Matemática 1 para economía y administración

UNIVERSIDAD DE CUENCA CIENCIAS ECONOMICAS Y ADMINISTRATIVAS ADMINISTRACION DE EMPRESAS

CUADERNO DIGITAL

JONATHAN CALLE

INGENIERO PATRICIO DÍAZ

CUENCA 2014

Contenido Números Reales ............................................................................................................................................ 6 Estructura: ................................................................................................................................................. 6 Propiedades de los números reales: .............................................................................................................. 7 Funciones ...................................................................................................................................................... 8 Conceptos: ................................................................................................................................................ 8 Ejemplos de gráficos de funciones: .......................................................................................................... 8 Identidades trigonométricas: ....................................................................................................................... 11 Triangulo de las identidades trigonométricas: ........................................................................................ 12 Tabla de Intervalos:................................................................................................................................. 12 Parábola ...................................................................................................................................................... 12 Concepto: ................................................................................................................................................ 13 Ejemplo 1: ........................................................................................................................................... 13 Translacciones de la parábola. ................................................................................................................ 13 Translaciones horizontales: ..................................................................................................................... 13 Translaciones verticales: ......................................................................................................................... 14 Translaciones por expansión: .................................................................................................................. 14 Translaciones por comprensión: ............................................................................................................. 15 Inversión de una parábola: ...................................................................................................................... 15 Otros ejemplos: ....................................................................................................................................... 15 Función por partes: ..................................................................................................................................... 16 Ejemplo 1: ............................................................................................................................................... 16 Ejemplo 2: ............................................................................................................................................... 17 Ejemplo 3: ............................................................................................................................................... 18 Simetrías: .................................................................................................................................................... 19 Par ........................................................................................................................................................... 19 Ejemplos: ............................................................................................................................................ 19 Impar: ...................................................................................................................................................... 19 Ejemplos: ............................................................................................................................................ 20 Funciones asimétricas: ............................................................................................................................ 20 Ejemplos: ............................................................................................................................................ 20 Operaciones con funciones: ........................................................................................................................ 21

Ejemplos: ................................................................................................................................................ 21 Geometría analítica: .................................................................................................................................... 22 Casos especiales: ................................................................................................................................. 22 Dos rectas:............................................................................................................................................... 22 Casos especiales: ................................................................................................................................. 22 Ejemplo: .................................................................................................................................................. 22 Casos especiales: ................................................................................................................................. 23 Ejemplo: .................................................................................................................................................. 23 La circunferencia ........................................................................................................................................ 24 Concepto: ................................................................................................................................................ 24 Partes de una circunferencia: .................................................................................................................. 24 La parábola.................................................................................................................................................. 26 ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VERTICE EN EL ORIGEN: .................................................................... 26 Ecuación general de la parábola: ....................................................................................................... 27 Algebra Lineal ........................................................................................................................................... 30 Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. ..................................................................................... 30 Métodos de resolución. ....................................................................................................................... 30 Ejemplo: .............................................................................................................................................. 30 Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. ............................................................................................. 31 Ejemplo: .............................................................................................................................................. 31 Método de Gauss para resolver sistema de ecuaciones ............................................................................... 32 Ejemplo: ................................................................................................................................................. 32 Algebra Matricial ........................................................................................................................................ 34 Transpuesta de una matriz ...................................................................................................................... 34 Propiedades ......................................................................................................................................... 35 Suma y resta de matrices......................................................................................................................... 35 Pasos: .................................................................................................................................................. 35 Ejemplo: .............................................................................................................................................. 35 Propiedades: ........................................................................................................................................ 35 Multiplicación de matrices:..................................................................................................................... 35 Tipos: .................................................................................................................................................. 35 Escalar por una matriz......................................................................................................................... 36 Ejemplo: .............................................................................................................................................. 36

Producto punto .................................................................................................................................... 36 Tipos de vectores ................................................................................................................................ 36 Multiplicación de matrices .......................................................................................................................... 36 Pasos para multiplicar matrices .............................................................................................................. 36 Matrices inversas .................................................................................................................................... 39 Métodos: ............................................................................................................................................. 40 Método de Gauss: ............................................................................................................................... 40 Método científico: ................................................................................................................................... 42 Pasos: .................................................................................................................................................. 42 Otra forma de calcular determinantes de una matriz: ......................................................................... 39 Anexos: ....................................................................................................................................................... 46

Índice de Tablas e ilustraciones.

Ilustración 1 Ejemplo 1 de funciones ............................................................................................................ 8 Ilustración 2 Ejemplo 2 de funciones ............................................................................................................ 8 Ilustración 3 Ejemplo 3 de funciones ............................................................................................................ 8 Ilustración 4Ejemplo 4 de funciones ............................................................................................................. 9 Ilustración 5 Ejemplo 5 de funciones ............................................................................................................ 9 Ilustración 6 Ejemplo 6 de funciones ............................................................................................................ 9 Ilustración 7 Ejemplo 7 de funciones ............................................................................................................ 9 Ilustración 8 Ejemplo 8 de funciones ............................................................................................................ 9 Ilustración 9 Ejemplo 9 de funciones ............................................................................................................ 9 Ilustración 10 Ejemplo 10 de funciones ...................................................................................................... 10 Ilustración 11 Ejemplo 11 de funciones ...................................................................................................... 10 Ilustración 12 Ejemplo 12 de funciones ...................................................................................................... 10 Ilustración 13 Ejemplo 13 de funciones ...................................................................................................... 10 Ilustración 14 Ejemplo 14 de funciones ...................................................................................................... 10 Ilustración 15 Ejemplo 15 de funciones ...................................................................................................... 10 Ilustración 16 Ejemplo 16 de funciones ...................................................................................................... 11 Ilustración 17 Ejemplo 17 de funciones ...................................................................................................... 11 Ilustración 18 Ejemplo 18 de funciones ...................................................................................................... 11 Ilustración 19 Ejemplo 19 de funciones ...................................................................................................... 11 Ilustración 20 Ejemplo 20 de funciones ...................................................................................................... 11 Ilustración 21 Ejemplo 21 de funciones ...................................................................................................... 11 Ilustración 22 Parábola de la función del ejemplo 1 ................................................................................... 13

Ilustración 23Traslación horizontal de la parábola ejemplo 1 .................................................................... 13 Ilustración 24Translación horizontal de la parábola ejemplo 2 .................................................................. 13 Ilustración 25 Translación vertical de la parábola ejemplo 1 ..................................................................... 14 Ilustración 26 Translación vertical de la parábola ejemplo 2 ..................................................................... 14 Ilustración 27 Grafico de la parábola expandida ejemplo 1 ....................................................................... 14 Ilustración 28 Comprensión de la Parábola ejemplo 1............................................................................... 15 Ilustración 29 Inversa de la parábola de la ilustración 1 ............................................................................. 15 Ilustración 30 Pendiente y ángulo de inclinación ....................................................................................... 22 Ilustración 31 Ejemplo 1 Recta.................................................................................................................... 23 Ilustración 32 Ejercicio 2 la recta ................................................................................................................ 24 Ilustración 33 La circunferencia gráfica, puntos ......................................................................................... 25 Ilustración 34 La Parábola ........................................................................................................................... 26 Ilustración 35 La Elipse ................................................................................................................................ 27 Ilustración 36 La hipérbola.......................................................................................................................... 29 Ilustración 37 Grafica de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ............................................. 31

Introducción: Las matemáticas es una ciencia muy importante, en cualquier campo al cual se lo aplique viene a ser el punto clave, el saber cómo aplicarla y aplicarla de la mejor manera posible. Este cuaderno digital, es el material de apoyo con el que se contara para el estudio correspondiente de las Matemáticas.

Números Reales Estructura: Los números reales (R) están compuestos por dos conjuntos los cuales son: Racionales (Q) que son aquellos números que se les puede pasar de decimal a fracción y viceversa. Estos a su vez se dividen en: -

Fracciones: Son aquellos números que se pueden representar por una fracción. ( , )

-

Enteros(N): Son todos los números  Naturales Positivos: Son todos los números que nos permiten contar. (1, 2, 3, 4, 5, 6...)  Cero: (0)  Naturales Negativos: Son los valores negativos de los números naturales, van desde el cero a la izquierda. (-1, -2, -3, -4, -5, -6…)

Irracionales (I) que son aquellos números que pueden ser trasformados de fracción a decimal pero no volver de decimal a fracción el mismo número. Pi: (π): 3.1415….

Representación gráfica:

Números Reales Se expresan como:

Irracionales

Racionales Es el conjunto unión de:

Decimal infinito no periodico

Fraciones

Enteros Es el conjunto unión de:

Cocientes de números enteros:

Naturales Positivos

Cero

(1,2,3,4,5...)

Propiedades de los números reales: Suma: -

Decimal infinito periodico

Naturales Negativos

0

Multiplicación

Conmutativa.-El orden al sumar reales no afecta el resultado. Ejemplo: Al igual que Asociativa.- Se pueden asociar los reales de distintas formas y el resultado no se afectara. Ejemplo: Al igual que

-

-

Identidad.- Todo real sumado a cero se queda igual. Ejemplo:

-

Identidad.- Todo real multiplicado por 1 se queda igual. Ejemplo:

-

Inversos.- La suma de opuestos es cero “0”. Ejemplo:

-

Inversos.- La multiplicación de recíprocos es uno “1”. Ejemplo:

-

(-1,-2,-3,-4,-5...)

-

Conmutativa.- El orden al multiplicar reales no afecta el resultado. Ejemplo: Al igual que Asociativa.- Se pueden asociar los reales de distintas formas y el resultado no se afectara. Ejemplo: Al igual que

Suma y multiplicación

-

Suma con respecto a la multiplicación.- El factor se distribuye a cada sumando. Ejemplo:

Funciones Conceptos: Función: Es una relación entre dos variables, de forma que para cada valor en x haya un solo valor de y. Dominio: Son los valores para los cuales las funciones están definidas. Rango: Son los valores para los cuales cumple la función en y.

Ejemplos de gráficos de funciones: x

Ilustración 1 Ejemplo 1 de funciones

[ ⁄ [ ⁄ Cortes(

] ] ,1)

Ilustración 2 Ejemplo 2 de funciones

[ ⁄ [ ⁄

] ]

Cortes(0,0) ‖ ‖

Ilustración 3 Ejemplo 3 de funciones

[ ⁄ [ ⁄

] ]

No hay cortes tanto en x como y. √

Ilustración 4Ejemplo 4 de funciones

[ ⁄ [ ⁄

] ]

Ilustración 5 Ejemplo 5 de funciones

[ ⁄ [ ⁄

No hay cortes tanto en x como y.

[ ⁄ ] [ ⁄ ] Cortes (1,no hay corte) Tan(x)

[ ⁄ [ ⁄

]

Cortes (0,0)

ln(x)

Ilustración 7 Ejemplo 7 de funciones

]

Ilustración 6 Ejemplo 6 de funciones

] ]

Cortes (0,0)

Sen(x)

Cos(x)

Ilustración 8 Ejemplo 8 de funciones

[ ⁄ [ ⁄

]

[ ⁄ ]

Cortes (0,0) Cot(x)

Ilustración 9 Ejemplo 9 de funciones

[ ⁄

] ]

Cortes (0,0) Sec(x)

Ilustración 10 Ejemplo 10 de funciones

[ ⁄

Ilustración 11 Ejemplo 11 de funciones

[ ⁄ [ ⁄

⁄ ]

] ]

[ ⁄ ] Cortes (0,0)

Cortes (0,0)

Csc(x)

⟦ ⟧

Ilustración 13 Ejemplo 13 de funciones

[ ⁄ [ ⁄ Cortes (0,0)

] ]

] ]

Cortes (0,0) 3x-2

[ ⁄ [ ⁄

] ]

Cortes (0,0)

Ilustración 14 Ejemplo 14 de funciones

[ ⁄ [ ⁄

Ilustración 12 Ejemplo 12 de funciones

Ilustración 15 Ejemplo 15 de funciones

[ ⁄ [ ⁄ Cortes (0,0)

] ]

Ilustración 16 Ejemplo 16 de funciones

[ ⁄

Ilustración 17 Ejemplo 17 de funciones

]

[ ⁄

[ ⁄ [ ⁄

]

Ilustración 18 Ejemplo 18 de funciones

] ]

[ ⁄ [ ⁄

] ]

Cortes (0,0)

Cortes (0,0)

Cortes (0,0)

Ilustración 19 Ejemplo 19 de funciones

Ilustración 20 Ejemplo 20 de funciones

Ilustración 21 Ejemplo 21 de funciones

[ ⁄ [ ⁄ ⁄

] ⁄

Cortes (0,0)

]

[ ⁄ [ ⁄ Cortes (0,0)

[ ⁄

] ]

[ ⁄

⁄

] ⁄

Cortes (0,0)

Identidades trigonométricas: Son igualdades entre expresiones que contiene funciones trigonométricas y es válido para todos los valores del Angulo.

α + β = 90°

]

Triangulo de las identidades trigonométricas:

Senα =

Senβ =

Senα = Cosβ

Cosα =

Cosβ =

Cosα = Senβ

Tanα =

Tanβ =

Tanα = Cotβ

Cscα =

Cscβ =

Secα =

Secβ =

Cotα =

Cotβ =

Tabla de Intervalos: Tabla 1 Intervalos

Grafico

Parábola

Nombre Abierto

Rango

Par Ordenado (a, b)

Cerrada

[a, b]

Semi abierta

[a, b)

Semi cerrada

(a, b]

Infinito derecha

[a,∞)

Infinito abierta derecha Infinito a la izquierda Infinito abierto a la derecha

Conjunto [ ⁄ [ ⁄

]

[ ⁄ [ ⁄

]

] ] ]

(a,∞)

[ ⁄ [ ⁄

(-∞, a]

[ ⁄

]

(-∞,a)

[ ⁄

]

]

Concepto: Es el conjunto de puntos P(x, y) en el plano que son equidistantes a una recta fija L, llamada directriz, y a un punto fijo F, llamado foco. Ejemplo 1: La función

muestra la siguiente parábola:

Ilustración 22 Parábola de la función del ejemplo 1 Translacciones de la parábola. Las parabolas de las distintas ecuaciones pueden trasladarse a otro punto del plano con modificaciones en su respectiva parabola.Se pueden trasladar verticalmente, horizontalmete, expandirse, comprimirse u invertirla a la función. Ejemplos: Translaciones horizontales: Tomando en cuenta la funcion manera.

Podemos sumarle o restarle a la función. De la siguiente

Ilustración 23Traslación horizontal de la parábola ejemplo 1

Ilustración 24Translación horizontal de la parábola ejemplo 2

Translaciones verticales: Estas se las realizan sumándole o restándole dentro de la función. Por ejemplo:

Ilustración 25 Translación vertical de la parábola ejemplo 1

Ilustración 26 Translación vertical de la parábola ejemplo 2

Translaciones por expansión: Para expandir una parábola es necesario multiplicar a la función por un número mayor a 0 y menor a 1.

Ejemplo:

Ilustración 27 Grafico de la parábola expandida ejemplo 1

Translaciones por comprensión: Para contraer una parábola se debe multiplicar a la ecuación por un número mayor a 1.

Ejemplo:

Ilustración 28 Comprensión de la Parábola ejemplo 1

Inversión de una parábola: Al igual como se puede trasladar una parábola, esta también se puede invertir, para lo cual se realiza la negación de la ecuación.

Ejemplo:

Ilustración 29 Inversa de la parábola de la ilustración 1 Otros ejemplos:

g(x) =

g(x) =

Función por partes: Son dos o más funciones con comportamientos distintos según so dominio. Puede tener cualquier función. Ejemplo 1:

{ √

√

{ ⁄ { ⁄ Cortes(2,2)

} }

{ ⁄ { ⁄ Cortes(0,0)

} }

{ ⁄ { ⁄ Cortes(0,0)

} }

Nueva función

{ ⁄ { ⁄

} }

Ejemplo 2:

{ ⁄ { ⁄ Cortes:(0,0)

} }

{ ⁄ { ⁄

} }

Cortos:(1, no hay corte en y) Nueva función

{ ⁄ { ⁄

} }

Cortes:(no hay corte en x,4)

{ ⁄ { ⁄

} }

Ejemplo 3:

{ ⁄ { ⁄

} }

{ ⁄ { ⁄

Cortes:(2,1)

Cortes:(2,1) Nueva función

} }

{ ⁄ { ⁄

} }

Simetrías: Par Simetría con respecto al eje “y”

Ejemplos: Parábola

{ ⁄ { ⁄

}

Impar: Simetría con respecto al origen.

}

{ ⁄ { ⁄

} }

Ejemplos:

{ ⁄ { ⁄

} }

{ ⁄ { ⁄

} }

} }

{ ⁄ { ⁄

} }

Funciones asimétricas: Ejemplos: √

{ ⁄ { ⁄

Las funciones no tienen simetría con respecto al eje “x”, las ecuaciones sí.

Operaciones con funciones: Siempre que realizamos operaciones con funciones, la nueva función posee también un nuevo rango, dominio. Tabla 2 Operaciones con funciones

Suma Resta Multiplicación División

{ }(x)

Composición

Ejemplos: Suma: División: ( ) Resta:

√ Composición:

Multiplicación:

(√ √

)

Geometría analítica: Recta: Donde: m=pendiente= Esta relacionado con la tangente m= Pendiente: Es la tangente del ángulo de inclinación de la recta (ángulo que se forma con el eje x) misma unidad de medida. Angulo de inclinación -

Ángulos menores de 90 dan pendiente positiva. Ángulos mayores de 90 dan pendiente negativa. Cuando el signo menos está en un Angulo, la referencia de medición es contrario, se midió en sentido horario.

Ilustración 30 Pendiente y ángulo de inclinación

Casos especiales: 1) Toda recta horizontal tiene pendiente “0”. 2) Las rectas verticales tienen pendientes negativas.

Dos rectas: La

Es el ángulo de inclinación entre las dos rectas. Forman cuatro ángulos.

Casos especiales: La El numerador es 0 Dos rectas son paralelas si su pendiente son las mismas.

El denominador es 0. Para que dos rectas sean perpendiculares, la multiplicación de sus pendientes debe ser igual a -1.

Ejemplo: - Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B.

Ecuación de la recta

Donde:

Ilustración 31 Ejemplo 1 Recta

Casos especiales: La recta pasa por el origen siempre, es una recta vertical. -

La recta horizontal corta al eje y en b.

-

C Es una recta horizontal. Donde

Ejemplo: Puntos: A= (2,3) B= (-5,-1) C= (4,-9) 1.- Obtener el perímetro del triángulo ABC. 2.- Obtener la ecuación de cada lado. 3.- Obtener los ángulos de cada uno (ángulos internos).

y

2)

3)

Ilustración 32 Ejercicio 2 la recta

1) ‖̅̅̅̅ ‖ √ = 7.21 ̅̅̅̅ ‖ ‖ √ = 12.37 ̅̅̅̅ ‖ ‖ √ = 12.04 P= 7.21+12.37+12.04 P = 32.62 La circunferencia Concepto: Partes de una circunferencia:

(h, k) Son las coordenadas del centro. Los puntos importantes son: h, k, r. Formula ordinaria de la circunferencia es.

Ecuación general circunferencia

Ilustración 33 La circunferencia gráfica, puntos

Donde:

Ejemplos: Pasar a la forma ordinaria las siguientes ecuaciones: -

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( ) (

)

(

( )

( ) )

de

la

(

)

La parábola Concepto: Figura geométrica cuyos puntos equidistan de un punto llamado foco y mediatriz. Foco: es el punto fijo F Directriz: es la recta fija Parámetro: es la distancia del foco a la directriz Eje: es la recta perpendicular a la directriz la cual pasa por el foco Vértice: es el punto de intersección de la parábola con el eje sin el vértice no se puede dibujar a la parábola Radio: es un segmento que une un punto cualquiera de la parábola con el foco

Ilustración 34 La Parábola

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VERTICE EN EL ORIGEN:

Ejes de las y

Ejes de las x

ECUACION DE LA PARABOLA CUYO VERTICE NO ESTA EN EL ORIGEN:

Eje y

h)

Eje x

Ecuación general de la parábola:

La elipse Concepto: Es una figura cuya suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Tiene dos focos. Partes: Si la excentricidad es negativa, la elipse es alargada. Si la excentricidad es positiva, la elipse es angosta. Ecuación ordinaria:

De donde:

Ilustración 35 La Elipse

Cuerda: Una línea que une dos puntos de la elipse. Ecuación general de la elipse.

Excentricidad: Es la relación que hay entre c y a. siempre es menor que 1.

Ecuación de la elipse: √ (√

√ )

√

( √

)

√ √

(

)

√ ( √

)

[

]

Ejercicio: Completar.

La hipérbola

Ilustración 36 La hipérbola

Focos: so os pu os fijos F y F’ Eje focal: recta que pasa por los focos Eje secundario: es la mediatriz Centro: es el punto de intersección de los ejes Vértices: os pu os A y A’ so os pu os de intersección de la hipérbole con el eje pri cip mie r s que os pu os B y B’ se obtiene como intercepción del eje imaginario con la circunferencia que tiene por centro uno de los vértices y de radio c.

Ecuación ordinaria de la hipérbole:

Ecuación general de la hipérbole:

Ejemplo:

-212

Algebra Lineal Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. { Métodos de resolución. Los métodos para resolver son: -

Sustitución Igualación Reducción Gráfico Por determinantes

Ejemplo: Resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por el método de reducción: ( )

Remplazamos y en una de las dos ecuaciones y resolvemos:

De donde obtenemos el punto de corte entre las dos rectas ( el siguiente gráfico.

), como se puede observar en

Ilustración 37 Grafica de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas

Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas: { Desarrollo:

Remplazamos z en una de nuestras ecuaciones: (

)

Remplazamos x en una de nuestras ecuaciones: (

)

(

)

Resultado:

Para recordar

Sistemas consistentes: Son aquellos sistemas que tienen al menos una solución. Sistemas inconsistentes: Son aquellos que no tienen solución.

Método de Gauss para resolver sistema de ecuaciones Consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otra equivalente de forma que esta sea escalonada. Ejemplo: { Modo 1

Modo 2:

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

Sustitución hacia atrás:

(

(

)

)

(

)

Algebra Matricial Matriz escalonada Una matriz escalonada es una matriz cuyos elementos son matrices, los elementos de una matriz escalonada pueden ser de diferentes dimensiones y tamaños

[

]

Pivote: [

]

Sistemas homogéneos: Todas las ecuaciones están igualadas a cero. Y tiene dos posibles respuestas: [

]

1) Solución trivial. 2) Infinito número de soluciones. Matriz escalonada reducida La Matriz escalonada es aquella en la cual cada fila tiene un solo 1 distinto de 0, además de que cada fila tiene un cero más a la izquierda del número que se encuentra en esa fila, que la de la anterior

[

]

Transpuesta de una matriz

[

]

[

]

[

]

[

]

Propiedades 1) 2) 3) 4)

Suma y resta de matrices Pasos: 1) Observar que las dos matrices tengan las mismas dimensiones 2) Sumo o resto los elementos en las mismas posiciones en ambas matrices 3) El resultado será de las mismas dimensiones Ejemplo: [

]

[ Propiedades: 1) 2) 3) 4) 5) Multiplicación de matrices: Tipos: 1) 2) 3) 4)

Escalar por una matriz Producto (Producto escalar) Producto vectorial Multiplicación de matrices

[

]

]

[

]

Escalar por una matriz Ejemplo: [

Escalar = 2 [

]

]

Producto punto Es el producto entre dos vectores, Sea

A una matriz cualquiera y B un escalar cualquiera el producto

entre la matriz A y el escalar

B da como resultado una nueva matriz llamada que se obtiene multiplicando cada elemento por el escalar B.

{

Sean

}

{

, la cual es la matriz

} dos vectores entonces el producto escalar por

esta dado

así:

Tipos de vectores Vector fila { }

Vector columna

Ejemplos: { }

{

}

(

)

Multiplicación de matrices Pasos para multiplicar matrices 1) Observar las dimensiones de las matrices

{

}

Dimensiones de las matrices Serán las dimensiones la matriz resultante Ejemplos:

Si la matriz

[

] y la matriz

[

Las dimensiones de A y B son:

]

y

Las dimensiones de la matriz resultante serán:

Ejemplos: 1) [

]

[

]

)

[

]

2) [

]

[

]

[

]

3) [

]

[

[

] ]

Formas de escribir un sistema de ecuaciones como un sistema de matrices

{

1 Forma [

][ ]

2 Forma [

]

3 Forma [

4 Forma

]

[

[

]

]

[

]

][

]

[

]

[ ]

[

]

[ ]

]

[

]

Ejemplo: Ecuaciones: {

1 Forma [

4 Forma

[ ]

[ ]

[

Determinantes

Solo para matrices cuadradas Ejemplos: [

]= 1(-5) - 4 (-3)= -5+12= 7

[

[

]= -1(5) - 2(-1)= -5+2= -3

]= 4 x 2 - 5 x 0= 8 - 0= 8

Solo para matrices de 3x3 A

[

]

A [

]

A

Otra forma de calcular determinantes de una matriz: Tomo la primera columna de la matriz original y de la matriz de cofactores y realizo el producto punto, ese resultado será el determinante de la matriz. Ejemplo: [

]

[

]

Matrices inversas Se puede invertir una matriz siempre y cuando sea una matriz cuadrada y este sea consistente.

Su determinante sea diferente de cero “0”.

Donde

es la matriz inversa.

Métodos: Se puede invertir las matrices de dos formas: 1) Método de gauss 2) Por el método científico

Método de Gauss: Ejemplos: 1) Invertir la siguiente matriz por el método de gauss

[

] ⁄

[

] ⁄

[

] ⁄ ⁄

[

⁄

⁄

⁄

⁄

]

⁄ ⁄ [

[

⁄

⁄ ⁄

⁄ ⁄

] ⁄

⁄

]

[

]

⁄

⁄

⁄ ⁄

[

⁄

Respuesta

⁄

]

2) Invertir la siguiente matriz por el método de gauss

[

]

]

[

]

[

]

[

]

[

] Respuesta

3) Invertir la siguiente matriz por el método de gauss [

]

[

]

[

[

[

] La matriz no es invertible

]

Método científico: Anteriormente haber calculado la determinante de la matriz Pasos: 1) 2) 3) 4)

Obtener la matriz de menores Obtener la matriz de cofactores Obtener la matriz adjunta Obtener la inversa de la matriz [

A) Invertir la siguiente matriz por el método científico:

[

]

]

1) Matriz de menores [

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

] [

2) Matriz de Cofactores

]

[

]

[

]

3) Matriz adjunta

4) Matriz inversa

[

[

]

] [

B) Invertir la siguiente matriz por el método científico:

]

Determinante

[

]

1) Matriz de menores

|

| = 14-54=-40

|

| = 30 - 16 = -14

|

| = 35 - 72=-37

|

| = 0 -36= -36

|

| = 21 -48 = -27

|

| = 27 – 30= -3

|

| = 27 – 30= -3

|

| =6–0=6

|

| = 0 - 12= -12 [

]

2) Matriz de cofactores [

]

3) Matriz Adjunta

[

]

4) Matriz inversa

[

C) Invertir la siguiente matriz por el método científico:

Determinante

[

]

]

[

]

5) Matriz de menores

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

[

]

Mm=[

]

[

]

[

]

6) Matriz de cofactores

7) Matriz Adjunta

8) Matriz inversa

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Limites

Anexos: