Modelos estadísticos para la determinación de respuestas mecánicas críticas en pavimentos rígidos Ing. Ricardo Quirós Orozco
[email protected] 1. Introducción Las nuevas tendencias en el diseño de pavimentos a nivel mundial, se centran en metodologías de análisis y diseño empírico mecanicista. Estas metodologías utilizan modelos de deterioro de estructuras de pavimento basados primordialmente en las respuestas mecánicas de la estructura ante las propiedades mecánicas de los materiales, condiciones climáticas esperadas y carga de transito proyectada. El diseño de un pavimento por estas metodologías requiere el cálculo de múltiples respuestas mecánicas de la estructura a lo largo de su vida de diseño mediante una robusta metodología de cálculo. El enfoque tradicional de ecuaciones de solución cerrada, simples de usar, pero desarrolladas bajo supuestos teóricos rígidos, conocimiento mecánico limitado y simplificaciones bruscas de las condiciones reales de los materiales y su comportamiento las hace poco prácticas para los fines establecidos. Por otro lado, el enfoque del uso de algoritmos computacionales de elemento finito, requiere un entrenamiento intensivo de los usuarios, software y equipo computacional especializado de alto coste económico y finalmente una inversión en tiempo de cálculo prohibitiva para las miles de respuestas mecánicas requeridas en el análisis de una sola estructura en su ciclo de vida. Considerando estos aspectos y para garantizar la viabilidad de una propuesta de diseño empírico mecanicista, se hace necesario el desarrollo de modelos simples, veloces y precisos para la predicción de respuestas mecánicas críticas. Modelos basados en técnicas de regresión lineal
múltiple o de redes neurales artificiales tienen la capacidad de resolver el problema planteado, manteniendo las ventajas de las soluciones cerradas y del elemento finito. 2. Metodología De manera general, el proyecto se puede dividir en tres fases. La primera implicó la revisión bibliográfica y la conformación de una base de datos de estructuras de pavimentos rígidos. Esta base de datos pretendió caracterizar la mayor parte del abanico de posibilidades que tienen los diseñadores en sus manos al momento de definir materiales y geometría del pavimento. En total, y tal como se muestra en el Cuadro 1, se definieron ocho parámetros variables para la base de datos, fijando además, tres valores discretos por parámetro que abarcan la mayor parte de la posible variación de estos. En total se caracterizaron 19 683 estructuras, partiendo de la permutación de todas las posibles variables y valores así como las posiciones de carga críticas en el sistema de losas. Estas estructuras fueron analizadas en una segunda etapa mediante técnicas de elemento finito en el software ISLAB2000 obteniéndose así, con la mejor precisión posible, las respuestas mecánicas críticas asociadas a cada estructura de pavimento. La definición de estas respuestas críticas está basada en los deterioros incluidos en la Guía de diseño Empírico-Mecanicista de Pavimentos (MEPDG) de la American Association of Highway and Transportation Officials (AASHTO), que corresponden al
Cuadro 1. Variables y rangos usados en la modelación de estructuras de pavimento Variable
Unidad
Espaciamiento de juntas
Pies
Módulo elástico losa
ksi
Espesor de losa
Pulgadas
Gradiente de temperatura
°F
Valores 12 15 17 4000 5000 6000 6 13 17 -18 -4 12
agrietamiento transversal desde la superficie de la losa hacia la base de esta, el agrietamiento transversal desde la base de la losa hasta la superficie, la falla de las juntas transversales y el índice de regularidad internacional (IRI). Estos modelos necesitan como parámetro de entrada tres diferentes respuestas mecánicas, a saber, esfuerzo longitudinal de tensión del punto medio de la losa en su base, el esfuerzo longitudinal de tensión del punto medio de la superficie de la losa y las deflexiones diferenciales de dos losas contiguas. Cada una de estas respuestas mecánicas implica una posición específica de los ejes del vehículo de diseño que en este caso corresponde al camión T3S2 con los pesos máximos permitidos en el “Reglamento de circulación por carretera con base en el peso y las dimensiones de los vehículos de carga” Decreto Ejecutivo 31363MOPT (2003) La tercera fase del proyecto implicó la calibración de múltiples modelos estadísticos que correlacionan las características de cada estructura con las respuestas mecánicas obtenidas por medio del elemento finito. Como objetivo principal se calibraron modelos de regresión lineal múltiple. De este modo, se desarrollaron ecuaciones sencillas de utilizar y con una adecuada precisión de cálculo para el diseño en metodologías
Variable Coeficiente reacción subrasante
Unidad pci
Módulo elástico base
ksi
Diámetro dovelas
Pulgadas
Eficiencia de transferencia de carga
%
Valores 100 200 300 50 250 500 0 1 1.5 10 50 80
mecanicistas. Por otro lado, y aprovechando las facilidades computacionales de la época, se exploró la posibilidad de calibrar modelos basados en la metodología de redes neurales artificiales que ha mostrado un desempeño excepcional en la solución de problemas similares, en especial en el retrocálculo de módulos (Birkan B., 2006), análisis de pavimentos rígidos en pistas de aterrizaje (Ceylan, Tutumluer, & Barenberg, 1999) y finalmente como el motor de análisis estructural del MEPDG (ERES Consultants; ARA Inc., 2003). El proyecto originó cuatro modelos de predicción para cada una de las respuestas mecánicas anteriormente establecidas, dos por metodología de análisis y dos por sistema de unidades. Finalmente, y con el fin de facilitar el uso de los modelos, en especial los modelos basados en redes neurales artificiales, se desarrolló una aplicación informática denominada ApRIGID basado en el lenguaje de programación JAVA y que incorpora distintas capacidades que facilitan la incorporación del software en el proceso de diseño bajo metodologías mecanicistas. 3. Resultados 3.1. Modelos estadísticos En cuanto a los modelos de regresión lineal múltiple, se siguió una técnica de regresión
por pasos para definir los mejores predictores y, posteriormente, se determinaron subconjuntos de variables para definir las mejores regresiones con un número manejable de parámetros. En este caso, se encontró que ocho predictores definen una regresión que explica de buena forma la variabilidad de los datos y mantienen la facilidad de uso característica de un modelo de regresión múltiple. El primer modelo, relacionado con los esfuerzos a tensión en la superficie de losa se presenta a continuación: 𝜎𝑦,𝑠 = −40.77 + 4.551 ∗ 𝐿 − 5.128 ∗ ∆𝑡 −0.435 ∗ 𝐿𝑇𝐸 − + −
1.072 ∗ 𝐸 ∗ 𝐿 ∗ ∆𝑡 1000 ∗ 𝑙
1 (−414.61 ∗ 𝐿 + 943.414 ∗ 𝑙) ℎ2
26.41 ∗ 𝐸 ∗ 𝑙 ∗ ∆𝑡 5.109 ∗ 𝑙 ∗ ∆𝑡 + 1000 ∗ 𝐿 ∗ ℎ2 𝐿
Este modelo presentó un coeficiente de correlación cuadrada de 0.987. El segundo modelo permite el cálculo de esfuerzos críticos a tensión en la base de la losa. 𝜎𝑦,𝑏 = 29.942 + 4.046 ∗ ∆𝑡 − −0.338 ∗ 𝐿𝑇𝐸 0.911 ∗ 𝐿𝐸∆𝑡 3.779 ∗ 𝑙∆𝑡 + − 1000 ∗ 𝑙 𝐿 1 21.094 ∗ ∆𝑡 ∗ 𝐸 ( − 4.478 ∗ 𝐸𝑏 ) ℎ2 1000 1 (−63.766 ∗ 𝐿 + 1053.909 ∗ 𝑙) ℎ2 Con r2=0.987
1.4528 ∗ ℎ 0.1230 ∗ 𝐿𝑇𝐸 2.967 ∗ 𝑙 − + 1000 1000 1000 +
1 270.62 ∗ 𝑘 8038.78 ( − ) 𝑘∗𝑙 1000 𝑙2 +
1215.96 √𝐸 ∗ ℎ3 ∗ 𝑘
Con r2=0.974 Para estructuras con dovelas se calibró el siguiente modelo: 𝛿1−2 = 5.584𝑥10−3 − −
4.507 ∗ 𝐿 1.487 ∗ 𝑘 − 106 106
2.494 ∗ ∅ 18.944 ∗ 𝐿𝑇𝐸 36.059 ∗ 𝑙 − + 1000 106 106 +
3.982 ∗ 1 7.763 ∗ ∅ ∗ 𝐿𝑇𝐸 + 𝑙 ∗ 1000 106 +
34.139 ∗ 𝑙 4 𝐸ℎ3 ∗ 1000
Con r2=0.969 Para todos los casos anteriores: ∆𝑡=Diferencial térmico entre la superficie y base de la losa (F), E=Módulo elástico del concreto (ksi), L=Espaciamiento entre juntas (pies), LTE=Eficiencia de transferencia de carga en juntas longitudinales (%), E=Módulo elástico del concreto (ksi), h=Espesor de losa (in), k=Modulo de reacción de la subrasante (psi/in), ∅=Diámetro de la dovela (in) y,
Los modelos relacionados a deflexiones fueron divididos según el mecanismo de transferencia de carga existente en el pavimento, el primero, para estructuras sin dovelas se muestra a continuación: 𝛿1−2 = −0.0223 −
−
0.1599 ∗ 𝐿 1.4885 ∗ 𝐸 − 1000 106
𝐸 ∗ ℎ3 𝑙=( ) 𝑘
0.25
Durante el proceso de validación estadística de los coeficientes, tendencias de residuos y cumplimiento de hipótesis de regresión, se observó que los modelos de esfuerzos (Modelo 1 y 2) presentaban inconvenientes
con la determinación de respuestas mecánicas menores a los 30 psi y valores en compresión. Debido a que estos valores son insignificantes en un análisis de desempeño a fatiga se tomó la decisión de excluirlos del análisis de errores mostrado en el Cuadro 2. Se observa el buen comportamiento que tienen los modelos en la predicción de respuestas mecánicas críticas Cuadro 2. Errores promedio de los modelos de regresión lineal múltiple RLM MODELO TODOS Mayores a 30 Psi Modelo 1 127.82% 7.00% Modelo 2 89.91% 8.72% Modelo 3a 6.76% Modelo 3b 3.12% Cuadro 3. Errores promedio de los modelos de red neural artificial MODELO Modelo 1 Modelo 2 Modelo 3a Modelo 3b
ANN TODOS 53.56% 52.42%
Mayores a 30 Psi 3.99% 5.24% 8.30% 2.56%
De manera paralela al desarrollo de los modelos de regresión lineal múltiple se calibró mediante el algoritmo de propagación hacia atrás del error una serie de redes neurales artificiales como solución alternativa al mismo problema. La calibración se realizó en el software Multiplebackpropagation, iniciativa de código abierto distribuido bajo la licencia GPLv3. Se definió un número máximo de un millón de iteraciones para la calibración con los datos de entrenamiento con una topología de ocho capas de entrada, 15 capas ocultas y una capa de salida. Los modelos calibrados mostraron un comportamiento excepcional, en comparación con los modelos de regresión lineal múltiple, reduciendo los
errores básicamente a la mitad tal y como se observa en el Cuadro 3. 3.2. ApRIGID 1.0 Finalmente, para facilitar el uso de los modelos calibrados en el proyecto, se desarrolló una aplicación informática denomianda ApRIGID que en su versión 1.0 permite el cálculo de respuestas mecánicas críticas utilizando las metodologías de regresión lineal múltiple y de redes neurales artificiales tanto en el Sistema Internacional de Unidades como en el Sistema Ingles, facilitando su uso en procesos de diseño de estructuras de pavimentos rígidos. El software permite el análisis de estructuras individuales, la incorporación de listas de trabajo y la exportación de resultados en formatos compatibles con MS Office. 4. Conclusiones Los cuatro modelos de regresión lineal múltiple calibrados presentaron indicadores estadísticos satisfactorios, lográndose explicar, en el peor de los casos, el 97,4% de la variabilidad de los datos, minimizando errores promedio hasta el 3.12% y garantizando la inclusión de variables estadísticamente justificadas en su análisis. Como solución alternativa, la calibración de modelos de red neural artificial mostro resultados satisfactorios. Al comprarse con las regresiones lineales calibradas, se observó una reducción sustancial de los errores promedios asociados. Las limitaciones que muestran los modelos no afectan de alguna manera el desempeño de los mimos en procesos de diseño empírico mecanicistas por lo que son aptos para ser incluidos en una eventual guía mecanicista de diseño de pavimentos rígidos local (CRME). El software APRIGID tiene, por lo tanto, las cualidades necesarias para ser incorporado al CR-ME como el motor de análisis estructural.
Trabajos citados Birkan B., M. (2006). Backcalculation of Layer Moduli for Jointed Plain Concrete Pavement . Ames, Iowa : Midwest Transportation Consortium. Ceylan, H., Tutumluer, E., & Barenberg, E. (1999). Modeling of Concrete Airfield Pavements Using Artificial Neural Networks. Urbana Champaign: University of Illinois at Urbana Champaign. ERES Consultants; ARA Inc. (2003). NCHRP Project 1-37A Appendix QQ:Structural Response Models for Rigid Pavements. Champaign, Illinois: National Cooperative Highway Research Program. Heinrichs, K. W., Liu, M. J., Darter, M. I., Carpenter, S. H., & Ioannides, A. M. (1988). Rigid Pavements Analysis and Design. Urbana-Champaign: University of Illinois at Urbana-Champaign . Ministerio de Obras Públicas y Transportes. (23 de Setiembre de 2003). Reglamento de circulación por carretera con base en el peso y las dimensiones de los vehiculos de carga: Decreto Ejecutivo No. 31363MOPT. Diario Oficial La Gaceta, pág. 5.
