Modelización Geoeléctrica del Subsuelo con Medidas de Resistividad Aparente

iii



UNPRG ESCUELA PROFESIONAL DE FISICA



UNPRG ESCUELA PROFESIONAL DE FISICA


UNIVERSIDAD NACIONAL
PEDRO RUIZ GALLO

Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas


MODELIZACION GEOELECTRICA DEL SUBSUELO CON MEDIDAS DE RESISTIVIDAD APARENTE

T E S I S
Para obtener el título de:

LICENCIADO EN FISICA

Presentan:
LUIS DAVID SILVA ALCÁNTARA
JUAN CARLOS MENDOZA CARLOS

Asesora:
Lic. Francisco García Roque


Lambayeque, abril del 2013.
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN APROBADO POR LOS MIEMBROS DEL JURADO:





Mg. Melchor Siesquén Sandoval
Presidente








Lic. Fís. Gustavo Montalvo Soberón
Secretario








Lic. Fís. Augusto Saba Effio
Vocal









DEDICATORIA


Dios, eres verdadera fuente de amor y sabiduría. Abuelita aunque ya no estés presente, sé que desde el cielo guías mis pasos…Lo logré. Mamá, papá gracias por su amor, confianza y apoyo incondicional. Esta tesis es para ustedes. Luis David Dios, eres verdadera fuente de amor y sabiduría. Abuelita aunque ya no estés presente, sé que desde el cielo guías mis pasos…Lo logré. Mamá, papá gracias por su amor, confianza y apoyo incondicional. Esta tesis es para ustedes. Luis David
Dios, eres verdadera fuente de amor y sabiduría.
Abuelita aunque ya no estés presente, sé que desde el cielo guías mis pasos…Lo logré.
Mamá, papá gracias por su amor, confianza y apoyo incondicional.
Esta tesis es para ustedes.
Luis David

Dios, eres verdadera fuente de amor y sabiduría.
Abuelita aunque ya no estés presente, sé que desde el cielo guías mis pasos…Lo logré.
Mamá, papá gracias por su amor, confianza y apoyo incondicional.
Esta tesis es para ustedes.
Luis David









A Dios, por iluminarme y concederme voluntad. A mis padres, por todo su esfuerzo y sacrificio. A Lesdy, por su amor, paciencia y comprensión. Juan Carlos A Dios, por iluminarme y concederme voluntad. A mis padres, por todo su esfuerzo y sacrificio. A Lesdy, por su amor, paciencia y comprensión. Juan Carlos
A Dios, por iluminarme y concederme voluntad.
A mis padres, por todo su esfuerzo y sacrificio.
A Lesdy, por su amor, paciencia y comprensión.
Juan Carlos

A Dios, por iluminarme y concederme voluntad.
A mis padres, por todo su esfuerzo y sacrificio.
A Lesdy, por su amor, paciencia y comprensión.
Juan Carlos








AGRADECIMIENTOS

A la empresa Hidrogeotécnica S.A. por el apoyo y las facilidades brindadas para la realización de este trabajo de investigación.
A mi asesor Lic. Francisco García Roque por su guía y dirección en este trabajo.
A los profesores de la Escuela de Física, por los conocimientos transmitidos durante mis años de estudiante.
A cada una de las personas que de una u otra forma han contribuido a mi formación como persona y profesional.
Luis David








Agradezco a Dios por protegerme durante todo mi camino y darme fuerzas para superar obstáculos y dificultades a lo largo de toda mi vida.
A mi madre, que con su demostración de una madre ejemplar me ha enseñado a no desfallecer ni rendirme ante nada y siempre perseverar a través de sus sabios consejos.
A mi padre, que siempre lo he sentido presente en mi vida. Y sé que está orgulloso de la persona en la cual me he convertido.
A mi enamorada Lesdy, que durante estos años de carrera ha sabido apoyarme para continuar y nunca renunciar, gracias por su amor incondicional y por su ayuda en mi proyecto.
A mi amigo Luis David por haber logrado nuestro gran objetivo con mucha perseverancia y por demostrarme que podemos ser grandes amigos y compañeros de trabajo a la vez.
Al Lic. Fis. Francisco García Roque, asesor de tesis, por su valiosa guía y asesoramiento en la realización de la misma.
Al Ing. Miguel Lozada Gerente de la prestigiosa empresa "Hidrogeotécnica S.A.C." por la colaboración brindada durante el desarrollo de este proyecto.
Gracias a todas las personas que ayudaron directa e indirectamente en la realización de este proyecto.
Juan Carlos

RESUMEN

Se presenta un método con el objeto de obtener el modelo geoeléctrico del subsuelo a partir de medidas de resistividad aparente. El algoritmo de Lewi, que aplica el concepto de inversión compacta, es utilizado aquí para resolver la ecuación matricial de resistividad aparente y se emplea el esquema de inversión directa (SIS) para la reconstrucción final de las estructuras geoeléctricas presentes en el subsuelo. Cuatro modelos sintéticos típicos, que representan a diversas condiciones geológicas, se estudian para evaluar el desempeño de esta metodología.
Asimismo, un conjunto de datos de campo tomados en los distritos de Pítipo y Jayanca de la Región Lambayeque, se invierten utilizando este método y los resultados se comparan con los obtenidos por medio del programa de inversión IPI2Win. Finalmente, se infiere la composición litológica del subsuelo y se estima el potencial de los recursos hídricos subterráneos en los lugares de estudio.
Palabras clave: SEV, resistividad aparente, modelo geoeléctrico, SIS, inversión compacta.





ABSTRACT

A method is presented for the purpose of obtaining subsurface geoelectric model from measurements of apparent resistivity. Lewi algorithm, which applies the concept of compact investment, is used here to solve the matrix equation apparent resistivity and used direct investment scheme (SIS) for the final reconstruction of geoelectrical structures in the subsurface. Four typical synthetic models, representing various geological conditions, are studied to evaluate the performance of this methodology.
Also, a set of field data taken Pítipo districts and Lambayeque Region Jayanca are reversed using this method and the results are compared with those obtained through IPI2Win investment program. Finally, we infer the subsurface lithological composition and estimated the potential of groundwater resources in the study sites.
Keywords: SEV, apparent resistivity, geoelectric model, SIS, compact investment.







ÍNDICE
RESUMEN v
ABSTRACT vi
INTRODUCCIÓN 1
CAPITULO I 3
1.1. CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE TEORÍA INVERSA 3
1.1.1. Definición de teoría inversa 3
1.2. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA INVERSO DE RESISTIVIDAD 7
1.2.1. Expresión para el potencial eléctrico utilizando la aproximación exponencial del núcleo integral de Stefanescu 7
1.2.2. Cálculo de la resistividad aparente para dispositivos simétricos 8
1.2.3. Representación matricial del problema inverso de resistividad 10
1.3. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE RESISTIVIDAD MEDIANTE EL CRITERIO DE MÁXIMA COMPACIDAD 13
1.3.1. Esquema del algoritmo de Lewi 13
1.4. ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO 15
1.4.1. El esquema de inversión directa (SIS) 15
CAPITULO III: CONCLUSIONES 21
REFERENCIAS 22








INTRODUCCIÓN

La creciente aplicación del sondeo eléctrico vertical (SEV) en nuestra región, sobre todo en los campos de la exploración hidrogeológica e ingeniería, obliga a la investigación y empleo de técnicas adecuadas para su interpretación cuantitativa, con el fin de descubrir la presencia de patrones interpretables en el modelo numérico obtenido.
El modelo de numérico en este caso, es una representación matemática idealizada de una sección del subsuelo. Este modelo está caracterizado por un conjunto de parámetros (valores de resistividad y de espesor de las capas geoeléctricas), que son las cantidades físicas que se desea estimar a partir de los datos medidos (valores de resistividad aparente). Esto constituye la declaración básica de un problema inverso, cuya solución se caracteriza por ser inestable y no única (Fernández, 2004, Sri Niwas & Olivar, 2006; Pinto, 2011).
Lógicamente, los problemas de la inestabilidad y la no unicidad pueden superarse si algún conocimiento a priori sobre uno de los parámetros del modelo (especialmente el espesor de las capas) está disponible de forma independiente o puede razonablemente asumirse. Esto fue intentado por algunos investigadores (Parker, 1984; Constable et al, 1987, entre otros) sin demasiado éxito, ya que el parámetro conocido (o asumido conocido) no podía excluirse del proceso de inversión a través de la formulación necesaria del problema directo e inverso en SEV.

Sri Niwas & Israil (1986) citado Goyal et al. (1991) demostraron que el núcleo de la función de Stefanescu se puede aproximar como una sumatoria de términos exponenciales. Basándose en esto, y asumiendo que el subsuelo se puede representar por capas de espesor uniforme, Gupta et al. (1997) redujeron el problema inverso no lineal de resistividad a uno lineal y derivaron un conjunto completo de relaciones de recurrencia para los cálculos directo e inverso, requeridas para implementar un esquema de inversión directa (SIS). Diversas pruebas realizadas a este esquema establecieron su eficacia numérica, incluso cuando los datos presentan un nivel de ruido del 20% (Gupta et al, 1997; Sri Niwas & Olivar, 2006).
El SIS utiliza el estimador de norma mínima regularizado para resolver el problema inverso lineal, que proporciona una imagen suave de estructuras geoeléctricas reales, que en ocasiones se ve geológicamente poco realista. Con el fin de obtener un modelo geoeléctrico compacto y estructuralmente simple, inspirado en el modelo inverso proporcionado por el SIS, Israil et al (2004) utilizaron el algoritmo de Last & Kubik (1983) para resolver el problema inverso lineal. Sin embargo, en la inversión de gravedad, el algoritmo de Last y Kubik (1983) presenta algunas inestabilidades cuando se utiliza una distribución de masa complicada. Lewi (1997) citado Ardestani & Kalate (2012), mejoró el algoritmo original mediante la introducción de un nuevo enfoque para la inversión compacta de gravedad en 3D.
En este trabajo, se presenta una metodología basada en el SIS, integrando en su formulación al algoritmo iterativo de Lewi (1997), con el fin de obtener el modelo geoeléctrico del subsuelo.
CAPITULO I
MARCO TEÓRICO

CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE TEORÍA INVERSA
Definición de teoría inversa
Moseegard y Tarantola (1995) definen a la teoría inversa como "la teoría matemática que describe cómo puede derivarse información sobre un sistema físico parametrizado a partir de datos observables, relaciones teóricas entre los parámetros del modelo y los datos e información a priori".
Como señala Fernández (2004), esta definición se caracteriza por su flexibilidad, ya que sólo no restringe el procedimiento utilizado para extraer información sobre el sistema a partir de mediciones, sino que tampoco fija las características que debe tener la solución del problema inverso.
El término teoría inversa se usa en contraste a la teoría directa, la cual se define como el proceso de predicción de datos (mediciones) basándose en algún modelo y en un conjunto específico de condiciones relevantes para el problema. En resumen:
Teoría directa:
Parámetros del modelo -> Modelo -> Predicción de datos
Teoría inversa:
Datos -> Modelo -> Estimado de los parámetros del modelo
Nótese que el papel de la teoría inversa es proporcionar información acerca de los parámetros desconocidos del modelo. Sin embargo, la teoría inversa proporciona también los procedimientos para valorar un modelo o permitir discriminar entre posibles modelos.
De acuerdo a Fernández (2004), todo problema inverso contiene los siguientes elementos básicos:
Un conjunto de modelos
Es decir, una clase M de elementos matemáticos (m) que, se asume, describen el sistema desconocido o, al menos, los aspectos del mismo que se busca conocer. M depende del modelo conceptual físico adoptado y su elección condiciona de forma clara la solución.
Los elementos de M están caracterizados por ciertos parámetros. Por ejemplo, en el caso de S.E.V. comúnmente son los valores de la resistividad y de espesor de las capas geoeléctricas. Esto no excluye, que pueda optarse por parametrizar otras propiedades interesantes del terreno (por ejemplo, su grado heterogeneidad).
La física o ley de comportamiento del problema
Ésta se plasma en una expresión teórica que permita calcular las predicciones de observables asociadas a cada uno de los modelos presentes en la clase M elegida. El proceso de cálculo de dichas predicciones, para cada modelo, utilizando esta expresión teórica se denomina "resolver el problema directo".
En el caso de S.E.V. existe un funcional F que depende del modelo de forma no lineal e implícita en su expresión, se halla el modelo conceptual escogido con todas las hipótesis simplificadoras.
Un conjunto de datos D
Al que pertenecen las medidas realizadas, así como las predicciones obtenidas al resolver el problema directo.
Un planteamiento del problema inverso
Básicamente un problema inverso se puede expresar como:

Fm d
(1)
Es decir, obtenido d D mediante medidas de campo y conocido F, determinar los m M tal que las predicciones F (m) estén "cerca" de d. Este es el enfoque tradicional o clásico, si se quiere, del problema inverso.
Muchos problemas inversos en geofísica y, en particular los S.E.V, gozan 11 de la propiedad de que existen modelos m muy diferentes que satisfacen la ecuación (58) de manera muy razonable. Dichos modelos se denominan equivalentes, dado que ajustan los datos medidos con el mismo grado o nivel de tolerancia (calidad). Como los datos observados están afectados de error, el modelo finalmente estimado con uno u otro conjunto de medidas varía.


El inconveniente serio de este tipo de problemas es que la propagación de los errores desde las observaciones de partida hasta el modelo calculado genera una gran inestabilidad en la solución estimada. La naturaleza del planteamiento del problema inverso en S.E.V es tal que la incertidumbre (en general razonablemente pequeña en una campaña cuidada de adquisición de datos) se amplifica notablemente y produce gran dispersión de las soluciones obtenidas. En la práctica es bastante común observar que cuando se obtiene un modelo utilizando un grupo de medidas y se considera otro grupo de medidas diferente (de la misma calidad pero no exactamente iguales) se puede obtener una solución radicalmente distinta.














FORMULACIÓN DEL PROBLEMA INVERSO DE RESISTIVIDAD
Expresión para el potencial eléctrico utilizando la aproximación exponencial del núcleo integral de Stefanescu
El potencial eléctrico V (r) en la superficie de una tierra estratificada, a una distancia r de una fuente puntual de corriente de intensidad I, está dado por (Fernández, 2004) grounded electrode carrying a current I , asvienese :

V(r)=Iρ12π0 (1+2Θ1)J0λrdλ
(1)
Donde J0λr es la función de Bessel de primera especie y orden cero, Θ1 se denomina "núcleo integral de Stefanescu" y depende implícitamente de las resistividades y de las profundidades de los contactos entre capas del subsuelo, λ es la variable de integración (de dimensión L-1) y ρ1 es la resistividad eléctrica de la capa superior.
La evaluación numérica de esta integral es sumamente compleja. Sri Niwas & Israil (1986) citado Goyal et al. (1991) demostraron que la integral se puede evaluar analíticamente de manera eficiente, si el núcleo integral de Stefanescu se aproxima como una superposición de términos exponenciales de la forma:

Θ1λ=j=1 fje-ξjλ
(2)
Donde fi son los coeficientes, y ξi son los parámetros de aproximación (de dimensión L).

Utilizando la expresión (2), y teniendo en cuenta la relación (integral de Lipschitz):

0 e-λz.J0λrdλ=1r2+z2
(3)
Conocida en la teoría de funciones de Bessel, el potencial (1) se expresa como:

Vr=I2πj=0 T1j1ξj2+r2, ξ0=0; T10=ρ1
(4)
Por lo tanto, una vez que los T1j y ξi se estiman, la integral de la ecuación (1) se puede reducir a una ecuación algebraica sencilla (4). En general, la ecuación (4) converge lentamente, pero la convergencia se puede mejorar con la elección apropiada de los ξi.
Cálculo de la resistividad aparente para dispositivos simétricos
De acuerdo a Fernández (2004), en un arreglo simétrico de cuatro electrodos (figura 1), que consta de dos electrodos de corriente (A, B) y dos electrodos de potencial (M, N), la diferencia de potencial entre los electrodos de potencial (colocados a distancias r y mr del electrodo de corriente A respectivamente, donde m es un multiplicador escalar) se puede calcular, utilizando el principio de superposición, por:

V=2Vr-V(mr)
(5)
Donde V viene dado por la expresión (4). Operando sobre esta expresión se obtiene:

V=Iπj=0 T1j1ξj2+r2-1ξj2+m2r2
(6)
Para un semiespacio homogéneo (de resistividad ρ), el potencial en un punto, debido a una fuente puntual de corriente de intensidad I, situado a una distancia r, se determina por:

Vr=Iρ2π1r
(7)
Y la diferencia de potencial entre los electrodos de potencial, en un arreglo de cuatro electrodos, observada en la superficie de la tierra sería:

V=Iρ2π1r-1mr-1mr+1r
(8)
O

ρ=π1r-1mr-1 VI=k VI
(9)
Donde K se denomina factor geométrico y depende de las posiciones relativas de los electrodos.
Como indica Cosenza (2006), si el terreno no es homogéneo (como casi siempre es el caso), la resistividad obtenida mediante la ecuación (9) dependerá de la distribución de la resistividad en el subsuelo. Esta resistividad se denomina resistividad aparente (ρa) y es la resistividad correspondiente a un medio homogéneo que, para el mismo arreglo de electrodos y la misma intensidad de corriente inyectada, produciría a misma diferencia de potencial que ha sido observada.
Sustituyendo la expresión para la V dada en (10) en la ecuación (9) y manipulando algebraicamente, se obtiene la siguiente expresión para la resistividad aparente en el caso de una tierra estratificada:

ρa=j=0 T1jmrm-11ξj2+r2-1ξj2+m2r2
(10)
El parámetro m en la ecuación (11) define las configuraciones específicas de los electrodos, por ejemplo, Wenner (m=2), Schlumberger (1