Modelo Numérico de Deconvolución para Pruebas de Presión de Pozos a Paso de Tiempo Adaptativo.

MODELO NUMERICO DE DECONVOLUCION PARA PRUEBAS DE PRESION DE POZOS A PASO DE TIEMPO ADAPTATIVO S. Buitrago

G. Gedler

R. Manzanilla

An
alisis Matem
atico y Estad
stico, INTEVEP, S.A., Apdo. 76343, Caracas 1070-A, Venezuela

RESUMEN

Las t
ecnicas com
unmente utilizadas para la interpretaci
on de resultados en las pruebas de presi
on, suponen la tasa constante durante la ejecuci
on de la prueba transitoria. Cuando se realiza una prueba de restauraci
on, existen los llamados efectos de almacenamiento, distribuci
on de fases en el pozo y fallas en el control de la tasa de ujo en supercie. Estos efectos causan variaci
on en la tasa de ujo durante la prueba. En el caso en que la tasa var
a, la interpretaci
on de los resultados conduce a conclusiones err
oneas, especialmente en la fase de diagn
ostico, en la que intervienen los puntos iniciales de la prueba. El modelo num
erico para la deconvoluci
on de datos de presi
on a tasa de ujo variable, presentado en un trabajo previo 1,2], permite transformar una respuesta de presi
on a tasa de ujo variable en una respuesta equivalente a tasa de ujo constante, lo cual hace posible el uso de las t
ecnicas convencionales de interpretaci
on. La discretizaci
on de la integral de convoluci
on se basa en un esquema a paso de tiempo constante, lo cual implica un alto consumo de tiempo de CPU, as
 como la manipulaci
on de matrices de gran tama~no. Esto se debe al hecho de que al principio de la prueba se observa una fuerte variaci
on en las observaciones, por lo cual para tomarlas en consideraci
on es necesario escoger un paso de tiempo sucientemente peque~no. En este trabajo se presenta un modelo num
erico de deconvoluci
on a paso de tiempo adaptativo, el cual es una generalizaci
on del modelo a paso de tiempo constante. Este nuevo modelo involucra dos etapas: la primera, genera una malla no uniforme en tiempo, a partir del comportamiento de la variaci
on de presi
on observada y la segunda, efect
ua la discretizaci
on de la integral de convoluci
on sobre la malla no uniforme. Tambi
en, se presentan comparaciones en cuanto a la precisi
on y consumo de tiempo de CPU en ambos modelos para algunos conjuntos de datos de campo, con lo cual se demuestra la efectividad del modelo num
erico a paso de tiempo adaptativo.

ABSTRACT

The techniques most commonly used for well test analysis assume a constant ow rate during the transient test. In general, the wellbore storage eect and the phase segregation eect, among others, cause the ow rate to vary during the transient test. When this occurs, interpreting the well test results assuming a constant ow rate leads to erroneous conclusions, especially when the initial points of the test are used. The numerical deconvolution model for variable rate well test pressure data, presented in a previous work, generates an equivalent constant rate data set from the measured ow

rate and pressure data, thus allowing the use of conventional interpretation techniques. The discretization of the convolution integral is based upon a constant time step scheme. A small time step is chosen in order to guarantee the accuracy of the results due to the large variations of the pressure drop at the beginning of the pressure well test. Hence, the dimension of the matrices involved and the execution time are large. This work presents a numerical model, based on deconvolution numerical techniques, for a variable time step which is a generalization of the constant time step model. This new model has two main steps: rst a non-uniform time grid is generated from the behavior of the observed pressure drop, followed by a discretization of the convolution integral on the grid. Additionally, a comparison of the two model based on accuracy of the results and execution time are presented for some eld examples.

1. INTRODUCCION

El modelo num
erico para la deconvoluci
on de datos de presi
on a tasa de ujo variable, presentado en un trabajo previo 1-2], permite transformar una respuesta de presi
on a tasa de ujo variable en una respuesta equivalente a tasa de ujo constante, lo cual hace posible el uso de las t
ecnicas convencionales de interpretaci
on. Este modelo permite analizar pruebas de pozo a tasa de ujo variable donde el ujo y la presi
on se miden simult
aneamente, en la cara de la arena, as
 como tambi
en minimiza, en forma efectiva, los efectos de errores en las mediciones. El modelo se basa en un esquema a paso de tiempo constante, lo cual implica un alto consumo de tiempo de CPU, as
 como la manipulaci
on de matrices de gran tama~no. Esto se debe al hecho de que al principio de la prueba se observa una fuerte variaci
on en las observaciones, por lo cual para tomarlas en consideraci
on es necesario escoger un paso de tiempo sucientemente peque~no. En este trabajo se presenta un modelo num
erico de deconvoluci
on a paso de tiempo adaptativo, el cual es una generalizaci
on del modelo a paso de tiempo constante, desarrollado en INTEVEP, S.A. 1-2]. Este nuevo modelo num
erico involucra dos etapas: la primera, genera una malla no uniforme en tiempo, a partir del comportamiento de la variaci
on de presi
on observada y la segunda, efect
ua la discretizaci
on de la integral de convoluci
on sobre la malla no uniforme. El modelo num
erico aqu
 presentado ha sido implantado en un programa llamado NUMDECV, el cual involucra cuatro grandes pasos: 1. generaci
on de una malla no-uniforme en tiempo, a partir del comportamiento de la ca
da de presi
on observada. 2. construcci
on de la matriz M y t
ermino de la derecha b asociados a la discretizaci
on de la integral de convoluci
on sobre la malla no-uniforme. 3. construcci
on de la matriz A y t
ermino de la derecha d. 4. resoluci
on del problema de minimizaci
on asociado al sistema lineal Mx = b bajo las restricciones Ax
d.

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Dado que la interpretaci
on de las pruebas de pozo mediante las t
ecnicas semilogar
tmicas convencionales o las de curvas tipo suponen que la tasa de ujo en el fondo del pozo es constante durante la ejecuci
on de la prueba, hubo la necesidad de desarrollar una metodolog
a con la que se analizaran pruebas de pozo a tasa de ujo variable, donde el ujo y la presi
on se miden simult
aneamente en la cara de la arena. El modelo num
erico para la deconvoluci
on de datos de presi
on a tasa de ujo variable, permite transformar una respuesta de presi
on a tasa de ujo variable en una respuesta equivalente a tasa de ujo constante. El hecho de que el modelo num
erico se basa en un esquema a paso de tiempo constante, y por otra parte, que al principio de la prueba se tiene una fuerte variaci
on en las observaciones, trae como consecuencia lo siguiente: 1. un alto consumo de tiempo de CPU y 2. la manipulaci
on de matrices de gran tama~no. Con referencia al punto 1, el tiempo de ejecuci
on crece considerablemente a medida que aumenta el n
umero de puntos tomados en cuenta. La reducci
on del consumo de tiempo de CPU ser
a de mucha utilidad para las operaciones de campo porque ayudar
a a determinar aproximadamente el tiempo de duraci
on de la prueba de presi
on, y se obtendr
a as
 la informaci
on suciente para asegurar un an
alisis efectivo de los datos. Con referencia al punto 2, es de hacer notar que a medida que aumenta el n
umero de puntos tomados en cuenta, aumenta el tama~no de las matrices involucradas en el problema de optimizaci
on por resolver. Esto no s
olo afecta al consumo de tiempo de CPU, sino tambi
en exige el uso de mayor cantidad de memoria. Como soluci
on a estos problemas, se desarrolla un modelo num
erico de deconvoluci
on a paso de tiempo adaptativo, el cual, al utilizar propiedades de las funciones involucradas en el c
alculo, permite disminuir las dimensiones de las matrices manipuladas y, como consecuencia, reducir el consumo de tiempo de CPU.

3. MODELO NUMERICO DE DECONVOLUCION A PASO DE TIEMPO ADAPTATIVO 3.1 Modelo numerico a paso de tiempo constante

Las pruebas de presi
on de pozos se basan en la soluci
on a tasa constante de la ecuaci
on de difusividad, la cual describe el ujo de uido ligeramente compresible en un medio poroso. Esta ecuaci
on se deduce a partir de la ley de conservaci
on de masa, la ley de Darcy y una ecuaci
on de estado 3,4,5,6]. La forma general de la ecuaci
on de difusividad es @p  p =
c (1) k @t con condiciones de frontera (2) rlim !1 p(r t) = pI y (r t) j = q : 2rw @p@r (3) rw kh

En la actualidad, el an
alisis de pruebas de presi
on de pozos se realiza comparando las curvas de presi
on obtenidas de los pozos con curvas tipo, como las de Gringarten y Bourdet, las cuales asocian los par
ametros caracter
sticos del pozo. Estas curvas tipo, por basarse en la soluci
on de la ecuaci
on de difusividad, fueron dise~nadas s
olo para analizar pruebas a tasa de ujo constante. En realidad, la informaci
on obtenida es a tasa de ujo variable, lo cual se debe a efectos de almacenamiento y distribuci
on de fases en el pozo, entre otros. Este hecho cre
o la necesidad de buscar una metodolog
a que permita obtener presiones a tasa constante, a partir de las presiones observadas a tasa de ujo variable, para poder compararlas con las curvas tipo y, de esta manera, caracterizar o denir el sistema pozo-yacimiento. Es aqu
 donde el principio de superposici
on en tiempo juega un papel importante. La aplicaci
on del principio de superposici
on, a la soluci
on de la ecuaci
on (1) bajo las condiciones (2) y (3), consiste en poder reemplazar un pozo a tasa de ujo variable por varios pozos a tasas de ujo constante, todos ellos ubicados en el mismo lugar (v
ease 1-2]). Esto conduce a

2Zt 3 dq  pI ; pwf = 2kh 4 d ()pD (t ; )d + q(t)S 5 : 0

(4)

As
, el problema general por resolver se puede escribir de la manera siguiente

Zt

g (t) = f 0(t ; )K ()d + cf (t)

(5)

0

donde f es la tasa de ujo, g es la variaci
on de presi
on observada y K es la funci
on n
ucleo por determinar. La ecuaci
on (5) se conoce como la integral de convoluci
on. A continuaci
on, se presenta la metodolog
a seguida para resolver (5), la cual se encuentra explicada en detalle en 1-2].

a. El intervalo de trabajo 0 T ] se divide en N subintervalos ti ti+1 ], i = 0 ::: N ; 1 de misma longitud t, donde

T t = N

(6)

ti = it i = 0 ::: N:

b. Se conocen los valores de f y g en los puntos ti, i = 0 ::: N . p c. Se considera que la funci
on n
ucleo K es de la forma at + b t + c en t0  t1] y de un polinomio de grado dos en cada intervalo ti ti+1 ], i = 1 ::: N ; 1. Adem
as K y su derivada son continuas en 0 T ] y la derivada segunda es continua en t0  t2].

d. Se considera que la funci
on f es lineal en cada subintervalo ti  ti+1], i = 0 ::: N ; 1.

De (a) y (b) se deduce que la determinaci
on de la soluci
on K del problema (5) se realiza a trav
es de las cantidades c K10  Ki00  i = 1 ::: N ; 1 (7) donde

K10 = K 0(t1 ) y Ki00 = K+00 (ti): (8) Reemplazando t por tL , L = 1 ::: N en (5) se observa la aparici
on de un sistema lineal N  (N + 1), el cual posee m
as inc
ognitas que ecuaciones. Esto trae como consecuencia que este sistema de admitir soluci
on, esta no sea u
nica. Para reducir el conjunto de soluciones del sistema se utilizan las siguientes restricciones sobre K K (t)
0 para t 2 0 T ] 0 K (t)
0 para t 2 0 T ] (9) K 00(t)  0 para t 2 0 T ] K 00(t) mon
otona creciente para t 2 0 T ] Estas restricciones aparecen naturalmente ya que se conoce la forma de las curvas tipos de comparaci
on para la prueba de presi
on de pozos. Las condiciones 1 y 2 re ejan el hecho de que la presi
on crece en forma continua, mientras las 2 y 3 aseguran que la tasa de crecimiento de la presi
on decrece en el tiempo. Para facilitar la representaci
on de las restricciones (9), la soluci
on K del problema (5) se escribe en funci
on de las cantidades c K10  K100  Ki00 ; Ki00;1 i = 2 ::: N ; 1 (10) en lugar de utilizar las cantidades (7). Utilizando (10), las restricciones (9) se transforman en c
0 K10
0 K100  0 Ki00 ; Ki00;1
0 i = 2 ::: N ; 1  N ;1  K100 + P Ki00 ; Ki00;1  0 i=2"  00 00 # NP ;2 00 00 K1 + t (n ; 2) K1 + (n ; i ; 1) Ki ; Ki;1
0:

(11)

i=2

Es de hacer notar que las restricciones dadas por Kucuk y col. en 4-5] no garantizan que efectivamente se cumpla (9). Es por esta raz
on que se agregan nuevas restricciones para asegurar la forma deseada de la funci
on n
ucleo K (v
ease 1-2]). Sustituyendo t por tL , L = 1 ::: N ; 1 en (5) y tomando en cuenta la representaci
on dada de f en (d) y la representaci
on de K en funci
on de los valores (10), se obtiene un sistema lineal de la forma Mx = b (12) donde i. M es una matriz N  (N + 1)





ii. xt = c tK10  t2K100  t2 (K200 ; K100 )  ::: t2 KN00 ;1 ; KN00 ;2 iii. bt = (g (t1 )  g (t2 )  ::: g (tN )) :



Para resolver el problema Mx = b bajo las restricciones (11) se plantea el problema de minimizaci
on siguiente min (Mx ; b)t (Mx ; b) (13) x2 donde  es el conjunto de vectores x tales que sus componentes satisfacen (11). El problema (12) se puede escribir como 1 F (x) ^(x) = fx : Ax
dg  (14) min x2^(x) 2 donde F (x) = xt M t Mx ; 2xt M t b + bt b 0m m m 1 0 0  0 11 12 13 BB m21 m22 m23 0 0  0 C CC BB m m m m CC 0    0 M =B BB m3141 m3242 m3343 m3444 m45    0 C CC BB .. . . . . . . CA .. .. .. .. .. .. @ . mN 1 mN 2 mN 3 mN 4 mN 5    mN (N +1) con m(i+1)(j+1) = mij para i = 3 ::: N ; 1 y j = 4 ::: N y A = (aij ) con 8 si 1  i j  N + 1 > i
j >  si 1  i ; N + 1 j  N + 1 > > < 0i;N +1
j sii = 2N + 3 j = 1 2 aij = ;1 sii = 2N + 3 j = 3     N + 1 > > > j ; 1 2N + 4 j = 1 2 > : N ; j + 1 sisiii = = 2N + 4 3  j  N + 1 El problema (14) se resuelve usando el algoritmo propuesto por Powell 7].

3.2 Modelo numerico a paso de tiempo adaptativo

Se plantea un modelo num
erico de deconvoluci
on a paso de tiempo variable, el cual es una generalizaci
on del modelo a paso de tiempo constante 1-2] . Este envuelve 2 etapas: en la primera se genera una malla no uniforme a partir del comportamiento de la variaci
on de presi
on observada y la segunda corresponde a la discretizaci
on de la integral de convoluci
on sobre esta malla.

3.2.1 Generacion de la malla no uniforme

Como se mencion
o en el cap
tulo 2 es importante el uso de un paso de tiempo variable, es decir una malla no uniforme en tiempo, en la discretizaci
on de la integral de convoluci
on (5), ya que esto conducir
a a la disminuci
on de las dimensiones de las matrices manipuladas, as
 como una reducci
on del consumo de tiempo CPU.

Dada la extructura de la matriz M en (14), la forma mas sencilla de disminuir el n
umero de columnas es pedirle al vector x en (12) que algunas de sus entradas sean cero, por ejemplo, para un i con 1  i  N ; 2, y un p con 2  p  N ; i, supongamos que Kj00+1 ; Kj00 = 0 j = i ::: i + p ; 2: (15) Dado que Kj00 = K+00 (tj ), j = 1 ::: N ; 1, imponer la condici
on para A en (14) equivale a aproximar la funci
on n
ucleo K por un polinomio de grado dos en ti  ti+p] = i+S p;1

tj  tj+1], en lugar de un polinomio de grado dos para cada intervalo tj  tj+1], j =i j = i ::: i + p ; 1. As
, p intervalos consecutivos son agrupados en uno solo y se han eliminado p ; 1 columnas de la matriz M , descrita en (14). Usando la estructura del problema (14) y la observaci
on (15) se gener
o una nueva partici
on t~j sobre 0 T ] agrupando p intervalos a partir de puntos ti. En general, se dene una funci
on que indica el n
umero de intervalos consecutivos, generados por la partici
on ti, que se agrupan a partir de algunos de los ti. Sea A  1 N ] \ N , cardinalidad de A = NN < N y INTERV : A ! N  con

INTERV (1) = p, lo que signica que a partir de t1 se agrupan p intervalos INTERV (m) = p, 1 < m  NN , lo que signica que a partir de tj , j = 1 + mP ;1 INTERV (i), se agrupan p intervalos, donde NN se calcula a partir de i=1

N =1+

NN X;1 i=1

INTERV (i):

(16)

INTERV induce sobre el intervalo 0,T] una partici
on t~i, i = 0 ::: NN tal que 8 tm para m = 0 1 < m ; 1 ~ P tm = : t  j = 1 + INTERV (i) para m = 2     NN: (17) j i=1

As
, el problema de la generaci
on de la malla no uniforme se reduce a determinar la funci
on INTERV a partir del comportamiento de la funci
on g (la variaci
on de la presi
on observada). Para el caso en que la tasa de ujo es constante, la variaci
on de presi
on observada, funci
on g, debe tener las caracter
sticas siguientes g(t)
0 g0(t)
0 g00(t)  0y g00(t) mon
otona creciente para t 2 0 T ]: (18) Para valores de t grande, g cae en estado de ujo semicontinuo, es decir, tiende a estabilizarse y sus variaciones, g0, tienden a ser constantes. La idea es ahora agrupar, por ejemplo, p intervalos consecutivos en uno solo, comenzando en un punto ti , siempre y cuando g0(ti+j ) < 1 para j = 0 ::: p ; 1 y

g00(ti+j+1) ; g00(ti+j ) < 2 para j = 0 ::: p ; 2 (19) donde 1 y 2 dependen del comportamiento de la funci
on g (la variaci
on de presi
on obsevada).

3.2.2 Discretizacion de la integral de convolucion

En la secci
on 3.1 se present
o la metodolog
a seguida para la determinaci
on de la soluci
on K del problema (5) usando un paso de tiempo constante t. La metodolog
a que se presenta a continuaci
on es una extensi
on de la metodolog
a seguida para el modelo num
erico de deconvoluci
on a paso de tiempo constante: a. El intervalo 0 T ] se divide en N subintervalos ti ti+1], i = 0     N ; 1 de longitud t = T=N , ti = it, i = 0     N . b. Se considera la funci
on INTERV : A  N  ! N , donde el n
umero de elementos de A es menor que N (INTERV ha sido descrito en la secci
on 3.2.1). La imagen de cada elemento de A indica el n
umero de intervalos que se agrupan a la derecha de un cierto punto t de la partici
on 0 T ], tal como se indic
o en la secci
on 3.2.1. INTERV induce sobre 0 T ] una nueva partici
on t~i, i = 0     NIA + 1, donde NIA est
a denida por la relaci
on

N =1+ y

NIA X 1=1

INTERV (i)

8 > para m = 0 1 < tm t~j = > t  j = 1 + mP;1 INTERV (i) para m = 2     NIA + 1: : m i=1

(20)

(21)

c. Se conocen los valores de f y g en los puntos ti, i = 0     N . p d. Se considera que la funci
on n
ucleo K es de la forma a0 t + b0 t + c0 en t~0  t~1], y de un polinomio de grado 2 en cada intervalo t~i t~i+1 ], i = 1     NIA. Adem
as K

y su derivada son continuas en 0 T ] y la derivada segunda es continua en t~0  t~2] e. Se considera que la funci
on f es lineal en cada subintervalo t~i  t~i+1], i = 0     NIA. Bajo estas consideraciones sobre la partici
on ti en 0 T ] se llega al igual que en

1-2], a un sistema lineal de la forma

Mx = b donde i. M = (mij ) es una matriz N  (N + 1) (v
ease 1-2]). ii. xt = (c0  tK10  t2 K100  t2(K200 ; K100)     t2(KN00 ;1 ; KN00 ;2 )).

(22)

iii. bt = (g(t1) g(t2)     g(tN )).

De (b) y (d) se deduce que agrupar p intervalos a partir de ti trae como consecuencia que Kj00+1 = Kj00, j = i     i + p ; 2. As
, algunas de las entradas del vector xt van a ser cero, lo que es equivalente a poder eliminar algunas de las columnas de la matriz M y por consecuencia, una reducci
on en su dimensi
on. Llamemos M~ a la matriz que se obtiene a partir de M eliminando las columnas correspondientes a las variables Kj00+1 ; Kj00 = 0. Para M~ tenemos que

i. Su dimensi
on es N  L, donde L = N + 1 ; iP=1 (INTERV (i) ; 1) = NIA + 2. ii. Sus columnas vienen dadas por NIA

8 Col M si j = 1 2 3 < j ;3 Colj M~ = : Col M con w = 3 + jP INTERV (k) si j = 4     L w k=1

Sea x~ un vector de dimensi
on L tal que 8x si j = 1 2 3 < j j ; 3 x~ = : x con w = 3 + P INTERV (k) si j = 4     L w k=1

(23)

(24)

donde x fue denido en (12). Esto conduce al hecho de que determinar K del problema (5) es equivalente a resolver el sistema de ecuaciones lineales M~ x~ = b (25) bajo las restricciones Ax~
d (26) donde A = (aij ) es una matriz de dimensi
on L  (2L + 2) con 8 > i
j si 1  i j  L > > ;  si 1  i ; L j  L i;L
j > > 0 si i = 2L + 1 j = 1 2 > > < ;1 si i = 2L + 1 j = 3     L aij = j ; 1 (27) si i = 2 L + 2  j = 1  2 > > > N ;2 si i = 2L + 2 j = 3 > > i ; 3 P > : N ; 2 ; INTERV (p) si i = 2L + 2 4  j  L p=1

y d = (di) es un vector de dimensi
on 2L + 2 con 8 > 0 si i = 1 2 > 9 > ; 10 si i = 3 > > > < 0 9 si i = 4     L di = > ;10 si i = L + 1 L + 2 > 0 si i = L + 3 > > 9 10 si i = L + 4     2L > >; : 0 si i = 2L + 1 2L + 2:

(28)

Aqu
, el conjunto de restricciones Ax~
d corresponde al conjunto de restricciones sobre la funci
on K necesarias para asegurar el comportamiento deseado. Para resolver el problema (25) bajo las restricciones (26) se plantea el problema de minimizaci
on siguiente min ((M~ x~ ; b)t (M~ x~ ; b)) (29) x2 donde  es el conjunto de vectores x~ tales que sus componentes satisfacen (26). El problema de minimizaci
on (29) se puede escribir como 1 F (~x) (~x) = fx~ : Ax~
dg  (30) min x~2(~x) 2 donde F (~x) = x~t M~ t M~ x~ ; 2~xt M~ t b + bt b: (31) El problema (30) se resuelve, al igual que en el caso para paso de tiempo constante

1-2], usando el algoritmo propuesto por Powell 7].

3.2.2 Reconstruccion de la funcion nucleo K a partir del vector solucion del problema de minimizacion. El vector soluci
on x~ al problema de minimizaci
on (30) tiene la forma

8 > < xj si 1  i  3 ;3 x~j = > x con w = 3 + jP INTERV (k) y 4  j  L : w k=1

(32)

donde xt = (c0 tK10  t2K100  t2(K200 ; K100)     t2(KN00 ;1 ; KN00 ;2)). Tal como el modelo num
erico a paso constante fue concebido, las entradas del vector x que fueron eliminadas (ver secci
on 3.2.2.) son remplazadas por cero y para j ;3 las entradas correspondientes a las posiciones w = 3 + P INTERV (k), j = 4     L, k=1 tenemos xw = x~j . El paso siguiente es reconstruir el vector K 00 = (Ki00), i = 1     N ; 1, a partir de 00 Ki00 = xi+2 (33) t2 + Ki;1 con i = 2     N ; 1: Para el c
alculo del vector K 0 = (Ki0 ), i = 1     N ; 1 se usa la siguiente expresi
on i;1 X Ki0 = K10 + t Kj00 i = 2     N ; 1 j =1

y K10 = x2 : (34) t Finalmente, la funci
on K sobre la partici
on t0      tN ;1 viene dada por el vector (Ki) de dimensi
on N

8 > si i = 0 < c0 0 2 00 Ki = > c0 + K1t ; 2K1 t si i = 1 : Ki;1 + t (Ki0;1 + Ki0 ) si i = 2     N ; 1: 2

(35)

4. PRUEBAS NUMERICAS

La metodolog
a fue probada para diferentes conjuntos de datos. Como ilustraci
on se presenta un ejemplo el cual corresponde a una prueba de inyectividad de corta duraci
on llevada a cabo en un pozo inyector de agua en un yacimiento de Eoceno del Lago de Maracaibo. En la prueba se midieron simult
aneamente la tasa de inyecci
on y la presi
on, a nivel de fondo. Al pozo se le inyect
o agua a una tasa de 3000 B/D por un per
odo de 45 horas, aproximadamente, luego fue cerrado por 42 horas y se efectu
o la prueba de inyectividad (1,5 horas) a tasa variable. En la Fig. 1 se muestran los resultados obtenidos de la prueba de inyectividad al utilizar el programa NUMDECV y el tipo de malla no uniforme en tiempo usada. Esta malla permite reducir los 501 puntos a paso de tiempo constante con un consumo de 1630 seg. de CPU, a 361 puntos para el caso de paso de tiempo variable con un consumo de 536 seg. de CPU, dando una ganancia de 3,04 en consumo de tiempo de CPU. Adem
as, se obtiene una reducci
on del 48% en el tama~no de la matriz Hessiana M~ t M~ (31), al pasar de paso de tiempo constante a variable. En este ejemplo el error, es decir la diferencia normalizada de la presi
on deconvolucionada para paso de tiempo variable y paso de tiempo constante, coincide dentro de 5 cifras signicativas.

4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 1. La discretizaci
on de la integral se basa en un esquema a paso de tiempo variable. 2. Se redujo considerablemente las dimensiones de las matrices involucradas en el problema de minimizaci
on. 3. Los resultados num
ericos para paso de tiempo variable son equivalentes a los obtenidos usando paso de tiempo constante. 4. Se redujo en m
as del 30% el consumo de tiempo de CPU para todas las pruebas efectuadas. 5. La t
ecnica presentada permite minimizar el efecto de almacenamiento que se produce al principio de la prueba de presi
on. Como consecuencia, la duraci
on de la prueba puede ser reducida.

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A ser publicado en: Proceedings del II Congreso Venezolano de M
etodos Num
ericos en Ingenier
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