Modelado, Diseño e Implementación del Control Analógico de Velocidad para un Motor de CD

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Modelado, Diseño e Implementación del Control Analógico de Velocidad para un Motor de CD Sebastián MANRIQUE-MACHADO, Iván MORA-OROZCO, Oswaldo ARENAS-CRESPO Universidad Pontificia Bolivariana, Mora Orozco, Cir. 1 #70-01, B11, Medellín, Colombia. sebastian.manrique alfa.upb.edu.co Resumen: El presente trabajo trata acerca del diseño y la implementación de un control analógico de velocidad para un motor de CD. Se presenta el modelado del motor de CD, el diseño del control PI, la implementación circuital usando amplificadores operacionales y el diseño del transductor. El comportamiento adecuado puede verificarse mediante un osciloscopio. Copyright © UPB 2013 Palabras clave: Control análogo, control PI, motor de CD, Matlab, modelado de sistemas. Abstract: This work is about the design and implementation of an analogous speed control for a DC motor. The modeling of the DC motor, the PI control design, the circuital implementation using operational amplifiers and the transductor design, is presented. The appropriate behavior of the prototype is verified with an oscilloscope.. Keywords: analogous control, PI control, DC motor, Matlab, System modelling. UPB_autoArt 2013-07-19, s 2013-09-23

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1. INTRODUCCIÓN El presente artículo expone el diseño y la implementación de un control analógico de velocidad para un motor de CD, para lo cual fue necesario dividir el trabajo en 5 partes fundamentalmente. La primera de ellas consiste en la obtención del modelo del motor de CD a controlar. Posteriormente, se presenta el diseño de los controladores utilizando tanto el método del diagrama del lugar de las raíces como el método de los diagramas de Bode. El desempeño de los diseños se verificó mediante simulación en Matlab. En la tercera parte se expone el diseño circuital del controlador, mediante el uso de amplificadores operacionales. Subsuguientemente se muestra el diseño del transductor empleado para medir la velocidad del motor mediante señales de voltaje, y de esta forma lograr el acople controlador motor. Finalmente se anexa video en el cual se presenta brevemente los resultados obtenidos experimentalmente. 2. MODELADO DEL MOTOR DE CD Los motores de C.D. gracias a sus características son de fácil controlabilidad, y por tal motivo son los motores predilectos a la hora de realizar las tareas de control más complejas. Los motores de CD pueden producir el campo magnético necesario para su funcionamiento a través de electroimanes, o en su defecto, mediante imanes permanentes. Éstos últimos son de alta popularidad (Kuo, 1996), y en este caso son de fácil acceso lo

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cual permite desarrollar más fácilmente aplicaciones educativas como es el presente caso. Los motores de C.D. de imán permanente pueden clasificarse de acuerdo con el tipo de diseño de la armadura de la siguiente manera (Kuo, 1996): •

De núcleo de Hierro

•

De devanado superficial

•

De bobina móvil

El modelo matemático del motor de CD de imán permanente se puede llevar a cabo considerando al motor como un sistema del tipo SISO (por sus siglas en inglés Single Input, Single Output), en donde la entrada es el voltaje de alimentación, y mediante una transformación de energía eléctrica en energía mecánica que realiza el sistema, la salida de éste es una velocidad angular. La conversión de energía antes mencionada, supone que se debe acudir a ecuaciones tanto eléctricas como mecánicas, y a ecuaciones que relacionen variables de ambos tipos. El circuito básico a considerar se presenta en la Figura 1. Aplicando LVK en el circuito mostrado en la Figura 1, considerando un amortiguamiento por fricción en el eje del motor y aplicando la segunda ley de Newton para sistemas rotacionales se obtienen las dos ecuaciones que describen por separado la parte mecánica y la parte eléctrica del sistema.

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(

)

̇

(1)

en donde: Ra [=] Ω: Resistencia de la armadura. La [=] H: Inductancia de la armadura. Figura 1. Circuito Básico a considerar para el modelado matemático de un motor de CD

B [=] N-m-s/rad: Constante de amortiguamiento debida a la fricción. J [=] Kg-m2: Masa inercial del motor.

De otro lado, se sabe que en este tipo de motores, el torque que proporciona el mismo, es directamente proporcional a la corriente por la armadura, y la constante que relaciona ambas variables se le conoce con el nombre de constante del par [=] N-m/A. También se conoce que el voltaje en la armadura está relacionado mediante una constante proporcional con la velocidad angular del motor, y de esta forma se obtiene una segunda ecuación que relaciona una variable eléctrica con una mecánica. Con las cuatro ecuaciones descritas anteriormente, es posible llegar a la siguiente ecuación diferencial1:

Km [=] N-m/A: Constante de par. Kb [=] V-s/rad: Constante de fuerza contraelectromotriz. En la Figura 2, se puede observar el diagrama de bloques del modelo de segundo orden.

1

Para observar en detalle la obtención del modelo matemático del motor, puede consultarse los libros de (Kuo, 1996) y de (Nise, 2004). INGENIAR UPB 2013

Figura 2. Diagrama de bloques para el modelo matemático de segundo orden de un motor de CD Universidad Pontificia Bolivariana

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La ecuación (1) es una ecuación diferencial de segundo orden, la cual puede aproximarse a una ecuación diferencial de primer orden, si se desprecia la constante eléctrica, la cual según la literatura es una buena aproximación. La ecuación podría aproximarse a: (

)

̇

(2)

O si se quiere, también se puede trabajar con el modelo en espacio de estado como lo muestra la Figura 3.

2.1. Obtención de las constantes del modelo Con la ayuda de un tester y un medidor de inductancia se obtuvo: Ra = 23 Ω. L = 5.86 mH Luego se procedió a encontrar a Kb la cual es la constante que relaciona la velocidad angular con el voltaje en la armadura. Dicha constante se obtuvo de la siguiente manera.

Figura 4. Modelo del motor de CD para el cálculo de Kb Dado que una inductancia en corriente directa y en estado estable es aproximadamente un corto, es posible despreciar La, tal como se muestra en la Figura 4. De este modo se tiene que Figura 3. Diagrama de bloques para el modelo representado en espacio de estado

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̇

.

(3)

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(6) La prueba se llevó a cabo con las condiciones mostradas en la Tabla 1. Tabla 1. Condiciones experimentales para el cálculo de Kb Parámetro Va Ia Ra ω

Por lo tanto para las condiciones presentadas en la Tabla 1.Se tiene entonces que: (7)

Valor experimental 9V 0.056 A 28 Ω 634.6 rad/s

Despejando de (3), la constante que relaciona el voltaje en la armadura con la velocidad angular, se obtiene: (4) Se procede a hallar la constante del par. Se calcula entonces, la potencia que consume el motor en vacío y la potencia mecánica, asumiendo las condiciones planteadas en la Tabla 1, (5)

Figura 5. Respuesta del sistema a un escalón de 9V, incluyendo la función de transferencia del sensor de medida Se realizaron varios experimentos para varios escalones, similares al que se observa en la Figura 5; se promediaron los resultados, y se obtuvo la siguiente función de transferencia (8)

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Vale la pena mencionar que este modelo, contiene la función de transferencia del sensor y transductor, el cual es una constante de 0.006 V-s/rad. Relacionando los valores experimentales de la salida del sensor, respecto a la entrada, para lo cual se obtuvo la pendiente mostrada en la Figura 6.

Voltaje CD (V)

y = 0,006x + 0,015

3

(9)

N-m-s/rad.

(10)

y

En la Figura 7, se muestra la implementación llevada a cabo para comparar la respuesta ante el escalón del modelo matemático con respecto al experimental, de modo que se pueda validar el modelo matemático.

4 3,5

Kg-m2

2,5 2 1,5 1

0,5 0 0

100

200

300

400

500

600

Frecuencia (rad/s)

Figura 6. Característica del bloque sensor + transductor Tomando la función en (2) y remplazando las constantes L, R, Km y Kb halladas en los pasos anteriores, se procede entonces a usar métodos numéricos para ajustar los valores de las constantes J y B de modo que la respuesta obtenida ante la entrada escalón tengan la mayor semejanza posible con respecto a la hallada experimentalmente en (8). De esta forma se obtiene INGENIAR UPB 2013

Figura 7. Simulación y comparación de modelos experimental y matemático, usando diagramas de bloques

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Al momento de realizar la simulación, se encontró pertinente observar el valor de la constante de par Km, puesto que se conoce que debe ser mayor a Kb, y por ende, se ajustó su valor a 0.127 Kg-m2. Las respuestas obtenidas de ambos modelos pueden apreciarse en la Figura 8. Debido a que el modelo experimental lleva incluida la constante del sensor, se le ha añadido también al modelo matemático, de modo que se puedan comparar ambas salidas en la misma unidad (voltaje).

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Con el fin de ajustar el modelo para que los valores simulados de velocidad en vacío y corriente coincidieran con los obtenidos de forma experimental, se ajustaron en algunas centésimas los valores de Km y Kb. Finalmente se obtuvieron las constantes presentadas en la Tabla 2. Tabla 2. Resumen de parámetros hallados para el modelo matemático Parámetro Ra La Km Kb B J

Valor 28 5.86 0.0127 0.012

Unidad Ω mH Kg-m2 V-s/rad N-m-s/rad Kg-m2

De acuerdo a estos parámetros ahora pueden remplazarse en el modelo de segundo orden, de lo cual se obtiene (11)

Figura 8. Comparación de las respuestas obtenidas para el modelo matemático con respecto al experimental, ante un escalón de 10.52 V INGENIAR UPB 2013

Con ayuda del comando de Matlab tf2ss(), fue posible hallar el modelo de orden 2 del motor en espacio de estados, se obtuvo:

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con esto se obtiene que, ̇

[ ] ̇

[

][ ]

[ ][

]

(12)

(16) Para garantizar un tiempo de estabilización de 0.4 s, se hace

[ ]

[

] [ ]+[ ][

]

(17)

(13) por lo tanto

3. DISEÑO DE CONTROLADORES P+I PARA EL MOTOR DE CD Para el diseño de los controladores, se han usado las estrategias propuestas en (Dorf & Bishop, 2005) y (Ogata, 1998). 3.1. Método del Diagrama del Lugar de las Raíces

El punto en el diagrama del lugar de las raíces que satisface las condiciones anteriores es √

Se conoce que el polo añadido por el control queda se ubica en el origen, de esta forma solo resta encontrar la posición del cero, para esto se usa la condición de fase, de modo que:

El modelo clásico del control P+I es de la forma (

)

(19) y reemplazando en (19), (14)

Para garantizar un sobreimpulso menor que el 13% se tiene que √

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(18)

(15)

(20) Con este ángulo puede obtenerse la ubicación del cero en el eje real (21)

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A partir de este diseño se espera la respuesta ante una entrada escalón, mostrada en la Figura 10.

Figura 9. Diagrama del lugar de las raíces de la planta controlada Con la condición de magnitud se halla la ganancia necesaria para llevar el polo al punto A, ‖

así

(

)(

)‖

(22)

. La función de transferencia del control es (

)

(23)

Figura 10. Respuesta ante el escalón dela planta controlada en lazo cerrado 3.2. Diseño del controlador usando Diagramas de Bode En la Figura 11, puede observarse la traza de Bode correspondiente para la planta sin controlar, para la cual se observa que no hay manera de medir el margen de fase del sistema, debido a que la ganancia no cruza por 0 dB. Al añadirse un polo en el origen, este añade una fase de 90° negativos y un aporte en la ganancia con -20 dB por década

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(25)

Figura 11. Diagrama de Bode para la planta sin compensar Como se ve en (14), solo resta añadir un cero y una ganancia total para completar el control P+I. Si se desea un sobreimpulso de 20 %, se tiene que √ Por lo tanto el margen de fase deseado es

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(24)

Figura 12. Diagrama de Bode para la planta, añadiendo un polo en el origen De acuerdo con la Figura 12, el margen de fase es mayor. Por lo tanto se hace una reducción de fase calculando el tiempo integral con la ecuación (26)

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tomando como referencia la frecuencia de corte con 0dB vista en la Figura 12, se hace , así . La función de transferencia del controlador se presenta en (27). (27) con lo que las constantes del control P+I+D quedan .

Figura 13. Diagrama de bode para la planta controlada usando compensador P+I INGENIAR UPB 2013

,

En la Figura 13 puede observarse la traza de Bode obtenida, la cual muestra un margen de fase de 57.3° adquirido mediante el control, con este margen de fase, se cumple con los cálculos presentados anteriormente. En la Figura 14 se muestra la respuesta ante el escalón presentada por el control diseñado en esta sección, en el cual se observa un sobreimpulso menor que el 20%, y un tiempo de estabilización de 0.76 s lo cual es aceptable para realizar una implementación.

Figura 14. Respuesta ante el escalón de la planta controlada usando el compensador P+I

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4. DISEÑO E IMPLEMENTACIÒN CIRCUITAL Para la implementación circuital, las principales disposiciones a usar del amplificador operacional son: amplificador, integrador, sumador e inversor. A continuación se exponen los esquemáticos y ecuaciones básicas asociadas a dichos circuitos (Coughlin & Driscoll, 1993).

La Figura 16, presenta la disposición que debe tener un circuito para obtener un inversor. La ecuación que rige el voltaje de salida está dada por (29) Inversor R2

La Figura 15, muestra un sumador inversor cuya ecuación de salida es (

)

(28)

Vin

Vin2 R2 R1

+

sumador R3 +V +

Vin1

U1

+V R1

Vo

-V U2 Vo

-V

Figura 16. Inversor con amplificador operacional En la Figura 17, puede apreciarse un amplificador operacional empleado como un integrador. La ecuación que determina el voltaje de salida es: ∫

(30)

Figura 15. Sumador inversor con amplificador operacional

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C

Vin

R

(

Integral U4 +V +

Vo

-V Figura 17. Integrador con amplificador operacional Amplificador R1

Vin

R2

+V + U3

Vo

-V

Figura 18. Amplificador no inversor con amplificador operacional Finalmente la Figura 18, muestra un amplificador no inversor. La ecuación de salida es:

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)

(31)

4.1. Diseño del Controlador Los valores de las resistencias empleados en los sumadores y en los inversores, no tienen mayor importancia, solamente debe considerarse que deben ser valores suficientemente altos para que la impedancia de entrada sea adecuada. De lo expuesto en el numeral 2, se ha obtenido que Kp y Ki deben ser 5 y 131 respectivamente. De acuerdo con (31), se calcula para cumplir con Kp considerando a . Se obtiene que el valor de . La resistencia finalmente se aproximó a 8.3k . De acuerdo con (30) es posible calcular R, considerando un capacitor de 10μF, para que la relación de cómo resultado un Ki de 131. Se obtiene R=763.36 Ω. Se concluye así los cálculos necesarios para garantizar que el control PI calculado, coincida con el implementado. El circuito que se implementó finalmente, fue el mismo diseñado. En la Figura 19, se presenta el circuito completo que se ha montado y en la Figura 20, se muestra el circuito que se ha implementado en protoboard.

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R5 4.7k V5 7V +V SetP 10k 40%

V1 15V U1 +V Inversor + V4 +V -15V

R8 1k Integral

R7 10k

U4

R10 3.3k

V8 +V -15V

V11 15V +V

V2 15V U2 +V sumador + V3 +V -15V

R12 3.3k

+ U3 R9 2.2k

V10 +V -15V Proporcional

R1 220

V13 15V +V U5 Inversor +

R7 10k

V2 15V +V +

U2

V3 +V -15V sumador

V7 7V +V

Q2 NPN

R13 22k

Inversor R14 3.3k

R3 10k R4 10k

LED1 D1

Encoder

V12 +V -15V

R11 8.3k

R3 10k R4 10k

V9 15V +V +

5. ACOPLE CONTROL-MOTOR

V6 7V C2 +V 100uF

C3 10uF

R2 4.7k

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R15 3.3k

V14 15V +V

M2 U6

+ V15 +V -15V

Q1 FaV Foto TRS LM2907 C1 22uF

IN OUT COM

R6 10k

Conversor F aV

Debido a que se pretende implementar un control de velocidad para un motor de DC en lazo cerrado, se hace necesario medir la velocidad de dicho dispositivo. Para tal efecto, se fabricó un encoder con dos ranuras por revolución, y con un sensor infrarrojo en herradura o en U. Dicho sensor consta de un diodo LED, y un foto transistor sensible a la longitud de onda que emite el LED. En la Figura 21 se puede a preciar el motor acoplado con la circunferencia ranurada, la cual ha sido fabricada en acrílico negro, para evitar el paso de luz infrarroja.

Figura 19. Esquemático del circuito implementado en protoboard

Figura 21. Motor con el disco ranurado acoplado La señal de salida del encoder, corresponde a una señal cuadrada, cuya frecuencia es directamente proporcional a la velocidad del motor. Dicha señal posee un nivel de directa, el cual fue eliminado mediante un condensador con el fin de acoplar la señal a la entrada de un conversor de frecuencia a voltaje. Figura 20. Circuito implementado en Board

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Para la implementación de dicho conversor, se utilizó un IC LM2907, el cual ha sido diseñado específicamente para Universidad Pontificia Bolivariana

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aplicaciones de este tipo. Se ha empleado la configuración recomendada por el fabricante (Texas Instruments, 2008). Con los anteriores dispositivos se logró el acople control-motor. El desempeño del control implementado fue probado mediante un osciloscopio, en el cual se puede visualizar la señal de referencia y la señal de velocidad medida. Las pruebas realizadas pueden visualizarse en el video adjuntado en los anexos. 6. CONCLUSIONES Se ha modelado satisfactoriamente un motor de CD, obteniendo empíricamente todas las constantes asociadas a los modelos de primer y segundo orden. Se validaron y se compararon los modelos obtenidos mediante simulaciones en Matlab y comparaciones con las medidas experimentales realizadas.

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revolución, un sensor infrarrojo en herradura o en U y un conversor de frecuencia a voltaje. De igual manera se halló la función de transferencia del transductor fabricado. REFERENCIAS Coughlin, R. F., & Driscoll, F. F. (1993). Amplificadores operacionales y circuitos integrados lineales. (Cuarta ed.). Prentice Hall. Dorf, R. C., & Bishop, R. H. (2005). Sistemas de control moderno (Décima ed.). Pearson. Kuo, B. C. (1996). Sistemas automáticos de control (Séptima ed.). Prentice-Hall Hispanoamérica. Nise, N. S. (2004). Sistemas de control para ingeniería (Primera ed.). Continental. Ogata, K. (1998). Ingeniería de Control Moderna (Tercera ed.). Pearson. Texas Instruments. (2008). LM2907/LM2917 Frequency to Voltage Converter. Dallas.

Se diseñaron dos controladores de velocidad, utilizando estrategias de diseño tanto en el dominio del tiempo,como en el dominio de la frecuencia. El desempeño de ambos controladores fue analizado mediante simulaciones en Matlab. Se llevó a cabo el diseño y la implementación circuital del controlador diseñado por el método del diagrama del lugar de las raíces, obteniendo resultados experimentales satisfactorios y coherentes con lo esperado. Se realizó el acople controlador – motor mediante la implementación de un encoder con un disco de dos ranuras por INGENIAR UPB 2013

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AUTORES Sebastián de Jesús MANRIQUE MACHADO. Obtuvo el título de Ingeniero Electricista de la Universidad Pontificia Bolivariana, en junio de 2013. Actualmente labora como Analista de Aseguramiento de la Operación, en XM, filial de ISA. Sus intereses académicos e investigativos van enfocados a las áreas de sistemas de potencia, energías renovables y smartgrids. Oswaldo ARENAS CRESPO comenzó sus estudios en Ingeniería Eléctrica en la UPB Medellín en el 2007 y actualmente trabaja como asistente de investigación en el Grupo de investigación de Transmisión y Distribución de Energía Eléctrica de la UPB. Sus intereses académicos son el área de las protecciones eléctricas y las Smartgrids.

Iván Darío MORA OROZCO. Docente Titular de la Facultad de Ingeniería Eléctrica y Electrónica de la UPB, Medellín. Magíster en Automática con énfasis en robótica. Su principal línea de trabajo es la Mecatrónica, la robótica y el control automático, ha desarrollado trabajos en el área de control de movimiento de robots manipuladores, robótica móvil y visión artificial y el desarrollo de hardware y software aplicados a la automatización. Actualmente es el Coordinador del Semillero en Automática y Diseño A+D.

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ANEXO Video de las pruebas realizadas al controlador: .

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