Números bastante grandes … y un problema sobre cubos perfectos

Números bastante grandes … y un problema sobre cubos perfectos Daniela Laura Parada1 1

Casio, Profesora de Matemática, UBA UNSAM Buenos Aires, Argentina [email protected]

Abstract. ¿Qué es hacer matemática? ¿Es la misma disciplina la que estudian los matemáticos que la que enseñamos en la escuela? ¿Qué creemos que hacemos cuando afirmamos que enseñamos matemática a través de problemas? ¿Se aprende mejor cuando se enseña la matemática en contexto, con situaciones reales? En tal caso, ¿mejor con respecto a qué? Este tipo de interrogantes están siempre presentes en el armado, diseño y puesta en práctica de estrategias de enseñanza en la educación matemática. Ahora bien, ¿qué esperamos que hagan nuestros estudiantes con aquello que nosotros consideramos que es la mejor estrategia para aprender algo en un momento dado? ¿Nos ponemos, con frecuencia, en situación de aprendizaje para comprender qué es lo que sucede cuando aprendemos (o intentamos aprender)? El presente artículo se propone presentar algunos de los interrogantes sobre educación matemática más controversiales y pensando en la resolución de problemas como estrategia de enseñanza- ponernos en rol de resolutores tratando de elaborar heurísticas para resolver un problema bastante intrincado que tiene un atractivo adicional: así como pone en jaque las heurísticas del estudiante, también pondrá en jaque las nuestras. A lo largo del presente, como si de una secuencia didáctica se tratara, se recorren y documentan algunas estrategias posibles para su abordaje y, en adición, se espera poner en evidencia los obstáculos e impedimentos más frecuentes en tratamiento de problemas de este tipo. Objetivos. Presentar algunos de los interrogantes propios de la enseñanza de la matemática. Comentar brevemente acerca de la noción de problema y de algunas características propias del ABP. Presentar un disparador sencillo de cálculo con el objetivo de forzarnos a pensar otras estrategias más económicas que las conocidas para su resolución. Presentar un problema sobre números grandes, identificar patrones y tratar de alcanzar una demostración sobre esas recurrencias.

1. INTRODUCCIÓN ¿Qué es hacer matemática? ¿Es la misma disciplina la que estudian los matemáticos que la que enseñamos en la escuela? ¿Qué creemos que hacemos cuando afirmamos que enseñamos matemática a través de problemas? ¿Se aprende mejor cuando se enseña la matemática en contexto, con situaciones reales? En tal caso, ¿mejor con respecto a qué?

Todos estos son interrogantes que suelen estar presentes en cualquier escenario de la sociedad cuando nos sentamos a pensar y debatir [¿criticar?] la educación, son estudiados científicamente desde la Didáctica que -grosso modo- se ocupa del estudio de la terna enseñanza-aprendizaje-sujeto. En la Didáctica, también se elaboran teorías que, al igual que en cualquier ámbito del conocimiento científico, emergen como un intento por comprender al mundo en que vivimos y por entendernos como sujetos plenamente inmersos en él. Toda teoría tiene un alcance, una temporalidad y una localidad; toda teoría es un recorte, un modelo en el que un investigador o grupo intencionalmente elige y selecciona aspectos de su interés sobre el objeto de estudio que desea abordar. Una teoría no es la realidad per sé, sino que es un marco para sistematizar los conocimientos dentro de una disciplina. Y en este caso, la Didáctica de la Matemática se ocupa de comprender y dar una [o muchas o ninguna] respuesta a los interrogantes que sugerimos arriba. Ahora bien, independientemente de cuál sea nuestra respuesta o de qué forma entendamos el trabajo matemático en las aulas, la realidad de nuestro país de los últimos años da evidencias de una clara inclinación hacia la enseñanza a través de problemas y hacia una matemática en contexto tanto en sus documentos oficiales como en sus propuestas de formación docente y de posterior capacitación. Sin ánimos de extendernos en detalles minuciosos, existe una corriente de Didáctica en Matemática conocida como Resolución de Problemas1 cuyo espíritu enfatiza en que los estudiantes se conviertan en buenos resolutores de problemas. Es decir, el foco de la enseñanza está en el interés y en la adquisición de herramientas para la resolución de problemas y no así en el contenido matemático específico. Es decir, siempre y cuando se trate de un problema para el sujeto, no importa si con éste puedo enseñar factorización de polinomios o el teorema de Thales. Como decíamos, los problemas son, problemas para un sujeto y por ello tienen algunas características propias de esa subjetividad: para que el problema sea exitoso como dispositivo de enseñanza-aprendizaje tiene que existir una motivación por resolverlo, tiene que resultar un desafío para quien lo aborda y tiene que ser coherente -en cuanto a su distancia epistemológica y cognitiva- con las herramientas matemáticas de que dispone ese sujeto. Para poner en evidencia algunos de los supuestos teóricos de esta corriente, sugerimos el disparador2 que sigue. Disparador. Calcular con calculadora el producto de los números 142857 y 7000007 y dar la suma de los dígitos del producto. En las hojas que siguen presentaremos algunas discusiones en torno a éste, posibles estrategias de resolución y cerraremos con un problema, tal vez, parecido.

2. DESARROLLO 2.1 Discusiones en torno al disparador Un disparador no necesariamente es un problema en el sentido teórico del ABP: en este caso, por ejemplo, casi cualquier lector conocerá una estrategia (al menos) directa que lo llevaría a la solución. ¿Cuál? El algoritmo manual de cálculo de una multiplicación. Ahora bien, ¿por qué queremos evitarlo sugiriendo en el enunciado que el cálculo se haga con calculadora? Porque queremos mostrar la imposibilidad de muchos dispositivos de resolver situaciones de lo más sencillas y que usualmente manipulamos como operadores infalibles; y porque queremos buscar alguna estrategia o heurística interesante que nos pueda servir para problemas análogos en el futuro. De más está decir que, en el desarrollo propuesto, no existe dispositivo ni estrategia que esté prohibida a los efectos de resolver el problema: puede usarse la 1

Problem Solving, Problem based leraning (PBL) o Aprendizaje basado en problemas (ABP). Con el objeto de ser coherentes, no podremos decir que este disparador es un problema en tanto cualquier individuo dispone de -al menos- un algoritmo para poder calcular el producto de dos números naturales. No obstante, su dificultad y el potencial mote de problema radica en que se trata de números bastante grandes lo que dificulta la consecución del algoritmo y, en simultáneo, imposibilita el cálculo con calculadora. 2

calculadora, lápiz y papel, un software. En cualquier caso, lo que se esperará después es que junto con la respuesta se exhiba alguna justificación del modo de resolución. Señalamos, a continuación, algunas ideas posibles que podrían surgir de la manipulación con el objeto. Desde luego, ninguna de las que sigue pretende ser exhaustiva sino una resolución posible y no es sino hasta que un individuo o grupo se enfrenta directamente a la situación que emergen nuevas posibilidades que no habían sido consideradas. Con el uso de estrategias aritméticas y calculadora Veamos qué sucede en la resolución con calculadora científica.

Figura 1. Cálculo con fx991-LAX en modo NORM1.

Como se ve, a priori, el resultado parecería ser 1×10 = 1.000.000.000.000, es decir un billón (o millón de millones). Si esto así fuera, entonces la suma de todos los dígitos del producto sería igual a 1. ¿Es esto posible? Cualquier lector puede rápidamente notar que, al menos habrá un dígito 9 en el producto y que será el resultado de haber multiplicado las unidades 7 de ambos números y que -justamente por ser unidades- darán lugar a otras que no se adicionarán a ningún otro dígito. Es decir, el número en cuestión seguro termina en 9 lo que muestra que el resultado de la calculadora no es correcto. ¿Por qué sucede esto? ¿Se trata de un error o responde a otra cuestión? No, no es un error sino que las calculadoras científicas de uso escolar y universitario tienen un display que exhibe hasta 10 dígitos y para números de mayor extensión que ésa usa notación científica. Como sabemos, un número expresado en notación científica = ×10 está compuesto por la mantisa que en valor absoluto es un real igual o mayor que 1 y menor que 10; y el exponente entero que es el orden de magnitud del número en cuestión. En el ejemplo dado, la mantisa es igual a 1 lo que no nos permite dilucidar si -en efecto- en el producto el primer dígito es un 1 o bien si se trata de una aproximación por redondeo que hace la calculadora como se ve en la Figura 2.

Figura 2. Los números difieren en sólo 10 unidades por lo que, aun siendo sus dígitos completamente diferentes, exhiben ambos el mismo valor aproximado en ambos casos- en notación científica.

Ya notamos que la resolución estándar que nos ofrece la calculadora no responde nuestra inquietud inicial, al menos ahora sabemos que se tratará de un número próximo a 1×10 = 1.000.000.000.000 con un 9 en el último dígito. ¿Qué más, cómo seguimos? Podemos explorar qué sucede con cada uno de los factores. El número 142857 no parece tener ninguna particularidad evidente 3 salvo -tal vez- que si tomamos sus cifras de a dos se verifica que 14 = 2×7, 28 = 4×7 y 57 = 8×7 + 1. Por otro lado, el número 7000007 tampoco parece tener ninguna particularidad como tal más si lo pensamos como factor, el hecho de que varios de sus dígitos sean ceros facilita mucho el cálculo pedido y -de igual modo- que la primer y última cifra sean sietes también podría ayudar al cálculo.

3

Como se puede comprobar fácilmente con una calculadora, ninguno de los dos se trata de un número primo.

Podemos ensayar qué sucede si descomponemos al 7000007 en 7×1000000 + 7. Es decir, apoyándonos en la propiedad asociativa y conmutativa del producto y la propiedad distributiva del producto con la suma, podemos descomponer el cálculo como sigue: 142857× 7×1000000 + 7 = 142857× 7×1000000 + 142857×7 Es decir: 142857×7000007 = 7× 142857×1000000 + 142857×7 (1) O bien: 142857×7000007 = 142857×7 ×1000000 + 142857×7 (2) De este modo, al igual que operan muchos niños pequeños cuando aprender a multiplicar en la actualidad haciendo la descomposición aditiva de uno de los factores, el producto que -inicialmente- era algo difícil de operar se convirtió en una serie de cálculos más sencillos. Veremos que, tanto si trabajamos con (1) como si trabajamos con (2), enfrentamos la misma complejidad. El resultado de 142857×1000000 es el número 142857000000, que no representa dificultad alguna para calcular. Restan dos operaciones que guardan algún punto de contacto ya que suponen el producto de 142857 por 7. Si hacemos esa operación vemos que el resultado es 999999, es decir, 7× 142857×1000000 dará por resultado 999999000000. Finalmente, la suma restante es trivial pues deben sumarse los seis dígitos 9 de 999999 con el número 999999000000 que tiene seis 0 en las últimas posiciones. Por todo lo expuesto, el producto dará por resultado 999.999.999.999 y la suma de todos sus dígitos será 108.

Alternativa con identificación de patrones Veamos qué sucede con una aproximación diferente. Supongamos que un estudiante hubiese sugerido estudiar cómo se distribuían las cifras del producto conforme aumentaban los ceros del segundo factor. 142857×707 142857×7007 142857×70007

1

1 0

1 0 0

0 0 0

0 0 0

9 9 9

9 9 8

9 8 9

8 9 9

9 9 9

9 9 9

Se puede identificar un patrón en el que, en cada paso, aumentan la cantidad de 9 de los últimos dígitos, el 8 que les sigue permanece siempre igual (va cambiando de posición, por supuesto), las cifras 9 que le siguen al 8 van desapareciendo pues no parecen cambiar de posición y aumenta la cantidad de 0 que suceden al primer dígito 1. Con este criterio, entonces, el resultado de la multiplicación que sigue debería ser el que se ve más abajo. 142857×700007

1 0

0

0

0

0

8

9

9

9

9

9

¿Qué sugiere, entonces, dicha regularidad respecto del producto que queremos calcular en donde habría que agregar un cero más al segundo factor? Nótese que ya agotamos los nueves que sucedían al ocho por lo que, ahora, realmente resta preguntarnos si el patrón que conocíamos seguirá respondiendo al cálculo estudiado. Como mostramos en 2.1, la regularidad no se cumple lo que nos permite concluir algo cierto, pero no siempre evidente: hallar patrones es una estrategia heurística interesante pero tenemos que tener siempre una alerta que nos invite a pensar acerca de su aparente validez o universalidad.

2.2 Un problema sobre cubos perfectos 4 El apartado anterior pretendía mostrar una [o algunas] estrategia heurística para la resolución de un cálculo algo extenso. Se trató de un disparador porque, a priori, conocíamos por lo menos un camino directo para su resolución (el algoritmo tradicional) que, aunque extenso y tedioso seguro podía conducirnos a la solución. En tal sentido es que no se trata de un problema, per sé, aunque logramos forzarlo un poco al pedir el análisis con la calculadora. A continuación, sugerimos un problema interesante.

Problema. Demostrar que la sucesión de números de todos cubos perfectos.

,

,

, … corresponde a una sucesión

2.2.1 Algunas pruebas finitas Es frecuente que, frente a un enunciado como el dado, hagamos una prueba finita verificando que -en efecto- se cumpla la condición dada.

Figura 5. Verificación de que los primero tres términos cumplen la condición.

Ahora bien, la dificultad de este problema radica en que la consigna exige una demostración de que la condición se cumple para todos los números de la sucesión. Una demostración es un producto del pensamiento que exige un nivel de complejidad superior a los procesos que mostramos en el disparador del apartado anterior. Debemos probar que independientemente de la extensión que pueda tener ese número (que ya advertimos en el tercer término que será considerable)- todos los términos de esa sucesión son cubos perfectos. Es muy probable que la demostración sea en términos algebraicos por lo que es menester dar con el término general de la sucesión. Pensemos en forma inductiva: ¿cuál será el cuarto término? El primer término tiene los dígitos 1 0 7 8 1 1 en el numerador en ése orden. El término que sigue, agrega tres dígitos al numerador (siempre, al lado de sus homólogos): el 1 7 1, por lo que se forma 1 1 0 7 7 8 1 1 1. Es decir, los dígitos del 0 y del 8 no se modifican en cantidad, sino que cambian su posición conforme se agregan nuevos dígitos. Por ello, el que sigue tendrá tres dígitos 1 al comienzo, el 0 a continuación, los tres 7 que siguen, el 8 y finalmente los cuatro 1 del final formando así la cadena 1 1 1 0 7 7 7 8 1 1 1 1. No es difícil advertir que el siguiente numerador será 1 1 1 1 0 7 7 7 7 8 1 1 1 1 1 que -en efecto- forma un número que resulta cubo perfecto.

4

Este problema fue uno de los propuestos por Bulgaria para aparecer en las Olimpíadas Matemáticas celebradas en la ex Yugoslavia en el año 1967. Finalmente, el problema no se incluyó, pero está citado como candidato en Djukic, et. al (2005) The IMO Compendium: A collection of problems suggested for the Internacional Mathematical Olympiads 1959-2004; IMO Organization, Belgrade, pp. 41-43.

Figura 5. Verificación para el término 4.

2.2.2 Adquiriendo nivel de generalidad

…

…

…

No es difícil advertir por lo visto en 2.2.1, entonces, que los números de la sucesión son de la forma siendo su correspondiente término. Asimismo, el resultado parece ser siempre el cubo de un número de la forma 3…3 . Recordemos que tenemos que exhibir una demostración, es decir, una argumentación deductiva de que todos los números de la forma sugerida son cubos perfectos. En general, al hablar de demostración solemos pensar en la demostración directa: partiendo de una condición suficiente (o hipótesis) mostramos una condición necesaria (o tesis). Como sabemos, éste es un proceso de una sola vía y, nuestros efectos, deberíamos partir de la forma que tienen los números de la sucesión dada y con una cadena lógica válida debería deducirse que todos ellos son cubos perfectos. Es decir, en la demostración directa hay un sentido lógico que no puede ser alterado: de la hipótesis a la tesis, de la/s premisa/s a la conclusión, de los números

…

…

…

a los números 3. . .3 .

No obstante, existen diferentes estrategias que nos permiten ir construyendo las demostraciones puesto que, a priori, es casi imposible anticipar qué cadena lógica nos conducirá por el camino correcto. A tales efectos, sugerimos al lector no sólo ojear qué forma tienen los números de la premisa sino, también, ojear qué forma tienen los cubos perfectos a los que se quiere llegar. Si encontráramos alguna forma semejante entre ambos, estaríamos encontrando la conexión lógica que nos permitiría unir las dos proposiciones. A tales efectos, podemos preguntarnos, ¿qué sabemos acerca de un cubo perfecto casi -con certeza- todos los que hemos pasado por la escuela media? Seguramente, en alguna oportunidad estudiamos el desarrollo del cubo de un binomio, es decir, cómo calcular el cubo de una suma de dos términos y recordemos algo como lo que sigue: +

=

+3

+3

+

Por otro lado, intuimos que -dado que la consigna pide exhibir una demostración- efectivamente los términos de la sucesión son todos cubos perfectos por lo que podríamos descomponerlos en una suma y lo que es más: cada uno de los cubos tiene como base un número formado por todos dígitos 3. ¿Podemos exhibir esos números formados por 3 como una suma de dos términos? Por supuesto que es posible y existen infinidad de maneras de hacerlo, aunque no todas ellas serán útiles a los efectos de encontrar esa conexión lógica entre el punto de partida y lo que queremos demostrar. Por eso, antes de buscar ninguna escritura será conveniente analizar qué pueden compartir estos dos tipos de números.

2.2.3 Buscando regularidades para la demostración

Como anticipábamos, algo comparten los números de la hipótesis y los de la tesis: tienen repeticiones de dígitos en sus conformaciones. Es decir, si agrupamos dos de sus cifras repetidas, podemos expresar esos pequeños grupos como factores de 11 o de 99 (o de otros según nos convenga) y la ventaja de estos que exhibimos es que son, ambos, resultado de una suma o una resta de una potencia de diez… Por ejemplo, el número 33 puede ser expresado como 3×11 que es lo mismo que 3× 10 + 1 ; o bien como ×99 que es equivalente a × 10 − 1 . Con estrategias como ésa podremos lograr una expresión dada por una suma y, además, una potencia de diez que podría ser bastante útil. Veamos cómo quedaría en general5. Térm

Cubo

Descomposición

1

33

10 − 1 3

3

3333

10 − 1 3

4

33333

10 − 1 3 10

3. . .3

−1 3

Verifiquemos que -en efecto- estamos trabajando con números enteros y con todas cifras 3 al escribirlos de este modo:

Figura 6. Verificación de la sucesión hallada para la escritua de los números con cifras 3 repetidas.

Es decir, aprovechando el resultado conocido del cubo de un binomio podemos tener una escritura como la que sigue: 10

−1 3

=

10

− 3 ∙ 10

+ 3 ∙ 10 3

−1

(3)

El resultado (3) podría ser el paso intermedio entre el punto de partida y el de llegada pero, para ello, tendríamos que lograr una escritura análoga para los números de la sucesión esto es, escribirlos como sumas y restas en potencias de 10 aprovechado los dígitos repetidos. La idea será la de armar tantos sumandos como paquetes de números repetidos haya. En este caso tendríamos tres sumandos: uno para el primer grupo de 1 repetidos, otro para el de 7 y otro para los últimos 1.

5

De las dos formas exhibidas tomaremos aquella que tiene como factor al que queremos arribar.

ya que intuimos que podría tener conexión con el punto de partida al

Térm.

Número

Descomposición

1

107811 3

1 100000 + 7700 + 111 3

2

110778111 3

1 110000000 + 777000 + 1111 3

3

111077781111 3

1 111000000000 + 77770000 + 11111 3

4

111107777811111 3

1 111100000000000 + 7777700000 + 111111 3 1 1…10…0 + 7…70…0 + 1…1 3

1…1 0 7…7 8 1…1 3

Una vez obtenido el término general como una suma, trataremos de expresar esos grupos repetidos de dígitos en factores de 99 o de 11, es decir, en potencias de 10 menos 1.

Por ejemplo, el número 1 … 1 0 … 0 tiene

cifras 1 repetidas y luego 2 + 3 cifras 0. Es decir:

1…10…0 =

10 − 1 10 9

Figura 7. Verificación de la sucesión hallada para la escritua de los números con cifras 1 y 0 repetidas.

Análogamente, sucede con 7 … 7 0 … 0:

7…70…0 = 7

10

−1 9

10

Figura 8. Verificación de la sucesión hallada para la escritua de los números con cifras 7 y 0 repetidas.

Finalmente, 1 … 1 queda:

1…1 =

10

−1 9

Figura 9. Verificación de la sucesión hallada para la escritua de los números con cifras 1 repetidas.

2.2.4 Armando la demostración Llegada esta instancia, hemos encontrado una semejanza entre la forma de escribir los números de nuestro punto de partida y aquellos del punto de llegada. Esto nos anima a tratar de completar los espacios lógicos faltantes entre uno y otro a fin de convertir la semejanza en identidad. Repasemos, pues, hasta ahora hemos concluido que los números candidatos a ser cubos perfectos pertenecen a una sucesión cuyo término general es el que sigue: Térm.

Forma del número 1…1 0 7…7 8 1…1 3

Expresión analítica del término general =

1 3

10 − 1 10 9

+7

10

−1 9

10

+

10

−1 9

Es decir: =

10 − 1 10

+ 7 10

− 1 10

+ 10

−1

(4)

Como comentábamos al inicio del apartado, se supone una semejanza entre la expresión hallada en (3) y la recientemente armada en (4). ¿Es esa semejanza una identidad, como queríamos? A priori, diríamos que no pues no parecen tener muchos elementos en común por lo que, suponer un desarrollo algebraico para verificar si son iguales sin serlo, nos da zozobra. Veamos qué pasa si comparamos los primeros cinco términos:

Figura 10. Comparación de la sucesión de partida (4) con la sucesión de llegada (3). Como se ve en la tabla, los primeros términos de ambas son idénticos lo que supone que -posiblemente- estemos por el camino correcto.

Figura 11. Visualización en línea con el código QR generado en la Figura 10 y la app CasioEdu+. En la gráfica se aprecia que el comportamiento de ambas sucesiones (obviemos el trazo continuo) es idéntico, lo que refuerza nuestra suposición incial de que estamos encaminados hacia la demostración.

Convencidos de que, a partir de la expresión (4) deberíamos llegar a lo mismo que en (3), operamos: =

1 10 27

− 10

+ 7 ∙ 10

− 7 ∙ 10

+ 10

−1

Agrupando convenientemente y buscando encontrar el punto de contacto con lo expuesto en (3):

=

10

− 10

+ 7 ∙ 10

− 7 ∙ 10

+ 10

−1

3

Finalmente queda que:

=

10

−1 3

Lo que muestra que el término puede ser expresado como un cubo perfecto sin necesidad de mostrar que se trata de un entero pues eso ya fue establecido cuando armamos la expresión (3). Q.E.D.

3. REFLEXIONES Como comentamos al comienzo, durante los últimos cincuenta años, tanto a nivel internacional como local, se ha puesto de manifiesto un interés particular en cómo se enseña y en cómo se aprende la Matemática en los diferentes niveles educativos; con el fin último -además de contribuir al constructo y a la masa didáctico-científica- de poder intervenir y mejorar los procesos. En particular, en nuestro país, priman los enfoques de las Escuelas Anglosajona y Francesa de Didáctica de la Matemática con un especial interés por el Aprendizaje Basado en Problemas. Ahora bien, ¿qué es enseñar a través de problemas? ¿Siempre es posible hacerlo? ¿Qué ventajas tiene respecto de otros enfoques? Los docentes, ¿han resuelto problemas alguna vez? Estos interrogantes nos conducen a quitarle el velo a una premisa oculta a lo largo del trabajo: los docentes que estamos hoy en actividad, ¿resolvimos problemas alguna vez? O, mejor dicho, ¿aprendimos matemática en ésa línea o aprendimos la matemática desde un enfoque tradicional? Porque, si como intuimos, la respuesta es negativa en ambos casos, entonces es posible que nuestra empresa de enseñar a través de problemas esté destinada al fracaso.

El presente artículo solo pretende ser disparador de estos interrogantes y, en cualquier caso, espera dejar una posible secuencia de cómo abordar problemas tanto como docentes que quieren enseñar bajo la línea del ABP como sujetos que se enfrentan a una situación problemática y deben elaborar estrategias heurísticas. De más está decir que no se trata de un documento desarrollado técnica y teóricamente bajo el enfoque del ABP ni pretende ser exhaustivo en cuanto a las estrategias exhibidas. Es un dispositivo para abrir el debate al interior de nuestras prácticas y, lo que es deseable, en las aulas. El disparador propuesto al comienzo puede ser planteado al público general -es decir- no son necesarios conocimientos profundos de matemática y aprovechar esa distancia para explorar -precisamente- diferentes estrategias que puedan surgir. El problema propuesto, en cambio, tiene una complejidad notable en tanto se pide la demostración de un fenómeno que no es difícil comprobar que es verdadero para los primeros casos, pero sí hacerlo de forma general. Puede ser presentado a estudiantes avanzados de nivel medio siempre y cuando el docente trate de imaginar escenarios posibles y de acuerdo a ello estipule sus intervenciones o sus preguntas guiadas de modo de poder orientar la tarea que -en principio- es algo compleja. En lo personal, sostengo que es un problema muy interesante para el primer año (o el curso de ingreso) de los profesorados e institutos de formación docente donde se tienen estudiantes con nociones consolidadas de álgebra elemental y mucho interés por abordar desafíos de esta índole. En sintonía con ese aspecto motivacional, también puede ser interesante para estudiantes que participan de Olimpíadas Matemáticas en los niveles juveniles. En cualquier caso, esperamos haber despertado su curiosidad por este tipo de actividades, así como por las inquietudes que hacen a nuestra práctica docente y profesional.

4. MÁS INFORMACIÓN Desde Casio nos ponemos al servicio de la mejora de la calidad de enseñanza y aprendizaje en todos los niveles educativos de Latinoamérica, acercándoles recursos a docentes e instituciones para que puedan hacer de la enseñanza matemática un conocimiento profundo y completo en sus estudiantes. Por ello, les acercamos estas actividades así como la posibilidad de solicitar un workshop para el trabajo de resolución de problemas en matemática. Para acceder a más recursos digitales en su idioma: http://educasio.com Para solicitar el dictado de un workshop escríbanos a: [email protected]