NUEVO TEOREMA EN LA GEOMETRÍA DE LAS CÓNICAS DISEÑO CON SUPERFICIES DE SECCIONES ELÍPTICAS, HIPERBÓLICAS Y PARABÓLICAS

ANALES DE INGENIERÍA GRAFICA Mayo-Diciembre 1994

Publicado en ANALES DE INGENIERÍA GRAFICA vol3 Mayo-Diciembre 1.994

NUEVO TEOREMA EN LA GEOMETRÍA DE LAS CÓNICAS DISEÑO CON SUPERFICIES DE SECCIONES ELÍPTICAS, HIPERBÓLICAS Y PARABÓLICAS

Juan V. Martín Zorraquino Francisco Granero Rodríguez José Javier Doria Iriarte

BILBAO 1.994 UNIVERSIDAD DEL PAÍS VASCO-EUSKAL HERRIKO UNIBERTSITATEA

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RESUMEN Investigando una hipótesis heterodoxa acerca de la Paradoja de D’Alembert, descubrimos casualmente una interesante propiedad geométrica de las cónicas. Con esta NUEVA PROPIEDAD GENERAL DE LAS CÓNICAS y en mayor medida aplicada a la elipse, se consigue diseñar superficies de utilidad en construcción de edificios, puentes, etc., que teniendo secciones elípticas, rectas y circunferencias, puedan ser la superficie de transición entre dos elipses, dos rectas, circunferencia y recta, etc., o simples cerramientos que gozan de la belleza y simplicidad que en forma natural nos otorga la GEOMETRÍA. Todo ello utilizando como técnicas auxiliares del DISEÑO, una nueva herramienta MATEMÁTICA aplicable mediante un sencillo programa de INFORMÁTICA. Las aplicaciones patentadas por la UPV/EHU son: • Cubiertas de cumbrera y base elípticas, rectas o circulares. • Arriostramiento por tirantes entre dos rectas cruzadas, recta y elipse, o dos elipses. • Graderíos. • Toberas convergentes-divergentes. • Fuselajes y cascos de buques. • Perfiles aerodinámicos. • Levas de perfil variable. • Superficies parabólicas. 1-INTRODUCCIÓN Investigando con fuselajes partiendo de la heterodoxa hipótesis de considerar erróneo el planteamiento físico de la Paradoja de D’Alembert, encontramos dos asuntos de posible interés: • Un fuselaje de geometría sencilla, consistente en la conjunción de una elipse y una sinusoide. • Una propiedad general de las cónicas, que en forma de Teorema exponemos a continuación. Encontramos ambos asuntos de gran interés para diversos diseños en Ingeniería de Mecánica de fluidos y en Construcción. 2-OBJETO DEL TRABAJO En el terreno del Diseño sucede a veces, que la definición geométrica es sustituida por unas líneas complejas con intención artística o funcional, pero esta indefinición implica la utilización de costosos sistemas de copiado para la mecanización de los moldes precisos para su fabricación industrial y lo que puede ser más grave, los errores producidos por la falta de referencias geométricas para procesos tales como modificaciones, tolerancias, etc. Dentro de esta necesidad de representar y diseñar con rigurosidad geométrica cualquier objeto susceptible de ser fabricado industrialmente, vamos a valorar la posibilidad de diseñar variados elementos industriales con geometría definible con toda precisión matemática con una nueva Propiedad General de las Cónicas que permite realizar diseños de superficies alabeadas con definición rigurosa.

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Previamente explicaremos cómo hemos descubierto este Teorema de Geometría y cuales son algunas de sus propiedades, que suponemos ampliarán otros investigadores. Se trata de una propiedad general de las cónicas (elipse, hipérbola y parábola) que nos permite comprender la generación de superficies basadas en una elipse, como caso más sencillo. Comprendido el proceso de generación de las superficies, se estudiarán algunos casos notables y sus posibles aplicaciones en Ingeniería. 3-ANTECEDENTES En el proceso de investigación con fluidos antes citado y probando pautas sencillas de comportamiento mecánico entre el sólido a fuselar y el fluido (figura 1) nos aparece en forma casual una curva limitadora de la zona del fluido afectado por el sólido que resulta ser una elipse con centro coincidente con el de la elipse perfil (sólido a fuselar), pero sin relación de proporcionalidad entre ambas. Ante la sospecha de que esto pudiera no deberse a un fenómeno puntual, se estudió por parte del equipo investigador el alcance real de la transformación matemática. Al comprobar su sencillez, nos empeñamos en encontrar algún antecedente bibliográfico, labor en la que contamos con la inestimable colaboración de nuestro compañero Alberto Revilla, recientemente fallecido. Al mismo tiempo, la imaginación se nos desbordaba ante las nuevas posibilidades del procedimiento. Algunas aplicaciones que describimos han sido patentadas por la UNIVERSIDAD DEL PAÍS VASCO. 4-DESCRIPCIÓN DEL TEOREMA

Figura 1 Perfil elíptico y zona de influencia interesantes, dos segmentos de recta y dos circunferencias.

Si tomamos una elipse M como “matriz” (figura 2) y a cada porción de RADIO DE CURVATURA COMPRENDIDO ENTRE LA CÓNICA Y UNO DE SUS EJES, lo multiplicamos por un valor constante K=1+k, manteniendo fijo el punto intersección del radio con el eje, así como la dirección del mismo, el lugar geométrico de los extremos de estos nuevos segmentos, es otra cónica de género igualmente elipse; no siendo los ejes de dicha cónica proporcionales a los de la cónica matriz, generándose también, como casos

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Esta familia de cónicas, ilimitada en principio, puede ser ordenada en el espacio siguiendo cualquier ley matemáticamente definible que se nos pueda ocurrir y que suponga ubicar cada cónica generada f(x,y,k)=0 en el espacio. Con ello llegamos a construir superficies muy fáciles de definir matemáticamente. En el caso de que la cónica matriz sea una elipse M (puntos m), podemos ver en la figura 3 el desarrollo gráfico de la familia de elipses, de las que serían casos especiales dos segmentos de recta (C1-C2 y C3-C4) y dos circunferencias (Z y W).

Figura 2 Demostración matemática Los extremos de los segmentos mi-si, porción de los radios de curvatura, correspondientes a los distintos puntos m de la elipse matriz M, generarían al ser multiplicados cada uno de ellos por el número real K=1+k, las nuevas elipses (E, W, F,.), lugares geométricos de los puntos extremos de los segmentos si-ei (elipse E), si-wi, si-fi,... De esta manera cada elipse puede ser tratada matemáticamente de un modo inmediato en función del parámetro k que relaciona la elipse generada con la elipse matriz. Nos resulta consecuentemente que las rectas lugar geométrico de los puntos generados por un punto de la elipse matriz serían las rectas normales a la elipse matriz en el citado punto y cada punto generado función Figura 2: Demostración matemática de las coordenadas del punto y de k. En la figura 3 se puede apreciar la generación de las elipses a partir de la matriz M, habiéndose utilizado el punto m2 de la matriz para señalar con los puntos transformados w2, e2,f2,... las elipses transformadas E,F,G,..., los segmentos de rectas transformados C1C2, C3C4 y las circunferencias transformadas W y Z. 5-DEMOSTRACIÓN MATEMÁTICA Consideremos en primer lugar la elipse M (figura 2), definida en el plano por la ecuación: u2 v 2 + = 1⎯ ⎯→ a ≠ b a 2 b2 y las rectas n normales a M en cada uno de sus puntos.

(1)

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En dicha figura se ha representado un cuarto de la elipse M en donde demostraremos la siguiente propiedad: “El lugar geométrico de los puntos (x,y) imágenes de los (u,v)∈M mediante la transformación indicada en esta figura (k∈R), es a su vez otra elipse M’. El punto excepción V (vértice de M) al que corresponde V’ (vértice de M’), b2 resulta tal que VV ' = k . a En la familia H(M) de elipses que se obtienen para los valores k∈R, existen dos circunferencias y dos segmentos rectilíneos (elipses con un semieje nulo)”. Para probar esta propiedad de la elipse, común a las tres cónicas, como inmediatamente veremos, obtengamos en principio la pendiente de la recta n normal a la elipse M en el punto (u,v): Derivando (1) se tiene v ' = − Con lo cual

tg α =

a 2v b2u

b2u a 2v será la

pendiente buscada. Debido a la semejanza de triángulos

y v y−v = ⎯ ⎯→ v = k .e 1+ k e De igual forma (figura 2), operando y−v en tgθ = x−u Haz de elipses generadas a partir de M

Figura 3

que da lugar al ser v≠0 a: u =

se tiene que u =

a 2vx (a 2 + kb2 )v

a2. x ( a 2 + k .b 2 )

Sustituyendo las anteriores expresiones de u,v en la relación (1) resulta finalmente el lugar geométrico de los puntos (x,y) siguientes: x2

⎡ a + k ·b ⎤ ⎢ ⎥ a ⎣ ⎦ 2

2

2

+

y2

[(1 + k )·b]2

=1

Que es para todo k∈R la ecuación cartesiana de una elipse.

(2)

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Mediante la misma transformación anterior, es inmediato probar que la transformada de la hipérbola u2/a2-v2/b2=1, es otra hipérbola de ecuación: x2

⎡ a 2 − k ·b 2 ⎤ ⎢ ⎥ a ⎣ ⎦

2

−

y2

[(1 + k )·b]2

=1

(27)

Por último, a la parábola v2=2pu corresponde la ecuación:

y 2 = 2· p·(1 + k ) ( x + k · p ) 2

(30)

Que obviamente es otra parábola. Como casos particulares en la familia de hipérbolas, se tienen: Por igualación de denominadores surgen las hipérbolas:

x2-y2=(a+b)2 y x2-y2=(a-b)2 Que son dos hipérbolas equiláteras. La anulación de cada uno de los denominadores da lugar a rectas: k=-1 ==> eje X para k=-a2/b2 ==> eje Y En la familia de parábolas existe un caso particular notable, cuando k=-1 resulta una semirrecta de origen p incluida en el eje X.

6- CARACTERÍSTICAS DE INTERÉS Cada punto y cada cónica generados quedan definidos en su totalidad por un parámetro numérico k referido a la cónica matriz. Propiedad absolutamente exclusiva con relación a cualquier otro método conocido de generar superficies con cónicas. En el proceso de generación de cónicas a partir de la cónica denominada “matriz”, nos encontramos con dos cónicas con un semieje nulo (segmentos), semirrectas o rectas (según se trate de una cónica matriz elipse, parábola o hipérbola). Por ello, puede tratarse matemática y geométricamente un segmento de recta como una cónica de la familia. En el caso de la matriz elipse, se producen asimismo dos circunferencias tratables como cónicas de la familia. Destacamos por tanto:

• Aparece como nuevo concepto el de “elipse matriz” o en general “cónica matriz”, que es preciso definir para cada superficie. • Asimismo resulta una novedad tratar a los segmentos de recta como elipses de un semieje nulo y hablar de semiejes negativos. 7-GENERACIÓN DE LAS SUPERFICIES Si nosotros fuésemos capaces de ordenar en el espacio, en forma continua, todo esta familia de cónicas generadas, generaríamos a su vez una superficie, que dispondría como secciones dichas cónicas.

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A esta pauta para ordenar las elipses la denominaremos “Ley de Apilamiento” y responderá a una “línea directriz” sobre la que se apoyarán todos los puntos transformados de un único punto de la elipse matriz. Es decir, que a cada k aplicado a un punto de la elipse matriz le corresponderá otro punto sobre la línea directriz definida en el espacio. También podremos decir que a cada k aplicado a la elipse matriz, le corresponderá una elipse en el espacio -condición adicional de un apilamiento en planos paralelos entre sí-. Cada punto de la cónica “matriz” genera líneas de la misma familia que la línea correspondiente a la LEY DE APILAMIENTO. Así, si esta “ley de apilamiento” es una función lineal o proporcional al factor k de generación, las citadas líneas serán las RECTAS de una superficie REGLADA.

8- PROPIEDADES DE LAS SUPERFICIES Obtenemos por tanto, de una forma matemáticamente sencilla, los puntos correspondientes a la familia de líneas longitudinales de la superficie que se cruzan con las líneas cónicas transversales y que sin la utilización de esta nueva PROPIEDAD GENERAL DE LAS CÓNICAS debería resolverse gráficamente (con el error que conlleva).

Es especialmente importante destacar (por su necesidad a efectos constructivos) que los puntos de las generatrices rectas son inmediatamente definibles. Lo que supondría un proceso casi inviable con la alternativa de determinar cada generatriz recta como apoyada en tres cónicas y luego obtener el punto deseado con la condición oportuna, ya que el proceso de generación de las cónicas es punto a punto. Esta FACILIDAD DE TRATAMIENTO MATEMÁTICO merece ser resaltada como PROPIEDAD NOTABLE, frente a la únicamente facilidad de tratamiento gráfico de las superficies REGLADAS similares hasta el momento descritas científicamente. Consecuentemente con la citada facilidad de tratamiento matemático, es lógico esperar la aparición, aplicación o descripción de nuevas superficies tridimensionales con propiedades interesantes.

9- SOLUCIÓN PARA DIRECTRIZ RECTA Sería el caso de apilar las sucesivas elipses generadas según una función lineal en z y k, resultando una SUPERFICIE REGLADA.

9.1- SUPERFICIE ENTRE RECTA Y ELIPSE Un planteamiento del problema podría ser: Encontrar la ecuación de la superficie reglada y de sus generatrices rectas, para construir una cubierta de cumbrera recta y base elíptica, conocidos:

• Semiejes A y B de la base elíptica. • Altura H de la cumbrera. • Longitud L de la cumbrera (alineada con A). La ecuación general de todas las elipses generadas por la elipse matriz de semiejes a y b sería (2):

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x2

y2 + =1 2 [(1 + k )·b]2 ⎡ a 2 + k ·b 2 ⎤ ⎢ ⎥ a ⎣ ⎦ a 2 + kb 2 En el caso particular de la base: A = a B = (1 + k)b ⇒ k 0 =

B −b b

8

(2)

(3) (4)

En el caso de la cumbrera, la elipse correspondiente tendría semiejes L/2 y 0: L b2 L⎞ ⎛ =a− ⇒ b 2 = a⎜ a − ⎟ a 2 2⎠ a ⎝

(5)

Tomamos como origen de coordenadas el centro de la elipse matriz, que la suponemos entre la cumbrera y la base, a una distancia c bajo la cumbrera. La relación lineal entre k y z la podemos establecer sabiendo que en la cumbrera (z=c), k=-1 y en la elipse matriz (z=0), k=0: k=−

z c−H ⇒ z =c−H ⇒ k = − c c

De (3) y (5 ) k =

A−a L a− 2

(7)

L (a − )·B 2 De (4) y (7) b = L A− 2 De (5) y (8): a =

B2 −

(6)

(8)

L 2

L B − ( A − )2 2

(9)

2

De (6) y (7): c =

H A−a +1 L a− 2

Resultados: Semiejes a y b de la elipse matriz: (9) y (8) Cota c de la elipse matriz: (10) Factor k0 de la elipse base: (7) La ecuación de la superficie f(x,y,z)=1 sería:

(10)

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x2

( )

⎡ a 2 − z ·b 2 ⎤ c ⎢ ⎥ a ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

2

+

y2 =1 2 1 − z ·b c

[( ( )) ]

9

(11)

Otros valores de interés serían: Altura I entre las dos rectas (elipses con un semieje nulo): I=

c.a 2 −c b2

(12)

Las dos circunferencias responden a B=A:

k=-a/b y k=a/b Para obtener las líneas rectas directrices (generatrices en el concepto de superficie reglada), nos basta con tomar varios puntos de la elipse matriz y aplicarles los valores k=-1 (cumbrera) y k=ko (base). • Primeramente obtendremos la ecuación de la recta normal a un punto deseado de la elipse matriz. • En segundo lugar, la intersección con las elipses transformadas (k=-1 y k=k0). De esta manera obtenemos las coordenadas x,y de los extremos de la recta. La coordenada z responde a la distancia respecto a la elipse matriz. Sería más complicado, pero posible, partir de cualquier punto de la superficie. Para ello trabajando con todas las elipses en un plano, trazaríamos desde el punto la normal a la elipse matriz y cualquier otro punto definido por la intersección de la normal y una elipse transformada o matriz, nos serviría para trazar la recta en el espacio.

9.2- SUPERFICIE DE TRANSICIÓN ENTRE ELIPSES Otro planteamiento del problema podría ser: Encontrar las ecuaciones de la superficie reglada y de sus generatrices rectas, para construir una superficie de transición entre dos elipses (en planos paralelos y centros en una recta perpendicular a ambos planos), conocidos (figura 4): • Semiejes A1 y B1 de la base elíptica. • Semiejes A2 y B2 de la elipse superior. • Altura H entre ambos planos. Para ambas elipses se cumple (2): a 2 + k1 ·b 2 A1 = a

(13)

B1 = (k1 + 1)·b

(14)

A2 =

a 2 + k 2 ·b 2 a

(15)

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B2 = (k 2 + 1)·b

(16)

De (13) y (14): A1 ·a − a 2 = ( B1 − b)·b

(17)

De (15) y (16): b 2 − B2 ·b + A2 ·a − a 2

(18)

Tomando origen de coordenadas el centro de la elipse base, eje Z la altura y eje Y el semieje B1, la ecuación de la recta que une los extremos o vértices B1 y B2, denominando B (semieje de cada elipse) a la coordenada y, sería:

z=

B − B1 (k + 1)·b − B1 ·H = ·H B2 − B1 B2 − B1

(19)

k=

( B2 − B1 )·z + h·( B1 − b) H ·b

(20)

Restando (18)-(17): b =

a·( A1 − A2 ) B1 − B2

Sustituyendo b de (21) en (17) y haciendo a=

(21) B1 − B2 = p: A1 − A2

A1 · p − B1 1 p− p

(22)

Soluciones: De (22) ==> a De (21) ==> b De (20) ==> k=f(z) Ahora, conocida b y la altura de la elipse matriz, es posible trasladar el origen de coordenadas al centro de la elipse matriz (a,b), quedando la nueva z: z=

− H ·( B − b) B1 − B2

(23)

La cumbrera recta (k=-1) sería L y estaría a una altura c: L=

2·(a 2 − b 2 ) a

Haciendo b=0 en (23): c =

H ·b B1 − B2

10- SUPERFICIES REGLADAS. PROPIEDADES Es solamente un caso particular la superficie constituida por la superposición de las cónicas en planos paralelos y separados proporcionalmente a k.

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En este caso, la superficie resultante es una superficie reglada, donde las generatrices rectas cortan a las cónicas formando ángulos cercanos a 90°, lo que confiere notables facilidades constructivas en cerramientos para edificación al constituir una retícula o entramado las cónicas con las rectas. La fundamental ventaja del tratamiento matemático utilizando la nueva propiedad, es la enorme sencillez para definir los puntos de las rectas, ya que cada punto de la cónica matriz va generando puntos para cada valor de k sobre una recta, identificándose simplemente con su punto “matriz”. El clásico procedimiento matemático parte de la identificación de una recta como apoyada en tres cónicas, lo que no es en absoluto fácil, como se ha indicado reiteradamente, ya que no nos encontraríamos necesariamente con superficies regladas de cono o plano director. En la figura 4 se ha desarrollado una superficie reglada con las elipses definidas en la figura 2 y se indican los valores de k más significados. .

10.1- COROLARIOS DE LA SUPERFICIE REGLADA 10.1.1- ELIPSE Se pretende demostrar que la superficie (2) es reglada y que los puntos de cada recta son todos los homólogos de un único punto de la elipse matriz. La ecuación general de todas las elipses generables es x2 ⎡ a 2 + k ·b 2 ⎤ ⎢ ⎥ a ⎣ ⎦

2

+

y2 =1 [(1 + k )·b]2

(2)

Haciendo la ley de apilamiento lineal:

k=-z/c

(24)

donde c es un parámetro que nos permite variar la escala del apilamiento según el eje Z estando el origen de coordenadas en el centro de la elipse matriz.

Figura 4: Apilamiento de elipses con directriz recta

La ecuación de la superficie f(x,y,z)=1 sería:

S≡

x2

( )

⎡ a 2 − z ·b 2 ⎤ c ⎢ ⎥ a ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

2

+

y2 =1 2 z 1− ·b c

[( ( )) ]

Comprobemos que esta superficie es una superficie reglada, o sea, que puede expresarse por:

x = m(t).z + p(t)⎫ ⎬ y = n(t).z + q(t) ⎭ Tenemos que unas ecuaciones paramétricas de la línea x2/A2+y2/B2=1 son:

(25)

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x = A.cos(t) ⎫ ⎬ y = B.sen(t) ⎭

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(A,B semiejes 0≤t