Modelo de Lotka-Volterra

Modelo de Lotka-Volterra
Este modelo plantea un esquema ecológico: presa – depredador, en tanto a como una especie y se alimenta de otra especie x. A partir de dicho planteamiento la especie depredadora puede extinguir a la especie presa, esto en términos teóricos obviamente, si se parte que como modelo matemático simplemente son acotaciones muy aproximadas de lo que ocurre en la realidad.
Pero más allá de quien sobrevive o no dicha relación trófica, las ecuaciones de Lotka-Volterra permiten informar como coexisten en cierta forma dos especies, y no solo, en que tiempo se pueden intervenir para preservar el ciclo ecológico.
A continuación el modelo de Lotka-Volterra:
Se parte del hecho de que x es el numero de presas en cualquier tiempo t, y y el numero de depredaros en ese mismo tiempo t.
Ahora bien, si dado el caso de que no hubiera depredadores la ecuación se plasmaría así:
dxdt=a1x , con a1>0 [Este modelo es conocido]
Por otro lado, si dado el caso de que no hubiera presa la ecuación se plasmaría así:
dxdt=-b1x , con b1>0 [Este modelo es conocido]
En ese sentido, si al existir relación entre dichas especies, las ecuaciones de algún modo deben modificarse y corresponderse entre sí. Es decir:
dxdt=a1x- a2xy Ecuacion del numero de presas,
donde a1 es la tasa instantanea de aumento de la presa en ausencia del depredador.
a2 mide la suceptibilidad de la presa a ser cazado.
dydt=-b1x+b2xy [Ecuacion del numero de depredadores]
donde b1 es la tasa instantanea de disminucion del depredador en el caso de ausencia de presa.
b2 mide la capacidad de depredacion del depredador.

Es de resaltar que la solución literal de este modelo de ecuaciones diferenciales, en donde las incógnitas son las funciones y(t) y x(t), se resuelve computacionalmente con el uso de los Métodos Numéricos.
Sin embargo, es posible encontrar un solución al modelo para cuando x(t)=0, y y(t)=0.
Ejemplo
En cierto ecosistema la población de ratas es….. y la población de serpientes es…

Se parte del hecho de que la presa es la rata, y que el depredador es la serpiente:
Modelo diferencial:
Se tiene que a1=0.4, a2=0.00001, b1=0.08, b2=0.0002
Reemplazando, se tiene:
dxdt=0.4x- 0.00001xy
dydt=-0.08x+0.0002xy
Como ya se había plateado que solo es posible encontrar la solución cuando x=0, y=0. Entonces el modelo es:
dxdt=0.4x
dydt=-0.08x
Y esto si se puede solucionar desde cualquier método visto en clases, para este caso la llevaremos al modelo polinomico para hallar las raíces y luego formular la solución de la ED.
Caso presa:
dxdt=0.4x
x"-0.4x=0
n-0.4=0 (polinomio caracteristico)
n=0.4 (raiz del polinomio)
xt=c e0.4t, c es un constante.

Caso depredador:
dydt=-0.08x
y"+0.08y=0
n+0.08=0 (polinomio caracteristico)
n=-0.08 (raiz del polinomio)
xt=c e-0.08t, c es un constante.
Ahora, si se grafican las soluciones para un c=1, se tiene:


Adicional a lo anterior el modelo de Lotka-Volterra plantea entre otras cosas que el punto de equilibro se puede obtener a partir de los coeficientes:
x0 =b1 b2 , y0 =a1 a2

x0 =0.080.0002, y0 =0.40.00001

x0 =0.080.0002, y0 =0.40.00001
x0 =400 y0 =40000
400 , 40000 punto de equilibrio






Amilkar Leguizamo
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