Optimización estructural de armaduras utilizando algoritmos genéticos

OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURAL DE ARMADURAS UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS

Nayar Cuitlahuac Gutierrez Astudillo

Portada Externa de Tesis

Universidad Autónoma de Querétaro Facultad de Ingeniería

OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURAL DE ARMADURAS UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS Tesis Que como parte de los requisitos para obtener el grado de: Maestro en Ciencias en Ingeniería, Con línea Terminal Estructuras

Presenta Nayar Cuitláhuac Gutierrez Astudillo Dirigido por

2007

Dra. Rebeca del Rocío Peniche Vera Querétaro, Qro.

- Escudo y letras doradas - Pastas duras color negro, tamaño carta

Universidad Autónoma de Querétaro Facultad de Ingeniería Maestría en Ciencias, Línea Terminal Estructuras

“OPTIMIZACIÓN ESTRUCTURAL DE ARMADURAS UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS” TESIS Que como parte de los requisitos para obtener el grado de Maestro en Ciencias en Ingeniería, con Línea Terminal Estructuras Presenta: Nayar Cuitláhuac Gutiérrez Astudillo Dirigido por: Dra. Rebeca del Rocío Peniche Vera SINODALES Dra. Rebeca del Rocío Peniche Vera Presidente

firma

M.C. Enrique Rico García Secretario

firma

M.en I. José Luís Reyes Araiza Vocal

firma

M.A. Roberto Alvarado Cárdenas Suplente

firma

Dr. Roberto de la Llata Gómez Suplente

firma

Dr. Gilberto Herrera Ruiz Director de La Facultad de Ingeniería

Dr. Luis Gerardo Hernández Sandoval Director de Investigación y Postgrado

Centro Universitario Querétaro, Qro. Marzo, 2007 México

RESUMEN El objetivo de este trabajo es encontrar la configuración óptima para un problema estructural dado en un dominio espacial continuo. Por configuración óptima entendemos, reducir al mínimo el volumen de material empleado y maximizar la rigidez de la estructura ante las combinaciones de cargas supuestas por el diseñador. Se propusieron dos problemas, encontrar la armadura de un puente y la armadura de un invernadero. El procedimiento empleado para el diseño elástico es el propuesto por el American Institute of Steel Construction. En ambos problemas se busca la optimización de la topología, la geometría y las dimensiones de la armadura, en la misma corrida. Para poder combinar estos tres tipos de optimización se emplearon Algoritmos Genéticos (AG). Los AGs constituyen una técnica de optimización, empleada a menudo en el proceso de diseño ingenieril y arquitectónico. Esta técnica se desprende de la llamada computación evolutiva, de la cual surgen las estrategias evolutivas, la programación genética, la coevolución y los algoritmos genéticos; todas ellas se basan en el principio evolutivo de Darwin, la supervivencia del más apto. En términos generales el proceso es el siguiente; se generan individuos (soluciones factibles del problema), se evalúan estos con respecto a condiciones del medio (restricciones y funciones objetivo) y se les califica según su adaptabilidad al mismo; se escogen los individuos de manera aleatoria, de entre los más aptos, para ser los progenitores de la siguiente generación (nuevo conjunto de soluciones) y a los progenitores se les aplican las operaciones genéticas para formar una nueva generación. Los pasos anteriores se consideran en un ciclo que se repite hasta que la condición de paro se satisface, que en este caso, fue el número de generaciones. Los individuos se representan con valores reales en una matriz. Cada individuo es analizado por medio del Método de Elemento Finito. Los resultados mostraron soluciones ligeramente distintas (menos del 2%) de las encontradas en otros trabajos. El tiempo de cómputo fue en ambas corridas alrededor de 7 horas, tiempo aceptable si consideramos que el diseñador interviene únicamente para dar los parámetros iniciales. Concluimos que al emplear AG para encontrar soluciones, en problemas de diseño estructural, estas son bastante buenas y se obtienen de forma automatizada en un tiempo razonable. Con esta metodología se pueden agregar restricciones no estructurales que amplían las posibilidades de los problemas a tratar y que plantean diseños multidiciplinarios complejos. Esto queda fuera del alcance de casi cualquier otra técnica de optimización. (Palabras clave: optimización, algoritmos genéticos, armaduras, diseño estructural)

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SUMMARY The goal of this work is to find the optimum configuration for a given structural problem in a continuous spatial design domain. By optimum configuration, we understand to reduce to a minimum the volume of employed material and to maximize the structure stiffness against loads combinations supposed by the designer. Two problems were proposed, finding the truss structure of a bridge and the truss structure of a greenhouse. The employed procedure for the elastic design is the one established by the American Institute of Steel Construction. In both problems is sought the optimization of the topology, form, and sizing of the truss structure, in the same run. In order to be able to combine these three optimization types Genetic Algorithms (GAs) were used. GAs are a optimization technique, that is used usually in the engineering and architectural design process. This technique comes from the socalled evolutionary computation, from which surge evolutionary strategies, genetic programming, coevolution and genetic algorithm; all of which are based on Darwin´s principle of evolution, survival of the fittest. In general terms the process is the following one: individuals are generated (feasible solutions of the problem), these individuals are evaluated according to environment conditions (restrictions and objective functions) and individuals are graded depending on their fitness to the environment; individuals are chosen randomly, among the fitter ones, to be the progenitors of the next generation (new solution set) and the genetic operations are applied to them in order to produce a new generation. Previous steps are considered in a cycle which is repeated until the stop condition is satisfied, in this case the number of generations. The individuals are represented in a matrix of real values. Each individual is analyzed by means of the finite element method. Results showed slightly different solutions (less than 2%) from the ones found in other works. The computational time was in both runs of about 7 hours, an acceptable time if we consider that the designer just gets involve by typing the initial parameters. We conclude that using GA to find solutions, in structural design problems, these solutions are very good and are obtained in an automatic manner in a reasonable time. With this methodology non structural restrictions can be added which enlarge the possibilities of the type of problems to resolve and that raise complex multidisciplinary designs. This possibility is outside the range of almost all other optimization techniques. (Keywords: optimization, genetic algorithm, truss structures, structural design)

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DEDICATORIAS

A mis padres, mi esposa, mis hijos, amigos y maestros.

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AGRADECIMIENTOS Al Dr. Gilberto Herrera Ruiz y a la Dra. Peniche con especial sentimiento les agradezco la confianza que me dieron para desarrollar mis habilidades dentro de esta institución. Sin los consejos siempre oportunos y precisos del Dr. Francisco Carrión y el Dr. Roberto de la Llata muy probablemente no habría podido sacar este compromiso a tiempo y en forma. A mis amigos Enrique y Roberto por su apoyo en la realización de este trabajo. A todas las personas que conocí en la Facultad de Ingeniería de la UAQ, me hicieron sentir como en casa. Todos los aquí mencionados son un gran ejemplo a seguir y el simple hecho de haberlos conocido es un honor para mí. Al CONACYT por el apoyo brindado durante este trabajo.

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ÍNDICE Página RESUMEN ............................................................................................................................. i SUMMARY............................................................................................................................ii DEDICATORIAS.................................................................................................................iii AGRADECIMIENTOS........................................................................................................ iv ÍNDICE................................................................................................................................... v I. INTRODUCCIÓN.............................................................................................................. 1 I.2. Hipótesis de trabajo. .................................................................................................. 4 I.3. Objetivos ....................................................................................................................... 4 II. REVISION DE LITERATURA EN COMPUTACIÓN EVOLUTIVA. ........................ 5 II.1. Panorama general...................................................................................................... 5 II.2. Computación evolutiva ............................................................................................ 5 II.2.1. Algoritmos evolutivos ............................................................................................... 6 II.2.2. Computación evolutiva y diseño en ingeniería .................................................. 10 II.2.3. Algoritmos evolutivos avanzados......................................................................... 11 II.3. Diseño evolutivo y creatividad............................................................................. 12 II.3.1. Diseño creativo........................................................................................................ 13 II.3.2. Diseño evolutivo y la teoría de la solución inventiva de problemas (TSIP)... 14 II.3.3. Emergencia.............................................................................................................. 14 II.3.4. Diseño integrado..................................................................................................... 15 II.4. Representaciones de diseño evolutivo.............................................................. 17 II.4.1. Optimalidad contra Creatividad ........................................................................... 18 II.4.2. Escoger representaciones de diseño apropiadas ............................................. 19 II.4.2.1. No-redundancia ................................................................................................... 19 II.4.2.2. Legalidad .............................................................................................................. 19 II.4.2.3. Entereza................................................................................................................ 20 II.4.2.4. Propiedad lamarquista........................................................................................ 20 II.4.2.5. La causalidad (también conocido con el nombre de la continuidad) .......... 20 II.4.3. Taxonomía de representaciones.......................................................................... 20 II.4.4. Representaciones de diseño tradicionales......................................................... 22 II.5. Métodos de manipulación de restricciones en diseño evolutivo ............... 24 II.5.1. Funciones de penalización.................................................................................... 24 II.5.2. Otros métodos......................................................................................................... 26 II.6. Diseño evolutivo multiobjetivo ............................................................................ 28 II.7. Diseño Coevolucionario......................................................................................... 29 II.8. Computación evolutiva en ingeniería estructural........................................... 30 II.8.1. Problemas de diseño estructural.......................................................................... 31 II.8.2. Diseño topológico óptimo ...................................................................................... 32 II.8.3. Optimización de forma ........................................................................................... 34 II.8.4. Optimización de medidas ...................................................................................... 34 II.8.5. Perspectiva histórica .............................................................................................. 35 II.9. Comentarios de la revisión de literatura. .......................................................... 36 III. METODOLOGÍA .......................................................................................................... 38 v

III.1. Definición del modelo............................................................................................ 41 III.1.1. Modelo Matemático ............................................................................................... 41 III.1.2. Método de elemento finito .................................................................................... 44 III.1.2.1. Ecuaciones de rigidez de la estructura........................................................... 45 III.1.2.2. Ecuaciones de rigidez del elemento ............................................................... 49 III.1.2.3. Ensamble de elementos en la armadura plana............................................. 51 III.1.2.4. Ensamble considerando como satisfacer el equilibrio ................................. 53 III.1.2.5. Ensamble como lo dicta la numeración de los nodos .................................. 56 III.2. Operaciones Genéticas......................................................................................... 59 III.2.1. Introducción ............................................................................................................ 59 III.2.2. Mutación.................................................................................................................. 60 III.2.3. Cruzamiento ........................................................................................................... 60 III.2.4 Reproducción .......................................................................................................... 62 III.3. Algoritmo Génetico propuesto. .......................................................................... 63 III.3.1. Datos de entrada. .................................................................................................. 63 III.3.2. Ciclo para generar las poblaciones. ................................................................... 64 III.3.2.1. SubCiclo de nodalización.................................................................................. 64 III.3.2.2. SubCiclo de generación de individuos............................................................ 64 III.3.2.3. SubCiclo de obtención de masas .................................................................... 65 III.3.2.4. SubCiclo de Análisis Estructural ...................................................................... 66 III.3.2.5. SubCiclo para obtener datos para la evaluación .......................................... 67 III.3.2.6. SubCiclo para evaluación de los individuos................................................... 67 III.4. Validación del modelo ........................................................................................... 69 III.4.1. Descripción de metodología para validación .................................................... 69 III.4.1.1. Conjunto de parámetros iniciales y conjunto de funciones ......................... 70 III.4.1.2. Función de adaptabilidad .................................................................................. 72 III.4.1.2. Procedimiento General de solución ................................................................ 73 III.4.2. Descripción del problema..................................................................................... 74 III.4.3. Resultados .............................................................................................................. 75 III.5. Interpretación de resultados................................................................................ 82 IV. CASO DE ESTUDIO (Invernadero Amazcala)..................................................... 84 IV.1. Descripción del problema .................................................................................... 84 IV.2. Datos de entrada .................................................................................................... 86 V. RESULTADOS Y DISCUSION................................................................................... 88 V.1 Comparación de propuestas. ................................................................................ 92 V.2 Conclusiones............................................................................................................. 95 VI. BIBLIOGRAFÍA ........................................................................................................... 98 VII. APENDICE ................................................................................................................ 101

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ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1 2 3 4 5 6 7

Página Representación matricial Comparación de secciones Comparación de coordenadas y tiempos de cómputo Secciones comerciales Dimensiones de la mejor solución para la armadura del invernadero. Deformaciones, Esfuerzos internos y resistencias. Pesos de armaduras

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59 79 80 86 90 90 92

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1 2 3 4 5 6 7 8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

Página Invernadero tipo Holandés, cubierta de vidrio y estructura 3 metálica, [Matallana, 1995]. Topología, forma, y optimización del dimensionamiento para el problema continúo de diseño estructural 31 Topología, forma y optimización del dimensionamiento para problemas de diseño estructural discreto 32 Una armadura plana de tres barras. 47 Cargas nodales consistentes con respecto a los estados de desplazamientos 47 Un elemento uniforme de una armadura, orientado arbitrariamente en el plano xy. 50 El elemento de la armadura después del desplazamiento nodal, ui>0, vi=uj=0 han sido impuestos. 50 (a) Distribución del peso W de una armadura a sus nodos. (b) Cargas en los nodos asociadas ccon el calentamiento uniforme de T grados arriba de la temperatura sin esfuerzo. 55 Una estructura de cuatro nodos construida para dos elementos triangulares. 56 Proceso de cruzamiento mediante cigoto de información 62 Diagrama de flujo del algoritmo genético. 63 Ejemplo de armadura con nodos mal resueltos. 67 Evolución de pesos y calificaciones. 69 Dominio de diseño. 74 Evolución fase inicial. 76 Evolución Fase Final 77 Evolución 78 Comparación de geometrías. 80 Mejores soluciones de otras corridas 81 Evolución según la metodología de Yang (2002) 82 Estructura principal, dimensiones y armadura principal en cubierta. 84 Armadura actual contra modificada. 85 Dominio Invernadero 86 Evolución etapa inicial. 88 Etapa final de la evolución 89 Forma y nodos en la armadura (Individuo 183). 89 Evolución de las soluciones. 91 Condiciones de frontera. (a) En esta propuesta (b) Invernadero Amazcala 93

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I. INTRODUCCIÓN Hasta hace poco tiempo, las computadoras en diseño estructural se utilizaban principalmente para propósitos analíticos en la fase del detallado del diseño. Actualmente, su campo de acción es más versátil. Y se aplican para todas las fases del proceso de diseño, como la generación de conceptos de diseño (diseñar topologías, o esquemas), pasando por el anteproyecto (diseñar la especificación de forma), y finalmente en el proceso del detallado del diseño (dimensionamiento de los miembros estructurales). Entre los paradigmas computacionales, la computación evolutiva (CE) es reconocida como una herramienta apropiada para varias aplicaciones computacionales tradicionales y nuevas (automatización del diseño) en ingeniería estructural, [Kicinger et al. 2005].

En este trabajo se busca la automatización del diseño estructural de armaduras. Se tratan problemas en dos dimensiones. Estos tienen la característica de encontrarse en un dominio rectangular. La intervención del diseñador se limita a establecer las condiciones de frontera y una base de datos de las secciones comerciales a emplear en el diseño de la armadura. Se emplean algoritmos genéticos (AGs) para la metodología de la propuesta.

Aquí se programo una herramienta computacional que resuelve problemas generales de armaduras. Esta herramienta, basada en el principio de Darwin, genera soluciones que agrupa en un conjunto llamado generación. Las condiciones de frontera son en este caso las condiciones ambientales a las que se enfretarán nuestras soluciones (individuos). De estas condiciones se derivan las restricciones y penalizaciones de nuestros individuos. Las restricciones son límites que el individuo no debe rebasar al aplicarle las condiciones del medio. Las penalizaciones son cargas numéricas agregadas a la calificación de adaptabilidad de nuestro individuo. La adaptabilidad depende del objetivo que se tenga en el problema. Aquí lo que se quiere optimizar es la masa de la armadura. Entonces 1

las penalizaciones son masas adicionales que se agregan a la masa de la armadura. Estas penalizaciones van variando según el peso de la restricción que se haya violado. Después del proceso en donde se califica a una generación los individuos son clasificados y seleccionados para formar parejas. A estas parejas se les aplican las operaciones genéticas (mutación, cruzamiento y reproducción) para formar una nueva generación de individuos. El proceso anterior se repite hasta que se alcanza el criterio de paro. Este puede ser un determinado número de generaciones, la convergencia de la solución o el haber encontrado el óptimo global de la solución. Para validar la metodología antes mencionada se resuelve un problema encontrado en la literatura. El problema es el encontrar la armadura de un puente. Este problema lo resolvieron de forma automatizada y aplicando Programación Evolutiva. Y como un segundo problema se emplea la metodología en la solución de la armadura de cubierta para un invernadero. Se escoge esta por ser un problema estructuralmente complejo y que requiere cumplir con no solo estructurales si no también geométricos. Un invernadero tiene diversas funciones, tales como: proteger al cultivo de condiciones climáticas

adversas, controlar

plagas que puedan causar daño a la cosecha, aprovechar o controlar la radiación solar, crear un clima adecuado al interior del mismo, producir cosechas más abundantes y de mejor calidad que en campo abierto y ahorrar materia prima (agua, fertilizantes, etc.) [EN 13031-1, 2001]. Debido al escaso desarrollo tecnológico existente en nuestro país, en lo que respecta al diseño y construcción de invernaderos, la mayoría de las estructuras se adquieren en países como Francia, Canadá, España, Holanda o Israel [AMPHI, 2001]. Algunos de los tipos de invernaderos son: plano, capilla, diente de sierra, parral, túnel, asa de cesta, semi-elíptico, holandés (fig. 1), etc., clasificados por su forma, que está determinada por la cubierta. Cada uno con ventajas y desventajas que se deben tomar en consideración. Adicional a la necesidad de tecnología propia en lo que respecto a invernaderos también se encuentra la problemática del agua. Particularmente en el estado de Querétaro en 1986 se extraían casi 40 millones 2

de metros cúbicos de agua a 60 metros de profundidad en el 2000 se extrajeron 103 millones de metros cúbicos a 120 metros de profundidad y de ese volumen el 84% fue para producción agrícola [CEA,2004]. Problemática que se puede reducir con el empleo de invernaderos, que resultaran más económicos empleando tecnología del país.

Figura 1 Invernadero tipo Holandés, cubierta de vidrio y estructura metálica, [Matallana, 1995].

Para el problema del invernadero se consideran las condiciones de la comunidad de Amazcala, ubicada en el estado de Querétaro. Una de las condiciones locales determinantes es la velocidad del viento la cual se toma de 100 km/hr para un periodo máximo de 10 años [Manual CFE, 1980], como carga de cultivo tomaremos la correspondiente al tomate según [EN 13031-1, 2001].

A continuación se listan los criterios de diseño para la armadura de cubierta: 1. Buscar una forma aerodinámica, para el perfil externo de la armadura. 2. Buscar una forma rígida para la topología de la armadura. 3. Buscar la combinación de perfiles que sea la más adecuada para 3

resistir las cargas de cultivo y de viento al mismo tiempo. 4. Hacer que la geometría y topología anterior encajen dentro de un dominio espacial definido por las necesidades del cultivo.

De estos cuatro puntos se pude inferir que se tiene una gran cantidad de combinaciones posibles que pueden generar un buen diseño. En este trabajo se aborda este problema desde un punto de vista evolutivo en donde los cuatro puntos anteriores se optimizan de forma simultánea para generar la mejor solución posible sin que el diseñador meta las manos en el proceso de diseño en si. Aquí se plantea que una herramienta computacional resuelva

automáticamente el

problema y encuentre una solución óptima, a partir de un dominio espacial continuo y un conjunto discreto de perfiles comerciales, con que se cumplirá con las cuatro condiciones antes mencionadas. I.2. Hipótesis de trabajo.

El problema de diseño de la armadura principal de cubierta de un invernadero puede resolverse con herramientas evolutivas, las que sin sacrificar características necesarias para dicha armadura, encontrarán una solución óptima.

I.3. Objetivos

En el presente trabajo se pretende encontrar de forma automatica la configuración óptima para la armadura principal del invernadero, reducir al mínimo el volumen de material empleado y maximizar la rigidez de la estructura ante las combinaciones de cargas que se presenten en la armadura.

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II. REVISION DE LITERATURA EN COMPUTACIÓN EVOLUTIVA.

II.1. Panorama general El nuevo milenio testifica el surgimiento de la tecnología de la Información como la fuerza de conducción del progreso en la ingeniería civil, particularmente en el área computacional relacionada con el diseño. El aumento en la sofisticación de los programas de computadora, su disponibilidad, la creciente velocidad para efectuar los cálculos y siempre la disminución de costos ha tenido impacto significativo en los proyectos de ingeniería civil, que conlleva a un cambio de paradigma. En este apartado se presenta un estudio de los desarrollos recientes de métodos evolutivos basados en la ingeniería estructural y su contexto histórico. Se buscó recolectar, analizar, y describir claramente los avances en la investigación en este campo desde sus orígenes, a mediados de 1970. Es posible que algunos trabajos e investigaciones importantes y estimulantes hayan sido omitidos sin intención. Se buscó que el lector tenga un panorama amplio de lo que es la computación evolutiva y no se limite simplemente a lo aplicado en este trabajo. II.2. Computación evolutiva La computación evolutiva (CE) es una técnica innovadora que utiliza modelos computacionales asociados a procesos de evolución y selección natural. Estos modelos se basan en conceptos y comportamientos de la teoría de la evolución de Darwin y la selección natural, que son codificados en algoritmos evolutivos (AE) y usados para resolver problemas en muchos campos de la ingeniería y la ciencia [Kicinger et al. 2005].

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La similitud con los procesos biológicos así como sus aplicaciones iniciales para modelar sistemas complejos adaptables influyeron en la terminología usada por los investigadores en la CE. Dicha técnica se basa en los comportamientos en genética, la teoría evolutiva y la biología celular. Así, una posible solución a un problema se llama individuo mientras que un conjunto entero (o más exactamente un súper conjunto) de soluciones actuales es llamado una población. Para ciertos problemas

de

dominios,

una

población

puede

ser

dividida

en

varias

subpoblaciones. La representación real (codificación) de un individuo es llamada genoma o cromosoma. Cada genoma consiste de una sucesión de genes, es decir, los atributos que describen un individuo. Un valor de un gen es llamado un alelo. Cuando las soluciones individuales son modificadas para producir nuevas soluciones candidato se dice que están criando y la nueva solución candidato es llamada una descendencia o un hijo. Durante la evaluación de una solución candidato, esta recibe una calificación llamada adaptabilidad, que indica la calidad de la solución en el contexto de un problema dado. Cuando la población actual es reemplazada por su descendencia, la nueva población se llama una nueva generación. Finalmente, el proceso entero de buscar

una solución óptima se

llama evolución [Kicinger et al. 2005]. II.2.1. Algoritmos evolutivos Los algoritmos evolutivos son una familia de algoritmos de búsqueda basados poblacionalmente que simulan la evolución de estructuras individuales mediante procesos correlacionados de selección, reproducción y mutación. Existe una variedad de AE que han sido propuestos y estudiados. Ellos comparten las suposiciones fundamentales pero difieren en la estrategia de cría a ser usada y en la representación de AE que operan. Actualmente se han desarrollado cuatro principales tipos de AE: Estrategias evolutivas (EE), la programación evolutiva (PE) y los algoritmos genéticos (AG). Estos últimos han sido usados principalmente para 6

obtener

soluciones a problemas de dominio parametrizado. Por otra parte, el cuarto tipo de AE desarrollado más recientemente, es la programación genética (PG), que ha sido usada entre otras, en la elaboración de programas reales de computadora para resolver varias tareas computacionales. Existen también muchos modelos de híbridos que incorporan algunas de las características de los paradigmas anteriores, como son: el algoritmo de CHC, los estructurados AG, el criador AG, los desordenados AG y muchos otros. Desde el punto de vista de la ingeniería, la CE puede ser entendida como un proceso de búsqueda y optimización en el que una población de soluciones experimenta un proceso de cambios graduales. Este proceso depende de la adaptabilidad (una medida formal del comportamiento percibido) de las soluciones individuales definidas por el entorno (la función objetivo). Un AE canónico consiste de los pasos siguientes: 1. Inicialice la población 2. Evalúe todos los miembros de la población, mientras que la condición de terminación no sea satisfecha 3. Escoja individuos en la población para ser los padres 4. Cree nuevos individuos aplicando los operadores de variación a las copias de los padres 5. Evalúe los nuevos individuos 6. Reemplace algunos o todos los individuos en la población actual con los nuevos individuos mejorados 7. Vaya al paso 2 Antes de que un proceso evolutivo real empiece, se crea una población inicial de individuos (soluciones). Tradicionalmente, la población inicial es creada aleatoriamente pero se admite que otras técnicas de inicialización hayan sido usadas (por ejemplo empezando por un conjunto de soluciones

previamente

conocidas o arbitrariamente supuestas). Después, cada individuo en la población 7

inicial se evalúa y se le asigna un valor de adaptación. Usando los valores de adaptación, el mecanismo de selección escoge un subconjunto de la población actual como los padres para crear nuevos individuos. Cuando el mecanismo de selección se predispone hacia individuos con la mejor adaptación, la descendencia creada puede probablemente tener una adaptación mayor. Una vez que el conjunto de los padres se ha escogido, los nuevos individuos son creados copiándolos y aplicándoles operadores de mutación. Estrategias de selección: •

La selección proporcional de la adaptabilidad [Kicinger et al. 2005] normaliza los valores de adaptación de todos los individuos en la población y asigna estos valores normalizados como probabilidades de que los individuos respectivos sean escogidos.

•

La selección clasificada trabaja primero clasificando todos los individuos en la población por su adaptación, y usa estas categorías, antes que valores de adaptación reales, para determinar las probabilidades de selección de los individuos.

•

Una forma común de la selección clasificada es de rango lineal [Kicinger et al. 2005] donde los individuos son primero clasificados en orden creciente según sus valores de adaptación. Cada individuo se escoge entonces con una probabilidad basada en cierta función lineal de su rango.

•

Otra estrategia popular de selección es un torneo de selección. En esta estrategia, un conjunto de n individuos es escogido al azar de la población. Cada uno de los individuos en el conjunto es escogido independientemente y puede que sea el caso que el mismo individuo se escoja varias veces. Después, un individuo del conjunto con el valor de adaptación más alto es escogido para formar la nueva población. Este procedimiento se repite tantas veces como el requisito para crear una 8

población totalmente nueva o un subconjunto de ésta. El tamaño del conjunto es un parámetro que controla la magnitud de la presión de selección. •

Finalmente, la selección de truncamiento escoge sólo cierta proporción de los mejores individuos en la población. Esta estrategia es más popular dentro de la comunidad de EE, donde es usado en dos opciones básicas: ( µ , λ ) y ( µ + λ ) [Kicinger et al. 2005]. En el caso anterior, la selección sólo opera en la población de descendencia, mientras que en el último caso escoge individuos de una población formada de ambos padres y descendientes.

Los dos operadores de variación más populares son la mutación y la recombinación o cruzamiento. La mutación actúa en un solo individuo y trabaja aplicando cierta variación para uno o más de los genes en el cromosoma del individuo (similar a un operador de variación usado en otros mecanismos de búsqueda como subiendo la colina o recocido simulado). La recombinación, por otra parte, opera en múltiples individuos (normalmente dos) y combina partes de estos individuos para crear nuevos. Los individuos recientemente creados se evalúan y se les asignan valores de adaptación. Entonces, toda o sólo un subconjunto de la población actual es reemplazado por estos nuevos individuos. Si la población entera es reemplazada por los nuevos individuos entonces el algoritmo es llamado AE generacional. Por otra parte, si sólo un subconjunto de la población original es reemplazado entonces el algoritmo es llamado un AE de estado estable. Los pasos 3–6 del AE canónico definido antes son desarrollados hasta que un supuesto criterio de paro es alcanzado, que es normalmente definido como un número determinado de generaciones o evaluaciones de la función de adaptación.

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II.2.2. Computación evolutiva y diseño en ingeniería El proceso evolutivo básico descrito anteriormente es llamado “un algoritmo evolutivo simple”, en cierto sentido éste contiene el conjunto mínimo de características necesarias para ser un sistema evolutivo Darwiniano. Estos simples AE tienen propiedades sorprendentemente útiles, principalmente para resolver problemas difíciles de optimización global. Se comportan bien cuando son aplicados a problemas con componentes no lineales, estocásticos, temporales, o caóticos, donde las técnicas de optimización tradicional, como gradiente descendente, escalando la colina, la búsqueda aleatoria, entre otras, son generalmente inoperantes. Los tres puntos principales al aplicar AEs a un problema de diseño en ingeniería son: 1. Escoger una representación apropiada. 2. Definir operadores genéticos eficientes. 3. Proporcionar una función de evaluación adecuada para estimar la ‘‘adaptación'' de las soluciones generadas (puntos en el espacio de búsqueda). Una representación apropiada de un sistema de ingeniería es uno de los elementos esénciales del diseño evolutivo. Este asunto es particularmente importante cuando una de las metas principales es la creatividad/novedad de los diseños

producidos

en

procesos

evolutivos.

El

proceso

de

crear

una

representación eficiente y adecuada de un sistema de ingeniería para el diseño evolutivo es complicado e involucra elementos de la ciencia y de arte. Uno tiene que tomar en cuenta no sólo los aspectos más importantes del

modelado

tradicional de un sistema de ingeniería, sino también asuntos computacionales pertinentes que incluyen eficiencia de búsqueda, escalabilidad, y mapeo entre un espacio de búsqueda (espacio de genotipo) y un espacio de los diseños reales 10

(espacio de fenotipo). En la sección 4, se presenta una discusión más detallada de las representaciones de AE. Un asunto importante es la elección apropiada y ejecución de operadores genéticos, es decir operadores de mutación y de recombinación, y una cuidadosa afinación de sus proporciones, ya que ello puede tener impacto en el éxito del AE y por lo tanto ha sido un asunto de estudio, tanto de campos teóricos como de investigaciones experimentales. Cualquier implementación particular de una operación de mutación o recombinación es dependiente de la representación. Así, por ejemplo AGs con representaciones de cadenas binarias usan la mutación de cambio de 0 a 1 y 1- , ó 2- puntos de cruce, mientras que con los vectores de valores reales se usa la mutación Gaussiana y el operador de recombinación que cambia/promedia cromosomas de padres. Los operadores genéticos son las fuentes primarias de la exploración en AE. Por otra parte, los mecanismos de selección proporcionan a los

AE

poder de explotación. Así, como definir y

controlar correctamente los mecanismos de variación (operadores genéticos), uno puede lograr una meta a un nivel más alto para encontrar “un equilibrio efectivo entre la exploración adicional de regiones inexploradas del espacio de búsqueda y explotar la regiones ya exploradas'' [Kicinger et al. 2005]. Las funciones de evaluación proporcionan a los AEs la realimentación sobre la adaptación de cada uno de los individuos en la población. Los AEs usan esta realimentación para predisponer el proceso de búsqueda a fin de mejorar la adaptación promedio de la población. II.2.3. Algoritmos evolutivos avanzados Varias tendencias modernas en CE relajan algunas de las suposiciones encontradas en los AE canónicos. Por ejemplo, en AEs multiobjetivo, un requerimiento de un valor de adaptación sencillo que determina la calidad de un individuo es reemplazado por varios criterios de adaptación independientes. Otra 11

suposición de uso de una población en evolución única que se relaja en poblaciones paralelas, o diversificadas, y lo encontramos en los AEs así como en los algoritmos coevolucionarios (ACE). En un modelo bastante popular de un AE paralelo, llamado el modelo de isla AE [Kicinger et al. 2005], en el que la evolución ocurre en subpoblaciones paralelas múltiples evolucionando independientemente con ocasionales “migraciones” de ciertos individuos |entre subpoblaciones. Los ACEs típicamente usan múltiples subpoblaciones pero adicionalmente modifican otra suposición fundamental, es decir que los individuos no son evaluados independientemente el uno del otro. Dos modelos comunes de ACE incluyen ACEs cooperativos, donde la adaptación de un individuo es evaluada por “cooperación” con individuos de otras subpoblaciones, y los ACEs competitivos [Kicinger et al. 2005], donde la adaptación de un individuo es determinada por su competencia contra individuos de otras poblaciones.

II.3. Diseño evolutivo y creatividad El diseño evolutivo es una rama de la CE que integra ideas de la ciencia informática (algoritmos evolutivos), la ingeniería (diseño de la ciencia) y biología evolutiva (selección natural) para resolver problemas de diseño en ingeniería. Los problemas considerados por el diseño evolutivo incluyen cuatro categorías principales: optimización evolutiva de diseño, diseño evolutivo creativo, el arte evolutivo y formas de vida artificiales evolutivas. Los procesos de diseño en ingeniería incluyen los siguientes atributos comunes compartidos por técnicas evolutivas, que son relevantes: • Existe una escasa priorización del conocimiento del entorno de búsqueda; • Capacidades de búsqueda excelentes debido a un muestreo eficiente del espacio de búsqueda de diseño; • La habilidad para evitar el óptimo local; 12

• La habilidad para manejar alta dimensionalidad; • La robustez a través de una amplia gama de clases de problema; • La provisión de múltiples soluciones buenas; • La habilidad para localizar la región de la solución óptima global. La investigación en computación evolutiva de diseño en ingeniería tiene una historia relativamente larga. Fue iniciada en Europa por Rechenberg [Kicinger et al. 2005] en los setentas en las áreas de mecánica de fluidos, diseño de tubería e ingeniería estructural. Las aplicaciones tempranas de la CE en ingeniería estructural [Kicinger et al. 2005] usaban EE que evolucionaban con acercamientos de optimización estructural a principios de 1960. Principalmente durante los últimos quince años han tomado lugar progresos significativos en esta área. En los EE.UU. Goldberg [Golberg, 1989] hizo la primera aplicación de AGs, que emergió de la comunidad de la “learning machine”, en la optimización de ingeniería en el área de sistemas complejos de tuberías con AGs. Al mismo tiempo, a finales de 1980 e inicio de los 90s, muchos investigadores empiezan a aplicar este nuevo método de optimización a un espectro grande de problemas de diseño en ingeniería. II.3.1. Diseño creativo La optimización evolutiva y evolución creativa de diseño son las dos categorías de diseño evolutivo que son particularmente pertinentes para aplicaciones de ingeniería civil y estructural. Desde un punto de vista computacional, la línea divisoria entre las dos categorías no es muy clara y está principalmente relacionada con el potencial para lograr novedad/creatividad durante los procesos de generar conceptos de diseño así como las propiedades que los diseños novedosos/creativos necesitan poseer. Para Gero [Kicinger et al. 2005] creatividad en diseño ‘‘no es simplemente lo concerniente a la introducción de algo nuevo en un diseño, aunque que parezca ser una condición necesaria para cualquier proceso que reclame ser etiquetado como creativo. Más bien, la 13

introducción de ‘algo nuevo’ debe llevar a un resultado que es inesperado (así como ser valioso)’’. Gero concluye que un proceso de diseño evolutivo es creativo cuando explora no solo los valores de atributos (variables de decisión) dentro de espacios individuales de diseño sino también evoluciona el número de estos atributos, es decir cuando los cambios en el espacio de representación ocurren. Similarmente, Boden [Kicinger et al. 2005] sugiere que para lograr la creatividad es sólo posible yendo más allá de los límites de una representación, y encontrando un diseño que no pueda haber sido definido por esa representación. Una definición menos restrictiva de la creatividad en diseño fue dada por Rosenman [Rosenman, 1997]. Él sugirió que el distintivo característico de todos los sistemas de diseño evolutivos creativos es la habilidad para generar diseños totalmente nuevos empezando de poco o casi ningún conocimiento (por ejemplo cuando se empieza con condiciones iniciales aleatorias), y siendo dirigido a través del proceso evolutivo únicamente por el criterio de comportamiento.

II.3.2. Diseño evolutivo y la teoría de la solución inventiva de problemas (TSIP) La creatividad en diseño evolutivo puede analizarse también de una perspectiva más amplia, es decir basado en la teoría de la solución inventiva de problemas (TSIP) introducida por Altshuller [Kicinger et al. 2005]. Altshuller propone que la evolución de sistemas de ingeniería no es un proceso al azar, ya que prevalece por una clase de paradigmas. Estos paradigmas pueden ser subsecuentemente usados para desarrollar un sistema teniendo en cuenta las circunstancias de su evolución técnica, es decir determinando y poniendo en práctica innovaciones. II.3.3. Emergencia La emergencia es una propiedad importante que está estrechamente 14

relacionada con la creatividad en diseño. Gero [Kicinger et al. 2005] define emergencia como “un proceso de hacer características explícitas, que eran previamente implícitas”. Él también sugiere que la emergencia juega un apartado importante en introducir nuevos atributos a la representación espacial [Kicinger et al. 2005]. La emergencia puede reconocerse fácilmente también por el examen visual de las representaciones de estructuras, por ejemplo de modelos estructurales de sistemas estructurales de acero en edificios altos [Kicinger et al. 2005]. II.3.4. Diseño integrado La mayor parte de las aplicaciones de métodos evolutivos en ingeniería civil y estructural fueron enfocadas a la fase de detallado estructural de un proceso de diseño, donde el objetivo fue encontrar la configuración óptima de valores de atributos para un concepto de diseño escogido previamente y parametrizado. Así, únicamente los conceptos de diseño rutinarios pudieron generarse, aunque ellos se perfeccionaban con respecto a cierto objetivo. También existen investigaciones sobre la aplicación de los métodos de diseño evolutivo en la fase conceptual de un proceso de diseño de ingeniería, donde el énfasis es puesto en la generación de conceptos de diseño novedosos, y no en encontrar la mejor solución global en términos de valores numéricos en el contexto de un concepto de diseño específico. [Kicinger et al. 2005] trabajaron en la evolución de una representación de conocimiento de diseño, usando algoritmos genéticos y Rosenman y Gero [Kicinger et al. 2005] usaron ingeniería genética para generar proyectos de pisos arquitectónicos. Arciszewski et al. [Kicinger et al. 2005] usaron computación evolutiva para producir diseños creativos, en ingeniería estructural. Bentley [Kicinger et al. 2005] desarrolló un sistema genérico evolutivo de diseño, que fue capaz de evolucionar un rango de varios diseños desde esquemas burdos. El sistema desarrolló el diseño evolutivo con un énfasis en la evolución de conceptos de diseño creativo antes que su optimización. 15

El concepto de diseño integrado utilizando varias formas de computación evolutiva en cada fase de un proceso de diseño, así como incorporando el conocimiento e intuición de diseñadores dentro del proceso de búsqueda y exploración fue explorado por Parmee [Kicinger et al. 2005]. A mediados de la década de 1990, la investigación se iniciaba en el estudio de la utilidad de la búsqueda evolutiva/adaptable dentro del campo genérico de un proceso de diseño de ingeniería como un todo. Parmee, siguiendo a Pahl y Beitz [Kicinger et al. 2005], distingue tres fases principales de un proceso de diseño de ingeniería: diseño conceptual, la personalización del diseño, y diseño detallado. Considera al diseño conceptual como ‘‘una búsqueda a través de un espacio mal definido de posibles soluciones usando funciones objetivo difusas y conceptos vagos de la estructura de la solución final''. La personalización del diseño opera con una configuración inicial de diseño escogida (durante la fase conceptual de diseño) y los objetivos para especificar además los subconjuntos formando el sistema entero. Las decisiones de diseño en esta fase son hechas basadas en criterios tanto cualitativos como cuantitativos en los que normalmente su definición normal es difícil de representar usando modelos matemáticos y por lo tanto difíciles de incluir en una función objetivo escalar (adaptación). Finalmente, en una fase de diseño de detalle, las decisiones de diseño son hechas basándose solamente en criterios cuantitativos que están bien descritos por modelos matemáticos, aunque ellos pueden ser computacionalmente caros y pueden requerir complejas técnicas de análisis. En contra de las definiciones tradicionales y simplificadas del proceso de ingeniería de diseño que asume poca o ninguna interacción entre las fases [Kicinger et al. 2005], Parmee argumenta que existen traslapes considerables entre las tres fases y deben ser tomados en cuenta en el modelo integrado de diseño. Él sugiere que debe ser considerado un modelo de proceso de optimización de diseño para ‘‘representar un proceso a largo plazo, altamente complejo empezando con un sistema conceptual/completo de diseño de alto riesgo y continuando con las incertidumbres de un diseño personalizado/preliminar al más determinista, fases de riesgo relativamente bajo del detallado de diseño y 16

la eventual creación de la solución optima de ingeniería''.

II.4. Representaciones de diseño evolutivo Las representaciones en el diseño de ingeniería incorporan tanto a la representación de un artefacto siendo diseñado como la representación de un proceso de diseño, esto es, un proceso por el que el diseño es completado. Una representación de un diseño de ingeniería es como una descripción computacional de un sistema de ingeniería (que comúnmente todavía no existe) expresado en términos de atributos [Kicinger et al. 2005]. En la más directa representación de CE, cada gen corresponde a un atributo y representa una dimensión del espacio de búsqueda. En el caso más simple, estas representaciones usan genes binarios que denotan la presencia, o ausencia, de una característica. En tales representaciones cada individuo consiste de una cadena de la longitud fija binaria de genes, o un genotipo, representando cierto subconjunto de un conjunto dado de características. A menudo, en aplicaciones de ingeniería complejas, los atributos multivaluados son más naturales para usar [Kicinger et al. 2005]. Un espacio de representación para un diseño de ingeniería es un espacio multidimensional expandido sobre los atributos que son usados para describir un diseño de ingeniería [Kicinger et al. 2005]. Los atributos pueden ser simbólicos (cuando toman valores de un conjunto particular ordenado o parcialmente ordenado) o numéricos (cuando toman valores numéricos que representan cantidades o medidas). Un concepto de diseño se entiende como la descripción de un futuro sistema de ingeniería, real o abstracto, en términos de una combinación factible de atributos simbólicos y sus valores. Después de que un proceso de diseño conceptual es completado, un concepto de diseño dado es usado a continuación en el proceso de detalle del diseño para producir un diseño completo. Un diseño 17

completo se entiende aquí como una descripción detallada de un futuro sistema de ingeniería

en

términos

tanto

de

atributos

numéricos

como

simbólicos

(dimensiones, pesos, etc.) [Kicinger et al. 2005]. II.4.1. Optimalidad contra Creatividad La elección de una representación particular de un sistema de ingeniería para un proceso de diseño evolutivo está altamente influenciada por la meta del diseñador, esto es, aunque el énfasis es en optimalidad, en términos de valores numéricos, en el contexto de un concepto especifico de diseño, o en la generación de conceptos de diseño creativo. Los parámetros son entonces codificado como genes y sus alelos son evolucionados usando algoritmos evolutivos a fin de encontrar el mejor diseño que maximice o minimice el/los objetivo(s) dado(s). Así, para problemas estrictamente de optimización de ingeniería, las representaciones deberían ser directas esto es, que estas deberían codificar soluciones posibles y parametrizadas permitiendo solo pequeñas variaciones. Las representaciones tradicionales frecuentemente usadas en problemas de optimización de ingeniería, como

las

representaciones

binarias,

representaciones

enteras,

y

representaciones de valores reales pueden ser incluidas en esta categoría. Las representaciones que han sido usadas en el diseño creativo son diversas

sin

embargo

comparten

ciertas

similitudes.

Típicamente,

las

representaciones de fenotipo son bastante generales y así capaces de representar números grandes de formas alternativas, o morfologías (las formas junto con las estructuras) [Kicinger et al. 2005]. Su rango está desde representaciones directas, como en representaciones con base

Voxel [Kicinger et al. 2005] o

representaciones basadas en arreglos [Kicinger et al. 2005], a representaciones altamente indirectas, es decir, representaciones que no codifican soluciones pero más bien las reglas de cómo construir estas soluciones. Los ejemplos más populares de representaciones indirectas son las gramáticas, los árboles, formas gramáticas, gráficas y los “matroids”, autómata celular, sistemas L y las 18

embriogenias [Kicinger et al. 2005]. II.4.2. Escoger representaciones de diseño apropiadas Gen y Cheng [Kicinger et al. 2005] plantean cinco necesidades principales para

diseñar

buenas

representaciones

(mapeos

genotipo–fenotipo)

para

problemas de diseño evolutivos. II.4.2.1. No-redundancia ‘‘Los mapeos entre codificaciones y soluciones debe ser de 1 a 1’’. Debe existir una relación única de cada elemento de un espacio de genotipo con un elemento correspondiente de un espacio fenotipo. Fuera de todos los tres posibles casos, el mapeo 1 a “n” debe ser particularmente evitado porque corresponde a representaciones de fenotipo múltiples del mismo genoma. En este caso, tiene que ser empleado un procedimiento adicional para determinar el fenotipo real. II.4.2.2. Legalidad La legalidad significa que: ‘‘Cualquier permutación o combinación de una codificación corresponde a una solución’’. Es importante distinguir entre dos conceptos básicos: la impracticabilidad de una solución y su ilegalidad. La solución Impracticable significa que un fenotipo decodificado de un genotipo se asienta fuera de una región factible (definido por las limitaciones) en el espacio de fenotipo. Solución ilegal significa que un genotipo no representa cualquier fenotipo para un problema dado.

19

II.4.2.3. Entereza La Entereza se define como: ‘‘Cualquiera solución tiene una codificación correspondiente’’. Estas garantías de requerimiento que cualquier fenotipo tiene un genotipo correspondiente, y por lo tanto es accesible para búsqueda genética. II.4.2.4. Propiedad lamarquista ‘‘El significado de alelos para un gen no es dependiente del contexto ''. Este requerimiento ‘‘ocupa el asunto de si o no uno de los cromosoma puede pasar sus méritos (atributos aprendidos) a poblaciones futuras por operadores genéticos comunes'' [Kicinger et al. 2005]. II.4.2.5. La causalidad (también conocido con el nombre de la continuidad) ‘‘Variaciones pequeñas en el espacio de genotipo debido a la mutación implica variaciones pequeñas en el espacio de fenotipo’’. Este requerimiento enfoca la preservación de estructuras en la vecindad. En este trabajo se escoge la representación con valores reales por que cumple de forma directa los cinco puntos establecidos anteriormente. Esto nos ayuda a simplificar la programación de la herramienta. Nos permite a su vez ir busca de la optimalidad en espacios continuos. II.4.3. Taxonomía de representaciones Uno de los temas más importantes acerca de las representaciones es la elección entre una representación genotípica o fenotípica. Cuando uno escoge una representación genotípica entonces tiene que ser construido un mapeo apropiado, esperando que cumpla con los cinco requerimientos presentados 20

antes. Una atención particular tiene que ponerse en práctica para satisfacer el requerimiento de casualidad. Cuando una representación genotípica es usada, la mutación y recombinación operan en el nivel genotípico mientras que la evaluación de la adaptabilidad y selección se desarrollan al nivel del fenotipo. Una de las ventajas de usar representaciones genotípicas es la habilidad para usar los operadores genéticos para problemas de dominio múltiple. La ventaja significativa de la aproximación por medio de representaciones fenotípicas es que no es necesario un mapeo entre genotipo y fenotipo y que por lo mismo los cinco requisitos presentados automáticamente.

anteriormente

se

satisfacen

La desventaja de representaciones fenotípicas es que los

operadores genéticos llegan a ser dependientes del problema y tienen que ser cuidadosamente hechas para cada campo del problema del individuo [Kicinger et al. 2005]. Otra propiedad distintiva del diseño evolutivo es la longitud de las representaciones.

Pueden

dividirse

en

dos

grupos:

longitud

fija

y

las

representaciones de longitud variable. La longitud de un genoma es constante durante un proceso evolutivo entero cuando las codificaciones de longitud fija son usadas. No es el caso con las representaciones de longitud variable donde un individuo puede ser representado por un genoma que cambia su longitud en cada generación. Cuando la topología de un diseño se fija antes y con suficiente detalle, esto es que esta parametrizado; la representación es llamada una parametrización. En caso contrario, cuando la topología de un diseño se puede cambiar durante el proceso de evolución entonces la representación es llamada de final abierto. Las representaciones directas codifican esencialmente representaciones reales de conceptos de diseño, mientras que las representaciones indirectas codifican reglas de cómo construir estos conceptos. 21

Las representaciones generativas son aquellas que pueden volver a usar ciertas partes de un diseño codificado durante la fase de construcción. Las representaciones no generativas no pueden volver a usar elementos de la codificación. Las representaciones generativas también se pueden clasificar en implícitas y explicitas. Las representaciones implícitas consisten en un conjunto de reglas (autómata celular) que implícitamente especifica una propiedad de diseño, por ejemplo su forma, a través de un proceso de construcción iterativo. Las representaciones explicitas son como programas de procedimientos para construir diseño en una manera explicita. Existen en la literatura algunos intentos de coevolucionar la representación de los sistemas de ingeniería durante el proceso evolutivo. Esto corresponde al proceso donde un sistema de aprendizaje adapta su propia representación. De Jong y Oates [Kicinger et al. 2005] propusieron una aproximación coevolutiva en donde la representación del desarrollo de la unión de los bloques de construcción y su ensamble era coevolucionada. También Gero y Schnier [Kicinger et al. 2005] trabajaron en la evolución de la representación del conocimiento de diseño, usando algoritmos genéticos.

II.4.4. Representaciones de diseño tradicionales Las representaciones binarias son las representaciones estándar del algoritmo genético canónico. Estas representaciones se encuentran por lo general en longitudes fijas y en problemas de optimización combinatoria. Y en sistemas de ingeniería se han empleado en problemas para la optimización estructural de la topología, por ejemplo en el problema de la aproximación de estructura de tierra [Kicinger et al. 2005]. Su ventaja es que los operadores de algoritmos genéticos estándares, por 22

ejemplo la mutación cambiando un bit, y cruce de uno o de dos puntos, pueden usarse. Hay también algunas desventajas; Michalewicz [Kicinger et al. 2005] argumenta que no es apropiado porque el espacio del problema no es el mismo en donde se esta trabajando con la representación. Así, búsqueda y optimización son conducidas en un espacio diferente que el original. Por lo tanto, los resultados óptimos que se encontraron en el espacio de búsqueda binario pueden en realidad no ser óptimos para el problema original. El mapeo genotipo–fenotipo introduce también cierta no-linealidad adicional a la función objetivo, y por lo tanto puede suceder que el problema codificado sea más difícil que el original. Bäck [Kicinger et al. 2005] señala otro inconveniente serio de mapeos de espacios continuos a binarios. Las mapeos imponen cierta granularidad (resolución) y por lo tanto, no todos los puntos en el espacio original continuo pueden expresarse como vectores binarios (0010,1011, 0101,0001….). Así, es posible que la solución óptima no se encuentre simplemente porque no se representa en el espacio de búsqueda binario. Otro problema importante, con las representaciones binarias, está relacionado con el hecho de que uno de los cinco requerimientos de los mapeos genotipo-fenotipo, llamado requerimiento de la casualidad o continuidad, no se mantiene. En otras palabras pequeños cambios en el espacio binario corresponden a grandes cambios en los parámetros valuados reales y viceversa. Los espacios de representación de valores reales se han usado para problemas de optimización compleja en espacios de parámetros continuos. Históricamente se han usado por la comunidad que emplea Estrategias Evolutivas para afinar la solución de problemas de optimización. En este tipo de representaciones se emplea una representación fenotípica. Así, los inconvenientes asociados con los mapeos entre genotipo y fenotipo son eliminados en este caso. Hay sin embargo, dos problemas principales relacionados con este tipo de representación. En primer lugar, las codificaciones valuadas reales permiten la representación de campos de problemas muy específicos, y que normalmente 23

corresponden al afinamiento de problemas de optimización. Como tal, no son aplicables para problemas de diseño creativos como se discutía previamente. El segundo problema es que no todos los problemas de diseño pueden expresarse como un vector valuado real. II.5. Métodos de manipulación de restricciones en diseño evolutivo Coello Coello [Coello, 2002] clasifica los métodos de manipulación de restricciones usados con AE en los siguientes cinco grupos principales: 1. Funciones de penalización; 2. Representaciones y operadores especiales; 3. Algoritmos reparadores; 4. Separación de objetivos y restricciones; 5. Métodos híbridos. II.5.1. Funciones de penalización La función de penalización transforma efectivamente un problema con restricciones a uno sin restricciones aumentando la función objetivo con un término de penalización cuyo valor determina la cantidad de restricciones violadas por una solución en particular [Coello, 2002]. Una clasificación general de la mayoría de las funciones de penalización usadas se muestra a continuación: 1. Funciones de penalización estática que permanecen constante durante un proceso evolutivo entero [Kicinger et al. 2005]. 2. Funciones de penalización dinámica que cambian en cada parte una corrida evolutiva (normalmente crecen con el transcurso del tiempo) [Kicinger et al. 2005]. 3. Función de penalización de temple que usan técnicas basadas en recocido simulado [Kicinger et al. 2005]. 4. Función de penalización adaptable que cambia según la realimentación 24

recibida del proceso de búsqueda [Kicinger et al. 2005]. 5. Función de penalización de coevolutivos en las que son evolucionadas en una población y los factores de penalización evolucionan en otra población [Coello, 2000]. 6. Funciones de penalización mortal que inmediatamente rechazan una solución impracticable [Kicinger et al. 2005]. Uno de los desafíos principales en cualquiera aplicación de las funciones de penalización es concerniente al logro de un equilibrio apropiado del valor de penalización. Los valores de penalización grandes desalientan al algoritmo evolutivo de explorar regiones impracticables y

la búsqueda se mueve

rápidamente dentro de la región factible. Por otro lado, bajos valores de penalización no prohíben al algoritmo evolutivo de buscar dentro de las regiones impracticables la mayor parte del tiempo. A causa de estos resultados, varios investigadores en CE propusieron la “regla de penalización mínima” que establece que “la penalización debe mantenerse tan baja como sea posible, justo arriba del limite, por él que abajo del mismo, las soluciones impracticables son optimas” [Coello, 2002]. Richardson et al [Kicinger et al. 2005] ofrecen varias guías heurísticas que pueden ser usadas para hacer la búsqueda evolutiva más eficiente en espacios de diseño restringidos: • ‘‘Las penalizaciones que son funciones de la distancia de la región practicable son mejores que aquellas que son meramente funciones de el número de restricciones violadas. • Para un problema que tiene pocas restricciones, y pocas soluciones, las penalizaciones que son funciones del número de limitaciones violadas no es probable que encuentren soluciones. • Las funciones de penalización buenas pueden construirse de dos cantidades: la distancia máxima y la distancia estimada a la región factible. 25

• Las penalizaciones deben estar cerca de la distancia estimada a la región factible, pero no deben caer frecuentemente debajo de ella. Entre más exacta sea la penalización, mejores soluciones se encontrarán. Cuando la penalización a menudo subestima esta distancia, entonces la búsqueda puede no encuentre una solución’’. II.5.2. Otros métodos Intentos alternativos para manejar restricciones en el diseño evolutivo incluyen el desarrollo de representaciones especiales que simplifiquen la forma del espacio de búsqueda y los operadores genéticos especiales que preservan la factibilidad de las soluciones generadas durante la corrida evolutiva. Ejemplos de aplicaciones de estos métodos incluyen Bean

las llaves aleatoriamente

codificadas, David cruzamiento análogo, Michalewicz GENOCOP, y Kowalczyk [Kicinger et al. 2005] algoritmos genéticos con restricciones consistentes. Koziel y Michalewicz [Kicinger et al. 2005] reportaron que los decodificadores suministran resultados mucho mejores que cualquier otro método para manejar las restricciones en un conjunto representativo problemas de prueba. Parecen ser un área muy prometedora de la investigación en diseño estructural porque pueden ser usados con los problemas de cualquier dimensionalidad y no requieren que la función objetivo este dada en una forma algebraica [Coello, 2002]. Los algoritmos de reparación son particularmente apropiados para problemas de optimización

combinatoria [Kicinger et al. 2005]. Ellos son

particularmente eficientes cuando los costos de la transformación de una solución impracticable en una factible son bajos [Coello, 2002]. Otro grupo de técnicas de manipulación de restricciones pueden ser ampliamente caracterizados como los métodos basados en la separación de las restricciones y objetivos [Coello, 2002]. La mayor parte de las técnicas representativas en esta categoría incluyen [Kicinger et al. 2005]:

26

1. Coevolución competitiva en que soluciones potenciales (posiblemente impracticables) evolucionan en una población y las restricciones son contenidas (pero no evolucionan) en otra población 2. La superioridad de puntos factibles que asume que todas las soluciones factibles son mejores que las impracticables. 3. Memoria de comportamiento que usa una técnica especial para ordenar restricciones en que el algoritmo procede consecutivamente satisfaciendo las restricciones impuestas en el problema. 4. Métodos de optimización multiobjetivo en que un problema de objetivo sencillo es transformado en un multiobjetivo

tratando todas las

restricciones en el problema original como objetivos en el problema transformado. Finalmente, la última categoría de la manipulación de restricciones incluyen los métodos híbridos en que AE son maquinados con otros métodos para resolver problemas restringidos. En esta categoría, varios métodos de interés se proponen, incluyendo: 1. Los multiplicadores Lagrangianos en que un híbrido AE es formado por la integración de un método de función de penalización con los métodos de programación matemática incluyendo el método de dual primitivo y la función de aumento Lagrangiano [Adeli, 1994] que garantice la generación de soluciones factibles durante la búsqueda [Kicinger et al. 2005]. 2. La lógica difusa en que un AE es combinado con lógica difusa. En este método las limitaciones originales son reemplazadas por limitaciones difusas para permitir un grado más alto de la tolerancia para violar limitaciones que pueden ocurrir cerca del límite de la región factible. 3. El sistema inmune modelo que ha sido inicialmente propuesto para mantener la diversidad en la optimización de los problemas multimodales y más tarde extendido para resolver los problemas de optimización restringida. 27

4. Algoritmos culturales que han sido inicialmente usados para modelar la evolución cultural y más tarde aplicados para problemas de optimización numérica suponiendo limitaciones. 5. Algoritmos de colonia de hormigas inspirados por colonias de hormigas reales e inicialmente propuesto para resolver problemas combinatorios de optimización y posteriormente extendido a problemas de optimización forzada. II.6. Diseño evolutivo multiobjetivo La optimización evolutiva multiobjetivo (OEMO) es uno de los subcampos de la investigación más activos dentro de la comunidad CE hoy en día. Los métodos de OEMO son también altamente pertinentes a los problemas de diseño de ingeniería porque fueron diseñados para manejar múltiples objetivos contradictorios que normalmente se presentan en problemas de diseño del mundo real. En primer lugar, uno quiere encontrar un gran número de soluciones óptimas Pareto [Kicinger et al. 2005] a un problema dado. En segundo lugar, las soluciones al problema deben diferenciarse ampliamente. Por otra parte, los algoritmos evolutivos están bien adaptados para resolver estos tipos de problemas porque se basan en poblaciones y esta propiedad les permite encontrar un conjunto entero de las soluciones óptimo de Pareto en una corrida sencilla. Adicionalmente, son significativamente más robustos, comparado con los métodos clásicos, particularmente cuando los asuntos como la forma o continuidad del frente de Pareto es la materia de interés [Kicinger et al. 2005]. La investigación inicial en el uso de métodos evolutivos para resolver los problemas multiobjetivo fue conducida por Rosenberg. Él sugirió, pero no puso en práctica, un método de búsqueda genético involucrando múltiples propiedades bioquímicas y objetivos de una población de organismos unicelulares. La primera ejecución real fue conducida por Schaffer [Kicinger et al. 2005]. En su disertación, 28

el propuso y aplico exitosamente el vector de evaluación del algoritmo genético (VEAG) a la discriminación de patrones de tareas múltiples en “machine learning”. Los acercamientos más populares reportados en la literatura incluyen: 1. Funciones de agregado. 2. El vector de evaluó del algoritmo genético (VEAG). 3. Aproximaciones de vector objetivo. 4. Algoritmo genético multiobjetivo (AGMO). 5. Algoritmo genético de clasificación no dominante (AGCND). 6. Algoritmo genético anidado de Pareto (AGAP). 7. Algoritmos evolutivos fortaleza de Pareto (AEFP). II.7. Diseño Coevolucionario La coevolución se entiende como un fenómeno que ocurre cuando dos o más poblaciones (ciertos investigadores también incluyen en esta categoría modelos de poblaciones sencillas) simultáneamente evolucionan donde ninguna función objetivo de adaptación existe pero más bien la adaptación del individuo es una función subjetiva de sus iteraciones con individuos de poblaciones coevolucionando. Las ideas iniciales de modelar el comportamiento de la coevolución fueron formuladas por Maynard Smith y Axelrod. Las ideas iniciales fueron además extendidas por Hillis

y otros y resultaron en un nuevo

procedimiento de optimización llamado un algoritmo genético coevolucionario (AGC). Los modelos coevolucionarios competitivos son especialmente adecuados para campos de problemas donde es difícil para formular explícitamente una función objetivo de adaptación, por ejemplo en el juego de estrategias IA, etc. Potter y De Jong [Kicinger et al. 2005] proponen otro acercamiento a la coevolución, llamado un modelo coevolucionario cooperativo. Potter y De Jong propusieron una arquitectura de coevolucionarios cooperativos para evolucionar subcomponentes coadaptados y definió el algoritmo cooperativo coevolucionario 29

evolutivo (ACCE). Los modelos Coevolucionarios se han aplicado a varios problemas de diseño en ingeniería particularmente en diseño arquitectónico. El único trabajo conocido por el autor que usó algoritmos coevolucionarios cooperativos en la optimización estructural fue conducida por Nair y Keane y lo menciona [Kicinger et al. 2005]. Usaron ACCE para perfeccionar las secciones transversales de miembros de sistemas de armaduras planas (problema de objetivo sencillo minimización

de

peso).La

armadura

optimizada

fue

descompuesta

y

coevolucionada en poblaciones separadas. II.8. Computación evolutiva en ingeniería estructural La historia de computación evolutiva en la ingeniería estructural se remonta a mediados de la década del 1970 y tempranos 1980 [Kicinger et al. 2005]. El fuerte énfasis de la investigación se dirigió principalmente a temas de la creatividad en el diseño estructural y formas más sofisticadas de representar los sistemas estructurales [Hamda, 2002]. Los métodos formales, de optimización estructural, basados en la suposición de la continuidad trabajan bien en problemas relativamente bien formados en donde la configuración estructural de los miembros es supuesta y fija durante un proceso de optimización mientras que la tarea era encontrar las medidas optimas (dimensiones) de los miembros dando satisfacción al mismo tiempo a las necesidades y restricciones de diseño. La simple generalización de este problema permitiendo variaciones de la configuración del sistema aumentó grandemente la complejidad de la tarea de optimización y volvió muchos métodos tradicionales inadecuados. Este asunto llegó a ser el punto de partida para el desarrollo de dos aproximaciones principales para la optimización estructural que existen hoy en día: métodos formales mejorados y métodos heurísticos.

30

II.8.1. Problemas de diseño estructural Los problemas dirigidos por la optimización estructural pueden ser divididos en tres categorías principales: • La optimización de la topología (esquema) también conocido con el nombre de diseño óptimo topológico (DOT) —buscando por un esquema de material óptimo de un sistema de ingeniería. • Optimización de la forma (geometría)(OF) —buscando el contorno óptimo, o forma, de un sistema estructural cuya topología es fija. •

Optimización

de

las

dimensiones—buscando

por

las

secciones

transversales óptimas, o las dimensiones, de elementos de un sistema estructural cuya topología y forma son fijadas. Un problema de diseño estructural en cada una de las categorías puede clasificarse además como un problema continuo o discreto de optimización. Figura 2, muestra las tres categorías de la optimización estructural para el problema de diseño continuo. La Figura 3 muestra las mismas categorías para problemas discretos.

Figura 2 Topología, forma, y optimización del dimensionamiento para el problema continúo de diseño estructural

31

Topología

Forma

Dimensiones LL2L

W LL2L

LL2L LL2L W

Figura 3 Topología, forma y optimización del dimensionamiento para problemas de diseño estructural discreto

Las tres categorías están estrechamente relacionadas con las tres fases principales del proceso de diseño de ingeniería descrito anteriormente, es decir DOT se condujo en la fase de diseño conceptual, OF en la fase de personalización del diseño, y finalmente la optimización de las dimensiones es desarrollada en la fase de diseño detallado. Los métodos heurísticos, incluyendo AG, también han sido aplicados a problemas de dimensionamiento estructural. Por otra parte, los problemas DOT, localizados en el otro extremo del espectro de complejidad estructural, han sido aproximados exitosa y principalmente usando métodos heurísticos, incluyendo recocido simulado y EAs [Kicinger et al. 2005]. La optimización estructural de la forma ha sido un punto intermedio donde los métodos formales y los heurísticos son usados y se complementan entre sí. II.8.2. Diseño topológico óptimo Generalmente, los problemas DOT pueden ser divididos en dos grupos especializados: el DOT continuo y DOT discreto. En el DOT continuo, el campo de diseño se discretiza en elementos pequeños, rectangulares (rejilla rectangular) 32

donde cada elemento contiene material o vacío. Métodos formales que acogen este problema incluyen el método de homogenización en el que cada elemento en una rejilla contiene material compuesto de densidad continuamente variable en (0,1) y orientación. Xie y Steven [Kicinger et al. 2005] propusieron el método de optimización estructural evolutiva (ESO) que sigue el concepto quitar elementos ligeramente esforzados. El acercamiento de CE al problema de DOT continuo basado en AG ha desarrollado por Sandgren et al y Jensen [Kicinger et al. 2005]. Los problemas de DOT discreto consisten en determinar la conectividad óptima de elementos de un finito, pero grande, número de posibles conexiones. Una formulación inicial del problema en el contexto de la programación lineal usando el acercamiento de la estructura de tierra fue propuesto por Dorn et al. [Kicinger et al. 2005]. Mientras que los métodos de programación lineal tradicional resultaron exitosos al encontrar topologías óptimas para problemas pequeños, se volvían inadecuados cuando el tamaño de los problemas considerados fue incrementado (crece en el número de variables de diseño o el número de puntos de la rejilla en el acercamiento de estructura de tierra). Aplicaciones iniciales de AG para perfeccionar la topología de armaduras de miembros discretizados fueron conducidas por Shankar y Hajela, Hajela et al., Grierson y Pak [Kicinger et al. 2005], y Hajela y Lee [Hajela, 1995]. Bramlette y Bouchard [Kicinger et al. 2005] usaron la CE en estructuras tridimensionales en el contexto de diseños de aeronaves. Koumousis y Georgiou [Kicinger et al. 2005] aplicaron AG para la optimización topológica de armaduras de acero. Rajan [Kicinger et al. 2005] aplico AG para perfeccionar topología, forma y dimensiones de miembros de armaduras. Nakanishi y Nakagiri [Kicinger et al. 2005] usaron AG para resolver los problemas de optimización de una topología en 2D para marcos y paneles estructurales. Rajeev y Krishnamoorthy [Rajeev, 1997] usaron cadenas de longitud variable para representar y optimizar armaduras. Murawski et al. y Kicinger et al. aplicaron ES para perfeccionar la topología de sistemas estructurales de acero en edificios altos. Soh y [Yang, 2002] introdujeron la aproximación basada en PG para problemas TOD en armaduras. En un trabajo subsecuente [Yang, 2002], 33

propusieron una metodología con base en PG para el diseño óptimo automatizado de estructuras. Recientemente, Azid et al. [Kicinger et al. 2005] aplicaron un AG con representaciones valuadas reales para perfeccionar topologías de estructuras tridimensionales. II.8.3. Optimización de forma La optimización de forma mantiene la topología fija de diseños estructurales pero cambia su forma o ubicación de los nodos. Similar al caso TOD, los problemas de optimización de forma pueden ser divididos en dos grupos principales: SO continuo y SO discreto. SO continuo direcciona los problemas de optimización de forma en el contexto de estructuras continuas en 2D o 3D. Tradicionalmente, en el SO continuo, ‘‘una forma es definida por orientación de las curvas de límite en estructuras en 2D o por las superficies limite (estructuras en 3D) del cuerpo. . .y la forma óptima de estos límites es calculada” [Kicinger et al. 2005]. Los métodos de computación evolutiva han sido aplicados también para resolver problemas de SO continuo. Investigación en la optimización de forma de miembros estructurales se han conducido por Jenkins, Ricardos y Sheppard, y Watabe y Okino. Kita y Tanie, y Annicchiarico y Cerrolaza [Kicinger et al. 2005] usaron AG para perfeccionar la forma de estructuras continuas en 2D a través de funciones B-spline. Wibowo y Besari [Kicinger et al. 2005] aplicaron AG para perfeccionar

formas de placas ovales axisimetricas. Annicchiarico y Cerrolaza

[Annicchiarico, 2001] aplicaron AG para optimización la forma de modelos en 3D de elementos finitos. Woon et al. investigaron las codificaciones alternativas de AG para el SO continuo usando las coordenadas reales de nodos de frontera. II.8.4. Optimización de medidas Problemas de optimización de medidas suponen encontrar secciones transversales óptimas, o dimensiones, de elementos de un sistema estructural cuya topología y forma están fijas. Las primeras aplicaciones de CE para 34

problemas estructurales de optimización involucraron la optimización de las medidas. Lawo y Thierauf [Kicinger et al. 2005] usaron ES para perfeccionar miembros de una estructura plana de seis pisos sujeta a cargas sísmicas. Goldberg y Samtani [Kicinger et al. 2005] aplicaron un AG para perfeccionar las secciones transversales de miembros de una armadura plana de 10 barras. Hajela investigó la optimización de secciones transversales de miembros de armaduras discretas usando AG. Deb

[Kicinger et al. 2005] aplico AG para perfeccionar

diseños de vigas soldadas. Jenkins [Kicinger et al. 2005] propuso un entorno de diseño con base en AG para perfeccionar estructuras de marcos planos. Rajeev y Krishnamoorthy [Rajeev, 1997] aplicaron AGs para perfeccionar secciones transversales de armaduras generalizadas. Recientemente, Jarmai et al. [Kicinger et al. 2005] aplicaron algoritmos genéticos al diseño de secciones I soldadas empleadas en marcos y comparó su desarrollo con otros algoritmos de optimización no lineales de funcionamiento en un espacio de representación restringida. II.8.5. Perspectiva histórica Una clasificación cronológica de las aplicaciones CE en diseño estructural muestran claramente tres períodos principales en el desarrollo de este campo. El período de exploraciones tempranas (1970-1995). Durante esta fase inicial, los algoritmos evolutivos simples (principalmente, si no exclusivamente ES y AG, a veces combinados con otros métodos de optimización tradicionales) se aplicaron a problemas de ingeniería estructurales relativamente simples (optimización de las medidas de sistemas simples de ingeniería en 2D). Los investigadores se concentraron en usar las representaciones estándar, es decir cadenas binarias y vectores valuados reales, funciones de adaptación de objetivo sencillo (normalmente la minimización de peso) y los métodos de manipulación de restricciones bastante tradicionales que involucran algunas variaciones de las funciones de penalización. 35

El período de exploración y explotación (1996–2000). Este período puede caracterizarse mejor como un período de explorar elecciones alternativas para varios componentes de los algoritmos evolutivos y mejorar el proceso de la optimización de problemas de diseño más complejos. Los investigadores exploraron varios tipos de representaciones de sistemas de ingeniería, incluyendo representaciones con base en Voronoi y representaciones con base en número entero. Esfuerzos significativos de investigación fueron también enfocados

en

afinar operadores genéticos a problemas particulares, por ejemplo adaptando, mutación y proporciones de cruzamiento durante el proceso de diseño evolutivo. Exploraciones iniciales de | los métodos alternativos de manejo de restricciones han sido también conducidos e incluyó por ejemplo redes inmunes, memoria comportamiento, y lógica difusa. Varios acercamientos multiobjetivo para problemas de diseño estructural se han reportado también. El período de crecimiento rápido (2001–presente). Actualmente, la computación evolutiva es un paradigma enteramente reconocido de optimización estructural y es frecuentemente usado no sólo por investigadores sino también por profesionales. Hoy en día, los esfuerzos de la investigación son enfocados en resolver problemas mucho más complejo de diseño estructural y en estudiar los modelos evolutivos más avanzados, incluyendo AE paralelos, optimización multiobjetivo, y representaciones de longitud variable, en el contexto de diseño estructural. También, la exploración inicial de los usos potenciales de los modelos coevolucionarios se está conduciendo. II.9. Comentarios de la revisión de literatura. Existen cinco grandes puntos por desarrollar dentro de la computación evolutiva: Herramientas de soporte de diseño estructural integrado. Esto se refiere al 36

desarrollo de herramientas para hacer la evaluación de los diseños estructurales en una forma más eficiente, sustentándose en arquitecturas paralelas y en que los tiempos computacionales son cada vez menos costosos. Representaciones de final abierto. La importancia de la representación de un diseño estructural estriba en que de esta depende el resultado del proceso evolutivo; actualmente la tendencia es que más que optimizar los diseños, se trata de crear diseños novedosos. Este tipo de procesos se inspira en procesos naturales en donde se manipula la información de cómo generar a un individuo en ves de que al individuo mismo. Métodos alternativos de manejos de restricciones. Ya que casi todos los problemas estructurales de diseño requieren del manejo de restricciones, es evidente la necesidad de mejorar su manejo y hacerlo más simple. Diseño estructural multiobjetivo. Los problemas multiobejtivos están estrechamente relacionados con los problemas que se presentan en la vida real. De aquí la importancia de la investigación en esta área. Diseño estructural coevolucionario. Esta es una rama novedosa de la computación evolutiva y por lo tanto poco explorada. En esta se sugiere que puede ser muy adecuada para problemas estructurales muy complejos que se pueden descomponer fácilmente y que su objetivo no es tanto la optimización del sistema si no que su confiabilidad. De lo anterior observamos que la computación evolutiva puede llegar a ser una herramienta computacional muy poderosa, la que des afortunadamente o afortunadamente depende de los avances tecnológicos del área, además que puede enfocarse no solo a problemas estructurales

sino también a sistemas

multidisciplinarios de ingeniería y encontrar soluciones cercanas a óptimos globales. 37

III. METODOLOGÍA

El diseño óptimo de armaduras siempre ha sido un área activa del campo de la investigación en optimización de estructuras. Varias técnicas basadas en métodos clásicos de optimización han sido desarrolladas para encontrar el diseño óptimo de una armadura [Dorn, Gomory, y Greenberg, 1964; Haug y Arora, 1989; Krish, 1989; Kicinger, 2005; Topping, 1983]. Sin embargo, la mayoría de las técnicas pueden ser clasificadas en tres categorías principales: topología, forma y medidas. Casos que se describieron en el capitulo anterior. Aunque los tres casos atacan el problema de optimización, la manera más completa de optimizar el diseño de una armadura es considerando los tres simultáneamente. En la mayoría de los intentos, métodos de multiniveles han sido usados [Kicinger et al. 2005]. En los métodos multiniveles, cuando la optimización de la topología se realiza, las áreas de los elementos y la configuración de la armadura se asumen fijas. Ya que se encuentra la topología óptima se procede a optimizar el dimensionamiento y la configuración de la armadura. Yang y Kiong, [Yang, 2002], emplearon programación genética para atacar los tres campos de la optimización, ellos resolvieron el problema de la armadura de un puente. Para su solución se tomo un dominio espacial plano y discretizado para ubicar los nodos de la estructura, un conjunto de secciones transversales comerciales para las barras y se supuso que la solución seria simétrica, por lo que solo se considero la mitad del dominio espacial del problema original. La solución que obtuvieron fue mejor que la encontrada en la literatura, con un 25% menos de peso.

EL problema se pude ubicar en este contexto, por que al tratar de optimizar la armadura principal del invernadero se vera el requerimiento de ubicar la 38

armadura dentro de un dominio espacial rectangular, aunque no discretizado, y seleccionar las secciones transversales de una gama encontrada en el mercado comercial, así como cumplir con los requerimientos de los reglamentos de diseño aplicables. En un algoritmo genético, tras parametrizar el problema en una serie de variables (xi,...,xn), se codifican en un vector. Todos los operadores utilizados por un algoritmo genético se aplicarán sobre estos cromosomas, o sobre poblaciones de ellos. En el algoritmo genético va implícito el método para resolver el problema; son sólo parámetros de tal método los que están codificados. Hay que tener en cuenta que un algoritmo genético es independiente del problema, lo cual lo hace un algoritmo robusto, por ser útil para cualquier problema, pero a la vez débil, pues no está especializado en ninguno.

Las soluciones codificadas en un vector o cromosoma compiten para ver cuál constituye la mejor solución (aunque no necesariamente la mejor de todas las soluciones posibles). El ambiente, constituido por los factores que afectan las soluciones, ejercerá una presión selectiva sobre la población, de forma que sólo los mejor adaptados (aquellos que resuelvan mejor el problema) sobrevivan o leguen su material genético a las siguientes generaciones, igual que en la evolución de las especies. La diversidad genética se introduce mediante mutaciones y reproducción sexual.

Las

armaduras,

codificadas,

deberán

cumplir

con

las

siguientes

restricciones impuestas por el servicio que debe dar el invernadero: 1. No ser un mecanismo, que se colapse por que los nodos no estén adecuadamente conectados. 2. Contar con un numero mínimo y máximo de nodos (margen) 3. No tener pendientes menores a un 34% en la zona de contacto la cubierta, ni lados verticales en los extremos. La pendiente le da salida al agua. Los 39

lados verticales impiden la circulación por las canaletas. 4. Tener espacio para colocar al menos una ventana cenital de 0.90 m 5. Cumplir con la reglamentación aplicable [EN 13031-1, 2001]. 6. No tener un peralte mayor a 2.5 m 7. El largo esta dado a 9.0 m 8. La ventana se supone rígida, se abre la abertura con una membrana enrollable 9. El almacenamiento de aire deberá ser maximizado. Para el primer punto revisaremos que la matriz de rigidez de la armadura sea positiva definida para que el sistema no genere un mecanismo; la teoría de árboles [Grimaldi] nos ayudara a generar armaduras estables y con longitudes mínimas, que al mismo tiempo cumplirán con el requisito de la pendiente mínima de 34%.

La altura impuesta de 2.5 metros está dada por la facilidad de

mantenimiento y construcción que requiere el invernadero; el largo esta restringido por que mayores claros generan armaduras pesadas e invernaderos caros. El definir un material para la cubierta, plástico en este caso, nos ayuda a acotar las solicitaciones de la armadura y nos indica algunas propiedades que a continuación mostramos: •

Magnitud de las cargas por viento y otras (viento 100 km/hr)

•

Magnitud de los desplazamientos permisibles (claro/350) Para encontrar las soluciones estructurales en cada generación de

individuos, armaduras generadas por el algoritmo, deberemos contar con una rutina de elemento finito que nos permita solucionar cada armadura planteada, en una forma rápida y confiable; estas soluciones se revisarán por otro algoritmo que aplique la reglamentación actual en materia, (Manual de obras civiles de la CFE, normas europeas, etc.).

40

III.1. Definición del modelo III.1.1. Modelo Matemático

Como una primera propuesta tenemos que la optimización puede ser definida como el problema de encontrar un vector de variables de decisión, que satisfacen las restricciones y optimizan un vector función cuyos elementos representan las funciones objetivo. Estas funciones forman una descripción matemática

de los criterios de comportamiento, que son usualmente conflictivos

entre ellos. Por esta razón, el termino “optimizar” significa encontrar una solución, tal que dé los valores de todo el conjunto de funciones objetivo aceptables para el diseñador. Formalmente, el problema de optimización se representa de la siguiente forma: encontrar el vector x * = [ x1* , x 2* ,..., x n* ] que satisfaga las m restricciones de desigualdad: g i ( x ) ≥ 0, i = 1,2,...m ,

(1)

las p restricciones de igualdad: hi ( x ) = 0, i = 1,2,... p ,

(2)

f ( x ) = [ f 1 ( x ), f 2 ( x ),..., f n ( x )]T

(3)

y optimice la función vector:

Donde x = [ x1 , x 2 ,..., x n ] es el vector de las variables de decisión y la solución óptima esta descrita por el vector x * . En el caso de n = 1, el problema es 41

llamado optimización simple, de lo contrario es conocida como optimización multicriterio o multiobjetivo. Para este trabajo funciones con multicriterios son investigadas. El objetivo es minimizar la masa, minimizar los desplazamientos en la armadura y maximizar la cantidad de aire almacenado. Por esto, las funciones objetivo podrían estar definidas como:

f 1 (x) = min( ρ LA)

(4)

f 2 (x) = min(U mag )

(5)

f3 (x) = max(Aarmd )

(6)

sujeto a:

σ ≤ σ permitido

(7)

λ ≤ λ permitido

(8)

Amin ≥ A ≥ Amax

(9)

Se tiene que f1 es la función que define el peso de la armadura, f2 es la función que minimiza los desplazamientos y f3 es la función que maximiza el área de la geometría de la armadura. Donde ρ = [ ρ1 , ρ 2 ,..., ρ k ] es el vector de densidad de la masa; L = [ L1 , L2 ,..., Lk ] es el vector longitud; A = [ A1 , A2 ,... Ak ] es el vector de áreas transversales de las secciones; Amin y Amax son los vectores de lo limites inferior y superior de las áreas de las secciones transversales y k es el número de elementos. Los vectores σ y λ contienen la relación de esfuerzo y esbeltez de cada elemento y sus respectivos valores permisibles están definidos en los vectores

σ permitido y λ permitido respectivamente. U mag = [U mag 1 , U mag 2 ,..., U magj ] es el

vector de los desplazamientos nodales de los j nodos. 42

Es de remarcar que el vector de desplazamiento nodal puede ser calculado de la ecuación de equilibrio como: U = K −1 f

(10)

Donde K y f son la matriz de rigidez del sistema y el vector de fuerzas nodales que pueden ser obtenidos mediante el Método de Elemento Finito la matriz K y la matriz f de las condiciones de frontera. Para este estudio se adopta, el reglamento del American Institute of Steel Construction (AISC) para lo relativo a las especificaciones de diseño estructural. También nos apoyaremos en las normas europeas para el diseño de invernaderos y manual de construcciones de la CFE. Para convertir el problema con restricciones en un problema sin restricciones, se introduce una función de penalización a la función objetivo. Las funciones de penalización castigan soluciones inaceptables

reduciendo los

valores de sus funciones objetivo en proporción a la violación. En otras palabras, la función de penalización es aplicada siempre y cuando las restricciones sean violadas. Serán considerados en este trabajo dos diferentes tipos de funciones de penalización. El primer tipo de función de penalización considera la normalización de las restricciones violadas con respecto a la relación permisible de esfuerzo o esbeltez. El segundo tipo de función de penalización es una función constante, que es usada para penalizar las violaciones

de los desplazamientos.

Considerando lo anterior, las funciones de penalización están definidas como:

43

⎧c * ((σ ( xi ) − σ max ( xi ))/σ max ( xi ) p1 ( xi ) = ⎨ p1 0 ⎩

⎧c * (( λ( xi ) − λmax ( xi ))/λmax ( xi ) p 2 (x i ) = ⎨ p2 0 ⎩ ⎧ p 3 ( xi ) = ⎨ ⎩

para σ ( xi ) > σ max ( xi ) ⎫ ⎬ diferente ⎭

(11)

para λ( xi ) > λmax ( xi ) ⎫ ⎬ diferente ⎭

(12)

para U ( xi ) > U max ( xi ) ⎫ ⎬ diferente ⎭

cp3 0

(13)

Donde cp1, cp2 y cp3 son constantes. La normalización de las violaciones permite grandes valores de penalización en etapas iniciales cuando la solución esta lejos de soluciones factibles y valores pequeño cuando la solución esta cerca de regiones practicables. Las funciones de penalización en las ecuaciones (11) y (12) se usarán para penalizar el tamaño del elemento y la ecuación (13) será aplicada para modificar el número de elementos en la armadura. Los coeficientes cp1, cp2 y cp3 son usados para controlar la magnitud de los valores de penalización. Para el caso de variables de diseño discretas, las funciones de penalización se requiere que sean redondeadas desde que la posibilidad de que el área de la sección transversal de los perfiles comerciales están arregladas para tamaños y cada sección transversal esta definida por un entero que está representado en forma real. III.1.2. Método de elemento finito

La armadura puede ser llamada una estructura de “elemento discreto”[Cook et al., 1988]. Sus elementos son barras individuales, ya presentadas como piezas individuales. Por lo que se evita el importante proceso del elemento finito de dividir el continuo en elementos apropiados y se idealiza el comportamiento de cada elemento.

Cada barra de la armadura se asume que es uniforme, linealmente elástica, conectada por articulaciones en sus nodos y cargada axialmente. Únicamente 44

consideramos estructuras estáticamente cargadas. Dentro de estas restricciones, el análisis es exacto, no aproximado.

Grados de libertad. (g.d.l.). Una estructura tiene n g.d.l. si se necesitan n cantidades independientes para definir de manera única la configuración deformada de la estructura. La matriz de rigidez de la estructura tendrá n filas por n columnas. En una armadura plana, n es igual a dos veces el número de nodos con desplazamientos libres. Los g.d.l. individuales son las componentes de los desplazamientos en las direcciones x- y y-de cada nodo de la estructura.

III.1.2.1. Ecuaciones de rigidez de la estructura

Se inicia creando la matriz de rigideces [K] de la estructura de una armadura plana mediante el ataque directo en la estructura como un todo. El resultado se usara para ilustrar algunos conceptos. Después se demostrara como [K] puede construirse mediante el ensamblado de las matrices de los elementos, que es el proceso realmente usado en los programas computacionales.

Considera, por ejemplo, la armadura de tres barras de la Figura (). Para el elemento i, donde i= 1, 2, 3 en este ejemplo, sea Ai= área de la sección transversal, Ei= modulo elástico y Li= longitud. De la mecánica de materiales, la fuerza axial Fi y el cambio en longitud ei tienen la relación

ei =

Fi Li Ai Ei

(14)

La rigidez esta definida como la relación fuerza desplazamiento y se le da 45

por costumbre el símbolo k. Por lo tanto, la rigidez axial de cualquier barra uniforme de una armadura es

ki =

Fi Ai Ei = ei Li

(15)

Los apoyos en los nodos 2 y 3 en la Figura 4 son removidos temporalmente, para que no haya valores iguales a cero asignados a los desplazamientos nodales. Ahora sea un nodo desplazado una pequeña cantidad, primero en la dirección en x y después en la dirección en y, mientras que todos los demás nodos se mantienen sin desplazamiento. Por lo tanto hay seis estados de deformaciones posibles para una armadura plana de tres nodos. En cada uno de los seis estados se calculan fuerzas que se deben aplicar a los nodos para mantener el estado de deformación. Estas fuerzas, actuando en la armadura liberada de sus apoyos, ubica la armadura en equilibrio estático. Los primeros dos diagramas de cuerpo libre se muestran en la Figura 5.

Como un ejemplo de la fuerza de calculo, considera las fuerzas en la Figura 5(a). Debido a que el desplazamiento u1 es pequeño, sus componentes a lo largo de la barra 2, que es el cambio en longitud de la barra 2, es e2 = 0.6u1. Esta deformación produce la fuerza axial F2=k2e2, sus componentes verticales y horizontales tienen las magnitudes respectivas 0.6F2 =0.36k2u1 y 0.8F2 =0.48k2u1. La barra 3 tiene una elongación e3 = u1 y fuerzas que contribuyen F3=k3e3=k3u1.

46

3

36.9°

1

2 2

P

3

1

Figura 4 Una armadura plana de tres barras.

2 1

2 1

2 1

2 1

u1 2 1 3 1

2

3

v1

1

2 1 2 3

Figura 5 Cargas nodales consistentes con respecto a los estados de desplazamientos { D}= [u1 0 0 0 0 0]T y {D}= [0 v1 0 0 0 0 0]T

Sea {Q1} el vector de fuerzas en la Figura 5(a) asociado con el desplazamiento unitario, u1 =1. Esto es que las fuerzas que aparecen en la Figura 5(a) son {Q1}u1: {Q1}u1=[k3 + 0.36k2 –0.48k2 –k3 0 -0.36k2 0.48k2]Tu1 47

(16)

De la misma manera las fuerzas que aparecen en la Figura 5(b) son {Q2}v1, donde {Q2} es el vector de fuerzas asociado con el desplazamiento unitario v1 = 1: {Q2}v1=[-.048k2 + 0.64k2 0 0 0.48k2 –0.64k2]Tv1

(17)

Sean {Q3}, {Q4}, {Q5} y {Q6} las representaciones de los vectores de equilibrio en lo nodos, asociados con los estados de desplazamientos unitarios restantes u2 = 1, v2 = 1, u3 = 1 y v3 = 1. Entonces, si todos los seis g.d.l. nodales puedan no ser cero simultáneamente, las cargas nodales asociadas se obtienen adicionando los seis casos separados,

[Q1

Q2

Q3

Q4

Q5

⎧ u1 ⎫ ⎧ p1 ⎫ ⎪v ⎪ ⎪ q ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ 1⎪ ⎪⎪u ⎪⎪ ⎪⎪ p ⎪⎪ Q6 ] ⎨ 2 ⎬ = ⎨ 2 ⎬ ⎪ v2 ⎪ ⎪ q2 ⎪ ⎪u3 ⎪ ⎪ p3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩⎪ v3 ⎭⎪ ⎩⎪ q3 ⎭⎪

(18)

donde las fuerzas aplicadas al nodo i son llamados pi y qi , positivo en las direcciones +x y +y, respectivamente. Desarrollando la ecuación 18 es

⎡ k3 + 0.36k2 ⎢ −0.48k 2 ⎢ ⎢ − k3 ⎢ 0 ⎢ ⎢ −0.36k2 ⎢ ⎢⎣ 0.48k2

−0.48k2

− k3

0

−0.36k2

0

0

0.48k2

0

k3

0

0

0 0.48k2

0 0

k1 0

0 0.36k2

−0.64k2

0

−k1

−0.48k2

⎤ ⎧ u1 ⎫ ⎧ p1 ⎫ −0.64k2 ⎥⎥ ⎪⎪ v1 ⎪⎪ ⎪⎪ q1 ⎪⎪ ⎥ ⎪⎪u2 ⎪⎪ ⎪⎪ p2 ⎪⎪ 0 ⎥ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (19) − k1 ⎥ ⎪ v2 ⎪ ⎪ q2 ⎪ −0.48k2 ⎥ ⎪u3 ⎪ ⎪ p3 ⎪ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ k1 + 0.64k2 ⎥⎦ ⎩⎪ v3 ⎭⎪ ⎩⎪ q3 ⎭⎪ 0.48k2

En la abreviación estándar, estas ecuaciones de rigideces son [K]{D} = {R}

(20)

donde [K] es la matriz de rigideces de la estructura. Como se muestra en el desarrollo, Las ecuaciones 20 son ecuaciones de equilibrio. 48

El significado físico de [K], así como un procedimiento para formular [K], están contenidos en el siguiente enunciado. La j esima columna de [K] es el vector de cargas que se debe aplicar a los g.d.l. de los nodos para mantener el estado de deformación asociado con el valor unitario del g.d.l. j mientras otros g.d.l. son cero. La matriz de rigideces es cuadrada; estos es, hay tantas ecuaciones como g.d.l. III.1.2.2. Ecuaciones de rigidez del elemento

Se comienza generando la matriz de rigideces de la estructura [K] para la armadura plana. Esto se hace sumando los coeficientes de las matrices de rigideces de los elementos [k]. A continuación se presenta como formular la matriz [k] para un miembro uniforme de una armadura plana.

Sea el área del elemento de la Figura 4 de sección transversal constante A y de modulo elástico E. Todo lo necesitado para generar [k] se puede encontrar de A, E y de las cuatro coordenadas de los nodos, xi, xj, yi y yj. Primero calculamos:

L=[(xj -xi)2+( yj +yi)2]1/2

s=sen β=

c=cos β=

y j - yi

(21)

(22)

L

x j - xi

(23)

L

Lo siguiente es generar las columnas de [k] mediante la activación de cada

49

grado de libertad en turno mientras se mantienen los otros en cero. El primero de estos cuatro casos se muestra en la Figura 7. y, v j

j

pj

L

qj cui

ß

ß+dß

i

i

x, u Figura 6 Un elemento uniforme de una armadura, orientado arbitrariamente en el plano xy.

pi ui

qi

Figura 7 El elemento de la armadura después del desplazamiento nodal, ui>0, vi=uj=0 han sido impuestos.

El acortamiento axial cui produce una fuerza axial compresora F=(AE/L)cui, cuyos componentes x y y son pi=-pj=Fc y qi=-qj=Fs. Estos componentes proveen el equilibrio estático. Por lo tanto: ⎧ c2 ⎫ ⎧ pi ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ AE ⎪ cs ⎪ ⎪ qi ⎪ u = ⎨ ⎬ i ⎨ ⎬ L ⎪ −c 2 ⎪ ⎪ pj ⎪ ⎪⎩ −cs ⎭⎪ ⎪⎩ qj ⎪⎭

(24)

Resultados similares se obtienen para los desplazamientos restantes, vi, uj y vj, cuando cada uno actúa solo. Si todos los cuatro g.d.l. fueran diferentes de cero simultáneamente, se sobreponen los resultados, tal como en la ecuación 18, y se obtiene:

¨

⎡ c 2 cs −c 2 −cs ⎤ ⎧ui ⎫ ⎧ pi ⎫ ⎢ ⎪ ⎪ 2 2⎥⎪ ⎪ AE ⎢ cs s −cs − s ⎥ ⎪ vi ⎪ ⎪ qi ⎪ ⎨ ⎬ =⎨ ⎬ L ⎢ −c 2 −cs c 2 cs ⎥ ⎪uj ⎪ ⎪ pj ⎪ ⎢ 2 2 ⎥ ⎣ −cs − s cs s ⎦ ⎩⎪ vj ⎭⎪i ⎩⎪ qj ⎭⎪

50

(25)

donde c=cos β y s=sin β. La matriz cuadra, incluyendo el factor AE/L, es la matriz de rigideces [k] del elemento. Se abrevia la ecuación 25 como :

[k]{d}={F}

(26)

La j esima columna de [k] es el vector de cargas que se debe aplicar a los nodos de los elementos para mantener el estado de deformación cuando dj=1 y todos los demás g.d.l. del elemento son cero. Subsecuentemente seria deseable distinguir entre las cargas aplicadas por elemento y las cargas aplicadas al elemento. Las cargas {F}= [k]{d} son aplicadas al elemento para mantener los g.d.l. nodales. III.1.2.3. Ensamble de elementos en la armadura plana

El proceso de ensamblado de los elementos para formar la estructura puede ser simbolizado como [K]=Σ[k]. En este apartado se consideran argumentos que aplican a la armadura de tres barras de la Figura 4. Físicamente, la construcción de la armadura de la Figura 4 se pude visualizar como sigue. Los nodos de la estructura están posicionados en el espacio (dominio) y se le asignan etiquetas, tal como 1, 2 y 3 en la Figura 4. Las barras primero no están ensambladas, pero cada barra es etiquetada con la numeración de un nodo en cada extremo para marcar donde se va a colocar. Una por una, las barras son fijadas a los nodos apropiados de la estructura. La estructura gana rigidez con cada barra que es agregada. Simbólicamente, el proceso anterior es empezar con una matriz de rigidez nula [K], entonces, agregarle las [k] de cada elemento. Cuando el último elemento

51

ha sido agregado, la estructura esta completa y [K] también. La sumatoria [K]=Σ[k] se puede desarrollar si cada [k] está hecho para operar en {D}, el vector de g.d.l. de la estructura. Si la estructura tiene n g.d.l., esto significa que cada [k] debe ser expandido para convertirse en una matriz de n por n. Tal expansión al “tamaño de la estructura” es una herramienta conceptual de mucha ayuda. Para comenzar, se escribe [k] para cada barra en la Figura 4 como una matriz de 4 por 4. Las etiquetas de los nodos i y j pueden ser intercambiadas: en otras palabras, agregar π al ángulo β no cambia la ecuación 24. A este grado, las etiquetas de los nodos en las barras son arbitrarias. Sea k1, k2, y k3 representa los factores AE/L de sus respectivas barras, y aplica ecuac. 24. Barra 1: Sea i = 2 y j = 3. Por tanto β=90°, c=0, y s= 1. ⎡0 0 ⎢0 1 [k ]1 {d }1 = k1 ⎢ ⎢0 0 ⎢ ⎣ 0 −1

0 ⎤ ⎧u2 ⎫ 0 −1⎥⎥ ⎪⎪ v2 ⎪⎪ ⎨ ⎬ 0 0 ⎥ ⎪u3 ⎪ ⎥ 0 1 ⎦ ⎩⎪ v3 ⎭⎪ 0

(27)

Barra 2: Sea i = 1 y j = 3. Por tanto β=126.9°, c= -0.6, y s= 0.8. ⎡ 0.36 −0.48 −0.36 0.48 ⎤ ⎧u1 ⎫ ⎢ −0.48 0.64 0.48 −0.64 ⎥ ⎪ v ⎪ ⎥ ⎪⎨ 1 ⎪⎬ [k ]2 {d }2 = k2 ⎢ ⎢ −0.36 0.48 0.36 −0.48⎥ ⎪u3 ⎪ ⎢ ⎥ ⎣ 0.48 −0.64 −0.48 0.64 ⎦ ⎪⎩ v3 ⎭⎪

Barra 3: Sea i = 1 y j = 2. Por tanto β=126.9°, c= -0.6, y s= 0.8.

52

(28)

⎡1 ⎢0 [k ]3 {d }3 = k3 ⎢ ⎢ −1 ⎢ ⎣0

0 −1 0 ⎤ ⎧ u1 ⎫ 0 0 0 ⎥⎥ ⎪⎪ v1 ⎪⎪ ⎨ ⎬ 0 1 0 ⎥ ⎪u2 ⎪ ⎥ 0 0 0 ⎦ ⎩⎪ v2 ⎭⎪

(29) Cada una de las tres matrices [k] anteriores debe ser expandida de 4 por 4 a 6 por 6. Esto es hecho agregando dos filas de ceros y dos columnas de ceros-en el inicio en Ecuación 27, en la mitad en la Ecuación 28, y en el final en la Ecuación 29. Por lo tanto cada vector de desplazamientos del elemento se vuelve igual al vector de desplazamientos de la estructura {D}: {d}1 ={d}2 ={d}3 ={D} =[u1 v1 u2 v2 u3 v3]T

(30)

La ecuación 30 refuerza la compatibilidad; esto es, hace que los extremos conectados con pasadores de la barra coincidan bajo cualquier desplazamiento {D}. III.1.2.4. Ensamble considerando como satisfacer el equilibrio

En el análisis de esfuerzos, el ensamble de elementos puede ser considerado como un proceso de escritura de ecuaciones que establecen que cada nodo de la estructura es en equilibrio estático todas las cargas aplicadas a ella. Las cargas nodales vienen de elementos debido al peso propio, cambios de temperatura y la falta de adaptación, de deformaciones asociadas con los desplazamientos nodales, y de fuentes externas. El argumento equilibrio es ahora explicado con referencia particular a la armadura plana.

Las cargas aplicadas a los nodos por causa de la gravedad en la dirección negativa de y se muestran en la Figura 8(a). Escritas formalmente para un elemento de cuatro g.d.l., estas cargas son

53

{rw } =

W [0 −1 0 −1]T 2

(31)

donde el peso total del elemento W es igualmente proporcionado en los dos nodos. Si una barra totalmente restringida esta inicialmente libre de esfuerzos y entonces calentada uniforme en T grados, esta mantiene una fuerza axial a compresión F=αEAT, donde α es el coeficiente de expansión térmica (Figura 8(b)). El vector de cargas nodales resultante es {rT} = αEAT[-c -s c s]T

(32)

donde c = cos β y s = sen β. Las mismas fuerzas {rT} ocurrirían de la fuerza de adaptación de una barra que esta inicialmente unidades αLT son muy largas. Se usaran {re} para simbolizar las cargas de los elementos. Para las cargas mencionadas aquí, {re} = {rw} + {rT}

(33)

r Las cargas {r} = [ k ]{d } son cargas aplicadas a un elemento para mantener r su estado de deformación {d}. Por lo tanto, cargas iguales y opuestas {r} = - {r}

son aplicadas por el elemento a los nodos de la estructura, de acuerdo con la tercera ley de Newton. Esto es, las cargas nodales asociadas con la deformación del elemento son {r} = -[k]{d}

(34)

Finalmente, las cargas aplicadas a los nodos de la estructura por agentes externos son llamados {P}. Por ejemplo, {P} = [0

-P

0

0

0

0]T para la

armadura de la figura 4. Las cargas aplicadas por apoyos fijos no se incluyen usualmente en {P} por que estas serán descartadas inmediatamente por los

54

métodos estándar que imponen las condiciones de apoyo. y w j

y

w/2

j

j =

i

x

w/2

=

ß

i

x

i

(a)

j

i

(b)

Figura 8 (a) Distribución del peso W de una armadura a sus nodos. (b) Cargas en los nodos asociadas con el calentamiento uniforme de T grados arriba de la temperatura sin esfuerzo.

El conjunto de ecuaciones que colocan a cada nodo en equilibrio estático es {P} +

numel

numel

∑ {r} + ∑ {r } n =1

n

n =1

e n

= {0}

(35)

donde numel es el número de elementos en la estructura. Las sumatorias son escritas por que un nodo típico esta conectado a más de un elemento. Sin embargo, un nodo recibe las contribuciones de {r} y {re} solamente de los elementos a los que esta conectado; por lo tanto, la ecuación 35 implica la expansión de los vectores del elemento al “tamaño de la estructura” mediante la adición de varios ceros.

Substituyendo la ecuación 34 en 35 produce [K]{D}={R}

(36)

donde [K ] =

numel

∑ [k ]n

y

n =1

{R} = {P} +

numel

∑ {r } n =1

e n

(37)

Las sumatorias implican la expansión de los arreglos de los elementos [k] y

55

{re} al “tamaño de la estructura” esto para que {d}n de cada elemento n se vuelve idéntico al vector de desplazamiento estructural {D}.

Para una armadura plana, la ecuación 36 contiene dos ecuaciones por nodo. Para una armadura espacial habría tres ecuaciones por nodo.

III.1.2.5. Ensamble como lo dicta la numeración de los nodos

Las etiquetas de los nodos de los elementos, tal como i y j en la Figura 6, sirven únicamente como marcas convenientes durante la generación de las matrices del elemento. En el proceso de ensamblaje están las etiquetas de los nodos de la estructura, tal como 1,2 y 3 en la Figura 4, que determinan las locaciones en [K] y {R} a los coeficientes de los arreglos en los elementos [k] y {re} son asignados. Estos es verdad para cualquier elemento finito, sin importar su tipo, tamaño, forma o número de nodos.

j

3 2

k

k

2

2 1

+

=

1 1

i j

i

4

Figura 9 Una estructura de cuatro nodos construida para dos elementos triangulares.

Como ejemplo, consideramos una estructura que tiene dos elementos triangulares

56

y un grado de libertad por nodo (Figura 9). Esta estructura no es una armadura. No es necesario que problema físico se esté modelando. Es necesario decir que la característica de la matriz [k] de cada elemento es de 3 por 3, los nodos de la estructura del elemento 1 son numerados 1, 4 y 2, y los nodos del elemento 2 son numerados 4, 3, y 2. Para los elementos 1 y 2 en la Figura 9, se escribe

⎡ a1 [k ]1{d }1 = ⎢⎢ a4 ⎢⎣ a7

a2 a5 a8

a3 ⎤ ⎧ di ⎫ ⎪ ⎪ a6 ⎥⎥ ⎨ d j ⎬ y a9 ⎥⎦ ⎩⎪d k ⎭⎪

⎡ b1 [k ]2 {d }2 = ⎢⎢b4 ⎣⎢b7

b2 b5 b8

b3 ⎤ ⎧ di ⎫ ⎪ ⎪ b6 ⎥⎥ ⎨ d j ⎬ b9 ⎥⎦ ⎩⎪d k ⎭⎪

(38)

donde las d’s son los g.d.l. nodales. Los subíndices indican las etiquetas de los v v nodos de los elementos. Sean las “cargas” nodales llamadas { r }, donde { r }= [k]{d}. Ahora considera el elemento 1. Sus cargas nodales, primero en el etiquetado del elemento y después en la estructura, son

v r i= a1di + a2dj + a3dk v r j= a4di + a5dj + a6dk v r k= a7di + a8dj + a9dk

v r 1= a1D1 + a2 D4 + a3 D2 v r 4= a4D1 + a5 D4 + a6 D2 v r 2= a7 D1 + a8 D4 + a9 D2

y

(39)

v Al ultimo grupo de ecuaciones se le puede adicionar la ecuación r 3=0 por que el nodo 3 no esta dentro del elemento 1. Después de esta adición, y después de arreglar el acomodo de D en orden numérico, se tiene para el elemento 1 v ⎧ r1 ⎫ ⎡ a1 ⎪rv ⎪ ⎢ a ⎪ 2⎪ ⎢ 7 ⎨v ⎬ = ⎪ r3 ⎪ ⎢ 0 ⎪⎩rv4 ⎪⎭ ⎢⎣ a4

a3 a9 0 a6

0 a2 ⎤ ⎧ D1 ⎫ 0 a8 ⎥⎥ ⎪⎪ D2 ⎪⎪ ⎨ ⎬ 0 0 ⎥ ⎪ D3 ⎪ ⎥ 0 a5 ⎦ ⎪⎩ D4 ⎪⎭

(40)

en la que la matriz cuadrada es la matriz [k]1. El elemento dos se trata de manera similar. Entonces, debido a que las dos matrices [k]1 y [k]2 tienen la misma dimensión y operan en el mismo vector de g.d.l. {D}, se puede escribir [K]{D} = (Σ[k]){D}, donde

57

⎡ a1 ⎢a [ K ] = [k ]1 + [k ]2 = ⎢ 7 ⎢0 ⎢ ⎣ a4

a3 a9 0 a6

0 a2 ⎤ ⎡ 0 0 0 a8 ⎥⎥ ⎢⎢ 0 b9 + 0 0 ⎥ ⎢ 0 b6 ⎥ ⎢ 0 a5 ⎦ ⎣ 0 b3

0 b8 b5 b2

0⎤ b7 ⎥⎥ b4 ⎥ ⎥ b1 ⎦

(41)

Se ve que los coeficientes debajo de la diagonal de un elemento de la matriz [k] (antes del reordenamiento) pueden aparecer arriba de la diagonal en [K]. Si las etiquetas de los g.d.l. de los elementos son intercambiadas, entonces los coeficientes ai y bi en las ecuaciones 38 se reacomodan en las matrices [k] del elemento. Sin embargo, si las etiquetas de los nodos de la estructura son preservadas, las ai y bi son asignados a las mismas ubicaciones en la matriz [K] de la estructura como antes. Por ejemplo, si en la Figura 9 las etiquetas ijk son v permutadas a jki, entonces la primera ecuación 39 se convierte r i = a1Dj + a2Dk + v a3Di, pero i = 2, j = 1 y k = 4, por lo que r 1 = a1D1 + a2D4 + a3D2 como antes.

58

III.2. Operaciones Genéticas III.2.1. Introducción Las operaciones genéticas empleadas en

el modelo fueron mutación,

cruzamiento y reproducción, estas operaciones fueron aplicadas para generar 10%, 80% y 10% de la población respectivamente. El la primera generación todos los individuos se generaron de manera aleatoria. Un individuo esta representado por una matriz de “n” renglones y de 9 columnas, los renglones son las barras, y las columnas representan los siguientes atributos de la barra: Col. 1Col.2 Col.3

Col.4

Col.5

Col.6

Col.7Col.8

Col.9

nodoi nodoj coordnodoix coordnodoiy coordnodojx coordnodojy long no sección Área sección Tabla 1 Representación matricial

La columna 1 representa el nodo inicial de la barra, la columna 3 es el nodo final. Las coordenadas de estos nodos están de la columna 3 a la 6 (xi, yi y xj, yj), la columna 7 contiene la longitud de la barra. En las ultimas dos columnas tenemos el número de la sección comercial transversal empleada, elegida de una base de datos de 30 secciones, y su área. Esta es una representación con valores reales, tiene la ventaja de que es muy amigable con el usuario, ya que se pueden identificar todos los elementos de la configuración geométrica de nuestro individuo. Algunas características de esta representación son:

•

Consume un tiempo computacional importante para crearse y procesarse.

•

Es complicado el aplicar las operaciones genéticas directamente sobre esta representación.

•

Para aplicar las operaciones estos individuos se subdividen en información que permite aplicar las operaciones genéticas indirectamente en ellos.

Ya obtuvimos un listado por generación en donde vemos las calificaciones de los individuos ordenadas de menor a mayor, siendo la menor la mejor; con este

59

listado se descarta a un 20 % de los peores individuos y se deja el restante para que puedan ser padres de la siguiente generación. Los padres se eligen al azar dentro del 80 % restante de individuos pero solo el 60% del total de la población podrá procrear a la siguiente generación, ya que 40% se cruzaran para formar un 80% del total de la nueva población, un 10% simplemente se reproducirá en la siguiente (copiarse tal cual), y el 10% faltante se creará por mutación. III.2.2. Mutación El algoritmo de mutación se encarga de cambiar ligeramente las propiedades de un individuo. En la primera fase de la mutación se selecciona un individuo al azar al cual se le aplicara la operación. En esta fase se pueden mutar las secciones transversales de las barras, las coordenadas, se quitan barras o se cambian las conectividades de los nodos. La mutación de las secciones transversales se le da una probabilidad de 30% y esta se realiza azar sobre algunas barras de la armadura y se aumenta o disminuye la sección transversal dependiendo de su resistencia. La mutación de las coordenadas tiene un 40% de probabilidad de realizarse y esta en función de la relación de esbeltez de las barras y esta lo acorta o lo alarga según se requiera. Al quitado de barras se le da una probabilidad de 20% y se realiza siempre y cuando no se altere la estabilidad del individuo. Se deja un 30% de probabilidad para la mutación de las conectividades de las barras y consiste en cambiar la posición del nodo j de la barra a mutar. III.2.3. Cruzamiento Esta operación genera un 80% de la población de la nueva generación y lo hace a partir de un 40% de la población actual. Este algoritmo se realiza de la siguiente manera: 1. Se seleccionan de manera los padres, de los cuales el más ligero se le considera el femenino y al más pesado el masculino. El femenino tiene la

60

opción de rechazar al masculino cuando este tiene una relación de peso mayor a 8 veces el femenino o de aceptarlo en caso de que esa relación no se pueda mejorar en un determinado número de iteraciones. La ventaja del masculino es que puede intentar reproducirse en la siguiente terna pero el femenino solo se reproduce una vez. 2. Se une la información de los padres en tres cigotos: un cigoto para arcos y secciones, otro para las coordenadas y un último para el número de barras que salen por nodo. 3. Se ordenan los cigotos para hacer más fácil la extracción de la información. Al cigoto de coordenadas se le ordena de menor a mayor conforme a las x’s y se le quitan los puntos obligados. Al cigoto de arcos solamente se le ordenan de menor a mayor sin reducirlo y lo mismo se hace para el cigoto de barras que salen de un nodo. 4. Después se tiene la opción para que los hijos muten las coordenadas de los padres y no salgan tan parecidos, para que puedan tener una coordenada menos que el que tenga menos o una coordenada más del que tenga más. Esta mutación tiene un 5% de probabilidad de presentarse. Las coordenadas de los hijos se extraen a partir de un tamaño de paso de selección dentro del cigoto de coordenadas y se varía el inicio del paso para que los hijos no sean gemelos en las generaciones tempranas. La figura 10 muestra una comparativa del método. También aquí se introducen las coordenadas obligadas de los puntos de apoyo y de los puntos cargados. En esta figura se ve una comparativa entre los procedimientos normales de cruzamiento en un algoritmo genético y el cruzamiento propuesto en este trabajo. El cigoto es la unión de la información de atributos iguales de los dos padres, como las coordenadas, en un solo vector. Ya que esta información esta unida se ordena, en el caso de las coordenadas se ordenan conforme a las X y van de la menor a la mayor; ya que esta ordenado el cigoto se extraen los datos de los hijos, los que no deben

diferir

en

cualidad.

61

cantidad

o

Individuo 1

Un punto de cruce

Hijo 2

Individuo 2 Individuo 1

Hijo 1

Dos puntos de cruce

Hijo 1 Hijo 2

Individuo 2

Individuo 1

Cigoto

Individuo 2

Cigoto acomadado Hijo 1 Hijo 2

Figura 10 Proceso de cruzamiento mediante cigoto de información

5. Se hace una revisión de arcos que se tienen contra los nodos de los hijos y se agregan arcos donde falten y se quitan donde sobren. 6. Se forman los arcos de los hijos a partir de las instrucciones de los padres, se van descartando los arcos que no cumplen con los criterios de longitud de las barras. 7. Se agregan arcos de los puntos obligados. 8. Se depuran arcos que no pasan criterios de longitud, que están repetidos o encimados. 9. Las secciones transversales pasan como pasan junto con el arco o barra a la cual estaban relacionadas con los padres. 10. Como paso final se une la información obtenida de los cigotos para generar dos individuos completos de la siguiente generación. III.2.4 Reproducción Este algoritmo consiste únicamente en copiar un individuo de una generación a otra sin cambio alguno. Los individuos que se escogen en este caso se toman de entre el 40% de las mejores soluciones.

62

III.3. Algoritmo Genético propuesto. A continuación se describe el proceso algoritmo principal empleado para la solución del problema de optimización de una armadura, Figura 11. Los siguientes pasos o ciclos se albergan en un realizado en MatLab. Dentro de este programa encontramos lo siguiente:

Figura 11 Diagrama de flujo del algoritmo genético.

III.3.1. Datos de entrada. Son los parámetros de control de nuestro algoritmo, como es el criterio de paro, los límites de nuestro dominio espacial, el número máximo de nodos, el

63

número de nodos cargados, el rango de los nodos cargados, el intervalo de separación de los nodos cargados, número de apoyos, longitud máxima y mínima de cada barra, máximo y mínimo número de barras que salen por nodo, constantes del material, propiedades de las secciones. III.3.2. Ciclo para generar las poblaciones. Este ciclo es el encargado de crear las soluciones de nuestro problema, así como de depurando las soluciones. Este ciclo se repite hasta que se llega al criterio de paro que en este caso es el número máximo de generaciones. III.3.2.1. SubCiclo de nodalización En este ciclo se crean los nodos de forma aleatoria y son los que definirán la geometría de nuestra estructura. El ciclo inicia verificando si ya existen nodos generados, posteriormente pasa a crear una matriz de coordenadas en x, donde la una fila de esa matriz representa un intervalo de distancia que esta entre un apoyo y un nodo cargado, o un nodo cargado a otro. El número de coordenadas en x es aleatorio pero los intervalos se dividen en igual número de coordenadas. Las coordenadas en x se acomodan de la menor a la mayor. Y las coordenadas en y se forman al azar para formar los pares (x,y). Una vez que se forman los pares de coordenadas hacemos una depuración de coordenadas que tiene una separación menor que la mínima propuesta para las barras. Existe también la posibilidad de que metamos las coordenadas de más apoyos. Como resultados de este Subciclo tenemos dos matrices: matriz con nodos y matriz con la posición de la y máxima y su valor. III.3.2.2. SubCiclo de generación de individuos En este subciclo se inicia con la comprobación de la existencia de

64

individuos generados para no sobrescribir sobre alguna solución ya creada. A partir de la matriz de coordenadas generada en el SubCiclo de nodalización se identifican los puntos obligados para que estén conectados. En este caso son los apoyos y los nodos cargados. A continuación entra la numeración de los nodos a un ciclo anidado con el que se forman arcos los que representaran a las conexiones de los nodos i y j en nuestra armadura. A este ciclo se le llama formación de vectores. El ciclo de formación de vectores trabaja de la siguiente manera:

•

Identifica los nodos obligados y evita sobreponer barras

•

Solo saca barras de los nodos y va desde el nodo 1 hasta n-1, donde n es el número total de nodos.

•

Saca un número de barras al azar sin exceder de un máximo o un mínimo establecido en la fase de entrada de datos.

Posteriormente de este ciclo viene un ciclo en donde se filtran los arcos cuya longitud excede la máxima o es menor que la mínima establecida. Luego le siguen dos ciclos más, donde en uno se arma la matriz que representa a un individuo y en el otro se generan las restricciones de desplazamiento y fuerza del sistema. De aquí obtenemos tres matrices que representan los grados de libertad, las fuerzas aplicadas y las armaduras mismas (individuos). III.3.2.3. SubCiclo de obtención de masas En este ciclo se genera lo que va a ser optimizado, que es el peso total de nuestra estructura por lo que es importante poner especial cuidado en como obtenerlo. En una variable acumuladora se suman los pesos de cada barra de nuestra armadura, el que se calcula multiplicando la longitud por la densidad y por el área de la sección transversal, y cuando se tenga el total de las barras, que es el peso de nuestra armadura se va a guardar en una variable que va a ser evaluada en un ciclo posterior. La densidad que se toma es la del acero que es

65

igual a 7851.03 Kg/m3. III.3.2.4. SubCiclo de Análisis Estructural Al inicio de este ciclo se tiene que utilizar un traductor, ya que para el manejo externo y revisión de los grados de libertad se manejo un tipo de matriz y se requiere otro formato para meterla a un programa de análisis por el MEF. Es el mismo caso de las conectividades, fuerzas, áreas de las secciones transversales y longitudes. Las matrices formadas tienen ya el formato de análisis por lo que se procede a formar la matriz de rigideces del sistema global, por el método del elemento finito, luego se hace la simplificación de la matriz a los nodos no restringidos, y esta matriz se invierte para luego ser multiplicado por la matriz de fuerzas. En este momento se debe mencionar que cuando la matriz es singular, y por lo tanto no se puede invertir, es un indicio de que nuestro individuo tiene mecanismos de cuerpo rígido por simple geometría se produce el colapso, por lo tanto no es una solución practicable y se le aplica una penalización que esta en función de: maxduy=Cp*h (42) maxduy= imposición de un desplazamiento grande para identificarlo como un mecanismo. h=altura del dominio. Cp= Coeficiente que se incrementa con el paso de las generaciones para hacer más grande el desplazamiento. Como datos de este se obtienen los desplazamientos, la configuración deformada de la armadura y el desplazamiento máximo en y. Datos con los que vamos a evaluar las restricciones de desplazamiento en y menor que el

66

claro/1000, la relación de esbeltez, los esfuerzos de las barras. III.3.2.5. SubCiclo para obtener datos para la evaluación En este ciclo obtenemos uno de los primeros datos que obtenemos es el número de barras que salen de cada nodo. Dato se emplea en el siguiente ciclo interior en donde se obtienen las pendientes máximas, perímetro superior de la armadura y su área. Lo siguiente es obtener los esfuerzos internos en las barras del individuo, así como su relación de esbeltez, resistencia de la sección (tensión y compresión). El paso siguiente son varios ciclos en los que se identifican las barras que están sobrepuestas o armaduras que no hayan unido los puntos de apoyo. También se revisan algunas configuraciones poco comunes que pueden ser consideradas como malas propuestas, individuos que tienen nodos interiores que no le llega o le sale una barra Figura 12.

Figura 12 Ejemplo de armadura con nodos mal resueltos.

III.3.2.6. SubCiclo para evaluación de los individuos En esta parte del proceso los individuos se evalúan de acuerdo

a las

restricciones que violan las solicitaciones de diseño que en este caso son el desplazamiento, la relación de esbeltez, la resistencia de la barra y las conectividades interiores. Cada una de estas restricciones tiene un peso que se le agrega a la masa total del individuo en función de:

67

Si maxduyi > (claro/1000) (43) masai = masai +100*( maxduyi*n)/(claro/1000)+100*ig/ngen) Si esbeltezi >0 (44) masai = masai +esbeltezi Si resisti >0 (45) masai = masai + resisti Si conecti >0 (46) masai = masai + 340* conecti masai =masa del individuo i maxduyi=máximo desplazamiento del individuo i ig = número de generación actual ngen = total de generaciones en la corrida n= número de individuos esbeltezi = número de barras que sobrepasan la relación de esbeltez resisti = número de barras que no tienen resistencia suficiente conecti = número de penalizaciones por conectividad de las barras Se hace un listado con el resultado de las calificaciones de adaptabilidad obtenidas. Los individuos con las penalizaciones más bajas son los individuos que representan las mejores soluciones, un individuo no penalizado representa un diseño que se puede construir sin hacerle modificaciones. Este listado nos da por generación la clasificación de los individuos, el promedio de la generación y la calificación del individuo. En la figura 13 se ve un resumen de una corrida completa, donde en el eje horizontal se ve el número de generación y en el eje vertical en peso en toneladas métricas. Se emplean algunos algoritmos complementarios que hacen las funciones

68

de limpieza de variables, guardado y enlace con programas analizadores y graficadores. Los algoritmos de limpieza simplemente borran variables que no se están empleando, mientras que los de guardado y enlace guardan los datos de los individuos necesarios para analizarlos en programas externos, para ser analizados por el método de elemento finito.

400.00 350.00 300.00 Peso mejor Ind Peso Prom GEn

250.00

Calif Mejor Ind

200.00 150.00 100.00 50.00 0.00 1

5

9 13 17 21 25 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 73 77 81

Figura 13 Evolución de pesos y calificaciones.

III.4. Validación del modelo La metodología propuesta usa los AG para evocar el diseño óptimo de armaduras. Y fue comparado con el trabajo realizado por Yang y Kiong, 2001. III.4.1. Descripción de metodología para validación Los pasos preparatorios para la corrida del AG requieren la determinación

69

de parámetros iniciales, funciones, y la medida de la adaptabilidad, los parámetros para el control de la corrida, y el criterio de terminación y el método para la designación de resultados. Después de escoger el conjunto de parámetros iniciales y un conjunto de funciones, una población de soluciones generadas al azar se representan a través de arreglos matriciales. Los operadores genéticos, que son la reproducción, cruzamiento y mutación, actúan sobre los diseños en un número de generaciones, evolucionando en diseños cada vez más aptos. La evolución de diseños más aptos procede bajo la presión de selección, la que depende en la adaptabilidad de los diseños individuales, calculada usando la función objetivo. Los primeros dos pasos preparatorios definen el espacio de búsqueda del AG, y la medida de adaptabilidad determinan las consecuencias de la búsqueda. Los parámetros primarios para controlar las corridas del AG son el tamaño de la población, el número máximo de generaciones, y la probabilidad de ejecutar varias de las operaciones genéticas. En la aproximación propuesta para nuestro AG, completar el número máximo de generaciones es tomado como el criterio de terminación y el individuo que hasta esta última generación sea el mejor es designado como el resultado de la corrida. III.4.1.1. Conjunto de parámetros iniciales y conjunto de funciones Las matrices de las armaduras que se van a designar están compuestas de parámetros del conjunto de parámetros iniciales y las funciones seleccionadas del conjunto de funciones. De acuerdo al esquema de mapeo, el número de parámetros iniciales y funciones en una matriz de la armadura que son el número de nodos y barras en la armadura, respectivamente. La complejidad de la armadura esta controlada por el número de filas de su matriz. Los conjuntos de parámetros iniciales y de funciones necesitan ser

70

escogidos antes de la corrida del AG. Para un problema de optimización del diseño de una armadura, un número adecuado máximo de nodos, Jmax puede ser propuesto por los diseñadores. En la armadura de Jmax nodos, el número máximo de barras, Mmax, en la armadura esta dado por: (47)

Mmax=1/2Jmax(Jmax-1)

Esto es, el conjunto de parámetros iniciales y el de funciones puede ser determinado. El conjunto de parámetros iniciales, T, consiste de T= [N1(x1,y1,z1), N2(x2,y2,z2),…, NJmax(xJmax,yJmax,zJmax),]

(48)

Donde (xi,yi,zi), j=1,2,…,Jmax son las coordenadas del nodo j, y son números aleatorios seleccionados de [XLj, XUj], [YLj, YUj] y [ZLj, ZUj], respectivamente. XLj, YLj, ZLj y XUj, YUj, ZUj son los limites inferior y superior de las coordenadas especificadas en el dominio de diseño. Las restricciones de las coordenadas de los nodos pueden también incluirse en este tipo de parámetros iniciales. El conjunto de funciones, F para los nodos de conexión en la matriz del AG contiene Mmax funciones de conexión de dos argumentos; esto es, (49)

F= [A1, A2, …,AMmax],

Donde la función Ai(i=1, 2,…, Mmax) conecta sus dos argumentos con una barra cuya área de sección transversal es Ai que es un número aleatorio entre Ali y AUi o un valor aleatorio seleccionado de una lista de tamaños de secciones estándar. Las restricciones de las áreas de la sección transversal de la barra pueden también ser incluidas en este tipo de definición de función.

71

ur ur ur Sujeto a GijL ≤ Gij ( R, A, T ) ≤ GijU ,

(50)

i=1,2,…,nj, j=1,2,…,nc, III.4.1.2. Función de adaptabilidad

Es la medida de la adaptabilidad la que dirige el proceso evolutivo a una matriz que construye la armadura óptima. En otras palabras, la armadura óptima surge de los valores de adaptación de las matrices que pasan la adaptación. La aproximación de la penalización ha sido empleada para acoplar con las restricciones de esfuerzos permisibles en las barras, desplazamientos permisibles en los nodos y la resistencia al pandeo en la ecuación 51. La razón para usar una aproximación por penalizaciones en vez de la estrategia de rechazo es que en problemas de optimización con restricciones, el óptimo típicamente ocurre en la frontera entre las áreas practicables y las impracticables, y la aproximación por penalización forzara la búsqueda genética a aproximarse al óptimo desde ambas regiones, la practicable y la impracticable. La función de evaluación de la adaptabilidad adoptada adquirió la siguiente forma: 2

nj ⎡ nc ⎤ ur ur ur ur ur ur Gij φ ( R, A, T ) = W ( R, A, T ) + ∑ c j ∑ ⎢ a − 1⎥ , ⎥⎦ j =1 i =1 ⎢ G ij ⎣

(51)

Gija = GijL , cuando Gij 〈GijL

Gija = GijU , cuando Gij 〉 GijL ⎡ Gij ⎤ ⎛ Gij ⎞ ⎢ a − 1⎥ = max ⎜ a − 1, 0 ⎟ , ⎜ ⎟ ⎢⎣ G ij ⎥⎦ ⎝ G ij ⎠

(52)

Donde cj es el parámetro de penalización del tipo de restricción jmo. Como el AG busca maximizar la función objetivo, una función objetivo de evaluación de

72

reescala puede ser definida como sigue: Adaptabilidad= ur ur ur ur ur ur ⎪⎧Cpro( generación) − φ ( R, A, T ) cuandoφ ( R, A, T )〈C pro , ur ur ur ⎨ ⎪⎩0 cuandoφ ( R, A, T ) ≥ C pro ,

(53)

El parámetro Cpro es usado para prevenir que un vector de las variables de diseño con la adaptabilidad menor que o igual a Cavg entren en una terna de soluciones candidato que serán usadas para la reproducción en la siguiente generación. Esto también da altos valores de adaptabilidad a buenas soluciones candidato y baja adaptabilidad a aquellas que infringieron las restricciones o que uv uv uv simplemente son soluciones pobres. Cuando Φ ( R, A, T ) converge a un valor mínimo, la adaptabilidad tenderá a un valor máximo. Por lo tanto, tal función objetivo de evaluación de adaptabilidad puede medir adecuadamente el comportamiento de una solución candidata. III.4.1.2. Procedimiento General de solución La figura 11 da un panorama general del proceso de búsqueda del AG por el diseño óptimo estructural. El proceso comienza con una población inicial de matrices, que son generadas aleatoriamente, por un proceso por etapas donde primero se crean las coordenadas, luego los arcos, y las propiedades de las secciones, y al final se unen para formar al individuo. Cada individuo en la población inicial es entonces decodificado en armaduras y analizado por el método de elemento finito (MEF). Aunque algunos individuos podrían no ser armaduras reales, por ejemplo que existiera un mecanismo que no este adecuadamente restringido y no pueda ser analizado por el MEF, la función de la adaptabilidad y selección tienen la capacidad de ejecutar y la corrida del AG pueden continuar mientras que grandes factores de penalización

73

son asignados a estos individuos y se salta el análisis por el MEF. Solo que la armadura considerada es extremadamente simple, tal como una armadura de dos o tres barras, o uno tiene mucha suerte, la población inicial no contendrá la armadura óptima deseada. El siguiente paso es la ejecución de las operaciones del AG, esto es, reproducción, cruzamiento y mutación. Una nueva población es creada después de este paso, y los individuos son decodificados y analizados. El proceso se sigue moviendo hacia delante hasta que la armadura óptima deseada es encontrada o la corrida alcanza el número máximo de iteraciones prefijado. III.4.2. Descripción del problema El problema con el que se va ha validar la metodología se describe a continuación: Y

10

Dominio de diseño

X P

P

P

P P=50.968 Ton

P

P

70 Figura 14 Dominio de diseño.

En la figura 14 se muestra el dominio de diseño. Seis cargas se especifican que estarán en la parte inferior de la armadura. Todas las barras de la armadura son seleccionadas de un conjunto de 30 secciones AISC, estas van de la sección W14x22 a la W14x426. Las propiedades del material son las del acero (E= 2.039432x1010 kg/m2, fy = 2.537054 x107 kg/m2, ρ= 7851.03 kg/m3). Se siguen las especificaciones de diseño de la AISC: el esfuerzo a tensión permisible es 0.6fy, la relación de esbeltez es especificada para miembros a tensión en 300, y en 200

74

para miembros en compresión; la longitud de los miembros no debe ser menor de 5 m y no mayor de 35 m (la mitad de la longitud del dominio de diseño) ; el desplazamiento vertical permitido esta limitado a 1/1000 del claro, esto es 70 mm y el esfuerzo permisible a compresión σ ib de la barra i se obtiene de las consideraciones de pandeo y se calculan como en: (54)

12π 2 E Si λi > C, pandeo elástico, σ = 23λi2 b i

Si λi < C, pandeo plástico, σ ib =

(1 −

λi2 2C 2

) fy

(55)

λ3 5 3λi + + i3 3 8C 8C

Donde λi =Li/ri , C= π 2 E / f y , y Li y ri son la longitud y el radio de giro de la sección transversal de la barra i, respectivamente. III.4.3. Resultados En la figura 15 vemos la evolución de las soluciones obtenidas en el programa hecho en MatLab. Bajo cada solución se encuentran 5 números que representan el número de generación, el número de individuos, el peso real del individuo en toneladas, el peso promedio de todas las soluciones de la generación y el peso penalizado, esto de izquierda a derecha.

75

NGen IndOpt Peso PromGe Calif 0 13 128.51 371.06 198.12

12 24879 92.51 115.63

97.17

25 50958 83.14 113.86

91.68

26 52197 68.86 113.40

86.70

38 76669 78.67 102.71

88.06

42 84728 77.48 97.63

82.85

56 113228 61.97 80.30

71.38

76 153457 52.36 62.33

57.58

50 100506 66.44 87.96

62 124934 55.32 73.18

75.77

62.89

Figura 15 Evolución fase inicial.

Ya en la fase final de la evolución de las soluciones se ve como ya se fijo la topología y las soluciones tienden a una geometría simétrica.

76

83 166664 54.43 58.35 54.43

86 172956 51.09 57.17 52.05

100 201082 49.74 54.72 49.74

112 224941 48.91 52.99 48.91

123 246082 47.35 51.96 47.35

124 248861 48.15 51.87 48.15 (6)

(7)

(9)

(11)

(13)

(14)

(4) (16)

(2)

(1)

166 332035 46.75 49.30 46.75

(3)

(5)

(8)

(10)

(12)

(15)

197 394117 46.22 48.27 46.22

Figura 16 Evolución Fase Final

La grafica muestra como fueron evolucionando los valores de las mejores soluciones de cada generación así como los valores promedio de todos los individuos de la generación.

77

(17)

Figura 17 Evolución

Las tablas 2 y 3 comparan las secciones transversales y coordenada, además de que se agregan los datos del tiempo de cómputo y características del equipo empleado para los cálculos, obtenidas por Yang contra los obtenidos en este trabajo.

78

Y. Yang, C. Kiong Soh Secciones de las barras

1 2 3 4 1 5 6 7 2 2 3 3 4 4

2 3 4 9 5 6 7 8 5 6 6 7 7 8

W14X68 W14X109 W14X132 W14X233 W14X132 W14X132 W14X176 W14X193 W14X61 W14X74 W14X82 W14X82 W14X90 W14X61

Este trabajo Nodo i 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 10 11 11 12 12 13 13 14 14 15 15

Nodo j 3 2 3 4 5 4 5 6 8 6 8 7 9 8 10 9 11 10 12 11 13 12 15 13 15 14 16 15 17 16

W14X68 W14X109 W14X109 W14X145 W14X159 W14X61 W14X61 W14X176 W14X145 W14X38 W14X82 W14X233 W14X193 W14X30 W14X211 W14X48 W14X193 W14X38 W14X176 W14X61 W14X145 W14X82 W14X145 W14X74 W14X132 W14X90 W14X109 W14X48 W14X61 W14X74

Tabla 2 Comparación de secciones

79

Y. Yang, C. Kiong Soh

Coordenadas de nodos (m)

Nodo x5 y5 x6 y6 x7 y7 x8 y8

Peso(kg) Tamaño Población Número de generaciones corridas Total de pasos de iteración Tiempo de calculo (horas) Procesador Memoria en Ram

Este trabajo

4 5.5 13 9 24 10 35 10

Nodo 2 4 6 7 9 11 13 14 16

x 4.229 12.378 20.518 27.556 35.656 43.768 52.059 59 66.608

45404 2000

y 5.444 7.738 9.768 10 10 10 9.48 8.937 5.743 46222 2000

83 197 166000 394000 ND 7.4236 ND 1498 Mhz ND 512 MB ND=No hay dato Tabla 3 Comparación de coordenadas y tiempos de cómputo

(5) (2) (1)

(6) (4)

(6) (7) (7)

(8) (9)

(11)

(13)

(14) (16)

(8) (4) (5) (3) (3) (2) (10)(9) This work Y. Yang, C. Kiong Soh, 2002

(12)

(15)

Figura 18 Comparación de geometrías.

La figura 18 muestra una comparativa entre la geometría obtenida en el artículo de Yang y la solución obtenida en este trabajo. En otras corridas se obtuvieron como mejores pesos 53.06, 49.96, 51.32 y 48.71 en cada una de ellas.

80

(17)

100 200430

53.06

61.10

53.06

149 298066

49.96

53.61

49.96

197 394102

48.71

50.69

48.71

149 328693

51.32

55.16

51.32

Figura 19 Mejores soluciones de otras corridas

81

Figura 20 Evolución según la metodología de Yang (2002)

III.5. Interpretación de resultados Los resultados muestran que la herramienta es confiable y puede llegar a un diseño aceptable. El tiempo computacional es de 7 horas pero se asegura llegar a una solución adecuado a un problema en donde únicamente se discretizan las secciones transversales de las barras. La figura 9 muestra un como el algoritmo comienza con soluciones penalizadas que va evolucionando hasta llegar a soluciones factibles que cumplen con todos las restricciones. En ella también se como el algoritmo es capaz de salir

82

de óptimos locales, generación 17-25, y continuar mejorando la solución. Cuando la línea del peso del mejor individuo y la línea de su calificación se juntan quiere decir que los individuos ya no están penalizados y son una solución factible. Cuando la distancia entre la línea azul y la verde es corta significa que todos los individuos son muy similares entre si. Las corridas adicionales demostraron la capacidad del algoritmo para encontrar buenas soluciones aun con inicios diferentes. Siendo la mayor de estas respuestas un 17% a lo reportado por el artículo de Yang. Las soluciones encontradas en las corridas adicionales afirma la simplificación que se hizo en el artículo de Yang, ya que se ve la clara tendencia a las simetría de la solución y la forma topológica de la armadura es muy similar en todos los casos. Como conclusión de esta validación la metodología empleada es adecuada para ser empleada en problemas estructurales, aplicados a armaduras, con el dominio espacial continuo, y que demuestra que puede encontrar soluciones factibles en todas las corridas que se hagan. Por tanto puede aplicarse al problema de diseño de una armadura para un invernadero.

83

IV. CASO DE ESTUDIO (Invernadero Amazcala) IV.1. Descripción del problema La cubierta (figura 21) es uno de los elementos principales en la estructura del invernadero, ya que representa la superficie principal por donde se propaga la radiación solar, determina en gran medida el clima al interior del invernadero, protege de la lluvia y el viento al cultivo y contiene las ventanas cenitales. En la cubierta se identifica un elemento que determina todas las características que deseamos obtener de ella, la armadura principal (figura 21), ella le da sustento al material de la cubierta que puede ser una película plástica o algún material rígido, y por su forma define el tipo de invernadero (Capilla en la fig. 21). En este trabajo se desea optimizar la forma de la armadura para la cubierta de un invernadero, en este caso optamos por estudiar el tipo Capilla (a dos aguas) que es el que está ubicado en el campus Amazcala de la Universidad Autónoma de Querétaro (UAQ), y que con algunas modificaciones se ha tomado como modelo para la construcción de invernaderos hechos por la UAQ. Ventana cenital Cubierta

1.23 0.47

0.96

1.70 5.67

4.50

4.50

Armadura principal

3.50 0.50 4.50

4.00

4.50 9.00

Figura 21 Estructura principal, dimensiones y armadura principal en cubierta.

La figura 22 nos muestra cómo la estructura existente en Amazcala se puede modificar, con esta modificación se considera una conexión menos, lo que genera una estructura más ligera, pero tan sólida como la empleada actualmente.

84

Con este ligero cambio se reduce en 1.70 m la utilización de perfil galvanizado, que en un invernadero de 1000 metros cuadrados, nos conduce a un ahorro de 47.6 metros, que traducido en pesos, serían unos $1826 y eso sin considerar lo que por concepto de mano de obra, transportación y

almacenaje se puede

ahorrar. Pero el número de cambios para esta armadura tan sencilla puede ser muy grande, por ejemplo simplemente con cambiar de posición el elemento vertical en la figura 2-b repercute en la forma en que trabajan internamente todos los elementos, lo que nos lleva a pensar que el problema de optimización no tiene una solución óptima única. 1.23 0.47

0.96

0.96 2.17

1.70 4.50

4.50

5.70

a) Armadura actual

3.30

b) Armadura con cambio

Figura 22 Armadura actual contra modificada. Más específicamente hablando debemos limitar el claro y alto de la armadura a un rango establecido, 9.0 metros para el claro y de 2.15 metros para el alto, estas dimensiones nos son impuestas por la colocación de las columnas para el ancho y para la altura por la facilidad de construcción y drenaje pluvial, así como la forma de la armadura (curva o recta). Tenemos que considerar los desplazamientos permisibles, la cantidad de luz radiada, el volumen de aire almacenado de cada solución propuesta, lo que nos genera funciones de aptitud que debe de cumplir la armadura. Y dichos parámetros de aptitud pueden agruparse en vectores solución lo que facilita el cómputo y las operaciones.

85

IV.2. Datos de entrada Como parámetros de diseño tenemos:

•

Secciones transversales a emplear: 9 secciones comerciales. No Secc

Área Radio min Masa m2 m Kgf 1 0.000242 0.009347 1.89994926 2 0.000271 0.01206 2.127621 3 0.000274 0.014803 2.151174 4 0.000317 0.015759 2.48877651 5 0.000515 0.015821 4.04328045 6 0.000581 0.019537 4.561431 7 0.00069 0.020039 5.4172107 8 0.000735 0.02053 5.770485 9 0.001452 0.023464 11.3996956 Tabla 4 Secciones comerciales

•

características del dominio espacial: 9 metros de claro por 2.15 de alto.

•

Condiciones de frontera: Velocidad de diseño de 30.56 m/seg para el viento, carga de cultivo de 135 kg por punto de apoyo de tutores para soportar las cargas de cultivo, en este caso se suponen cuatro puntos equidistantes distribuidos en el claro de la armadura, los puntos de apoyo están restringidos en sus movimientos en X y Y únicamente, figura 23.

V=30.56 m/seg

2.15

Dominio de diseño

P

P 9.00 P P= 135 kg

P

Figura 23 Dominio Invernadero

•

Restricciones estructurales: relación de esbeltez a compresión menor que 200, relación de esbeltez a tensión menor que 300, desplazamiento máximo menor que claro /400 [EN 13031-1, 2001].

•

La longitud máxima de la barra será de: 4.6 m.

86

•

La longitud mínima de la barra será de: 1.075 m. Con esta condición se impone para poder colocar una ventana cenital.

Parámetros para la corrida:

•

Número de generaciones: 201

•

Número de individuos por generación: 2000

•

Porcentaje de mutación: 10 %

•

Porcentaje de cruzamiento: 80 %

•

Porcentaje de reproducción: 10%

87

V. RESULTADOS Y DISCUSION En la figura 24 vemos la evolución de las soluciones obtenidas en el programa hecho en MatLab. Bajo cada solución se encuentran 5 números que representan el número de generación, el número de individuos, el peso real del individuo en toneladas, el peso promedio de todas las soluciones de la generación y el peso penalizado, esto de izquierda a derecha.

0

1833 129.36 446.33

136.46

1

2893 148.15 357.76

148.15

2

5403 163.94 301.86

163.94

3

6003 141.37 264.07

153.71

8

16022 104.31 190.07

120.40

16

33334

99.53 173.41

128.69

26

52126 108.10 172.04

134.53

35

70100 125.91 162.74

125.91

38

76161

109.13

45

90134

105.14

96.75 157.59

89.73 144.46

Figura 24 Evolución etapa inicial.

Ya en la etapa final en la figura 25 se puede apreciar como se fija la topología y únicamente se trabaja sobre la geometría y las dimensiones de las secciones transversales hasta llegar a la configuración de la última solución en la generación número 183.

88

68 136153

88.16 104.56

93 187263

76.80

110 220190

85.01

74.21

88.16

82 164088

76.80

79.75

74.21

73.84

91.27

77.08

150 300352

71.60

74.37

71.60

183 366021

70.90

72.72

70.90

Figura 25 Etapa final de la evolución

Las características del mejor individuo son las siguientes: Geometría: (6)

(4)

(8)

(2) (10) (1)

(11) (3)

(5)

(7)

(9)

Figura 26 Forma y nodos en la armadura (Individuo 183).

El tiempo de computo empleado en esta corrida fue de 25951.235 segundos (7.2 horas).

89

Dimensiones: Nodo i 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 Arco i-j

Nodo Coord Coord Coord Coord Long. Área M m2 j ix iy jx jy Sección ("x"xmm) 3 0.000 0.000 1.800 0.000 1.800 PTR1X1X2.66 0.00024 2 0.000 0.000 1.181 1.385 1.821 L2X2X3.175 0.00032 3 1.181 1.385 1.800 0.000 1.517 PTR1.5X1.5X1.89 0.00027 4 1.181 1.385 2.950 2.150 1.927 PTR1X1X2.66 0.00024 5 1.800 0.000 3.600 0.000 1.800 PTR1X1X2.66 0.00024 4 1.800 0.000 2.950 2.150 2.438 PTR1X1X2.66 0.00024 5 2.950 2.150 3.600 0.000 2.246 PTR1X1X2.66 0.00024 6 2.950 2.150 4.629 2.150 1.678 PTR1X1X2.66 0.00024 7 3.600 0.000 5.400 0.000 1.800 PTR1X1X2.66 0.00024 6 3.600 0.000 4.629 2.150 2.383 PTR1X1X2.66 0.00024 7 4.629 2.150 5.400 0.000 2.284 PTR1X1X2.66 0.00024 8 4.629 2.150 6.506 1.965 1.887 PTR1X1X2.66 0.00024 9 5.400 0.000 7.200 0.000 1.800 PTR1X1X2.66 0.00024 8 5.400 0.000 6.506 1.965 2.256 PTR1.5X1.5X1.89 0.00027 9 6.506 1.965 7.200 0.000 2.084 PTR1.25X1.25X2.3 0.00027 10 6.506 1.965 8.121 0.903 1.933 PTR1X1X2.66 0.00024 11 7.200 0.000 9.000 0.000 1.800 PTR1X1X2.66 0.00024 10 7.200 0.000 8.121 0.903 1.289 PTR1X1X2.66 0.00024 11 8.121 0.903 9.000 0.000 1.260 PTR1X1X2.66 0.00024 Tabla 5 Dimensiones de la mejor solución para la armadura del invernadero. coord ix

coord iy

coord jx

Coord jy

Longdef

Delta

m

m

m

m

M

m

Esbeltez

Esfuerzo

Resistencia

kg/m2

kg/m2

1-3

0.000

0.000

1.800

0.004

1.8003

0.0003

192.58

950.98

3683.80

1-2

0.000

0.000

1.180

1.388

1.8218

0.0013

115.53

4475.10

4825.50

2-3

1.180

1.388

1.800

0.004

1.5168

-0.0003

102.49

-1246.30

2442.00

2-4

1.180

1.388

2.949

2.155

1.9284

0.0012

206.18

3126.50

3683.80

3-5

1.800

0.004

3.600

0.006

1.7999

-0.0001

192.58

-249.87

685.29

3-4

1.800

0.004

2.949

2.155

2.4391

0.0007

260.87

1449.40

3683.80

4-5

2.949

2.155

3.600

0.006

2.2460

0.0000

240.29

63.15

3683.80

4-6

2.949

2.155

4.629

2.156

1.6794

0.0011

179.55

3291.00

3683.80

5-7

3.600

0.006

5.400

0.005

1.7999

-0.0001

192.58

-270.41

685.29

5-6

3.600

0.006

4.629

2.156

2.3834

0.0000

254.99

83.47

3683.80

6-7

4.629

2.156

5.400

0.005

2.2844

0.0002

244.38

495.78

3683.80

6-8

4.629

2.156

6.508

1.970

1.8881

0.0012

201.87

3120.10

3683.80

7-9

5.400

0.005

7.200

0.004

1.8000

0.0000

192.58

84.53

3683.80

7-8

5.400

0.005

6.508

1.970

2.2553

-0.0002

152.37

-379.59

1239.50

8-9

6.508

1.970

7.200

0.004

2.0841

-0.0001

172.82

-344.84

952.88 3683.80

8-10

6.508

1.970

8.122

0.906

1.9339

0.0013

206.76

3383.80

9-11

7.200

0.004

9.000

0.000

1.7998

-0.0002

192.58

-486.85

685.29

9-10

7.200

0.004

8.122

0.906

1.2893

0.0002

137.92

664.84

3683.80

10-11

8.122

0.906

9.000

0.000

1.2612

0.0009

134.83

3520.40

3683.80

Tabla 6 Deformaciones, Esfuerzos internos y resistencias.

90

El peso en kilogramos de la mejor solución fue de 70.9 kilos. En la tabla 5 vemos las dimensiones de la armadura y en la tabla 6 vemos los esfuerzos a los que esta sometida dicha armadura. En figura 27 vemos la evolución de las soluciones en esta corrida.

Figura 27 Evolución de las soluciones.

En otras corridas se encontraron soluciones con pesos que se alejaban hasta 30 kilos de la solución aquí mostrada, sin embargo la evolución topológica y de forma si presentaba similitudes a las mostradas anteriormente. Este caso se daba cuando el algoritmo empleaba muchas secciones comerciales sin un orden creciente tanto en el peso de la sección como en radio de giro (ver tabla 4).

91

V.1 Comparación de propuestas. En este apartado se va a comparar la propuesta empleada en los invernaderos de Amazcala contra la encontrada en este trabajo, desde un punto de vista estructural. Primero vamos a comparar el peso de ambas propuestas. En seguida se hace un análisis estructural de ambos para comparar los desplazamientos. Por ultimo se llevan a la falla analíticamente. En las siguientes tablas se muestra el cálculo de los pesos de las armaduras que se están comparando.

Long. M 9.000 6.099 3.400 2.170 1.280

Amazcala Sección ("x"xmm) PTR 2x3x1.89 PTR 2x2x1.89 PTR 2x2x1.89 PTR 2x2x1.89 PTR 2x2x1.89

Este trabajo Peso kg-m 3.69 2.95 2.95 2.95 2.95 Total=

Cantidades 33.21 17.99 10.03 6.40 3.78 71.41

Long. M 1.8 1.821 1.517 1.927 1.8 2.438 2.246 1.678 1.8 2.383 2.284 1.887 1.8 2.256 2.084 1.933 1.8 1.289 1.26

Sección ("x"xmm) PTR1X1X2.66 L2X2X3.175 PTR1.5X1.5X1.89 PTR1X1X2.66 PTR1X1X2.66 PTR1X1X2.66 PTR1X1X2.66 PTR1X1X2.66 PTR1X1X2.66 PTR1X1X2.66 PTR1X1X2.66 PTR1X1X2.66 PTR1X1X2.66 PTR1.5X1.5X1.89 PTR1.25X1.25X2.3 PTR1X1X2.66 PTR1X1X2.66 PTR1X1X2.66 PTR1X1X2.66

Peso kg-m 1.884 2.512 2.1195 1.884 1.884 1.884 1.884 1.884 1.884 1.884 1.884 1.884 1.884 2.1195 2.1195 1.884 1.884 1.884 1.884 Total=

Cantidades 3.39 4.57 3.22 3.63 3.39 4.59 4.23 3.16 3.39 4.49 4.30 3.56 3.39 4.78 4.42 3.64 3.39 2.43 2.37 70.35

Tabla 7 Pesos de armaduras

Para hacer el análisis estructural se empleo el programa SAP2000 en ambos casos. Las condiciones de frontera se ven en la Figura 28. Se les aplico un análisis estático lineal. En el caso Amazcala se calculó como un marco.

92

(a)

(b)

Figura 28 Condiciones de frontera. (a) En esta propuesta (b) Invernadero Amazcala

Los desplazamientos máximos obtenidos fueron:

•

En esta propuesta, ymax= 0.0056 m

•

Caso Amazcala,

ymax= 0.0092 m

Se realizo un análisis elastoplastico en los dos casos. En el diseño empleado en Amazcala se encontró que falla la barra que esta en la ventana cenital, y provoca desplazamientos no tolerables en la estructura. En el caso de la solución de esta propuesta fallo la barra horizontal pegada al apoyo, lo que provoca el colapso de la armadura.

93

Los factores que se aplicaran a las cargas para que las estructuras fallaran fueron los siguientes:

•

Para el caso Amazcal: 2.5

•

En esta propuesta: 9.5

94

V.2 Conclusiones. En la validación de la herramienta generada se encontró una solución aceptable pero que no mejora la encontrada en la literatura. Pero tampoco quedo demostrado que la solución de la literatura sea un optimo global. Ya que ellos no emplearon un dominio continúo en las coordenadas. Por lo que el óptimo global puede no estar considerado en la descretización empleada. No se emplearon los mismos parámetros en las corrida tampoco hay forma de comparar la eficiencia de la metodología aquí expuesta. El tiempo pudo ser un parámetro de comparación pero no se encontró citado en la literatura. En el problema de la armadura para el invernadero se encontró una solución mejor a la empleada en Amazcala. En la Figura 24 vemos una forma aerodinámica que resulta de emplear la misma cantidad empleada en la Figura 19. La comparación de los análisis estructurales demuestra un buen desempeño en ambos casos. Pero el factor de seguridad que se logra en este trabajo es casi 4 veces más grande. Una ventaja significa es la cantidad de nodos empleados en la solución de la Figura 19, cinco contra once de la solución encontrada. Pero el manejo de secciones esbeltas es más sencillo y económico. La solución de la Figura 24 es más ligera que la de la Figura 19. Ponderando estos puntos no se puede asegurar que la solución del invernadero haya sido optimizada. Se llego a una solución buena pero que dista de ser un óptimo global para las condiciones planteadas. Por lo tanto no fue posible encontrar una solución óptima para los problemas planteados. Sin embargo, las soluciones encontradas fueron tan buenas como las que realizó un diseñador humano. Si consideramos que el diseñador requirió al menos de cuatro o cinco jornadas de trabajo para llegar a estos diseños. Además de contar con algo de experiencia profesional en su haber. Con la ayuda de la herramienta generada en este trabajo únicamente le habría tomado dos jornadas, una para el diseño y otra para el detallado del mismo. La herramienta creada aquí disminuye el tiempo y costo del proceso de diseño.

95

Al comparar las condiciones de frontera, de los problemas aquí resueltos, se puede ver que se incrementa el grado de complejidad en el problema del invernadero. Se agrega la fuerza del viento, la que no se aplica directamente sobre nodos fijos. Esto agrega una variabilidad en la forma del perfil externo. El algoritmo se comporta adecuadamente y encuentra una forma aerodinámica. Forma que cumple además con la condición de no acumular agua, restricción geométrica. La metodología aquí planteada puede aplicarse a problemas multiobjetivo satisfactoriamente. Además cuenta con la posibilidad de solucionar problemas de diversa naturaleza, donde se hacen restricciones geométricas y estructurales. La metodología aquí expuesta tiene la robustez necesaria para solucionar problemas multiobjetivos y posiblemente multidisciplinarios. La formulación aquí planteada es muy sensible a los factores aplicados a las restricciones, a los porcentajes de individuos eliminados y a la relación entre el número de generaciones en una corrida y la cantidad de individuos en la misma. Los variación de los porcentajes de no fue estudiada. Los factores de las penalizaciones deben estar en función de la distancia a la región factible de la solución. El porcentaje de individuos debe ser el más grande posible sin que se afecte la capacidad de exploración del algoritmo. Siempre es preferible manejar la mayor cantidad de individuos (que el equipo de computo soporte) a número de generaciones. Otro punto que se observó fue que la velocidad de convergencia y la calidad de la solución se veían afectadas si se modifican algunos parámetros iniciales. Estos fueron el número de nodos y la forma de presentar las secciones transversales.

El

número

de

nodos

afectaba

directamente

el

tiempo

computacional. Los individuos con menos nodos se analizan más rápido. Pero se pierde capacidad de exploración, las soluciones encontradas fueron más pesadas. Cuando las secciones no se presentaron de forma ordena en el peso y radio de giro el algoritmo se perdió, no llegó a una buena solución. Las soluciones tendían a incrementar el peso. Se perdió la capacidad de explotación. La calidad de la

96

solución radica en los parámetros iniciales. Hay que modificar la herramienta computacional para hacer una comparación más adecuada con el problema encontrado en la literatura. En esta modificación se deben considerar exactamente los parámetros encontrados en la literatura. También es necesario definir de una manera menos empírica los factores impuestos en las penalizaciones de las restricciones. Se vio que una buena penalización es la que esta en función de la distancia de la solución a una solución factible, mas esta distancia no es fácil de definir y requiere que la experiencia del diseñador sea bastante extensa. Los porcentajes empleados en las operaciones genéticas fueron tomados de la literatura por lo que es necesario modificarlos y comprobar alguna combinación optima de ellos para ser empleado en esta metodología. Es necesario estudiar de una forma más precisa la calidad y cantidad de parámetros iniciales que se deben introducir en la herramienta. La posible combinación de este método con métodos deterministicos es otra posibilidad que se puede explotar en el futuro para ver si se acelera su velocidad de convergencia. El tiempo de cómputo de esta metodología no se puede comparar a otras metodologías debido a que no se encuentra reportado en la literatura. En este caso puede mencionarse que si consideramos que para hacer un diseño, como los mostrados en este trabajo, se necesita de un diseñador con experiencia que trabaje en conjunto con al menos un dibujante y que entre los dos acumulen unas cinco jornadas de trabajo, de ocho horas cada jornada. Nos lleva a pensar que las siete horas y media que tarda en encontrar una buena solución nos son excesivas.

97

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100

VII. APENDICE

101

“Optimización estructural utilizando cruzamiento por cigotos” “Structural optimization by zygote crossover” Nayar Cuitláhuac Gutiérrez Astudillo2, Rebeca del Rocio Peniche Vera1, Enrique Rico García1 y Gilberto Herrera Ruiz1 Profesores de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma de Querétaro, 2Estudiante de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Autónoma de Querétaro.

2

RESUMEN. Se presenta una nueva propuesta para el cruzamiento en algoritmos genéticos con representaciones reales. Demostramos aquí que trabajando con variables continuas y dominios no simplificados se puede llegar a soluciones óptimas de problemas con condiciones variables de frontera. Para validar la metodología, se encuentra una solución muy cercana a una citada en la literatura, [Yang 2002]. Se aplica para encontrar la armadura de un invernadero en la que se optimiza su topología, dimensiones y geometría en una sola corrida. Se aplican cargas puntuales y de viento, se encuentra una solución aerodinámica debido a que no se fijan nodos para soportar la presión del viento.

Palabras clave: algoritmo genético, representación real, optimización estructural, dominio continuo, tiempo.

1. INTRODUCCIÓN Los Algoritmos Genéticos (AG) son una herramienta computacional que ha demostrado ser adecuada para resolver problemas altamente combinatorios. Los AG son “algoritmos de búsqueda basados en los mecanismos de la selección natural y la genética” [Goldberg, 1989]. Con una formulación simple y sin necesidad de experiencia por parte del diseñador pueden encontrar soluciones muy cercanas a la óptima. Los AG además, requieren pocos parámetros iniciales y como se demuestra en este trabajo se pueden combinar variables continuas con discretas. Las operaciones principales de un AG son el cruzamiento, la mutación y la reproducción. Los problemas de diseño estructural son problemas complejos que son susceptibles de ser resueltos por medio de AG. En este trabajo se presenta una forma de mejorar la capacidad de exploración y explotación de un AG aplicado al diseño estructural, capacidades que radican principalmente en la operación de cruzamiento del AG [Erbatur 2000]. Se busca resolver un problema encontrado en la literatura para establecer la eficiencia de la metodología propuesta. En el problema se trata de encontrar el diseño óptimo para la armadura de un puente, el problema se encuentra en [Yang 2002]. Yang propone un dominio espacial discretizado y simétrico. Aquí se toma un dominio espacial continuo y no simétrico. Además se propone un nuevo problema, el diseño de una armadura para la cubierta de un invernadero. Además de las cargas uniformente repartidas se considera la presión por viento. Esta situación justifica el tomar en cuenta el dominio completo por que se espera una solución no simétrica. La metodología aquí presentada muestra que se puede llegar a buenas soluciones, en un tiempo razonable, sin tener que hacer simplificaciones que reduzcan el espacio de búsqueda del AG. Estas simplificaciones también pueden hacer que la solución óptima no se encuentre en el universo de soluciones considerado (Kicinger et al. 2005).

2. ANTECEDENTES En este apartado se presenta el trabajo realizado en el área de las operaciones genéticas, específicamente en la operación de cruzamiento aplicado al diseño estructural. Goldberg 1989, propone un esquema de cruzamiento de un punto como una forma general para llegar a una solución factible. Haleja 1996 utiliza el esquema de Goldberg aplicado a problemas de diseño estructural. Srikanth 1995, emplea representaciones de longitud variable y cruzamiento en un solo punto para problemas de identificación de patrones. Jenkins 1997, en su propuesta de cruzamiento recombina variable a

variable pero con múltiples padres para crear los hijos. Peng 1999 utiliza cruzamiento de un punto para encontrar soluciones en puentes de arco. En su trabajo Sakawa 2000, menciona el cruzamiento de un punto, cruzamiento aritmético completo y cruzamiento heurístico; con estos resuelve ejemplos numéricos. Coello 2000, aplica exitosamente el cruzamiento con dos puntos para resolver problemas de optimización de armaduras con múltiples objetivos. La comparación que hace Erbatur 2000 sobre métodos de cruzamiento en su investigación demuestra la importancia de la operación de cruzamiento en un los AG y además compara distintas técnicas de cruzamiento como el cruzamiento de un punto, cruzamiento de dos puntos, múltiples puntos, variable a variable y cruzamiento uniforme; en su trabajo también propone dos técnicas más: la implementación del cruzamiento mezclado y la técnica de cruzamiento de cambio directo de variable. Hamza 2003 compara el empleo de los algoritmos genéticos contra la Búsqueda Taboo en la optimización de armaduras N de techos y además emplea las siguientes técnicas de cruzamiento en representación binaria: • • • •

Cruzamiento de cadena binaria Cruzamiento Interno (adaptado de AG con codificaciones reales) Cruzamiento Externo (adaptado de AG con codificaciones reales) Cruzamiento Uniforme

Hasta estas referencias únicamente se han empleado representaciones binarias. Rajeev 1997 menciona el empleo de representaciones de longitud variable en un AG. El AG que menciona, fue propuesto por Goldberg y le llamo “messy genetic algorithm” (mGA). Ali 2003, emplea probabilidades de cruzamiento variables para optimizar estructuras y el análisis estructural lo hace por elemento finito. Deb 2001 emplea representaciones reales, es decir que no emplea cadenas binarias para representar soluciones. El trabajo de Deb 2001 también propone una nueva forma de cruzamiento llamada Simulación de Cruzamiento Binario y la aplica al diseño de armaduras. Lyu 2003 emplea el cruzamiento grafico en la optimización de componentes estructurales. Wang 2004 también emplea el cruzamiento grafico para optimización de la topología de una estructura. Hayalioglu 2005 emplea el cruzamiento uniforme en el diseño de marcos con conexiones semi rígidas. Aguilar 2005 emplea una representación de lazo para efectuar el cruzamiento en problemas de optimización de topología. Perry 2006 emplea el cruzamiento de un punto y el cruzamiento de punto variable en problemas de identificación estructural; así como la coevolución. Las técnicas de cruzamiento se han empleado principalmente para representaciones binarias. Estas técnicas simplemente cortan la información del individuo en piezas que se unen con un orden o probabilidad preestablecidos. No se hace un análisis directo de la información de los individuos, ni la afinidad genética entre las parejas se revisa. Estas situaciones provocan que la nueva generación tenga un porcentaje constante de malas soluciones. Esto reduce la capacidad de exploración del AG proporcionalmente al porcentaje de malas soluciones. En este trabajo una nueva técnica de cruzamiento se propone. Esta técnica mantiene la capacidad de exploración del AG sin disminuir su capacidad de explotación. Esta técnica se llama cruzamiento por cigoto.

3. DEFINICIÓN DE TIPOS DE CRUZAMIENTO En un Algoritmo Evolutivo, como lo es un AG, los operados de variación o genéticos son los mecanismos que transmiten la información de los padres a los hijos, Kicinger 2005. Entre los operadores de variación tenemos la mutación y el cruzamiento. Siendo este ultimo el más importante debido a que representa un alto porcentaje de la población generada, generalmente más del 70%. 3.1. Cruzamiento El cruzamiento es la operación característica por excelencia de un AG, ella le da la posibilidad de encontrar soluciones en problemas complejos y muy diversos. Esta es la operación genética más importante, debido a

que de ella dependen las posibilidades de explotación y exploración del AG. El cruzamiento representa alrededor del 90% de la población creada (Erbatur, 2000), y generalmente se realiza entre los mejores individuos para generar dos descendientes de dos padres. A continuación se describen brevemente algunos cruzamientos aplicados comúnmente en optimización estructural, del 3.1.1. al 3.1.7. con representaciones binarias y el 3.1.8 con representaciones reales: 3.1.1. Cruzamiento de un punto En este tipo de cruzamiento dos individuos son divididos en un mismo lugar, seleccionado al azar, y se intercambian los segmentos resultantes para formar dos descendientes. 3.1.2. Cruzamiento de dos puntos En este cruzamiento los individuos se cortan en dos puntos escogidos al azar. El intercambio de la información se efectúa cuando las partes externas se intercambian o bien las partes internas de los padres. 3.1.3. Cruzamiento de múltiples puntos (más de dos puntos) Primero se seleccionan al azar múltiples puntos de cruzamiento (nc>3) en las cadenas de los individuos y los individuos se cortan en estos puntos para formar (nc+1) partes. El proceso se completa intercambiando alguno de los dos grupos de porciones como un todo. El primer grupo contiene el grupo de {1°, 3°,…, (2k-1)esimo, donde k=1,2,…,int(nc/2+1) } porciones, y el segundo grupo involucra a esas porciones que no están incluidas en el primer grupo, esto es, {2°, 4°,…, (2k)esimo, donde k=1,2,…,int[(nc+1)/2] }. 3.1.4. Cruzamiento Variable a Variable En esta técnica los individuos emparejados se dividen en sus subcadenas. Y después un único punto se coloca en cada subcadena para indicar el punto de cruzamiento. De esta forma cada variable en el individuo se intercambia para formar el descendiente. Deb propone una modificación a este tipo de cruzamiento para que se pueda emplear en representaciones reales. Esta modificación se llama Cruzamiento simulado binario. 3.1.5. Cruzamiento uniforme La implementación del cruzamiento uniforme es completamente distinta con respecto a las técnicas que toman puntos de cruce en los individuos. El cruzamiento uniforme requiere de una máscara de cruzamiento creada al azar. Los genes de los hijos son copiados de los padres de acuerdo con esta máscara. En posiciones donde hay un 1 en la máscara, los genes se obtienen del padre 1, y en la posición donde hay un 0en la máscara, los genes se obtienen del padre 2. El segundo hijo se obtiene por complemento de la primera máscara o se crea una nueva y se repite el mismo procedimiento. 3.1.6. Cruzamiento Mezclado En este tipo de cruzamiento se emplean en la misma corrida cruzamientos de un punto, de dos puntos y de tres puntos. Con el cruzamiento de tres puntos se busca tener capacidad de exploración. El cruzamiento de un punto le da capacidad de explotación al AG. Y con el cruzamiento de dos puntos se activa por completa la explotación del espacio de búsqueda. 3.1.7. Técnica de cruzamiento de cambio directo de variable En esta técnica, cada variable de diseño (subcadena) es directa y separadamente intercambiada entre la pareja de individuos de acuerdo a una función de probabilidad. 3.1.8. Cruzamiento en representaciones reales La operación de cruzamiento en las representaciones reales se realiza de forma similar que en el cruzamiento variable a variable de la forma binaria. La diferencia radica en que se aplican interpolaciones entre los valores de las variables. Estas se conocen como:

•

Cruzamiento Interno: Los valores de las subcadenas de los hijos se calculan de la siguiente manera ph1=βpmn+(1-β)ppn ph2=pmn(1-β)+ βppn

•

Cruzamiento Externo: Los valores de las subcadenas de los hijos se calculan de la siguiente manera ph=pmn+( ppn - pmn) β

Donde ph=variable del hijo, n=número de variable, pmn=variable de la madre, ppn=variable del padre, phn=variable del hijo n, β= número aleatorio entre 0 y 1. Otra de las diferencias es la probabilidad con que se cruzan las variables de los padres. No todas las variables se cruzan para tratar de mantener una similitud apreciable entre los padres y los hijos. 3.2. Propuesta de cruzamiento por cigotos El cigoto es la unión de la información de atributos iguales de los dos padres, como las coordenadas, en un solo vector. La metodología planteada en este trabajo para el algoritmo de cruzamiento, consta de seis pasos que se explican a continuación: a)

Se seleccionan los padres, de los cuales el más ligero se considera el femenino y el más pesado el masculino. El femenino tiene la opción de rechazar al masculino cuando éste tenga una relación de peso mayor a k veces el femenino, para que la diferencia de las características físicas en la pareja no sean muy grandes, o de aceptarlo en caso de que esa relación no se pueda mejorar en un determinado número de iteraciones. Donde k es un valor entero escogido empíricamente. b) Se divide la información de las variables de los padres y después se unen en tres cigotos: un cigoto para arcos y secciones transversales, otro para las coordenadas y un último para el número de barras que salen por nodo. c) Se ordenan los cigotos según el valor de las variables y su posición en la matriz del individuo. Las coordenadas de los hijos se extraen a partir de un tamaño de paso de selección dentro del cigoto de coordenadas y se varía el inicio del paso cuando se extrae la información del siguiente hijo, para que los hijos no sean gemelos en las generaciones tempranas. En la figura 1 se ve una comparativa entre el procedimiento de dos punto de cruce en un algoritmo genético y el cruzamiento propuesto en este trabajo.

Individual 1

Double point crossover

Individual 2

Child 1 Child 2

Individual 1

Cigot

Individual 2

Order cigot Child 1 Child 2

Figura 1. Proceso de cruzamiento mediante cigoto de información

d) En este paso se tiene la opción para que los hijos muten las coordenadas de los padres, para que puedan tener una coordenada menos o más que los padres. Esta mutación tiene un porcentaje bajo de probabilidad de presentarse. e) Se determinan que nodos se van a conectar de los hijos a partir de las instrucciones de conexión de nodos (arcos) de los padres, se van descartando los arcos que no cumplen con los criterios de longitud ellos. Se hace una revisión de arcos que se tienen contra los nodos de los hijos y se agregan arcos donde falten y se quitan donde sobren. Se agregan arcos de los puntos obligados. Se depuran arcos que están repetidos o encimados. Las secciones transversales pasan junto con el arco o barra a la cual estaban relacionadas con los padres. f) Como paso final se une la información obtenida de los cigotos para generar dos individuos completos para la siguiente generación.

4. ESQUEMA DEL PROCEDIMIENTO DE SOLUCIÓN En este trabajo se busca encontrar la automatización de la solución óptima para un problema general de diseño estructural. El procedimiento para solucionar este problema empleando AG se describe en otro lugar por Yang 2002, por lo que se evitara repetir aquí. Este procedimiento general es aplicado aquí. Las variables discretas fueron las secciones transversales. El número de nodos, las barras y las coordenadas de los nodos se consideran continuas. A continuación se describe el procedimiento empleado en este trabajo para resolver el problema con un AG que emplea representaciones de longitud variable y valores reales. 4.1. Procedimiento particular Como paso inicial en el procedimiento de solución tenemos la generación de soluciones aleatorias. En este trabajo se trata de que al menos un 99.8% de las soluciones sean practicables. La representación real es empleada aquí por que cumple con los requisitos enumerados por Kicinger 2005, no redundancia, legalidad, entereza, propiedad Lamarquista y continuidad. Una representación real los cumple de forma directa. La representación real empleada en este trabajo se muestra en la Tabla 1 y la figura de esa representación se muestra en la figura 2.

Tabla 1 Representación codificada de una solución. Nodo i

Nodo j

1 1 2 2

3 2 3 4 …

…

xi

yi

xj

yj

0.000 0.000 1.181 1.181 …

0.000 0.000 1.385 1.385 ….

1.800 1.181 1.800 2.950 …

0.000 1.385 0.000 2.150 …

Long. m

No. Sección

1.800 1.821 1.517 1.927

1 3 2 1 …

….

Área m2 0.00024 0.00032 0.00027 0.00024 …

(2) (1.181,1.385)

(4)

ns1 ns2

ns3 (1)

(2.95,2.15) ns1

ns1

(0,0)

(3) (0,1.8)

Figura 2 Representación grafica, ns = No. Sección.

Una fila de la tabla 1 representa una barra en la armadura. Las primeras 2 columnas son el nodo inicial y nodo final de la barra respectivamente. De la columna 3 a la 6 están las coordenadas x, y de los nodos. En la columna 7 esta la longitud de la barra y en las dos últimas columnas vemos el número que identifica a la sección y su área. Los datos de esta tabla se vacían en matrices que después se analizan por el Método de Elemento Finito (MEF) y de donde se obtienen los datos del análisis estructural de la solución. Estos últimos datos se almacenan en una matriz de evaluación a la que se le agregan los datos de la relación de esbeltez y la resistencia de la sección en cada barra, Tabla 2.

Tabla 2 Datos para evaluación. Arco i-j 1-3 …

xi

yi

xj

yj

m 0.000 …

m 0.000 …

m 1.800 …

m 0.004 …

Longdef m 1.8003 …

Delta m 0.0003 …

Esbeltez

Esfuerzo

Resistencia

192.58 …

kg/m2 950.98 …

kg/m2 3683.80 …

Para el caso de la evaluación de las restricciones se revisan los parámetros impuestos por las solicitaciones de diseño que en este caso son el desplazamiento, la relación de esbeltez, la resistencia de la barra y las conectividades interiores. Cada una de estas restricciones tiene un peso que se le agrega a la masa total del individuo en función de:

Si maxduyi > (claro/1000) masai = masai +100*( maxduyi*n)/(claro/1000)+100*ig/ngen) Si esbeltezi >0 masai = masai +esbeltezi Si resisti >0 masai = masai + resisti Si conecti >0 masai = masai + 340* conecti

(1) (2) (3) (4)

Donde masai =masa del individuo i, maxduyi=máximo desplazamiento del individuo i, ig = número de generación actual, ngen = total de generaciones en la corrida, n= número de individuos, esbeltezi = número de

barras que sobrepasan la relación de esbeltez, resisti = número de barras que no tienen resistencia suficiente, conecti = número de penalizaciones por conectividad de las barras. Se clasifica a los individuos después de aplicar las penalizaciones. El 20% de los peores individuos se desecha. Del 80% restante se seleccionan los padres de forma aleatoria. La operación de mutación es la primera que se aplica y de ella sale el 10% de la nueva población. La mutación se puede aplicar en todas las variables de la solución. La mutación se encuentra dividida en cinco etapas: i. ii. iii. iv. v.

En la primera se selecciona un individuo al azar al cual se le aplicara la operación, aquí se genera además un número aleatorio que definirá que tipos de mutación aplicar, las siguientes mutaciones dependen de este número. Mutación de las secciones. Mutación de las coordenadas. Quitado de barras. Mutación de las conectividades de las barras.

5. VALIDACIÓN En la figura 3 se muestra el dominio de diseño. Se especifican seis cargas se especifican que estarán en la parte inferior de la armadura. Todas las barras de la armadura son seleccionadas de un conjunto de 30 secciones AISC, estas van de la sección W14x22 a la W14x426. Las propiedades del material son las del acero (E= 2.039432x1010 kg/m2, fy = 2.537054 x107 kg/m2, ρ= 7851.03 kg/m3). Se siguen las especificaciones de diseño de la AISC: el esfuerzo a tensión permisible es 0.6fy, la relación de esbeltez es especificada para miembros a tensión en 300, y en 200 para miembros en compresión; la longitud de los miembros no debe ser menor de 5 m y no mayor de 35 m (la mitad de la longitud del dominio de diseño) ; el desplazamiento vertical permitido esta limitado a 1/1000 del claro, esto es 70 mm y el esfuerzo permisible a compresión

σ ib

de la

barra i se obtiene de las consideraciones de pandeo y se calculan de la siguiente manera: Si

Si

λi > C, pandeo elástico, σ ib =

λi < C, pandeo plástico, σ =

Donde

b i

λi =Li/ri

, C= π

12π 2 E 23λi2 (1 −

λi2 2C 2

) fy

λi3 5 3λi + + 3 8C 8C 3

2 E / f y , y Li y ri son la longitud y el radio de giro de la sección transversal de la

barra i, respectivamente.

Figura 3 Dominio de diseño. 5.1. Resultados

Los parámetros de la corrida fueron: 201 generaciones, 2000 individuos por generación, 10% de individuos por mutación, 80% de individuos por cruzamiento, 10% de individuos por reproducción. En la figura 4 vemos la evolución de las soluciones obtenidas. La calificación es el peso penalizado del individuo. Ya en la fase final de la evolución de las soluciones se ve como se fija la topología y las soluciones tienden a una geometría simétrica.

Figura 4. Evolución de la topología y geometría de la solución.

Figura 5. Evolución de pesos

Las tablas 3 y 4 comparan las secciones transversales y coordenadas, además de que se agregan los datos del tiempo de cómputo y características del equipo empleado para los cálculos, obtenidas por Yang contra los obtenidos en este trabajo.

Tabla 3 Comparación de secciones Y. Yang, C. Kiong Soh Nodo i 1 2 3 4 1 5 6 7 2 2 3 3 4 4

Este trabajo

Nodo j 2 3 4 9 5 6 7 8 5 6 6 7 7 8

Nodo i W14X68 W14X109 W14X132 W14X233 W14X132 W14X132 W14X176 W14X193 W14X61 W14X74 W14X82 W14X82 W14X90 W14X61

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7

Nodo j 3 2 3 4 5 4 5 6 8 6 8 7 9 8

W14X68 W14X109 W14X109 W14X145 W14X159 W14X61 W14X61 W14X176 W14X145 W14X38 W14X82 W14X233 W14X193 W14X30

Tabla 4 Comparación de coordenadas y tiempos de cómputo Y. Yang, C. Kiong Soh

Coordenadas de nodos (m)

Peso(kg) Tamaño Población Número de generaciones corridas Total de pasos de iteración Tiempo de calculo (horas) Procesador Memoria en Ram

Este trabajo

Nodo x5 y5 x6 y6 x7 y7 x8 y8

4 5.5 13 9 24 10 35 10

Nodo 2 4 6 7 9 11 13 14 16

45404 2000 83 166000 ND ND ND ND=No hay dato

x 4.229 12.378 20.518 27.556 35.656 43.768 52.059 59 66.608

1498 512

y 5.444 7.738 9.768 10 10 10 9.48 8.937 5.743 46222 2000 197 394000 7.4236 Mhz MB

Figura 6 Comparación de geometrías.

La figura 6 muestra una comparativa entre la geometría obtenida en el artículo de Yang y la solución obtenida en este trabajo.

6. APLICACIÓN A UN CASO DE ESTUDIO Como un segundo problema por resolver se considera determinar la mejor armadura para un invernadero, en donde el dominio tiene diferentes características al problema de [Yang 2002] y no se espera que la solución sea simétrica. La carga por viento agrega una variante debido a que ésta depende de la forma del invernadero, por lo tanto se espera que algoritmo encuentre también una forma aerodinámica como solución optima. Los parámetros de la corrida fueron los mismos que en el caso anterior. Como parámetros de diseño tenemos: •

Características de secciones transversales a emplear, encontradas en México, tabla 5. Tabla 5. Perfiles comerciales No

Área

Radio min.

Masa

Secc.

m2

m

Kgf

1 2 3 4 5 6 7 8 9 • •

0.000242 0.000271 0.000274 0.000317 0.000515 0.000581 0.00069 0.000735 0.001452

0.009347 0.01206 0.014803 0.015759 0.015821 0.019537 0.020039 0.02053 0.023464

1.89994926 2.127621 2.151174 2.48877651 4.04328045 4.561431 5.4172107 5.770485 11.3996956

Características del dominio espacial: 9 metros de claro por 2.15 de alto. Condiciones de frontera: Velocidad de diseño de 30.56 m/seg. para el viento, carga de cultivo de 135 kg por punto de apoyo de tutores para soportar las cargas de cultivo, en este caso se suponen cuatro puntos equidistantes distribuidos en el claro de la armadura, los puntos de apoyo están restringidos en sus movimientos en X y Y únicamente, figura 7.

V=30.56 m/seg

2.15

Dominio de diseño

P

P 9.00 P P= 135 kg

P

Figura 7. Domino espacial del invernadero. •

Restricciones estructurales: relación de esbeltez a compresión menor que 200, relación de esbeltez a tensión menor que 300, desplazamiento máximo menor que claro /400, EN 13031-1, 2001.

6.1. Resultados En la figura 8 vemos la evolución de las soluciones. Bajo cada solución se encuentran de izquierda a derecha 5 números que representan el número de generación, el número de individuos, el peso real del individuo en toneladas, el peso promedio de todas las soluciones de la generación y el peso penalizado.

Figura 8. Evolución.

Ya en la etapa final se puede apreciar como se fija la topología y únicamente se trabaja sobre la geometría y las dimensiones de las secciones transversales. Y así continua el AG hasta llegar a la configuración de la última solución en la generación número 201. El mejor individuo fue el de la generación 183 con un peso de 70.9 kilogramos. El tiempo de computo empleado en esta corrida fue de 25951.235 segundos (7.2 horas). Los datos de la mejor solución se ven en la tabla 6. Y la forma del la mejor solución se ve en la figura 8 en el esquema donde están numerados los nodos.

Tabla 6 Dimensiones de la mejor solución para la armadura del invernadero. Ni

Nj

Xi

Yi

Xj

Yj

Long.

Sec.

Área

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10

3 2 3 4 5 4 5 6 7 6 7 8 9 8 9 10 11 10 11

0.000 0.000 1.181 1.181 1.800 1.800 2.950 2.950 3.600 3.600 4.629 4.629 5.400 5.400 6.506 6.506 7.200 7.200 8.121

0.000 0.000 1.385 1.385 0.000 0.000 2.150 2.150 0.000 0.000 2.150 2.150 0.000 0.000 1.965 1.965 0.000 0.000 0.903

1.800 1.181 1.800 2.950 3.600 2.950 3.600 4.629 5.400 4.629 5.400 6.506 7.200 6.506 7.200 8.121 9.000 8.121 9.000

0.000 1.385 0.000 2.150 0.000 2.150 0.000 2.150 0.000 2.150 0.000 1.965 0.000 1.965 0.000 0.903 0.000 0.903 0.000

1.800 1.821 1.517 1.927 1.800 2.438 2.246 1.678 1.800 2.383 2.284 1.887 1.800 2.256 2.084 1.933 1.800 1.289 1.260

1 4 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 2 1 1 1 1

0.00024 0.00032 0.00027 0.00024 0.00024 0.00024 0.00024 0.00024 0.00024 0.00024 0.00024 0.00024 0.00024 0.00027 0.00027 0.00024 0.00024 0.00024 0.00024

En la tabla 6 vemos la representación usada por el programa. En figura 9 vemos la evolución de las soluciones en esta corrida.

Figura 9. Evolución de las soluciones.

7. CONCLUSIONES Los resultados muestran que la herramienta es confiable ya que se obtiene un diseño aceptable. En un tiempo computacional de 7 horas, se asegura llegar a una solución practicable y eficiente. La figura 5y 9 muestran cómo el algoritmo comienza con soluciones penalizadas y que va evolucionando hasta llegar a soluciones factibles que cumplen con todos las restricciones. En ella también sé ve cómo el algoritmo es capaz de salir de óptimos locales, generación 17-25, y continúa mejorando la solución. Cuando la línea roja y la azul se juntan quiere decir que los individuos ya no están penalizados y constituyen una solución factible. Cuando la distancia entre la línea azul y la verde se reduce significa que todos los individuos se están pareciendo unos a otros. Las corridas adicionales demostraron la capacidad del algoritmo para encontrar buenas soluciones aún con inicios diferentes. Siendo la mayor de estas respuestas un 17% a lo reportado por el artículo de Yang. Las soluciones encontradas en las corridas adicionales confirman que la solución de Yang puede estar cerca de una solución optima global del problema planteado. Como conclusión de esta validación se puede decir que la metodología empleada es adecuada para ser empleada en problemas estructurales, aplicados a armaduras, con el dominio espacial continuo, y muestra que es posible encontrar soluciones factibles en todas las corridas que se hagan. Observamos que es necesario definir de manera menos empírica los factores impuestos en las penalizaciones de las restricciones. Se muestra que una buena penalización es la que está en función de la distancia de la solución a una solución factible, sin embargo esta distancia no es fácil de definir y requiere de una gran experiencia por parte del diseñador. Los porcentajes empleados en las operaciones genéticas fueron tomados de la literatura por lo que es necesario, como trabajo futuro, buscar alguna combinación óptima de estos porcentajes para ser empleados con esta metodología. La posible combinación de este método con métodos determinísticos es otra posibilidad que se puede explotar en el futuro para intentar acelerar su velocidad de convergencia. El tiempo de cómputo de esta metodología no se puede comparar con el de otras metodologías debido a que no se encuentran reportados en la literatura. En este caso puede mencionarse que si consideramos que para hacer un diseño, como alguno de los mostrados en este trabajo, se necesita que un diseñador con experiencia trabaje en conjunto con al menos un dibujante y que entre los dos acumulen unas cinco jornadas de trabajo, de ocho horas cada una, nos lleva a pensar que las siete horas y media que tardamos en encontrar una buena solución no son excesivas.

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