Matematica computacional

Problema 2 A função que modela a força exercida pelo vento no mastro de um barco, por metro, é: 𝑓(𝑥) = 200

𝑥 −2𝑥 𝑒 ⁄30 5+𝑥

, 𝑥 ∈ [0,30]

Comprimento do mastro A força equivalente pode ser determinada através do integral: 30

𝐹 ≡ 𝐼(𝑓) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 0

1. Considerando os pontos 𝑥0 = 0; 𝑥1 = 4; 𝑥2 = 9; 𝑥3 = 28; 𝑥4 = 30 , pretende-se construir uma aproximação S(x) para a função definida da seguinte forma 𝑝2 (𝑥), 𝑥 ∈ [𝑥0 , 𝑥2 ] 𝑆(𝑥) = {𝑝1 (𝑥), 𝑥 ∈ [𝑥2 , 𝑥3 ] 𝑝0 (𝑥), 𝑥 ∈ [𝑥3 , 𝑥4 ] onde, 𝑝2 (𝑥) - Polinómio interpolador de 𝑓 nos pontos 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 𝑝1 (𝑥) - Polinómio interpolador de 𝑓 nos pontos 𝑥2 , 𝑥3 𝑝0 (𝑥) - Polinómio interpolador de 𝑓 nos pontos 𝑥4

Para obtermos estes polinómios utilizamos a Fórmula interpoladora de Newton com diferenças divididas. Que consiste em 𝑝𝑛 (𝑥) = 𝑓0 + 𝐴1 (𝑥 − 𝑥0 ) + 𝐴2 (𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) + ⋯ + 𝐴𝑛 (𝑥 − 𝑥0 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1 )

Em que 𝐴𝑛 é a diferença dividida da 2ª ordem da função f, 𝑛

𝐴𝑛 = ∑ 𝑗=𝑜

𝑓𝑗 ∏0≤𝑖≤𝑛(𝑥𝑗 − 𝑥𝑖 )

Com a notação das diferenças divididas, podemos escrever o polinómio interpolador 𝑝𝑛 na forma 𝑝𝑛 (𝑥) = 𝑓[𝑥0 ] + 𝑓[𝑥0 , 𝑥1 ](𝑥 − 𝑥0 ) + 𝑓[𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 ](𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) + ⋯ + 𝑓[𝑥0 , 𝑥1 , … , 𝑥𝑛 ](𝑥 − 𝑥0 ) … (𝑥 − 𝑥𝑛−1 ) E a seguinte propriedade permite-nos relacionar diferenças divididas de uma certa ordem k com diferenças de ordem k-1. 𝑓[𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 , … , 𝑥𝑖+𝑘 ] =

𝑓[ 𝑥𝑖+1 , … , 𝑥𝑖+𝑘 ] − 𝑓[ 𝑥𝑖 , … , 𝑥𝑖+𝑘−1 ] 𝑥𝑖+𝑘 − 𝑥𝑖

Tabela de diferenças divididas 𝑥𝑖

𝑓(𝑥𝑖 )

𝑓[𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ]

𝑥0

𝑓(𝑥0 )

𝑓[𝑥0 , 𝑥1 ]

𝑥1

𝑓(𝑥1 )

𝑥2

𝑓(𝑥2 )

𝑓[ , , ]

𝑓[𝑥0 , 𝑥1, 𝑥2 ]

𝑓[𝑥1 , 𝑥2 ]

𝑓(𝑥3 )

𝑥4

𝑓(𝑥4 )

𝑓[𝑥0 , 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 ]

𝑓[𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3 ] 𝑓[𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4 ]

𝑓[𝑥2 , 𝑥3 ] 𝑥3

𝑓[ , , , ]

𝑓[𝑥2 , 𝑥3, 𝑥4 ] 𝑓[𝑥3 , 𝑥4 ]

Do enunciado temos que: 30

𝐹 ≡ 𝐼(𝑓) = ∫ 200 0

𝑥 −2𝑥 𝑒 ⁄30 𝑑𝑥 5+𝑥

Calculemos inicialmente o valor da função f nos pontos 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2, 𝑥3 , 𝑥4 . 𝑓0 = 𝑓(𝑥0 ) = 𝑓(0) = 200

0 −2∗0⁄ 30 = 0 𝑒 5+0

𝑓1 = 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(4) = 200

4 −2∗4⁄ 30 = 68,083 𝑒 5+4

𝑓2 = 𝑓(𝑥2 ) = 𝑓(9) = 200

9 −2∗9⁄ 30 = 70,561 𝑒 5+9

𝑓3 = 𝑓(𝑥3 ) = 𝑓(28) = 200

28 −2∗28⁄ 30 = 26,242 𝑒 5 + 28

𝑓4 = 𝑓(𝑥4 ) = 𝑓(30) = 200

30 −2∗30⁄ 30 = 23,200 𝑒 5 + 30

𝑓[ , , , , ]

𝑓[𝑥0 , 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3 , 𝑥4 ]

Cálculo de 𝐩𝟐 (𝐱) O polinómio interpolador 𝑝2 (𝑥) é de grau ≤ 2. O polinómio deverá ser obtido nos pontos 𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 , onde 𝑥0 = 0; 𝑥1 = 4; 𝑥2 = 9. E ainda: 𝑓[𝑥0 , 𝑥1 ] = 𝑓[𝑥1 , 𝑥2 ] = 𝑓[𝑥0 , 𝑥1 , 𝑥2 ] =

𝑓[𝑥1 ]− 𝑓[𝑥0 ] 𝑥1 −𝑥0

𝑓[𝑥2 ]− 𝑓[𝑥1 ] 𝑥2 −𝑥1

=

𝑓[𝑥1 ,𝑥2 ]− 𝑓[𝑥0 ,𝑥1 ] 𝑥2 −𝑥0

=

68,083−0 4−0

= 17,021

70,561 − 68,083 = 0.4956 9−4 =

0.4956 − 17,021 = −1,836 9−0

Assim podemos preencher a tabela anterior já com os valores obtidos para 𝑝2 (𝑥), 𝑥 ∈ [𝑥0 , 𝑥2 ]: 𝑥𝑖

𝑓(𝑥𝑖 )

0

0

𝑓[𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ] 17,021

4

68,083

𝑓[ , , ]

−1,836

0.4956 9

70,561

Determinação do polinómio interpolador 𝑝2 𝑝2 (𝑥) = 𝑓(0) + 𝑓[0,4](𝑥 − 0) + 𝑓[0,4,9](𝑥 − 0)(𝑥 − 4) 𝑝2 (𝑥) = 0 + 17,021𝑥 − 1,836𝑥(𝑥 − 4) 𝑝2 (𝑥) = 17,021𝑥 − 1,836𝑥 2 + 7,344𝑥

𝑝2 (𝑥) = 24.365𝑥 − 1,836𝑥 2

Cálculo de 𝒑𝟏 (𝒙) O polinómio interpolador 𝑝1 (𝑥) é de grau ≤ 1. A determinação do polinómio deverá ser efectuado nos pontos 𝑥2 , 𝑥3 , onde 𝑥2 = 9, 𝑥3 = 28. Do mesmo modo, preenchemos a tabela das diferenças divididas para 𝑝1 (𝑥), 𝑥 ∈ [𝑥2 , 𝑥3 ] e 𝑝0 (𝑥), 𝑥 ∈ [𝑥3 , 𝑥4 ]: 𝑓(𝑥3 ) = 𝑓(28) = 200 𝑓[𝑥2 , 𝑥3 ] =

𝑓[𝑥3 ]− 𝑓[𝑥2 ] 𝑥3 −𝑥2

2∗28 28 𝑒 − 30 = 26,242 5 + 28

=

26,242−70,561 28−9

𝑥𝑖

𝑓(𝑥𝑖 )

9

70,561

28

26,242

= −2.333

𝑓[𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+1 ] −2,333

Deste modo, 𝑝1 (𝑥) = 𝑓(9) + 𝑓[9,28](𝑥 − 9)

Logo 𝑝1 (𝑥) = 70,561 − 2,333(𝑥 − 9) ⇔ 𝑝1 (𝑥) = 91,558 − 2,333𝑥

Cálculo de 𝒑𝟎 (𝒙)

O polinómio interpolador 𝑝0 (𝑥) é um polinómio de grau 0 , com 𝑥 ∈ [𝑥3 , 𝑥4 ] .O polinómio foi obtido no ponto 𝑥4 , onde 𝑥4 = 30. De modo idêntico temos

Assim

𝑥𝑖

𝑓(𝑥𝑖 )

30

23,200

𝑝0 (𝑥) = 𝑓𝑜 = 23,200

A aproximação S(x) para a função f(x) fica então definida por 𝑝2 (𝑥) = 24,365𝑥 − 1,836𝑥 2 , 𝑥 ∈ [0,9] 𝑆(𝑥) = { 𝑝1 (𝑥) = 91,558 − 2,333𝑥, 𝑥 ∈ [9,28] 𝑝0 (𝑥) = 23,2 𝑥 ∈ [28,30] Gráfico de 𝑝2 (𝑥) com 𝑥 ∈ [0,9] 400

300

200

100

2

4

6

8

Gráfico de 𝑝1 (𝑥) com 𝑥 ∈ [9,28]

60

50

40

15

20

25

Gráfico de 𝑝0 (𝑥) = 23,2 𝑐𝑜𝑚 𝑥 ∈ [28,30]

40

30

20

10

28.5

29.0

29.5

30.0

Gráfico da função f(x) 70 60 50 40 30 20 10

5

10

15

20

25

30

20

25

30

Gráfico de S(x) 80

60

40

20

5

10

15

2. Aproximação do integral da função através da regra de Simpson. Na regra de Simpson a aproximação do integral é feita dividindo o intervalo de integração (a,b) em N partes iguais ou sub-intervalos, onde N é um número par. Traça-se, por cada dois intervalos consecutivos, isto é cada três pontos, uma parábola (função do segundo grau). Calcula-se o integral de cada parábola, admitindo-se que seja uma boa aproximação do integral da função original. A soma dos integrais das N/2 parábolas assim obtidas constitui uma aproximação da integral da função. a) Pretende-se calcular valor teórico do número de sub-intervalos mínimo que garanta que do erro seja inferior a 0,1, i.e., Nº de intervalos tal que |𝐼 − 𝑆𝑁 | < 0,1 onde, 𝐼 − 𝑆𝑁 é a fórmula de erro cometido na aproximação do integral, 𝐸 𝑆 (𝑓) O erro de integração quando da aplicação da regra de Simpson é dado por 𝐸𝑁𝑆 (𝑓) = −

𝑁ℎ5 (4) 𝑓 (𝜀), 180

𝜀 ∈ [𝑎, 𝑏]

em que, a e b são os extremos do intervalo de integração sendo a largura h dos subintervalos dada por ℎ=−

𝑏−𝑎 𝑁 𝑏

Considerando para o cálculo do integral 𝐽(𝑔) = ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 , a função inicialmente f(x) apresentada tem-se 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 200

𝑥 −2𝑥 𝑒 ⁄30 5+𝑥

, 𝑥 ∈ [0,30]

e o módulo vem dado por |𝐼 − 𝑆𝑁 | = |𝐸𝑁𝑆 (𝑓)| ≤

𝑁ℎ5 𝑚𝑎𝑥 |𝑓 (4) (𝑥)| 180 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]

Determinou-se primeiramente a expressão das derivadas de f(x): 𝑓 ′ (𝑥) = −

𝑓 ′′ (𝑥) =

40𝑒 −𝑥⁄15 (𝑥 2 + 5𝑥 − 75) 3(𝑥 + 5)2

8𝑒 −𝑥⁄15 (𝑥 3 + 10𝑥 2 − 125𝑥 − 3000) 9(𝑥 + 5)3

𝑓 (3) (𝑥) = −

𝑓

(4) (𝑥)

8𝑒 −𝑥⁄15 (𝑥 4 + 15𝑥 3 − 150𝑥 2 − 8875𝑥 − 140625) 135(𝑥 + 5)4

8𝑒 −𝑥⁄15 (𝑥 5 + 20𝑥 4 − 150𝑥 3 − 17500𝑥 2 − 561875𝑥 − 8475000) = 2025(𝑥 + 5)5

Verificou-se que o valor máximo de |𝑓 (4) (ℰ) |, no intervalo considerado, é obtido para x=0 uma vez que o módulo desta derivada da função é decrescente. 𝑥 = 0 ⇒ 𝑓 (4) (0) = −10,7141 Determinou-se em seguida o valor mínimo de sub-intervalos para os quais o erro de aproximação do integral é inferior a 0.1. 305 305 (4) (𝜀)| |𝑓 < 10.7141 < 0,1 ⇒ 𝑁 > 61.6698 𝑁 4 180 𝑁 4 180 Como no método de Simpson, o intervalo de integração (a,b) é dividido em N subintervalos iguais com N par então 𝑁 ≥ 62. b) Elaborou-se um programa baseado na regra de Simpson Composta para obter os valores da aproximação 𝑆𝑁 (𝑓) do integral de 𝑓 , com N sub-intervalos. Pela fórmula de Simpson composta o valor aproximado do integral é dado por:

𝑁⁄ 2

𝑁⁄ 2

𝑗=1

𝑗=1

ℎ 𝑆𝑁 (𝑓) = [𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥𝑁 ) + 4 ∑ 𝑓(𝑥2𝑗−1 ) + 2 ∑ 𝑓(𝑥2𝑗 )] 3

Para o cálculo do valor do erro utilizou-se o valor de 𝐼 obtido pela aproximação do integral da função com N=300. O valor obtido foi 𝐼 = 1480.5685. Os valores obtidos para a aproximação do integral da função, 𝑆𝑁 (𝑓), o erro |𝐼 − 𝑆𝑁 |, os majorantes do erro obtidos pela fórmula de erro,|𝐸𝑁𝑆 (𝑓)|, e o quociente entre o valor do erro obtido para N/2 sub-intervalos e o dobro do seu valor, estão apresentados na tabela seguinte.

Tabela 1 – Valores obtidos por aplicação da regra de Simpson. |𝑬𝑺𝑵 (𝒇)|

|𝑰 − 𝑺𝑵 |

|𝑰 − 𝑺𝑵/𝟐 | ⁄ |𝑰 − 𝑺𝑵 |

N

SN

2

1219,6400 260,9285 90400,2188 -

4

1426,8693 53,6992

5650,0137

4,8591

8

1473,1478 7,4207

353,1259

7,2364

16

1479,8568 0,7117

22,0704

10,4269

32

1480,5155 0,0530

1,3794

13,4231

64

1480,5650 0,0035

0,0862

15,1597

128

1480,5683 0,0002

0,0054

16,2660

Analisando os valores do erro e do seu majorante pode-se afirmar que o erro diminui de forma acentuada desde o número inicial de sub-intervalos, N=2, para o qual o erro é de 260.9285, até a valores da ordem das milésimas, 0.0054 para N=128. Verifica-se que a partir de 32 sub- intervalos o valor do erro é inferior a 0.1. Em relação aos valores dos majorantes , o erro é sempre inferior ao majorante, no entanto, para valores de N inferiores a 64 os dois valores estão muito afastados tendo tendência para se aproximarem à medida que N aumenta. 25 |I-SN|

20

Majorante

15 10 5 0 0

20

40

60

80

100 120 140

N

Gráfico do Erro de aproximação do integral pela regra de Simpson |𝐼 − 𝑆𝑁 | e majorante do erro. Em relação aos resultados da coluna 4, verifica-se que o seu valor se aproxima de 16 quando o valor de N aumenta. Isto acontece porque o erro cometido no cálculo do integral por utilização do método de Simpson é aproximadamente proporcional ao

inverso de N4. Sendo o valor da coluna 4 o quociente entre o valor do integral obtido para N/2 e para N, esse valor deverá ser de aproximadamente 24 = 16 uma vez que o erro diminui desse valor.

28 24 20 16 12 8 |I-SN/2|/|I-SN|

4 0 0

20

40

60

80

100

120

140

N

Gráfico da Relação entre os erros de aproximação do integral obtidos para N/2 e para N.