V Jornadas Argentinas de Robótica (JAR'08), 12 al 14 de noviembre de 2008 Universidad Nacional del Sur, Bahía Blanca
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Modelo Din´amico y Controlador de Seguimiento para Robots M´oviles Tipo Uniciclo †
Felipe Nascimento Martins† , Ricardo Carelli‡ , M´ ario Sarcinelli-Filho† , Teodiano Freire Bastos† UFES - Universidade Federal do Esp´ırito Santo, Dep. Engenharia El´etrica, Vit´ oria, Esp´ırito Santo, Brasil ‡ UNSJ - Universidad Nacional de San Juan, Instituto de Autom´ atica, San Juan, Argentina Emails: felipem,mario.sarcinelli,
[email protected],
[email protected]
Resumen— Este art´ıculo presenta una nueva manera para representar el modelo din´ amico del robot m´ ovil tipo uniciclo, y propone un controlador de seguimiento de trayectoria basado en dicho modelo. El modelo din´ amico propuesto recibe velocidades lineal y angular como entradas, lo que es usual en robots m´ oviles comerciales. Propiedades importantes del nuevo modelo son estudiadas, como su caracter´ıstica de pasividad y la anti-simetr´ıa de su matriz C. Algunas de dichas propiedades son utilizadas en el desarrollo del controlador de seguimiento de trayectoria y en el an´ alisis de estabilidad del sistema, que es estudiada con base en la teor´ıa de Lyapunov. Finalmente, resultados experimentales muestran que el controlador dise˜ nado tiene buen desempe˜ no. Keywords— Robots M´ oviles, Control No-lineal, Modelo din´ amico, Teor´ıa de Pasividad, Teor´ıa de Lyapunov.
´n I. Introduccio Entre las distintas estructuras de robots, el tipo uniciclo es fecuentemente utilizado en varias tareas debido a su buena movilidad y configuraci´ on simple. Por ejemplo, esta estructura ha sido utilizada en aplicaciones como vigilancia [1], limpieza de pisos [2] y transporte de cargas en ambientes industriales [3]. Varios estudios han tratado del dise˜ no de controladores de seguimiento de trayectoria para robots m´oviles. Algunos fueron dise˜ nados con base apenas en el modelo cinem´atico del robot, como aquellos presentados en [4] y [5]. Sin embargo, para ejecutar tareas que requieren altas velocidades o transporte de cargas, es fundamental considerar la din´ amica del robot, adem´ as de su cinem´atica. Por eso, algunos estudios presentan el dise˜ no de controladores que compensan la din´ amica del robot. Por ejemplo, [6] present´ o una ley de control para robots m´ oviles no-holon´ omicos que lleva en consideraci´ on la din´ amica del veh´ıculo, a´ un que las se˜ nales de control generadas por este controlador sean pares y que solamente resultados de simulaci´on sean mostrados. El dise˜ no de un controlador adaptable para seguimiento de trayectoria que genera se˜ nales de pares, basado en modelo din´ amico, fue presentado en [7] aunque, una vez m´ as, solamente resultados de simulaciones fueron mostrados. En [8] fue propuesto un controlador adaptable en el cual la incertidumbre del sistema es estimada por un sistema basado en l´ ogica fuzzy y sus par´ ametros son ajustados en l´ınea. El modelo din´ amico usado en dicho trabajo incluye la din´ amica de los actuadores, y las se˜ nales generadas son voltajes para los motores del robot. Otros tipos de controladores de seguimiento de trayecto-
ria basados en la din´ amica del robot fueron desarrollados en [9] y [10], pero solo resultados de simulaciones fueron presentados. En [11] fue propuesto un controlador robusto adaptable para robots m´ oviles dividido en dos partes. La primera parte es basada en la cinem´ atica, y es responsable por generar se˜ nales de referencia para la segunda, que compensa la din´ amica del robot. Una vez m´ as, solamente resultados de simulaciones fueron presentados. Las se˜ nales de control generadas por los controladores din´ amicos presentados en la literatura son, en general, pares o voltages para los motores del robot, como en los trabajos mencionados anteriormente. Sin embargo, robots comerciales usualmente reciben comandos de velocidades lineal y angular. En este contexto, en [12] fue presentado un modelo din´ amico para robots tipo uniciclo que tiene la ventaja de acceptar velocidades lineal y angular como entradas, adem´as de un controlador de seguimiento de trayectoria dise˜ nado con base en dicho modelo. El mismo modelo fue utilizado en [13] para dise˜ nar un controlador din´ amico adaptable de seguimiento de trayectoria para robots tipo uniciclo, en el cual los par´ ametros din´ amicos son ajustados en l´ınea. Este art´ıculo presenta un nuevo modelo din´ amico para robots m´ oviles de tipo uniciclo. El nuevo modelo resulta de una modificaci´ on hecha en el modelo desarrollado y presentado en [12], manteniendo las se˜ nales de velocidades lineal y angular como entradas. Las propiedades de dicho modelo son estudiadas y discutidas, y algunas de ellas son usadas en el dise˜ no de un controlador de seguimiento de trayectoria. Es presentado el an´ alisis de estabilidad de todo el sistema, basado en la teor´ıa de Lyapunov, y la conclusi´ on muestra que los errores de control convergen asint´ oticamente a cero cuando el controlador dise˜ nado es utilizado. Por fin, resultados experimentales muestran un buen desempe˜ no del controlador propuesto. II. Modelo del Robot Uniciclo El modelo din´ amico del robot tipo uniciclo propuesto en [12] es escrito de otra manera a fin de que su ecuaci´ on sea similar a la ecuaci´on din´ amica de un robot manipulador. Finalmente, algunas propiedades del modelo desarrollado son destacadas. A. Modelo Din´ amico La figura 1 muestra la representaci´on del robot m´ ovil tipo uniciclo, sus par´ ametros y variables de inter´es. En la
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kP T > 0 y kP R > 0, y derivativas kDT ≥ 0 y kDR ≥ 0. Tambi´en fue asumido que los motores asociados a ambas ruedas tienen caracter´ısticas id´enticas, y que sus inductancias son despreciables. Las ecuaciones que describen los par´ ametros θi fueron primeramente presentadas en [12], y son reproducidas aqui por conveniencia. Son ellas 1 Ra (mRt r + 2Ie ) + 2rkDT , θ1 = ka 2rkP T
u C E
\
h G
b
Z
a
e
2
c
θ2 =
B y
Ra ka
2 Ie d + 2Rt r Iz + mb2 + 2rdkDR (2rdkP R )
,
Ra mbRt , ka 2kP T 1 Ra ka kb + Be + 1, θ4 = ka Ra rkP T
d
θ3 =
x Fig. 1. Modelo del robot uniciclo.
Ra mbRt , y ka dkP R d Ra ka kb + Be + 1. θ6 = ka Ra 2rkP R θ5 =
figura, u y ω son, respectivamente, las velocidades lineal y angular, G es el centro de masa, C es la posici´on de la rueda castor, E es la localizaci´on de una herramienta a bordo del robot, h es el punto de inter´es (de coordinadas x y y en el plano XY), ψ es la orientaci´on del robot, y a es la distancia entre el punto de inter´es y el punto central del eje virtual que conecta las ruedas (punto B ). El modelo matem´atico completo puede ser escrito como [12] ⎤ ⎡ ⎡ ⎤ ⎡ u cos ψ − aω sin ψ 0 x˙ ⎢ y˙ ⎥ ⎢u sin ψ + aω cos ψ ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎢0 ⎢ψ˙ ⎥ = ⎢ ω ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎢ θ3 2 θ4 ⎣ u˙ ⎦ ⎣ θ ω − θ u ⎦ ⎣ θ1 1 1 1 0 ω˙ − θθ52 uω − θθ62 ω
δx
δy
0 δu
δω
T
⎤ 0 0⎥ ⎥ uref 0⎥ + ⎥ ω 0 ⎦ ref
1 θ2
,
(1)
nales de referencia de donde uref y ωref son las se˜ velocidades lineal y angular, respectivamente, θ = ametros [θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6 ]T es el vector de par´ (identificados) del modelo y δ = [δx δy 0 δu δω ]T es el vector de incertidumbres param´etricas asociado al robot m´ovil. En el modelo, δx y δy son funciones de las velocidades de desplazamiento y de la orientaci´ on del robot, δu y δω son funciones de par´ ametros f´ısicos como masa, inercia, di´ ametros de las ruedas y neum´ aticos, par´ ametros de los motores y servos, fuerzas en las ruedas, etc. Los par´ ametros incluidos en el vector θ son funciones de algunos par´ ametros f´ısicos del robot, como su masa m, su momento de inercia Iz en el punto G, la resistencia el´ectrica Ra de sus motores, la constante electromotriz kb de sus motores, la constante de torque ka de sus motores, su coeficiente de fricci´on Be , el momento de inercia Ie de cada grupo rotor-reducci´ on-engranaje-rueda, el radio r de sus ruedas, el radio nominal Rt de los neum´aticos, y las distancias b y d (Figura 1). Fue asumido que los servos del robot tienen controladores PD para controlar las velocidades de cada motor, con ganancias proporcionales
Debe ser observado que θi > 0, i = 1, 2, 4, 6. Los par´ ametros θ3 y θ5 , por su parte, ser´ an nulos si, y s´ olo si, el centro de masa G estuviera exactamente en el punto central del eje virtual que une las ruedas de tracci´on (punto B ), i.e. b = 0. En este trabajo se considera que b = 0, de manera que θ3 y θ5 son distintos de cero. El modelo del robot tipo uniciclo presentado en (1) es dividido en una parte cinem´ atica y una parte din´ amica, como presentado a continuaci´on. El modelo cinem´atico del robot es representado por ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ x˙ cos ψ −a sin ψ δx ⎣ y˙ ⎦ = ⎣ sin ψ a cos ψ ⎦ u + ⎣δy ⎦ , (2) ω 0 0 1 ψ˙ y su modelo din´ amico es dado por ⎡ ⎤ θ3 2 θ4 1 ω − u θ1 θ1 u˙ uref δ ⎦ + θ1 01 =⎣ + u . (3) ω δ ω˙ 0 θ5 θ6 ref ω θ2 − uω − ω θ2
θ2
Reagrupando los t´erminos y despreciando δu y δω , (3) puede ser escrito como θ1 0 u˙ θ4 −θ3 ω u uref + = , (4) ω 0 θ2 ω˙ θ5 ω θ6 ωref o, en una forma compacta, como Hv˙ + c(v)v = vr , donde vr = [uref velocidades, v = velocidades reales θ H= 1 0
(5)
ωref ]T es el vector de referencias de [u ω]T es el vector que contiene las del robot, y las matrices H y c(v) son 0 θ4 −θ3 ω y c(v) = . θ2 θ5 ω θ6
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La matriz c(v) puede ser dividida en dos matrices distintas c(v) = C (v) + F , donde 0 0 −θ3 ω θ y F = 4 C (v) = , 0 θ5 ω 0 θ6 de modo que el modelo din´amico puede ser escrito como Hv˙ + C (v)v + F v = vr .
(6)
Es importante observar que en (6) los productos de las matrices H por v, ˙ C por v y F por v resultan en velocidades, y no en pares. Por lo tanto, el modelo presentado es distinto del modelo din´amico cl´asico basado en pares, y sus propiedades ser´ an analizadas. B. Propiedades del Modelo Din´ amico Para analizar las propiedades del modelo, el t´ermino c(v)v de (4) ser´a reescrito como θ4 −θ3 ω u θ4 −θ3 ω u = , (7) ω θ5 ω Iθ3 ω θ6 + (θ5 − Iθ3 )u ω θ6 donde I = 1rad2 /m2 es una constante necesaria para compatibilizar las unidades. Considerando que θ6 |(θ5 − Iθ3 )u|, el t´ermino c(v)v puede ser escrito como θ 0 u 0 −θ3 ω u + 4 = C(v)v + Fv (8) 0 ω Iθ3 ω 0 θ6 ω y el modelo din´ amico del robot puede ser escrito como Hv˙ + C(v)v + Fv = vr .
(9)
Una importante caracter´ıstica del modelo presentado es que sus entradas son velocidades lineal y angular, no pares. Robots comerciales usualmente reciben comandos de velocidades lineal y angular y, por lo tanto, el modelo propuesto es u ´ til para ser utilizado en conjunto con estos robots. Adem´ as, el modelo din´ amico representado por (9) posee importantes propiedades que pueden ayudar en el dise˜ no de controladores que tengan en cuenta la din´ amica del robot. Estas propiedades son: 1. La matriz H es sim´etrica y definida positiva, o sea H = HT > 0; 2. La inversa de H existe y tambi´en es definida positiva, o sea ∃ H−1 > 0; 3. La matriz F es sim´etrica y definida positiva, o sea F = FT > 0; 4. Las matrices H y F son constantes; 5. La matriz C(v) es anti-sim´etrica; 6. El mapeo vr → v es estrictamente pasivo de salida. Las propiedades 1 y 2 pueden ser probadas observ´andose que H es una matriz diagonal, y que sus t´erminos son todos positivos. La propiedad 3 es v´ alida si θ6 > −(θ5 − Iθ3 )u, o cuando se considera θ6 |(θ5 −Iθ3 )u|. La propiedad 4 es verdadera bajo la hip´ otesis de que no hay cambio en los valores de los par´ ametros, i.e., la estrucura del robot, su masa, su momento de inercia,
3
etc. no cambian. Es importante mencionar que F es constante cuando se considera θ6 |(θ5 − Iθ3 )u|, y que H no depende de la posici´on del robot desde que se desplace en el plan horizontal, ya que el desplazamiento en un plano inclinado provocar´ıa cambio en su momento de in´ercia. Resultados de identificaci´ on de par´ ametros realizada para tres distintos robots tipo uniciclo, presentados en [12], muestran que θ6 |(θ5 − Iθ3 )u| para los tres robots considerados. Estos robots son dos Pioneer 2-DX (uno de ellos posee computadora de bordo y el otro no la posee) y un Pioneer 3-DX que posee computadora de bordo y sensor de barrido laser, todos de la empresa Mobile Robots. Dichos robots tienen diferentes masas y distintas caracteriticas din´ amicas, especialmente el Pioneer 3-DX, pues el sensor de barrido l´aser montado en su parte delantera superior tiene masa de aproximadamente 40% de la masa del pr´ opio robot. O sea, dicho sensor provoca un cambio importante en la din´ amica del robot. Los par´ ametros identificados para el robot Pioneer 2DX que no posee computadora de bordo son θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6
= = = = = =
0.3037 s, 0.2768 s, −0.000402 sm/rad2 , 0.9835, 0.00382 s/m, 1.0725,
mientras que para el robot Pioneer 2-DX con computadora de bordo ellos son θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6
= = = = = =
0.1932 s, 0.1377 s, 0.000352 sm/rad2 , 0.9833, −0.01042 s/m, 0.9837,
y, finalmente, para el robot Pioneer 3-DX ellos son θ1 θ2 θ3 θ4 θ5 θ6
= = = = = =
0.2604 s, 0.2509 s, −0.000499 sm/rad2 , 0.9965, 0.00263 s/m, 1.0768.
Como u es limitado a 1, 2m/s (limitaci´ on de los robots Pioneer), la hip´ otesis de que θ6 |(θ5 − Iθ3 )u| es verdadera para los tres robots considerados. Por lo tanto, el modelo din´amico de los robots mencionados anteriormente puede ser representado por (9), y todas las propiedades ˙ − 2C) son validas. Tambi´en es posible observar que (H es anti-sim´etrica, ya que la matriz H es constante y, por ˙ = 0. lo tanto, H La propiedad de pasividad del sistema puede ser utilizada en el dise˜ no de un controlador estable para dicho sistema [14]. Para mostrar que el mapeo vr → v
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es estrictamente pasivo de salida, considerando el modelo din´ amico dado por (9), considerase la funci´ on definida positiva V = 12 vT Hv, y su primera derivada temporal V˙ = vT Hv. ˙ Usando (9) y aplicando la propiedad de antisimetria de C(v), V˙ puede ser escrito como V˙ = vT (vr − Cv − Fv) = vT vr − vT Fv.
(10)
Integrando (10), V (T ) − V (0) =
T
vT vr dt −
0
0
T
vT Fvdt,
(11)
que resulta, despu´es de despreciar V(T), en la desigualdad T 2 vT vr dt ≥ −V (0) + λmin (F)v2,T , (12) 0
donde λmin (.) representa el menor autovalor de una matriz. Por lo tanto, basado en (12) se puede concluir que el mapeo vr → v de (9) es estrictamente pasivo de salida [15]. ˜o del Controlador III. Disen El dise˜ no del controlador de seguimiento de trayectoria es divido en dos partes, como en [11,13]. Una de las partes es basada en la cinem´atica y la otra realiza la compensaci´on de la din´ amica del robot. La estructura completa de control es presentada en la figura 2. A. Controlador Cinem´ atico El controlador cinem´ atico es basado en el modelo cinem´atico del robot, dado por (2). Despreci´andose las incertidumbres δx y δy y considerando las coordinadas del punto de inter´es h = [x y]T , la ecuaci´on cinem´ atica puede ser escrita como ˙h = x˙ = cos ψ −a sin ψ u = A u , (13) y˙ sin ψ a cos ψ ω ω y la ley de control cinem´ atica propuesta es 2
ucref
3
2
cos ψ
4 5=4 c ωref − a1 sinψ
3 32 x˙ d + lx tanh( kl x x ˜) x 6 7 54 5, ky cos ψ y˙ d + ly tanh( l y˜)
sin ψ 1 a
(14)
y
donde, a > 0; vd = es la salida del controlador cinem´ atico; x ˜ = xd − x y y˜ = yd − y son los errores actuales de posici´on en los ejes X y Y, respectivamente; kx > 0 y ky > 0 son las ganancias del controlador; on; y (x, y) y lx ∈ R, ly ∈ R son constantes de saturaci´ (xd , yd ) son las coordinadas actual y deseada del punto de inter´es, respectivamente. El controlador cinem´atico genera las referencias de velocidades lineal y angular para el controlador din´ amico, como mostrado en la figura 2. Para el analisis de estabilidad se supone seguimiento perfecto de velocidad, o sea, se considera que u ≡ uref y ω ≡ ωref , lo que significa que los efectos de la din´ amica del robot son ignorados. La ecuaci´ on del sistema en lazo cerrado es k 0 x ˜˙ lx 0 tanh( lxx x˜) = . (15) + 0 0 ly tanh( kl y y˜) y˜˙ [ucref
c ωref ]T
y
[˜ x
4
˜ = Definiendo el vector de error de salida como h y˜]T , ecuaci´on (15) puede ser escrita como ˜˙ = − lx tanh kx x h ˜ lx
ly tanh
T
ky ˜ ly y
,
(16)
que posee un unico punto de equilibrio en la origen. Para el an´ alisis de estabilidad de dicho equilibrio, considerase ˜T h ˜ > 0, que es la funci´ on candidata de Lyapunov V = 12 h definida positiva. Su primera derivada temporal es kx ky ˜T h ˜˙ = −˜ x ˜ − y˜ly tanh y˜ , V˙ = h xlx tanh lx ly que es definida negativa. Por lo tanto, se puede concluir que el equilibrio (la origen) es asint´ oticamente estable, lo que significa que x ˜ → 0 y y˜ → 0 cuando t → ∞. En la proxima subsecci´ on la estabilidad del equil´ıbrio ser´ a analisada nuevamente para el sistema completo, despu´es de la adici´on del controlador din´ amico. B. Controlador Din´ amico El controlador din´ amico recibe se˜ nales de referencia de atico, velocidades lineal y angular vd del controlador cinem´ y genera otro par de se˜ nales de velocidad lineal y angular vr que son enviadas como comandos para los servos del robot, como ilustra la figura 2. El dise˜ no del controlador din´ amico es basado en el modelo din´amico representado por (9), considerando que θ6 |(θ5 − Iθ3 )u|. La ley de control propuesta es v ) + Hv˙ d + Cvd + Fvd , vr = T(˜
(17)
donde v ˜ = vd − v es el vector de errores de velocidad. La matriz T(˜ v ) es tanh( kluu u ˜) lu 0 , T(˜ v) = 0 lω tanh( kl ω ω ˜) ω donde ku > 0 y kω > 0 son ganancias constantes y lu ∈ R y lω ∈ R son constantes de saturaci´ on. El t´ermino T(˜ v) provoca una saturaci´ on para garantizar que los comandos enviados al robot est´an dentro de los l´ımites acceptables. Considerando la ley de control (17), la ecuaci´ on de lazo cerrado es Hv ˜˙ = −T(˜ v) − C˜ v − F˜ v. Para el an´ alisis de estabilidad, se considera la funci´on ˜T H˜ v. Su primera derivada temdefinida positiva V = 12 v ˜˙ , que puede ser escrita como poral es V˙ = v ˜ T Hv v) − v ˜T C˜ v−v ˜T F˜ v. V˙ = −˜ vT T(˜ Considerando la propiedad 5 de anti-simetr´ıa de la matriz C, se puede escribir que v) − v ˜T F˜ v. V˙ = −˜ vT T(˜ Recordando la propiedad 3 que garantiza que F es una matriz sim´etrica y definida positiva, se puede concluir que ˜→0 V˙ < 0. O sea se puede concluir que v ˜ ∈ L∞ y v
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5
5RERW
[ G
F XUHI
V F XUHI
\ G [G
&RQWURODGRU &LQHPiWLFR
a [
F XUHI Xa
Z
V
[ \G
F Z UHI
a \
&RQWURODGRU 'LQiPLFR
>șÖ @
F Z UHI Za
\
F UHI
XUHI 'LQiPLFD
Z UHI
[
X
>ș@
&LQHPiWLFD
Z
\
\
V
V
V
[ \
\
\
X
Z
Fig. 2. Estructura de control.
con t → ∞, lo que muestra que el objetivo de control es cumplido. La se˜ nal del error v ˜ tambi´en es cuadrado integrable, como se muestra a continuaci´on. Integrando V˙ , resulta en V (T ) − V (0) = −
0
T
v ˜T T(˜ v)dt −
T
0
v ˜T F˜ vdt.
donde el vector de error [ε1 ε2 ]T puede tambi´en ser escrito como A˜ v, y la matriz A fue previamente definida en esta secci´on. Se puede escribir la ecuaci´on (19) como ˜˙ + L(h) ˜ = A˜ h v(t), donde
Despreciando el t´ermino V (T ), −V (0) ≤ − o
V (0) ≥
T 0
0
T
v ˜T T(˜ v)dt −
T
0
v ˜T F˜ vdt,
˜ = lx L(h) 0
v ˜ T(˜ v)dt + λmin (F)
T
T
0
˜ v2 dt,
donde λmin (F) representa el menor autovalor de F. La desigualdad anterior muestra que los t´erminos est´ an todos acotados y, por lo tanto, puede ser escrita como V (0) ≥ λmin (F) donde α = Z 0
T
∞ 0
T 0
˜ v2 dt + α,
v ˜T T(˜ v)dt. Por lo tanto,
˜ v2 dt ≤
V (0) − α ⇒ λmin (F)
Z
∞ 0
˜ v2 dt ≤
hay seguimiento perfecto de velocidad la ecuaci´on (15) debe ser escrita como k x ˜˙ lx 0 tanh( lxx x˜) ε1 (19) ˙y˜ + 0 ly tanh( ky y˜) = ε2 , ly
V (0) − α , λmin (F)
(18)
lo que permite concluir que v ˜ es cuadrado integrable, i.e., v ˜ ∈ L2 . Nota. Durante el an´ alisis anterior fue considerado que los par´ ametros din´ amicos del robot son exatamente conocidos. Pero, si dichos par´ ametros no pueden ser identificados, o pueden cambiar de una tarea a otra, se debe considerar el desarrollo de un controlador din´ amico adaptable, como presentado en [16]. ˜ Ahora el comportamiento del error de seguimiento h es analizado nuevamente, relajandose la condici´ on de seguimiento perfecto previamente asumida. Cuando no
0 ly
tanh( klxx x ˜) . k tanh( lyy y˜)
Se considera la misma funci´ on candidata de Lyapunov uti˜T h ˜ > 0. Su lizada en el an´ alisis anterior, o sea, V = 12 h primera derivada temporal es ahora escrita como ˜T h ˜˙ = h ˜T (A˜ ˜ V˙ = h v − L(h)), y una condici´ on suficiente para V˙ < 0 puede ser T T ˜ ˜ ˜ v|. Para valores peque˜ nos del error de h L(h) >|h A˜ ˜ donde ˜ se puede escribir L(h) ˜ ≈ Kxy h, control h, kx 0 . Kxy = 0 ky Por lo tanto, una condici´ on suficiente para estabilidad asint´ otica es ˜T Kxy h ˜ > |h ˜T A˜ h v|, ˜ 2 > hA˜ ˜ v, min(kx , ky )h ˜ > h
A˜ v , min(kx , ky )
(20)
Como fue probado que v ˜ → 0, la condici´ on (20) es ˜ Conasint´ oticamente verificada para cualquier valor de h. ˜ secuentemente, el error de control h(t)→ 0, lo que est´a de acuerdo con el objetivo de control.
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ria que compensa los efectos provocados por la din´ amica del robot. Fue realizado el an´alisis de estabilidad basado en propiedades del modelo y en la teor´ıa de Lyapunov, y la convergencia asint´ otica de los errores de control a cero fue garantizada. Resultados experimentales tambi´en fueron presentados para validar el modelo propuesto, y mostraron el buen desempe˜ no del controlador dise˜ nado.
0.5 Referencia Trayectória Real 0
−0.5 y [m]
6
−1
−1.5
Agradecimientos Los autores agradecen a CAPES/MEC (Brasil) y a SPU (Argentina) por el apoyo financiero para el proyecto 018/04 CAPG-BA entre UFES, Brasil, y UNSJ, Argentina, en el cual este trabajo est´a inclu´ıdo. Tambi´en agradecen a FAPES, una Fundaci´ on del gobierno del estado de Esp´ırito Santo, Brasil, por el soporte dado a esta investigaci´on. Sr. Martins tambi´en agradece a UCL Facultad del Centro Leste - por el apoyo que le permiti´ o participar de este trabajo.
−2
−2.5 −1.5
−1
−0.5
0 x [m]
0.5
1
1.5
(a)
0.2
error [m]
0.15
Referencias 0.1
[1]
0.05 0
0
10
20 30 tiempo [s]
40
50
[2] [3]
(b) Fig. 3. (a) Trayectorias real y de referencia y (b) error de distancia durante el experimento.
[4] [5]
IV. Resultados Experimentales El controlador propuesto fue implementado en un robot m´ovil Pioneer 3-DX, que admite comandos de velocidades lineal y angular. Los par´ ametros din´ amicos θ fueron identificados y los valores correspondentes fueron usados en el controlador din´ amico. El robot inicia en la posici´ on (0.2 m, 0.0 m), y debe seguir una trayectoria de referencia en forma de ocho, que se inicia en (0.0 m, 0.0 m). La velocidad lineal del robot varia entre 0.1 m/s y 0.4 m/s, y su velocidad angular varia entre −0.75 rad/s y 0.75 rad/s. La figura 3(a) presenta las trayectorias real y de referencia. Se puede observar que el robot sigue la referencia con peque˜ no error (la posici´on actual del robot es recuperada a trav´es de su sistema de odometria). La figura 3(b) muestra la evoluci´ on del error para este experimento. Se puede notar que el valor del error de seguimiento se mantiene en un valor menor que 0.04 m.
[6] [7] [8]
[9]
[10] [11] [12]
[13]
V. Conclusiones Fue presentada una nueva forma de representar el modelo din´ amico del robot m´ ovil tipo uniciclo. El modelo obtenido tiene como entradas se˜ nales de velocidades lineal y angular, lo que es com´ un en robots comerciales, pero no en la literatura. Propiedades importantes del modelo fueron presentadas y probadas, y algunas fueron utilizadas en el dise˜ no de un controlador de seguimiento de trayecto-
[14] [15] [16]
S. Patel, R. Sanyal, and T. Sobh, “RISCBOT: A WWWEnabled Mobile Surveillance and Identification Robot,” Journal of Intel. Robotic Systems, vol. 45, no. 1, pp. 15–30, 2006. E. Prassler, A. Ritter, C. Schaeffer, and P. Fiorini, “A Short History of Cleaning Robots,” Autonomous Robots, vol. 9, no. 3, pp. 211–226, 2000. B. Stouten and A. de Graaf, “Cooperative transportation of a large object-development of an industrial application,” Proc. IEEE Int. Conf. on Robotics and Automation, ICRA’04, vol. 3, pp. 2450–2455, 2004. R. Carelli, H. Secchi, and V. Mut, “Algorithms for Stable Control of Mobile Robots with Obstacle Avoidance,” Latin American Applied Research, vol. 29, no. 3/4, pp. 191–196, 1999. W. Wu, H. Chen, Y. Wang, and P. Woo, “Adaptive exponential stabilization of mobile robots with uncertainties,” Proc. 38th IEEE Conf. Decision and Control, pp. 3484–3489, 1999. R. Fierro and F. L. Lewis, “Control of a nonholonomic mobile robot: Backstepping kinematics into dynamics,” in 34th Conf. Decision and Control, December 1995, pp. 3805–3810. T. Fukao, H. Nakagawa, and N. Adachi, “Adaptive tracking control of a mobile robot,” IEEE Transactions on Robotics and Automation, vol. 16, no. 5, pp. 609–615, 2000. T. Das and I. Kar, “Design and implementation of an adaptive fuzzy logic-based controller for wheeled mobile robots,” IEEE Trans. Control Systems Technology, vol. 14, no. 3, pp. 501–510, 2006. S. Liu, H. Zhang, S. Yang, and J. Yu, “Dynamic control of a mobile robot using an adaptive neurodynamics and sliding mode strategy,” 5th World Cong. on Intel. Control and Automation, WCICA., vol. 6, pp. 5007–5011, 2004. W. Dong and Y. Guo, “Dynamic tracking control of uncertain nonholonomic mobile robots,” Proc. IEEE/RSJ Int. Conf. Intel. Robots and Systems, IROS, pp. 2774–2779, 2005. M. Kim, J. Shin, and J. Lee, “Design of a robust adaptive controller for a mobile robot,” Proc. IEEE/RSJ Int. Conf. on Intel. Robots and Systems, IROS, vol. 3, pp. 1816–1821, 2000. C. De La Cruz and R. Carelli, “Dynamic modeling and centralized formation control of mobile robots,” in 32nd Conf. IEEE Industrial Electronics, IECON 2006, November 2006, pp. 3880–3885. F. N. Martins, W. C. Celeste, R. Carelli, M. Sarcinelli-Filho, and T. F. Bastos-Filho, “An Adaptive Dynamic Controller for Autonomous Mobile Robot Trajectory Tracking,” Control Engineering Practice, vol. 16, no. 11, pp. 1354–1363, 2008. H. Khalil, Nonlinear systems. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 2002. A. J. v. d. Schaft, L2-gain and passivity techniques in nonlinear control. Springer, 1999. F. N. Martins, R. Carelli, T. F. Bastos-Filho, and M. SarcinelliFilho, “Un Controlador Din´ amico Adaptable de Seguimiento para Robots M´ oviles tipo Uniciclo,” Jornadas Argentinas de Rob´ otica, JAR08, 2008.
