mediciones y errores

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
1

MEDICION
Objetivos:
Llegar a comprender que el proceso de medición no puede ser exacto por más precisión que tenga el instrumento para medir.
Tener en cuenta que in instrumento de medición siempre tiene un grado de incertidumbre o error.
Bosquejar una gráfica con los datos obtenidos
FUNDAMENTO TEORICO
CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Medición: es la determinación de la proporción entre la dimensión o suceso de un objeto y una determinad unidad de medida. La dimensión del objeto y la unidad deber ser de la misma magnitud. Una parte importante de la medición es la estimación de error o análisis de errores.
Tipos de mediciones: se clasifican en dos grupos: directas e indirectas.
Mediciones directas: cuando disponemos de un instrumento de medida que la obtiene, así si deseamos medir la distancia de un punto a un punto b, y disponemos del instrumento que nos permite realiza la medición, esta es directa.
Mediciones indirectas: aquellas que se caracterizan porque la magnitud a determinar se obtiene a través de una relación funcional conocida a partir del resultado de otras mediciones, ejemplo: densidad, energía cinética, etc.
Tipos de errores: todos los errores que pueden influir sobre la medición pueden agruparse en dos grandes tipo: los errores sistemáticos y lo errores aleatorios.
Errores sistemáticos: se característica porque siempre afectan en el mismo sentido y su magnitud es fijo. Son imposibles de eliminar totalmente, lo más que se puede hacer es minimizarlos. Pueden ser a su vez de dos tipos también: instrumentales y personales.
Errores sistemáticos instrumentales: son aquellos inherentes al instrumento de medición. Siempre está presente el error de escala.
Errores sistemáticos personales: son los provocados por el observador que realiza la medición, el cual tiende a viciar el proceso por la influencia de factores dependientes de él. Por ejemplo, los errores debido a la dilatación térmica de los instrumentos a causa de la temperatura del cuerpo humano.
Errores aleatorios: se deben a múltiple causas y se comenten reiteradamente al hacer las mediciones. Tienen la ventaja de que actúan en ambos sentidos y, por ello, pueden se minimizados repitiendo las mediciones y elaborando los datos con ayuda de la estadística.
Los instrumentos de medición: los físicos utilizan una gran variedad de instrumento para llevar a cabo sus mediciones. Desde objetos sencillos como reglas y cronómetros hasta microscopios electrónicos y aceleradores de partículas.

EL VERNIER
El calibrador o vernier, conocido también como pie de rey, consiste usualmente en una regla fija de 12 cm. Con precisión de un milímetro, sobre la cual se desplaza otra regla móvil o reglilla.

Se denomina vernier, en honor al matemático francés Pierre vernier, quien el invento, a la escala secundaria de un calibre destinada a precisar fracciones de la unidad menor, aumentando la precisión. En castellano se utiliza con frecuencia la voz nonio.

EL PENDULO SIMPLE





El péndulo simple consiste en un cuerpo de masa de pequeñas dimensiones suspendido de un hilo inextensible y sin peso. Cuando se desvía hacia un lado de su posición de equilibrio y se abandona a sí mismo, la bola del péndulo oscila alrededor de esta posición con un movimiento que es a la vez periódico y oscilatorio.

OSCILACIONES LIBRE
La característica esencial de una oscilación libre es que la amplitud se mantiene constante, y por tanto, la energía total se mantiene constante.
PROCEDIMIENTOS EXPERIMENTAL
EXPERIMENTO N° 1 (medición y errores experimentales)
Materiales:
Tazón de frijoles
Procedimientos:
Coger un puñado de frijoles del recipiente (un puñado ni muy apretado ni muy suelto)
Contar el número de frijoles obtenidos.
Repetir la experiencia 100 veces.

EXPERIMENTO N°2 (propagación del error experimental)
Materiales:
Paralepipedo de metal
Pie de rey o vernier
Regla de metal
Procedimientos:
Medir con la regla las dimensiones del paralepipedo hueco.
Medir con el vernier las dimensiones del paralepipedo hueco.
EXPERIEMENTO N°3 (grafica de resultados de una medición)
MATERIALES:
Un péndulo simple de 1,5m de longitud.
Regla graduada en mm.
Un cronometro.
Procedimientos:
Sostener el péndulo (longitud 10 cm) de manera que el hilo forme un ángulo de 15°con la vertical y medir el tiempo que demoran 10 oscilaciones.
Repetir la experiencia, pero esta vez con una longitud de 20cm. Y así hasta que la longitud del péndulo sea 100cm.
CALCULOS Y RESULTADOS
Experimentos N°1 "medición y error experimentación (incertidumbre)"
Promedio aritmético:
Es el número más probable de frijoles que caben en un puñado estándar.

k=0nNk=98,4=nmp

Incertidumbre normal o desviación estándar:
Para calcular la Δnmp hacemos uso de la siguiente tabla:
Para determinar la incertidumbre normal o desviación estándar, de la medición anterior, para ello se procede de la siguiente manera:

Sea Nk el número de frijoles obtenidos en la k-esima operación.
Hallamos la media aritmética de los cuadrados de la diferencia (Nk-nmp), que será:

Δnmp= 1kk=1k(Nk-nmp)2

La raiz cuadrada positive de esta media aritmética es el número Δnmp, buscando. En general:

Δnmp = 1kk=1k(Nk-nmp)2

A continuación se muestra la tabla N°1 que será llenada con las extracciones sucesivas de frijoles.

K: número de eventos (puñado)
Nk: número de frijoles en el k-esimo puñado


K
Nk
Nk -98,4
(Nk – 98,4 )2
1
62
-8.98
80.64
2
71
-17.98
323.28
3
75
-21.98
483.12
4
66
-12.98
168.48
5
67
-13.98
195.44
6
69
-15.98
255.36
7
73
-19.98
399.2
8
64
-10.98
120.56
9
76
-22.98
528.08
10
71
-17.98
323.28
11
72
-18.98
360.24
12
74
-20.98
440.16
13
69
-15.98
255.36
14
67
-13.98
195.44
15
60
-6.98
48.72
16
61
-7.98
63.68
17
53
0.02
0
18
46
7.02
49.28
19
55
-1.98
3.92
20
50
3.02
9.12
21
47
6.02
36.24
22
56
-2.98
8.88
23
47
6.02
36.24
24
50
3.02
9.12
25
53
0.02
0
26
59
-5.98
35.76
27
60
-6.98
48.72
28
67
-13.98
195.44
29
52
1.02
1.04
30
58
-4.98
24.8
31
57
-3.98
15.84
32
55
-1.98
3.92
33
51
2.02
4.08
34
47
6.02
36.24
35
50
3.02
9.12
36
55
-1.98
3.92
37
51
2.02
4.08
38
48
5.02
25.2
39
51
2.02
4.08
40
48
5.02
25.2
41
45
8.02
64.32
42
53
0.02
0
43
53
0.02
0
44
43
10.02
100.4
45
47
6.02
36.24
46
51
2.02
4.08
47
53
0.02
0
48
45
8.02
64.32
49
57
-3.98
15.84
50
50
3.02
9.12
51
46
7.02
49.28
52
49
4.02
16.16
53
49
4.02
16.16
54
54
-0.98
0.96
55
44
9.02
81.36
56
50
3.02
9.12
57
45
8.02
64.32
58
46
7.02
49.28
59
53
0.02
0
60
58
-4.98
24.8
61
46
7.02
49.28
62
47
6.02
36.24
63
47
6.02
36.24
64
52
1.02
1.04
65
45
8.02
64.32
66
52
1.02
1.04
67
42
11.02
121.44
68
47
6.02
36.24
69
49
4.02
16.16
70
42
11.02
121.44
71
45
8.02
64.32
72
44
9.02
81.36
73
47
6.02
36.24
74
53
0.02
0
75
48
5.02
25.2
76
56
-2.98
8.88
77
51
2.02
4.08
78
45
8.02
64.32
79
45
8.02
64.32
80
51
2.02
4.08
81
42
11.02
121.44
82
48
5.02
25.2
83
57
-3.98
15.84
84
49
4.02
16.16
85
53
0.02
0
86
49
4.02
16.16
87
47
6.02
36.24
88
46
7.02
49.28
89
54
-0.98
0.96
90
48
5.02
25.2
91
51
2.02
4.08
92
53
0.02
0
93
46
7.02
49.28
94
49
4.02
16.16
95
55
-1.98
3.92
96
45
8.02
64.32
97
52
1.02
1.04
98
49
4.02
16.16
99
50
3.02
9.12
100
51
2.02
4.08


Reemplazamos los datos de la tabla N°1 en la anterior formula
Δnmp = 1kk=1k(Nk-nmp)2

Δnmp = 3.828
TABLA N°2

[r r+1>
Fi
Ii
[93 94>
3
0.03
[94 95>
11
0.11
[95 96>
7
0.07
[96 97>
16
0.16
[97 98>
5
0.05
[98 99>
20
0.20
[99 100>
5
0.05
[100 101>
9
0.09
[101 102>
2
0.02
[102 103>
5
0.05
[103 104>
4
0.04
[104 105>
6
0.06
[105 106>
3
0.03
[106 107>
1
0.01
[107 108>
0
0
[108 109>
3
0.03
[109 110>
1
0.01












TABLA N°3

[r,r+2>
Fi
Li
[42 44>
15
0.15
[44 46>
21
0.21
[46 48>
25
0.25
[48 50 >
13
0.13
[50 52>
7
0.07
[52 54>
10
0.1
[54 56>
4
0.04
[56 58>
2
0.02
[5860>

1
2
1
0
3
1
2
0.01
0.02
0.01
0
0.03
0.01
[60 62>



[62 64>



[64 66>



[66 68>



[68 70>



[70 72>

















TABLA N°4

X
Y
42
3
43
11
44
7
45
16
46
5
47
20
48
5
49
9
50
2
51
5
52
4
53
6
54
3
55
1
56
0
57
3

Frecuencia vs N de frijoles





PREGUNTAS
EN VEZ DE MEDIR PUÑADOS, ¿podría medirse el número de frijoles que caben en una cuchara, etc.?
Si se puede medir con un vaso o una cuchara pero el número de frijoles que caben en un vaso o cuchara seria casi un número constante ya que tienen un volumen definido y la gráfica frecuencia vs número de frijoles, tiende a ser una línea constante.

Según Ud. ¿a qué se debe la diferencia entre su puñado normal y el de sus compañeros?

Se debe a la diferencia de tamaño de mano y la manera de coger un puado de cada persona
Después de realizar los experimentos, ¿Qué ventaja le ve a la representación de [r, r+2> frente a la de [r, r+1>?

La ventaja es que con la representación de π [r, r+1> nos da mayor información que la de π [r, r+2> porque nos da mayor puntos para la gráfica.

¿Qué sucedería si los frijoles fuesen de tamaños apreciablemente diferentes?

Se obtiene mayor diferencia de frijoles en cada puñado lo cual nos daría mayor cantidad de error.

En el ejemplo mostrado se debía contar alrededor de 60 frijoles por puñado. ¿sería ventajoso colocar solo 100 frijoles en el recipiente, y de esta manera calcular el número de frijoles en un puñado, contando los frijoles que quedan en el recipiente?

Sería más ventajoso en el conteo de frijoles.

Que sucedería si en el caso anterior colocara solo, digamos 75 frijoles en el recipiente?

No sería tan conveniente ya que se podría darse el caso de que en una mano se saque 75 frijoles y no se habría si se hubiese podido sacar más.
La parte de este experimento que exige más paciencia es el proceso de contar. Para distribuir esta tarea entre tres personas ¿Cuál de las sugerencias propondría Ud.?

Cada participante realiza 33 o 34 extracciones y cuenta los correspondientes frijoles

Uno de los participantes realiza las 100 extracciones pero cada participante cuenta 33 o 34 puñados.

La sugerencia es que solo una participante haga las 100 extracciones porque solo se cometería el error de uno solo.
Menciones tres posibilidades hechos que observaría si en vez de 100 puñados extrajeran 1000 puñados.

Tendríamos más puntos en la gráfica y así más información
Cometeríamos menos errores.
La desviación estándar sería más exacta.
La incertidumbre sería menor.

¿Cuál es el promedio aritmético de las desviaciones Nk- nmp ?

El resultado obtenido es 0.00

Cuál cree Ud. Es la razón para haber definido (nmp) en vez de tomar simplemente el promedio de desviaciones?

Porque es el error que se comete al sacar un puñado de frijoles al azar.

Después de realizar el experimento coja Ud. Un puñado de frijoles. ¿qué puede Ud. Afirmar sobre el número de frijoles contenidos en tal puñado (antes de contar)?


Que hay diferencia mínima en la cantidad de frijoles en cada puñado. La cantidad de frijoles no pasan de 50 unidades.

Si Ud. Considera necesario, compare los valores obtenidos por ud. Para Δ(nmp) y para sa compare los valores obtenidos por sus compañeros ¿Qué conclusión importante puede Ud. Obtener de tal comparación?

Concluimos qu no hay mucha diferencia entre Δ(nmp) y sa

Mencione alguna ventaja o desventaja de emplear pallares en vez de frijoles en el presente experimento.

Seria una desventaja porque se obtendría mucho error ya que los pallares son mas grandes que los frijoles.

















EXPERIMENTO N°2

Mediciones en el paralepipedo – propagación de la incertidumbre

TABLA DE DATOS Y RESULTADOS



Con la regla
Pie de rey
Porcentaje de error



Con la regla
Pie de rey
Largo a
30,10 ± 0.5
30,95± 0.05
2,82 %
0.16 %
Ancho b
30,10 ± 0.5
31,15± 0.05
3,21 %
0.16 %
Alto H
13,00± 0.5
12,55± 0.05
3,46 %
0.39 %
h
10,50± 0.5
11,15± 0.05
5,82 %
0.44 %
D
15,00± 0.5
14,40± 0.05
4,00 %
0.34 %
d
6,00± 0.5
6,40± 0.05
6,25 %
0.78 %


DETERMINAR EL AREA TOTAL DEL PARALELEPIPEDO

A=2ab+aH+bH+πDh+dH-dh- π(D24+d24)

CON REGLA:

ab = (3.01 x 3.01)cm2 ± (3.01 x 3.01)(0.5/3.01 +0.5 /3.01) cm2
ab = 12.25 cm2 ± 3.5 cm2

bH = (3.01 x 1.3) cm2 ± (3.01 x 1.3)(0.5/3.01 + 0.5/1.3) cm2
bH = 3.5 cm2 ± 2.25 cm2

aH = (3.01 x 1.3) cm2 ± (3.01 x 1.3)(0.5/3.01 + 0.5/1.3) cm2
aH = 3.5 cm2 ± 2.25cm2

DH = (1.5 x 1.3) cm2 ± (1.5 x 1.3)(0.5/1.5 + 0.5/1.3) cm2
DH = 1.45 cm2 ± 1.20 cm2

dH = (0.64 x 1.3) cm2 ± (0.64 x 1.3)(0.5/0.64 + 0.5/1.3) cm2
dH = 0.66 cm2 ± 0.83 cm2

dh = (0.64 x 1.22) cm2 ± (0.64 x 1.05)(0.5/0.64 + 0.5/1.05) cm2
dh = 0.82 cm2 ± 0.94 cm2

A = 2(19.5 ± 8) cm2 + π(1.3 ± 1.09) cm2 – π((1±1)/4 + (1.48 ± 1.22)/4) cm2
A = 40.63 cm2 ± 20.22 cm2

CON VERNIER:

ab = (30.95 x 31,15) mm2 ± (30.95)(31.15)(0.05/30.95 + 0.05/31.15)mm2
ab = 1149.20 mm2 ± 3.40 mm2

aH = (30.95 x 12.55) mm2 ± (30.95)(12.55)(0.55/30.95) + (0.05/12.55)) mm2
aH = 323 mm2 ± 2.17 mm2

bH = (33.8)(9.5) mm2 ± (33.8)(9.5)((0.05/33.8) + (0.05/9.5)) mm2
bH = 321.1 ± 2.19 mm2

DH = (9.5 x 14) mm2 ± (9.5 x 14)(0.05/9.5 + 0.05/14) mm2
DH = 133 mm2 ± 1.17 mm2

dH = (6.1 x 9.5) mm2 ± (6.1 x 9.5)(0.05/6.1 + 0.05/9.5) mm2
dH = 57.95 mm2 ± 0.78 mm2
dh = (6.1 x 12) mm2 ± (6.1 x 12)(0.05/6.1 + 0.05/12) mm2
dh = 73.2 mm2 ± 0.90 mm2

A = 2(1793.3 ± 7.73) mm2 + π(117.75 ± 1.05) mm2 – π((144 ± 1.2)/4 +(37.21 ± 0.61)/4) mm2
A = 3814.08 mm2 ± 18.27 mm2

CON LA REGLA:

V = (3.5)(3.5)(1.22)cm3 ± (3.5)(3.5)(1.22)(0.5/3.5 + 0.5/3.5 + 0.5/1.22) cm3
V = 14.945 cm3 ± 10.395 cm3

CON EL VERNIER:

V = (34)(33.8)(12) mm3 ± (34)(33.8)(12)(0.05/34 + 0.05/33.8 + 0.05/12) mm3
V = 137.904 mm3 ± 0.981 mm3





Preguntas:
¿las dimensiones de un paralepipedo se pueden determinar con una sola medición? Si no, ¿Cuál es el procedimiento más apropiado?

No, se debe repetir las mediciones unas 2 veces más para asegurar que la medida sea igual a la primera o corregir esa medición, entonces de las 3 medidas 2 por lo menos será iguales siendo esa la medida más apropiada.

¿Qué es más conveniente para calcular el volumen del paralepipedo: una regla en milímetros o un pie de rey?

Según los cálculos el porcentaje de error seria conveniente un pie de rey ya que el error seria minimo que es lo que se quiere al calcular el volumen.

Experimento N° 3
Grafica de resultados de una medición
K°
Lk(cm)
Tk1
Tk2
Tk3
Tk4
Tk5
Tk
Tk2
1
10
7.35
7.1
7.37
7.25
7.24
0.72
0.5184
2
20
9.53
9.58
9.76
9.85
9.37
0.95
0.9025
3
30
11.27
11.64
11.45
11.4
11.19
1.11
1.2321
4
40
12.5
12.91
12.73
12.53
12.6
1.27
1.6129
5
50
13.85
13.79
13.97
13.96
13.89
1.39
1.9321
6
60
15.57
15.22
15.82
15
15.17
1.54
2.3716
7
70
16.24
16.43
16.24
16.53
16.17
1.63
2.6569
8
80
17.27
17.28
17.46
17.34
17.32
1.73
2.9929
9
90
18.83
18.24
18.41
18.16
18.11
1.83
3.3489
10
100
19.53
19.31
19.24
19.16
19.32
1.9
3.61






Teniendo en cuenta la tabla N°1
Grafica de la función discreta

Determine los coeficientes a, b y c de la función: L= F(t)= a + bt + ct2
Reemplazando los puntos (7.364; 10) (9.53; 20) y (11.27; 30) en la función F.
A=226.68
B=-58.226
C=3.91
Y = 226.68 - 58.226T – 3.91T2

F(tk)
Lk(cm)
Lk – t(tk)
(lk-f(tk))2
10.00
10
0.00
0.00
19.89
20
0.11
0.01
29.82
30
0.18
0.03
31.28
40
8.72
76.05
31.54
50
18.46
340.74
30.38
60
29.62
877.46
28.60
70
41.40
1713.83
24.26
80
55.74
3107.22
20.84
90
69.16
4783.71
13.55
100
86.45
7473.81

ΔF=110k=110[Lk-F(Tk)]2


Reemplazamos ΔF=42.86
Gráfico de la función discreta