MATEMÁTICA ESCOLAR DESDE UN PUNTO DE VISTA SUPERIOR, I: CONJUNTOS Y NÚMEROS

Matemática escolar desde un punto de vista superior, I: conjuntos y números

Alberto Barcia Domínguez Paolo Caressa Carlo Giovanni Madonna

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Servicio de Publicaciones de la Universidad Autónoma de Madrid, 2010

Índice general Introducción

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1. El lenguaje de la matemática 1.1. La estructura lógica de la matemática . . . . . . 1.2. ¿Que es una teoría matemática? . . . . . . . . . 1.3. Conjuntos y operaciones con conjuntos . . . . . 1.4. Producto cartesiano y relaciones de equivalencia . 1.5. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6. Grupos y estructuras algebraicas . . . . . . . . . 1.7. Notas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. Números y sus operaciones 2.1. Axiomática para los números naturales . . . . . . . . . 2.2. Definición recursiva de suma y relación de orden . . . 2.3. Divisibilidad entre números naturales . . . . . . . . . 2.4. El sistema posicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. mcd y mcm de dos números naturales . . . . . . . . . 2.6. Criterios de divisibilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7. Números primos y descomposición en factores primos 2.8. Notas históricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Números enteros, racionales y decimales 3.1. Los números enteros . . . . . . . . . 3.2. Los números racionales y decimales . 3.3. Notas históricas . . . . . . . . . . . . 3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . .

III

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IV

4. Soluciones y respuestas 4.1. Soluciones de los ejercicios del Cap.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Soluciones de los ejercicios del Cap.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Soluciones de los ejercicios del Cap.3 . . . . . . . . . . . . . . . .

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Bibliografía

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Índice alfabético

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Introducción Hace más de cien años, al principio del siglo XX, exactamente en el año 1908, se publicaba en Alemania el libro [10] Matemática elemental desde un punto de vista superior. Aritmética. Álgebra. Análisis del matemático Felix Klein (1849–1925). El Profesor Felix Klein, investigador mundialmente conocido, fue también un matemático preocupado por la enseñanza de la matemática no universitaria. El objetivo principal de su obra era restablecer un enlace natural entre la enseñanza de la matemática no universitaria y los resultados de la investigación matemática. El libro, reconocido como obra magistral en todo el mundo, da un estupendo ejemplo de un investigador de reconocido prestigio, que escribe una obra específicamente dirigida a los profesores de enseñanza de matemática no universitaria. El libro Matemática escolar desde un punto de vista superior, I: conjuntos y números tiene un origen en algún sentido muy parecido, aunque es una obra mucho más sencilla y modesta respecto al célebre libro de Klein. Los puntos de partida principales de los autores de este libro han sido dos: por un lado, el nacimiento en estas últimas décadas de muchas aplicaciones de la matemática, a la ciencia social como a la ciencia médica, o económica, biológica ... y por otro lado, las reformas de los currículos de la enseñanza obligatoria. Gracias a las propias experiencias como docentes de asignaturas de Matemática en distintas carreras y en distintas universidades, los autores de este libro han podido constatar como la distancia entre la matemática básica universitaria y la matemática no universitaria ha ido creciendo en los años, hasta el punto que, para medir esta distancia, se tendría que medir la distancia res-

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pecto a la matemática escolar (es decir respecto al currículo de la escuela primaria). Así que mientras en casi todas las carreras universitarias surge, en las últimas décadas del siglo XX, la necesitad de impartir cursos básicos de Matemática, por otro lado, la matemática no universitaria o pre-universitaria va en muchos casos casi a coincidir con la matemática escolar. El primero objetivo de los autores en este primer volumen es reducir esta distancia, creando un camino entre la matemática escolar y la matemática universitaria. En este sentido se podría decir que los autores indican el único camino posible, es decir, una revisión de los contenidos de la matemática escolar mediante una relectura de estos con el lenguaje y la exactitud propia de una rama de las ciencias exactas como es la Matemática. El segundo objetivo de los autores es proporcionar una referencia a los alumnos de las asignaturas básicas de matemáticas, es decir de todas las carreras universitarias que incluyen en el plan de estudios por lo menos una asignatura de matemática básica o bien de matemática general. Por supuesto, la adaptación (y en su caso también la ampliación) de los contenidos a las distintas asignaturas de las distintas carreras se deja a la profesionalidad y a las competencias de los equipos docentes. La idea general es que antes de empezar un nuevo ciclo de estudios, como los estudios de una carrera universitaria, es indispensable revisar los conocimientos adquiridos en los ciclos anteriores y al mismo tiempo entrenar el espíritu para el salto, intelectual, que se está preparando. Vemos ahora unos detalles sobre la distribución del material en los distintos capítulos. Como hemos dicho arriba, el contenido del libro es la matemática escolar, pero desde un punto de vista superior, es decir con el lenguaje y el formalismo de la matemática: éste es el contenido del primer capítulo. El lenguaje, la teoría de los conjuntos, las aplicaciones entre conjuntos, las relaciones de equivalencias y finalmente las estructuras algebraicas y de grupo sobre un conjunto. El lector tiene así todas las herramientas necesarias para revisar, en el segundo capítulo, sus conocimientos sobre los números naturales, las propiedades de divisibilidad, el sistema posicional de escritura de los números, la factorización en números primos, el máximo común divisor y el mínimo común

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múltiplo entre dos o más números. El tercer capítulo introduce las nociones de números enteros, racionales y decimales, completando así el el material más básico del currículo de matemática de la escuela primaria, lo que se suele llamar en la escuela como aritmética. Todos los capítulos incluyen una sección de notas históricas, una sección de ejercicios, y también lo que llamamos con el término Actividad, y que entendemos como pequeñas generalizaciones de enunciados ya demostrados, o bien ejercicios que requieren la aplicación de distintas técnicas resolutivas. El cuarto, y último capítulo, contiene las soluciones o, en algunos casos, las respuestas a la gran mayoría de los ejercicios propuestos a lo largo del libro. Al final del libro tenemos una bibliografía, donde incluimos también unos comentarios creyendo que estas referencias pueden representar unas lecturas útiles para el lector que quiere profundizar o ampliar sus conocimientos sobre los temas aquí introducidos. En otra palabras no es tanto una bibliografía en sentido estricto cuanto más unas lecturas aconsejadas por los autores sobre los temas aquí introducidos.

Alberto Barcia Domínguez Paolo Caressa Carlo Giovanni Madonna