Universidad central de Venezuela Facultad de Ciencias Postgrado en Instrumentación
MODELADO DE SISTEMAS LINEALES Y NO LINEALES (Caso: dos tanques interconectados)
Autor: Prof. Rafael Telles C.I: V 12.143.906 Email:
[email protected]
La Victoria 2015
I. Introducción
Este trabajo realizara un estudio de modelado en Matlab del control de llenado de dos (2) tanque donde estudiaremos Propiedades de los Fluidos Hidráulicos. La densidad “se define en física y química, la densidad (del latín densĭtas, -ātis) es una magnitud escalar referida a la cantidad de masa en un determinado volumen de una sustancia. Usualmente se simboliza mediante la letra rho ρ del alfabeto griego. La densidad media es la razón entre la masa de un cuerpo y el volumen que ocupa. Si un cuerpo no tiene una distribución uniforme de la masa en todos sus puntos la densidad alrededor de un punto puede diferir de la densidad media. Si se considera una sucesión pequeños volúmenes decrecientes (convergiendo hacia un volumen muy pequeño) y estén centrados alrededor de un punto, siendo la masa contenida en cada uno de los volúmenes anteriores, la densidad en el punto común a todos esos volúmenes: La unidad es kg/m³ en el SI.[1]” m (1) V Volumen especifico de una sustancia se define como “el volumen ocupado por unidad de masa de un material. Es el inverso de la densidad, por lo cual no dependen de la cantidad de materia.[2]”
1
(2)
El peso específico de una sustancia se define “como el peso de esa sustancia por unidad de volumen, esto es el resultado de dividir un peso conocido (N) entre un volumen conocido (cm3)[3]”.
g
m g V
(3)
Los problemas de flujos de fluidos reales son mucho más complejos que el de los fluidos ideales, debido a los fenómenos causados por la existencia de la viscosidad. La viscosidad introduce resistencias al movimiento, al causar, entre las partículas del fluido, entre éstas y las paredes limítrofes, fuerzas de corte o de fricción que se oponen al movimiento; para que el flujo tenga lugar, debe realizarse trabajo contra estas fuerzas resistentes, durante el proceso parte de la energía se convierte en calor. La inclusión de la viscosidad permite también la posibilidad de dos regímenes de flujo permanente diferente y con frecuencia situaciones de flujo completamente diferentes a los que se producen en un fluido ideal. También los efectos de viscosidad sobre el perfil de velocidades, invalidan la suposición de la distribución uniforme de velocidades.
“Reynolds demostró por primera vez las características de los dos regímenes de flujo de un fluido real, laminar – turbulento[4]”
R
D (4)
ρ: densidad de masa del fluido μ:viscosidad dinámica u: velocidad promedio del flujo D: diámetro interior del tubo
Q 4Q (5) A D2
Q: flujo volumétrico A: área del tubo
R
D 4 Q (6) D
Reynolds por debajo de 2000 el flujo es laminar, por arriba de 4000 el flujo es turbulento.
Figura 1 Fuente: Prof. Jesús Alberto Pérez Rodríguez Analizando la figura n°1 Mediante la ley de la conservación de la energía con un fluido ideal se tiene: Ep1 Ec1 Ef1 Ep2 Ec2 Ef 2 (7)
Dónde la energía potencial en los dos puntos son: (8)
Ep m g z
Ep m1 g z1 (9) Ep2 m2 g z 2
(10)
La energía cinetica en los dos puntos son: 1 Ec m 2 (11) 2 1 Ec1 m112 (12) 2 1 Ec 2 m2 22 (13) 2
La energía del flujo en los dos puntos es: w p A L p V (14)
Despejando el volumen de la ecuación (1) obtenemos: Pm (15) Ef
Ef 1
Ef 2
P m1
P m2
(16)
(17)
Si los volúmenes en la sección uno y dos son equivalentes llegamos a la ecuación de Bernoulli con un fluido ideal (19)
p m p m (18) 1 1 m g z1 m 12 1 m g z2 m 2 2 2 2 2 1 1 g z1 12 p 1 g z2 2 2 p 2 (19) 2 2
II. Enunciados o problemas a resolver o Investigar
Realizar un análisis del sistema de control de nivel de dos tanques interconectados con un se muestra en la figura 2, a través de un sistema no lineal y un sistema lineal:
Figura 2 Fuente: Prof. Jesús Alberto Pérez Rodríguez
Con los siguientes datos: Área del Tanque 1 (A1) = 400cm2, Condición Inicial de Altura del tanque = 1m, Gravedad especifica del agua = 1, Área del Tanque 2 (A1) = 600cm2, Condición Inicial de Altura del tanque = 1m. A. Análisis preliminar Tanque 1 Comenzamos realizando un análisis del control de nivel del tanque 1, a través de un sistema no lineal:
Q1 Q2 A1
dh1 (20) dt
La velocidad con que es impulsado el líquido a través de orificio del tanque 1 está regido por las ecuaciones de Bernoulli dependiendo de la gravedad y altura del nivel del líquido (21)
v2 2 g H (21) El caudal de salida del orificio es: Q2 Cv Cc Ax 2 g H 1 c Ax 2 g H1 (22)
c Cv Cc (23) La válvula de control 1 ajusta el caudal Q1, asumimos que aguas arriba entrega una presión constante.
Q1 c A0
2 g
p (24)
Como lo analizamos el peso específico en la ecuación 3, y sustituyéndola en la ecuación (24) no queda.
2
Q1 c A0
p (25)
Donde la gravedad especifica del agua está definida en la ecuación (26):
ge
(26)
H O 2
Qmax c Amax
2
H O 2
p (27) ge
El Coeficiente de caudal en la válvula de control 1 es definido en la siguiente ecuación siendo una constante: Cv c Amax
2
H O
(28)
2
El Caudal que entra al tanque 1 queda definido en la ecuación (29), donde F(x) está definida por el tipo de válvula a usar.
p (29) ge Sustituyendo en la Ecuacion (20) Q1(29) y Q2 (22) nos queda: Q1 f x Cv
Cv f x
dh p c Ax 2 g h1 A1 1 (30) ge dt
Donde asumimos que la válvula de control de caudal de Q1 es lineal.
A f x (31)
x A Amax xmax
(32)
La válvula está completamente cerrada en 0 y totalmente abierta en 1.
0
x xmax
1 (33)
El tanque 1 tiene como producto final con la siguiente ecuación (34)
Cv
x xmax
dh p cx Ax 2 g h1 A1 1 (34) ge dt
C1 Cv
1 xmax
p (35) ge
C2 cx Ax 2 g (36) Se sustituye (35) y (36) en (34) y se obtiene: C1 x C2 h1 A1
dh1 (37) dt
Aplicando el operador D a la ecuación (37) para un modelado no lineal nos queda:
C1 x C2 h1 A1 h1 D (38) Aplicando el método no lineal (39)
y
kx y (39) D
Por lo tanto la ecuación no lineal del tanque 1 nos queda:
C1 x C2 h1 h1 (40) A1 D B. Verificación de Valores para tanque 1
Los datos suministrados en el problema son:
p 1 psi ge 1 ( H 2O)
p 1 psi ge 1 ( H 2O)
A1 400cm 2
A1 0, 04m 2
A2 600cm 2
A2 0, 06m 2
hmax 2m
hmax 2m
c 0, 7
c 0, 7
Ax 4cm 2
Ax 0.0004m 2
Cv 15
gpm psi
Cv 0.0009464
Ay 6cm 2
=
m3 / s psi
Ay 0.0006m 2
xmax 20mm
xmax 0.02m
Qa 10 gpm
Qa 0.0006309m3 / s
Qb 3 gpm
Qb 0.0001893 m3 / s
Entrada 0 x 20mm
Entrada 0 x 0.02m
Sustituyendo los valores en la ecuación (35) y llevamos todas las unidades a SI para determinar el valor de C1 (42)
m3 / s 1 1 psi C1 0.0009464 (41) psi 0.02m 1 ( H 2O)
0.0009464 m3 / s C1 0.02 m
C1 0, 04732
m2 (42) s
Para obtener C2 sustituimos los valores en la ecuación (36) C2 0,7 0,0004m2 2 10m / s 2
C2 1, 252 103
m5/2 (43) s
Sustituyendo en (37) nos queda
0, 04732
dh m2 m5/2 x 1, 252 103 h1 A1 1 s s dt
0, 04732
(44)
m2 m5/2 x 1, 252 103 h1 s s h1 D 0, 04m2
C. Análisis preliminar Tanque 2
Analizando los caudales que entran y los caudales que salen obtenemos (45) Q2 Qa Qb Q3 A2
dh2 (45) dt
Donde la válvula 2 está regida por la siguiente formula (46)
Q3 cy Ay 2 g h2 (46) C3 cy Ay 2 g (47) C2 h1 Qa Qb C3 h2 A2
dh2 (48) dt
D. Verificacion de valores para tanque 2
Asumimos que:
c cx cy C3 0,7 0,0006m2 2 10m / s 2 (49)
5
C3 1,8783 103 m 2 / s
E. Modelación del sistema no lineal en Matlab sin tomar en cuenta las condiciones iniciales:
Analizando la modelación en Matlab utilizando simulink como se observa en la figura 3
Figura 3 Análisis de la función de transferencia no lineal tanque 1 Fuente: El autor
Figura 4 Análisis de la función de transferencia no lineal tanque 1 y 2 Fuente: El autor
Los resultados obtenidos se reflejan en el gráfico de la figura 3
Figura 5 Grafica de simulación no lineal tanque 1 y tanque 2 sin tomar en cuenta los niveles de la condición inicial (1m). Fuente: El autor F. Modelación del sistema no lineal en Matlab tomando en cuenta las condiciones iniciales:
Si tomamos en cuenta las condiciones iniciales las ecuaciones de los niveles de h1 y h2 serían las siguientes. C1 x C2 h1 1 A1
dh1 (50) dt
C2 h1 Qa Qb C3 h2 1 A2
dh2 (51) dt
La programación en Simulink estaría reflejada en la figura 6
Figura 6 Grafica de simulación no lineal tanque 1 y tanque 2 tomando en cuenta los niveles de la condición inicial (1m). Fuente: El autor En la gráfica observamos que los niveles de los régimen permanentes se mantienen con respecto a la figura 2, los régimen estacionarios varían relativamente producto a que los tanque no arranque con un nivel de 0 m sin embargo se estabilizan.
G. Análisis de resultados de simulación no lineal
En la gráfica no lineal observamos que el tanque h1 se estabiliza a los 200 seg aproximadamente con un nivel de 0.57 m si tomamos en cuenta las condiciones iniciales mantiene el mismo nivel y tiempo para su estabilización en régimen permanete, el tanque dos se estabiliza en un tiempo aproximado de 100 seg a un nivel aproximado 0.056m si toman en cuenta su condiciones iniciales se estabiliza en el mismo nivel, pero el tiempo para pasar al régimen permanente si varia. Podemos analizar que con el tanque h1 estabilizado cuenta con unos 22.8 litros y el tanque h2 tiene almacenados 3.36 litros. La grafica no lineal es una gráfica exacta del proceso a estudiar, la cual el siguiente estudio se va a linealizar por las series de Taylor y aproximar con una ecuación de primer orden.
H. Modelar sistema lineal de tanques Aplicando Taylor “La linealización de los términos no lineales se puede conseguir por varios caminos entre los que están desarrollo en una serie de Taylor, tomando solamente los términos de primer orden.[5]”, con la serie:
f x f x
x x df x x x 1!
dx
2
d 2 f x dx 2
2!
(52)
La cual aproximamos a la siguiente formula:
f x
f X
f x
x x df x 1!
f X
df X dX
f X X X
dx
df X (53) dX X X
X X X
Si en los tanques se mantiene estable tendremos:
Si t
dh 0 dt
“El método de Taylor funciona si lo que se quiere resolver es una ecuación diferencial sin condiciones iniciales, con la misma calidad de las soluciones que el método de las series de potencias[6]”. Lo que la ecuación del tanque 1 quedaría (37)
C1 x C2 h1 0
(54)
Y en tanque 2 (48) se reflejaría
C2 h1 Qa Qb C3 h2 0 (55)
Preparando para aplicarle la serie de Taylor organizamos las siguientes ecuaciones con sus derivadas parciales. X X X y y y h1 h1 h1 h2 h2 h2 Qa Qa Qa Qb Qb Qb
Aplicando Taylor a la ecuación no lineal del tanque 1 (37) con sus derivadas parciales nos queda
d h1 1 1 (56) C1 X C1 X C2 h1 C2 h1 A1 2 dt h 1
Aplicando h1 con un sistema estable (51) a la ecuación del tanque 1
d h1 1 1 C1 X C2 h1 A1 (57) 2 dt h1 Para normalizar organizamos (54)
A1
d h1 1 1 C2 h1 C1 X (58) dt 2 h1
Normalizamos
1 D 1 h1 K1 X A1 C1 X (59) D 1 h1 1 1 1 1 C2 C2 2 2 h h1 1
Donde 1 es igual a la constante del tiempo (61)
1
2 A1 h1 (61) C2
K1
2 C1 h1 (62) C2
K1 es la ganancia (62)
Para encontrar el valor de h1 buscamos el punto de operación donde la válvula este a 50% de apertura. 0 x 0.02m x 0.01m
Despejamos h1 de la ecuación (51)
C x h1 1 C2
2
Sustituyendo los valores h1 nos queda:
m2 0, 04732 0, 01m s h1 5/2 1, 252 103 m s h1 0.1429m Donde 1 (61)
1
2 0, 04m2 0.1429m m5/2 1, 252 103 s
1 24.1462s La ganancia K1 (62)
2
K1
m2 0.1429m s m5/2 1, 252 103 s K1 28.5750
2 0, 04732
La ecuación lineal del tanque 1 queda
h1 28.5750 X 24,1462 D 1 Modelando el sistema con la ayuda de Matlab simulink
Figura 7 Modelación lineal tanque 1 Fuente: El autor Comparando los resultados de graficas lineal y no lineal del tanque 1 se resumen en la figura 5
Figura 7 Grafica comparativa entre el sistema no lineal h1 y lineal h1 Fuente: Autor
Para el tanque 2 aplicamos Taylor a la ecuación (48) obtenemos: d h2 1 1 1 1 C2 h1 C2 h1 Qa Qa Qb Qb C3 h2 C3 A2 2 2 dt h1 h2
(63)
Aplicando h2 con un sistema estable (55) a la ecuación del tanque 2 (63) nos queda:
d h2 1 1 1 1 C2 h1 Qa Qb C3 h2 A2 (64) 2 2 dt h1 h2
Organizando la ecuación:
1 1 1 1 A2 D C3 h2 C2 h1 Qa Qb (65) 2 2 h h 2 1 Para normalizar
C2 h1 Qa Qb C3 h2 0
C h A2 1 1 D 1 h2 2 2 h1 Qa Qb (66) 1 1 1 1 1 1 C h C3 C3 3 1 C3 2 2 2 h h h2 2 2
2 D 1 h2 K2 h1 K3 Qa K3 Qb Donde
2
2 A2 h2 (68) C3
K2
C2 h2 C3 h1
(69)
(67)
K3
2 h2 (70) C3
K2 K3 K3 h2 h1 Qa Qb (71) 2 D 1 2 D 1 2 D 1
Sustituyendo obtenemos;
los
valores
para
encontrar
h2 (52), 2 (64), K 2 (65), K 3 (72)
C2 h1 Qa Qb C3 h2 0 Realizando un análisis ambos tanques trabajan de manera independiente por lo que tomamos como punto de operación para el tanque 2, h2 0.004m , siendo un valor racional con la ayuda de simulink. Para mantener el equilibrio buscamos el valor correspondiente para h1 2
C h Q Q 2 a b (73) h1 3 C2
5 m3 m3 3 2 1,8783 10 m / s 0.004 m 0.0006309 0.000 189 3 s s h1 5/2 3 m 1 , 252 1 0 s
h1 0.56m
2
2 0, 06m2 5
1,8783 103 m 2 / s
2 4.04s
1 0.004m
2
K2
1, 252 103
m5/2 0.004m s 5
1,8783 103 m 2 / s 0.56m K2 0.056
K3
2 0.004m 3
5 2
1,8783 10 m / s
K3 67.35s / m2
67.35s / m2 67.35s / m2 0.056 h2 h Q Qb a 1 4.04sD 1 4.04sD 1 4.04sD 1
Figura 8 Grafica comparativa entre el sistema no lineal h2 y lineal h2 Fuente: Autor Realizando un análisis integral de la modelación lineal y no lineal de los tanques h1 y h2 realizada en simulink se resumen en la siguiente en figura 7 .
Figura 9 Programa realizado en simulink del sistema no lineal h2 y lineal h2 Fuente: Autor
Figura 10 Grafica realizada en simulink del sistema no lineal h1, h2 y lineal h1, h2 sin tomar en cuenta condiciones iniciales Fuente: Autor
I. Reducción de diagrama en bloque del sistema lineal: El diagrama en bloque actual se muestra en la figura 9.
Figura 11 a Diagrama en bloque del sistema lineal h1, h2 Fuente: Autor
Figura 11 b Diagrama en bloque del sistema lineal h1, h2 Fuente: Autor
Figura 11 c Diagrama en bloque del sistema lineal h1, h2 Fuente: Autor
Figura 11 d Diagrama en bloque del sistema lineal h1, h2 Fuente: Autor
III. Conclusiones Durante esta investigación se plantearon varios puntos para su análisis los cuales se resumen a continuación: A. Se realizaron los cálculos de los valores de C1, C2, C3 dados en clase, siendo aproximados por lo que se consideran correctos. B. Se modelo en Matlab con su herramienta Simulink el sistema no lineal con condiciones iniciales y sin condiciones iniciales donde sus resultados son del producto exacto del proceso, esta simulación permite estudiar y evaluar las condiciones de los tanque 1 y del tanque 2 para realizar la serie de Taylor, así obtener una ecuación de orden inferior del proceso. En la simulación se comprobó que tomando y no tomando en cuenta las condiciones iniciales el régimen permanente se mantiene, solo que el tiempo del régimen estacionario varía dependiendo de la condición inicial. C. Se modelo el sistema linealizado con las series de Taylor, reduciendo las ecuaciones de cada tanque a un orden inferior, obteniendo ecuaciones de primer orden, por cada tanque, sus resultados son bastante aproximados a la gráfica no lineal, para el estudio no se tomaron en cuenta la condiciones iniciales para simplificar el modelado, sin embargo cuando se le introdujo condiciones iniciales al tanque 1, el modelado lineal del tanque no es afectado, esto es producto de que ambos son sistemas independientes. D. Al reducir el diagrama en bloque del sistema linealizado llegamos reducir los dos tanques como un sistema de segundo orden, con un sistema de primer orden para las perturbaciones, obteniendo los mismo resultados que en bloques separados. Como conclusión general podemos decir que al reducir de orden por las series de Taylor hacemos una aproximación de un sistema de orden superior, simplificando el análisis del proceso, pudiendo reducir los bloques del modelado. Las ventajas de utilizar las series de Taylor, las podemos resumir en: A. Reducción de orden de sistemas a primer orden. B. Es un método que simplifica el análisis del proceso, buscando el sistema equilibrado. C. Permite utilizar un punto de trabajo racional con respecto al proceso. Como desventaja tiene: Es una aproximación al proceso que depende el punto de trabajo para su medelacion. Donde hay que realizar multiples modelado hasta obtener el mas aproximado. En el modelado se demostró que ambos sistemas son independientes uno del otro pero al reducir los bloque podemos verlos como un solo sistema, donde la idea es controlar los niveles de ambos tanque.
IV Bibliografía
[1] «Densidad», Wikipedia, la enciclopedia libre. 30-nov-2015. [2] «Volumen específico», Wikipedia, la enciclopedia libre. 22-jun-2015. [3] « Tabla densidad y peso especifico.pdf». [En línea]. Disponible en: http://www.atpplleal.com/Pujat/file/DENSIDAD%20Y%20PESO%20ESPECIFICO .pdf. [Accedido: 27-dic-2015]. [4] A. Orquera, J. Estuardo, V. Páez, y D. Paúl, «Construcción de un módulo didáctico de control de flujo», Tesis, QUITO/EPN/2003, 2003. [5] «Análisis y simulación de procesos - David Mautner Himmelblau, Kenneth B. Bischoff - Google Libros». [En línea]. Disponible en: https://books.google.co.ve/books?id=sRxHz38uKIC&pg=PA280&dq=linealizaci%C3%B3n+series+de+taylor&hl=es&sa=X#v =onepage&q=linealizaci%C3%B3n%20series%20de%20taylor&f=false. [Accedido: 05-ene-2016]. [6] « Método de las series de Taylor para resolver ecuaciones diferenciales lineales y no lineales .pdf». José A. Sánchez [En línea]. Disponible en: http://casanchi.com/mat/metodotaylor01.pdf. [Accedido: 08-ene-2016].
