Modelado y Simulacion de los Proceso de Colaminado y Laminado en Mathematica

Modelado y Simulaci´on de los Proceso de Colaminado y Laminado en Mathematicar Roberto Carlos Andresen Eguiluz 29 de octubre de 2008

Agradecimientos A Mami y Omi A Sol y Juan

A la gran familia que me rodea, que a pesar de no tener un mismo nombre lo es, Eguiluz Aldrete, Backes, Selmer, Propfe de la Vega, Cerisola Cabrera, Velutini Becker, Zapfe Zaldivar, G´omez Lvoff, Gentzen Santiago y Gonz´alez Rivas. A todos mis hermanos, Padrino, Conchis, Maca, Kaki, Mel, Jack, Manuel, van den Hoogenband, TexTex, Glen, Pito, Dr. Dre, Mau-Tse Toing, Brody Mura, Real Madrid, Marry Christmas y Luciana Pavarotta. A mis c´omplices, que durante la carrera logramos alivianar lo que se ve´ıa imposible, Rodrigo, Hip´acatelas, Goyas, La Mafia, Luis, Demian. A Hugo, David y el Agus, por alivianar el rato en Recubrimientos. A los de all´a: Nora, Kimonakis, Alexandre, Les 10 Salopards, Wikipedia, Michael Smith y Delphine Gourdon. Finalmente a todos mis profesores. No puedo acabar sin agradecer al Dr. Rafael Schouwenaars, qui´en me recuerda constantemente que esto es apasionante.

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´Indice general 1. Introducci´ on 1.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Justificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. ¿Por qu´e Mathematicar ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Antecedentes 2.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. El Proceso de Laminado . . . . . . . . 2.3. Clasificaci´on del proceso de laminado . 2.3.1. Laminado en caliente . . . . . . 2.3.2. Laminado en fr´ıo . . . . . . . . 2.3.3. Laminado de perfiles . . . . . . 2.3.4. Laminado de productos planos . 2.4. El proceso de colaminado . . . . . . . . 2.5. Clasificaci´on del proceso de colaminado 2.5.1. Colaminado sim´etrico . . . . . . 2.5.2. Colaminado no sim´etrico . . . .

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3. Conceptos b´ asicos 3.1. Algunas definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Teor´ıa de plasticidad . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Deformaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Deformaci´on plana . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Comportamiento r´ıgido-pl´astico . . . . . . . 3.1.5. Criterios de fluencia . . . . . . . . . . . . . 3.1.6. Tensor de deformaciones peque˜ nas . . . . . . 3.1.7. Campo de velocidades . . . . . . . . . . . . 3.1.8. Superficies de discontinuidad de velocidades ii

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1 1 1 2

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4 . 4 . 5 . 5 . 6 . 7 . 7 . 8 . 8 . 9 . 10 . 10

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12 12 12 13 14 14 16 18 20 21

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´INDICE GENERAL 3.1.9. Funci´on de corriente . . . . . . . . 3.2. M´etodo del L´ımite . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. M´etodo del L´ımite Inferior . . . . . 3.2.2. M´etodo del L´ımite Superior (MLS)

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4. Descripci´ on del Modelo de Laminado 4.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Consideraciones para el laminado . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Modelado del Laminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Flujo de material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. L´ımite r´ıgido-pl´astico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3. Tensor de velocidad de deformaci´on . . . . . . . . . . 4.3.4. Potencia interna consumida por deformaci´on pl´astica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.5. Potencia interna consumida por cortante en la superficie de discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.6. Potencia interna consumida por fricci´on . . . . . . . 4.3.7. Potencia total consumida por el proceso . . . . . . . 4.4. Carga aplicada por los rodillos . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Optimaci´on de J ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Descripci´ on del modelo de colaminado 5.1. Introducci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Consideraciones para el colaminado . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Modelado del colaminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Flujo de material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. L´ımite r´ıgido-pl´astico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Potencia interna consumida por deformaci´on pl´astica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.4. Potencia interna consumida por cortante en las superficies de discontinuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5. Potencia consumida por fricci´on entre el rodillo y el material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6. Potencia consumida por fricci´on en la intercara . . . 5.3.7. Potencia total consumida por el proceso . . . . . . . 5.4. Carga aplicada por los rodillos . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Optimaci´on de J ∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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21 24 25 25

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26 26 26 27 27 29 30

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34 36 40 40 40

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42 42 43 43 44 47

. 49 . 50 . . . . .

53 54 55 56 57

´INDICE GENERAL

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6. Resultados 60 6.1. Resultados del laminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.2. Resultados del colaminado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 7. Conclusiones

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Bibliograf´ıa

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Anexo I

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Anexo II

85

Cap´ıtulo 1 Introducci´ on 1.1.

Objetivos

El objetivo de este trabajo es el de modelar, simular y predecir, con ayuda de la paqueter´ıa Mathematicar , par´ametros de los procesos de laminado y colaminado utilizando funciones de corriente y haciendo uso del M´etodo del L´ımite Superior (MLS), como lo son potencias requeridas para deformaci´on pl´astica, debidas a discontinuidad de velocidades o fricci´on, par aplicado por los rodillos y relaciones geom´etricas. Tambi´en se demuestra que la paqueter´ıa Mathematicar 5.2 posee grandes ventajas sobre otras plataformas de programaci´on directa, ya que su lenguaje resulta sencillo e intuitivo hasta cierto punto. Adem´as, cuenta con un gran n´ umero de bibliotecas tanto algebr´aicas como num´ericas, reduciendo as´ı el tiempo de programaci´on.

1.2.

Justificaci´ on

Dise˜ nar sistemas avanzados de ingenier´ıa requiere del apoyo y asistencia de computaci´on, como paquetes CAD/CAM/CAE. En estas herramientas, t´ecnicas de simulaci´on computacional son utilizadas frecuentemente para modelar e investigar fen´omenos f´ısicos en un sistema de ingenier´ıa. La simulaci´on requiere resolver ecuaciones diferenciales complejas, integraciones y derivaciones nada triviales, que gobiernan estos fen´omenos, para poder arrojar resultados u ´tiles para los investigadores. Todo esto con el fin de predecir 1

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

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el comportamiento del sistema estudiado, y as´ı poder realizar mejores dise˜ nos de planta, de producci´on, reducir costos de ensayo y errores. Tradicionalmente, tales ecuaciones diferenciales son resueltas de manera amplia usando m´etodos num´ericos como el M´etodo de Elementos Finitos (FEM) o el M´etodo de Diferencias Finitas (MDF). En estos m´etodos, el dominio espacial en las cuales las ecuaciones diferenciales son aplicables, es discretizado en mallas. Los M´etodos Libres de Malla (MLM) son usados para establecer un sistema de ecuaciones algebr´aicas diferenciales para el dominio entero del problema sin el uso de una malla predefinida [1]. Al utilizar el M´etodo del L´ımite (ML), se logran predecir caracter´ısticas valiosas del estado final del producto, como lo son la relaci´on entre alturas de las capas exterior e interior, y par´ametros del proceso, como la potencia consumida, fuerza necesaria para realizar la deformaci´on, y determinar el campo de velocidades asociado, dando una descripci´on clara de lo que sucede en el proceso real. Al ser este m´etodo (MLS), un MLM, el tiempo de procesamiento de datos se reduce considerablemente, siendo los resultados del MLS comparables con los de M´etodos con Malla, como lo es el FEM, reduciendo as´ı costos de simulaci´on y de licencias de paqueter´ıa, los cuales suelen ser muy elevados.

1.3.

¿Por qu´ e Mathematicar?

Mathematicar es una paqueter´ıa desarrollada por Wolfram Research Inc., para hacer matem´aticas en una computadora. Hay tres tipos de funciones b´asicas que se pueden usar con este software: manipulaciones simb´olicas, como ´algebra y c´alculo; c´omputos num´ericos como lo es la evaluaci´on num´erica de varias expresiones y la integraci´on num´erica de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales; finalmente, es posible realizar una representaci´on gr´afica ya sea de funciones generadas en Mathem´ aticar o de datos producidos de cualquier otra forma y le´ıdos por Mathem´ aticar .

´ CAP´ITULO 1. INTRODUCCION

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La capacidad de programaci´on de Mathem´ aticar permite manipulaciones tanto simb´olicas como num´ericas y ser combinado con representaciones gr´aficas. Adem´as, cuenta con muchas de las funciones matem´aticas est´andar como las trigonom´etricas, hiperb´olicas y funciones especiales referentes a aplicaciones comunes. Cualquier funci´on no incluida en la paqueter´ıa, puede ser definida por el usuario. Es por esto, que la investigaci´on detallada de propiedades de soluciones espec´ıficas se vuelve algo alentador y reconfortable [2]. La visualizaci´on de datos es una de las herramientas m´as importantes que requieren los cient´ıficos e ingenieros para valorar varias caracter´ısticas de una soluci´on y para construir una intuici´on sobre las propiedades de soluciones. Mathem´aticar ofrece una variedad para visualizar datos, ya sea en animaci´on, gr´afica param´etrica, campo vectorial, gr´aficas tridimensionales, etc.

Cap´ıtulo 2 Antecedentes 2.1.

Introducci´ on

El laminado es, sin duda, el proceso de conformado mec´anico m´as importante, ya que produce cerca del 90 œ[3] de todos los productos generados por conformado mec´anico. Esto es porque permite una alta productividad,con buenos acabados superficiales y excelentes tolerancias geom´etricas. Sigue en estudio a pesar del ya m´as de un siglo de an´alisis, y es porque las exigencias del proceso son cada vez mayores. Se busca comprender y controlar de la manera m´as precisa el fen´omeno de deformaci´on pl´astica, y as´ı predecir y conocer de la forma m´as amplia las caracter´ısticas que se tendr´an en el producto final. Hoy en d´ıa, la capacidad de procesamiento de datos de las computadoras, junto con los distintos m´etodos num´ericos de c´alculo, han contribuido enormemente al modelado y a la simulaci´on de diversos procesos de conformado mec´anico, y de m´ ultiples ´areas de la ingenier´ıa mec´anica. No sobra mencionar, que todo lo anterior no hubiera sido posible de no ser por las teor´ıas de plasticidad desarrolladas. En los procesos de laminado en fr´ıo, la deformaci´on es dependiente de las componentes normales, con una concentraci´on en el punto de contacto l´amina-rodillo. Para estos casos, en los que se quiere tener m´as detalle del contacto l´amina-rodillo, los modelos unidimensionales como lo es el M´etodo del Planch´on, el cual no considera los esfuerzos cortantes, son claramente 4

CAP´ITULO 2. ANTECEDENTES

5

inadecuados y tienen que ser reemplazados con modelos de derogaci´on bidimensional, donde los campos dependen de dos variables espaciales, como es el caso del MLS.

2.2.

El Proceso de Laminado

El laminado es un proceso de deformaci´on volum´etrica, en el que se reduce el espesor, o la secci´on transversal, de una pieza de trabajo por medio de fuerzas de compresi´on, aplicadas a trav´es de un juego de rodillos que giran en sentidos opuestos. En el caso de laminaci´on de placas, el material sufre ensanchamientos casi nulos, por lo que la reducci´on en espesor resulta en un incremento en la longitud del material. Como ya se mencion´o, los procesos de laminado de productos planos abarcan la mayor´ıa de los metales conformados mec´anicamente. Este proceso mec´anico se desarroll´o alrededor del a˜ no 1500, pero empieza a estudiarse de manera seria en 1925, cuando T. von Karman presenta su “Contribuci´on a la Teor´ıa de Laminado (Beitrag zur Theorie des Walzvorganges)”[4]. La capacidad de obtener soluciones bien establecidas, de resultados experimentales y la relativa simplicidad de su geometr´ıa lo ha hecho un proceso ideal para la mec´anica computacional no lineal. Una de las caracter´ıstcas que han permitido la comprensi´on de las bases mec´anicas del proceso es su estado cuasi -estable, ya que los campos t´ermicos y mec´anicos (esfuerzo, velocidad, temperatura, etc.) permanecen estables durante gran parte de la operaci´on [5]. Factores de complejidad incluyen deformaciones de car´acter local, las cuales suceden en una longitud de contacto de unos cuantos mil´ımetros, o en ciertos casos, d´ecimas de mil´ımetros, comparados con los cientos de metros que tienen las tiras de material, cuando se considera la vibraci´on de los rodillos o los bordes de la tira laminada [5].

2.3.

Clasificaci´ on del proceso de laminado

El proceso de laminado se divide en cuatro grandes operaciones, depen´ diendo del objetivo. Estos son laminados en caliente, en fr´ıo, de productos planos y perfiles.

CAP´ITULO 2. ANTECEDENTES

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La clasificaci´on de los dos primeros est´a en funci´on de la temperatura a la que se trabaja el material, siendo el punto de referencia la temperatura de recristalizaci´on, la cual est´a dada aproximadamente por la mitad de su temperatura de fusi´on en escala absoluta (TR ≈ 0,5TF ). Los dos u ´ltimos, se diferenc´ıan en las direcciones en las que el metal es comprimido. Para el caso de perfiles, el metal se trabaja y comprime en dos direcciones, y en una sola direcci´on para los productos planos. En la pr´actica es com´ un procesar los materiales laminados en varios pasos, de modo que se aprovecha la mejora de propiedades que cada proceso le aporta al producto. Los primeros pasos se realizan en caliente, para as´ı llevar a cabo grandes reducciones y homogenizar el material, para luego pasarlo por laminadoras en fr´ıo, y as´ı lograr las propiedades finales deseadas del producto, como lo pueden ser dimensiones o dureza. Esto aplica tanto para perfiles como para productos planos.

2.3.1.

Laminado en caliente

En el laminado en caliente, el material se trabaja a una temperatura superior a la temperatura de recristalizaci´on. Algunas de las ventajas obtenidas al procesar el material en caliente, es que las discontinuidades del lingote quedan soldadas a presi´on, resultando un material homog´eneo, adem´as de que la reducci´on en cada paso es muy grande, gracias a que el metal caliente se deforma de manera pl´astica f´acilmente. Como todo proceso, tambi´en existen limitaciones. La precisi´on geom´etrica es considerablemente baja, y la estructura granular es burda, provocado por el enfriamiento lento a partir de las temperaturas elevadas. Las teor´ıas del laminado en caliente no han tenido el avance a un estado de conocimiento como lo existe para el laminado en fr´ıo por la dificultad de las deformaciones heterog´eneas y las condiciones de fricci´on, que no est´an bien definidas. Como en otros procesos de conformado mec´anico en caliente, los esfuerzos de cedencia est´an en funci´on de la temperatura y de la velocidad de deformaci´on.

CAP´ITULO 2. ANTECEDENTES

7

Figura 2.1: Esquema del laminado en caliente.

2.3.2.

Laminado en fr´ıo

El laminado en fr´ıo se realiza a temperatura ambiente y es utilizado para producir l´amina o perfiles con propiedades superiores de superficie y mejores tolerancias dimensionales comparadas con el laminado en caliente. Adem´as, la deformaci´on en fr´ıo provoca un endurecimiento del material y una orientaci´on de los granos, d´andole distintas propiedades mec´anicas al producto final, como lo es la anisotrop´ıa. La dureza puede controlarse mediante el grado de endurecimiento de la pieza, es decir, variando el porcentaje de reducci´on en cada paso. Dado que las fuerzas de laminado en fr´ıo son muy elevadas, las reducciones son peque˜ nas, t´ıpicamente del 20 por ciento. Los rodillos deben ser rectificados frecuentemente para mantener la calidad en el acabado y como consecuencia, el mantenimiento es m´as costoso que el laminado en caliente. Dentro de todos los procesos metal-mec´anicos, el laminado en fr´ıo es al que m´as investigaci´on se le ha dedicado. El objetivo de estas investigaciones ha sido el determinar las fuerzas externas, como la carga o el par desarrollados por los rodillos, en t´erminos de la geometr´ıa de deformaci´on y las propiedades intr´ınsecas del material en cuesti´on.

2.3.3.

Laminado de perfiles

Barras circulares, hexagonales, vigas estructurales o v´ıas para ferrocarril son s´olo algunos de los productos obtenidos por medio del proceso de lami-

CAP´ITULO 2. ANTECEDENTES

8

Figura 2.2: Esquema del laminado en fr´ıo. nado de perfiles, a trav´es de rodillos acanalados. Estos rodillos acanalados se utilizan para controlar los cambios de perfil durante el laminado. En cada paso el metal es comprimido en una s´ola direcci´on, y es rotado 90° antes de llegar al siguiente paso de reducci´on, hasta lograr el perfil deseado. El dise˜ no de estos trenes de laminaci´on es muy complejo y requiere de gran experiencia para ponerlos en marcha.

2.3.4.

Laminado de productos planos

Se producen dos tipos de productos b´asicamente; placas, las cuales tienen un espesor mayor a los 6 mm, y son utilizadas para aplicaciones estructurales, como lo son cascos navales o reactores nucleares, y l´aminas, que tienen un espesor menor a los 6 mm. Este material es entregado en rollos como materia prima para procesos posteriores. La industria automotriz y aeron´autica se suministran de grandes cantidades de materiales procesados de esta manera, as´ı como la industria alimenticia y de refrescos para fabricar contenedores. Es por esto que el laminado tiene un gran impacto econ´omico en la industria en general [3].

2.4.

El proceso de colaminado

El colaminado o laminado conjunto es una variante interesante del laminado. Es un proceso en el que a partir de la diferencia de potenciales at´omicos y las grandes fuerzas de compresi´on ejercidas por los rodillos, que alteran la

CAP´ITULO 2. ANTECEDENTES

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distancia interat´omica, se unen capas de distintos metales permanentemente. Esto se realiza con el fin de obtener un material compuesto del que se pueda sacar provecho de las propiedades mec´anicas, f´ısicas y qu´ımicas de cada una de las capas que conforman el nuevo conglomerado. Un ejemplo es un contenedor para alguna sustancia qu´ımica altamente corrosiva, en el que las capas externa e interna son de de alg´ un material inerte, mientras que entre estas dos capas se encuentre un acero que proporcione la rigidez estructural deseada al contenedor [6]. Una alternativa a este proceso es llevado a cabo con explosivos. Los metales son unidos mec´anicamente por medio de la fuerza que se obtiene de la detonaci´on de explosivos. La desventaja, es el poco control dimensional que se tiene sobre el material de trabajo, ya que la uni´on y dimensi´on dependen de la energ´ıa que se libera durante la combusti´on de los explosivos [6]. En cambio, en el colaminado se tiene un control superficial y dimensional m´as estrecho de las capas resultantes, reduciendo significativamete los trabajos subsecuentes de rectificado. Los materiales laminados conjuntamente suelen tener propiedades mec´anicas distintas, cosa que se traduce en estado de esfuerzos diferente para cada capa, provocando una variaci´on considerable en los espesores relativos al final del proceso. Es por esta raz´on que el an´alisis del proceso de colaminado resulta m´as complejo que el del laminado.

2.5.

Clasificaci´ on del proceso de colaminado

El proceso de colaminado se puede subdividir en dos ramas m´as, el colaminado sim´etrico y el no sim´etrico. La simetr´ıa est´a definida de la siguiente manera: Definici´ on 2.5.1 Si se toma como referencia al plano que divide el claro de laminaci´on de manera horizontal en dos partes iguales, y estas resultan ser id´enticas, entonces, existe la simetr´ıa. Considerando la definici´on anterior, la simetr´ıa existe cuando los par´ametros de operaci´on son id´enticos en ambos lados del plano horizontal. Al-

CAP´ITULO 2. ANTECEDENTES

10

gunos de los par´ametros que determinan la simetr´ıa se mencionan a continuaci´on: - n´ umero de capas a colaminar; - di´ametros de los rodillos; - espesores de capas; - coeficientes de fricci´on; - velocidad de los rodillos. Es interesante mencionar que, al trabajarse materiales con distintas propiedades simult´aneamente en el claro de laminaci´on, sus deformaciones y flujos son diferentes. Esto provoca espesores relativos finales de distinta magnitud. Al tener el proceso un mayor n´ umero de interfaces (mayor n´ umero de materiales colaminados), el proceso se va volviendo cada vez m´as complejo de analizar, modelar y simular.

2.5.1.

Colaminado sim´ etrico

Al tener un arreglo sim´etrico de los materiales a colaminar, el proceso de modelado y simulaci´on se simplifica considerablemente. Esto es gracias a que para el modelado u ´nicamente se considera una mitad del conglomerado, ya que todos los par´ametros son id´enticos en ambos lados del plano de simetr´ıa. El caso m´as simple de colaminado se muestra en la figura 2.3b), donde se colaminan tres capas de material, siendo dos de ellas (las exteriores, en contacto con los rodillos) id´enticas, y una tercera colocada entre las dos anteriores, laminadas conjuntamente por un laminador con rodillos de mismo di´ametro, operando a la misma velocidad y condiciones de fricci´on.

2.5.2.

Colaminado no sim´ etrico

El caso del laminado no sim´etrico resulta m´as complejo de analizar, ya que cada capa colaminada tiene que ser analizada de manera individual. Basta con que las velocidades angulares, di´ametros de los rodillos, geometr´ıa de las capas, materiales o condiciones de fricci´on var´ıen un poco para poder ser considerado un proceso no sim´etrico. En la figura 2.3a) se muestran algunas de las variaciones mencionadas.

CAP´ITULO 2. ANTECEDENTES

11

Figura 2.3: Esquema del colaminado a) no sim´etrico, b) sim´etrico. El modelado y simulaci´on para el arreglo mostrado en la figura 2.3 a), se puede llevar a cabo de una manera relativamente sencilla, al combinar un modelo de laminado para la parte inferior y uno de colaminado para la parte superior a partir del plano medio.

Cap´ıtulo 3 Conceptos b´ asicos 3.1.

Algunas definiciones

Para poder llevar a cabo las descripciones f´ısico-matem´aticas de los fen´omenos que se estudian, es necesario presentar cada uno de los conceptos fundamentales aplicados a estos procesos. Estos conceptos permiten una descripci´on detallada de los eventos, as´ı como realizar consideraciones que hacen posible su simplificaci´on, de modo que los resultados sean equiparables con resultados experimentales. Estos conceptos se re´ unen en el ´area de la mec´anica de materiales, que es donde se discute la plasticidad y elasticidad de los materiales, su deformaci´on, as´ı como el momento en el que se inicia la deformaci´on tanto el´astica como pl´astica, modelos de comportamiento est´atico, cinem´atico y din´amico, entre otros.

3.1.1.

Teor´ıa de plasticidad

Es bien sabido que cuerpos s´olidos son el´asticos u ´nicamente si las fuerzas aplicadas son peque˜ nas. Bajo la influencia de fuerzas sustancialmente mayores, los cuerpos experimentan deformaciones inel´asticas, es decir pl´asticas. Las propiedades pl´asticas son extremadamente variadas, dependen del material bajo investigaci´on y de las condiciones ambientales (temperatura, duraci´on del proceso). La deformaci´on pl´astica de metales en condiciones de temperatura ambiente, es virtualmente independiente del tiempo. Al referirse 12

´ CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BASICOS

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a la teor´ıa de plasticidad bajo estas condiciones, la teor´ıa independiente del tiempo se conoce como plasticidad at´ermica. La teor´ıa de plasticidad es el estudio matem´atico de esfuerzos y desplazamientos en cuerpos deformables pl´asticamente. Los m´etodos utilizados son aquellos utilizados comunmente en analizar la mec´anica de medios deformables. El primer paso es establecer leyes b´asicas de deformaci´on pl´astica con base en informaci´on experimental y, de ser posible, ciertas concideraciones con fundamentos de f´ısica te´orica. Con ayuda de estas leyes, las cuales son de car´acter fenomenol´ogico, es posible obtener un sistema de ecuaciones cuyas soluciones entregan un cuadro de la deformaci´on pl´astica de un cuerpo en varias circunstancias. La no linearidad suele encontrarse en las leyes principales, por lo que hallar soluciones a estas ecuaciones representa una gran dificultad matem´atica [7].

3.1.2.

Deformaci´ on

La deformaci´on, es la manifestaci´on geom´etrica del cambio de posiciones de puntos localizados en un cuerpo causados por la acci´on de esfuerzos. Suponiendo que bajo deformaci´on, los puntos de un medio sufren un desplazamiento,u, cuyas componentes son u1 , u2 y u3 , la deformaci´on del medio se caracteriza a trav´es del tensor sim´etrico   ²11 ²12 ²13 ² =  ²21 ²22 ²23  (3.1) ²31 ²32 ²33 Como este tensor es sim´etrico, se forma que quede  ²I  0 ²= 0

puede reducir a su forma diagonal, de  0 0 ²II 0  0 ²III

(3.2)

y se obtienen ²I , ²II y ²III , elementos del tensor conocidos como elongaciones principales. Estos nos dicen, que cualquier deformaci´on puede reali-

´ CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BASICOS

14

zarse a partir de una simple extensi´on en tres direcciones mutuamente perpendiculares (direcciones principales) [7]. Las diferencias τI = σII − σIII , τII = σIII − σI , τIII = σI − σII

(3.3)

llevan el nombre de esfuerzos cortantes principales, y el esfuerzo cortante m´aximo σmax es el que cuya diferencia tenga el valor m´aximo.

3.1.3.

Deformaci´ on plana

Cuando se refiere a deformaci´on plana, los desplazamientos de las part´ıculas son paralelas al plano x1 − x2 y son independientes de x3 [7]: u1 = u1 (x1 , x2 ), u2 = u2 (x1 , x2 ), u3 = 0

(3.4)

En cualquier secci´on donde x3 = constante, se encuentra la misma configuraci´on esfuerzo - deformaci´on. Las componentes de deformaci´on dependen u ´nicamente de x1 , x2 . Se considera un cuerpo r´ıgido-pl´astico, con el fin de simplificar de manera considerable al an´alisis de deformaci´on plana. Esto es, porque al llegar al estado de fluencia, algunas regiones del cuerpo contin´ uan en estado el´astico, y modelarlo resulta complicado. Para la deformaci´on plana, el tensor de deformaci´on tiene la siguiente forma, considerando la condici´on de la ecuaci´on 3.4   ²11 ²12 0 ²dp =  ²21 ²22 0  (3.5) 0 0 0

3.1.4.

Comportamiento r´ıgido-pl´ astico

En este modelo, las deformaciones el´asticas son despreciadas completamente. Las ecuaciones del estado pl´astico se simplifican sustancialmente. En otras palabras, el m´odulo de elasticidad se considera infinito (E → ∞), lo

´ CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BASICOS

15

cual corresponde a cambiar de una curva con un segmento el´astico a una curva de deformaci´on con u ´nicamente el valle de cedencia. En este tipo de modelo, el cuerpo permanece completamente indeformado (r´ıgido), siempre y cuando el estado de esfuerzos en ´el no satisfaga en ninguna localidad la condici´on de cedencia y la posibilidad de flujo pl´astico no surja. Si este no es el caso, algunas localidades del cuerpo permanecen r´ıgidas, y es necesario encontrar soluciones en las zonas pl´asticas de tal forma que las velocidades en sus fronteras coincidan con las velocidades de movimiento de las partes r´ıgidas [7]. A estos materiales con un comportamiento r´ıgidopl´astico perfecto se les conoce tambi´en bajo el nombre de materiales de Mises. Ya que en la mayor´ıa de los procesos de conformado mec´anico la deformaci´on total pl´astica es mucho mayor que la deformaci´on el´astica (²p >> ²e ), la distribuci´on de esfuerzos calculada bajo la consideraci´on r´ıgido-pl´astica se aproxima mucho a la distribuci´on de esfuerzos generada a partir de un modelo elasto-pl´astico bajo la misma trayectoria de deformaci´on [6]. σ

σ

ε

ε

a)

b)

σ

σ

ε c)

ε d)

Figura 3.1: Comportamiento a) elastopl´astico sin endurecimiento, b) elastopl´astico con endurecimiento, c) r´ıgido-pl´ astico sin endurecimiento, d) r´ıgidopl´astico con endurecimiento.

´ CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BASICOS

16

En la figura 3.1 se pueden apreciar cuatro distintas consideraciones para un material.

3.1.5.

Criterios de fluencia

El problema de deducir relaciones matem´aticas para predecir las condiciones bajo las cu´ales la deformaci´on pl´astica comienza, cuando un material es sometido a cualquier combinaci´on de esfuerzos, es una consideraci´on de primordial importancia. Los criterios de fluencia son b´asicamente relaciones emp´ıricas. Sin embargo, el criterio tiene que ser consistente con observaciones experimentales, de las cuales, la que rige es la presi´on hidrost´atica, que no causa fluencia en s´olidos continuos. Como resultado de esto, la componente hidrost´atica de un estado complejo de esfuerzos no causa influencia alguna en el punto en el que la cedencia ocurre. Para un material isotr´opico, el criterio de cedencia debe de ser independiente del sistema de coordenadas, es decir, debe de ser una funci´on invariante. Actualmente existen dos criterios aceptados para predecir el comienzo de la cedencia en metales d´ uctiles, el criterio de von Mises y el de Tresca. Criterio de von Mises Von Mises (1913) propuso que la cedencia ocurre cuando el segundo invariante del desviador de esfuerzos, J2 , excede un valor cr´ıtico. J2 = k 2

(3.6)

donde J2 = 16 [(σ1 −σ2 )2 +(σ2 −σ3 )2 +(σ3 −σ1 )2 ]. Para evaluar la constante k y relacionarla con la fluencia en una prueba de tracci´on, se asume que para la fluencia en una prueba de tracci´on uniaxial valen las siguientes condiciones: σ1 = σ0 , σ2 = σ3 = 0 quedando la ecuaci´on 3.6 de la siguiente manera σ02 + σ02 = 6 · k 2 σ0 =

√

3·k

(3.7)

´ CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BASICOS

17

Finalmente, sustituyendo la ecuaci´on 3.7 en 3.6 resulta en la forma del criterio de cedencia de von Mises [8] 1 1 σ0 = √ [(σ1 − σ2 )2 + (σ2 − σ3 )2 + (σ3 − σ1 )2 ] 2 (3.8) 2 ecuaci´on que predice que la cedencia del metal ocurre cuando la diferencia de esfuerzos excede el esfuerzo de cedencia en tracci´on uniaxial σ0 .

Criterio de Tresca Tresca (1864) propuso que la cedencia ocurre cuando el m´aximo esfuerzo cortante alcanza el valor del esfuerzo cortante en una prueba de tracci´on uniaxial. El esfuerzo cortante m´aximo σmax est´a dado por la ecuaci´on σI − σIII (3.9) 2 son el mayor y el menor esfuerzo principal, respectivaσmax =

donde σI y σIII mente. Para tracci´on uniaxial, σI = σ0 , σII = σIII = 0, y τ0 = la ecuaci´on 3.9

σ0 , 2

sustituyendo en

σI − σIII σ0 = τ0 = 2 2 por lo que el criterio de m´aximo esfuerzo cortante o de Tresca queda dado σmax =

por σI − σIII = σ0

(3.10)

Para un esfuerzo cortante puro, σI = −σIII = k, σII = 0, el criterio de m´aximo esfuerzo cortante dice que la cedencia ocurre cuando σI − σIII = 2k = σ0 σ0 k= 2 por lo que el criterio de m´aximo esfuerzo cortante queda expresado de la siguiente manera [8]: 0 = 2k σI − σIII = σI0 − σIII

(3.11)

´ CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BASICOS

18

Figura 3.2: Criterios de Tresca y von Mieses.

3.1.6.

Tensor de deformaciones peque˜ nas

En pruebas de tracci´on uniaxial, la deformaci´on se define comunmente como el cambio de longitud por unidad de longitud inicial. Si se estira un material una longitud ∆l, es suficiente para caracterizar su estado de deformaci´on extensional. Sin embargo, si a este material se le somete a una tracci´on de tal manera que alcanza una deformaci´on de l + 2∆l, y luego se comprime a l + ∆l, la descripci´on de la deformaci´on final no representa de manera correcta el estado del material. Con esto se quiere decir, que la historia a la que es sometido el material, cambia la configuraci´on espacial de los puntos dentro del cuerpo [9]. A continuaci´on se define el tensor de deformaciones peque˜ nas, el cual es aplicable para deformaciones infinitesimales. Es posible hacer uso de esta descripci´on matem´atica de la deformaci´on, ya que la respuesta de un material con un comportamiento r´ıgido-pl´astico es la misma bajo deformaciones peque˜ nas o grandes. Definici´ on 3.1.1 Sea la posici´ on de un punto en un material especificado por medio de un vector X con componentes xi . Se deja mover al punto una distancia infinitesimal, para ocupar una nueva posici´ on especificada por un vector con componentes

´ CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BASICOS

x0i = xi + ui (X)

19

(3.12)

donde ui es un vector en funci´on de X. Sea xi + dxi un punto cercano a xi . Despu´es del desplazamiento,se encuentra en una nueva posici´ on, dada por: x0i + dx0i = xi + dxi + ui (X + dX)

(3.13)

Dado que las ui son muy peque˜ nas, las funciones pueden ser aproximadas por medio del Teorema Fundamental del C´alculo x0i + dx0i ≈ xi + dxi + ui + (∂j ui )dxj

(3.14)

donde ∂j representa ∂x∂ j , usando la notaci´on ´ındice. ∂j ui es la matriz Jacobiana de la funci´on ui . Si se representa la matriz identidad como δij , la ecuaci´ on anterior se puede reescribir de la siguiente manera: x0i + dx0i = x0i + (δij + ∂j ui )dxj

(3.15)

Se puede apreciar que el u ´ltimo t´ermino (la matriz de desplazamiento) describe el cambio infinitesimal en la posici´ on (dx0i ) de la part´ıcula de la regi´ on cercana. Si ui son constantes, la matriz jacobiana se vuelve entonces la matriz identidad, y el desplazamiento resultante es u ´nicamente una translaci´ on r´ıgida. Cualquier matriz puede ser representada como la suma de una matriz antisim´etrica y de una matriz sim´etrica. Escribiendo la matriz de desplazamiento (entre par´entesis en la ecuaci´ on 3.15), de modo que se obtiene: 1 1 δij + (∂j ui − ∂i uj ) + (∂j ui + ∂i uj ) (3.16) 2 2 Los dos primeros t´erminos son la matriz identidad y la parte antisim´etrica de la matriz de desplazamiento. Constituyen una rotaci´ on infinitesimal, y por lo tanto no representan una deformaci´on del material. Es el segundo t´ermino, la matriz sim´etrica, que representa la deformaci´on del material. Es justo el tensor de deformaciones [9] 1 ²ij = (∂j ui + ∂i uj ) 2

(3.17)

´ CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BASICOS

20

Considerando el t´ermino temporal durante la deformaci´on, el tensor de velocidad de deformaci´on se expresa como: 1 ²˙ij = (∂j u˙ i + ∂i u˙ j ) 2 en donde (˙) es la derivada respecto al tiempo.

3.1.7.

(3.18)

Campo de velocidades

En procesos de deformaci´on pl´astica, los materiales fluyen. Esto es, existe un desplazamiento neto de cada part´ıcula en el espacio en funci´on del tiempo. En cualquier instante, es posible hacer una descripci´on de propiedades como la velocidad, aceleraci´on, etc. del material en flujo, en funci´on de la localizaci´on de cada part´ıcula. Esta representaci´on de par´ametros del fluido en funci´on de las coordenadas espaciales, es conocido como campo vectorial. La representaci´on espec´ıfica del campo de velocidades puede ser distinta para cada instante, por lo que es necesario introducir el tiempo y expresar el flujo no s´olo en funci´on de sus coordenadas espaciales, sino tambi´en como funci´on del tiempo. No es el caso para un flujo estacionario, el cual no cambia su trayectoria a trav´es del tiempo y es entonces cuando las coordenadas espaciales son suficientes para describir el campo de velocidades asociado. La velocidad de una part´ıcula, por definici´on, es la raz´on de cambio del vector posici´on respecto al tiempo para una part´ıcula dada. Esto se representa como V = u1 (x1 , x2 , x3 , t) + u2 (x1 , x2 , x3 , t) + u3 (x1 , x2 , x3 , t)

(3.19)

Pero para un flujo estacionario, como lo es el caso del laminado, el vector velocidad queda en funci´on de sus coordenadas espaciales u ´nicamente V = u1 (x1 , x2 , x3 ) + u2 (x1 , x2 , x3 ) + u3 (x1 , x2 , x3 )

(3.20)

´ CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BASICOS

3.1.8.

21

Superficies de discontinuidad de velocidades

En los procesos de deformaci´on pl´astica, se pueden encontrar varias superficies de discontinuidad. Esto se explica f´acilmente, al mencionar que el sistema completo de un modelado est´a dividido en zonas o regiones, cuyas caracter´ısticas est´an cada una descritas por una expresi´on matem´atica v´alida s´olo para esa regi´on. Cuando algunas componentes (de esfuerzos, velocidad, etc.) son discontinuas, o poseen derivadas discontinuas a trav´es de una superficie de un cuerpo, el principio de desplazamiento virtual no puede ser aplicado a todo el cuerpo, pero s´ı para cada subregi´on en la cual las derivadas son continuas [10]. Para el proceso de laminado modelado por medio del MLS, el campo vectorial de inter´es es el de velocidades. Las componentes normales de cada zona deben de permanecer continuas, con el fin de satisfacer el principio de continuidad. Las discontinuidades se encuentran en las componentes tangenciales, a trav´es de una superficie interna, como lo es particularmente la superficie representada por el l´ımite r´ıgido-pl´astico propuesto.

3.1.9.

Funci´ on de corriente

Las l´ıneas de corriente son, sobre cualquier punto de la l´ınea, tangente a las velocidades, como se aprecia en la figura 3.3. x2 V v V

δϕ v=δx1

u

δϕ u= δx2

a)

x1 b)

Figura 3.3: a) Velocidad y componenetes de velocidad en funci´on de ϕ, b) velocidad y componentes de velocidad a lo largo de una l´ınea de corriente.

Estas funciones de corriente son de vital importancia para representar los flujos de un fluido, en este caso de un metal fluyendo dentro del claro de lami-

´ CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BASICOS

22

naci´on. En el trabajo se utiliza una superposici´on de funciones de corriente, originalmente propuesto por Hwang [11], las cuales juntas describen el flujo dentro del claro de laminaci´on. La primera funci´on de corriente representa un flujo uniforme, el segundo, un flujo uniformemente distribuido, para dar como resutlado, el flujo en un canal que converge, como se muestra en la figura 3.4.

x2

x2

u max u

h

h

x1

a)

b)

x1

Figura 3.4: Flujo a) uniforme, b) uniformemente distribu´ıdo. Un flujo estable, incompresible, bidimensional representa uno de los tipos de flujo m´as simples. Al hablar de bidimensionalidad, es porque s´olo hay dos componentes de velocidad,u y v, cuando se considera un flujo en el plano x1 − x2 . Para este tipo de flujos, la ecuaci´on de continuidad se reduce a ∂u ∂v + =0 (3.21) ∂x1 ∂x2 La ecuaci´on de continuidad sugiere, que si se define una funci´on ϕ(x1 , x2 ), conocida como funci´on de corriente, la cual relaciona las velocidades como sigue (ver figura 3.3) ∂ϕ ∂ϕ ,v = − (3.22) ∂x2 ∂x1 entonces, la ecuaci´on de continuidad se satisface. Por esta raz´on, siempre que las componentes de velocidad sean definidas en t´erminos de la funci´on de corriente, se sabe que la conservaci´on de masa ser´a satisfecha. u=

´ CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BASICOS

23

Flujo uniforme Un flujo en el cual las l´ıneas de corriente son todas rectas y paralelas, y la magnitud de la velocidad constante, se le nombra flujo uniforme, del que se puede decir es el flujo m´as simple de todos. En t´erminos de velocidad se ve esto de la siguiente forma: ∂ϕ ∂ϕ = U, =0 (3.23) ∂x2 ∂x1 Entonces, un flujo uniforme en la direcci´on x1 se representa a trav´es de la funci´on de corriente ϕ(x1 , x2 ) = U x2

(3.24)

Q , A

y en donde U = representa la velocidad del flujo en funci´on del gasto volum´etrico por unidad de ancho, Q, y A es el ´area de la secci´on transversal. Cuando se trata de un flujo confinado dentro de fronteras complejas, se debe ajustar la funci´on con un factor de forma k = y1 (x1 ) − y2 (x1 ). Los flujos uniformes dentro de fronteras de forma compleja se caracterizan por mantener constante su componente normal de velocidad a una secci´on transversal a lo largo de un plano paralelo a dicha secci´on. No as´ı, la componente vertical de velocidad, pu´es cambia su magnitud en funci´on de la secci´on transversal que el flujo atraviesa, para poder, como consecuencia, mantener el gasto constante y preservar la condici´on de continuidad. Flujo uniformemente distribu´ıdo Aprovechando que los flujos potenciales se rigen por la ecuaci´on de Laplace [12],se pueden superponer y combinar distintas funciones de corriente, con el fin de formar, o describir, nuevos potenciales y funciones de corriente. La forma m´as sencilla de un flujo uniformemente distribuido se ve en la figura 3.4 b), y se reperesenta mediante la funci´on ϕ(x1 , x2 ) =

UC 2 x 2 2

(3.25)

´ CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BASICOS donde U es la velocidad m´axima del flujo, y C = x2max .

24 ∂u , ∂x2

evaluado en x2 =

Ahora, considerando que las fronteras son de geometr´ıa compleja, representadas por las funciones y1 (x1 ) y y2 (x1 ), el flujo linealmente distribu´ıdo se representa con la siguiente funci´on ¡ ¢¡ ¢ ϕ(x1 , x2 ) = Qc x2 − y1 (x1 ) x2 − y2 (x1 )

(3.26)

donde c es una constante con dimensiones L−2 [6]. El gasto volum´etrico Q se obtiene a partir de la siguiente integral Z

y2 (x1 )

Q= y1 (x1 )

∂ϕ dx2 ∂x2

(3.27)

siendo y1 (x1 ) y y2 (x1 ) las fronteras de geometr´ıa compleja. Condiciones de frontera Por u ´ltimo, hay que demostrar que los campos de velocidades representados por la funci´on de corriente mostrada en la ecuaci´on 3.26 satisfacen las condiciones de frontera a lo largo de las curvas que definene las fronteras y1 (x1 ) y y2 (x1 ), sin importar la forma de la curva. Matem´aticamente: u ¯¯ = y10 (x1 ) v x2 =y1 (x1 ) u ¯¯ = y20 (x1 ) v x2 =y2 (x1 )

3.2.

(3.28) (3.29)

M´ etodo del L´ımite

En el M´etodo del L´ımite (ML), la zona de deformaci´on es dividida en zonas dentro de las cuales la velocidad de las part´ıculas es continua. Sin embargo, las velocidades de part´ıculas en zonas adyacentes pueden diferir. En las fronteras entre zonas o con los rodillos, todos los movimientos deben de ser tales que las discontinuidades en la velocidad ocurran u ´nicamente en direcci´on tangencial.

´ CAP´ITULO 3. CONCEPTOS BASICOS

25

En ´este tipo de an´alisis, la potencia total consumida en la operaci´on es la suma de la potencia ideal de deformaci´on, la potencia consumida por las superficies de discontinuidad y la potencia requerida para vencer la fuerza de fricci´on en la interface rodillo-l´amina [13].

3.2.1.

M´ etodo del L´ımite Inferior

Definici´ on 3.2.1 De todos los campos est´aticamente admisibles de esfuerzos, el verdadero maximiza la potencia desarrollada a trav´es de las superficies de contacto entre el material de trabajo y la herramienta [13]. Las soluciones obtenidas a trav´es del M´etodo del L´ımite Inferior (MLI) garantizan proveer valores para la potencia total, menores o igual al valor actual en cada caso. Cuando, combinada con la correspondiente soluci´on del l´ımite superior, proveen un sistema de an´alisis de l´ımite, cuyo valor est´a contenido entre las fronteras del l´ımite.

3.2.2.

M´ etodo del L´ımite Superior (MLS)

El MLS se emplea para asegurar que la carga aplicada, en este caso en un proceso de conformado mec´anico, es por lo menos igual o mayor a la fuerza necesaria para lograr una deformaci´on pl´astica. Este m´etodo entrega informaci´on u ´til del campo de deformaci´on del material, bas´andose en el campo de velocidades asociado a la deformaci´on. Este campo de velocidades, debe de satisfacer todas las condiciones de frontera impuestas, as´ı como la condici´on de incompresibilidad [14]. El teorema del LS se define de la siguiente manera: Definici´ on 3.2.2 De entre todos los campos de velocidad de deformaci´on cinem´aticamente admisibles, el campo real minimiza la potencia total consumida por el proceso. ∗

J =

√

Z

Z 1 2

(²˙ij ²˙ij ) dV −

2k V

Ti vi dS

(3.30)

St

Los campos de velocidad deben ser cinem´aticamente admisibles. Esto es, que a pesar de que los campos de velocidad pueden ser seleccionados de manera arbitraria, deben satisfacer las condiciones de frontera impuestas por el sistema, as´ı como la ecuaci´on de continuidad.

Cap´ıtulo 4 Descripci´ on del Modelo de Laminado 4.1.

Introducci´ on

Se presentan los pasos para obtener el modelo matem´atico para el proceso de laminado. Como es costumbre, se aclaran y exponen las consideraciones hechas a lo largo del desarrollo, con el fin de simplificar el an´alisis f´ısicomatem´atico. A continuaci´on, se exponen las funciones de corriente para las dos zonas de inter´es, la previa al claro de laminaci´on y la contenida dentro del claro de laminaci´on, nombradas Zona I y Zona II, respectivamente. De estas funciones se derivan todas las expresiones necesarias para describir el fen´omeno de inter´es, como son campos de velocidad asociados, tensores de velocidad de deformaci´on, deformaciones equivalentes y finalmente potencias relacionadas con deformaci´on pl´astica, discontinuidad de velocidades entre las Zonas I y II y por fricci´on en la interface rodillo-material. Se determina el par´ametro pseudo-independiente, bajo el cual la funcional J ∗ , que simboliza la suma de las potencias mencionadas, es minimizada.

4.2.

Consideraciones para el laminado

Como siempre, es pr´actico realizar algunas aclaraciones y simplificaciones para obtener el modelo, lo que repercute de manera considerable en el proceso de modelado, programaci´on y tiempo de c´alculo. Estas son:

26

´ DEL MODELO DE LAMINADO CAP´ITULO 4. DESCRIPCION

27

1. Se definen los ejes principales como eje horizontal el definido por el plano divisor del claro de laminaci´on y como eje vertical el perpendicular a ´este a trav´es del centro de la circunferencia que define al rodillo. 2. La deformaci´on de los rodillos es nula. 3. Se considera deformaci´on plana, ya que el desplazamiento de las part´ıculas del cuerpo es paralela al plano x1 -x2 , y es independiente de x3 [7]. 4. El material de trabajo tiene un comportamiento r´ıgido-pl´astico. 5. La fricci´on es constante durante todo el proceso.

4.3.

Modelado del Laminado

La soluci´on para el laminado por medio del MLS parte del planteamiento de familias de campos de velocidades, cada uno asociado a regiones muy particulares y delimitadas. Estos campos de velocidades est´an descritos por funciones de corriente ϕ. Se determina una funci´on de corriente ϕ en las coordenadas espaciales, en este caso x1 , x2 , y de un gasto por unidad de ancho representado por Q, para las zonas consideradas, 1 y 2 (ver figura 4.1).

4.3.1.

Flujo de material

Los campos de velocidades son flujos uniformes, para las zonas anterior y posterior al claro de laminaci´on. El de la zona que se encuentra dentro del claro de laminaci´on, est´a dado por la superposici´on de dos funciones ϕ, una representando una corriente uniforme y la segunda una linealmente distribuida. Esto tiene el fin de modelar el efecto que provoca en el flujo un canal convergente, lo cual se asemeja de buena manera a lo que ocurre dentro del claro de laminaci´on [6].

´ DEL MODELO DE LAMINADO CAP´ITULO 4. DESCRIPCION

2

28

1

Figura 4.1: An´ alisis del flujo del material para el laminado. Zona previa al claro de laminaci´ on El flujo uniforme en esta Zona I, est´a representado por una sencilla funci´on de corriente ϕ1 x2 ) (4.1) hi El campo de velocidades asociado al flujo previo, se obtiene aplicando el Hamiltoniano a la funci´on de corriente, de modo que ϕ1 (x1 , x2 ) = Q(

U1 (x1 , x2 ) =

∂ϕ1 1 = Q( ) ∂x1 hi

V1 (x1 , x2 ) = −

∂ϕ1 =0 ∂x2

(4.2) (4.3)

Zona del claro de laminaci´ on La zona que comprende la de deformaci´on pl´astica es matem´aticamente m´as compleja. Para obtener la funci´on de corriente ϕ2 , se tiene que recurrir a

´ DEL MODELO DE LAMINADO CAP´ITULO 4. DESCRIPCION

29

una superposici´ on de¢dos funciones de corriente, una que representa un flujo ¡ uniforme ϕ = Q( xy12 ) , y una que representa un flujo linealmente distribuido ¡ ¢ ϕ = Qcx2 (x2 − y2 ) . Entonces, ϕ2 queda como ¡ x2 ¢ ϕ2 (x1 , x2 ) = Q + cx2 (x2 − y1 ) y1

(4.4)

c = c(x1 ) = ax21

(4.5)

donde

y a es un factor de forma para ajustar la par´abola descrita por c al minimizar, y donde q y1 = y1 (x1 ) = R + hf − R2 − x21 (4.6) y representa la superficie del rodillo. El campo de velocidades asociado a la zona de deformaci´on se obtiene de manera similar al de la Zona 1, aplicando el Hamiltoniano nuevamente a la funci´on ϕ2 , de modo que U2 (x1 , x2 ) = V2 (x1 , x2 ) = −

¡1 ¢ ∂ϕ2 =Q + c(2x2 − y1 ) ∂x2 y1

¡ ∂ϕ2 (1 + cy12 )y10 ¢ = −Q (x2 − y1 )c0 − ∂x1 y12

(4.7) (4.8)

donde ()0 representa la primera derivada de () respecto a x1 .

4.3.2.

L´ımite r´ıgido-pl´ astico

El l´ımite r´ıgido-pl´astico (ΓD ) es una curva que marca el cambio del campo de velocidades te´orico entre la zona previa y la zona comprendida dentro del claro de laminaci´on. A esta curva se le denomina como curva de discontinuidades del flujo de material, la cual representa los l´ımites r´ıgidos-pl´asticos de cada l´ınea equipotencial. Es a partir de esta l´ınea de discontinuidades que el material comienza a deformarse de manera pl´astica y que los esfuerzos cortantes comienzan a tener un efecto considerable sobre la potencia total consumida por el proceso.

´ DEL MODELO DE LAMINADO CAP´ITULO 4. DESCRIPCION

30

Figura 4.2: Representaci´ on gr´afica del l´ımite r´ıgido-pl´ astico propuesto. Para obtener el valor de la potencia necesaria para llevar a cabo la deformaci´on pl´astica, es necesario calcular la diferencia de las velocidades tangenciales en ambas regiones, e integrarla a lo largo de la curva que representa el l´ımite r´ıgido-pl´astico. El l´ımite r´ıgido-pl´astico se encuentra igualando las funciones de corriente de ambas regiones, como consecuencia de la continuidad de las l´ıneas de corriente [15] ϕ1 = ϕ2

(4.9)

De la soluci´on de esta ecuaci´on se encuentran dos ra´ıces, por tratarse de un polinomio de segundo orden. La primera es cero, por lo que resulta in´ util y se descarta sola, quedando como soluci´on u ´nica real la siguiente funci´on: y2 = y2 (x1 ) = y1 (x1 ) +

4.3.3.

1 h0

−

1 y1 (x1 )

c(x1 )

(4.10)

Tensor de velocidad de deformaci´ on

Conocer el campo de velocidades de la zona de deformaci´on del material resulta sumamente u ´til, ya que se puede obtener de manera directa el campo

´ DEL MODELO DE LAMINADO CAP´ITULO 4. DESCRIPCION

31

de deformaci´on asociado. Es el tensor de velocidad de deformaci´on el que describe el comportamiento del material en la zona de deformaci´on pl´astica. Como una de las consideraciones realizadas al comienzo de este cap´ıtulo, es que la deformaci´on es plana (punto 2), el tensor se simplifica sensiblemente, ya que las velocidades de deformaci´on que involucran alg´ un t´ermino x3 , son autom´aticamente cero. El tensor queda expresado por   ξ11 ξ12 0 (4.11) ξ =  ξ21 ξ22 0  0 0 0 Al tratarse de un tensor sim´etrico, ´este se simplifica a´ un m´as, ya que ξ12 = ξ21

(4.12)

Las componentes del tensor se calculan a partir del campo de velocidades, como se muestra a continuaci´on: ξ11 =

∂U2 ∂ 2 ϕ2 = ∂x1 ∂x1 ∂x2

(4.13)

ξ22 =

∂V2 ∂ 2 ϕ2 = ∂x2 ∂x2 ∂x1

(4.14)

1 ∂U2 ∂V2 ξ12 = ( + ) (4.15) 2 ∂x2 ∂x1 El tensor de velocidad de deformaci´on para las zonas anterior y posterior a la deformaci´on realizada por el rodillo, queda como   0 0 0 ξ= 0 0 0  (4.16) 0 0 0 lo cual se puede deducir de una simple inspecci´on, ya que en estas zonas no existe deformaci´on alguna. Ahora, para poder obtener una funci´on escalar que arroje los resultados del c´alculo de las potencias consumidas por el proceso, es imperativo recurrir a la expresi´on que da la velocidad de deformaci´on pl´astica equivalente. Esta es:

´ DEL MODELO DE LAMINADO CAP´ITULO 4. DESCRIPCION

32

r

¢ 3 2 2 2 (ξ11 + ξ22 + 2ξ12 (4.17) 2 A continuaci´on se exponen los procedimientos para la obtenci´on de las potencias. ξeq =

4.3.4.

Potencia interna consumida por deformaci´ on pl´ astica

La potencia interna consumida para que el material se deforme pl´asticamente se obtiene de la siguiente integral Z ˙ Wdp = σ0 ξeq dV (4.18) V

donde ξeq es la velocidad de deformaci´on pl´astica equivalente obtenida a partir de la ecuaci´on 4.17 y σ0 es el esfuerzo de cedencia del material, que tomando en cuenta el endurecimiento por trabajo en fr´ıo (EPTF) queda como 2 h0 σ0 = k( √ ln )n (4.19) 3 hf k y n son el coeficiente de EPTF y¡exponente¢ de EPTF, respectivamente. σ0 est´a en funci´on de la deformaci´on σ0 = f (¯²) , la cual es distinta en cada punto a lo largo del eje x1 . Esta integral es de volumen, inicialmente, pero como se est´a modelando todo en dos dimensiones, considerando todo por unidad de ancho, se convierte en una integral de ´area. La integral representada por la ecuaci´on 4.18 se muestra en la figura 4.3 por la zona rayada, siendo y1 (x1 ) la superficie del rodillo (ΓR ) y y2 (x1 ) el l´ımite r´ıgido pl´astico (ΓD ), quedando la potencia debida a deformaci´on pl´astica como ˙ dp (a) = W

³Z

L1

Z

Z

y1 (x1 )

L

Z

0

0

´

y1 (x1 )

σ0 (¯²)ξeq (x1 , x2 )dx2 dx1 +

σ0 (¯²)ξeq (x1 , x2 )dx2 dx1 L1

y2 (x1 )

(4.20)

´ DEL MODELO DE LAMINADO CAP´ITULO 4. DESCRIPCION

33

x2

y1 h0

y2

hf

x1 L1 L

Figura 4.3: Obtenci´on de la potencia consumida por deformaci´on pl´astica. Estas integrales impl´ıcitas requieren de l´ımites de integraci´on, los cuales no han sido mencionados a´ un, para la integral exterior. Estos l´ımites son L y L1 . L es simplemente la proyecci´on del arco de contacto entre el rodillo y el material sobre el eje x1 , y se obtiene de un an´alisis de la geometr´ıa del sistema, cediendo la siguiente expresi´on q L = 2R(h0 − hf ) − (h0 − hf )2 (4.21) Encontrar el valor de L1 resulta un poco m´as complejo, y es necesario resolver la siguiente ecuaci´on y2 (x1 ) = 0

(4.22)

Este punto es dif´ıcil de obtener de manera anal´ıtica, por lo que se recurre a m´etodos num´ericos empleados por Mathematicar . De las ra´ıces obtenidas, la soluci´on que corresponde al problema en cuesti´on es la u ´nica ra´ız real positiva.

´ DEL MODELO DE LAMINADO CAP´ITULO 4. DESCRIPCION

34

Con esto queda totalmente definida la integral responsable de entregar el valor para la potencia interna consumida por deformaci´on pl´astica.

4.3.5.

Potencia interna consumida por cortante en la superficie de discontinuidad

El rodillo provoca un efecto sobre el material, el de acelerarlo, con el fin de conservar la condici´on de volumen entrante y saliente. Para lograrlo, es necesario cambiar tanto la magnitud como la direcci´on del vector velocidad. El l´ımite r´ıgido-pl´astico es la familia de todos los puntos de las l´ıneas equipotenciales ϕ1 que comienzan a converger hacia el claro de laminaci´on, ahora descritas por ϕ2 . Es sobre esta familia de puntos, que se presenta la discontinuidad de velocidades, en las componentes tangenciales a ΓD . Al evaluar la siguiente integral, se obtiene la potencia necesaria para generar la superficie de discontinuidad de velocidades. Z σ0 ˙ |∆V |ΓD dS (4.23) WD = √ 3 ΓD donde

σ0 √ 3

es el cortante cr´ıtico.

El t´ermino |∆V |ΓD es la diferencia de velocidades tangenciales entre los campos de velocidades definidas por ϕ1 y ϕ2 . En la figura 4.4 se muestra la descomposici´on de las velocidades en sus componentes normal y tangencial, llevado a cabo con un simple an´alisis geom´etrico. La raz´on por la que las componentes normales son iguales, es por continuidad, as´ı que vale u2 sin θ − v2 cos θ = u1 sin θ

(4.24)

θ = arctan y20 (x1 )

(4.25)

donde

y

´ DEL MODELO DE LAMINADO CAP´ITULO 4. DESCRIPCION

35

ΓD

VN2

V 1 = u1

u2 θ

V2

θ

v2 VN

Vt 2

1

Vt 1

Figura 4.4: Descomposici´ on de las velocidades en sus componentes normal y tangencial.

Q (4.26) h0 Del an´alisis geom´etrico para las componentes tangenciales, se cumple u1 =

Vt2 = u2 cos θ + v2 sin θ

(4.27)

Vt1 = u1 cos θ

(4.28)

Todas las componentes de la velocidad est´an expresadas en funci´on de las variables espaciales, por lo que el integrando, que es la diferencia de las velocidades tangenciales, tambi´en lo est´a. Reescribiendo, su forma expl´ıcita es |∆V |ΓD = |∆V |ΓD (x1 , x2 ) = |u2 (x1 , x2 ) cos θ+v2 (x1 , x2 ) sin θ−u1 (x1 , x2 ) cos θ| (4.29) Al ser el integrando una funci´on de las variables espaciales exclusivamente, se puede calcular como una integral de l´ınea, haciendo uso del teorema de Green del c´alculo integral. Lo que se hace es expresar la curva a integrar, C, con sus ecuaciones param´etricas, x1 = g(t) y x2 = h(t) y definir el intervalo

´ DEL MODELO DE LAMINADO CAP´ITULO 4. DESCRIPCION

36

de integraci´on a ≤ t ≤ b. Adem´as, si la funci´on es continua en una regi´on que contiene a la curva C [16], se cumple Z Z b ¡ ¢p (4.30) f (x1 , x2 )dS = f g(t), h(t) g 0 (t)2 + h0 (t)2 dt C

a

Aplicando todo esto al problema en particular, las ecuaciones param´etricas que definen la curva ΓD son g(t) = t

(4.31)

h(t) = y2 (t)

(4.32)

y sus derivadas quedan simplemente representadas por g 0 (t) = 1

(4.33)

h0 (t) = y20 (t)

(4.34)

La funci´on de la curva ΓD queda entonces en fuci´on de las ecuaciones param´etricas, ¡ ¢ ¡ ¢ f g(t), h(t) = |∆V |ΓD g(t), h(t)

(4.35)

Los l´ımites de integraci´on, a y b, son en realidad, los puntos L1 y L. Esto se puede apreciar, en la figura 4.3. De lo anterior, surge finalmente la expresi´on para el c´alculo de la potencia interna consumida por cortante en la superficie de discontinuidad de velocidades σ0 ˙ D (a) = √ W 3

4.3.6.

Z

L L1

¡ ¢ ¡ ¢ |u2 (t, y2 (t) cos θ + v2 (t, y2 (t) sin θ p ¡ ¢ − u1 (t, y2 (t) cos θ| 1 + y20 (t)2 dt (4.36)

Potencia interna consumida por fricci´ on

Gracias a la fricci´on que existe entre el material y el rodillo, podemos obligar al primero a pasar por el claro de laminaci´on. Sin embargo, no es s´olo al principio, en el punto de mordedura, donde se encuentra fricci´on. Es a lo

´ DEL MODELO DE LAMINADO CAP´ITULO 4. DESCRIPCION

37

largo de todo el arco de contacto, salvo en el punto definido por el ´angulo neutro, que existe deslizamiento relativo entre las dos superficies. Del punto de entrada al punto neutro, la velocidad lineal del rodillo es mayor que la del material, logrando jalarlo hacia el claro de laminaci´on. Es a partir del punto neutro, hasta el plano de salida, donde la velocidad del material es mayor, como consecuencia de la conservaci´on de vol´ umen. Justo en el punto neutro, las velocidades del rodillo y del material son iguales. La fricci´on est´a en funci´on de - condiciones de lubricaci´on (en seco, con lubricante, etc.), - la rugosidad de ambas superficies, - la cantidad de deslizamiento relativo. En este caso particular, se considera el modelo de fricci´on constante, donde el coeficiente de fricci´on tiene el valor 0 ≤ µ ≤ 1, dependiendo de las condiciones de lubricaci´on. Este modelo tiene la ventaja sobre el modelo de Coulomb (τ = µP ), de no tener que conocer las fuerzas normales, como se aplica en el M´etodo del Planch´on. Para calcular la potencia debida a la fricci´on entre el rodillo y el material, se toma la expresi´on Z µσ0 ˙ Wf = √ |∆V |ΓR dS (4.37) 3 ΓR Una vez m´as es necesario calcular una diferencia de velocidades, pero ahora de la del material y la del rodillo. Cabe aclarar que ni la magnitud, ni la direcci´on del vector velocidad del material son constantes, en cambio la velocidad angular del rodillo s´ı lo es. Conforme el material se acerca al punto neutro, denotado en la figura 4.5 como N , la diferencia de velocidades va decreciendo, hasta llegar a cero. Posteriormente, mientras se aleja del punto nuetro, esta diferencia vuelve a incrementarse. Como la potencia es una funci´on escalar independiente de la direcci´on en la que se desarrolle trabajo [6], basta con considerar el valor absoluto del integrando de la ecuaci´on 5.51. La figura 4.5 en un punto de la interfase ΓR ¡ muestra los¢ vectores velocidad ¡ ¢ del material figura 4.5 a) y del rodillo figura 4.5 b) .

´ DEL MODELO DE LAMINADO CAP´ITULO 4. DESCRIPCION

α

38

α

ΓR

ΓR

N

N

b)

a)

Figura 4.5: a)Velocidad del material, b)velocidad lineal del rodillo. La velocidad tangencial del rodillo se obtiene mediante el producto cruz del vectore ~r = rx1ˆi + rx2 ˆj

(4.38)

que es el vector radio, e indica la posici´on de cualquier punto del rodillo y el vector velocidad angular del rodillo, con un signo menos por el sentido de giro, que es en sentido del reloj, expresado por ω ~ = −ω kˆ Haciendo el producto cruz ¯ ¯ ¯ i j k ¯¯ ¯ 0 −ω ¯¯ = ωrx2ˆi + ωrx1 ˆj V~R = ω ~ × ~r = ¯¯ 0 ¯ rx1 rx2 0 ¯

(4.39)

(4.40)

y donde las componentes del vector radio se pueden descomponer en rx1 = x1 = R sin α

(4.41)

rx2 = R cos α

(4.42)

x1 R

(4.43)

y el ´angulo α est´a dado por α = arcsin

´ DEL MODELO DE LAMINADO CAP´ITULO 4. DESCRIPCION

39

de modo que las componentes de la velocidad tangencial obtenidas del producto cruz se pueden representar como VRx1 (x1 ) = −ωR cos α

(4.44)

VRx2 (x1 ) = ωx1

(4.45)

Ahora, para obtener la velocidad del material en la intercara materialrodillo, es necesario recurrir a las funciones que describen el campo de velocidades en la Zona 2, las cuales son 4.7 y 4.8, y evaluarlas en la superficie de inter´es (ΓR ), que est´a dada por la ecuaci´on y1 (x1 ). Matem´aticamente queda esto as´ı: ¯ ¯ ¯ ¯ ∂ϕ 2 ¯ U2 (x1 , x2 )¯¯ = (4.46) ∂x2 ¯x2 =y1 (x1 ) x2 =y1 (x1 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ∂ϕ 2 ¯ V2 (x1 , x2 )¯¯ = (4.47) ∂x1 ¯x2 =y1 (x1 ) x2 =y1 (x1 ) Una vez hecho esto, las ecuaciones para la velocidad del material, est´an todas expresadas en t´erminos espaciales x1 , por lo que hacer la resta con la velocidad del rodillo en direcci´on ˆi y ˆj resulta ser sencillo ¯ ¯ ∆Vi = VRx1 (x1 ) − U2 (x1 , x2 )¯¯ (4.48) ¯ ¯ ∆Vj = VRx2 (x1 ) − V2 (x1 , x2 )¯¯

x2 =y1 (x1 )

(4.49)

x2 =y1 (x1 )

la diferencia de velocidades se puede evaluar como la suma vectorial de los vectores en direcci´on ˆi y ˆj, q |∆V |ΓR = ∆Vi2 + ∆Vj2 (4.50) con lo que para finalizar, el t´ermino de potencia consumida por fricci´on en la interfase rodillo-materil se calcula con la expresi´on que surge del an´alisis anterior Z µσ0 L q ˙ (4.51) Wf (a) = √ | ∆Vi2 + ∆Vj2 |dx1 3 0

´ DEL MODELO DE LAMINADO CAP´ITULO 4. DESCRIPCION

4.3.7.

40

Potencia total consumida por el proceso

La potencia total ( J ∗ ) consumida por el proceso es simplemente la suma de cada uno de los t´erminos antes mencionados y descritos. Estos son la po˙ dp ), la potencia interna tencia interna consumida por deformaci´on pl´astica (W ˙ D) consumida por discontinuidad de velocidades en el l´ımite r´ıgido-pl´astico (W ˙ y la potencia consumida por fricci´on entre los rodillos y el material (Wf ). ˙ dp + W ˙D+W ˙f J∗ = W

(4.52)

Esta es la funci´on a minimizar, la cual est´a en t´erminos del pseudopar´ametro independiente a, que es el factor de forma del l´ımite r´ıgido-pl´astico propuesto, y responsable de la obtenci´on del valor m´ınimo de J ∗ , siendo ´este el que m´as se aproxima al valor real.

4.4.

Carga aplicada por los rodillos

La carga aplicada por los rodillos es un buen par´ametro de comparaci´on con la realidad, ya que ´esta puede ser medida de manera directa en la laminadora. Es necesario calcular la carga te´orica aplicada, mediante la definici´on de par, lo cual permite expesarla a partir de la potencia calculada al final del proceso de optimaci´on. La expresi´on que se tiene para calcular la fuerza de laminado es JR (4.53) LUR donde J es la potencia consumida por el proceso, R, es el radio de los rodillos, L, la proyecci´on del arco de contacto y UR es la velocidad lineal de los rodillos. P =

4.5.

Optimaci´ on de J ∗

Para poder optimizar la funci´on J ∗ , es necesario dejar toda la expresi´on matem´atica en t´erminos de ciertos par´ametros, llamados par´ametros pseudoindependientes. Estos permiten que la funci´on J ∗ sea minimizada, con n grados de libertad, siendo n el n´ umero de par´ametros pseudo-independientes.

´ DEL MODELO DE LAMINADO CAP´ITULO 4. DESCRIPCION

41

La minimizaci´on del problema consta u ´nicamente del par´ametro pseudoindependinete a, que es el factor de forma de la p´ar´abola que define el l´ımite r´ıgido-pl´astico. Para que el factor de optimaci´on sea correcto se requiere poner una restricci´on con conotaci´on f´ısica al par´ametro bajo el cual se minimiza: a>0

(4.54)

Esto es, con el fin de que la par´abola mantenga un significado f´ısico real, que de lo contrario la deformaci´on pl´astica iniciar´ıa antes del punto de mordedura.

Cap´ıtulo 5 Descripci´ on del modelo de colaminado 5.1.

Introducci´ on

El desarrollo del modelo matem´atico para el colaminado es similar al llevado a cabo para el laminado. Se divide el proceso en cuatro zonas, dos para cada capa a colaminar, y cada una descrita por una funci´on de corriente ϕ. Una de las variables de inter´es es la relaci´on final que existe entre los espesores de las l´aminas, con los cuales se obtienen de manera directa la relaci´on de los flujos volum´etricos. En el colaminado existen m´as interfases y potencias a considerar, para determinar la potencia total consumida J; consecuentemente se vuelve un proceso m´as complejo. Se descompone J ∗ (la funcional) en seis potencias, que son las debidas a la deformaci´on pl´astica de cada capa, sus respectivos l´ımites r´ıgido-pl´asticos, la causada por fricci´on en la interfase rodillo-material, y la interfase material-material. Para obtener el valor que m´as se aproxima al real de la potencia total consumida, es necesario, una vez m´as, minimizar esta expresi´on, obteniendo J a partir de J ∗ . La u ´ltima est´a expresada en funci´on de seis par´ametros pseudo-independientes, bajo los cuales Mathematicar minimiza la funci´on y obtiene los valores de cada pseudopar´ametro que minimizan la expresi´on. Esta optimaci´on se lleva a cabo a trav´es de integraciones y minimizaciones 42

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

43

num´ericas. Los seis pseudopar´ametros se obtienen de relaciones geom´etricas y factores de forma propuestos.

5.2.

Consideraciones para el colaminado

Retomando algunas consideraciones para el laminado y agregando algunas otras para el colaminado, estas quedan como sigue: 1. Se desprecia la deformaci´on de los rodillos. 2. La deformaci´on es plana. 3. Ambos materiales tienen un comportamiento r´ıgido-pl´astico. 4. La fricci´on en la interfase rodillo-material es constante. 5. En la interfase material-material se tiene fricci´on constante. 6. Los campos de velocidad son iguales en el plano de salida. 7. El material exterior se considera r´ıgido al modelar la capa interior. En el punto 7., el material se considera como la herramienta de trabajo, de manera r´ıgida, cosa que permite modelar el fen´omeno en la parte de la capa inferior del compuesto, eliminando uno de los dos esfuerzos de cedencia que se tienen.

5.3.

Modelado del colaminado

Para encontrar familias de funciones que representen adecuadamente el flujo de ambos materiales durante el proceso, es imperativo dividir las zonas de manera adecuada. De manera l´ogica se tienen dos zonas para cada capa, por lo que las zonas a considerar son cuatro, y se nombran como zonas I, II, III y IV como se muestra en la figura 5.1.

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

44

x2

y1

I

y3 h ef

hf

h if

h e0

h0

II h i0

y2

III

IV

y4 x1

L2

L1

L

Figura 5.1: Representaci´ on del proceso de colaminado.

5.3.1.

Flujo de material

Las funciones de corriente de cada capa describen la forma en la que el material fluye a lo largo del proceso. De estas funciones se obtienen las componentes de velocidad y velocidades de deformaci´on equivalentes, por lo que, a pesar de ser similar la formulaci´on a la del laminado, no se puede pasar por alto y se tiene que poner especial atenci´on en las relaciones geom´etricas, que, al tratarse de dos capas, existen en mucho mayor abundancia que en el caso sencillo de laminado. Zona previa al claro de laminaci´ on, capa exterior La funci´on de corriente para un flujo uniforme es, aplicando las respectivas relaciones geom´etricas: x2 − hi0 ) he0 y de la cual se obtienen las componentes de velocidad UI y VI ϕI (x1 , x2 ) = Q1 (

(5.1)

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

UI (x1 , x2 ) =

∂ϕI Q1 = ∂x2 he0

45

(5.2)

∂ϕI =0 (5.3) ∂x1 quedando la funci´on de corriente y las componentes de velocidad en funci´on del gasto por unidad de ancho, Q1 , asociado a la capa exterior y una relaci´on geom´etrica de espesores. VI (x1 , x2 ) = −

Zona previa al claro de laminaci´ on, capa interior La capa interior queda descrita por las siguientes ecuaciones, que involucran el gasto por unidad de ancho Q2 , que es en este caso el gasto de la capa interior y de la altura inical interior: ϕIII (x1 , x2 ) = Q2 ( UIII (x1 , x2 ) =

x2 ) hi0

(5.4)

∂ϕIII Q2 = ∂x2 hi0

(5.5)

∂ϕIII =0 ∂x1

(5.6)

VIII (x1 , x2 ) = −

Zona del claro de laminaci´ on, capa exterior La funci´on de corriente superpuesta resultante, para describir el flujo del material en el canal convergente, dejan de ser sencilla para convertirse en la siguiente ecuaci´on, donde x2 − y 2 y1 − y2 y η se utiliza con el fin de simplificar la notaci´on η=

¡ ¢ ϕII (x1 , x2 ) = Q1 η + c1 (x2 − y2 )(x2 − y1 )

(5.7)

(5.8)

y a partir de las diferenciales parciales respecto de ϕII a x2 y x1 se obtienen las componentes de velocidad UII (x1 , x2 ) =

¡ 1 ¢ ∂ϕII = Q1 + c1 (2x2 − y1 − y2 ) ∂x2 y1 − y2

(5.9)

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

VII (x1 , x2 ) = −

¡ ¢ ∂ϕII = Q1 − c1 (x2 − y2 )y10 − η 0 ∂x1

46

(5.10)

donde y1 es q y1 (x1 ) = R + hf −

R2 − x21

(5.11)

y representa la curva del perfil del rodillo, que entra en contacto con el material exterior, y2 es y2 (x1 ) = hif + bx21

(5.12)

y describe la curva de la interfase de los materiales, c1 queda como c1 (x1 ) = a1 x21

(5.13)

que es una funci´on cuadr´atica para determinar el perfil del l´ımite r´ıgidopl´astico de la capa exterior, con un factor de forma a1 [11, 6], cuyo valor num´erico se obtiene al optimizar la funci´on de potencia total consmida y es ()0 es la derivada de () respecto a x1 . Esta funci´on de corriente est´a representada por dos funciones de corriente superpuestas, una, que representa un flujo uniforme, expresado por la parte Q1 η, y el uniformemente distribuido, representado por Q1 c1 (x2 −y2 )(x2 −y1 ). Zona del claro de laminaci´ on, capa interior Ahora, para terminar con esta parte de la presentaci´on de funciones de corriente y velocidad, se obtiene la funci´on de corriente para la zona IV , siendo ϕIV (x1 , x2 ) = Q2

¡ x2 ¢ + c2 x2 (x2 − y2 ) y2

(5.14)

y donde c2 (x1 ) = a2 x21

(5.15)

que es nuevamente el perfil (par´abola) que representa el l´ımite r´ıgidopl´astico de la capa interior, con un factor de forma para la optimaci´on a2 .

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

47

En este caso, la superposici´on de funciones resulta estar compuesta por las partes uniforme Q2 xy22 , y la uniformemente distribuida Q2 c2 x2 (x2 − y2 ) [11]. Esta funci´on de corriente se obtiene f´acilmente al sustituir en la ecuaci´on 5.8 y1 por y2 y y2 por 0, porque las fronteras son, en la parte inferior, el eje coordenado x1 , y la frontera superior, la interfase de los materiales, previamente definida, y2 . Las componentes de velocidad para la zona IV se obtienen a partir de la funci´on de corriente ϕIV , UIV (x1 , x2 ) =

¡1 ¢ ∂ϕIV = Q2 + c2 (2x2 − y2 ) ∂x2 y2

¡ ∂ϕIV (1 + c2 y22 )y20 ¢ 0 VIV (x1 , x2 ) = − = −Q2 x2 (x2 − y2 )c2 − ∂x1 y22

(5.16) (5.17)

siendo nuevamente ()0 la derivada de () respecto a x1 .

5.3.2.

L´ımite r´ıgido-pl´ astico

Una vez discutido el concepto del l´ımite r´ıgido-pl´astico, se puede presentar el an´alisis para la obtenci´on de estos l´ımites, que marcan la discontinuidad de velocidades del flujo en cada capa. L´ımite r´ıgido-pl´ astico, capa exterior Igualando las funciones de corriente de las zonas I y II [15], y resolviendo para x2 , se obtiene la curva que muestra el l´ımite r´ıgido-pl´astico exterior. ϕI = ϕII

(5.18)

Haciendo un poco de ´algebra, se puede llegar a la forma que se muestra [17], para obtener la soluci´on del polinomio de segundo orden √ −k + k 2 − 4c1 m y3 (x1 ) = (5.19) 2c1 k=

1 y1 −y2

− c1 (y1 − y2 ) −

m = c1 y1 y2 −

y2 y1 −y2

+

1 he0

hi0 he0

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

48

L´ımite r´ıgido-pl´ astico, capa interior Se plantea la continuidad entre las l´ıneas de corriente de los flujos III y IV , para obtener el l´ımite r´ıgido-pl´astico, de forma similar a la secci´on anterior. y4 (x1 ) = y2 +

1 hi0

−

1 y2

c2

(5.20)

Tensor de velocidad de deformaci´ on Como durante el proceso se considera deformaci´on plana, el tensor sim´etrico de velocidad de deformaci´on queda reducido a   ξ11 ξ12 0 ξ =  ξ21 ξ22 0  (5.21) 0 0 0 con ξ12 = ξ21

(5.22)

Cada una de las componentes del tensor de velocidad de deformaci´on se calculan a partir de las siguientes expresiones, ξ11 =

∂U ∂ 2ϕ = ∂x1 ∂x1 ∂x2

(5.23)

ξ22 =

∂U ∂ 2ϕ = ∂x2 ∂x2 ∂x1

(5.24)

1 ¡ ∂U ∂V ¢ + (5.25) 2 ∂x2 ∂x1 La velocidad de deformaci´on equivalente para cada capa se obtiene a partir de la ecuaci´on 4.17. ξ12 =

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

5.3.3.

49

Potencia interna consumida por deformaci´ on pl´ astica

Capa externa La siguiente ecuaci´on describe la manera en la que se eval´ ua la deformaci´on pl´astca, a partir de lo descrito anteriormente. Z ˙ Wdpe = σ0e ξeqe dV (5.26) V

donde ξeqe es la deformaci´on equivalente para la capa exterior, y σ0e es el esfuerzo de cedencia del material exterior. Como la integral involucrada es de vol´ umen y el proceso se modela en dos dimensiones, por considerar deformaci´on plana, se puede obtener el valor de la potencia interna consumida por deformaci´on pl´astica por medio de una integral de ´area, quedando de manera expl´ıcita de la siguiente forma: Z

L1

˙ dpe = W 0

Z

y1 y2

¯ eq (x1 , x2 )dx2 dx1 + σ0e (²)ξ e

Z

L

Z

y1

σ0e (¯²)ξeqe (x1 , x2 )dx2 dx1 L1

y3

(5.27) En la figura 5.1 (zona II) se aprecia la zona de inter´es para la capa exterior. Para realizar el c´alculo de la ecuaci´on anterior, es indispensable conocer los l´ımites de integraci´on. Las funciones y1 , y2 y y3 ya han sido descritas con anterioridad. Los puntos para x1 quedan dados por q L = 2R(h0 − hf ) − (h0 − hf )2 (5.28) que es simplemente la proyecci´on del arco de contacto del rodillo, y L1 es p hf − hif √ (5.29) L1 = b que se obtiene a partir de la soluci´on de la ecuaci´on y2 (x1 ) = hi0 .

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

50

Capa interna Para la capa exterior, se eval´ ua la ecuaci´on Z ˙ dp = W σ0i ξeqi dV i

(5.30)

V

donde ξeqi y σ0i son la deformaci´on equivalente para la capa interior y el esfuerzo de cedencia del material interior, respectivamente. La integral de manera expl´ıcita y reducida a una de ´area, se muestra a continuaci´on Z ˙ dp = W i

L 0

Z

Z

y2 0

σ0i (¯²)ξeqi (x1 , x2 )dx2 dx1 +

L1 L2

Z

y4 0

σ0i (¯²)ξeqi (x1 , x2 )dx2 dx1

(5.31) El u ´nico l´ımite de integraci´on que permanece desconocido, es el punto L2 , que se obtiene mediante la ecuaci´on: y4 (x1 ) = 0

5.3.4.

(5.32)

Potencia interna consumida por cortante en las superficies de discontinuidad

Capa exterior Para vencer la discontinuidad de velocidades de la capa exterior, se requiere calcular la siguiente potencia Z ¯ ¯ σ0i ˙ ¯∆V ¯ dS WDe = √ (5.33) Γe 3 Γe ¯ ¯ El t´ermino ¯∆V ¯Γe representa la diferencia de velocidade tangencial entre los perfiles de velocidad ϕI y ϕII . El an´alisis se puede realizar con ayuda de la figura 4.4, de modo que las componentes normales, por continuidad quedan UII sin θe − VII cos θe = UI sin θe Se definen θe = arctan y30 (x1 ) y UI =

Q1 . he0

(5.34)

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

51

La diferencia de las componentes tangenciales se obtiene a partir de conseguir primero las componentes tangenciales en funci´on de las velocidades U y V: vt1 = UII cos θe + VII sin θe

(5.35)

vt0 = UI cos θe

(5.36)

Teniendo estas expresiones, es posible ahora calcular la diferencia de velocidades tangenciales, ya que todas las componentes se encuentran en funci´on de las coordenadas espaciales. ¯ ¯ ¯∆V ¯

Γe

¯ ¯ ¯ = ¯∆V ¯Γe (x1 , x2 ) = ¯UII (x1 , x2 ) cos θe + VII (x1 , x2 ) sin θe

¯ − UI (x1 , x2 ) cos θe ¯ (5.37)

Con el teorema de Green, ecuaci´on 4.30, se obtienen las funciones param´etricas para las componentes de velocidad. El procedimiento es: ge (t) = t

(5.38)

he (t) = y3 (t)

(5.39)

ge0 (t) = 1

(5.40)

h0e (t) = y30 (t)

(5.41)

y sus derivadas

por lo que la ecuaci´on 5.33 queda de forma expl´ıcita como se muestra, f´acilmente evaluable σ0e ˙ De = √ W 3

Z

L L1

¡ ¢ ¡ ¢ |UII t, y3 (t) cos θe + VII t, y3 (t) sin θe p ¡ ¢ − UI t, y3 (t) cos θe | 1 + y30 (t)dt (5.42)

Los l´ımites de integraci´on, L y L1 son puntos conocidos, por lo que la integral queda definida en su totalidad.

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

52

Capa interior La potencia interna consumida debida a la discontinuidad de velocidades en la capa interior se obtiene a partir de calcular la integral de l´ınea 5.43 Z ¯ ¯ σ0i ˙ ¯∆V ¯ dS (5.43) WDi = √ Γi 3 Γi Para poder evaluarla como integral de l´ınea, es necesario, nuevamente, dejar todas las componentes de velocidad involucradas en t´erminos de las coordenadas espaciales, para despu´es expresarlas en sus ecuaciones param´etricas. La primera ecuaci´on para esto se obtiene a partir de establecer la continuidad de velocidades normales entre las zonas involucradas, III y IV . UIV sin θi − VIV cos θi = UIII sin θi Q2 . hi0

(5.44)

donde el ´angulo θi = arctan y40 (x1 ) y la componente de velocidad UIII = La diferencia de velocidades tangenciales queda

¯ ¯ ¯∆V ¯

Γi

¯ ¯ ¯ = ¯∆V ¯Γi (x1 , x2 ) = ¯UIV (x1 , x2 ) cos θi + VIV (x1 , x2 ) sin θi

¯ − UIII (x1 , x2 ) cos θi ¯ (5.45)

Las ecuaciones param´etricas para este caso son gi (t) = t

(5.46)

hi (t) = y4 (t)

(5.47)

gi0 (t = 1)

(5.48)

h0i t = y40 (t)

(5.49)

y sus respectivas derivadas

La forma expl´ıcita para el c´alculo queda dada por:

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

˙D W i

σ0 = √i 3

Z

L1 L2

53

¡ ¢ ¡ ¢ |UIV t, y4 (t) cos θi + VIV t, y4 (t) sin θi p ¡ ¢ − UIII t, y4 (t) cos θi | 1 + y40 (t)dt (5.50)

donde los l´ımites tambi´en son conocidos.

5.3.5.

Potencia consumida por fricci´ on entre el rodillo y el material

El detalle de la obtenci´on de estas ecuaciones ha sido abordado para el caso de laminado, por lo que se procede u ´nicamente a presentar las ecuaciones, ya que el razonamiento y planteamiento es exactamente igual. La potencia se obtiene a partir de la siguiente integral Z ¯ ¯ µ σ 1 0 e ˙ frm = √ ¯∆V ¯ dS W ΓR 3 ΓR

(5.51)

La diferencia de velocidades entre el rodillo y el material exterior, se puede apreciar de manera gr´afica en la figura presentada en el cap´ıtulo de laminado, figura 4.5. ¯ ¯ Para obtener la diferencia de velocidades expresada en ¯∆V ¯Γ , hay que R obtener primero la velocidad tangencial del rodillo, mediante el producto cruz de los vectores radio y velocidad angular ~r = rx1ˆi + rx2 ˆj

(5.52)

ω ~ = −ω kˆ

(5.53)

Por lo que el resultado de este producto cruz queda como V~R = ω ~ × ~r = ωrx2ˆi + ωrx1 ˆj

(5.54)

donde las componentes rx1 = x1 = R sin α

(5.55)

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

rx2 = R cos α

54

(5.56)

x1 , R

de manera que las componentes de la y el ´angulo α es α = arctan velocidad tangencial del rodillo se reescriben como Vrx1 (x1 ) = −ωR cos α

(5.57)

Vrx2 (x1 ) = ωx1

(5.58)

La velocidad del material en la intercara se obtiene a partir de la funci´on de corriente de la zona II, evaluando x2 en y1 (x1 ), de modo que queda una integral en funci´on de una sola variable espacial, x1 ¯ ∂ϕII ¯¯ UII (x1 , x2 )¯x2 =y1 (x1 ) = ∂x1 x2 =y1 (x1 )

(5.59)

¯ ∂ϕII ¯¯ VII (x1 , x2 )¯x2 =y1 (x1 ) = − (5.60) ∂x1 x2 =y1 (x1 ) Las diferencias se obtienen simplemente restando las componentes correspondientes ¯ ∆Vi = Vrx1 (x1 ) − UII (x1 , x2 )¯x2 =y1 (x1 )

(5.61)

¯ ∆Vj = Vrx2 (x1 ) − VII (x1 , x2 )¯x2 =y1 (x1 )

(5.62)

para que la integral que arroja el resultado de esta fracci´on de la potencia total quede como: Z Lq µ σ 1 0 e ˙ frm = √ W ∆Vi2 + ∆Vj2 dx1 (5.63) 3 0

5.3.6.

Potencia consumida por fricci´ on en la intercara

En la interfase de los materiales, de manera similar a la interfase del rodillo-material, existe un deslizamiento relativo entre las capas y, por consiguiente, una potencia asociada para vencerla. Este t´ermino mejora la aproximaci´on de la potencia total final consumida por el proceso[6]. Para considerar esta potencia, la capa exterior se toma como herramienta de trabajo [6], de modo que se logre aproximar esta potencia de manera sencilla.

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

55

La funci´on para calcular la potencia debida a la fricci´on entre los materiales se obtiene a partir de evaluar la integral Z ¯ ¯ µ 2 ˙ fmm = √ W σ0i ¯∆V ¯Γ dS (5.64) M 3 ΓM ¯ ¯ donde ¯∆V ¯Γ representa la diferencia vectorial de las velocidades de los M materiales. Como ya es sabido, las velocidades se obtienen a partir del Hamiltoniando de la funci´on de corriente correspondiente. Como la velocidad de inter´es es en la intercara de los materiales, la variable espacial x2 es evaluada en y2 (x1 ). ¯ ¯ UII ¯Γ = UII (x1 , x2 )¯x2 =y2 (x1 )

(5.65)

¯ ¯ VII ¯Γ = VII (x1 , x2 )¯x2 =y2 (x1 )

(5.66)

¯ ¯ UIV ¯Γ = UIV (x1 , x2 )¯x2 =y2 (x1 )

(5.67)

¯ ¯ VIV ¯Γ = VIV (x1 , x2 )¯x2 =y2 (x1 )

(5.68)

M

M

M

M

¯ ¯ ¯∆V ¯

ΓM

=

p

(UIV − UII )2 + (VIV − VII )2

(5.69)

Considerando las expresiones anteriores, se eval´ ua de manera sencilla la ˙ potencia Wfmm Z L1 p µ σ 2 0 i ˙ fmm = √ W (UIV − UII )2 + (VIV − VII )2 dx1 (5.70) 3 0

5.3.7.

Potencia total consumida por el proceso

La suma de todos los t´erminos de potencia descritos en esta secci´on, dan como resultado la funcional de la potencia total consumida por el proceso. ˙ dpe + W ˙ dp + W ˙ De + W ˙D +W ˙ frm + W ˙ fmm J∗ = W i i

(5.71)

J ∗ queda expresada en t´erminos de los par´ametros pseudo-independientes, de modo que la funci´on se minimiza a partir de ellos. Los siete par´ametros son:

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

56

2

1. Q1 , [ mm ], gasto volum´etrico de la capa externa por unidad de ancho. s 1 2. a1 , [ mm ımite r´ıgido-pl´astico exte4 ], factor de forma del gradiente del l´ rior. 1 ımite r´ıgido-pl´astico inte3. a2 , [ mm 4 ], factor de forma del gradiente del l´ rior.

4. b, adimensional, factor de forma de la interfase de los materiales. 5. hif , [mm], mitad del espesor final de la capa interna. 6. hef , [mm], espesor final de la capa exterior. 2

7. Q2 , [ mm ], gasto de la mitad de la capa interna por unidad de ancho. s Como los materiales salen unidos al final del proceso, sus velocidades son iguales, por lo que se cumple la siguiente igualdad Q1 Q2 = hef hif

(5.72)

hef + hif = hf

(5.73)

Adem´as, se cumple

por lo que el n´ umero de par´ametros pseudo-independientes se reduce a cinco, al hacer uso de estas dos u ´ltimas relaciones.

5.4.

Carga aplicada por los rodillos

La carga aplicada por los rodillos se obtiene de manera indirecta de la relaci´on que existe entre potencia total consumida por el proceso, de modo que es indispesable obtener primero el valor m´ınimo de J ∗ , J. La ecuaci´on 4.53 es la utilizada para obtener el valor de la carga aplicada por los rodillos.

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

5.5.

57

Optimaci´ on de J ∗

Toda optimaci´on requiere de ciertos par´ametros que permitan la m´aximizaci´on o la minimizaci´on deseada. Adem´as, se le da al programa una serie de restricciones para cada par´ametro pseudo-independiente, con el fin de darle valid´ez f´ısica a los resultados arrojados al final de la optimaci´on. A continuaci´on se muestran estas restricciones. El an´alisis para la selecci´on de los l´ımites se hace a partir de seleccionar condiciones extremas de colaminado para cada pseudopar´ametro. La primera es para el espesor final de la capa interior, hif .Se tiene que cumplir hif ∈ [hf − he0 , hi0 ]

(5.74)

Se justifica, considerando que la capa interior, en el caso m´as extremo,es la u ´nica que se deforma, conservando sus propiedades geom´etricas la exterior. El segundo l´ımite se sustenta por s´ı mismo, ya que no puede haber ganancia en el espesor. La amplitud de la par´abola que describe la interfase de los materiales es controlada por el par´ametro b.

Figura 5.2: Regi´ on de validez b − x1 .

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

58

hi − hf + he0 ] (5.75) L2 El primer l´ımite es en el caso de que la interfase de los materiales sea una constante (amplitud ∞), es decir, que no exista deformaci´on del material interior. Para el l´ımite m´aximo, se combinan las ecuaciones 5.29 y 5.12, de modo que se cumpla la condici´on x1 = L, ya que es la amplitud m´ınima que debe cubrir. La variaci´on de la amplitud en funci´on de los valores que toma b se aprecia claramente en la figura 5.2 b). En la figura 5.2 a) se ve la regi´on de valores que cumple con la desigualdad bx21 ≤ hi0 . b ∈ [0,

Para el caso del flujo exterior por unidad de ancho, Qe ∈ [−Qtot , 0]

(5.76)

y Qtot = | − ωRhf |. ya que el flujo total final debe de ser la suma de los flujos de ambas capas. Es por esto, que el flujo Qe no puede ser mayor en magnitud, ni cambiar de sentido. Los pseudopar´ametros ae y ai son reguladores de las par´abolas de los l´ımites r´ıgidos-pl´asticos, que f´ısicamente representan la aportaci´on del flujo linealmente distribuido al flujo uniforme. En la figura 5.3 a) se pueden observar zonas de invalidez, donde valores de ae no cumplen con las condiciones del proceso. Recurriendo a la gr´afica de la desigualdad del argumento de la ra´ız principal del l´ımite r´ıgido-pl´astico de la capa exterior (figura 5.3 b)) (ver p´agina 3 del Anexo II), se ve que para que haya continuidad a lo largo del eje x1 , el valor del pseudopar´ametro ae , tiene que ser signiificativamente menor que 0,001. Es por eso, que se toma un valor arbitrario suficientemente peque˜ no para restrnigir la zona de validez. ae ∈ [0, 0,001]

(5.77)

ai ∈ [0, 0,001]

(5.78)

´ DEL MODELO DE COLAMINADO CAP´ITULO 5. DESCRIPCION

Figura 5.3: Regi´ on de validez ae − x1 .

59

Cap´ıtulo 6 Resultados 6.1.

Resultados del laminado

Es necesario llevar a cabo varias corridas del programa que surge del modelado, con la finalidad de conocer el desempe˜ no. Para esto, se escogen una serie de par´ametros de laminaci´on, de los cuales u ´nicamente se fija el radio de los rodillos del laminador. En el cuadro 6.1 se muestran los par´ametros seleccionados para el laminador, Cuadro 6.1: Par´ametros de operaci´on del laminador Par´ametro Valor Unidades R 125 [mm] h0 10 [mm] ω -0.2032 [ 1s ] as´ı como datos del material utilizado en el cuadro 6.2. Las corridas se realizaron para reducciones del 10, 20, 30, 35, 40 y 50 por ciento. Valores debajo del 10 por ciento se consideran como ”skin pass”, donde el modelo propuesto deja de ser v´alido, dada la importancia que toma la componente el´astica de la deformaci´on. Los coeficientes de fricci´on van del 0.2 al 0.5 en pasos de 0.1. 60

CAP´ITULO 6. RESULTADOS

61

Cuadro 6.2: Propiedades del material Par´ametro Valor Unidades σ0 167.224 [M P a] k 186 [M P a] n 0.27 En la figura 6.1, se aprecia el comportamiento de la potencia total consumida por el proceso, el cual resulta ser el resultado directo de la minimizaci´on. Es l´ogico esperar que conforme aumentan tanto la fricci´on como el porcentaje de reducci´on, se requiera de m´as potencia para realizar el proceso de conformado.

Figura 6.1: Comparaci´ on de la potencia consumida por el proceso con distintas condiciones de fricci´ on y reducci´ on.

Para la figura 6.2, la fuerza aplicada por los rodillos sobre el material es mucho mayor para reducciones altas, ya que se obliga a una mayor cantidad de material a pasar por el espacio reducido que es el claro de laminaci´on. En la figura 6.3, se ve como var´ıa la longitud relativa de la zona pl´astica, que es la fracci´on entre L y L1, siendo el comienzo y el final del l´ımite r´ıgido-pl´astico. Para una reducci´on grande, la zona de deformaci´on pl´astica aumenta, siendo un indicador el comportamiento de la l´ınea del l´ımite r´ıgidopl´astic (LRP). Una deformaci´on severa se apreciar´a cuando la curva del LRP

CAP´ITULO 6. RESULTADOS

62

Figura 6.2: Comparaci´ on de la carga aplicada por los rodillos con distintas condiciones de fricci´ on y reducci´ on. tienda a ser vertical, mientras que una deformaci´on m´as homog´enea cuando ´este posea la forma de una par´abola. Es por esto que las relaciones L1 cercanas L a uno representan una deformaci´on severa.

Figura 6.3: Longitud relativa de la zona pl´astica, de fricci´ on y reducci´ on.

L1 , L

con distintas condiciones

La potencia total consumida por el proceso involucra tres potencias parciales, la potencia debida a la deformaci´on pl´astica, la potencia debida a la fricci´on en la interfase rodillo-material y la potencia debida al l´ımite r´ıgido pl´astico. Se muestran las gr´aficas de proporci´on de potencias, en las que

CAP´ITULO 6. RESULTADOS

63

la potencia debida a la deformaci´on pl´astica se encuentra en la base de las columnas, la de fricci´on en la parte superior. Resulta claro que para todos los casos, la potencia que menos aportaci´on tiene, es la debida al LRP. Para la deformaci´on pl´astica y fricci´on no se puede hablar en t´erminos generales, y se tiene que ver cada caso en particular. La deformaci´on pl´astica aparenta ser el factor m´as demandante en cuanto a potencia se refiere, pero ya que el aluminio es un metal relativamente suave, la fricci´on cobra m´as importancia que incluso la deformadci´on pl´astica al ir aumentando el coeficiente de fricci´on. m=0.2

m=0.3

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10%

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% %r 10

20

30

35

40

%r

50

10

20

30

a)

35

40

50

40

50

b)

m=0.4

m=0.5

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10%

100% 90% 80% 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% %r 10

20

30

35

c)

40

50

%r 10

20

30

35

d)

Figura 6.4: Distribuci´on de las potencias debidas a deformaci´on pl´astica, l´ımite r´ıgido-pl´ astico y fricci´ on, con distintas condiciones de fricci´ on y reducci´ on. La velocidad de deformaci´on equivalente se visualiza a trav´es de una gr´afica tridimensional, como en la figura 6.5 a). Sin embargo, si se grafican cierto n´ umero de planos paralelos al horizontal (ver figura 6.5 c)), surge un gr´afico bidimensional m´as claro para su lectura, como se muestra en la figura 6.5 b).

CAP´ITULO 6. RESULTADOS

64

Se aprecia un grdiente de deformaci´on a lo largo del eje x2 , que representa la posici´on a lo largo del espesor del material, lo que significa que el material cerca o sobre el plano de simetr´ıa es sometido a deformaciones m´as altas que el material de la parte exterior. A lo largo del eje x1 es evidente que tambi´en hay gradiente en la deformaci´on, en todos los casos, tendiendo a estar cerca del plano de salida. Las zonas m´as claras representan una velocidad de deformaci´on equivalente (VDE) mayor. Cuando se trabaja con reducciones bajas, el m´aximo de la VDE se encuentra en el plano de salida, en el punto L, a lo largo del eje horizontal, y sobre el plano de simetr´ıa.La zona de m´axima VDE se va recorriendo hacia la entrada del claro de laminaci´on, conforme aumenta el porcentaje de reducci´on. Esto provoca una saturaci´on de material en zonas previas, traduci´endose en deformaciones m´as severas y m´as heterog´eneas, mientras que para reducciones bajas, la deformaci´on es m´as homog´enea tanto a lo largo del claro de laminaci´on como a lo profundo del espesor del material. Estas figuras se combinan con la gr´afica 6.3, en la que se ve una deformaci´on severa, o una deformaci´on m´as moderada. El ´angulo neutro, como se muestra en la figura 6.7 se encuentra sobre el plano de salida, x1 = 0. Este punto es en el que las velocidades del material y del rodillo se igualan. Antes del plano de salida, el material tiene una velocidad menor, aceler´andose, por el efecto del canal convergente, conservando as´ı el principio de conservaci´on de masa. El tiempo promedio de cada corrida fue de 7 segundos. Esto mencionando de manera expl´ıcita el m´etodo num´erico a utilizar en las integraciones num´ericas. De lo contrario, el tiempo se incrementa hasta un promedio de 300 segundos por corrida. El material, por efecto de la conservaci´on de masa, comienza a acelerarse conforme avanza por el claro de laminaci´on, fen´omeno que se verifica al observar la figura 6.8. Esta acci´on se representa por medio de graficar el hamiltoniano de la funci´on de corriente ϕ2 .

CAP´ITULO 6. RESULTADOS

65

ξeq, red 10%, µ = 0.2 h

1 1

0.8

%r =10, m =0.2

1

h 0.2 0 0.4 0.6

0.8 1

0.6

eeq 0.5

0.4

0

0

4

3 x1

0.2

2

1

0

0 0

1

2

a)

3

4

5

x1

b)

1

eeq 0.5

0 0.25 0.5 h0.75 1

0 4

2

0

x1

c)

Figura 6.5: Visualizaci´on de la deformaci´on equivalente de forma a) tridimensional, b) bidimensional, c) obtenci´on de la gr´afica bidimensional.

CAP´ITULO 6. RESULTADOS

h

%r =10, m =0.2

h

1

66

%r =20, m =0.2

h

1

0.8 1

0.6

0.8 1

0.6

0.4

0.4

0

1

2

3

4

5

0.4

0

1

2

3

a) h

4

5

6

7

0

x1

0

h

0.8 1

0.6

h

%r =40, m =0.2

0.4

d)

8

x1

%r =50, m =0.2

1

0.6 0.4 0

0

0.2

0.2 6

x1

1

0.4

0

8

0.8

0.8

0

0.2

6

1

0.6

4

4

c)

1

2

2

b)

%r =35, m =0.2

1

0

0

0.2

0

x1

1

0

0.2

0

0.8 0.6

0

0.2

%r =30, m =0.2

1

0 0

2

4

6

e)

8

10

x1

0 0

2

4

6

8

10

x1

f)

Figura 6.6: Comparaci´ on de las deformaciones equivalente con distintas reducciones, µ = 0,2.

Figura 6.7: Localizaci´ on del ´angulo neutro.

CAP´ITULO 6. RESULTADOS

h en mm

67

Flujodel material

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 2.5

5

7.5

10 12.5 15

x1 en mm

Figura 6.8: Campo de flujo del material dentro del claro de laminaci´on, condiciones de operaci´ on, 0.4 reducci´ on, µ = 0,2.

CAP´ITULO 6. RESULTADOS

6.2.

68

Resultados del colaminado

Para obtener los resultados del colaminado, se da un brinco de un espacio unidimensional, R1 a un espacio de cinco dimensiones, R5 . Estos espacios est´an definidos por el n´ umero de componentes que definen al vector requerido para minimizar la potencia. En el cuadro 6.3 se muestran las propiedades de los materiales a colaminar, AA1060 para la capa exterior, y una aleaci´on Al-Sn para la interior. Cuadro 6.3: Propiedades de los materiales Par´ametro Valor Unidades σ0e 85 [MPa] ke 98.1 [MPa] ne 0.2 σ0i 176 [MPa] ki 186 [MPa] ne 0.27 Los par´ametros de operaci´on para el colaminado se presentan en el cuadro 6.1, mostrado anteriormente. La potencia total consumida, la carga aplicada por un rodillo y la relaci´on de espesores se muestran en las figuras 6.9, 6.10 y 6.11. Estos tres par´ametros son de gran importancia, siendo el primero el resultado directo de la minimizaci´on del proceso. Se observa, en la figura 6.11 como la relaci´on de espesores decrece con el aumento de la reducci´on. Esto se debe a que en reducciones bajas, la capa interior permanece intacta, y sale con un espesor id´entico al inicial. Conforme aumenta la reducci´on, se aproximar´a al l´ımite pl´astico del material interior, comenzando a deformase ligermanete. Paralelamante, el material exterior sigue recibiendo, de manera m´as exagerada, carga que es utilizada en su mayor´ıa por el material m´as blando, el exterior.

CAP´ITULO 6. RESULTADOS

69

Figura 6.9: Potencia disipada en funci´on de la fricci´ on entre el rodillo y el material exterior.

Figura 6.10: Carga aplicada por un rodillo en funci´on de la fricci´ on entre el rodillo y el material exterior. La relaci´on de espesores se mantiene constante, para una reducci´on dada, a lo largo del plano ke − ne, teniendo como consecuencia el aumento la potencia total consumida (ver figura 6.12). Esto es resultado del proceso de optimaci´on, donde la reducci´on r parece ser un par´ametro de restricci´on para el pseudopar´ametro hif . Esta u ´ltima no es resultado de las propiedades mec´anicas del material. Las gr´aficas que representan las deformaciones de velocidad equivalente (figuras 6.15 y 6.16) son clara muestra de la naturaleza de cada material. La capa exterior, al entrar en contacto con el rodillo comienza a deformarse de manera inmediata, continuando con esto hasta el plano de salida. Es en el punto de contacto, donde se da la mayor ξeqe . El material de la capa interior

CAP´ITULO 6. RESULTADOS

Figura 6.11: Relaci´ on de espesores,

70

hef , hif

para r=0.12, 20, 0.35, y 0.5.

Figura 6.12: Efecto de la fricci´ on entre el rodillo y el material sobre la superficie J-ke-ne. no comienza a deformar hasta que su esfuerzo de cedencia σ0i es alcanzado. Es esa diferencia la que crea la diferencia en los l´ımites de discontinuidad, L − L1 . De ser dos capas colaminadas del mismo material, la l´ınea no tendr´ıa un punto de inflexi´on en L1 (ver figura 6.17). Es necesario mencionar, que este trabajo parte del previamente realizado por Hector Quiroz, [6]. En el cuadro 6.4 se comparan los resultados obtenidos en aquel y este trabajo.

CAP´ITULO 6. RESULTADOS

71

Figura 6.13: Flujo del material de la capa exterior a lo largo del claro de laminaci´on.

Figura 6.14: Flujo del material de la capa interior a lo largo del claro de laminaci´on.

CAP´ITULO 6. RESULTADOS

Figura 6.15: Velocidad de deformaci´on equivalente de la capa exterior.

Figura 6.16: Velocidad de deformaci´on equivalente de la capa interior.

72

CAP´ITULO 6. RESULTADOS

Figura 6.17: Regiones de deformaci´on pl´astica. Cuadro 6.4: Comparaci´ on entre los resutlados en C ++ y M athematica. Par´ametro C ++ Mathematica Unidad 1 ae 0.0000363 0.0002079 [ mm 4] 1 −6 ai 0.00001121 7,0628e [ mm4 ] b 0.002162 0.002209 [-] mm2 Qe -83.8531 -85.58 [ s ] hif 1.5947 1.4955 [mm] W ] J 140.2041 148.737 [ mm N P 9894.6746 10496.9 [ mm ] ˙ Wdef e 5749.44 19937.4 [ mW ] mm mW ˙ Wdef i 36011.74 4629.6 [ mm ] ˙ dise W 7665.90 9872.81 [ mW ] mm mW ˙ Wdisi 1998.87 2345.02 [ mm ] ˙ Wf rm 18357.76 12286.1 [ mW ] mm mW ˙ Wf mm 318.30 3569.93 [ mm ] L 24.5150 24.515 [mm] L1 19.2961 20.2318 [mm] L2 18.5451 19.812 [mm]

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Cap´ıtulo 7 Conclusiones Programar en Mathematicar resulta ser una experiencia acelerada, ya que la interfase para realizar y definir las operaciones matem´aticas, variables o funciones, y en general todo tipo de matem´aticas, permite hacer uso de la intuici´on de una manera mucho m´as natural para dar las instrucciones, que en sus contrapartes de programaci´on directa. El programa funciona como una especie de caja negra, en la que se selecciona de manera autom´atica el m´etodo m´as adecuado para entregar un resultado l´ogico. Una vez superado el primer escal´on, es necesario acceder a esta caja negra, en la cual se conoce el manejo de datos, sobre todo en la utilizaci´on de m´etodos num´ericos para resolver integraciones, derivaciones o ecuaciones diferenciales. Al seleccionar de manera deliberada los m´etodos, n´ umero de iteraciones y otras opciones en general, se evitan errores y se acelera de manera dr´astica el tiempo de procesamiento de datos, pasando de horas a minutos. En el cuadro 6.4 del cap´ıtulo anterior, se hace una comparaci´on de resultados obtenidos en C ++ con los obtenidos en Mathematicar . Estos son del mismo orden de magnitud, acerc´andose en varios de los par´ametros de inter´es incluso en la segunda cifra significativa. Una vez obtenidos los resultados num´ericos, es posible presentarlos, sin necesidad de exportar o reprogramar en alg´ un paquete para gr´aficos, de manera clara y elegante, con una amplia variedad de opciones de visualizaci´on, utilizados de manera sencilla en este trabajo. Esta sencillez e intuici´on permite desarrollar simulaciones de una gran variedad de procesos, de modo que no se requiera de personal altamente 74

CAP´ITULO 7. CONCLUSIONES

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especializado para la reprogramaci´on o actualizaci´on de datos del simulador, reduciendo la brecha entre la teor´ıa y la pr´actica. Sin duda, ´esta es la continuaci´on de trabajos previamente realizados y es tampoco el fin, puesto que a los modelados siempre se les puede agregar par´ametros con el fin de aproximarse al proceso real. Adem´as, acerca m´as el momento en el que este tipo de simuladores sean realmente utilizados por la industria peque˜ na y mediana. La redacci´on de los programas es suficientemente sencilla como para modificar las l´ıneas de comando y simular procesos similares, sin la necesidad de escribir un programa. Como ejemplo, estos programas se escribieron en alrededor de 150 l´ıneas de comando, pudiendo simplificarse a´ un m´as, traduci´endose esto en periodos cortos de programaci´on una vez que la idea y el modelado sean claros.

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Anexo I A continuaci´on se presenta el c´odigo fuente de la simulaci´on para el proceso de laminado.

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Anexo II A continuaci´on se presenta el c´odigo fuente de la simulaci´on para el proceso de colaminado.

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