Modelado de Robots Móviles Robot Omnidireccional “Toby”

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR EC5805 Robots Móviles

Informe 2: Modelado de Robots Móviles: Robot Omnidireccional “Toby”

Danilo Díaz 10-10211 Sartenejas, Febrero de 2015

Índice Objetivo ............................................................................................................................. 3 Descripción del robot analizado ......................................................................................... 4 Tipo de robot ..................................................................................................................... 5 Descripción de parámetros ................................................................................................ 6 Desarrollo de matrices de restricción ................................................................................. 7 Caso particular ............................................................................................................... 7 Simulación ......................................................................................................................... 9 Prueba 1 ...................................................................................................................... 10 Prueba 2 ...................................................................................................................... 11 Prueba 3 ...................................................................................................................... 11 Prueba 4 ...................................................................................................................... 11 Prueba 5 ...................................................................................................................... 12 Prueba 6 ...................................................................................................................... 12 Conclusiones ................................................................................................................... 13 Referencias ..................................................................................................................... 14

2

Objetivo El presente informe pretende realizar una caracterización del robot omnidireccional “Toby”, mediante la utilización de las deducciones del ensayo “Propiedades estructurales y clasificación de la cinemática y dinámica de robots con ruedas” (en inglés) [1], utilizando como herramienta de análisis matemático MATLAB 2014a. El análisis que se expondrá más adelante supondrá un conocimiento previo del ensayo mencionado.

3

Descripción del robot analizado “Toby” es un robot omnidireccional con 3 ruedas suecas, creado en el Grupo de Investigación y Desarrollo en Mecatrónica (GIDM) como parte de unas pasantías cortas, con el objetivo de tener un robot sencillo y de bajo costo que permita realizar pruebas de movilidad para el desarrollo de robots ajustados a la categoría SSL (liga de tamaño pequeño) de la competencia internacional RoboCup [2]. Actualmente este robot es utilizado por la agrupación estudiantil FutBot USB (adjunta al GIDM).

Figura 1: Robot “Toby”

4

Tipo de robot La clasificación del tipo de robot viene dada por el grado de movilidad 𝛿𝑚 y el grado de giro 𝛿𝑠 (steeribilty), y vienen definidos de la siguiente forma.

𝛿𝑚 ≜ 3 − 𝑟𝑎𝑛𝑘[𝐶1∗ (𝛽𝑐)] 𝐶1∗ (𝛽𝑐) =

𝐶1𝑓 𝐶1𝑐(𝛽𝑐)

Donde 𝐶1∗ (𝛽𝑐) es la matriz que contiene la descripción de las ruedas centradas orientables. El rango (Rank) de esta matriz dice el número de ruedas orientables y fijas son independientes. Como este robot posee 3 ruedas suecas, esto implica que 𝛿𝑚 = 3. En cuanto al grado de giro 𝛿𝑠, se define de la siguiente manera: 𝛿𝑠 ≜ 𝑟𝑎𝑛𝑘[𝐶1𝑐(𝛽𝑐)] La matriz 𝐶1𝑐(𝛽𝑐) contiene información sobre las ruedas orientables y su rango indica cuantas ruedas orientables son independientes entre sí. Para este caso, el “Toby” no posee ruedas orientables, por lo que 𝛿𝑠 = 0. Se define como tipo de robot, el arreglo (𝛿𝑚, 𝛿𝑠), de manera que “Toby” es de tipo (3,0).

5

Descripción de parámetros En la figura siguiente puede observar un diagrama que contiene los parámetros ⃗⃗⃗⃗ y 𝑥2 ⃗⃗⃗⃗ . medidos en el robot real y el eje inercial de referencia 𝑥1

Figura 2: Diagrama de “Toby”

Ruedas sw1 sw2 sw2

𝛼 (radianes) 𝜋 3 𝜋 5𝜋 3

𝛽 (radianes) 0

𝛾 (radianes) 0

𝑙 (cm) 8

0 0

0 0

8 8

6

Desarrollo de matrices de restricción Las restricciones planteadas en el ensayo se pueden escribir de forma general de la siguiente forma: 𝐽1(𝛽𝑐, 𝛽𝑜𝑐)𝑅(𝜃)𝜉̇ + 𝐽2𝜙̇ = 0 ̇ =0 𝐶1(𝛽𝑐, 𝛽𝑜𝑐)𝑅(𝜃)𝜉̇ + 𝐶2𝛽𝑜𝑐 Donde 𝐽1𝑓 𝐽1𝑐(𝛽𝑐) 𝐽1(𝛽𝑐, 𝛽𝑜𝑐) = ( ) 𝐽1𝑜𝑐(𝛽𝑜𝑐) 𝐽1𝑠𝑤 𝐽1𝑓 y 𝐽𝑠𝑤 son matrices constantes. 𝐽2 es una matriz con diagonal igual a los radios de las ruedas, en el caso de las ruedas, viene multiplicado por cos(𝛾). 𝐶1𝑓 𝐶1(𝛽𝑐, 𝛽𝑜𝑐) = ( 𝐶1𝑐(𝛽𝑐) ) 𝐶1𝑜𝑐(𝛽𝑜𝑐) 𝐶1𝑓 es constante. 0 𝐶2 = ( 0 ) 𝐶2𝑜𝑐 𝐶2𝑜𝑐 es una matriz con diagonal con el “d” de las ruedas castor.

Caso particular Para el robot descrito anteriormente, las matrices antes mencionadas son las siguientes.

−sin(𝛼𝑠𝑤1 + 𝛽𝑠𝑤1 ) cos(𝛼𝑠𝑤1 + 𝛽𝑠𝑤1 ) 𝑙𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑠𝑤1 ) 𝐽1(𝛽𝑐, 𝛽𝑜𝑐) = [𝐽1𝑠𝑤] = ( −sin(𝛼𝑠𝑤2 + 𝛽𝑠𝑤2 ) cos(𝛼𝑠𝑤2 + 𝛽𝑠𝑤2 ) 𝑙𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑠𝑤2 )) −sin(𝛼𝑠𝑤3 + 𝛽𝑠𝑤3 ) cos(𝛼𝑠𝑤3 + 𝛽𝑠𝑤3 ) 𝑙𝑐𝑜𝑠(𝛽𝑠𝑤3 ) 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝛾) 0 0 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝛾) 0 ) 𝐽2 = ( 0 0 0 𝑟𝑐𝑜𝑠(𝛾) 7

𝐶1𝑓 𝐶1(𝛽𝑐, 𝛽𝑜𝑐) = ( 𝐶1𝑐(𝛽𝑐) ) = 0 𝐶1𝑜𝑐(𝛽𝑜𝑐) 𝐶2 = 0 De manera que sustituyendo los parámetros del robot real, tenemos:

√3 1 8 2 2 𝐽1(𝛽𝑐, 𝛽𝑜𝑐) = [𝐽1𝑠𝑤] = 0 −1 8 1 √3 8) ( 2 2 −

2 𝐽2 = (0 0

0 0 2 0) 0 2

Así, las restricciones lucen de la siguiente forma. √3 2 0 √3 ( 2 −

1 8 cos(𝜃) sin(θ) 0 𝑥̇ 2 0 2 𝑦̇ ( ) + ( −1 8 0 2 −sin(𝜃) cos(θ) 0 0 0 0 0 1 𝜃̇ 1 8) 2

̇ 0 𝜙𝑠𝑤1 ̇ )=0 0) (𝜙𝑠𝑤2 2 𝜙𝑠𝑤3 ̇

8

Simulación Para una implementación del modelo desarrollado, se necesitan las velocidades angulares ̇ 𝜙𝑠𝑤1 ̇ ). necesarias para seguir una trayectoria, lo que implica que se necesita conocer a (𝜙𝑠𝑤2 ̇ 𝜙𝑠𝑤3 Para conocerlo, la matriz J2 debe ser invertible. Para probar esto, se realizó una lista de pruebas y, resultado viables, resultaría en la posible implementación de esa configuración.

𝐽2−1 𝐽2𝜙̇ = −𝐽2−1 𝐽1(𝛽𝑐, 𝛽𝑜𝑐)𝑅(𝜃)𝜉̇ También se puede implementar si se cumple la condición: 𝐽1(𝛽𝑐, 𝛽𝑜𝑐)𝑅(𝜃)𝜉̇ + 𝐽2𝜙̇ = 0 Lista de pruebas: Prueba 1 2 3 4 5 6

𝜃0 (Radianes) 0 0 𝜋/2 0 0 0

𝑥̇ (cm/s) 10 10 10 0 0 10

𝑦̇ (cm/s) 0 0 0 10 10 10

𝜃̇ (rad/s) 0 𝜋/2 0 0 𝜋/2 𝜋/2

Para la implementación, se realizó el siguiente código en MATLAB.

%Definición de parámetros

r = 2; %cm lsw1 = 8; %cm lsw2 = 8; %cm lsw3 = 8; %cm alfasw1 = pi/3; alfasw2 = pi; alfasw3 = 5*pi/3; betasw1 = 0; betasw2 = 0; betasw3 = 0;

9

gammasw1 = 0; gammasw2 = 0; gammasw3 = 0; %Matrices J1 = [-sin(alfasw1+betasw1) cos(alfasw1+betasw1) lsw1*cos(betasw1) ; -sin(alfasw2+betasw2) cos(alfasw2+betasw2) lsw2*cos(betasw2) ; -sin(alfasw3+betasw3) cos(alfasw3+betasw3) lsw3*cos(betasw3) ] J2 = [r*cos(gammasw1) 0 0 ; 0 r*cos(gammasw2) 0 ; 0 0 r*cos(gammasw3)] %Vectores de prueba theta = 0; RotacionTheta = [cos(theta) sin(theta) 0 ; -sin(theta) cos(theta) 0 ; 0 0 1 ] vx = 10 %cm/s vy = 0 %cm/s w = 0 %rad/s dxi = [vx ; vy ; w]

%Prueba VelocidadesRuedas = -inv(J2)*J1*RotacionTheta*dxi

Prueba 1 𝑥̇ 10 Parámetros de Entrada: 𝜉̇ = (𝑦̇ ) = ( 0 ) ; 𝜃0 = 0 0 𝜃̇ Resultado:

10

Prueba 2 𝑥̇ 10 Parámetros de Entrada: 𝜉̇ = (𝑦̇ ) = ( 0 ) ; 𝜃0 = 0 𝜋/2 𝜃̇ Resultado:

Prueba 3 𝑥̇ 10 𝜋 Parámetros de Entrada: 𝜉̇ = (𝑦̇ ) = ( 0 ) ; 𝜃0 = 2 0 𝜃̇ Resultado:

Prueba 4 𝑥̇ 0 ̇ Parámetros de Entrada: 𝜉 = (𝑦̇ ) = (10) ; 𝜃0 = 0 0 𝜃̇ Resultado:

11

Prueba 5 𝑥̇ 0 Parámetros de Entrada: 𝜉̇ = (𝑦̇ ) = ( 10 ) ; 𝜃0 = 0 𝜋/2 𝜃̇ Resultado:

Prueba 6 𝑥̇ 10 ̇ 𝑦̇ Parámetros de Entrada: 𝜉 = ( ) = ( 10 ) ; 𝜃0 = 0 𝜋/2 𝜃̇ Resultado:

12

Conclusiones Después de haber realizado las pruebas planteadas, se pudo llegar a las siguientes conclusiones: 

Como las pruebas realizadas buscaban que el robot se moviera en todo el plano, al ser la matriz 𝐽2 siempre invertible y no tener restricciones por 𝐶1 y 𝐶2, se puede comprobar que el robot en efecto es omnidireccional y puede moverse hacia todo el plano sin necesidad de cambiar su ángulo 𝜃.



Se pudo observar que consistentemente que las pruebas 3 y 4 corroboran que, mediante un 𝜃0 = 𝜋/2 y una velocidad deseada en 𝑥, se necesitan las “mismas” velocidades en los motores pero negativas para ir en sentido contrario (𝜃0 = 𝜋/2 y velocidad en 𝑦).



La utilidad de los resultados corroborados es de extremada relevancia ya que mediante la definición de un campo de velocidades a partir de una trayectoria deseada, se puede controlar un robot de este tipo, siendo esta una de las tantas aplicaciones posibles.

13

Referencias [1] Campion, G. ; Centre for Syst. Eng. & Appl. Mech., Univ. Catholique de Louvain, Belgium ; Bastin, G. ; Dandrea-Novel, B. “Structural properties and classification of kinematic and dynamic models of wheeled mobile robots”. 1996. [2] RoboCup 2015. www.robocup2015.org/

14