Minimización por métodos gráficos

Minimización por métodos gráficos
A una población de niños de un hogar infantil, para complementar su nutrición básica se le suministra diariamente un mínimo de vitamina C de 190 ml, un mínimo de vitamina D de 150 ml y un mínimo de vitamina E de 140 ml. Estos niños son alimentados con arroz y carne que le cuestan al hogar infantil $ 200 por libra de arroz y $ 400 por libra de carne. El arroz contiene 3 ml de vitamina C, 1 de vitamina D, y 4 de vitamina E; mientras que la carne, 4,7,2 respectivamente .
Cuántas libras de arroz y carnes debe comprar el hogar infantil para obtener un costo mínimo en su compra?.

Solución

 
Arroz
Carne
Disponibilidad
Vitamina C
3
4
190
Vitamina D
1
7
150
Vitamina E
4
2
140
 
200
400
 

Variables
X1: Cantidad de arroz a comprar
X2: Cantidad de carne a comprar




Función objetivo
Min Z: 200x1 +400x2 sujeto a:
Vitamina C: 3x1 + 4x2 >= 190
Vitamina D: x1 + 7x2 >= 150
Vitamina E: 4x1 + 2x2 >= 140
X1,x2 >=0

Restricción vitamina C
3x1 + 4x2 = 190
Si x1 = 0 entonces 190/4 =47.5 (0 , 47.5)
Si x2 = 0 entonces 190/3 =63.3 (63.3 , 0 )
Los dos puntos encontrados equivalen a la recta trazada para la vitamina C en la gráfica.

Restricción vitamina D
x1 + 7x2 = 150
Si x1 = 0 entonces 150/7=21.4 (0 , 21.4)
Si x2 = 0 entonces 150/1 =150 (150 , 0 )
Los dos puntos encontrados equivalen a la recta trazada para la vitamina D en la gráfica.






Restricción vitamina E
4x1 + 2x2 = 140
Si x1 = 0 entonces 140/2=70 (0 , 70)
Si x2 = 0 entonces 140/4 =35 (35 , 0 )
Los dos puntos encontrados equivalen a la recta trazada para la vitamina E en la gráfica.

Grafica




Vértices
V1= (0 , 70)

V2= Vitamina C v/s Vitamina E, ahora vamos a eliminar la variable x1 en las dos ecuaciones.
3x1 + 4x2 = 190 (-8)
4x1 + 2x2 = 140 (6)
El resultado de la multiplicación es el siguiente:
-24x1 -32x2 =-1520
24x1 +12x2 =840
-20x2=-680
X2= -680/-20
X2=34

3x1 + 4(34) = 190
X1=(190-136)/3
X1=18
V2= (18 , 34)





V3= Vitamina C v/s Vitamina D, ahora vamos a eliminar la variable x1 en las dos ecuaciones.
3x1 + 4x2 = 190 (1)
x1 + 7x2 = 150 (-3)
El resultado de la multiplicación es el siguiente:
3x1 +4x2 =-190
-3x1 -21x2 =-450
-17x2=-260
X2= -260/-17
X2=15.3

3x1 + 4(15.3) = 190
X1=(190-61.2)/3
X1=42.9
V3= (42.9 , 15.3)




V4=
(150 , 0)

Reemplazar en la función objetivo min Z = 200x1 +400x2
V1 ; 200(0) + 400(70) = 28000
V2 ; 200(18) + 400(34) = 17200
V3 ; 200(42.9) + 400(15.3) = 14700 esta es la programación optima
V4 ; 200(150) + 400(0) = 30000

Respuesta
En el hogar infantil se debe comprar 42.9 libras de arroz y 15.3 libras de carne para tener un costo mínimo de $14.700.

Comprobación
Vitamina C = 3(42.9)+4(15.3)>= 190
192.42 >= 190

Vitamina D = 1(42.9)+7(15.3)>= 150
150 >= 150

Vitamina E = 4 (42.9)+2(15.3)>= 140
202.2 >= 140