Modelos de valoración de dos estados

´ n de dos estados Modelos de valoracio Prof. John Freddy Moreno Trujillo Docente Investigador CIPE-ODEON Universidad Externado de Colombia

2014

´Indice general Pr´ ologo

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1. Introducci´ on 1.1. El no arbitraje y sus consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 8

2. Modelo binomial de valoraci´ on 2.1. El modelo de mercado en un periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Valoraci´on por replicaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. El modelo de valoraci´on generalizado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11 13 16

3. El modelo binomial para la valoraci´ on de algunos derivados 3.1. Valoraci´on de opciones simples (plain vanilla) . . . . . . . . . 3.2. Valoraci´on de opciones con prima contingente . . . . . . . . . 3.3. Derivados de tipo de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Derivados de tasa de inter´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Modelo de Ho y Lee . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 20 23 25 29 31

4. An´ alisis de sensibilidad 4.1. Diferencias finitas . . 4.2. Delta ∆ . . . . . . . 4.3. Gamma-Γ . . . . . .

. . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Griegas 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

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Pr´ ologo El presente documento es una introducci´on formal a los modelos de valoraci´on de dos estados, es decir, modelos de valoraci´on de activos contingentes en los cuales se asume que el subyacente puede presentar solamente dos posibles precios distintos entre un periodo y el siguiente. Estos modelos tambi´en son conocidos como modelos binomiales, y su importancia est´a en la sencillez de las matem´aticas impl´ıcitas en su desarrollo, y el amplio espectro de problemas que pueden ser resueltos con este, que aunque sencillo, no deja de ser elegante, y permite comprender de forma clara importantes conceptos de la valoraci´on financiera. El documento est´a dividido en cuatro cap´ıtulos. El primero presenta una introducci´on al elemento base de los modelos de valoraci´on financiera en general, el concepto de no arbitraje. El segundo cap´ıtulo presenta una descripci´on completa del modelo binomial de valoraci´on en uno y varios periodos. El cap´ıtulo tres desarrolla aplicaciones del modelo de valoraci´on al caso de algunos derivados particulares, pasando por los m´as b´asicos como son las opciones plain vanilla, y llegando a considerar derivados de tipo de cambio y tasa de inter´es. En el cap´ıtulo cuatro se expone la aproximaci´on al c´alculo de sensibilidades (griegas) en este tipo de modelos. Debo mencionar y agradecer la valiosa colaboraci´on de los estudiantes Tatiana Pava Ba˜ nol, Laura Rodr´ıguez Rubio y Juan Sebasti´an Salcedo Rueda, quienes ayudaron a la construcci´on de estas notas como parte del seminario de Matem´atica Financiera Avanzada que se ofreci´o a los estudiantes de pregrado de la Facultad durante el segundo semestre de 2014. ´ Agradezco a mi esposa Mabel y a mis hijos Angel y Tom´as por su paciencia y amor, a lo largo de nuestro incre´ıble camino juntos. John Freddy Moreno Trujillo. Docente Investigador. CIPE-ODEON Universidad Externado de Colombia.

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Cap´ıtulo 1 Introducci´ on Uno de los principales problemas de las finanzas modernas es la valoraci´ on de activos contingentes. La piedra angular en la valoraci´ on de este tipo de activos es la ausencia de oportunidades de arbitraje en el mercado, es decir, la imposibilidad de los agentes de desarrollar estrategias de negociaci´on en las cuales, con cero riesgo, tengan probabilidad positiva de ganancias en el futuro. Bajo este principio, es posible valorar activos mediante replicaci´ on, metodolog´ıa que ser´a explicada m´as adelante, dando una repuesta total o aproximada al problema de la determinaci´on de precios. Es importante aclarar que el car´acter contingente de los activos considerados est´a determinado por su dependencia del precio de alg´ un otro activo o activos, raz´on por la cual en muchos casos se les denomina derivados, ya que su precio se deriva del precio de otro activo denominado subyacente. Existe una amplia literatura acerca de la valoraci´on de activos contingentes o derivados, tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto, y este documento en particular trata modelos de valoraci´on en tiempo discreto, en los cuales se asume que el precio del activo subyacente puede ser descrito por una variable de tipo binomial. Este tipo de modelos en la literatura se conocen como modelos de dos estados o modelos binomiales, y el objetivo fundamental de estas notas es presentar al lector los elementos b´asicos de estos, junto con algunas de sus extensiones y resultados m´as importantes. Para esto, en la siguiente secci´on se presenta formalmente el principio de no arbitraje y su consecuencia m´as importante: la ley de u ´nico precio. En los siguientes cap´ıtulos se desarrollan los modelos de valoraci´on basados en la hip´otesis de comportamiento binomial del subyacente y su aplicaci´on a la valoraci´on de algunos tipos especiales de activos contingentes.

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1.1.

El no arbitraje y sus consecuencias

Una oportunidad de arbitraje es un activo (o combinaci´on de activos), con valor actual cero y cuyo precio en alg´ un instante de tiempo futuro es no negativo en cualquier estado de la naturaleza (es decir, en cualquier potencial escenario), y es estrictamente positivo en alg´ un estado de la naturaleza. De esta forma, si denotamos por ht al valor en t de una estrategia u oportunidad de arbitraje, se tiene que: h0 = 0

;

P [ht ≥ 0] = 1

;

P [ht > 0] > 0

(1.1)

Como se mencion´ o en la introducci´ on, se asumir´a en adelante que los mercados son libres de oportunidades de este tipo, lo que nos da como consecuencia el siguiente resultado: Teorema 1 (Ley de u ´nico precio) Consideremos dos activos A y B con precios S0A ≥ 0 y S0B ≥ 0 en t = 0, negociados en un mercado libre de oportunidades de arbitraje. Si en alg´ un T ≥ 0, STA = STB en todos los estados de la naturaleza, entonces StA = StB para todo t ≤ T . Demostraci´ on 1 Sin p´erdida de generalidad asumimos que S0A > S0B . En este escenario podemos construir el siguiente portafolio h0 en t = 0. Realizamos una venta en corto del activo A, es decir, lo tomamos prestado hoy y lo vendemos por S0A , con el compromiso de devolverlo en t = T . Con el monto recibido por la venta de A, compramos el activo B. Esta operaci´ on nos deja la diferencia positiva (S0A − S0B ) que puede ser invertida a la tasa libre de riesgo del mercado (rf ). En el instante t = T se debe cumplir con la obligaci´ on de la venta en corto, de forma que hT es: Vendemos el activo B por STB . Compramos el activo A por STA con el dinero recibido por la venta de B, cantidades que por la hip´ otesis del teorema deben ser iguales. Recibimos la cantidad (S0A − S0B )(1 + rf ), producto de la inversi´ on a la tasa libre de riesgo. Podemos ver que la estrategia h es tal que no se requiere inversi´ on inicial, no hay riesgo en la operaci´ on y se tiene una probabilidad estrictamente positiva de hacer ganancias, luego es una oportunidad de arbitraje, lo que contradice el supuesto de que este tipo de oportunidades no existen en este mercado. Esta contradicci´ on nos muestra que nuestra hip´ otesis de partida en la demostraci´ on es falsa, luego S0A = S0B .

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Como un ejemplo de c´ omo puede utilizarse la ausencia de oportunidades de arbitraje para la valoraci´on, consideremos un contrato financiero mediante el cual dos partes se comprometen hoy (t = 0) a negociar en un instante de tiempo futuro T un determinado n´ umero de unidades de un activo subyacente, a un precio X por unidad. Este tipo de contratos se conoce como contrato futuro (o contrato forward dependiendo de las caracter´ısticas del mismo), y se utilizan con el ´animo de las partes de cubrirse ante los cambios en el precio del activo subyacente. La pregunta central es, ¿c´ omo determinar cu´ al debe ser el precio X por el cual se negociar´ a el activo en el futuro? La respuesta de no arbitraje a esta pregunta es que X = S0 (1 + rf )T , donde S0 es el precio del activo subyacente en t = 0 y rf es la tasa de inter´es libre de riesgo del mercado. Si se consideran precios de negociaci´ on distintos (mayores o menores) autom´aticamente se tienen oportunidades de arbitraje, ya que: Si X > S0 (1 + rf )T , es posible construir un portafolio de arbitraje si: • En t = 0 se toma prestado el monto S0 a la tasa libre de riesgo (rf ), con compromiso de repago en T . • Con el dinero del pr´estamo se compra el activo a un precio S0 . • Se entra en un contrato de futuros para vender el activo por valor X en T . • En t = T cumplimos con nuestra obligaci´on en el contrato de futuros, vendiendo el activo por X. • Con el dinero recibido por la venta del activo pagamos la deuda adquirida a la tasa rf , es decir, pagamos la cantidad S0 (1 + rf )T . • Nos queda como excedente la cantidad X − S0 (1 + rf )T , que de acuerdo con la hip´otesis inicial es mayor que 0. Si X < S0 (1 + rf )T , es posible construir un portafolio de arbitraje si: • En t = 0 vendemos en corto el activo por un valor S0 , con el compromiso de devolverlo en T . • Invertimos lo recibido por la venta del activo a la tasa libre de riesgo (rf ) hasta el instante T . • Se entra en un contrato de futuros para comprar el activo por valor X en T .

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• En t = T recibimos el monto S0 (1 + rf )T por el dinero invertido a la tasa libre de riesgo. • Con el dinero recibido cumplimos con nuestra obligaci´on del contrato de futuros, comprando el activo por un precio X y entreg´andolo para cumplir con la obligaci´on adquirida por la venta en corto. • Nos queda como excedente la cantidad S0 (1 + rf )T − X, que de acuerdo con la hip´otesis inicial es mayor que 0. De acuerdo con lo anterior, la u ´nica forma de que no se presenten oportunidades de arbitraje en el mercado es tomando X = S0 (1 + rf )T . Dada la importancia del supuesto de no arbitraje, es pertinente considerar si este supuesto es v´alido en los mercados reales, es decir, ¿realmente no existen oportunidades de arbitraje en los mercados?, la respuesta a esta pregunta es que no; las oportunidades de arbitraje est´an presentes en el d´ıa a d´ıa de los mercados financieros, pero tambi´en es una realidad que en mercados cada vez m´ as globales y tecnificados, la velocidad con la cual los agentes descubren estas oportunidades y toman ventaja de las mismas es muy alta, lo que inevitablemente lleva a una correcci´on de los precios de los activos utilizados en la estrategia de arbitraje y a que desaparezca muy r´ apidamente la oportunidad. De esta forma, el asumir que el modelo de mercado es libre de arbitraje no resulta ser un supuesto descabellado, esto desde luego sin dejar de reconocer que es posible considerar modelos m´as realistas que incluyan estas oportunidades dentro de sus supuestos, pero para el caso particular de los modelos desarrollados en el presente texto se asumir´a la ausencia de arbitraje. Una vez planteada la hip´ otesis principal de trabajo, en el siguiente cap´ıtulo se desarrolla el modelo binomial de valoraci´ on y se presenta su aplicaci´on a la valoraci´on de algunos tipos particulares de activos.

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Cap´ıtulo 2 Modelo binomial de valoraci´ on Para introducir el modelo binomial de valoraci´on consideramos primero el caso de un periodo, es decir, asumiremos que la econom´ıa inicia en un instante t = 0 y termina en t = 1, esto para facilitar algunas operaciones y entender de una mejor forma resultados importantes.

2.1.

El modelo de mercado en un periodo

Consideramos primero un mercado financiero simple entre dos fechas (un periodo) t = 0 y t = 1, en el cual existen los siguientes activos: Un activo libre de riesgo o bono que act´ ua como inversi´on o pr´estamo sin riesgo, cuyo valor en el instante t denotamos por Bt . El precio de este activo tiene un comportamiento determin´ıstico, de forma que si su valor en t = 0 es B0 su valor en t = 1 es B1u = B1d = B1 = B0 (1 + rf ), donde rf es la tasa de inter´es libre de riesgo que asumiremos constante. Es importante notar que la caracter´ıstica determinista del precio de este activo significa que su valor en t = 1 siempre estar´ a dado por la expresi´on anterior, sin importar el estado de la naturaleza. Un activo riesgoso, cuyo valor en t denotamos por St . El precio de este activo es de car´acter estoc´ astico, de forma que en t = 1 est´a dado por la variable aleatoria de tipo Bernulli: ( uS0 S1 = dS0

con probabilidad p con probabilidad 1 − p

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donde u es el factor de crecimiento del precio, d es el factor de decrecimiento del precio y las probabilidades p y 1 − p son las probabilidades de mercado asociadas a los posibles valores del activo en t = 1. Asumiremos por ahora que u y d son cantidades constantes y conocidas, y m´ as adelante se estudian las implicaciones de este supuesto. Cabe anotar que al asumir que el precio solamente puede subir o bajar entre un periodo y otro, estamos asumiendo que solo hay dos estados de la naturaleza posibles en el instante final. Consideramos tambi´en un derivado financiero pactado sobre el activo riesgoso, cuyo valor en t denotamos por Vt . El precio de este activo es de car´acter estoc´astico y resulta ser una funci´ on del precio St (Vt = f (St )), donde la forma de la funci´on f determina el tipo de derivado que se est´ a considerando. El precio de este derivado en t = 1 tambi´en est´a dado por una variable aleatoria de tipo Bernulli, tal que: ( V1u = f (uS0 ) V1 = V1d = f (dS0 )

El problema central por tratar es la determinaci´on del valor del derivado en t = 0. Algunos supuestos adicionales que se consideran son: El mercado es libre de fricciones, es decir, no hay costos de transacci´on, tasas impositivas o comisiones. Los activos son perfectamente divisibles, lo que implica que los agentes presentes en este mercado pueden negociar con cualquier cantidad positiva de activo (riesgoso o libre de riesgo). La tasa libre de riesgo constante rf , es la misma para invertir o tomar prestado en el bono. Son posibles las ventas en corto, es decir, es posible contraer obligaciones hoy sobre un activo que no se posee con el compromiso de cumplir la obligaci´on en el futuro. El mercado es libre de oportunidades de arbitraje. Nota 1 La forma de garantizar que en el mercado no se presenten oportunidades de arbitraje es imponiendo, por lo menos en este mercado simple, que: 0 ≤ d ≤ 1 + rf ≤ u

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expresi´ on que en adelante denominaremos como condici´ on de no arbitraje. Se invita al lector a demostrar que si estas desigualdades se incumplen en alg´ un sentido se tienen oportunidades de arbitraje bajo los supuestos considerados. Apoyados en la ausencia de oportunidades de arbitraje en el mercado y en que, por ende, se cumple la ley de u ´nico precio, es posible resolver el problema de valorar el derivado financiero (Vt ) al establecer un portafolio de activos (Xt ) de precio conocido en t = 0, que replique el comportamiento del derivado en cualquier estado de la naturaleza en t = 1. De esta forma, si el portafolio y el derivado generan los mismos pagos en t = 1, la ley de u ´nico precio establece que su valor debe ser el mismo en t = 0.

V0

V1

l

=

X0

X1

Figura 2.1: Principio de valoraci´on por replicaci´on El portafolio Xt utilizado para lograr esta tarea se denomina portafolio de r´ eplica, y el m´etodo de valoraci´on se conoce como valoraci´ on por replicaci´ on o valoraci´ on por no arbitraje.

2.2.

Valoraci´ on por replicaci´ on

Una vez establecido que la valoraci´ on del derivado se realizar´a mediante la construcci´on de un portafolio que lo replique en todos los posibles estados de la naturaleza en t = 1, lo que sigue este determinar la forma como este portafolio se debe constituir para lograr este fin. Dado que en el mercado los u ´nicos activos disponibles son el bono, el activo riesgoso y el derivado, es natural construir el portafolio combinando bono y activo riesgoso. Si el portafolio Xt est´a constituido por x unidades del activo riesgoso y y unidades monetarias en el bono, entonces en t = 0 se tiene: X0 = xS0 + y y sus posibles valores en t = 1 son:

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(2.1)

X1u = xuS0 + y(1 + rf )

(2.2)

X1d = xdS0 + y(1 + rf )

(2.3)

por la condici´on de r´eplica sobre el derivado, se tiene que: ( X1u = xuS0 + y(1 + rf ) = V1u = f (uS0 ) X1d = xdS0 + y(1 + rf ) = V1d = f (dS0 )

(2.4)

En este sistema de ecuaciones lineales las variables son x y y, luego tenemos un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, lo que garantiza que el sistema tiene soluci´on u ´nica dada por: x=

f (uS0 ) − f (dS0 ) (u − d)S0

(2.5)

Este valor de x se conoce como delta de cobertura e indica el tama˜ no de la posici´on en activo riesgoso en el portafolio de r´eplica. Adem´ as,   uf (dS0 ) − df (uS0 ) 1 y= (2.6) 1 + rf (u − d) Dadas estas cantidades, el valor del portafolio de r´eplica en el instante t = 0 es:  1 X0 = xS0 + y = 1 + rf



    1 + r − d  u − 1 − rf   f f (uS0 ) + f (dS0 )  u−d u−d   {z } {z } | | q

(2.7)

1−q

Como las cantidades q y 1−q son positivas y suman 1, podemos interpretarlas como probabilidades; en particular, estas probabilidades se denominan, probabilidades de riesgo neutral, nombre que se justificar´ a m´ as adelante. Entonces se tiene que: X0 =

1 1 [qf (uS0 ) + (1 − q)f (dS0 )] = E Q [f (S1 )] = V0 1 + rf 1 + rf

De este u ´ltimo resultado es importante destacar:

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(2.8)

El valor del derivado queda determinado por la expresi´on 2.8, la cual no depende de las probabilidades subjetivas asociadas a los posibles cambios del precio del activo subyacente por cada agente del mercado. Las probabilidades q y 1 − q reciben el nombre de probabilidades de riesgo neutral ya que bajo esta medida de probabilidad todos los activos en el mercado retornan la tasa libre de riesgo.

   u − 1 − rf 1 + rf − d + dS0 u−d u−d uS0 + rf uS0 − udS0 + udS0 − dS0 − rf dS0 = u−d (u − d)S0 + rf (u − d)S0 = = S0 (1 + rf ) u−d

E Q [S1 ] = uS0



De forma an´ aloga para la variable Xt se tiene que E Q [X1 ] = (1 + rf )X0 , es decir, las rentabilidades esperadas son: E

Q



 S1 = 1 + rf S0

;

E

Q



 X1 = 1 + rf X0

luego el retorno de los activos riesgosos bajo Q es la tasa libre de riesgo. Dado que la medida Q es u ´nica, porque el sistema de ecuaciones que se resolvi´o tiene soluci´on u ´nica, el mercado se dice completo. Si definimos la variable retorno de un activo S como: RS =

S1 − S0 S0

la cual resulta ser aletoria ya que se tiene: ( RSu RS = RSd

= =

uS0 −S0 S0 dS0 −S0 S0

No es dif´ıcil mostrar que:

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con probabilidad p con probabilidad 1 − p

E[RS ] − rf = [p(RSu ) + (1 − p)(RSd )] − rf = p(u − d) + d − (1 + rf )

y, E Q [RS ] − rf = 0

2.3.

El modelo de valoraci´ on generalizado

Si las ideas anteriores se extienden al caso en el cual hay tres fechas (dos periodos) se tiene que: El precio del bono es: B1 = B0 (1 + rf )

;

B2 = B0 (1 + rf )2

El activo riesgoso:

t=0

t=1 p

t=2 u2 S0

uS0

S0

udS0 1 − p dS0 d2 S0 16

Esto asumiendo que los valores de u y d son constantes y que las probabilidades p y 1 − p no cambian en el tiempo. El derivado:

t=0

t=1

t=2 V1uu

V1u V1ud

V0 V1d

V1dd Aplicando la expresi´ on 2.8 de forma iterativa sobre cada uno de los periodos, es decir, asumiendo que cada una de las bifurcaciones del modelo puede considerarse como un modelo de un periodo, se tiene que el valor del derivado en t = 1 en el escenario a la alza es: V1u =

1 [qV1uu + (1 − q)V1 ud] 1 + rf

V1d =

1 [qV1ud + (1 − q)V1 dd] 1 + rf

y en el escenario a la baja,

Utilizando estos dos valores es posible determinar el valor del derivado en t = 0 aplicando de nuevo la f´ormula de valoraci´ on. 1 [qV1u + (1 − q)V1d ] 1 + rf      1 1 1 uu ud ud dd = q [qV1 + (1 − q)V1 ] + (1 − q) [qV1 + (1 − q)V1 ] 1 + rf 1 + rf 1 + rf h i 1 2 u2 ud 2 d2 q V = + 2q(1 − q)V + (1 − q) V 1 1 1 (1 + rf )2 2   X 2 2−k 1 2−k k = q (1 − q)k V1u d 2 (1 + rf ) k

V0 =

k=0

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Esta u ´ltima expresi´ on puede ser generalizada directamente al caso de N periodos manteniendo los supuestos considerados hasta el momento, de forma que se tiene: N   X 1 N N −k N −k dk V0 = q (1 − q)k VNu N (1 + rf ) k k=0

donde: N −k dk

VNu

= f (uN −k dk S0 )

Ejemplo 1 Consideremos un derivado con vencimiento en t = 1, y que en dicha fecha tiene un valor para su poseedor dado por (S1 − K), donde K es una cantidad fija pactada en el contrato. Buscamos determinar, bajo las consideraciones del modelo discreto en un periodo, el valor de este derivado en t = 0. De acuerdo con la f´ ormula de valoraci´ on se tiene que: 1 [q(uS0 − K) + (1 − q)(dS0 − K)] 1 + rf      1 + rf − d u − 1 − rf 1 = (uS0 − K) + (dS0 − K) 1 + rf u−d u−d   (1 + rf )uS0 − udS0 − K(1 + rf ) + dK + udS0 − (1 + rf )dS0 − uK + (1 + rf )K 1 = 1 + rf (u − d)   (1 + rf )S0 (u − d) − K(u − d) 1 = 1 + rf (u − d) 1 [(1 + rf )S0 − K] = 1 + rf K = S0 − 1 + rf

V0 =

Ejemplo 2 Consideremos un derivado con vencimiento en t = 1, que al vencimiento tiene un valor para su poseedor dado por m´ ax{S1 − K, 0} = (S1 − K)+ . Sobre la cantidad K se asume que dS0 < K < uS0 , luego: ( (uS0 − K)+ = uS0 − K = + V1 (S1 − K) = (dS0 − K)+ = 0 y por la aplicaci´ on de la f´ ormula de valoraci´ on se tiene que:

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1 [q(uS0 − K) + (1 − q)0] 1 + rf     uq K − q = S0 1 + rf 1 + rf

V0 =

Como se explicar´ a m´ as adelante, este tipo de derivados se conocen como opciones de compra europeas, y su valoraci´ on en tiempo continuo fue presentada en el trabajo seminal de Black y Scholes de 1973, en lo que se conoce como la f´ ormula Black-Scholes-Merton. La expresi´ on u ´ltima que hemos desarrollado es la versi´ on en tiempo discreto y para un periodo de este resultado.

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Cap´ıtulo 3 El modelo binomial para la valoraci´ on de algunos derivados En esta secci´on consideramos la aplicaci´ on de modelo binomial para la valoraci´on de algunos tipos particulares de derivados financieros, que por sus caracter´ısticas son considerados como ex´ oticos en el mercado de derivados. Es importante destacar que debido a la simpleza y flexibilidad del modelo binomial, este permite aproximar el valor de este tipo de activos, lo que muchas veces resulta engorroso en modelos m´ as elaborados.

3.1.

Valoraci´ on de opciones simples (plain vanilla)

Las opciones financieras son un tipo particular de derivado que otorgan a su poseedor el derecho, mas no la obligaci´ on, de comprar o vender una determinada cantidad de activo subyacente, en o antes de una fecha futura espec´ıfica y por un monto determinado. En este tipo de derivado es importante destacar que el poseedor del contrato no est´a obligado a negociar (comprar o vender) el subyacente, mientras que el escritor o vendedor del contrato s´ı est´a obligado a cumplir con su parte del contrato en caso de que el poseedor decida ejercer su derecho. Esta situaci´on de desequilibrio (en t´erminos del riesgo que asume el vendedor del contrato) hace necesaria la compensaci´ on del comprador al vendedor mediante el pago de una prima, que en adelante denominaremos prima de la opci´ on. El problema central en esta situaci´ on radica en el c´alculo del valor de la prima de la opci´on, para lo cual se recurre al principio de valoraci´on por no arbitraje y al uso del modelo binomial. Empezamos entonces por considerar las siguientes variables:

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Como se hab´ıa definido, St denota el precio del activo subyacente en el instante t. T denota la fecha de vencimiento de la opci´on. K denota el precio por el cual ser´ a negociado el activo subyacente en la fecha de vencimiento de la opci´ on, denominado precio de ejercicio o strike price. De acuerdo con esta notaci´ on, si se considera que la opci´on da a su poseedor el derecho a comprar el activo subyacente en la fecha de vencimiento del contrato (esto es lo que se denomina una opci´ on call europea), entonces el valor que la opci´on tendr´a para su poseedor en la fecha de vencimiento est´a determinado por max{ST − K, 0} = (ST − K)+ , ya que el derecho de compra solo ser´a ejercido si el precio del subyacente est´a por encima del precio de ejercicio al vencimiento. La valoraci´on de este tipo de derivado ya se realiz´o como ejemplo al final del cap´ıtulo anterior, pero en este caso se consider´ o un modelo de un solo periodo. En general, si consideramos que el intervalo de tiempo entre t = 0, momento en el cual se pacta la opci´on, y t = T , la fecha de vencimiento de la opci´ on, es dividido en N periodos, entonces el valor de la prima de la opci´on de compra (C) siguiendo el modelo binomial est´a dado por: N   X 1 N N −j C= q (1 − q)j (ST − K)+ N (1 + rf ) j j=0

N   X 1 N N −j = q (1 − q)j (uN −j dj S0 − K)+ N (1 + rf ) j j=0

Dado que la opci´ on solo ser´ a ejercida en aquellos escenarios en los cuales el precio del subyacente supere al precio de ejercicio, la suma anterior puede considerarse a partir de un punto j = a que indica que el n´ umero de veces que el precio del subyacente subi´o, es suficiente como para que la opci´on sea ejercida. De esta forma:

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N   X 1 N N −j C= q (1 − q)j (uN −j dj S0 − K) N (1 + rf ) j j=a

N   N   X X 1 N N −j 1 N N −j j N −j j = q (1 − q) u d S0 − q (1 − q)j K N N (1 + rf ) j (1 + rf ) j j=a

= S0

= S0

1 (1 + rf )N N  X j=a

= S0

N  X j=a

j=a

N  X j=a

 N   X N N −j 1 N N −j j N −j j q (1 − q) u d −K q (1 − q)j N (1 + rf ) j j j=a

 N   N −j dj X N N −j 1 N N −j j u q (1 − q) −K q (1 − q)j N N j (1 + rf ) (1 + rf ) j j=a

N j



qu 1 + rf

N −j 

(1 − q)d 1 + rf

j

N   X 1 N N −j −K q (1 − q)j N (1 + rf ) j j=a

Si en el primer t´ermino de esta u ´ltima ecuaci´on hacemos: q˜ =

qu 1 + rf

y

1 − q˜ =

(1 − q)d 1 + rf

la expresi´on para el valor de la prima de la opci´on de compra es: N   N   X X N N −j N N −j 1 j C = S0 q (1 − q)j q˜ (1 − q˜) − K N (1 + rf ) j j j=a

j=a

La primera de las sumatorias en esta expresi´on denota una funci´on binomial complementaria con par´ametros N y q˜, es decir, esta suma describe la probabilidad acumulada de una distribuci´on binomial a partir de un valor a. Para el caso de la segunda suma tenemos de nuevo una funci´on binomial complementaria de par´ ametros N y q. Si denotamos las distribuciones complementarias como: N   X N N −j p˜ (1 − p˜)j Z[a; N, p] = j j=a

tenemos que la prima de la opci´ on call europea est´a determinada por: C = S0 Z[a; N, q˜] − K(1 + rf )−N Z[a; N, q]

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donde: q=

1 + rf − d u−d

;

q˜ =

qu 1 + rf

Por analog´ıa sobre los c´ alculos anteriores, el valor de la prima de una opci´on de venta (put) europea, est´a determinado por: P = K(1 + rf )−N (1 − Z[a; N, q]) − S0 (1 − Z[a; N, q˜])

El valor a a partir del cual se realiza la sumatoria, de forma que la opci´on es ejercida, queda determinado por: uN −a da S0 > K

→

a>

ln(K/S0 uN ) ln(d/u)

Las opciones de compra y venta europeas que fueron valoradas en esta secci´on se denominan opciones plain vanilla porque son las versiones m´as simples de este tipo de derivado. En la siguiente secci´on se considera la aplicaci´ on del modelo binomial para la valoraci´on de un tipo m´as sofisticado de opci´ on.

3.2.

Valoraci´ on de opciones con prima contingente

Las opciones de prima contingente u opciones pague despu´ es, son de tipo europeo (ejercicio solo al final) en las que la prima de la opci´ on no es pagada al momento de la firma del contrato, sino no al vencimiento de la opci´ on, y esto solo si la opci´on es ejercida. Este tipo de opci´ on se clasifica como ex´ otica, y, desde luego, es m´as atractiva para los agentes en el mercado que con este derivado tienen la posibilidad de cubrir su riesgo mediante, pero pagando la prima de la opci´ on solamente en el escenario que los beneficia. Desde luego, esto hace que el valor de la prima sea mayor que en el caso de las opciones plain vanilla, y este monto se puede determinar con la ayuda del modelo binomial. Consideremos un modelo binomial de un solo paso para determinar el valor de una opci´on call pague despu´es. Si α denota el valor de la prima, las posibles ganancias o p´erdidas para un agente poseedor de este tipo de opci´ on, considerando que dS0 < K < uS0 , son: ( (uS0 − K − α) si S1 = uS0 0 si S1 = dS0

23

La aplicaci´on del modelo binomial a estos valores es: 1 [q(uS0 − K − α) + (1 − q)0] 1 + rf 1 1 q(uS0 − K) − qα 1 + rf 1 + rf y dado que en este tipo de opci´ on en el instante inicial (t = 0) no se paga ninguna cantidad, tenemos que: 1 1 q(uS0 − K) − qα = 0 1 + rf 1 + rf

⇒C−

q α=0 1 + rf

donde C es la prima de una opci´ on call plain vanilla. Entonces, α=

C(1 + rf ) q

Como 1 + rf ≥ 1 y 0 < q < 1 se tiene que α > C. Otra variante de este tipo de opci´ on es aquella en la cual se paga un porcentaje (γ) de la prima en t = 0 y el restante al vencimiento en t = 1, solo si la opci´on es ejercida (como ejemplo de este tipo de opciones consideremos un leasing). En este caso, las ganancias o p´erdidas del poseedor de la opci´on son: ( [uS0 − K − α(1 − γ)] si S1 = uS0 0 si S1 = dS0 y aplicando el modelo binomial el valor de la opci´on estar´a determinado por: 1 {q[uS0 − K − α(1 − γ)] + (1 − q)0} = αγ 1 + rf 1 1 q[uS0 − K] − qα(1 − γ) = αγ 1 + rf 1 + rf C−

1 qα(1 − γ) = αγ 1 + rf

y la prima de la opci´ on es:

24

→

αγ +

αq(1 − γ) =C 1 + rf

α=

C(1 + rf ) γ(1 + rf ) + q(1 − γ)

Podemos ver que si γ = 1 la prima se convierte en la prima de una opci´on call plain vanilla, y si γ = 0 tenemos el valor de la prima de una opci´on pague despu´es est´andar.

3.3.

Derivados de tipo de cambio

Denotemos por Xt al valor en el instante t de una unidad de moneda extranjera expresada en moneda local, por ejemplo, si la moneda local es pesos colombianos (COP) y la moneda extrajera es d´olares americanos (USD), entonces que Xt = 2110 significa que 1 d´olar americano equivale a 2110 pesos colombianos en el instante t. A esta forma de denotar la tasa de cambio entre monedas se le denomina forma directa (o americana). Por razones hist´ oricas (ver el acuerdo de Bretton-Woods), el mercado anuncia las tasas de forma inversa (o europea), luego decir que 1 COP = 0,000452489 USD, equivale a decir que 1 USD = 1/0,000452489=2110 COP. Supongamos ahora que en el momento t = 1, X1 puede tomar dos valores X1u > X1d . Tambi´en consideramos dos tasas de inter´es libres de riesgo: una dom´estica rd y una extranjera re , de forma que si una unidad monetaria se invierte durante un periodo a la tasa libre extranjera la rentabilidad de esta inversi´ on es: B0e = 1

B1e = 1 + re

→

y si una unidad monetaria es invertida durante un periodo a la tasa libre de riesgo dom´estica se tiene que: B0d = 1

B1d = 1 + rd

→

Lo que se quiere es valorar un derivado de tipo de cambio, cuyo valor en el tiempo denotaremos por Wt , es decir, un derivado que cubre a los agentes ante las variaciones del tipo de cambio futuras, ya que el valor de esta tasa es predefinido en el derivado. En otras palabras, dado W1 en moneda local, queremos encontrar W0 en moneda local. Para esto consideramos un agente que tiene una cantidad H0 de moneda local invertida a la tasa libre de riesgo dom´estica, y una cantidad H1 de moneda extranjera invertida a la tasa libre de riesgo extranjera. El valor total de este portafolio, en moneda local, en el instante t = 0 es: Π0 = H0 + H1 X0

25

Ahora su valor en el instante t = 1, en moneda local, es: Π1 = H0 (1 + rd ) + H1 (1 + re )X1

Es importante anotar que esta expresi´ on resume dos ecuaciones dado el car´acter binomial de la variable aleatoria X1 . Para aplicar el principio de valoraci´ on por replicaci´on, seleccionamos H0 y H1 de forma que: W1 = H0 (1 + rd ) + H1 (1 + re )X1

lo que genera las ecuaciones: W1u = H0 (1 + rd ) + H1 (1 + re )X1u W1d = H0 (1 + rd ) + H1 (1 + re )X1d Si los precios X1u 6= X1d , el sistema tiene soluci´on u ´nica para H0 y H1 dada por: H1 =

W1u − W1d (1 + re )(X1u − X1d )

H0 =

W1d X1u − W1u X1d (1 + rd )(X1u − X1d )

de lo cual,

26

Π0 = H0 + H1 X0 =

W1u − W1d W1d X1u − W1u X1d + X0 (1 + rd )(X1u − X1d ) (1 + re )(X1u − X1d )

=

(W1d X1u − W1u X1d )(1 + re ) + (W1u − W1d )(1 + rd )X0 (1 + re )(1 + rd )(X1u − X1d )

=

W1d X1u (1 + re ) − W1u X1d (1 + re ) + W1u (1 + rd )X0 − W1d (1 + rd )X0 (1 + re )(1 + rd )(X1u − X1d )

W1u [−X1d (1 + re ) + (1 + rd )X0 ] + W1d [X1u (1 + re ) − (1 + rd )X0 ] (1 + re )(1 + rd )(X1u − X1d )   u 1 W1 [(1 + rd )X0 − X1d (1 + re )] W1d [(1 + re )X1u − (1 + rd )X0 ] = + 1 + rd (1 + re )(X1u − X1d ) (1 + re )(X1u − X1d ) ( ! !) 1+rd d d X1u − 1+r 1 1+re X0 − X1 1+re X0 u d = W1 + W1 1 + rd X1u − X1d X1u − X1d o 1 n πW1u + (1 − π)W1d = W0 = 1 + rd =

donde: π=

1+rd d 1+re X0 − X1 X1u − X1d

1−π =

;

1+rd 1+re X0 X1u − X1d

X1u −

Para poder interpretar a π y 1 − π como probabilidades, se debe tener que: X1d <

1 + rd X0 < X1u 1 + re

en analog´ıa a la condici´ on de no arbitraje que se plante´o en la presentaci´on del modelo binomial. Si el resultado anterior se reescribe considerando la notaci´on del modelo binomial, es decir, X1u = uX0 y X1d = dX0 , se tiene que: La condici´ on para considerar a π y 1 − π como probabilidades es: d<

1 + rd