Metáforas, Grundvorstellungen y Japanese Lesson Study: un estudio comparativo

METÁFORAS, GRUNDVORSTELLUNGEN Y JAPANESE LESSON STUDY: UN ESTUDIO COMPARATIVO. Lino Cubillos1,* , Arturo Mena-Lorca2,* , Raimundo Olfos2,*, Pamela Reyes-Santander3, Jorge Soto-Andrade1,* 1 Universidad de Chile, 2 Pon3ficia Universidad Católica de Valparaíso, 3 Universidad de

Valparaíso. * Centro de Inves3gación Avanzada en Educación.



Introducción En este trabajo comparamos tres enfoques a la didáctica de la matemática, las cuales han evolucionado independientemente, en distintas épocas y que abordan los mismos problemas didácticos de modos estrechamente relacionados, estas son: - el enfoque metafórico - el enfoque de las Nociones Básicas (Grundvorstellungen) -  el estudio de clases japonés. Como metalenguaje para la comparación utilizamos el lenguaje metafórico.

El enfoque metafórico Las metáforas son potentes herramientas cognitivas, que nos ayudan a aprehender o a construir nuevos conceptos, así como a resolver problemas de manera eficaz y amigable. (Acevedo, 2005; Araya, 2000; Detienne, 2005; Dubinsky, 1999; Duval, 1995; Edward, 2005; English, 1997; Ferrara, 2003; Gardner, 2005; Johnson & Lakoff, 2003; Lakoff & Núñez, 2000; Parzysz et al., 2003; Pesci, 2005; Pouilloux, 2004; Presmeg, 1997; Seitz, 2001; Sfard, 1997, Soto-Andrade, 2005). Las metáforas conceptuales (Lakoff & Núñez, 2000), son transformaciones o “mapeos” de un dominio “fuente” a un dominio “blanco”, que transportan la estructura inferencial del primero en la del segundo y nos permiten entender el segundo, usualmente más abstracto y opaco, en términos del primero, más “aterrizado” y transparente. El término “metáfora” es usado hoy día en un sentido cada vez más laxo, como sinónimo de “representación”, “analogía”, “modelo”, “imagen”, etc. (Parzysz et al., 2003). En estos términos es posible discernir diferencias operacionales, que se ilustran en el siguiente mapa:

Figura 1. Una metáfora espacial para las metáforas, representaciones y analogías.

El enfoque de las nociones básicas Las nociones (o ideas) básicas tienen una trayectoria de más de doscientos años de historia en la didáctica de la matemática alemana (vom Hofe, 1995). En su aspecto descriptivo, son consideradas como nociones idiosincrásicas que los estudiantes desarrollan, que pueden ser incluso inadecuadas desde el punto de vista del profesor. Las ideas básicas describen entonces relaciones entre contenidos matemáticos y el fenómeno de la formación individual de conceptos. Juegan un rol análogo a las metáforas conceptuales y dependerá desde el punto que sean vistas, si desde el del alumno o del profesor, lo que hará una diferencia en el camino de los dominios. Las nociones básicas contemplan los siguientes tres aspectos (vom Hofe, 1995): -  Construcción de ideas o representaciones internas, que permitan una acción operativa de la misma, a nivel representativo. -  La constitución de un sentido. Un sentido de un concepto matemático será establecido y construido por medio de nociones básicas. Este sentido estará basado y vinculado, en relaciones de propiedades o a contextos, ya conocidos por el estudiante. de acción -  Capacidad de aplicación de las nociones básicas de un concepto a la realidad (personal).

En el estudio de clases japonés (Isoda, 2008; Isoda, Arcavi y Mena, 2007; Isoda y Olfos, 2010; Isoda y Olfos, 2011), el profesor presenta un problema desconocido a resolver (en la gran mayoría de los casos, hay también clases para descubrir un problema, y ‘clases de discusión’), frente al que los alumnos ya han adquirido conocimientos necesarios para abordarlo. En una primera etapa, la clase utiliza el pensamiento individual en la resolución, los alumnos leen, reflexionan e intentan por sus propios medios dar solución al problema. Luego se trabaja en pequeños grupos, usualmente, de cuatro. A continuación se da el trabajo de discusión en el aula, que se orienta a utilizar los pensamientos de los demás y la modelación como algo que puede ser compartido públicamente sobre la base de valores de la matemática como la búsqueda de lo simple, lo comprensible, lo razonable. Se concluye con un cierre (matome). En este tipo de clases, el profesor enfrenta tres momentos en que interpreta el trabajo de sus alumnos. El primero al observar lo que hacen sus alumnos individualmente; el segundo al observarlos trabajar en pequeños grupos; el tercero al escuchar las explicaciones que se dan ante la clase en conjunto. Junto con ello, el profesor realiza kikan shido: va dando breves sugerencias en el escritorio a alumnos que lo necesiten, toma nota de quienes podrán explicar más adelante las distintas estrategias, decide en qué orden intervendrán y cómo logrará una integración de las ideas del conjunto. La comunicación es esencial, desde la pregunta inicial para captar la atención de los alumnos e introducirlos en el problema, pasando por el hecho de que se pide siempre a otro alumno explicar lo que un compañero propuso, hasta el uso apropiado de la pizarra (bansho) en la cual irá quedando expuesta toda la clase. Isoda (2008) caracterizó el esfuerzo hermenéutico como una actividad de acuerdo a cuatro Principios: "Comprender", "Obtener las perspectivas de los otros (la asunción de las posiciones de los demás, poniéndose en la mente de otros)", "Instruir desde la experiencia (auto-comprensión)" y “Tener presente el círculo hermenéutico”. En particular, "la obtención de las perspectivas de los demás " y "la enseñanza desde la experiencia” son actos llevados a cabo subjetivamente a través de la empatía del intérprete hacia el objeto de comprensión. El punto central de la interpretación consiste en que el intérprete sea capaz de transitar desde su mente a la del otro.

Metodología Nos apoyamos en: -Trabajo experimental en aula en Chile, con enfoque metafórico, en cursos de postítulo de profesores de básica y media (en Santiago, Copiapo, Talca, Parral, Puerto Montt, entre 2006 y 2012), en cursos de formación inicial de profesores de enseñanza media (U. de Chile, Facultad de Ciencias, 2006 -2012), curso de matemática para la opción ciencias sociales y humanidades del Bachillerato de la U. de Chile, (2006-2012), taller conjunto U. de Chile Sename para menores transgresores (2011). - Trabajo experimental en aula en Alemania, aplicando GV, con estudiantes en formación inicial de profesores (Lehramtstudenten, Grundschule, Realschule, Hauptschule) de la Universidad de Augsburg, trabajos experimentales en el curso denominado Knobelkurs, diseñado para niños destacados o interesados en matemática de las escuelas básicas de la ciudad de Augsburg, realizado en las dependencias de la Universidad de Augsburg, trabajo con alumnos del Gymansium Sonthofen, Sonthofen, Gymnasium A.B. von Stettensches Institut, Realschule Bertolddt Brecht, Augsburg. - Observación de clases del estudio de clases japonés, en escuelas básicas de la prefectura de Tsukuba, Japón (2008-2011).

Referencias Acevedo, I. (2005), Metaphors in mathematics classrooms : Analyzing the dynamic process of teaching and learning to graph function, Proc. CERME 4, http://ermeweb.free.fr/ CERME4/ Araya, R. (2000), La inteligencia matemática, Santiago de Chile: Editorial Universitaria. Detienne, C. (2005). La métaphore dans le discours scientifique, http://www.info-metaphore.com/articles/epistemologie.html Dubinsky, E., (1999). Review of Mathematical reasoning: Analogies, metaphors, and images, L. English (Ed.), Notices of the Amer. Math. Soc., 46(5), 555-559. Duval, R. (1995). Sémiosis et pensée humaine, Bern: Peter Lang. Edward, L. (2005). Metaphors and Gestures in Fraction Talk, WG 1,Proc. CERME 4, http://ermeweb.free.fr/CERME4/. http://fractus.mat.uson.mx/Papers/CERME4/Papers definitius/1/acevedo.pdf English, L. (Ed.). (1997). Mathematical reasoning: Analogies, metaphors, and images, Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Assoc., Publishers. Ferrara, F. (2003). Bridging perception and theory: What role can metaphors and imagery play?, WG 1 , Proc. CERME 3, Bellaria, Italie, http://ermeweb.free.fr/CERME3/. http://fractus.mat.uson.mx/Papers/CERME4/Papersdefinitius/1/acevedo.pdfhttp://www.dm.unipi.it/~didattica/CERME3/proceedings/Groups/TG1/TG1_ferrara_cerme3.pdf Freudenthal, H. (1983). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. D. Reidel. Publishing Company. Gardner, H. (2005). Las cinco mentes del futuro: Un ensayo educativo, Buenos Aires: Paidós. http://www.pz.harvard.edu/PIs/HG_Multiple_Lenses.pdf Harel, G. y Confrey, J. Eds. (1994). The development of Multiplicative reasoning in the learning of mathematics. State University of Albany N.Y Press. vom Hofe, R. (1995). Grundvorstellungen mathematischer Inhalte. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. Isoda, M., Arcavi, A. y Mena, A. (2007). El estudio de clases japonés en matemáticas. Valparaíso: Ediciones Universitarias de Valparaíso. Isoda M. y Olfos R. (2010). El Enfoque de Resolución de Problemas. En la enseñanza de la Matemática a partir del Estudio de Clases. Valparaíso: Ediciones Universitarias de Valparaíso. Isoda M. y Olfos R. (2011). La enseñanza de la multiplicación: desde el estudio de clases japonés a las propuestas iberoamericanas. Valparaíso: Ediciones Universitarias de Contactos

Lino Cubillos

[email protected]

Ejemplos

El estudio de clases japonés

Arturo Mena-Lorca

[email protected]

Raimundo Olfos

Ejemplo: Metáforas para la conmutatividad de la multiplicación ¿Cómo se ve que 2 por 3 es lo mismo que 3 por 2? Metáfora del área: 2 por 3 es la cantidad de fichas que hay en un arreglo de 2 filas de 3 fichas cada una y 3 por 2 es la cantidad de fichas que hay en un arreglo de 3 filas de 2 fichas cada una o bien con la metáfora de la bifurcación: 2 por 3 es la cantidad de puntas que tiene un árbol de 2 ramas que se bifurcan en 3 ramitas cada una y 3 por 2 es la cantidad de puntas que tiene un árbol de 3 ramas que se bifurcan en 2 ramitas cada una. Nótese que la primera metáfora hace obvia la conmutatividad del producto, porque aparece como la invariancia del área (o la cantidad de fichas de un arreglo) por rotación de éste.

Metáfora del área

Situación problema: ¿Cómo interpretar el producto de una mul3plicación cuando la can3dad en cada grupo es 0 y cuando se repite cero o ninguna vez cierto grupo? Prof.: Dos lanzamientos de Ana caen en el centro. ¿Cuántos puntos obtuvo por esos lanzamientos? Alumno: Como las 2 fichas valen 3 puntos, ob3ene 3+3 puntos, o bien 3x2, es decir 6 puntos. Prof.: (escribe en la pizarra) “valor de la región” “x” “número de veces” “=” “puntos según la región”. Prof.: ¿Cuántos puntos gana Ana en cada región, según la tabla? Prof.: Cinco lanzamientos de Ana cayeron en el círculo que vale 1 punto. ¿Cuántos puntos obtuvo Ana por esos cinco lanzamientos? Alumno: Cada acierto vale 1 punto y acertó 5 veces. La mul3plicación es 1x5=5, luego obtuvo 5 puntos en la región. Prof.: Encuentre los puntos ganados por los aciertos en el segundo anillo. Ninguna ficha cayó en esa región. A par3r de ello, diga cuánto es 2x0. Alumno:”2x0” significa que no cayó ninguna ficha en el valor 2 (refiriéndose a la región que da dos puntos por acierto), entonces gana cero puntos. Así que 2x0 =0.



Metáfora de la bifurcación

La metáfora de la de bifurcación sugiere una metáfora hidráulica, que ayuda a entender la multiplicación de fracciones: Un litro de fluido se escurrirá ecuánimemente, por gravedad, desde la raíz del árbol, a través de las cañerías, dividiéndose primero en dos y luego en tres. Así 1/6 aparece como 1/3 de 1/ 2. Pero también como 1/2 de 1/3, por análogo procedimiento. De hecho, desde la metáfora del injerto para la multiplicación podemos transitar a una metáfora mas profunda: “multiplicar es concatenar”, ilustrada en las figuras de mas abajo:

Metáfora de la concatenación (1 flecha)

Finalmente se puede ver que las ideas básicas son un medio para enseñar, como han sido utilizadas hasta ahora y que estas responden a una conexión entre el mundo real y la generación de conocimientos, de la misma forma que las metáforas conceptuales . Ejemplo: ¿Qué significa multiplicar por cero?

Problemas: (1) En cada cajita de chicle ya no hay chicle. Si hay 3 cajitas, ¿cuántos chicles hay? (2) Se vende 5 bombones en cada bolsa. No compré bolsas. ¿Cuántos bombones compré? (3) Van 9 autos. En cada auto hay dos adultos y ningún niño. ¿Cuántos adultos y niños hay en total? (4) Hay 3 jaulas de pajaritos. En cada jaula no hay pajaritos. ¿Cuántos pajaritos hay en total? La extensión del concepto de multiplicación Como suma iterada y desagregación. Fragmentación:

Metáfora de la concatenación (3 flechas)

¡Notar que la concatenación de las flechas trenzadas no conmuta! Notemos finalmente la conexión con 2x3 y 3x2: si concatenamos una ampliación de razón 2 con una de razón 3, obtenemos una de razón 6, y al revés. Ejemplo: Nociones básicas para la multiplicación. GM1. Adición reiterada (3 x 5 como 5 + 5 + 5 o bien 5 veces 3: 3 + 3 + 3 + 3 + 3) GM2. Área de un rectángulo (3 x 5 como el área de un rectángulo formado por tres unidades y por 5 unidades, donde la rotación de la figura rectangular se mantiene y se ve como 5 x 3) GM3. Como asociación de elementos agrupados en cantidades iguales, de manera estática o dinámica. (4 x 5 como 4 veces (mal) la cantidad 5)

Representación de la noción básica de la mul3plicación por asociación está3ca de elementos. Imagen extraída del libro Nußknacker – Unser Rechenbuch, 2.Schuljahr, Ausgabe B – Neu, Baden-Wür\emberg, Kle\ 1994, S.51

Representación de 2x3 usando fragmentación en un diagrama de árbol (Freudenthal).

Representación de productos de la tabla del 2 usando fragmentación (Confrey)

En el caso del texto de la editorial Tokyo Shoseki, la multiplicación es definida por medio de la siguiente situación (Grado 2 – B, p.16) usando números discretos: carros de un tren llevando igual cantidad de pasajeros.

Luego, la palabra “bai” (veces) es introducida por medio de una situación que alude a cantidades continuas o no discretas (Grado 2 B, p. 18): al largo de trozos de cinta, que guarda cierta similitud visual con los vagones de un tren.

Dibujo del libro escolar Mathebaum 2 / Mathema3k für Grundschulen, Schroedel 1994, S.50

GM4. Ampliación (3 x 5 como una ampliación al triple de 5) de medidas o la multiplicación como un operador de ampliación (GM5).

Del libro Nußknacker – Unser Rechenbuch, 2.Schuljahr, Ausgabe B – Neu, Baden-Wür\emberg, Kle\ 1994, S.55

2x4 4x2 1x2 2x1 2x6 y 2x2 6x2

La mul3plicación vista como una „máquina de hacer cambios a un objeto“, en este caso a un número.

GM5. Combinatoria (3 x 5 como el número de formas de combinar 3 pantalones cortos y 5 poleras), que es comparable con la metáfora de la bifurcación en su representación. GM2, GM3 y GM4 se extienden a fracciones. La “metáfora de concatenación” colma el hiato entre GM4 y GM5 para números naturales.

Discusión Se puede apreciar en estos ejemplos que Metáforas y Nociones Básicas juegan esencialmente el mismo rol didáctico, apuntando a dar un significado concreto y familiar a conceptos abstractos, hemos visto que sus típicos modos de implementación pueden diferir en alguna medida. Las metáforas aparecen mas radicales y abruptas, jugando un rol poiético, “bottom-up”. Las nociones básicas por otra parte, son utilizadas para representar en el mundo real, conceptos matemáticos preexistentes, que para construirlos, siendo empleadas de una manera prescriptiva . En relación al JLS constatamos que es fuertemente metafórico: en la contextualización concreta de contenidos matemáticos abstractos, a los que se apunta en la resolución de problemas y en el estímulo que otorga a la metaforización idiosincrásica de los alumnos. Se aprecian diferencias, en el modo de ver la multiplicación, en el caso del enfoque metafórico, se aprecia la concatenación y en el de las GM y JLS, no aparece mencionado. Cabe destacar el aspecto colaborativo de JLS, ya que este nos brinda una pauta, en el favorecimiento de una metaforización eficaz en una situación de resolución de problemas (Soto-Andrade y Reyes-Santander, 2012), donde el compartir, al estilo del JLS, soluciones erróneas, permitió desbloquear la situación. Esto sugiere una integración natural posible del enfoque metafórico con el modus operandi del JLS.

Valparaíso. Isoda, M. (2008) Getting Others’ Perspectives through the Hermeneutic Effort; A Theory of Understanding for Planning the Problem Solving Teaching Approach. ICME 11 Proceedings, Topic Study Group 26, Mexico. Johnson, M., & Lakoff, G. (2003). Metaphors we live by, New York:The University of Chicago Press. Lakoff, G., & Nuñez, F. (2000). Where Mathematics comes from, New York: Basic Books. Nara, T. Ed. (2007). Study with your Friends Mathematics for Elementary school. 2nd grade. Gakkoh Tosho, Co. Ltd. Tokyo.. Nara, T. Ed. (2007). Study with your Friends Mathematics for Elementary school. 3rd grade. Gakkoh Tosho, Co. Ltd. Tokyo. Nara, T. Ed. (2007). Study with your Friends Mathematics for Elementary school. 4th grade. Gakkoh Tosho, Co. Ltd. Tokyo.. Nara, T. Ed. (2007). Study with your Friends Mathematics for Elementary school. 5th grade. Gakkoh Tosho, Co. Ltd. Tokyo. Parzysz, B. et al. (2003). Introduction to Thematic Working Group 1, Role of metaphors and images in learning and teaching mathematics, Proc. CERME 3, http:// ermeweb.free.fr/CERME3/. http://fractus.mat.uson.mx/Papers/CERME4/Papers definitius/1/acevedo.pdf Pouilloux, J. Y. (2004). Article sur la Métaphore, Paris: Encyclopædia Universalis. Presmeg, N. C. (1997). Reasoning with metaphors and metonymies in mathematics learning. In L. D. English (Ed.), Mathematical reasoning: Analogies, metaphors, and images (pp. 267-279). London: Lawrence Erlbaum Associates. Seitz, J. (2001). The biological and bodily basis of metaphor, http://philosophy.uoregon.edu/metaphor/neurophl.htm Sfard A. (1997). Commentary: On metaphorical roots of conceptual growth.in L. English (Ed.), Mathematical reasoning: Analogies, metaphors, and images, 339-371, London: Erlbaum. Soto-Andrade, J. (2006). Un monde dans un grain de sable: Métaphores et analogies dans l’apprentissage des maths, Ann. Didactique Sciences Cogn,,11, 123– 147. Treffers, A., Nooteboom, A. y de Goeij, E. (2001). Children Learn Mathematics,Freudenthal Institute, Utrech University. [email protected]

Pamela Reyes-Santander

[email protected]

Jorge Soto-Andrade

[email protected]; [email protected]