Matemáticas: El Juego de las aerolíneas estadounidenses

Martín de Souza. Trabajo sobre Juegos Cooperativos de Ganancia. Sociología I. Tarde (G1-F1). NIUB: 16437794




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Enunciado del problema

EL JUEGO DE LAS AEROLINEAS ESTADOUNIDENSES

Los consejos de administración de las 4 principales compañías aéreas de los Estados Unidos se plantean una fusión para ampliar su beneficio. United Airlines que cubre vuelos entre Los Ángeles y las principales ciudades del este del país el pasado año obtuvo unas ganancias de 3 mil millones de dólares, Continental cuyos vuelos cubren entre Nueva York, Florida y Washington obtuvo el mismo año ganancias por 1500 millones de dólares. Por su parte American Aiways que cubre la mayor parte de los vuelos entre Mexico y EEUU obtuvo ganancias por el valor de 1100 millones de dólares, mientras que Delta Air obtuvo beneficios por 700 millones de dólares durante el mismo período con sus vuelos entre Chicago, Washington y Miami. Según los expertos las 4 empresas unidas lograrían repartirse 8500 de millones de dólares de ganancia para el siguiente año en caso de fusión.

Los técnicos de United Airlines y Continental en reuniones anteriores habían hecho un estudio en los que se mostraba que la unión de ambas compañías aéreas produciría unas ganancias de 5 mil millones de dólares anuales. Por su parte las empresas pequeñas American Airways y Delta Air en un intento por competir con las más grandes realizaron estudios que arrojaban datos de ganancia de 2 millones de dólares anuales entre ambos en caso de fusionarse. No siendo satisfactorios estos resultados las 4 empresas han estudiado el resto de los escenarios posibles: Si United Airlines se fusiona con American Airways juntas consiguen beneficios por 4500 millones de dólares anuales, en cambio si lo hace con Delta Air ambas obtienen unas ganancias de 4000 millones de U$S por año. Continental por su parte si se fusiona con American Airways ambas logran un beneficio de 2,8 mil millones de dólares, en cambio si lo hace con Delta Airways entre las dos compañías llegarían a 2,5 mil millones de dólares anuales.
Los estudios en los casos de fusión de 3 empresas los técnicos estiman que las ganancias aumentarían en un 10% el producto de la suma individual de las ganancias anuales de cada empresa.

Obtenga la función característica del juego asociado a las compañías de vuelo de EEUU.
Determine que coalición o que coaliciones se formarán entre las aerolíneas.
Determine que beneficio podría obtener cada empresa.

Resolución del Ejercicio

Obtenga la función característica del juego asociado a las compañías de vuelo de EEUU

En este ejercicio hay 4 jugadores que son cada una de las aerolíneas estadounidenses citadas. United Airlines es el jugador 1, Continental es el jugador 2, American Airways es el jugador 3 y Delta Air es el jugador 4.

N = {1,2,3,4}

El número total de coaliciones (NTC) que se pueden formar es:

NTC = 24 – 1= 16 -1= 15.

Estas 15 coaliciones diferentes son las siguientes:

4 coaliciones individuales: {1}, {2}, {3} y {4}.
6 coaliciones de 2 jugadores: {12}, {13}, {14}, {23}, {24}, {34}
4 coaliciones de 3 jugadores: {123}, {124}, {134}, {234}
La gran coalición total de los 4 jugadores: {1,2,3,4}

La función característica de ganancia V (S) de este juego nos da la ganancia de cada coalición S:

V(1)= 3 mil millones de dólares
V(2)= 1,5 mil millones de dólares
V(3)= 1,1 mil millones de dólares
V(4)= 0,7 mil millones de dólares

V(12)= 5 mil millones de dólares
V(13)= 4,5 mil millones de dólares
V(14)= 4 mil millones de dólares
V(23)= 2,8 mil millones de dólares
V(24)= 2,5 mil millones de dólares
V(34)= 2 mil millones de dólares

En los casos en que las coaliciones son de 3 empresas la ganancia aumenta en un 10% el producto de la suma de cada ganancia individual por lo que:

V(123)= [V(1) + V(2) + V(3)] + [ V(1) + V(2) + V(3)]/10=


V(123)= ( 3+1,5+1,1) + (3+1,5+1,1)/ 10 = 6,16 mil millones de dólares

Repetimos el procedimiento anterior para V(124), V(134) y V(234) por lo tanto:

V(124)= (3+1,5+07) + (3+1,5+0,7)/10= 5,72 mil millones de dólares

V(134)= (3+1,1+0,7) + (3+1,1+0,7)/10= 5,28 mil millones de dólares

V(234)= (1,5+1,1+0,7) + (1,5+1,1+0,7)/10= 3,63 mil millones de dólares

Y finalmente la gran coalición como se plantea en el ejercicio quedaría:

V(1234)= 8,5 mil millones de dólares

Así la función característica del juego de las aerolíneas estadounidenses quedaría así en miles de millones de dólares:

V(1)= 3 V(12)= 5 V(123)= 6,16 V(1234)= 8,5
V(2)= 1,5 V(13)= 4,5 V(124)= 5,72
V(3)= 1,1 V(14)= 4 V(134)= 5,28
V(4)= 0,7 V(23)= 2,8 V(234)= 3,63
V(24)= 2,5
V(34)= 2



b) Determine que coalición o que coaliciones se formarán entre las aerolíneas.

Comprobamos la superaditividad del juego. Para hacerlo, analizaremos las diferentes uniones de dos coaliciones que no tienen jugadores comunes. En primer lugar, analizaremos si a los jugadores les interesa formar coaliciones de dos jugadores, para lo que compararemos la suma de coaliciones individuales con coaliciones de dos jugadores:

V(1) + V(2) = 3 + 1,5 = 4,5 < V(12) = 5
V(1) + V(3)= 3 + 1,1 = 4,5 < V(13) = 4,5
V(1) + V(4)= 3 + 0,7 = 3,7 < V((14) = 4
V(2) + V(3)= 1,5 + 1,1 = 2,6 < V(23) = 2,8
V(2) + V(4)= 1,5 + 0,7 = 2,2 < V(24) = 2,5
V(3) + V(4)= 1,1 + 0,7 = 1,8 < V(34) = 2

Todas las coaliciones de dos jugadores son superaditivas porque permiten tener más ganancia que si operaran individualmente.
En segundo lugar, analizaremos si a los jugadores les interesa formar coaliciones de tres jugadores. En este juego tenemos 4 coaliciones de 3 jugadores: {123}, {124}, {134}, {234}. Para hacerlo, descompondremos cada coalición de 3 jugadores en la suma de una coalición individual y una de dos jugadores. La primera coalición que descompondremos es la {123}:

V(1) + V(23) = 3 + 2,8 = 5,8 < 6,16
V(2) + V(13) = 1,5 + 4,5 =6 < 6,16
V(3) + V(12) = 1,1 + 5= 6,1< 6,16

Todas las desigualdades verifican que las ganancias de la coalición {123} es mayor que la suma de las ganancias de las diferentes descomposiciones en coaliciones de uno y de dos jugadores, por lo cual la coalición {123} es superaditiva.
A continuación analizaremos la coalición {124}:

V(1) + V(24) = 3 + 2,5 = 5,5 < 5,72
V(2) + V(14) = 1,5 + 4 = 5,5 < 5,72
V(4) + V(12) = 0,7 + 5 = 5,7 < 5,72

Todas las desigualdades verifican que las ganancias de la coalición {124} es mayor que la suma de las ganancias de las diferentes descomposiciones en coaliciones de uno y dos jugadores, por lo cual la coalición {124} es superaditiva.
A continuación analizaremos la coalición {134}:

V(1) + V(34) = 3 + 2= 5 < 5,28
V(3) + V(14) = 1,1 + 4 = 5,1 < 5,28
V(4) + V(13) = 0,7 + 4,5= 5,2 < 5,28

Aquí también todas las desigualdades verifican que las ganancias de la coalición {134} es mayor que la suma de las ganancias de las diferentes descomposiciones en coaliciones de uno y dos jugadores, por lo cual la coalición {134} es superaditiva:
En último término, estudiaremos la coalición {234}:

V(2) + V(34) = 1,5 +2= 3,5 < 3,63
V(3) + V(24) = 1,1 + 2,5= 3,6 < 3,63
V(4) + V(23)= 0,7 + 2,8 = 3,5 < 3,63

Todas las tres posibles descomposiciones de {234} dan menor ganancia que la coalición {234} por lo tanto es superaditiva. De esta manera hemos verificado que todas las coaliciones de 3 jugadores son superaditivas.
En último lugar cabe analizar si a los jugadores les conviene formar una gran coalición o coalición total N formada por todos los jugadores. La gran coalición se puede descomponer de dos formas diferentes, como la suma de dos coaliciones formadas por dos jugadores o como la suma de una coalición de tres jugadores y una coalición individual. Para comprobar la superaditividad de la gran coalición, primero comparemos las sumas de coaliciones de tres jugadores y de un gran jugador individual con la gran coalición:

V(1) + V(234) = 3 + 3,63 = 6,63 < 8,5
V(2) + V(134) = 1,5 + 5,28 = 6,78 < 8,5
V(3) + V(124) = 1,1 + 5,72 = 6,82 < 8,5
V(4) + V(123) = 0,7 + 6,16= 6,86 < 8,5

Todas las desigualdades verifican que las ganancias asociadas a la gran coalición son mayores a las ganancias de las diferentes descomposiciones de uno y de tres jugadores. Finalmente comparemos las sumas de dos coaliciones de dos jugadores con la gran coalición. Sólo es posible las tres descomposiciones siguientes:

V(12) + V(34) = 5 + 2 = 7 < 8,5
V(13) + V( 24) = 4,5 + 2,5= 7 < 8,5
V(14) V(23) = 4 + 2,8 = 6,8 < 8,5

Todas las desigualdades verifican que la ganancia asociada a la gran coalición {1234} es mayor que la suma de las ganancias de las diferentes descomposiciones en sumas de dos coaliciones de dos jugadores.
Es evidente que en todos los casos, los cuatro jugadores salen beneficiados formando la gran coalición en vez de haciendo coaliciones parciales. , tanto de tres jugadores más un jugador, como de dos coaliciones formadas por dos jugadores cada una, y por lo tanto, la gran coalición N = {1234} es superaditiva.
Está claro entonces, que el juego es superaditivo, y que la coalición que formarán los cuatro jugadores es la gran coalición o coalición total porque es la que les permite obtener mayores beneficios (8,5 mil millones de dólares al año).


Determine que beneficio podría obtener cada empresa.

Las 4 compañías aéreas norteamericanas se ponen de acuerdo y se fusionan para obtener 8,5 mil millones de dólares de ganancia anual. Para saber de qué manera se repartirán el beneficio aplicaremos el valor de Sharpley dado por la fórmula:

ɸi =γ SS Ni Sv S-vS- i , i= 1, 2, 3, 4


donde los coficientes gamma vienen dados por:
γ S= 14, Si la coalición S tiene un sólo jugador112, Si la coalición S tiene 2 jugadores112,Si la coalición S tiene 3 jugadores14,Si la coalición S tiene 4 jugaodres


El valor de Sharpley del jugador 1 viene dado por:

ɸ1= 14v1-v +112v12-v2+112v13-v3+112v14-v4+112v123-v23+112v124-v2,4+112v134-v34+14 v1234-v234

= 143-0+1125-1,5+1124,5-1,11124-0,7+1126,16-2,8+1125,72-2,5+1125,28-2+14 8,5-3,63

=3,61 mil millones de dólares al año.


El valor de Sharpley para el jugador 2 se da por:

ɸ2= 14v2-v +112v12-v1+112v 23-v3112v24-v4+112v123-v13+112v124-v14+112 v234-v34+14 v1234-v134
= 141,5-0+1125-3+1122,8-1,11122,5-0,7+1126,16-4,5+1125,72-4+1123,63-2+14 8,5-5,28

= 2,05 mil millones de dólares al año.




El valor de Sharpley del jugador 3 es dado por:


ɸ3= 14v3-v +112v13-v1+112v 23-v2112v34-v4+112v123-v12+112v134-v14+112 v234-v24+14 v1234-v124

=141,1-0+1124,5-3+ 1122,8-1,5+1122-0,7+1126,16-5+1125,28-4+112 3,63-2,4+14 8,5-5,72

= 1,64 mil millones de dólares anuales

El Valor de Sharpley para el jugador 4 está dado por:

ɸ4= 14v4-v +112v14-v1+112v 24-v2112v34-v3+112v124-v12+112v134-v13+112 v234-v23+14 v1234-v123

= 140,7-0+1124-3+1122,5-1,51122-1,1+1125,72-5+1125,28-4,5+112 3,63-2,8+14 8,5-6,16

= 1,19 mil millones de dólares anuales.

Por tanto, la solución del juego se ve dada por el vector de pagos siguiente:

X= (3,61 2,05 1,64 1,19)




Es eficiente:

x(N)=i=14xi=3,61+2,05+1,66+1,19=v(N)

La coalición x(S) es estable y por lo tanto, pertenece al corazón del juego. Cumple los dos principios de estabilidad coalicional. Estos principios son el principio de racionalidad individual y el principio de racionalidad coalicional.


d. Nuevos datos.

Antes de llegar a término con las negociaciones los gerentes de Continental y Delta Air no habían tenido en cuenta que ambas aerolíneas poseen servicio de Autocares para el transporte al aeropuerto que les comporta una ventaja extra en las negociaciones. Según los datos de los economistas de ambas empresas la fusión exclusiva entre Continental y Delta Air debido a este servicio de autocares se incrementa en 200 millones de dólares adicionales al año.

Con los nuevos datos demostrar si el juego es de cooperación parcial. Obtenga las nuevas coaliciones que se formarán y la coalición característica.


La función característica de ganancia V (S) de este nuevo juego nos da la ganancia de cada coalición S:

V(1)= 3 mil millones de dólares
V(2)= 1,5 mil millones de dólares
V(3)= 1,1 mil millones de dólares
V(4)= 0,7 mil millones de dólares

V(12)= 5 mil millones de dólares
V(13)= 4,5 mil millones de dólares
V(14)= 4 mil millones de dólares
V(23)= 3 mil millones de dólares
V(24)= 2,5 mil millones de dólares
V(34)= 2 mil millones de dólares

Los datos de la fusión de 3 empresas y la gran coalición no cambian:

V(123)= 6,16 mil millones de dólares
V(124)= 5,72 mil millones de dólares
V(134)= 5,28 mil millones de dólares
V(234)= 3,63 mil millones de dólares
V(1234)= 8,5 mil millones de dólares

Así la función característica del juego de las aerolíneas estadounidenses quedaría así en miles de millones de dólares:

V(1)= 3 V(12)= 5 V(123)= 6,16 V(1234)= 8,5
V(2)= 1,5 V(13)= 4,5 V(124)= 5,72
V(3)= 1,1 V(14)= 4 V(134)= 5,28
V(4)= 0,7 V(23)= 3 V(234)= 3,63
V(24)= 2,5
V(34)= 2
Coaliciones:

V(1) + V(2) = 3 + 1,5 = 4,5 < V(12) = 5
V(1) + V(3)= 3 + 1,1 = 4,5 < V(13) = 4,5
V(1) + V(4)= 3 + 0,7 = 3,7 < V((14) = 4
V(2) + V(3)= 1,5 + 1,1 = 2,6 < V(23) = 3
V(2) + V(4)= 1,5 + 0,7 = 2,2 < V(24) = 2,5
V(3) + V(4)= 1,1 + 0,7 = 1,8 < V(34) = 2
V(1) + V(23) = 3 + 3 = 6 < 6,16
V(2) + V(13) = 1,5 + 4,5 =6 < 6,16
V(3) + V(12) = 1,1 + 5= 6,1< 6,16
V(1) + V(24) = 3 + 2,5 = 5,5 < 5,72
V(2) + V(14) = 1,5 + 4 = 5,5 < 5,72
V(4) + V(12) = 0,7 + 5 = 5,7 < 5,72
V(1) + V(34) = 3 + 2= 5 < 5,28
V(3) + V(14) = 1,1 + 4 = 5,1 < 5,28
V(4) + V(13) = 0,7 + 4,5= 5,2 < 5,28
V(2) + V(34) = 1,5 +2= 3,5 < 3,63
V(3) + V(24) = 1,1 + 2,5= 3,6 < 3,63
V(4) + V(23)= 0,7 + 3 = 3,7 > 3,63
V(1) + V(234) = 3 + 3,63 = 6,63 < 8,5
V(2) + V(134) = 1,5 + 5,28 = 6,78 < 8,5
V(3) + V(124) = 1,1 + 5,72 = 6,82 < 8,5
V(4) + V(123) = 0,7 + 6,16= 6,86 < 8,5
V(12) + V(34) = 5 + 2 = 7 < 8,5
V(13) + V( 24) = 4,5 + 2,5= 7 < 8,5
V(14) V(23) = 4 + 3 = 6,8 < 8,5
Como vemos en la línea marcada en negrita el juego en este caso no es superaditivo porque no dan las ganancias aceptables para la coalición {23} y por lo tanto no habrá coalición en este caso.
Habrá una coalición parcial formada por {14} y {23}.

Para la coalición {2,3}:


Ordenes
CMg 2
CMg3
23
V(2)= 1,5
V (23)= 3 - V(2)= 1,5= 1,5
32
V (23)= 3 - V(3)= 1,1= 1,9
V(3)= 1,1

3,4
2,6

ɸ2=3,42=1,7

ɸ3=2,62=1,3

Es eficiente: X(N)= (1,7+1,3)= 3
En este caso el Jugador 2 al fusionarse con el jugador 3 tendrán una ganancia de 1,7 y 1,3 millones de dólares respetivamente el siguiente año.

Para la coalición {1,4}:

Ordenes
CMg 1
CMg4
14
V(1)= 3
V (14)= 4 - V(1)= 3=1
41
V (14)=4 - V(4)=0,7= 3,3
V(4)= 0,7

6,3
1,7

ɸ1=6,32=3,15

ɸ4= 1,72=0,85

Es eficiente: X(N)= (3,15+0,85)= 4
En este caso el Jugador 1 al fusionarse con el jugador 4 tendrán una ganancia de 3,15 y 0,85 millones de dólares respetivamente el siguiente año.