Números y Acción

CONTENIDO Pág.

Presentación ............................................................... 7 Prólogo ...................................................................... 9 Algunos antecedentes de los libros de Aritmética usados en Venezuela en el período 1826-1969: Descripción de las Aritméticas de Romero y Serrano, de Landáez y de algunos catálogos, Walter Beyer ............................................................... 13 Algunos Malentendidos y Errores en Educación Matemática, Wladimir Serrano Gómez ........................................................ 33 Programa Samuel Robinson va al Liceo: una experiencia de actualización de docentes, Yolanda Serres .............................. 53 Los Ejemplos, Ejercicios, Problemas y Preguntas en los Libros de Texto de Matemática, Ángel Míguez .............................. 67 Explorando la Interpretación de la Probabilidad en Dos Grupos de Estudiantes Universitarios, Audy Salcedo .............................. 79 Las Matemáticas en la Educación Básica: El caso de la Primera Etapa, Julio Mosquera .......................................................... 101 Números y Acción, Luis Millán ............................................... 131 Procesos Cognitivos y Representaciones de Referentes Matemáticos en Niveles Iniciales, María Escalona ............................ 147 Estudio sobre las relaciones entre las concepciones de estudiantes universitarios sobre la recta tangente a una curva y la manera como este tema es tratado en libros de cálculo, Lisset de Gouveia, Liliana Lupo y Julio Mosquera ............................... 163 Acerca de los Autores................................................ 191

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Investigación Venezolana en Educación Matemática

PRÓLOGO En este libro se presentan una serie de artículos donde se reportan trabajos de investigación realizados todos por educadores matemáticos venezolanos. Estos artículos son versiones de trabajos de investigación presentados en el II Simposio Venezolano de Educación Matemática. Todos los trabajos recibidos fueron sometidos a un proceso de arbitraje. Los autores de los trabajos aceptados hicieron modificaciones siguiendo las recomendaciones de los árbitros. Estas nuevas versiones de los trabajos fueron discutidas en el marco del Simposio. Por último, tomando en cuenta las observaciones de los participantes durante las discusiones, los autores produjeron una última versión de sus respectivos trabajos. Esta metodología de arbitraje, revisión, discusión y versión final fue usada por primera vez en Venezuela en el contexto de este simposio. Dada la dinámica de este proceso de producción del artículo final, este libro es muy distinto de lo que tradicionalmente se conoce como memorias de un evento científico. Este libro está formado por nueve artículos de investigación. Tres de estos artículos están referidos a concepciones y procesos cognoscitivos en estudiantes de Educación Básica y de nivel universitario. El trabajo de Salcedo trata sobre la interpretación de la probabilidad por parte de estudiantes universitarios. De Gouveia, Lupo y Mosquera presentaron un trabajo sobre las concepciones de la recta tangente a una curva sostenida por estudiantes de ingeniería y su relación con la manera en que este contenido es presentado en los libros de texto más comúnmente utilizados en nuestras universidades. Escalona se centra en una metódica utilizada para conocer los proceso de aprendizaje de conceptos matemáticos elementales. En conjunto, los resultados de estos trabajos apoyan la idea que los estudiantes se forman concepciones y realizan interpretaciones de diversos procesos y objetos matemáticos de maneras que no necesariamente coin-

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Prólogo

ciden con las del profesor. Esta observación puede ser de mucha utilidad al docente de aula. Ya que la misma le permite organizar la enseñanza, de manera consciente, tomando en cuenta que sus estudiantes llegan al aula con concepciones previas y que estas pueden resultar siendo obstáculos o soporte al aprendizaje de nuevos conceptos y procedimientos matemáticos. Los trabajos de Míguez y Serrano pueden incluirse en el campo de la investigación sobre resolución de problemas. Míguez elabora acerca de la diferencia entre ejemplos, ejercicios, problemas y preguntas en dos libros de texto de Matemática para el 7° Grado de la Educación Básica. Serrano le interesa investigar sobre la diferencia entre malentendidos y errores. En la investigación de Serrano participaron estudiantes de 7° Grado de Educación Básica y profesores en formación en un Instituto Pedagógico en Caracas. Los otros cuatro artículos no pueden ser catalogados bajo una misma categoría. Serres reporta una experiencia en un programa alternativo de admisión a la universidad. Millán presenta una investigación teórica sobre dos concepciones del número, este trabajo forma parte de una investigación más amplia acerca de una definición analítica de la acción. El capítulo de Mosquera está dedicado a un estudio acerca de las matemáticas en la Educación Básica. Este trabajo es un estudio comparativo de los programas de matemática de 1976 y de 1985, respectivamente, para la Primera Etapa de la EB. La investigación reportada por Beyer es de tipo histórico. En este trabajo Beyer nos reporta algunos antecedentes de los libros de aritmética que se usaron en nuestro país entre 1829 y 1969. Esperamos que este libro contribuya a la divulgación de la investigación en educación matemática que se hace en nuestro país. Y que sirva de estímulo a los educadores matemáticos, profesores de matemáticas y profesores en formación para que se interesen cada vez más por la investigación. Interés que se puede manifestar de muchas maneras, entre las cuales encontramos hacer sus propias in-

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vestigaciones, estudiar trabajos de investigación hechos por otros, e interpretar y aplicar los resultados de la investigación a problemas particulares que encontramos en la escuela. Queremos expresar nuestro más sincero agradecimiento a todos los colegas educadores matemáticos que enviaron sus trabajos de investigación al II Simposio y trabajaron arduamente para mejorarlos y producir las versiones que incluimos en este libro. También queremos expresar nuestro agradecimiento a todos y todas que sirvieron de árbitros, su trabajo fue clave para la realización de esta publicación. Por último, damos las gracias al Dr. Manuel Castro Pereira, Vicerrector Académico, y a todo el personal de la Universidad Nacional Abierta y de FUNDAUNA quienes contribuyeron de manera entusiasta y desinteresada en la realización del II Simposio y en la elaboración de este libro.

Ángel Míguez Julio Mosquera Audy Salcedo

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NÚMEROS Y ACCIÓN LUIS MILLÁN

INTRODUCCIÓN El presente escrito forma parte de una investigación más amplia relacionada con una postura epistemológica que pone en el centro del escenario de la adquisición de saberes y conocimientos a la praxis. Tal postura epistemológica asume como primera tesis la identificación de los conceptos: conocimiento y acción, identificación no en el sentido de considerarlos términos ínterdefinibles o intersustituibles, no se pretende “eliminar” sus diferencias mediante la simple traslación del significado de uno de los vocablos al otro, la idea central es destacar del fenómeno de producir conocimiento su esencial y necesaria calidad de praxis. Se conoce solo a través de la acción. Como segunda tesis se entiende a la construcción de la conciencia matemática como enmarcada en un devenir histórico, siendo el caso particular del trabajo que se presenta, la comparación de la concepción operativa de la matemática griega en oposición a la matemática propia de la época moderna, tal oposición “(. . .) podría originarse en una conciencia insuficiente del papel de las operaciones, la que caracterizaría la concepción matemática de los griegos y, desde el siglo XVIII, más bien en una toma de conciencia de los mecanismos operatorios del pensamiento.”(Piaget, 1975, p.242). Tales tesis, la identificación entre conocimiento y praxis, y el recurso a elementos históricos de explicación, involucran, como consecuencia, a un contexto enriquecido de lo social, biológico, histórico, como contexto de posibilidad del fenómeno cognoscitivo. Enmarcado en tal escenario se hallan el sujeto y el objeto, tal dualismo, sencillo dualismo, es un comienzo ontológico suficiente, de manera que se puede acompañar sin problemas lo que, sobre el sujeto y el objeto, dice Porras Rengel: “La distinción entre sujeto y objeto es neta: no ofrece

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lugar a confusión, pues mientras éste se halla bajo la inercia, es decir, no pide en ningún momento ser aprehendido, aquél se encuentra disparado por un impulso natural y espontáneo hacia el objeto”(Porras Rengel, 1976, p.30). Sobre este fondo queda justificado el recurso a referencias históricas para vincularlas con un problema epistemológico que también compete a las áreas de pedagogía y particularmente a la didáctica de las matemáticas como lo es: la toma de conciencia del concepto de número. La reflexión que se presenta está enmarcada en una concepción teórica con pretensiones de sistematicidad y se refiere ésta, particularmente, a considerar como una señal de estructuración y de dominio por parte del mencionado sujeto, al hecho de separar clara y distintamente dos aspectos que en ciertas ocasiones parecen indiferenciados, como lo son: el objeto matemático y las acciones que se realizan sobre él. Aquí la indiferenciación en la acción es un concepto clave.

INDIFERENCIACIÓN Esta indiferenciación, que, aunque suene paradójico, es la existente entre el sujeto y el objeto desde la perspectiva misma del sujeto, es un aspecto de lo que se denomina sincretismo; este concepto se puede entender como una tendencia del sujeto a manejar situaciones confundiendo cosas de por sí ontológicamente y metodológicamente distintas; al respecto, Luis Not dice: “Las primeras acciones son sincréticas en el sentido de global y confuso, son acciones opuestas a las actividades de análisis y síntesis, donde se indiferencia la silueta exacta de la situación, es decir, existe indiferenciación.(Not, 1994, p.129). El sujeto actúa en una situación donde no está clara la “frontera” entre los distintos mundos involucrados, a saber: el mundo objetivo y el mundo subjetivo; claramente es imposible la construcción del concepto de número sin la participación de ambos mundos, sin embargo en el comienzo, el individuo percibe lo

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que Piaget llama un universo “adualista” (Piaget, 1975, p.246), es decir indiferenciado, un mundo mixto de difícil captación y manejo, el cual es un comienzo necesario a partir de donde se iniciará la disociación y la estructuración. Tomaremos en nuestra reflexión el pensamiento piagetiano como hilo conductor y revisaremos referencias históricas particulares, para ubicarlos como ejemplos históricos a ser estudiados por la epistemología genética, de esta manera se intenta componer mediante el recurso a argumentos históricos, el sentido de la evolución del pensamiento matemático. Es propio de la epistemología genética, el considerar a los problemas que se plantea enfocados desde el punto de vista de la totalidad y, en virtud de esto, inmersos en su devenir histórico. La intención es entonces establecer una analogía enriquecedora entre un sujeto que comienza a tomar conciencia del objeto matemático y la matemática temprana de los antiguos, específicamente la matemática griega. Al respecto Piaget dice: (...) el mecanismo que se observa cuando se examina la historia de la matemática es, sin duda, el de la toma de conciencia gradual de las operaciones: los geómetras griegos, en efecto, consideraban que contemplaban sin operar, mientras que el análisis y la geometría modernas se presentan como un estudio de las “transformaciones”. Ello determina el problema del papel efectivo de las operaciones, que nos conducirá al problema del razonamiento matemático y, finalmente, al que corresponde a las relaciones entre el sujeto y el objeto en la construcción operatoria de los entes matemáticos. (Piaget, 1975, p.242).

Se agrega, como parte de un particular punto de vista, y tomando en cuenta que el desarrollo de las técnicas de cálculo se incrementó como consecuencia de la versatilidad operatoria del recurso simbóli-

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co, la consideración que toma a la indiferenciación objeto-sujeto como posiblemente relacionada con la incapacidad de simbolizar y a la vez, la incapacidad de actuar con símbolos dados desde afuera, por esto, y tomando en cuenta que el sujeto emplea un grado de simbolización cuando comienza a diferenciar entre su actividad y el objeto sobre el que actúa, cabría plantear la interrogante: ¿Es acaso el escaso o ineficiente recurso al símbolo operatorio de la matemática griega una señal de la dificultad de separar -epistemológicamente hablando- entre el objeto, por una parte, y la operación o acción del sujeto, por otra?. Es inmediato de la experiencia los casos en los cuales los sujetos desconocen líneas de acción ante problemas planteados, en aritmética simple por ejemplo, tales casos pueden explicarse a partir del concepto de indiferenciación, esto es, posiblemente, la inexistencia de competencias de tipo simbólica-operatoria no le permitan al sujeto precisar, en alguna medida, la silueta de su acción como sujeto y la existencia de un objeto externo a él y sobre el que se realizan las acciones. Tal problemática puede rastrearse en el desarrollo histórico del pensamiento matemático, Piaget consideraba, en esta dirección por ejemplo, que la tendencia pitagórica y posteriormente platónica de proyectar el número en las cosas podría ser consecuencia del nivel de indiferenciación de las operaciones concretas.

Sobre los conceptos sujeto, objeto, símbolo y operación: una propuesta metodológica Es necesaria una pequeña introducción sobre la forma en que se asumen tales conceptos, previo al desarrollo de lo escrito. Se propone que los conceptos sujeto, objeto, símbolo y operación, entre otros, se deben enfocar desde las categorías iniciales e indefinibles: Objeto y Transformación. Desde tal categorización se enmarca discursivamente todo el universo que contempla la construcción de conocimientos y saberes. Dicha categorización no pretende reducir

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groseramente la ontología, por demás compleja, del fenómeno de cognición, sino que supone un comienzo metodológico de explicación: podemos decir que todo lo que es el caso, es Objeto o es Transformación. Las categorías Objeto y Transformación requieren considerar tres aspectos básicos para su comprensión: primero, involucran necesariamente la existencia de un individuo impelido a la acción. Cualquier concepción de un ser humano al margen de la acción, y de tal acción, como un producto en sí mismo, es hacer abstracciones absurdas e insostenibles. Segundo, no son exhaustivas, es decir, no demarcan territorios disjuntos de elementos; tercero, están inmersas en una dialéctica, es decir, en una dinámica constantemente cambiante, donde, el tránsito de un territorio a otro modifican constantemente los ámbitos que determinan. En otras palabras, procesos de reificación, de simbolización y formalización provocan un constante cambio y determinan inestabilidad a los ámbitos “objétales” y “transformacionales”. Consideremos el siguiente diagrama:

En el diagrama mostrado queda expuesta, en forma estructural, la relación entre las categorías consideradas dentro de una visión analítica de la acción. Basta decir que los conceptos sujetos, objeto, símbolo y operación quedan expresados en función de las categorías

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señaladas. La cualidad no exhaustiva de dichas categorías se relaciona con el concepto de realidad empírica que se maneja.

EL ÁMBITO EMPÍRICO Las consideraciones sobre los conceptos mencionados anteriormente determinan el campo empírico. Si bien el enfoque propuesto asume como postulado filosófico al materialismo, es necesario dejar entrever a que tipo de materialismo se refiere, en otras palabras, los supuestos sobre lo empírico deben ser bien determinados para así arrojar luz sobre la concepción de praxis que se maneja. La concepción epistemológica que se maneja pretende desprenderse de aquellas que tienen, como concepto de aprendizaje y de conocimiento, a un evento diferente a la acción que un individuo emprende, en tal sentido, consideran equivocadamente, según lo propuesto, que el conocimiento no afecta al objeto (Porras Rengel, 1976). Para dar razón de lo empírico como un concepto determinado, se hará uso de lo que Skovsmose (Skovsmose, 1999, p.59) llama abstracciones mentales y las abstracciones materiales. Tales conceptos no son de su autoría, sin embargo hace uso de ellos para explicar en que forma una ciencia abstracta puede ser a la vez formativa. Para solucionar un problema de la realidad muchas veces se recurre a modelos abstractos que permiten, sin tocar los elementos materiales del problema, adelantar una solución; tales modelos abstractos son considerados por Skovsmose como un ejemplo ilustrativo de las abstracciones mentales. Por otra parte, y ubicadas en un estatus ontológico distinto, están las abstracciones materiales. Skovsmose dice “Son abstracciones que se toman como un hecho y se convierten en reificaciones de modos de pensamiento” (Skovsmose, 1994, p.58), esto se relaciona directamente con lo dicho antes por Louis Not en relación con la naturaleza del objeto matemático: tal objeto es concebido como

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partícipe de un universo de formas relacionales, “... en donde se sitúa entre las formas puras del pensamiento que corresponden a los objetos lógicos y a los objetos concretos de la experiencia empírica” (Not, 1994, p.275), esto, de alguna manera refiere al ámbito de lo real como un ámbito en constante intercambio entre lo material concreto y lo abstracto en sus dos acepciones: La realidad como fuente de experiencia, es un todo concreto-abstracto en constante cambio, esto se relaciona con la cualidad no exhaustiva de las categorías empleadas para definir una visión analítica de la acción, a partir de la cual construir una teoría sintética: investigación en la cual se inscribe el presente escrito.

OPERACIONES SIN NÚMEROS En el marco de la indiferenciación como fenómeno previo a la construcción del conocimiento matemático, desde la consideración del aspecto histórico como reflejo de la construcción y la toma de conciencia de la operación, y en función de la categorización planteada anteriormente, desde la cual se manejan los conceptos sujeto, objeto, símbolo y operación; se hace mención de un aspecto resaltante de la matemática antigua: la evolución de la toma de conciencia de la operación al margen de la existencia de un recurso simbólico apropiado. Es un hecho verosímil la poca versatilidad operatoria del sistema de numeración romano, tal hecho es asumido sin problema desde la percepción de la operatividad de los símbolos numéricos de lo que se dispone en la actualidad. Sin embargo, lo que es difícil de percibir es el hecho de ser el actual y simple sistema número-operación que se emplea desde las operaciones más simples hasta las más engorrosas, una construcción que ha tomado varios siglos tomar su forma actual.

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Hay de hecho símbolos usuales y cotidianos que tuvieron una introducción tardía en el ámbito operatorio, el cero por ejemplo, fue usado como un símbolo de operación a partir de su introducción por Leonardo de Pisa en el siglo XIII, el cual lo tomó de la escuela arábiga española; los números negativos fueron incorporados sin discusión a partir del siglo XVII, y sobre las fracciones dice Rey Pastor: Aun las mismas “fracciones” no eran números para los matemáticos griegos, sino “razones de números”. Sin embargo el logístico = hábil calculador entre los griegos, o escriba entre los egipcios, persistía en “calcular” profesionalmente con las “fracciones” como si fuesen “números” sin preocuparse de justificar lógicamente sus reglas de cálculo e indiferente a las críticas irónicas de PLATÓN. (Pastor, 1969, p.38)

En efecto, el cálculo como es conocido hoy en día, no es sino el producto de una lenta evolución del concepto de número, en la cual, la aparición del signo como “duplicado” subjetivo y de la subsiguiente "operación" son fases que se concretizan en la modernidad temprana. Relecturas de antiguas obras matemáticas a la luz de nuevas y eficientes herramientas de cálculo permitieron rescatar de la poca claridad simbólica a problemas planteados muy tempranamente en el campo de la teoría de números. Por ejemplo, las ecuaciones diofánticas fueron retomadas y planteadas en forma general por Francisco Vieta en el siglo XVI siendo el éxito de esta empresa debido, en gran medida, al desarrollo de una notación simbólica del álgebra que facilitó el manejo de variables. En el año 1585 aparece en Amberes un libro titulado De Thiende, nombre que en neerlandés significa la decena. En dicho libro, el autor Simon Stevin (1548-1620), introduce por primera vez la notación decimal, siendo este primer intento lejano en forma de los actuales números decimales, y por lo tanto difícil de manejar, sin embargo, significó el primer paso hacia un recurso simbólico de eficiente ma-

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nejo (cf., Deulofeu, 2001, p.53). Es necesario, para la reflexión pedagógica y didáctica en matemáticas, hacer conciencia en relación con la estructura de la moderna aritmética, enfatizando que tal estructura y versatilidad operativa y simbólica significó una construcción que ha tomado varios siglos en llegar a su forma actual. Sin embargo, volviendo a la matemática griega, a pesar de ser ésta frágil e infantilmente estructurada, coexiste la misma con una realidad problemática y compleja, entonces, ¿cómo hacían los cálculos, por ejemplo, los arquitectos y los constructores del Imperio Romano para erigir estructuras tan complejas como el Panteón? Como respuesta probable está el recurso a trasladar lo operativo a la geometría simple, la cual empleaban para establecer las dimensiones de sus diseños, creando medidas de longitud estándar asistidos con cadenas y cuerdas. Tal método incorporaba a las figuras básicas la posibilidad de operación mediante el empleo de artefactos de uso manual como el compás y el escantillón, empleados para alinear los elementos arquitectónicos en proporciones agradables, de manera que el diseño dependía de la simetría y de la proporción como idea no propiamente numérica. Podemos entonces concluir diciendo que el deficiente recurso operativo limita la cantidad de problemas que efectivamente se pueden resolver, de esta manera se perfila una ciencia matemática griega demostrativa bien diferenciada de una técnica de conteo con un recurso simbólico casi inexistente (ésta podríamos calificarla como una “operación sin número”), al respecto dice Piaget: "Los griegos, (. . .), conocían una especie de álgebra (Diofantes de Alejandría utilizaba signos abreviados para expresar sus potencias, etc.) así como una "logística" o arte del cálculo a las que, sin embargo, consideraban como simples técnicas utilitarias y no como ciencias (. . .)." (Piaget, 1975, p.243)

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Al igual que la herramienta algebraica condiciona el tipo de problemas que se pueden resolver, fue la ciencia geométrica la que determino el tipo de arquitectura que se iba a desarrollar, de hecho, toda operación que pretendía universalidad, tendía en su desarrollo a ubicarse subordinada al método geométrico; y claramente un método geométrico que condiciona particularmente a la arquitectónica, circunstancia debida a que la geometría griega (y por lo tanto la romana de la época precristiana en particular) a "Las únicas figuras que (. . .) reconoce, en efecto son las que se pueden construir con regla y compás, es decir, mediante rectas o círculos (. . .)." (Piaget, 1975, p.248) En resumen, por una parte, se tiene una matemática griega realista –el objeto número tiene existencia exterior al sujeto que lo piensa- y además contemplativa –el sujeto es inactivo respecto a un objeto dado en su totalidad, es incomplementable-, esta matemática tiene como fondo una existencia histórica –la Grecia precristiana-, con toda su problemática económica y cultural la cual involucra al intercambio comercial, a la arquitectura y el diseño, entre otras circunstancias, así, la “operación” se realiza sin el auxilio de la herramienta simbólica eficiente, es decir, sin el número, y es trasladada a la geometría simple; por otra parte, se tiene a un sujeto que actúa sobre un conglomerado objetivo-subjetivo, opera sin saber exactamente que hace, el “objeto” aparece ante él indiferenciado; el concepto y las acciones se le dan desde afuera, nada le es propio, y así, actúa y opera sin un concepto de número, actúa en el aire, opera sin el número.

EL NÚMERO SIN OPERACIÓN La siguiente situación de la que se hace mención surge de un interesante debate entre posturas referentes a la interpretación de los textos platónicos a raíz de una lectura a fondo de la Metafísica aristotélica. La historia en resumen es así: Aristóteles, en el desarrollo

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de la primera parte de la Metafísica, realiza una crítica de la filosofía anterior históricamente valiosa en virtud de ser la más antigua. En ella menciona los sistemas de cada uno de los filósofos anteriores y, de manera demoledora, los ataca y refuta; especial atención merece la parte dedicada a la crítica de la filosofía platónica. En tal crítica Aristóteles menciona la existencia de una filosofía oral no registrada y dirigida a un círculo restringido. Esto motivó una ruptura en el seno de los estudios platónicos, creándose nuevas tendencias; el movimiento siguiente, entre los estudiosos de la filosofía platónica, fue planteado en dos direcciones: por una parte, negar la objetividad del propio Aristóteles como lo hizo Harold Cherniss en su libro “Aristotle`s Criticism of Presocratic Philosofy” (cf. Zucchi, 1986, p.28), justificada dicha tesis por el hecho de ser todos los comentarios de Aristóteles referentes a doctrinas y opiniones que no aparecen mencionadas en los diálogos; por otra parte, la acción se centró en la búsqueda de tal doctrina oral, la cual podría hacer luz sobre los diálogos conocidos y aportar precisiones o contradicciones con respecto a las interpretaciones actuales. El primer paso lo da Paul Wilpert al descubrir que un importante pasaje de un texto de Sexto Empírico, filósofo griego del siglo III de nuestra era, Adversus Matemáticos, específicamente “Sobre la doctrina de los principios” era “un detallado informe del núcleo de la doctrina oral de Platón” (Zucchi, 1986, p.30), los posteriores pasos se centraron en reinterpretar la doctrina escrita a partir de la doctrina ágrafa, en este sentido se destacan los trabajos de H. J. Krämer, W. D. Ross, etc.. Platón en sus diálogos estructura una cosmología, o teoría del cosmos, la cual se despliega de acuerdo a su doctrina de las Ideas. El nuevo descubrimiento, esta doctrina oral, plantea una pequeña diferencia en cuanto a la explicada en la doctrina escrita. En la teoría platónica, el mundo se agota en dos niveles de existencia, a saber:

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el mundo inteligible y el mundo sensible. El mundo inteligible es el mundo incorruptible, invariable y por lo tanto con mayor estatus ontológico y superior al mundo sensible, el cual es perecedero, tiene devenir y desaparición; es decir, es corruptible. El aspecto que motiva el hacer referencia de éste hecho es que en ambos enfoques -doctrina oral y doctrina escrita- los entes matemáticos tienen distintos niveles de existencia de acuerdo a su aparición en el esquema platónico. Está por ejemplo el número práctico, el número matemático “Este (...) se constituye por el agregado de una unidad (monás) al número anterior. (...) Las unidades de los números matemáticos (monádes) son adicionables, y pueden ser transferidas de un número a otro. Podemos decir que son operables, (...)” (Zucchi, 1986, p.36). Ahora bien, en la esfera de lo inteligible, es decir, la esfera de los seres con real existencia, la que corona en jerarquía al esquema mencionado, se encuentra lo que Platón denomina: los números ideales, bajo el cual se subordinan cuales copias imperfectas los entes matemáticos. Véase el siguiente texto de Diógenes Laercio citado por Juan D. García Bacca: Refiere Alejandro en las descendencias de los filósofos haber encontrado entre los recuerdos de los pitagóricos éstos: que la unidad es principio de todo; que, además de la unidad, se da como base la dualidad indefinida, cual materia para la unidad, que es causa; de la unidad y de la dualidad indefinida proceden los números; de los números, los puntos; de éstos, las líneas; de éstas, las figuras planas; de los planos, las figuras sólidas; de ellas, los cuerpos sensibles; de los cuales son elementos cuatro: fuego, agua, tierra, aire, que se cambian y convierten entre y en todo, y de ellos surge un mundo animado, inteligente, esferoide, centrado en la tierra, esferoide también y por todas partes habitada. (García Bacca, 1961, p.37)

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Los números ideales se ubican en importancia por encima de las ideas mismas, son llamados “principios”; podemos imaginarnos a estos números como “causas” de las ideas, que son a su vez “causas” de las cosas sensibles. Es necesario recordar que Platón, que fue discípulo de los pitagóricos, desestimaba a las cosas que percibíamos con los sentidos por considerarlas “reflejos”, “copias” de los verdaderos objetos existentes: las ideas. Pues bien, estos números ideales denominados principios representaban de alguna manera la constitución de la estructura de la realidad; Platón los emplea como un recurso metafórico para ilustrar un aspecto de la estructura ontológica. El primer número ideal es El Uno; “El Uno es el principio formal, determinante, y cuya principal eficacia consiste en delimitar y conferir unidad a los números ideales y a las restantes cosas.”(Zucchi, 1986, p.35), El Uno como “principio formal” delimita, justo lo que hace la forma, pone límite a la materia, la cual es infinita. Usando el par aristotélico forma-materia se puede entender el segundo número ideal que en esencia es opuesto al Uno: la Díada (dualidad) indefinida. La Díada es el principio material, es indefinido, para fines de comprensión se hace mención de una analogía interesante: un número par es divisible por dos, hasta que los factores que los configuran son impares, hasta allí llega la división, bien, el límite de tal división es justamente la imposibilidad de “picar” al uno en dos enteros, de esta manera El Uno pone límite a la infinitud de la Díada. Los restantes números ideales derivan de estos dos de una forma muy distinta a los números matemáticos, es decir, no se “generan” a partir de agregar una unidad al Uno. Los números ideales tienen estatus de ideas y por lo tanto no son comparables, es decir, son números fuera del alcance de cualquier operación, son números sin operación.

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MATEMÁTICAS Y REALIDAD: A MODO DE CONCLUSIÓN El problema de la relación de la matemática con la realidad, el de la toma de conciencia de las operaciones, el de la relación existente entre el sujeto y el objeto, entre otros problemas de orden epistemológico que fundamentan todo enfoque pedagógico y didáctico a partir del siglo XIX, no sólo son susceptibles de ser enfocados históricamente, sino que es sólo mediante tal sesgo que es posible poner en evidencia su esencia constructiva y dialéctica. El estudio de la evolución del pensamiento matemático, como campo de acción epistemológico, tiene su repercusión en el ámbito de la pedagogía a la que enriquece aportando enfoques propios de una herramienta de explicación. Dice Piaget: Sin embargo, si nos referimos a las transformaciones continuas de los diversos modos de realismo en el transcurso de los niveles precedentes, pese a ser formal, el realismo general del pensamiento de los matemáticos griegos ulteriores comporta la más natural de las explicaciones: al ser el realismo la expresión de una indiferenciación entre al sujeto y el objeto y al efectuarse la diferenciación entre ambos sólo en forma progresiva, cuando alcanza un nuevo grado de elaboración intelectual, el sujeto pensante no considera nunca, en un primer momento, que actúa mediante su pensamiento; por el contrario, siempre, antes de aprehender reflexivamente los mecanismos comienza por tomar conciencia de los resultados de ese pensamiento. (Piaget, 1975, p.248)

Es empíricamente comprobable la dificultad para diferenciar entre el objeto y las acciones que sobre el se realizan, donde se confunden el objeto y la operación, donde el símbolo parece decir más de lo que él mismo representa, esto de alguna manera apunta a la no universalidad de los signos matemáticos y sugiere la existencia de un proceso de adaptación al uso del mismo por parte del sujeto. La indife-

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renciación supone un primer momento de partida, antes de realizar la reflexión que traerá a la operación (mediante la acción) al ámbito de las “cosas que hace el sujeto”, es decir, al ámbito de lo consciente. Sin embargo, puede ser que la indiferenciación, ese sincretismo donde la cosa externa se confunde y se solapa con el sujeto, no se supere, imposibilitando posteriormente la acción del sujeto; sería interesante desarrollar observaciones empíricas al respecto. La ausencia de operación en la reflexión matemática griega es un signo de su ciencia, de la valoración del trabajo práctico, de su concepción del hombre y de sus determinaciones sociales, históricas, éticas y políticas; la traslación de la operación al ámbito de la geometría simple, también con prejuicios sobre la geometría práctica y la agrimensura, puede tener relación con un deficiente y poco práctico símbolo matemático, por una parte, y con una consideración de la realidad que desprecia a lo mostrado por los sentidos, por otra. He aquí una explicación que agrega elementos de juicio de orden histórico y realista en relación con la construcción del conocimiento matemático. El camino de revisión de la evolución histórica del conocimiento, permite validar el concepto de materialismo que se maneja, al materialismo que se asume, que es también consecuencia de responder a la pregunta “¿de qué materialismo se habla?”. Tal respuesta pasa por determinar los ámbitos propios del sujeto y el objeto, y a su vez esto significa, tomar en cuenta la génesis y estructura de la toma de conciencia de los mecanismos de construcción intelectual, lo que es traer al ruedo el problema psicológico. Por otra parte, desde una visión de totalidad, es preciso el recurso al desarrollo histórico de las operaciones para cerrar el círculo que pondrá, a la vista del investigador, en movimiento la dialéctica de evolución del pensamiento matemático.

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Referencias Delofeu Jordi, Una Recreación Matemática: Historias, Juegos y Problemas, Barcelona, Planeta, 2001. García Bacca Juan David, Textos Clásicos para la Historia de las Ciencias, Caracas, Publicaciones de la Facultad de Humanidades y Educación, UCV, 1961. Krämer Hans, Platón y los Fundamentos de la Metafísica, Caracas, Monte Ávila, 1996. Not Louis, Las Pedagogías del Conocimiento, Bogotá, F.C.E., 1994. Pastor Rey y otros, Análisis Matemático, Volumen 1, Buenos Aires, Kapelusz, 1968. Piaget Jean, Introducción a la Epistemología Genética, Tomo 1.- El Pensamiento Matemático, Buenos Aires, PAIDOS, 1975. Porras Rengel Juan, Metafísica del Conocimiento y de la Acción, Caracas, F.C.E., 1976. Sokovsmose Ole, Hacia una Filosofía de la Educación Matemática Crítica, Bogotá, ULA, 1999. Zucchi Hernan, Introducción a la Metafísica de Aristóteles, Buenos Aires, Editorial Sudamericana, 1986.

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