Optimización de la calidad con programación multicriterio difusa y algoritmos genéticos Juan M. Cevallos Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Facultad de Ingeniería Industrial, Av Universidad – Av Venezuela, Lima, Perú, Lima -1
[email protected] Abstract This paper presents a methodology for optimizing the quality of processes that have multiple variables, whose values are fuzzy and complex relationships among the variables are presented. What is done with great difficulty with traditional optimization methods is overcome by using the qualities of fuzzy logic, mathematical programming and genetic algorithms. The existence of quality information in many cases is not accurate and therefore should be analysed with fuzzy logic. On the other hand the work related to Multi-objective Decision Making, especially on Fuzzy Multi-criteria Programming developed by Zimmermann, allow to find optimal solutions that can not be obtained with traditional optimization methods. However, it has limitations when it comes to complex relationships between variables, being overcome these limitations in the application of genetic algorithms searching optimal quality areas. In the paper, the methodology first arises and then it is presented an application example demonstrating the virtues of the proposed method. For calculations it is using different software. The main conclusion is that the combination of fuzzy logic, mathematical programming and genetic algorithms can optimize the quality of processes than traditional methods so. Keywords: Fuzzy Logic, Multi-Criteria Programming, Genetic Algorithms, Optimization.
Resumen Este trabajo presenta una metodología de optimización de la calidad de procesos que tengan varias variables, cuyos valores sean difusos y entre las variables se presenten relaciones complejas. Lo que con mucha dificultad se realiza con métodos tradicionales de optimización es superado al utilizar las cualidades de la lógica difusa, la programación matemática y los algoritmos genéticos. La existencia de información sobre la calidad en muchos casos no es precisa y por lo tanto se debe analizar con la lógica difusa. Por otro lado los trabajos relacionados con Toma de Decisiones Multiobjetivo, en especial sobre Programación Multicriterio Difuso desarrollados por Zimmermann, permiten encontrar soluciones óptimas que no se pueden obtener con métodos tradicionales de optimización. Sin embargo, ello tiene limitaciones cuando se trata de relaciones complejas entre variables, siendo superada estas limitaciones con la aplicación de algoritmos genéticos buscando zonas de óptimo de calidad. En el trabajo, primero se plantea la metodología para posteriormente presentar un ejemplo aplicativo que demuestra las virtudes del método propuesto. Para los cálculos se utilizan diversos software. La principal conclusión es que la combinación de lógica difusa, programación matemática y algoritmos genéticos permite optimizar la calidad de procesos de manera superior a los métodos tradicionales. Palabras clave: Lógica Difusa, Programación Multicriterio, Algoritmos Genéticos, Optimización.
1. Introducción Carlyle, M., Montgomery, D. y Runger, G. [1] plantean que muchos de los problemas en control y mejora de la calidad implican la aplicación de metodologías de optimización. Sostienen que los tipos de problemas y las metodologías de optimización empleadas son diversas. A menudo, el contexto de un problema implica la construcción de un modelo de
sistema y, a continuación, utilizando técnicas de optimización se determinan los valores de los parámetros del sistema que lo hacen más eficaz. Por otro lado, sostienen que el objetivo de muchos diseños experimentales es la optimización de respuestas y que cuando hay varias respuestas, este problema a menudo se llama optimización de respuestas múltiples u optimización de respuestas simultáneas. Asimismo, mencionan que diversos algoritmos de optimización matemática se pueden aplicar a este problema. Entre ellos mencionan el método de gradiente generalizado que desarrollan, entre otros, Del Castillo y Montgomery [2] que es un método aplicable a muchos tipos de problemas de programación matemática y que está disponible en software comerciales. También mencionan que el método más popular de optimización de respuestas simultáneas es el enfoque de la función deseabilidad o pertenencia propuesto por Derringer y Suich [3], el cual implica el uso de los conceptos de lógica difusa. Finalmente, para el caso mejora de la calidad multiobjetivo, se encontró que los algoritmos genéticos son especialmente atractivos para estos problemas debido a la facilidad con que múltiples poblaciones se pueden mantener y entonces el algoritmo principal se puede diseñar para buscar soluciones que son adecuadas con respecto a las respuestas deseadas, al respecto se recomienda revisar los trabajos de Murata, Ishibuchi, y Tanaka [4], entre otros. Zimmermann [5] sostiene que los modelos de programación lineal se consideran como un tipo especial de modelo de decisión, donde el espacio de decisión se define por las restricciones; la "meta" se define por la función objetivo; y el tipo de decisión es una toma de decisiones bajo condiciones de certidumbre. Sin embrago, en la realidad en muchos casos la decisión de programación tiene que realizarse en entornos difusos, es así que pueden presentarse diversas modificaciones al planteo clásico. En primer lugar, la tomador de decisiones podría no querer realmente maximizar o minimizar la realidad función objetivo; sino más bien desea alcanzar algunos niveles de aspiración que ni siquiera podría definirlos con certidumbre, de este modo sólo podría querer mejorar la situación actual. En segundo lugar, las restricciones pueden ser difusas; así el ≤ podría no ser matemáticamente estricto y pequeñas violaciones podrían ser aceptables, siempre y cuando se logre un nivel de mejora deseado. Ello también lleva a que los coeficientes de las restricciones podrían tener un carácter difuso. Asimismo, el papel de las restricciones puede ser diferente del de la programación lineal clásica, aceptándose pequeñas violaciones de cualquier restricción. La Programación lineal difusa ofrece una serie de maneras de permitir todos estos tipos de vaguedad o difusión: justamente, de ello se trata en el presente trabajo. Sobre Algoritmos Genéticos, Castañeda, Garmendia y Santos [6] plantean, que son normalmente empleados para encontrar soluciones óptimas en ingeniería y problemas de diseño donde puede existir una solución alternativa, pero su evaluación no puede ser determinada hasta que ésta ha sido implementada y probada. En tales casos, la solución óptima (fenotipo) se puede buscar mediante generación manual, implementando y probando las alternativas o por aproximaciones hechas de manera gradual, mejorando las soluciones no óptimas encontradas (genotipos). Pero de esta manera la complejidad del problema en cuestión aumenta; los procedimientos llegan a ser cada vez más insatisfactorios y laboriosos. Por lo tanto, era necesario el establecimiento de un método automático que explote la capacidad computacional de los ordenadores para realizar voluminosas exploraciones combinatorias. Los algoritmos genéticos van más allá de un proceso combinatorio estándar siendo éstos un poderoso mecanismo que apunta a combinaciones potencialmente fructíferas. Por ello, en este trabajo, se complementa el uso de la programación lineal difusa con el uso de los algoritmos genéticos. El resto de éste trabajo está organizado de la siguiente manera. En la sección 2 se presenta el Estado de Arte. La sección 3 se describe la metodología. En la sección 4 se desarrolla la propuesta y un ejemplo aplicativo, y finalmente las conclusiones son presentadas en la sección 5.
2. Estado de Arte Sobre Programación Lineal Difusa; la referencia [5] propone que el modelo difuso equivalente a una maximización de programación lineal clásica se puede presentar como: cT x ≥ ~ z Ax ≤~ b X≥0 (1) .donde ≥ ~ es la versión difusa de ≥ que significa “esencialmente mayor o igual que; y ≤~ que significa “esencialmente menor o igual que”. El modelo presentado en (1) lo soluciona mediante el modelo de programación clásico:
P A G
Maximizar λ Sujeto a:
λpi + ti ≤ pi ; i=1,…,m+1 Bix – ti ≤ di ti ≤ pi x, t ≥ 0
(2)
.donde λ es una variable nueva introducida, pi es el intervalos de tolerancia de cada fila i ; ti es una variable que mide el grado de violación de la restricción i; B es equivalente al combinatorio de –c y A de la función objetivo y las restricciones, Bi es el elemento de la fila i de B; d es el combinatorio de –z y b de la función objetivo y las restricciones; di es el elemento de la fila i de d. Zimmermann en [5] propone la función objetivo difusa: .f(ax,cx) = f(Bx) = Min fi((Bx))i, x≥0 (3) Con 1 Min fi((Bx))i = {
𝑝𝑎𝑟𝑎
1−𝐵𝑥𝑖 −𝑏𝑖
(𝐵𝑥)𝑖 ≤ 𝑏𝑖
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑏𝑖 < 𝐵𝑥𝑖 ≤ 𝑏𝑖 + 𝑑𝑖
𝑑𝑖
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 (𝐵𝑥)𝑖 > 𝑏𝑖 + 𝑑𝑖 .di son constants seleccionadas subjetivamente de violaciones admisibles de las restricciones y fi((Bx))i es la función de pertenencia de la ith fila del sistema lineal Bx Por otro lado la referencia [3] define la función deseabilidad para el caso de lo nominal lo mejor, como:
( 𝑑𝑗 (𝑦̅𝑗 (𝑥)) =
(
̅̅̅−𝑦 𝑦𝑗 𝑚𝑖𝑛𝑗 𝑇𝑗 −𝑦𝑚𝑖𝑛𝑗
̅̅̅−𝑦 𝑦𝑗 𝑚𝑎𝑥𝑗 𝑇𝑗 −𝑦𝑚𝑎𝑥𝑗
𝑠
) … … … 𝑠𝑖𝑦𝑚𝑖𝑛𝑗 ≤ 𝑦̅𝑗 (𝑥) ≤ 𝑇𝑗 𝑡
) … … … 𝑠𝑖𝑇𝑗 ≤ 𝑦̅𝑗 (𝑥) ≤ 𝑦𝑚𝑎𝑥𝑗
(4)
{0 … … … … … … … … … … … . 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑎 𝑠𝑖𝑡𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛
.para el caso de dos lados, donde yj, j = 1, ..., m es la salida de la j-ésima y el ymin j , y máx j , y T j son el mínimo, máximo, y valor objetivo, respectivos. En la ecuación anterior, r, s, y t indican los pesos que permiten el comportamiento lineal (s = t = 1) o no lineal entre un límite (frontera) (y min j o y máx j ) y el valor objetivo (T j ). Después de determinar las deseabilidades individuales para las respuestas, la deseabilidad total definida por D * (x) puede se calcula como sigue: 1/𝑚
𝐷𝐷𝑆 (𝑥) = [𝑑1 (𝑌1 (𝑥))𝑑2 (𝑌2 (𝑥)) … 𝑑𝑚 (𝑌𝑚 (𝑥))] (5) donde D DS (x), la deseabilidad global definida por [3] es la media geométrica de las deseabilidades individuales d j (Y j )). Por otro lado si se integra la variabilidad y simplificando la notación, se tendrá: 1/2𝑚
𝐷𝐷𝑆 (𝑥) = [𝑑𝜇1 𝑑𝜎1 𝑑𝜇2 𝑑𝜎2 … 𝑑𝜇𝑚 𝑑𝜎𝑚 ] (6) Posteriormente la referencia [6] propone la siguiente metodología para resolver problemas de Programación lineal con objetivos difusos múltiples: Paso 1. Formular el modelo de Programación Lineal con Objetivos Múltiples Difuso original para el problema. Paso 2. Dado el nivel de pertenencia aceptable mínimo, α, y luego se convierten las restricciones de desigualdad difusa con los recursos disponibles difusos (lado derecho) en restricciones clásicas utilizando el método de promedio ponderado. Paso 3. Especificar el grado de pertenencia para varios valores de cada función objetivo. Paso 4. Extraer las funciones de pertenencia lineales por partes para cada función objetivo. Paso 5. Formular las ecuaciones lineales por partes por cada función de pertenencia. Paso 6. Introducir una variable auxiliar, permitiendo así que el problema original multi-objetivo difuso sea adecuado a uno de Programación Lineal ordinario usando el operador mínimum. Paso 7. Resolver el problema de Programación Lineal ordinario, y ejecutar el proceso de decisión interactivo. Si el tomador de decisiones no está satisfecho con la solución inicial, el modelo se debe ajustar hasta llegar a un conjunto de soluciones satisfactorias. Con relación a la Programación lineal con objetivos múltiples, Chanas [7] propone que el problema se puede tratar como una programación lineal difusa parcial con una función objetivo, transfiriendo k-1 funciones objetivo al conjunto de restricciones difusas; así 𝑚𝑎𝑥 ̃ 𝑧1 = 𝑐11 𝑥1 + 𝑐21 𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑛1 𝑥𝑛
P A G
∑𝑛𝑗=1 𝑐𝑖𝑙 𝑥𝑗 ≥ 𝑧𝑖∗ ; l=2,3,…,k ∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 ;i=1,2,…,m xj≥0, j=1,2,…,n Para Chanas (7) cada función objetivo zi tiene una meta difusa relacionada con la función de pertenencia: 1 .μi(xi) = {1 −
𝑧𝑖∗ −𝑧𝑖 𝑧𝑖∗ −𝑧𝑖′
0
(7)
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧𝑖 ≥ 𝑧𝑖∗ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧𝑖′ ≤ 𝑧𝑖 ≤ 𝑧𝑖∗ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧𝑖 ≤
(8)
𝑧𝑖′
Según, Alvarez et al, [8] los algoritmos genéticos son procedimientos de búsqueda que emulan el proceso de evolución en la naturaleza, como lo explica la teoría de Darwin. Ellos fueron propuestos por Holland [9], y desarrollado más tarde por Goldberg [10]. Se basan en la supervivencia del más apto, la reproducción y la búsqueda de nuevas soluciones en cada etapa o generación. Una solución se codifica en un cromosoma. El modo de codificación más frecuentemente utilizado es codificación binaria. Los algoritmos comienzan con una población de soluciones generada de forma aleatoria o por un procedimiento de siembra. Esta población es representativa del espacio de soluciones factibles. El tamaño de la población depende de la naturaleza del problema. Generalmente, una población inicial mayor aumenta la posibilidad de explorar el espacio de soluciones. El algoritmo evalúa la calidad de cada solución con la función de ajuste. Con el uso de operaciones evolutivas, como la recombinación, mutación y selección, el algoritmo genético crea una nueva generación de población. El conjunto de soluciones generadas incluye algunas soluciones con buenas características, que son seleccionados para unirse a las nuevas poblaciones. Luego, se evalúa la aptitud de cada individuo de la nueva población. La función objetivo se utiliza directamente en lugar del uso tradicional de la información del gradiente. Por esta razón, la función objetivo no necesita ser continua, diferenciable o convexa. Las variables pueden ser continuas, discretas, y / o categóricas. Todo ello muestra que los algoritmos genéticos son un método muy flexible, que los hacen capaces de hacer frente a una gran variedad de problemas. Asimismo, la referencia [8] sostiene que la solución de un problema con Algoritmos Genéticos sigue seis pasos: 1. Creación de una población inicial: un conjunto inicial de soluciones o cromosomas es generado aleatoriamente o mediante un procedimiento de siembra. 2. Evaluación del ajuste: la calidad de cada solución de la población se evalúa utilizando la función de ajuste. 3. Selección: con este proceso se eligen soluciones prometedoras para pasar a la siguiente generación a expensas de otras soluciones que se consideran mal adecuadas para el objetivo. 4. Crossover: este proceso consiste en tomar dos cadenas o padres de la población y la realización de un intercambio al azar de porciones entre ellos para formar una nueva solución. Este nuevo cromosoma tiene información de ambos padres. 5. Mutación: implica la realización de cambios en los valores individuales de las variables en una solución. Si el sistema de codificación es binario, la mutación consiste en la conmutación de bits individuales a lo largo de la cadena, el cambio de un cero a uno, y viceversa. Las mutaciones sirven para mantener la diversidad de la población, reduciendo la probabilidad de encontrar un mínimo local o máximo local en lugar de la solución óptima global. 6. Comprobación de si el criterio de finalización es satisfecho. Si el criterio de finalización no es satisfecho el proceso vuelve al paso número 3. Si se satisface el criterio el algoritmo termina. Reddy et al [11] minimizan de la rugosidad de la superficie de una pieza mediante la integración de diseño de experimento, metodología de superficie de respuesta MSR y el algoritmos genéticos. Para tal efecto utilizan la matriz ortogonal L50 de Taguchi, consideran los parámetros de mecanizado como el radio de la punta, la velocidad de corte, alimentación, la profundidad de corte axial y la profundidad de corte radial. Un modelo de superficie de respuesta predictivo de rugosidad de la superficie se desarrolla utilizando MSR y la solución se interconecta con el algoritmo genético para encontrar los valores de los parámetros de mecanizado óptimos. Para ello utilizan el software MATLAB. Yeniay [12] comparar los métodos heurísticos algoritmos genéticos (GA) y recocido simulado (SA), con dos métodos basados en el gradiente de uso clásico como son programación secuencial cuadrática (SQP) y Gradiente Generalizado Reducido (GRG), para obtener las condiciones óptimas de un proceso. Para ello selecciona modelos de superficie de respuesta cuadráticas y cúbicas reales de la literatura y se utilizan en este estudio. Los resultados de la comparación indican que los métodos heurísticos superan a los métodos tradicionales en la mayoría de los problemas. Para su trabajo utiliza el software MATLAB.
P A G
3. Metodología Con base a la información revisada se ha desarrollado una propuesta de mejora de la calidad, mediante optimización que toma en cuenta las ventajas de la programación lineal difusa y los algoritmos genéticos. Se propone seguir una metodología de 4 pasos: Paso 1. Elaboración del Diseño experimental, obtención de datos y definición de variables difusas y sus rangos de variación; esto último con base a la información del diseño experimental y la calidad que se desee. Paso 2. Plantear la programación lineal difusa. En el caso de programación lineal difusa multiobjetivo se transforma dicho conjunto de funciones objetivo en usa sola y así tenemos una programación lineal difusa uniobjetivo. Paso 3. Convertir la programación lineal difusa en programación lineal clásica. Paso 4. Aplicar algoritmos genéticos para optimizar. La metodología se aplicará un caso con datos reales y se comparará a optimización con programación lineal clásica y algoritmos genéticos. Para el trabajo a realizar se trabajará con el software MATLAB.
4. Optimización con Programación lineal difusa y algoritmos genéticos Para el caso de un solo objetivo: Los datos para aplicar al caso se han tomado del trabajo de la referencia [13] sobre optimización de un extracto de tomate, que se presentan en la Tabla 1. Variables Etanol Homgenización KOH Hexano Vortex
Unidades X1 (mL/g) X2 (s/g) X3 (mL/g) X4 (mL/g) X5 (s/g)
-2 1.333 0 0 1.667 5
.1 2 10 0.167 2 10
Codificación 0 2.667 20 0.333 2.333 15
1 3.333 30 0.5 2.667 20
2 4 40 0.667 3 25
Tabla 1. Niveles de variables para diseño experimental, fuente trabajo de la referencia [13]
Aplicando un modelo de diseño de experimentos y realizando los respectivos ensayos, ver [13], se obtuvieron los siguientes resultados experimentales, que se presentan en la Tabla 2.
P A G
N° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32
X1
X2
Factores X3
X4
X5
Respuestas (nmol/g) Observadas Predicción
−1 (2.000) 1 (3.333)
−1 (10)
−1 (0.167)
−1 (2.000)
1 (20)
11
11
−1 (10) 1 (30)
−1 (0.167)
−1 (2.000)
−1 (10)
11
11
−1 (0.167)
−1 (2.000)
20
1 (30)
−1 (0.167) 1 (0.500)
−1 (2.000)
−1 (10) 1 (20)
19 11
11 13
−1 (10) 1 (30)
1 (0.500)
−1 (2.000)
−1 (10) 1 (20)
11 9
10
1 (0.500)
−1 (2.000)
1 (20)
19
20
1 (30)
1 (0.500)
−1 (10)
12
−1 (10)
−1 (0.167)
−1 (2.000) 1 (2.667)
11
8
−1 (10) 1 (30)
−1 (0.167)
1 (2.667)
−1 (10) 1 (20)
9 13
11
−1 (0.167)
1 (2.667)
1 (20)
33
31
1 (30)
−1 (0.167) 1 (0.500)
1 (2.667)
15
1 (2.667)
−1 (10) 1 (20)
17 13
13
−1 (10) 1 (30)
1 (0.500)
1 (2.667)
−1 (10)
8
8
1 (0.500)
1 (2.667)
18
1 (30)
1 (0.500)
1 (2.667)
−1 (10) 1 (20)
18 14
13
−2 (1.333) 2 (4.000)
0 (20)
0 (0.333)
0 (2.333)
0 (15)
29
28
0 (20)
0 (0.333)
0 (2.333)
0 (15)
16
17
0 (2.667)
0 (2.333)
0 (15)
4
3
0 (2.667)
−2 (0) 2 (40)
0 (0.333) 0 (0.333)
0 (2.333)
0 (15)
16
16
0 (2.667)
0 (20)
0 (15)
9
11
0 (2.667)
0 (20)
−2 (0.000) 2 (0.667)
0 (2.333) 0 (2.333)
0 (15)
12
9
0 (2.667)
0 (20)
0 (0.333)
18
14
0 (2.667)
0 (20)
0 (0.333)
−2 (1.667) 2 (3.000)
0 (15) 0 (15)
14
17
0 (2.667)
0 (20)
0 (0.333)
0 (2.333)
11
0 (2.667)
0 (20)
0 (0.333)
0 (2.333)
−2 (5) 2 (25)
12 14
15
0 (2.667)
0 (20)
0 (0.333)
0 (2.333)
0 (15)
15
13
0 (2.667)
0 (20)
0 (0.333)
0 (2.333)
0 (15)
10
13
0 (2.667)
0 (20)
0 (0.333)
0 (2.333)
0 (15)
14
13
0 (2.667)
0 (20)
0 (0.333)
0 (2.333)
0 (15)
8
13
0 (2.667)
0 (20)
0 (0.333)
0 (2.333)
0 (15)
17
13
0 (2.667)
0 (20)
0 (0.333)
0 (2.333)
0 (15)
15
13
−1 (2.000) 1 (3.333) −1 (2.000) 1 (3.333) −1 (2.000) 1 (3.333) −1(2.000) 1 (3.333) −1 (2.000) 1 (3.333) −1 (2.000) 1 (3.333) −1 (2.000) 1 (3.333)
−1 (10)
−1 (10)
−1 (2.000)
Tabla 2 Diseño experimental (no codificados) y valores de respuesta
Con base a los datos anteriores el modelo de regresión ajustado fue: Y=63.85-17.61x1+0.69x2+74.52x3-36.09x4-0.71x5+5.037x12-0.009x22-27.409x32+5.523x42-0.006x25-0.309x1x2+ 0.563x1x3-0.844x1x4-0.356x1x5-0.563x2x3-0.394x2x4+0.006x2x5-19.125x3x4-0.375x3x5+0.863x4x5 Los parámetros tradicionales con que se trabajaba la extracción de licopeno eran: 5 mL/g de etanol, 5 s/g de homogenización, 0 mL/g de solución de KOH, 6 mL/g de hexano, y 30s/g de vórtice; por otro lado aplicando MSR la condición óptima de extracción se determinó con el análisis de máxima cordillera. Así se generó la cordillera estimada de la respuesta máxima para aumentar los radios desde el centro de diseño original. El análisis de máxima cordillera determinó las condiciones de 1.56 mL /g etanol, 28 s/g de homogeneización, 0.29 mL/g de solución de KOH, 2.49 mL/g de hexano, y 17.5 s/g vórtice lo que llevó al rendimiento máximo de extracción de licopeno de 3,7 veces mejor en comparación con la producción de licopeno mediante el método original. Por otro lado con el método tradicional GRG (método basado en el gradiente) se obtiene un cuadrado medio del error =68.75. Aplicando algoritmos genéticos a los mismos datos con los parámetros del algoritmo genético de tamaño de población de 40, función de escala tipo Rank, función de selección Uniforme estocástica, función de cruzamiento de 0.8, función de mutación Dependiente de las restricciones y criterio de finalización de 100 generaciones. Con el software MATLAB se obtiene parámetros para las 5 variables que luego permiten calcular la predicción llegándose a un cuadrado medio del error =67.10.
P A G
Aplicando algoritmos genéticos y lógica difusa a los mismos datos con los mismos parámetros del algoritmo genético anterior, pero introduciendo las funciones de pertenencia en las restricciones y trabajando con los valores reales del diseño de experimentos; se obtiene parámetros para las 5 variables que luego permiten calcular la predicción llegándose a un cuadrado medio del error =52.20. Para el caso de varios objetivos: Se trabajó con los datos del trabajo de la referencia [3], donde se tiene tres variables de entrada y cuatro variables de salida, para un proceso de un compuesto para fabricación de llantas. Los datos se presentan en la Tabla 3. X1 -1.000 1.000 -1.000 1.000 -1.000 1.000 -1.000 1.000 -1.633 1.633 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
X2 -1.000 -1.000 1.000 1.000 -1.000 -1.000 1.000 1.000 0.000 0.000 -1.633 1.633 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
X3 1.000 -1.000 -1.000 1.000 -1.000 1.000 1.000 -1.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -1.633 1.633 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
Y1 102 120 117 198 103 132 132 139 102 154 96 163 116 153 133 133 140 142 145 142
Y2 900 860 800 2294 490 1289 1270 1090 770 1690 700 1540 2184 1784 1300 1300 1145 1090 1260 1344
Y3 470 410 570 240 640 270 410 380 590 260 520 380 520 290 380 380 430 430 390 390
Y4 67.5 65.0 77.5 74.5 62.5 67.0 78.0 70.0 76.0 70.0 63.0 75.0 65.0 71.0 70.0 68.5 68.0 68.0 69.0 70.0
Tabla 3 Datos del Trabajo de la referencia [3], con variables codificadas
Las restricciones son: • Indice de abrasión PICO, Y1 120
