Números Complejos

Tarea de n´umeros complejos Gian Carlo Diluvi, C.U. 142957 ´ Algebra Superior II. 09-10-14 Proposici´ on 1: Sea z ∈ C, z = cos(θ) + i sin(θ) y sea n ∈ N. Entonces z −n = cos(−nθ) + i sin(−nθ). Observaci´ on: Ya que z no tiene como factor expl´ıcito a su m´odulo en su representaci´on polar, su m´ odulo es igual a 1, i.e., |z| = 1. Para demostrar esta proposici´ on, nos ser´an u ´tiles los siguientes dos lemas: Lema 1: Sea z ∈ C tal que |z| = 1. Entonces z −1 = z. Demostraci´ on: Sea z ∈ C tal que |z| = 1. 1 =⇒ z −1 = z 1z = zz z = , pero zz = |z|2 = 1 zz =z



Lema 2: Sea z ∈ C, arg(z) = θ. Entonces arg(z) = −arg(z). Demostraci´ on: Sea z ∈ C, tal que arg(z) = θ. Ya que z es el reflejo de z con respecto al eje real, es claro que arg(z) = 2π − θ. Pero 2π − θ ≡ −θ (mod 2π). ∴ arg(z) = −arg(z).



Demostraci´ on (de Proposici´ on 1): Sea z ∈ C, z = cos(θ) + i sin(θ), y sea n ∈ N. Vemos que z −n = (z −1 )n = z n , por el Lema 1 = (cos(−θ) + i sin(−θ))n , por el Lema 2 = cos(−nθ) + i sin(−nθ), por el Teorema de De Moivre.



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Proposici´ on 2: Sea z ∈ C, z = cos(θ) + i sin(θ), y sean m, n ∈ N, n 6= 0. m

m Entonces z n = cos( m n θ) + i sin( n θ).

Observaci´ on: Elevar un n´ umero a un √ exponente fraccionario es lo mismo que sacar la ra´ız 1 en´esima de ese n´ umero. As´ı pues, z n = n z, y ya sabemos c´omo calcular las ra´ıces de un n´ umero complejo (en particular la primera): p 1 z0n = n |z|(cos( θ+2π(0) ) + i sin( θ+2π(0) )) n n =

p n

|z|(cos( nθ ) + i sin( nθ )).

= cos( nθ ) + i sin( nθ ), si |z| = 1. Demostraci´ on (de Proposici´ on 2): Sea z ∈ C, z = cos(θ) + i sin(θ), y sean m, n ∈ N, n 6= 0. m

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=⇒ z n = (z n )m p = ( n |z|(cos( nθ ) + i sin( nθ )))m , por la observaci´on = (cos( nθ ) + i sin( nθ ))m , porque |z| = 1 m = cos( m n θ) + i sin( n θ), por el Teorema de De Moivre.

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