Mates Aplicades a les Ciències Socials

Mates Aplicades a les Ciències Socials

•

1r de batxillerat

Exercicis de polinomis:

1. Considereu el polinomi P ( x) = 2 x 98 − 9 x92 − 12 x 23 + 54 . a = 4 sigui una arrel del polinomi P ( x) ?

Pot ser que

2. Un polinomi de grau 3 té tres arrels enteres i consecutives que sumen 9. Escriviu aquest polinomi sabent que el seu valor numèric quan a = 1 és 12. 3. Calculeu a , i b per tal que el polinomi A( x) = x 4 + 3 x 2 + ax + b sigui divisible per B ( x) = x 2 + x − 3 . 4. Calculeu a , b i c sabent que el polinomi P ( x) = x3 + ax 2 + bx + c compleix que P (0) = −60 , P (1) = −48 i que P ( −2) = −42 . Doneu també la factorització del polinomi. 5. Un polinomi de grau 4 és múltiple de P ( x) = ( x + 1) 2 , té una arrel a = 2 , no té terme independent i el coeficient de x 4 és 2. Construïu-lo. 6. Donats els polinomis A( x) = x3 + 3 x 2 + 5 x + 6 i B ( x) = x 4 + 3 x 3 + x + a . Calculeu a sabent que els seus M.C.D són polinomis de segon grau.

a, i b per tal que el polinomi 3 2 P ( x) = x + (a + 1) x + 6 x + (1 − b) x + 1 sigui divisible per Q ( x) = x − 1 i perquè al dividir-lo entre R ( x) = x − 2 i S ( x) = x obtinguem el mateix

7. Calculeu 4

residu. 8. Sabem que al dividir el polinomi P ( x) = x3 + ax + b per Q ( x) = x − c obtenim com a quocient el polinomi A( x) = x 2 − 2 x + 2 i també ens diuen que el valor numèric del polinomi P ( x) quan x = c és -1. Calculeu els valors de a , b i c . 9. Calculeu les arrels del polinomi P ( x) = x 2 − mx + ( m − 1) , sabent que una és el triple de l’altra. 10. Quan

calculem

un

M.C.D.

dels

polinomis

P( x)

i

Q( x)

on

P ( x) = x + x + ax + b obtenim com a resultat A( x) = x − 2 x + 1 . a) Calculeu a i b . b) Pot passar que el polinomi Q ( x) sigui múltiple del polinomi B( x) = x + 3 ? 3

11. Escriviu

2

2

un

polinomi de grau 4 sabent que és múltiple de P ( x) = x − x + 1 que té una arrel que és a = −2 , que al dividir-lo per Q ( x) = x + 1 el residu de la divisió és -24 i que el seu terme independent és -12. 2

1 Col·legi Mirasan www.mirasan.org

Lleida

Mates Aplicades a les Ciències Socials

1r de batxillerat

12. Donat el polinomi P ( x) = x 4 + 2 x3 + 4 x 2 + ax + (b − 1) a) Calculeu a i b , sabent que un M.C.D. del polinomi P ( x) i d’un altre polinomi Q ( x) és M ( x) = x 2 + 2 x + 3 . b) Calculeu el polinomi Q ( x) sabent que és de grau 3, que és mònic i que el seu valor numèric quan x = 1 és 12.

Solucions: 1. Nooooooooooo! De cap manera! Les arrels han de ser divisors del terme independent. 2. P ( x) = −2 x 3 + 18 x 2 − 52 x + 48 3. a = 10 , b = 21 4. a = 8 , b = 3 , c = −60 . P ( x) = ( x + 5)·( x 2 + 3 x − 12) 5. Q ( x) = 2 x 4 − 6 x 2 − 4 x 6. a = −15

−8 −22 , b= 3 3 8. a = −2 , b = 3 , c = −2 7. a =

9. Si m = 4 les arrels són x1 = 1 i x2 = 3 . Si m = 10. a) a = −5 , b = 3 b) No. Si ho fos canviaria el MCD. 11. a = 2 , b = −6 12. a) a = 2 , b = 4 b) Q ( x) = x 3 + 3 x 3 + 5 x + 3

4 1 les arrels són x1 = 1 i x2 = . 3 3

2 Col·legi Mirasan www.mirasan.org

Lleida

Mates Aplicades a les Ciències Socials

•

1r de batxillerat

Fraccions algebraiques

14. Simplifica les següents fraccions algebraiques:

x3 − 2 x 2 − x + 2 x3 + 3 x 2 − x − 3 x2 + 1 b) x −1 x3 − x 2 + 3x − 3 c) x2 − 1 a)

3x 2 − 6 x − 9 2x − 6 2 x 2 − 2 x − 12 e) 3 x + 2 x 2 − 16 x − 24 2 x2 − 7 x + 3 f) x2 − x − 6

d)

( x − 6)2 x2 − 5x − 6 x4 − 1 h) 3 x − x2 + x − 1 x5 − x 3 i) 7 x + x4

g)

15. Simplifica la següent fracció algebraica:

8 x 3 + 4 x 2 − 10 x + 3 8 x3 + 20 x 2 + 6 x − 9 1 sabent que és arrel del numerador i del denominador. 2 16. Determina per a quin valor o per a quins valors de m es pot simplificar:

x3 − 5 x 2 + mx − 3 x2 − 2 x − 3 17. Fes les següents operacions:

2x + 6 x+5 − 2 = 2 x − 3x x − 4 x + 3 x +1 2 l) 2 − = x −1 x −1 1 1− x 2 − = m) + 2 x x + 2x x +1 2( x − 3) 3 n) 2 − = x + 2x − 3 x + 3 x 1 x2 o) + − = x − 1 x x2 − x 2 1 1 p) 2 − − = x −1 x + 1 x −1 2 x + 6 2 x2 + 4 x − 6 q) − = x x2 − x x+2 3 r) + 2 = x −1 x −1 1 1− t 2 s) + 2 − = t t + 2t t + 2

x x2 − 1 ⋅ = a) 3x + 3 x3 + 2 x 2 2 x x2 + x b) = : x +1 x + 5 x x3 + 2 x 2 c) = : x + 1 x2 −1 x 2 − 1 3x + 1 d) ⋅ = x + 2 x2 + 3 x2 + x + 1 x e) = : 2 x +1 x −1 (2n + 1)(n − 2) n2 f) ⋅ n−3 (2 − n)(n + 3) 1 1 g) 2 : x −4 2− x x+2 h) (5 x + 10) : x−3 2 x+2 x +3 i) 2 ⋅ x − 1 3x + 1 2x x3 j) : 5 x −1 x +1

k)

3 Col·legi Mirasan www.mirasan.org

Lleida

Mates Aplicades a les Ciències Socials

1r de batxillerat

Solucions: 14.

x−2 x+3 x2 + 1 b) x −1 x2 + 3 c) x +1 a)

15.

3( x + 1) 2 2 x 2 − 2 x − 12 e) 3 x + 2 x 2 − 16 x − 24 2( x − 1) f) x+2

d)

( x − 6)2 x2 − 5x − 6 h) x + 1 x2 − 1 i) x ( x3 + 1)

g)

4x2 + 4x − 3 4 x 2 + 12 x − 9

16. m = 7 i m = −9 17.

x −1 3 x( x + 2)

a)

b)

2( x + 5) ( x + 1) 2

3x3 − x 2 − 3x + 1 x3 + 2 x 2 + 3x + 6 −1 g) x+2

( x 2 + x + 1)( x − 1) x h) 5( x − 3)

j)

k)

d)

2 ( x 5 + 1) x 2 ( x − 1)

−2 x 2 − x + 3 x( x + 2)( x + 1) −2 p) ( x + 1) −2t + 3 s) 2 t + 2t

m)

e)

x+2 x( x − 1)

−1 x −1 q) 0 n)

c)

( x − 1) x( x + 2)

−(2n + 1)n 2 n2 − 9 x3 + 2 x 2 + 3x + 6 i) 3x3 + x 2 − 3x − 1 −x l) 2 x −1

f)

o)

1 x

x 2 + 3x + 5 r) x2 −1

4 Col·legi Mirasan www.mirasan.org

Lleida