los espacios de Sobolev y la teoría de Distribuciones (Laurent Schwartz ) se establece una mayor precisión en lo referente a las soluciones de las EDP

Bibliografía History of Banach Spaces and Linear Operators, Albretch Pietsch. Un vistazo retrospectivo al desarrollo de las EDP durante el siglo XX, Cesar Flores. History of Functional Analysis, Dieudonne J. A. Partial Differential Equations in the 20th century, H. Brezis y F.Browder