Opciones parisinas. Definici´ on y valoraci´ on John Freddy Moreno Trujillo* Docente investigador de la Facultad de Finanzas, Gobierno y Relaciones Internacionales de la Universidad Externado de Colombia CIPE-ODEON Correo:
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Resumen Las opciones parisinas son un tipo particular de opci´ on barrera, en las que la activaci´ on o desactivaci´ on de la opci´ on no sol´ o est´ a sujeta a que el precio del subyacente alcance y sobrepase un determinado valor umbral, si no que dicho sobrepaso debe ocurrir por un intervalo de tiempo superior a una ventana temporal establecida en la opci´ on. Se han desarrollado fundamentalmente dos metodolog´ıas para la valoraci´ on de estas opciones, el m´etodo de transformada inversa de Laplace y la aproximaci´ on por ecuaciones diferenciales parciales. Este trabajo presenta, entonces, las definiciones b´ asicas relacionadas con este tipo de opciones y caracteriza la valoraci´ on de las mismas por transformada de Laplace. Palabras clave: Valoraci´ on, opciones barrera, opciones parisinas. C´ odigos JEL: C60, C69, G12, Y20. Abstract Parisian options are a particular type of barrier option, where the activation or deactivation option is not only subject to the underlying price reaches and exceeds a certain threshold value, if not that the bypass must occur at an interval of longer than a time window established in the option. Have developed mainly two methods for evaluating these options, the method of inverse Laplace transform and partial differential equations approach. This paper presents the basic definitions related to this type of assessment options and characterized by the same Laplace transform. Keywords: Pricing, barrier options, Parisian options. JEL codes: C60, C69, G12, Y20.
1.
Introducci´ on
El desarrollo que han presentado los mercados financieros alrededor del mundo junto a las cada vez m´ as profundas y complicadas crisis, han despertado el inter´es de un n´ umero cada vez mayor * Matem´ atico
de la Universidad Nacional de Colombia, Magister en Matem´ atica Aplicada de la Universidad Nacional de Colombia, Phd(c) en Econom´ıa de la Universidad del Rosario.
1
de agentes por los derivados financieros, particularmente por las opciones. Las opciones est´ andar otorgan a su poseedor el derecho, mas no la obligaci´ on, de negociar una determinada cantidad de un activo subyacente en una fecha futura preestablecida y por un monto especificado. Las opciones ex´ oticas, dentro de las cuales se encuentran las opciones dependientes de trayectoria, son valoradas en funci´ on del cumplimiento de ciertas condiciones por parte del precio del activo subyacente. Las opciones barrera son un ejemplo de opciones dependientes de trayectoria y como un caso particular de ´estas se encuentran las opciones parisinas. M´ as exactamente las opciones parisinas dan a su poseedor el derecho a comprar (opciones call ) o vender (opciones put), una determinada cantidad de un activo subyacente, por un monto de dinero establecido (precio de ejercicio) si el precio del activo est´ a por arriba (o por abajo) de un cierto precio barrera, m´ as de un cierto tiempo (ventana de la opci´ on), antes de su vencimiento. Se pueden establecer diferentes tipos de opciones parisinas, dependiendo de si la opci´ on se activa (in) o desactiva (out), cuando el precio del activo cruza la barrera y se mantiene arriba (up) o abajo (down) de la misma, un tiempo mayor o igual a de la ventana de la opci´ on. Otra clasificaci´ on de las opciones parisinas se puede establecer de acuerdo con la forma c´ omo se mide el tiempo que el precio del subyacente est´ a por debajo o por encima de la barrera. Cuando el tiempo se empieza a contar desde cero cada vez que el precio del subyacente cruza la barrera, se dice que es una opci´ on parisina continua. Cuando se adicionan los intervalos de tiempo en los que el precio del subyacente cruza la barrera sin volver la cuenta a cero cada vez, se dice que es una opci´ on parisina acumulativa. La distinci´ on entre estos dos tipos es fundamental, dado que plantean cuestiones diferentes acerca de las trayectorias del precio del subyacente, particularmente sobre las trayectorias del movimiento browniano. El problema de la valoraci´ on de este tipo de opciones es abordado en m´ ultiples trabajos, los cuales se han centrado fundamentalmente en dos aproximaciones: la valoraci´ on aplicando transformada de Laplace y la aproximaci´ on por ecuaciones diferenciales parciales. La t´ecnica de transformada de Laplace es introducida por Chesney [1], Schr¨ oder [6] y Hartley [3], y la aproximaci´ on por ecuaciones diferenciales parciales por Haber y otros [2]. En el presente documento se describen la metodolog´ıa de valoraci´ on por transformada de Laplace a partir de estos trabajos y por las publicaciones de Labart y Lelong [4] y Rivera [5].
2.
Valoraci´ on por transformada inversa de Laplace
Para estudiar los modelos de valoraci´ on se parte de asumir que el precio de los activos riesgosos en el mercado satisface la siguiente expresi´ on bajo una medida de riesgo neutral Q. dSt = St [(r − δ)dt + σdWt ]
,
S0 = x
(1)
donde Wt es un movimiento browniano bajo Q, r es la tasa libre de riesgo que se asumir´ a constante, δ es al tasa de dividendos que paga el activo y x > 0 es el valor en t = 0 del activo subyacente a la opci´ on. Se sigue que, σ2 St = x exp (r − δ − )t + σWt (2) 2 e introduciendo las notaciones: 1 m= σ
σ2 r−δ− 2
2
;
1 b = ln σ
L x
donde L es el nivel de barrera o nivel de excursi´ on, se tiene que bajo Q la din´ amica del precio del activo est´ a dada por St = x exp {σ(mt + Wt )}
(3)
Aplicando el teorema de Girzanov introducimos una nueva medida de probabilidad P, bajo la cual Zt = {mt + Wt , 0 ≤ t ≤ T } es un movimiento browniano y
dP dQ
= emZT −
m2 2
T
.
Bajo este cambio el precio del activo puede escribirse como, St = xeσZt
(4)
Por ejemplo, si buscamos determinar el valor de la prima de una opci´ on parisina de compra down and out en t´erminos de la notaci´ on previamente definida, y donde la ventana de la opci´ on es D, utilizamos la notaci´ on: Tb = ´ınf{t > 0|Zt = b}
(5)
gtb = sup{u ≤ t|Zu = b}
(6)
Tb− = ´ınf{t > 0|(t − gtb )1{zt −b} > D}
(7)
La siguiente Figura muestra la posici´ on de estas variables para la trayectoria simulada del movimiento browniano Zt .
Figura 1: Trayectoria del movimiento browniano Zt De este modo, el precio de esta opci´ on en el tiempo t = 0, en un modelo libre de arbitraje y est´ a dado por:
3
h i h i m2 P CDO(x, T ; K, L; r, δ) = e−rT EQ (ST − K)+ 1{T − >T } = e−(r+ 2 )T EP 1{T − >T } (xeσZT − K)+ emZT b
b
(8)
De forma an´ aloga, la f´ ormula de valoraci´ on para una opci´ on parisina de compra down and in es: P CDI(x, T ; K, L; r, δ) = e−(r+
m2 2
)T
h i EP 1{T −
