Midiendo el riesgo

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MIDIENDO EL RIESGO Francisco Manuel Mancera Romero En el intento de domesticar el lado más salvaje del sistema económico actual, economistas, ingenieros, matemáticos, filósofos y estadísticos han intentado medir el riesgo, encorsetarlo y en el colmo de la desfachatez amaestrarlo.

El ahorro juega un papel fundamental en nuestro sistema económico, su intermediación desde los ahorradores hasta los que solicitan créditos (principalmente las empresas) es la tarea que desempeña el sistema financiero (básicamente los bancos, pero no sólo ellos). Estos intercambios se concretan a través de los activos financieros. Por ejemplo bonos, acciones, depósitos, pagares.

Todo activo financiero se caracteriza por tres atributos: 1.- Liquidez. Tiempo necesario para convertirlo en efectivo (dinero) sin pérdidas significativas. 2.- Rentabilidad. Lo que se gana respecto de la cantidad invertida, en un determinado periodo de tiempo y 3.- Riesgo.

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¿Qué es el Riesgo? Nos centraremos en el riesgo financiero: la posibilidad de sufrir una pérdida o quebranto económico. Tenemos tres tipos de riesgos financieros: Riesgo de Crédito, riesgo de pérdida debido a la incapacidad ó falta de intención de pago de la contraparte. Riesgo de Mercado, riesgo de pérdida debido a movimientos adversos en los precios de un activo en los mercados financieros. Riesgo Operacional, riesgo de pérdida por siniestros inesperados relacionados con la estructura operacional en los mercados financieros. Es poco probable e irrelevante para el objetivo de nuestro análisis. La lógica financiera indica que cuanta menor liquidez presente un activo mayor rentabilidad debe ofrecer a los ahorradores. Por la misma razón a mayor riesgo mayor rentabilidad.

Beneficio, Rentabilidad, Rendimiento

Operacional

Mercado

Crédito

Riesgo Pie de gráfico. Para asumir más riesgo exigimos más rentabilidad excepto en el operacional

Para nuestro objetivo el riesgo financiero lo analizaremos sin diferenciarlo entre riesgo de crédito y riesgo de mercado. Intentamos medir el riesgo, gestionarlo, compensarlo, traspasarlo (vendiendo y comprando “pólizas”) en suma enjaularlo.

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Para introducir de forma no traumática los conceptos de probabilidad, pagos y demás palabros como esperanza matemática, función de densidad, desviación estándar… juguemos. ¿Cuánto estarías dispuesto a pagar por poder participar en el siguiente juego? Se lanza una moneda. Si sale cruz, cobras 2 euros y acaba el juego Si sale cara se vuelve a lanzar la moneda. Si sale cruz, cobras 4 euros y acaba el juego Si sale cara se vuelve a lanzar la moneda. Si sale cruz, cobras 8 euros y acaba el juego Si sale cara se vuelve a lanzar la moneda. Si sale cruz, cobras 16 euros y acaba Si sale cara se vuelve a lanzar la moneda. Si sale cruz, cobras 32 euros y acaba el juego Si sale cara se vuelve a lanzar la moneda. … 64, 128, 256, 1024…. Ad infinitum. Amable lector sería interesante que apuntases cuanto estarías dispuesto a pagar. Luego volveremos a este juego. CARACTERIZANDO EL RIESGO DE UN ACTIVO En finanzas hemos aceptado, a veces de forma incuestionada, capturar los elementos definitorios de un activo con riesgo con la función de densidad de su rendimiento. A continuación, un par de ejemplos que nos acompañarán: El activo X que con probabilidad 0,6 da 30€ y con probabilidad 0,4 da 10€. Un juego 1B que con probabilidad 89% da 1 millón €, con 1% da 0 € y con 10% da 5 millones de €. Incluso sin tener muy claros los rendimientos, ni las probabilidades, todos conocemos y jugamos a Loterías de Navidad, apuestas deportivas, etc…Pero en realidad, al hablar de función de densidad del rendimiento de un activo todos (sobre todos los economistas) estamos pensando en campanas de Gauss.

300

Histograma Rendimiento en 10 sesiones (sin dividendos) de Telefónica, desde 24-May-2001 a 23-Jun-2011 (2.541 observaciones)

250

200

150

100

50

0 -20%

-16%

-11%

-7%

-3%

2%

6%

11%

15%

19%

y

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La necesidad de tomar decisiones sobre estos activos, de gestionarlos, requiere de alguna medida cuantitativa. La medida elegida no es independiente de lo que vayamos a hacer con ella. PRIMER INTENTO: LA ESPERANZA MATEMÁTICA

Una medida intuitiva y natural del riesgo de un activo es la esperanza matemática ( μ ) o rendimiento esperado del activo. Podríamos incluso “sustituir el activo” por su esperanza matemática. Una medida resumen, donde todo lo relevante está considerado… μ del activo X: 0,6 * 30€ + 0,4 * 10€ = 22€. μ del juego 1B: 0,89 * 1 M€ + 0,01 * 0 + 0,1* 5 M€ = 1,39 M€ μ del rendimiento a 10 días de acciones telefónica: 0,12% 300

μ = 0,12% 250

200

150

100

50

0 -20%

-16%

-11%

-7%

-3%

2%

6%

11%

15%

19%

y

Pie de gráfico. Representación de la media para el rendimiento de las acciones de Telefónica

Para nuestro juego. Como en todos los casos se habrá pagado P (esa cantidad que tienes pensada amable lector). Luego su esperanza matemática será; -P más la suma de todos “pagos” por su probabilidad.

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Número de lanzanmiento en que se obtiene la primera cruz 1 2 3 … n … Probabilidad 1 1 1 1 2 4 8 2n Pago 2 4 8 2n Prob*Pago 1 1 1 1 μ = -P + 1 +1 +1 +1 +1 +1+ … = -P + ∞ = ∞ Según la lógica de esta medida de riesgo deberíamos hacer cola por jugar a este juego, pues tiene un pago esperado infinito… Sin embargo nuestra lógica, nuestro sentido común nos dice que no, que no jugaríamos a este juego para precios (P) mayores a 10€. Un segundo contraejemplo que evidencia lo poco adecuada que es esta medida para medir el riesgo. Un ejemplo, donde a pesar de tener un pago esperado negativo (esperanza matemática) jugamos de forma masiva en contra de la lógica de la medida utilizada: La Lotería de Navidad. Tabla de premios Lotería Navidad # Premios

85.000 números

Pago décimo

Probabilidad

Prob*Pago

1

300.000

0,000012

3,53

Segundo Premio

1

100.000

0,000012

1,18

Tercer Premio

1

50.000

0,000012

0,59

Cuartos Premios

2

20.000

0,000024

0,47

Quintos Premios

8

5.000

0,000094

0,47

100

0,020871

2,09

El GORDO (Primer Premio)

Pedreas de 5 Cifras

1.774

Aproximación Primer premio

2

2.000

0,000024

0,05

Aproximación Segundo premio

2

1.250

0,000024

0,03

Aproximación Tercer premio

2

960

0,000024

0,02

Centenas del Primer premio

99

100

0,001165

0,12

Centenas del Segundo premio

99

100

0,001165

0,12

Centenas del Tercer premio

99

100

0,001165

0,12

Centenas de dos Cuartos Prem

198

100

0,002329

0,23

Dos últimas del Primer premio

849

100

0,009988

1,00

Dos últimas del Segundo prem.

849

100

0,009988

1,00

Dos últimas del Tercer premio

849

100

0,009988

1,00

Reintegros (última cifra Gordo)

8.499

20

0,099988

2,00

71.666

0

0,843129

Sin premio

Precio del décimo, 20€

0,00

14,00

Esperanza Matemática = -20 + 14 = -6 Pie de Foto: Elaborado con los premios y precio de la Lotería de Navidad de España en 2011

Mejor buscamos otra medida.

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SEGUNDO INTENTO: LA UTILIDAD ESPERADA.

Se necesita una medida más “humana”; no es lo mismo “medir” 2€ que millones, luego busquemos algo que “pondere” las cantidad monetarias en términos absolutos, que valore otras cuestiones no cuantificables… Sofisticando la medida de riesgo. La primera tentación es introducir la función de utilidad, que los economistas utilizamos para construir la Teoría del Consumidor y obtener las Demandas de los consumidores y para mayor regocijo de los departamentos de marketing de las empresas. Así eludimos tener una medida del riesgo “directa” para la toma de decisiones. Podremos seleccionar activos o carteras de activos en función de sus rendimientos y sus probabilidades, sin mayores artificios ni medidas sintéticas. Sin entrar en las críticas al utilitarismo, nos creeremos que la utilidad tal y como se entiende en la Teoría del Consumidor, es poco “operativa” en el entorno de probabilidades. Pero si veremos un refinamiento de esta. John Von Neumann (una suerte de moderno Miguel Ángel de la ciencia) y Oskar Morgenstern (ambos padres de la Teoría de Juegos) en 1947 crean la Utilidad Esperada. La utilidad de poseer un activo es la suma de las utilidades “elementales” obtenidas de la renta asociada al rendimiento del activo multiplicado por la probabilidad que se de ese rendimiento. Esta utilidad elemental sólo considera la renta (cantidad monetarias) y no su probabilidad. Así la utilidad esperada (UE) del Activo X, que definimos antes, sería: UE(X) = 0,6 * U[30€] + 0,4 * U[10€] La utilidad esperada permite definir la actitud de los agentes económicos (personas, empresas, bancos, compañías de seguro, etcétera) frente al riesgo: Comparando la utilidad esperada de un activo que obtiene un agente con la esperanza matemática del activo, puede pasar tres cosas:

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Que sea mayor, entonces el agente es Amante del riesgo. Que sea igual, lo que implica que el agente es Neutral al riesgo Que sea inferior, lo que nos dice que el agente es Averso al riesgo Si 0,6 * U[30€] + 0,4 * U[10€] > 22€ amante al riesgo Prefiere poseer el activo X a tener 22€ con certeza. Si 0,6 * U[30€] + 0,4 * U[10€] = 22€ neutral al riesgo Indiferente a poseer el activo X a tener 22€ con certeza. Si 0,6 * U[30€] + 0,4 * U[10€] < 22€ averso al riesgo Prefiere poseer 22€ con certeza el activo X. El juego anterior nos debió demostrar que todos somos aversos al riesgo… pues la utilidad que obtendríamos de jugar es inferior a su esperanza matemática (recordemos que era infinita). Y es compatible con que juguemos a la Lotería de Navidad porque los premios “grandes” tienen una utilidad elemental inmensa (más que proporcional). Pero si aún tenemos dudas de la poca practicidad de la Utilidad Esperada, Allais nos convencerá de su inutilidad como medida de riesgo y toma de decisiones. LA PARADOJA DE ALLAIS

Maurice Allais, premio Nobel de Economía planteó el siguiente experimento. Se trata de elegir la opción A ó B, en dos elecciones distintas: 1ª Elección Opción 1A Premio Probabilidad

1 millón €

100%

Opción 1B Premio Probabilidad

1 millón

€

89%

Nada 5 millones €

1% 10%

Apreciado lector, toma una elección. ¿Qué prefiere la opción 1A o la opción 1B? Toma nota.

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Ahora una segunda elección, hay que escoger entre la opción 2A o 2B. 2ª Elección Opción 2A Premio Probabilidad

Nada

89%

1 millón €

11%

Opción 2B Premio Probabilidad

Nada

90%

5 millones €

10%

¿Qué prefieres 2A o 2B? Toma nota de tu segunda elección. La Utilidad Esperada predice que podemos escoger 1A y 2A o bien 1B y 2B, pero que es incompatible con la teoría de la utilidad esperada elegir; 1A y 2B ó bien 1B y 2A:

1ª Elección Opción 1A Premio Probabilidad

1 millón €

100%

Opción 1B Premio Probabilidad

2ª Elección Opción 2A Premio Probabilidad

1 millón €

89%

Nada

89%

Nada 5 millones €

1% 10%

1 millón €

11%

Opción 2B Premio Probabilidad

Nada

90%

5 millones €

10%

Reordenado mínimamente, vemos el porqué

1ª Elección 2ª Elección Opción 1A Opción 1B Opción 2A Opción 2B Premio Probabilidad Premio Probabilidad Premio Probabilidad Premio Probabilidad

1 mil ón €

89%

1 mil ón €

89%

Nada

89%

Nada

89%

1 mil ón €

11%

Nada 5 mil ones €

1% 10%

1 mil ón €

11%

Nada 5 mil ones €

1% 10%

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Como vemos lo relevante de la primera elección es exactamente lo mismo que es relevante en la segunda elección. Por eso si escogemos “A y B” ó “B y A” estamos violando la utilidad esperada… Mejor seguimos buscando. Los intentos maximalistas de medir un activo con riesgo o capturar su esencia con una sola medida; esperanza matemática o la utilidad no son exitosos, no es así como decidimos en la vida real. El siguiente paso natural es caracterizar los activos con riesgo con dos medidas del riesgo. TERCER INTENTO: MODELOS BASADO EN LA DESVIACIÓN TÍPICA

Harry Markowitz (premio Nobel de Economía) en 1952 desarrolla su modelo y nos da una medida del riesgo más longeva y que se sigue utilizando. Supone que cualquier activo financiero puede ser perfectamente caracterizado por una variable aleatoria: su rendimiento. La rentabilidad se medirá a través de la rentabilidad media o esperada (media de la distribución de la variable aleatoria). Y el riesgo a través de la desviación estándar (la raíz cuadrada de la varianza de la distribución de la variable aleatoria). Cada activo se caracteriza únicamente por su rendimiento esperado y su desviación.

Pie de imagen: formula del cálculo de la desviación estándar σ donde Xi son los distintos valores de la variable aleatoria y μ es la media.

Donde μ es la esperanza matemática o media aritmética de la distribución. La desviación típica es una medida que informa de la media de las distancias que hay entre los valores de la variable aleatoria y la media de esta, expresada en las mismas unidades que la variable.

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Activo X, μ = 22€. El riesgo de X es 9,8€. σ = [0,6*(30 - 22)2 + 0,4*(10 – 22)2]0,5 Juego 1B, con μ = 1,39M€. El riesgo de 1B es 1,62M€. σ=[0,89*(1M–1,39M)2+ 0,01*(0M– 1,39M)2+ 0,1*(5M – 1,39M)2]0,5 Una imagen puede ayudarnos a visualizar el concepto. Imaginemos que lanzamos unos cuantos dardos a una diana, la desviación estándar es aquel radio del círculo que consigue inscribir el 68% de los lanzamientos.

σ μ

Pie de gráfico: Dentro del círculo de centro μ radio σ entra el 68% de los lanzamientos, de seguir los lanzamientos una distribución normal de probabilidad.

El modelo de gestión de riesgo de las inversiones de Markowitz se sustenta en una interesante característica que presentan las carteras de inversiones o portafolio de activos. Mientras que la rentabilidad de la cartera es la media de los rendimientos de los activos ponderada por el peso de cada activo en la cartera, el riesgo de la cartera no lo es. Si los activos de la cartera están correlacionados negativamente el riesgo de la cartera es menor que la media ponderada de los riesgos individuales, ya que se contrarrestan. Es decir, dos activos están correlacionados negativamente cuando al aumentar el rendimiento de uno el rendimiento del otro disminuye. Esta evidencia econométrica es el sustento de la buena práctica financiera de diversificar la cartera para reducir los riesgos, popularmente conocido como no poner todos los huevos en la misma cesta.

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Markowitz construye una frontera eficiente que relaciona el rendimiento de la cartera con el riesgo a base de seleccionar activos, para la cartera, correlacionados negativamente. Encontrando la combinación óptima de activos que conformarían la cartera que maximiza el rendimiento para cada uno de los niveles de riesgo. También se puede plantear el modelo como la selección de la cartera que minimiza el riesgo para un nivel de rentabilidad mínima exigida. Una vez caracterizada esta frontera eficiente ya sólo es cuestión que cada inversor elija la combinación de riesgo y rendimiento que prefiera

Pie de foto. Cada inversor debe escoger el punto de la curva roja que prefiera, según su predilección de riesgo y rentabilidad.

Sin embargo existen fuertes y graves críticas sobre las cualidades de σ como medida de riesgo, de hecho en Finanzas a σ se la conoce como volatilidad, no como riesgo: 1.- Es más bien una medida de incertidumbre que de riesgo. Es decir no mide la posibilidad de obtener un resultado negativo. 2.- Valora igual los resultados positivos como los negativos. Supone simetría en las distribuciones. A los inversores les preocupa únicamente la parte negativa del riesgo, es decir, las rentabilidades negativas. Las positivas, lejos de molestar, son deseadas. Si abandonamos nuestro objetivo de gestionar activos con riesgo, o de emularlo completamente y sólo nos dedicamos a valorar el riesgo, podemos volver a una medida única del riesgo. Controvertida, pero única, sencilla, intuitiva y “fácilmente” calculable.

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Los acuerdos de Basilea recomienda el desarrollo de modelos internos de medición (y gestión) del riesgo por parte de las entidades financieras. Reservan el trabajo de medir el riesgo al VaR. CUARTO INTENTO: VaR

VaR, Value at Risk. Nos indica cual es la máxima pérdida de un activo asociada a un determinado nivel de confianza para un horizonte temporal dado. Suena terriblemente complicado pero no es más que un percentil. Los acuerdos de Basilea fijan el nivel de confianza del VaR en el 99%, el horizonte temporal en 10 días. Además los cálculos deben realizarse con muestras temporales superiores al año. En Basilea II se introdujo el stressed VaR, lo mismo que el VaR pero que obligaba a los bancos a incluir en los datos de sus muestras, al menos un año de observaciones con pérdidas significativas. El VaR nos dice cual es la pérdida máxima de un activo en 10 días, con un grado de confianza del 99%. Es decir el percentil del 1% de la distribución de rendimientos del activo. VaR (99%) = -13,6%

μ = 0,12% μ + σ = 4,9%

μ - σ = -4,7% 300

σ

σ

σ = 4,82%

250

200

150

100

50

0 -20%

-16%

-11%

-7%

-3%

2%

6%

11%

Histograma Rendimiento Telefónica

15%

19%

y m ayor...

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El VaR de Telefónica es -13,6%, es decir en el 99% de los casos el rendimiento de 10 días de acciones de telefónica será mayor a -13,6%. Si ordenamos los rendimientos del activo (como en el Histograma) de menor (izquierda) a mayor (derecha). El VaR al 99% es aquel rendimiento que deja a su izquierda al 1% de los rendimientos menores que él y a su derecha los 99% mayores que él. Es fácil gestionar una cartera bajo el modelo VaR. Siguiendo lo realizado por Markowitz: maximizar la rentabilidad sujeto a no superar un determinado nivel de riesgo, es decir que el VaR sea inferior a un cierto valor. O minimizar el riesgo sujeto a obtener una mínima rentabilidad. De hecho es más sencillo resolverlo, que en el modelo original de Markowitz, pero no deja de consistir en juntar activos con correlaciones negativas entre ellos. La principal crítica y la que lo invalida como medida del riesgo es conocida como el problema que se origina con las “colas gordas” (fat tails).

Es decir no tenemos en cuenta lo que ocurre en ese 1% de casos no considerados. Puede parecer que en 1% de rendimientos negativos extremos son poco relevantes. ¿Nos dejamos engañar por la forma de la función de densidad o histograma? La respuesta es sí, la campana de probabilidades no desaparece así como así. El peor resultado para 10 días de cotización de Telefónica fue -25,09% (VaR 100%). Para el Santander fue de -34,28%. Nassim Taleb en Fooled by Randomness (2007): Los eventos que parecen muy improbables en un momento dado pueden ocurrir y de hecho ocurren en más ocasiones de las que nos gusta creer. Nassim Taleb los llama “eventos raros” o “cisne negro”. No importa la probabilidad de un evento si sus consecuencias son demasiado costosas para afrontarlas. Mejor abandonamos está vía. Se intenta paliar el efecto cisne negro: adjuntado a la solución del modelo de gestión VaR, el valor del CVaR, pero no constituye ninguna teoría consistente de gestión del riesgo. El CVaR es una medida “complementaria” al VaR. Mide la pérdida esperada (esperanza matemática) que el VaR no considera. En nuestros ejemplos, es la pérdida esperada en el 1% de los peores rendimientos.

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Para Telefónica el CVaR al 99% es de -16,08%.

μ σ VaR (99) CVaR (99)

X

1B

Juego

22 € 9,80 € 10 € 10 €

1,39M€ 1,62M€ 0M€ 0M€

∞ n.d. -4€ * -4€ *

Lot Navidad Telefónica -6€ 1.103,73 € -20€ -20€

0,12% 4,82% -13,60% -16,08%

Pie de gráfico: En el Juego he supuesto que se paga 6€ por Jugar

Y esto es lo que se está haciendo… el riesgo más que nos pese sigue suelto, sin cadenas y ni tan siquiera en una jaula grande. Es libre y goza de buena salud, aunque nos quieran convencer de lo contrario. Hacia donde podemos ir: ¿qué se está investigando? La principal contribución de Daniel Kahneman, premio Nobel de Economía, a la ciencia económica consiste en el desarrollo, junto a Amos Tversky, de la denominada teoría de la prospectiva (prospect theory), según la cual los individuos toman decisiones, en entornos de incertidumbre, que se apartan de los principios básicos de la probabilidad. A este tipo de decisiones lo denominaron atajos heurísticos. Una de las manifestaciones de los atajos heurísticos es la aversión a la pérdida. De este modo, un individuo prefiere no perder 100 euros antes que ganar 100 euros, lo cual supone una asimetría en la toma de decisiones. Permite explicar que a pesar de tener aversión al riesgo acepten un riesgo dependiendo de la cantidad de dinero implicada, es decir que juegue a la lotería y también contrate una póliza de seguro de hogar. Cuestión que ya anticipé al buscar una medida del riesgo “más” humana. Pero aún falta mucho para construir una teoría coherente de gestión de riesgos con este acercamiento… no en vano Kahnerman y Tversky utilizan modelos de utilidad esperada para obtener sus resultados (la utilidad esperada ya fue dejada en evidencia por Allais).