MATRICES, DETERMINANTES, SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.

MATRICES Las matrices y los determinantes son herramientas del álgebra que facilitan el ordenamiento de datos, así como su manejo. Los conceptos de matriz y todo lo relacionado a ello fueron desarrollados básicamente en el siglo XIX por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés William Hamilton. Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos regularmente ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales, Económicas, Biológicas e Ingenierías.

DEFINICIÓN: Una matriz es una arreglo rectangular de elementos (números, funciones, etc.) ordenados en “m” filas (líneas horizontales) y “n” columnas (líneas verticales). Una matriz de m filas y n columnas, ésta se encierra entre “corchetes” o “paréntesis”. Las matrices se denotan con letras mayúsculas, tal como A, B C, etc.

Ejemplos:

3 1

A

2 4

0 5

B

1 0 4 5

2 1 0 3

3 2 2 1

ORDEN DE UNA MATRIZ El orden de una matriz esta dado por el producto indicado m número de filas y n el número de columnas. Ejemplo: A

B

3 1

1 0 4 5

2 4

2 1 0 3

0 5

3 2 2 1

es una matriz de orden 2 3

es una matriz de orden 4 3

En general, una matriz de orden m

n, se representa así:

n , donde m indica el

A

 a1n  a2 n

a11 a21

a12 a22

 am1

   am 2  amn

Filas de lamatriz A

  Columnas de la matriz A

-

La matriz anterior se puede representar, en forma abreviada, así:

A

-

a ij

m n

ó A=[ aij ], donde i = 1, 2, 3,..., m y j = 1, 2, 3,..., n

Cada elemento de una matriz se designa como aij , donde: i representa la fila en la que está el elemento, y j representa la columna en la que está el elemento m indica el número de filas y n el número de columnas. Por ejemplo el elemento a12 está ubicado en la fila 1 y columna 2.

En general el elemento aij ocupa la intersección de la i-ésima fila y la j-ésima columna. Ejemplo:

A

1 2

3 6

2 5

Es una matriz de orden 2 3 , es decir A es una matriz con 2 filas y 3 columnas. El elemento a23

5 , será el que está en la intersección de fila 2 con la columna 3.

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TIPOS DE MATRICES 1. Matriz rectangular: La matriz de orden m n , con m

n , recibe el nombre de

matriz rectangular. Ejemplo: 1 3 2 14

A

3

6 5

0

6 7

2

Es una matriz de orden 3 4

1

2. Matriz columna: Se llama matriz columna ó vector columna a la matriz que tiene m filas y una sola columna, es decir es de orden m 1 Ejemplo:

A=

1 2

es una matriz de orden 3 1

6

3. Matriz Fila: Es aquella que tiene exactamente un renglón ó fila y n columnas. Ejemplo. A= 1 7 12

1 Ejemplo: Si A= 2 3

0 7 4

Entonces A1 j = 1 0 11

Ai 3

8

es una matriz de 1 4

11 8 1 9 11 13 8

0

8

7

1 es la fila 1 de la matriz A

11 9 es la columna 3 de la matriz A 0

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4. Matriz cero ó nula. Es la matriz cuyos elementos son todos nulos, es decir aij = 0

i. j

5. Matriz Transpuesta: Dada una matriz A de orden m n , se llama matriz transpuesta de A, se denota At , a la matriz n m cuyos elementos se obtiene intercambiando las filas por la columnas. Ejemplo: 3 A

6

2

4

2

3

2 t

1 , la transpuesta es A =

3 6

2 4

2

0

2 3

1 0

Propiedades: Si At , B t son respectivamente las transpuesta de las matrices A y B, 1. ( At ) t 2.

A

A

t

At

3. A B 4. AB

un escalar.

t

t

At

Bt

B t At

6. Matriz cuadrada: Es aquella donde el número de filas es igual al número de columnas. Una matriz de “n” filas y “n” columnas, por tanto su orden es n´ n ó matriz de orden n.

a11 a12 a 21 a 22

A

C

B 2 2

a11 a12 a 21 a 22 a 31 a 32

a13 a 23 a 33

3 3

1 5

2 3

6 3 es una matriz de orden 3 3

4

9

12

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Dada una matriz cuadrada de orden n, A=( aij ), llamaremos diagonal principal de A a los elementos aij donde 1 i

C

1 5

2 3

6 3

4

9

12

n1

es la diagonal principal

Traza de una matriz A la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada A se le denomina traza y se denota por: n

traza(A) a11 a 22

a 33 ... a nn

a ii i 1

EJEMPLO:

Sea A

6 2 4

1 3 2 1 3 5

3 3

Traza(A) = 6 + (– 2) + 5 = 9 7. Matriz triangular. Dada una matriz cuadrada A entonces: Diremos que A es una matriz: -

Matriz Triangular Superior: Es aquella matriz cuadrada A cuyos elementos situados debajo de la diagonal principal son todos ceros. Esto es aij 0 , si i>j

A

1 3 3 2 0 2 2 1 0 0 6 2 0 0 0 3

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-

Matriz Triangular Inferior: Es aquella matriz cuadrada A cuyos elementos situados por encima de la diagonal principal son todos ceros. Esto es aij 0 , si i