Opciones Reales. Métodos de Simulación y Valoración.

Opciones reales

Métodos de simulación y valoración

Mariano Méndez Suárez Profesor ESIC Business & Marketing School.

Prosper Lamothe Fernández Catedrático de Economía Financiera UAM

Opciones reales. Métodos de simulación y valoración © Mariano Méndez Suárez, 2013 © Prosper Lamothe Fernández, 2013 © Ecobook - Editorial del Economista. 2013 Cristo, 3 - 28015 Madrid (España) Tel.: 915 595 130 - Fax: 915 595 072 www.ecobook.com © Diseño de portada y maquetación: Cristihan González Suárez Imprime: Publidisa ISBN formato papel: 978-84-96877-57-3 ISBN formato PDF: 978-84-96877-58-0 Depósito legal: M-5172-2013 Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos.

Prólogo

El enfoque de valoración basado en las opciones reales ha conocido un importante desarrollo en las dos últimas décadas. A pesar de ello, todavía no existe suficiente literatura, sobretodo en castellano sobre esta temática. El objetivo del libro que prologamos es explicar qué son las Opciones Reales, su utilidad para valorar proyectos empresariales donde exista flexibilidad gerencial y cuáles son los principales métodos de valoración. La exposición de los métodos de valoración se ilustra con casos prácticos, adaptados de proyectos de consultoría a grandes empresas realizados por los autores. En este sentido, se han elegido aplicaciones en diferentes industrias que van desde la valoración de activos mineros hasta la determinación del precio de acciones tecnológicas. Se hace un énfasis especial en los métodos de simulación del valor de activos ya que éstos son un punto de partida necesario en toda valoración de proyectos o empresas, independientemente que se hagan mediante el uso de Opciones Reales o VAN tradicional. El trabajo puede tener un interés especial como manual en estudios de postgrado, ya sea en programas Master o Doctorado, ya que aúna en un solo volumen una información que por lo general se encuentra dispersa en la literatura, tanto en algunos libros como en multitud de trabajos de investigación publicados en revistas. Por otro lado, puede ser de especial utilidad para empresas de Consultoría expertas en valoración de negocios o proyectos y para departamentos de Finanzas de Grandes Empresas, dada la capacidad del método de Opciones Reales de valorar proyectos, que de otra forma sería muy complejo y con resultados poco fiables. Es de destacar la posibilidad del método para valorar en algunos casos los Activos Intangibles (como es el caso de patentes o proyectos de I+D+I). El libro es de especial interés en toda la comunidad hispana, debido a la escasez de libros sobre el tema en este idioma. Agradecemos a Alfredo Goyanes por su colaboración en el capítulo 5 y a los profesores Jorge Otero Rodríguez y Rubén Aragón López, del departamento de Financiación de la Universidad Autónoma de Madrid, su apoyo en la investigación para diferentes aspectos que tratamos en este libro. —5—

Para nuestras esposas Pilar y Alicia que siempre han sabido comprender nuestra vocación por el estudio y la investigación

Contenido

1. Opciones Reales............................................................................................13 1.1 Sobre la compresión del concepto de Opción Financiera................................................ 13 1.2 Opciones Financieras........................................................................................................ 14 1.2.1 Tipos de opciones..................................................................................................... 14 1.2.2 Clasificación de las opciones según el valor de compra/venta respecto al subyacente............................................................................................................ 15 1.3 Opciones reales................................................................................................................. 16 1.3.1 Opciones Reales y Flexibilidad Empresarial........................................................... 16 1.3.2 El punto de vista de las opciones reales en la valoración de proyectos................. 17 1.3.3 Tipos de opciones reales.......................................................................................... 18 1.3.4 Tipos de riesgos........................................................................................................ 18 1.4 Opciones Reales vs. VAN.................................................................................................. 19 1.4.1 ¿Cuándo valorar con opciones reales?.................................................................... 20 1.5 La importancia de las opciones reales en la valoración de activos empresariales......... 21 1.6 Métodos de valoración de opciones................................................................................. 22 2. El Modelo de Black Scholes Merton................................................................25 2.1 Introducción al parámetro delta (∆)................................................................................ 26 2.1.1 Delta (∆)................................................................................................................... 29 2.1.2 Modelo con tipos de interés.................................................................................... 30 2.2 Conceptos preliminares del modelo de Black Scholes..................................................... 30 2.3 Hipótesis del modelo de Black Scholes............................................................................ 31 2.4 Desarrollo del modelo de Black Scholes........................................................................... 32 2.5 La solución de la ecuación de Black Scholes.................................................................... 33 2.6 La función delta (δ) de Dirac............................................................................................ 34 2.7 La ecuación del calor......................................................................................................... 39 2.8 Transformación en la ecuación del calor......................................................................... 43 2.9 Interpretación de la ecuación de Black Scholes............................................................... 46 2.10 Interpretación de los parámetros d1 y d2..................................................................... 47 2.11 Sobre el método de Black Scholes y las Opciones Reales.............................................. 49 2.12 Ejemplo de valoración de opciones reales por el método de Black Scholes................. 50

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3. Otros Métodos de Valoración de Opciones Reales...........................................53 3.1 El método binomial de valoración de opciones reales..................................................... 53 3.2 Proceso de valoración con el método binomial............................................................... 54 3.3 Valoración con el método binomial cuando existen riesgos privados............................ 56 3.3.1 Cálculo de la volatilidad del proyecto...................................................................... 57 3.4 Valoración mediante simulación de Montecarlo............................................................. 58 3.4.1 Ejemplo de valoración con simulación de Montecarlo........................................... 59 3.5 Valoración de opciones reales americanas....................................................................... 60

4. Simulación de Procesos Estocásticos..............................................................67 4.1 Sobre la modelización....................................................................................................... 68 4.2 Movimiento aritmético Browniano................................................................................. 68 4.2.1 Limitaciones del movimiento aritmético Browniano............................................ 70 4.3 Movimiento geométrico Browniano................................................................................ 70 4.3.1 Ventajas del movimiento geométrico Browniano.................................................. 72 4.4 Modelos de reversión a la media...................................................................................... 73 4.4.1 Modelo de reversión a la media para tipos de interés............................................ 78 4.5 Modelo de reversión a la media con saltos...................................................................... 79 4.6 Cálculo de parámetros para la simulación de procesos de reversión a la media con saltos......81 4.6.1 Rendimiento, media, desviación típica................................................................... 82 4.6.2 Cálculo de los parámetros de reversión a la media................................................. 83 4.6.3 Estimación de la distribución de los saltos............................................................. 85 4.6.3.1 Parametrización de los saltos según una distribución exponencial............. 86 4.7 Simulación del movimiento con reversión a la media y saltos....................................... 88 4.8 Simulación de procesos correlacionados......................................................................... 91 4.8.1 Descomposición de Cholesky.................................................................................. 92 4.8.2 Copulas..................................................................................................................... 94 4.8.3 Ejemplo de generación de copula............................................................................ 97 4.9 La problemática de estimación de la volatilidad en el caso de las opciones reales...... 102 4.9.1 El concepto de volatilidad...................................................................................... 102 4.9.2 La estimación de la volatilidad. Los conceptos de volatilidad histórica, volatilidad implícita y volatilidad futura.............................................................. 105 4.9.3 La volatilidad en el caso de las opciones reales.................................................... 107 4.9.4 La información obtenida a partir de la opinión de expertos............................... 110

5. Valoración de un Parque Eólico con Opciones Reales....................................113 5.1 Introducción.................................................................................................................... 113 5.2 Justificación de la elección de valoración con Opciones Reales................................... 115 5.3 Descripción del proyecto................................................................................................ 115 5.4 Tipos de Opciones Reales en el proyecto analizado...................................................... 117 5.5 Cálculo de la volatilidad del proyecto............................................................................. 118

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5.6 Modelización de las incertidumbres del proyecto......................................................... 119 5.7 Datos necesarios para la valoración............................................................................... 121 5.8 Fases del método binomial de valoración de opciones compuestas con riesgo privado.... 121 5.8.1 Regla de maximización.......................................................................................... 122 5.9 Cálculo de los parámetros binomiales........................................................................... 123 5.10 Aplicación del modelo binomial al proyecto................................................................ 123 5.11 Comparación Opciones Reales VAN............................................................................ 124 5.12 Conclusiones................................................................................................................. 125

6. Valoración de la Opción de Ampliación de una Mina de Cobre.......................127 6.1 Introducción.................................................................................................................... 127 6.1.1 Modelos de precios para materias primas............................................................ 128 6.1.2 Modelos de opciones reales................................................................................... 128 6.2 El Proyecto Minero......................................................................................................... 129 6.2.1 VAN del proyecto................................................................................................... 129 6.2.2 Análisis con opciones reales.................................................................................. 130 6.3 Cálculo de los parámetros del modelo de simulación de reversión a la media con saltos del cobre y del molibdeno............................................................................. 131 6.4 Modelo de tipo de cambio Peso/Dólar........................................................................... 131 6.5 Correlación de los precios del cobre, molibdeno y del tipo de cambio peso dólar…….... 133 6.5.1 Simulación de las variables correlacionadas......................................................... 134 6.6 Resultados de la simulación de los precios del cobre, molibdeno y tipo de cambio.... 134 6.7 Ley y Recuperación metálicas......................................................................................... 135 6.8 Estructura del modelo.................................................................................................... 136 6.9 Resultados de la valoración............................................................................................ 136 6.9.1 VAN esperados....................................................................................................... 137 6.9.2 Valor de las opciones.............................................................................................. 138 6.10 Resumen del valor del proyecto................................................................................... 139

7. Valoración de la Licencia de Explotación de una Mina de Cobre....................141 7.1 Introducción.................................................................................................................... 141 7.2 Evaluación del proyecto según la fórmula del VAN esperado....................................... 143 7.3 Evaluación del proyecto por Opciones Reales............................................................... 144 7.3.1 Modelo de precios del cobre.................................................................................. 144 7.3.2 Cálculo de la volatilidad del proyecto.................................................................... 144 7.3.3 Desarrollo binomial............................................................................................... 146 7.3.4 Valor de la opción en cada fase............................................................................ ..147

8. Valoración de garantías de valor residual en la industria aeronáutica...........149 8.1 Introducción a las garantías de valor residual............................................................... 150

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8.2 Tipología de garantías de valor residual........................................................................ 154 8.3 Opciones reales en el contexto de la financiación aeronáutica.................................... 157 8.4 Características de las aeronaves..................................................................................... 161 8.4.1 Mercado de aeronaves............................................................................................ 161 8.4.2 Valor fundamental................................................................................................. 163 8.4.3 Fuentes de información......................................................................................... 165 8.5 Valoración de las garantías de valor residual................................................................. 166 8.5.1 Aproximación empírica.......................................................................................... 166 8.5.2 Simulación de Monte Carlo................................................................................... 170 8.5.3 Valoración de garantías de valor residual............................................................. 172 8.5.4 Opción de compra a precio fijo incluida en ua financiación aeronáutica............ 173 8.5.5 Garantía de valor residual parcial(bull spread europeo)...................................... 174 8.5.6 Opción europea as you like it................................................................................ 175 8.5.7 Cartera de garantías de valor residual total.......................................................... 176 8.5.8 Cartera de opciones de compra a precio fijo incluidas en una financiación aeronáutica............................................................................................................. 177 8.5.9 Cartera de opciones as you like it.......................................................................... 177 8.5.10 Full First Loss Deficiency Guarantee.................................................................. 178 8.5.11 Opción de compra en un contexto Full First Deficiency Guarantee................. 178 8.5.12 Opción as you like it en un contexto Full First Deficiency Guarantee.............. 179 8.5.13 Partial First Loss Deficiency Guarantee............................................................. 180 8.6 Aplicación y contraste del modelo................................................................................. 180 8.6.1 Inputs del modelo.................................................................................................. 180 8.6.2 Contraste del modelo............................................................................................. 182 8.7 Consideraciones finales del capítulo.............................................................................. 186

9. Valoración de acciones tecnológicas.............................................................187 9.1 Introducción.................................................................................................................... 187 9.2 Soluciones de valoración................................................................................................. 188 9.3 Opciones reales y valoración de acciones de crecimiento............................................. 189 9.3.1 Descripción del modelo de Schwartz y Moon....................................................... 190 9.3.2 Una aplicación práctica: análisis del sector europeo de INTERNET................... 193 9.3.3 Análisis de la empresa TERRA............................................................................... 198 9.3.4 Análisis de la empresa TISCALI............................................................................. 200 9.3.5 Análisis de la empresas T-ONLINE....................................................................... 202 9.4 Conclusiones del capítulo............................................................................................... 206

Bibliografía ...................................................................................................209

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OPCIONES REALES

En el presente capítulo comenzamos definiendo el concepto de opción, para acto seguido continuar con la definición de opción real, su tipología y su relación con el Valora Actual Neto (VAN en adelante). Definimos en qué condiciones es posible aplicar la metodología de valoración de opciones financieras para activos reales. Finalizando con una breve descripción de los métodos de valoración que trataremos en detalle en los capítulos siguientes.

1.1 Sobre la comprensión del concepto de Opción Financiera Como primera premisa para la correcta comprensión y aplicación de la metodología de valoración con opciones reales, es totalmente necesario el comprender de una forma clara el concepto de opción financiera, sus aplicaciones y sus métodos de valoración. Para los que necesiten mejorar su comprensión de estas es recomendable empezar por algún texto enfocado directamente a opciones financieras como Lamothe y Pérez Somalo (2006), McDonald (2009) o Hull (2003) No obstante en este texto intentaremos explicar de forma clara y concisa los principales conceptos del valor de las opciones financieras y de sus métodos de valoración, aunque enfocadas principalmente a la valoración de activos y proyectos reales. — 13 —

1.2 Opciones Financieras En el entorno financiero definimos opción como el derecho, pero no la obligación, a comprar o vender un activo S a un precio pactado K durante un periodo de tiempo específico t. Definimos como precio de ejercicio K al precio al que podemos ejercer nuestro derecho. El precio del subyacente S, es el precio de mercado del activo en el momento de ejercer nuestra opción. Y como prima de la opción el coste que pagamos por adquirir nuestro derecho de compra o venta. Dependiendo cuando se pueda ejercer la opción hablaremos de opciones europeas, que sólo se pueden ejercer en un único momento a su vencimiento, es decir, cuando se cumple el periodo de tiempo pactado. O bien opciones americanas que se pueden ejercer en cualquier momento desde el momento de la firma hasta el vencimiento. Podemos identificar matemáticamente las variables que intervienen en el valor de una opción F: (1.1) Donde St sigue un movimiento geométrico Browniano, según el modelo de Black-Scholes(1973). Con lo cual, el valor de F dependerá del tiempo t y el valor del activo S del cual es derivado F. A su vez St es una función del tiempo y de un movimiento Browniano:

(1.2) Por lo que podemos observar el valor en cualquier momento de una opción será la comparación entre el valor del activo subyacente S y del precio de compra o de venta K al que podemos ejercer nuestro derecho actualizado a la tasa libre de riesgo:





(1.3)

1.2.1 Tipos de opciones Dentro de los Mercados Financieros existen dos tipos básicos de opciones, que son las opciones de compra (call) y las opciones de venta (put). Opciones de Compra, Opción Call.

Su posesión nos da el derecho a comprar un determinado activo al precio de ejercicio K, durante un determinado tiempo o con un determinado vencimiento t, independientemente del precio del subyacente en el mercado S. Al vencimiento de la opción elegiremos entre:



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(1.4)

Es decir, si el precio de mercado es superior al precio de compra pactado, ejerceremos la opción y compraremos el activo generando un ingreso por la diferencia entre el precio del mercado y el precio de ejercicio. En el caso de que el precio de mercado sea inferior al precio de compra pactado, no ejerceremos la opción con lo cual su valor será de 0. Opciones de Venta, Opción Put.

Su posesión nos da el derecho a vender un activo al precio de ejercicio pactado K, durante un tiempo o en un vencimiento t independientemente del precio que el activo S tenga en el mercado del subyacente. La regla de optimización en este caso es: (1.5) Por lo que si el precio de mercado del activo en el momento del vencimiento es inferior al precio de venta pactado, ejerceremos la opción generando un ingreso por la diferencia entre el precio de ejercicio K y el precio del subyacente S. Como ejemplo, supongamos que adquirimos a 0,5€ una opción de compra de una acción de Repsol al precio de 25€, si al vencimiento, el precio de mercado es 26€, ejerceremos la opción y compraremos a 25€ un activo que vale 26€, habiendo ganado 1€ por cada acción, al que hemos de descontar los 0,5€ que nos ha costado la prima de la opción, por lo tanto el saldo final será de una ganancia de 0,5€ por acción. En el caso de que al vencimiento el valor de la acción sea de 24€, no ejerceremos nuestra opción que tendrá un valor 0 y habremos perdido el valor de la prima pagada de 0,5€ por adquirir nuestro derecho.

1.2.2 Clasificación de las opciones según el valor de compra/venta respecto al subyacente Opción “In the Money”, es decir opción dentro de dinero, son aquellas en las que por la diferencia entre precio de ejercicio y precio del subyacente, ejerceríamos la opción. Opción “At the Money”, en este caso el precio de ejercicio es igual al precio del subyacente. Opción “Out of the Money”, aquellas en las que el no ejerceríamos la opción ya que la diferencia entre precio de ejercicio y precio del subyacente nos es desfavorable.

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1.3 Opciones reales La primera ocasión en la literatura en la que surge el término opciones reales es en Myers (1976), surge del hecho de establecer el paralelismo entre una opción financiera y un proyecto de inversión. Definimos una opción real como el derecho a realizar, ampliar o a abandonar una inversión. El valor presente de los flujos de caja futuros del proyecto se equipara con el valor del activo subyacente S. La inversión necesaria para poder ejecutar el proyecto se equipara con el precio de ejercicio K de la opción. Al igual que en las opciones financieras también existe un tiempo t hasta el vencimiento, ya que las oportunidades de inversión no tienen tiempo ilimitado y también una volatilidad σ o variabilidad de los posibles flujos de caja generados por el proyecto. Desde esta primera alusión al concepto de opción real de Myers (1976) y Brealey y Myers (1984) numerosos autores se han interesado por el tema, entre los que destacan los libros de Dixit y Pindyck, (1994), Trigeorgis (1996), Amram y Kulatilaka (1999), Copeland y Antikarov (2001), Schwartz y Trigeorgis (2001) y Mascareñas, Lamothe, Lopez y Luna (2004). Por otro lado, se han escrito numerosos artículos en revistas científicas entre los que destacan los de Brennan y Schwartz (1985), McDonald y Siegel (1986), Paddock, Siegel y Smith (1988), Gibson y Schwartz (1990), E.S Smith y Nau (1995), Cortazar y Schwartz (1997), Schwartz y Moon (2001), Cortazar, Gravet y Urzua, (2006) y Lamothe y Méndez (2007). 1.3.1 Opciones Reales y Flexibilidad Empresarial Antes de describir los distintos tipos de opciones reales, es necesario establecer una relación entre estas y el concepto de flexibilidad empresarial. Al realizar un análisis con opciones reales lo que valoramos es el valor de la flexibilidad en la toma de decisiones empresariales, es decir el valor de poder tomar decisiones que modifiquen en todo o en parte el proyecto. Siempre que exista flexibilidad a la hora de elegir distintas vías, existirán opciones reales, algunas con más valor que otras. En el caso de inversiones o proyectos donde no exista esta flexibilidad operativa, no existirán opciones reales y no aportarán valor.

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1.3.2 El punto de vista de las opciones reales en la valoración de proyectos La visión tradicional de la valoración de empresas sólo considera para estimar el valor de una compañía o proyecto los flujos de caja directamente generados o a generar por dicha compañía y/o proyecto. Este enfoque supone subestimar el valor de las empresas y proyectos al no considerar cuestiones como las siguientes: 1. En muchos casos, la realización de un proyecto de inversión supone la adquisición de oportunidades de crecimiento futuro en mercados/productos relacionados. Como señalan Grimblatt y Titman (2003), “las nuevas oportunidades que se le presentan a la empresa son a menudo fruto de la información y de relaciones desarrolladas en el curso de los proyectos de inversión adoptados en el pasado. Por ello, las empresas deberían evaluar un proyecto de inversión teniendo en cuenta no sólo los flujos de caja directos que él mismo produce, sino también su potencial para generar información relevante y para desarrollar relaciones valiosas”. Estas oportunidades de crecimiento y/o de desarrollar relaciones valiosas, en la literatura financiera se denominan opciones de crecimiento y opciones de aprendizaje y son un tipo de opciones reales que debemos considerar al valorar una empresa, negocio o proyecto de inversión en concreto. 2. En otros casos, la empresa o proyecto de inversión incorpora opciones reales de flexibilidad, como por ejemplo, opciones de intercambio de unos insumos o materias primas por otros y/u opciones de salida o desinversión sobre la totalidad y/o parte de la empresa. Evidentemente estas opciones también tienen un valor, que como veremos a continuación, crece con el nivel de incertidumbre al que se ve expuesta la empresa objeto de estudio y también las debemos considerar de algún modo en el momento de estimar el valor de una empresa o al evaluar la viabilidad de un proyecto de inversión. 3. En casos de oportunidades de inversión que impliquen un desembolso secuencial hasta poder acometer el proyecto definitivo, como puede ser la inversión en proyectos de I+D, caracterizados por el cumplimiento de hitos a lo largo del proyecto de investigación, en los cuales la empresa ha de invertir para poder continuar el proyecto. En estos casos, en cada hito la empresa puede elegir entre desembolsar la cantidad necesaria para continuar o bien abandonar el proyecto en función del resultado final percibido.

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1.3.3 Tipos de opciones reales Las opciones reales que puedan encontrarse en la realidad de las empresas se pueden clasificar en estos tres grupos. 1. Diferir/Aprender. Las opciones de diferir proporcionan al propietario de un proyecto la posibilidad de aplazar su realización durante un plazo determinado de tiempo. Esto permite reducir la incertidumbre asociada al proyecto. A veces, a cambio de un coste determinado, podemos obtener información sobre un producto y/o mercado (opción de aprendizaje). 2. Inversión/Crecimiento/Ampliación. Las opciones de crecimiento asociadas a un proyecto permiten, en determinados plazos, adquirir un parte adicional al mismo a cambio de una inversión incremental. Estas opciones pueden ser de escala o de alcance (apalancarnos en el proyecto para utilizar recursos en otro mercado relacionado). 3. Desinvertir/Reducir. Las opciones de reducir/desinvertir proporcionan la flexibilidad de reducir el tamaño de la inversión y/o abandonar la inversión en determinados momentos de la vida del proyecto, a cambio de un coste bajo de desinversión o abandono. Dentro de esta clasificación, podemos considerar opciones reales simples, en las que sólo existe una fuente de flexibilidad. O bien, opciones reales compuestas, en las que existe más de una fuente de flexibilidad, es decir, es la combinación de varias opciones simples. Y aunque las analizaremos separadamente, en muchos casos estas opciones están interrelacionadas. Combinan varias opciones en una, es el caso de la inversión en un parque eólico en la que podemos decidir si invertir o no en la siguiente fase del proyecto (opción de compra europea) y donde en cualquier momento podemos decidir abandonar el proyecto, (opción de venta americana). En este tipo de opciones, también podemos combinar los riesgos privados provocados por las probabilidades de éxito de los distintos hitos del proyecto. 1.3.4 Tipos de riesgos Dentro de los proyectos empresariales existen dos tipos de riesgos: • Riesgos de Mercado: Es decir, los que están correlacionados con la cartera de mercado y se pueden medir a través del modelo del CAPM a través del coeficiente β. Este tipo de riesgos no se pueden eliminar con la diversificación y afectan al mercado en su conjunto. Dentro de estos riesgos, entrarían los precios de los — 18 —

factores, tipos de interés, tipos de cambio, situación de la economía en su conjunto, entre otros. Este tipo de riesgos pueden ir a favor o en contra del proyecto, en función de que la situación de mercado nos favorezca o no. • Riesgos Privados: Son riesgos inherentes a cada proyecto, que dependen exclusivamente de éste y cuya correlación con el mercado es 0. Podríamos entender que son los riesgos que el modelo del CAPM excluye explícitamente y considera como diversificables, pero que dentro de la valoración de nuestro proyecto no podemos dejar de tener en cuenta. Dentro de esta categoría podrían entrar las posibilidades de éxito en un proceso de desarrollo en I+D, las probabilidades de encontrar agua en una explotación petrolífera, y todos los que los especialistas que evalúan el proyecto puedan identificar. La única forma de incluir estos riesgos en la valoración, es la de introducir unas probabilidades de éxito o fracaso, existiendo diversas técnicas para hacerlo, una de las cuales veremos más adelante.

1.4 Opciones Reales vs. VAN El objetivo de esta comparación es comprender que el VAN es un caso particular de la regla de optimización de las opciones reales, ya que en el caso de una inversión inmediata, o bien una inversión en la que no exista flexibilidad operativa los resultados de la valoración por ambos métodos son los mismos. Dado el paralelismo entre opciones financieras y opciones reales, podemos observar la siguiente regla de optimización para su valoración: Tabla 1-1. Reglas de decisión para opciones reales. Opción real de compra:

Max(Valor Presente – Inversión; 0)

Opción real de venta:

Max(Inversión – Valor Presente; 0)

Si observamos las reglas de la Tabla 1-1 para una opción real de compra, partiendo de que la decisión de inversión es inmediata o sin flexibilidad, nos encontramos con que la fórmula es exactamente igual a la que se usa en el Valor Actual Neto (VAN), donde: VAN =Max (Valor Presente Flujos de Caja esperados – Inversión; 0)

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En este caso, la regla de decisión nos indica que si el VAN es positivo acometeremos la inversión, si es negativo no acometeremos el proyecto. 1.4.1 ¿Cuándo valorar con opciones reales? Las opciones reales sólo serán aplicables cuando el proyecto a analizar tenga varias características: 1. Exista un espacio temporal, donde se puedan alterar las características del proyecto, entre la decisión de inversión y el desembolso de la inversión. Si no existe esta distancia temporal la regla será igual a la del VAN. 2. El valor de la inversión a realizar hasta el desembolso final que iniciará el proyecto sea menor a éste. Podemos ir haciendo una inversión secuencial que será el equivalente a comprar la opción en cada fase, e ir desarrollando el proyecto. La decisión de inversión final tendrá las mismas reglas que el VAN. 3. El valor presente de los flujos de caja este sujeto a volatilidad. En el caso de que la volatilidad sea 0, la valoración con opciones nos daría el mismo resultado que la valoración usando el VAN. La volatilidad aporta valor, ya que siguiendo la regla de decisión max(S – K;0) cuando el valor es menor que 0 no lo tenemos en cuenta dado que no acometeríamos la inversión, en cambio, cuando debido a la volatilidad los valores presentes esperados aumentan la valoración lo refleja. En el caso de opciones de venta o desinversión, el valor que recoge la opción normalmente es el de evitar la pérdida incurrida en el caso de que continuemos con la inversión. En algunos casos si existe un valor residual de los activos hasta el momento de la desinversión este puede sumarse a la menos pérdida por haber abandonado el proyecto. En resumen, los tipos de proyectos en los que se suelen utilizar opciones reales son: • Materias primas: Paddock, Siegel y Smith (1988) o bien Cortazar y Schwartz (1997) • Biotecnología y Farmacia: Schwartz (2004) • Energías alternativas: Lamothe y Méndez (2007) En general son proyectos secuenciales donde la decisión de invertir la mayor parte de los fondos dedicados al proyecto se realiza en un periodo posterior a la decisión de invertir o no en el proyecto. Debido a esta distancia temporal, los proyectos están sujetos a incertidumbre en algunos casos, sólo de mercado, en otros casos técnica y de mercado. — 20 —

1.5 La importancia de las opciones reales en la valoración de activos empresariales Como hemos comentado, la visión tradicional de la valoración de empresas sólo considera para estimar el valor de una compañía o negocio a los flujos de caja directamente generados o a generar por dicha compañía y/o negocio. Este enfoque minusvalora los activos y empresas que tengan flexibilidad operativa y estratégica y/o opciones de crecimiento. Este sesgo lo solucionamos a través del enfoque de opciones reales. Las opciones reales, como indica Mauboussin (1999) son especialmente importantes en las empresas que reúnen las siguientes características: • Directivos inteligentes, en cuanto a su reputación, capacidad de acceso al capital, comprensión de la opcionalidad, etc. Estos directivos saben identificar y crear opciones reales valiosas en contraste con directivos con un enfoque tradicional sólo preocupados de mantener el “status quo” o maximizar los beneficios contables a corto plazo. • Empresas líderes en su mercado, con gran capacidad de aprovechar economías de escala, economías de alcance, etc. • Mercados con un alto nivel de incertidumbre como son los englobados en la “Nueva Economía”, como empresas tecnológicas, biotecnología, etc. Tal como plantean Amram y Kulatilaka (2000), “desde el punto de vista tradicional, cuanto mayor es el nivel de incertidumbre, menor es el valor del activo. El punto de vista de las opciones reales, demuestra que una mayor incertidumbre puede provocar un valor superior del activo si los directivos logran identificar y utilizar sus opciones para responder con flexibilidad al desarrollo de los acontecimientos”. FIGURA 1.1.LA INCERTIDUMBRE Figura 1-1. La incertidumbre incrementaINCREMENTA el valor EL VALOR

Punto de vista de las opciones reales valor

La gestión de las opciones incrementa su valor

Punto de vista tradicional Incertidumbre Fuente:Amran,Kulatilaka(2000)

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Desde un punto de vista gráfico, en la figura 1.1, se expone cómo la incertidumbre puede provocar un incremento del valor. El problema está en que los valores futuros de las acciones con un mayor peso de las opciones reales como las tecnológicas, se encuentra en rangos muy amplios. Como indican los citados autores, nos enfrentamos a un “cono de incertidumbre” que debemos intentar valorar. 1.2. EL CONO DE INCERTIDUMBRE Figura 1-2. El cono de FIGURA incertidumbre

Posibles valores futuros

MAXIMO

Rango de posibles valores futuros

$1M MINIMO

Hoy

Tiempo

Dos años

Fuente:Amran,Kulatilaka(2000)

Si nos centramos, por ejemplo en las acciones de las empresas de internet a finales de los noventa, éstas podían tener un valor muy pequeño si dichos portales se convertían en algo análogo a las autopistas de peaje o podían tener un gran valor si sabían apropiarse de parte de los beneficios del tráfico económico que se iba a generar a través de los mismos. El éxito de GOOGLE demuestra que era posible generar un importante valor explotando mecanismos de búsqueda y acceso a INTERNET. No obstante muchas de estas empresas (LYCOS, GO.COM, etc.) fracasaron. En cualquier caso, se necesita una metodología de valoración de las opciones reales, en particular de las opciones de crecimiento que ofrecen las acciones de muchas empresas.

1.6 Métodos de valoración de opciones Básicamente existen cuatro métodos de valoración de opciones: 1. Black Scholes (1973), el primer método y más comúnmente utilizado para la valoración de opciones financieras. A pesar de que debido a sus hipótesis de partida es poco utilizado en la valoración de opciones reales, es el germen de la valoración de derechos contingentes y lo trataremos en detalle en la próxima sección. — 22 —

2. Binomial, desarrollado por Cox, Ross y Rubinstein (1979) es muy usado en la valoración de opciones reales debido a su versatilidad, simpleza y fácil adaptación a los activos reales. 3. Simulación de Montecarlo, es otro de los métodos más comúnmente utilizados ya que permite simular todo el proyecto empresarial partiendo de los datos estimados. 4. Método de Longstaff y Schwartz (2001) para la valoración de opciones americanas. Este sistema junto a los de simulación de Montecarlo resulta muy eficaz para la valoración en especial de las opciones de abandono. La elección de cualquiera de estos métodos de valoración dependerá exclusivamente de las características del proyecto, dado que existe convergencia de valor entre ellos

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El Modelo de Black Scholes Merton

El modelo de Black Scholes (1973) y Merton (1973) (en adelante modelo de Black Scholes) es la piedra angular en la teoría de opciones, dado que por un lado consigue obtener una fórmula para poder calcular el valor de las opciones, y por el otro, su desarrollo e interpretación permiten comprender las fuentes de valor de las opciones. Este modelo no suele ser el más usado para valorar opciones reales, dada la mayor versatilidad de los modelos binomial y de simulación para los proyectos de activos reales, pero es muy recomendable su análisis, estudio y correcta comprensión dado que nos permitirá tener una lógica que resultará muy útil a la hora de evaluar la posible valoración de los proyectos bajo el punto de vista de las opciones reales. Para el desarrollo inicial del modelo seguimos el planteamiento de Hull (2005). Una vez planteada la ecuación diferencial, hemos elegido una de las soluciones que brinda Leger (2006) por su claridad en la explicación de cómo transformar la ecuación de Black Scholes en la ecuación del calor y de cómo volver a transformar su solución a los parámetros iniciales.

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2.1 Introducción al parámetro delta (∆) Como primer paso para el desarrollo del modelo de Black Scholes, necesitamos comprender el parámetro delta, que como veremos más adelante, relaciona la variación del valor de una opción al variar el valor del activo subyacente. Partimos de un ejemplo sencillo en el que analizamos la variación del valor de un activo en un periodo, sabiendo los posibles valores que puede tomar y las probabilidades de cada valor. Los tipos de interés son 0. Solo existen dos posibles activos para invertir, que son los siguientes: 1. Una mina de cobre representada por una acción, entendiendo acción como el valor presente de los flujos de caja del proyecto. Podemos observar el paralelismo entre una opción financiera sobre una acción y una opción real representada por el valor actual de los flujos de caja de un proyecto. El valor del proyecto minero depende directamente del precio del cobre en el mercado mundial. Con lo cual las variaciones de este precio serán la clave del valor de la mina. Si los costes totales unitarios de la mina son mayores que el precio unitario de venta, la mina valdrá 0 ya que no extraeremos el mineral. Si los costes totales unitarios de la mina son menores que el precio unitario de venta la mina valdrá el valor presente de los flujos de caja de la diferencia, hasta el agotamiento de la veta de mineral. 2. Una opción de compra sobre este proyecto. Esta opción puede ser un título valor para comprar la mina o bien desde el punto de vista de las opciones reales una licencia para poder extraer el mineral. Evaluamos el proyecto en un periodo de tiempo de un día. Debido a la volatilidad de los mercados internacionales de cobre y partiendo de unos costes de extracción fijos, el proyecto minero puede tomar dos posibles valores ilustrados en la Figura 2-1.

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Figura 2-1. Posible valor del proyecto después de un día.

Si no existiera volatilidad en el mercado del cobre, los valores esperados del proyecto transcurrido un día serían de 100 en vez de 101 si sube el precio del cobre o 99 si baja. En el caso de que el nivel de volatilidad fuera mayor, los valores podrían ser, por ejemplo, 110 y 90. La idea que subyace, es que la única fuente de variabilidad en el modelo es la volatilidad del precio del cobre. Si analizamos las probabilidades de que se den los dos nuevos valores, el valor de 101 es más probable, lo que implicaría que hay una cierta deriva hacia la revalorización. Por tanto, podemos observar que el modelo contiene los conceptos de crecimiento o rentabilidad y desviación estándar. Hoy tenemos la opción (que expira mañana), de comprar el proyecto minero a un precio de 100. En caso de que el activo se revalorice a 101, la ganancia por la opción de compra será de: (2.1) Y en caso de que el activo se deprecie a 99, la ganancia por la opción de compra será:



Que gráficamente sería:

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(2.2)

Figura 2-2. Pérdidas o ganancias en producidas por la opción de compra.

¿Cuál será el valor de la opción? sabiendo que los tipos de interés son 0 y que tenemos una probabilidad de 0.6 de obtener una ganancia de 1 y una probabilidad de 0.4 de obtener una ganancia de 0. Una primera respuesta teniendo en cuenta las probabilidades nos diría que el valor de la opción es de: (2.3) Sin embargo, vamos a comprobar que esta no es la respuesta correcta. Para ello crearemos una cartera compuesta de una opción de compra y la venta de ½ del proyecto. Con lo cual el valor de la cartera hoy sería:



Siendo Opción el valor que queremos averiguar. El valor de la cartera mañana sería: Figura 2-3. Valor de la cartera después de un periodo.

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(2.4)

En ambos casos el valor de la cartera es de -½99, es decir, nuestra cartera tendrá el mismo valor independientemente que el mercado suba o baje. Hemos construido una cartera libre de riesgo, o neutral al riesgo, dado que nos resulta indiferente la variación de los precios del mercado. Dado que los tipos de interés son cero, -½99 tiene el mismo valor mañana que hoy. Con lo cual: (2.5)

Podemos observar, que para valorar la opción no hemos necesitado las probabilidades de subida o bajada, lo cual implica que el valor de la opción es independiente del rendimiento esperado del activo y que la única variable de la que depende es la volatilidad que hará que se amplié o se reduzca el rango de valores que pueda tomar el activo. Este hecho se debe a que hemos realizado una cobertura del valor del activo mediante la opción. 2.1.1 Delta (∆) Para simbolizar la cantidad de activo que tenemos que vender para realizar la cobertura anterior utilizamos el símbolo ∆. Partiendo de una opción y –∆ del activo obtenemos un valor de la cartera de:



(2.6)

Mañana la cartera tendrá un valor de:



(2.7)



(2.8)

Si el activo se revaloriza. O:

Si el activo se deprecia. Como ambos valores tienen que ser igual a podemos hacer un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: (2.9)



Con lo que si despejamos ∆, esta queda ∆ = ½. Consideramos ∆ como el ratio de cobertura o la cantidad de activo que tenemos que vender (en este caso) para estar en una posición neutral al — 29 —

X. Resultado de la matriz tiempo / Volatilidad a largo plazo de la tasa de crecimiento de las ventas.

9.3.5 Análisis de la empresa T-ONLINE: I. Resultado de la matriz tipo de interés / dotaciones a la amortización.

II. Resultado de la matriz COGs / SGAs.

III. Resultado de la matriz Marketing / Tasa a largo plazo de crecimiento de las ventas.

IV. Resultado de la matriz Volatilidad inicial de las ventas / Tasa inicial esperada de crecimiento de las ventas.

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V. Resultado de la matriz Volatilidad a largo plazo de la tasa de crecimiento de las ventas / Tasa a largo plazo de crecimiento de las ventas.

VI. Resultado de la matriz velocidad de ajuste para la volatilidad del proceso de ventas / Velocidad de ajuste para la volatilidad de la tasa de crecimiento del proceso.

VII. Resultado de la matriz del precio del riesgo de mercado para la tasa esperada de crecimiento de las ventas / Precio del riesgo de mercado de las ventas.

VIII. Resultado de la matriz tiempo / tipo de interés.

IX. Resultado de la matriz tiempo / Tasa a largo plazo de crecimiento de las ventas.

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X. Resultado de la matriz tiempo / Volatilidad a largo plazo de la tasa de crecimiento de las ventas.

Por otro lado realizamos una aplicación del modelo de valoración de carácter dinámico utilizándolo de forma continua en el periodo 2000-2003. En la figura 9.3 podemos observar como el modelo “anticipa” bastante bien la evolución en el mercado de la cotización de TERRA. Figura 9-3 Valoración de Terra y evolución de su cotización

Observamos cómo durante el año 2000, los inversores “inflaron” la cotización de esta sociedad asignándole un valor muy superior al que le correspondía bajo un modelo de valoración digamos “racional”. A partir del primer trimestre de 2001, la cotización del mercado y el valor obtenido por el modelo de Schwartz y Moon comienzan a converger. En el caso de la empresa alemana T-ONLINE como se puede apreciar en la figura 9.4 la convergencia fue más lenta en el tiempo ya que no se verifica hasta el último trimestre de 2002.

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Figura 9-4 Valoración de T- ONLINE y evolución de su cotización

Finalmente, en el caso de la empresa Italiana TISCALI el valor en términos de opciones reales fue próximo a cero hasta el primer trimestre del 2001 y también se produce convergencia en 2002. Figura 9.5 Valoración de TISCALI y evolución de su cotización

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9.4 Conclusiones del capítulo. En este capítulo hemos mostrado las posibilidades que ofrece el enfoque de Opciones Reales para valorar acciones en nuevos sectores económicos para los que no existe información que nos permita aplicar estimaciones razonables de cara a utilizar los métodos convencionales financieros. Una de las conclusiones más claras una vez valorada cada una de las empresas es que no se debería hablar de precios objetivos como tales, de acuerdo a la metodología clásica de descuento de flujos de caja. Esto es debido a la tremenda sensibilidad a los parámetros analizados. Por ello preferimos hablar de “precios de referencia” hacia donde converge la valoración de las acciones del sector portales de Internet con el modelo de Schwartz y Moon(2001). Una primera cuestión a destacar es que no hay grandes discrepancias entre los valores estimados según el método del multiplicador de los visitantes únicos y el modelo basado en opciones reales que siempre refleja un mayor valor para las hipótesis centrales de aplicación del modelo. Podemos pensar que los mercados , con procedimientos menos sofisticados que el modelo aplicado, realizan una valoración ajustada de las opciones de crecimiento que hay en este sector. Así el valor central obtenido para TERRA, 7,86 euros está próximo al valor según MVU,6,59 euros ,lo mismo sucede con TISCALI(17,59 euros en comparación con 15,71 euros) y T-ON LINE(11,82 euros frente a 9,46 euros). Por otra parte observamos que el modelo utilizado de valoración mediante el enfoque de opciones reales habría permitido grandes beneficios adoptando posiciones “cortas” en las acciones analizadas por la “sobrevaloración” que presentaban las mismas en relación a su valor fundamental en los años 2000 y 2001. Es evidente que la utilización de este tipo de modelos habría permitido a un inversor no sufrir los perjuicios derivados de la explosión de la burbuja de las “punto.com” en el año 2001. Otras conclusiones relevantes del análisis son las siguientes: a) Las empresas de Internet son muy sensibles a variaciones de los parámetros relativos a volatilidad a largo plazo de la tasa de crecimiento de las ventas y de la tasa a largo plazo de crecimiento de las ventas. b) Las variables relativas a procesos de ajuste tanto para la volatilidad de la tasa de crecimiento como del proceso de crecimiento de las ventas son variables poco sensibles en términos de incidencia en el precio de las acciones. b) Las velocidades de ajuste afectan positivamente al precio de la acción, ya que cuanto antes alcance la empresa la media del sector esta se habrá consolidado. c) Adicionalmente, parámetros como la volatilidad, el tiempo, el tipo de interés, etc. afectan al precio de la acción igual que afectan a las primas de las opciones financieras. — 206 —

En nuestra opinión, los resultados obtenidos son interesantes y estimulan a continuar con el desarrollo de estos modelos basándose en hipótesis más realistas. Por otra parte, la inexistencia de sesgos sistemáticos de valoración permite aventurar la gran utilidad que podrán proporcionar los modelos basados en esta metodología en la valoración de empresas no cotizadas y proyectos de capital riesgo ligados a Internet. Adicionalmente, los resultados expuestos en el capítulo nos muestran las ventajas que pueden obtener los inversores si se anticipan al resto del mercado investigando modelos de valoración más apropiados para las empresas de nuevos sectores económicos cuyos flujos de caja son impredecibles por técnicas convencionales. Estamos convencidos de que en la “ciencia” o “arte” de la valoración de empresas se irán imponiendo este tipo de modelos cuando nos enfrentamos a empresas cuyo valor depende en gran medida del precio que asignemos a sus opciones de crecimiento.

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