MACROECONOMÍA UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

MACROECONOMÍA UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

Matthias Doepke Universidad de Chicago

Andreas Lehnert Junta de Gobernadores del Sistema de la Reserva Federal

Andrew W. Sellgren

Universidad George Mason

www.licecon.wix.com/fceunc Lic en Economía - FCE - UNC Traducción no oficial. Primera versión: Julio de 2013, FCE, UNC. MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 2

Contenido

Preliminares …………………………………………………………………………….…… 5 Esfuerzo Laboral, Producción y Consumo …………………………………………….….. 9 El Comportamiento de los Hogares en el Mercado de Producto y de Crédito …….…… 14 La Demanda de Dinero ………………………………………………………….………… 22 El Modelo de Vaciado de Mercado ………………………………………………..………. 25 El Mercado Laboral ………...……………………………………………….….………….. 31 Inflación …………………………………………………………………………….………. 36 Ciclos Económicos ………………………………………………………………….……… 45 Crecimiento Económico …………………………………………………………………… 53 El Efecto del Gasto Público ………………………………………………….…………….. 64 El Efecto de los Impuestos …………………………………………………….…………... 77 El Camino Óptimo de la Deuda del Estado …………………………………….………… 91 Política Fiscal y Monetaria ……………………………………………………………….. 104 Política Monetaria Óptima ……………………………………………………………….. 114

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Capítulo 1

Preliminares Este capítulo presenta las tasas de interés y tasas de crecimiento. Los dos temas están estrechamente relacionados, así que los tratamos juntos. Los conceptos discutidos aquí no están en Barro, pero ayudan a a entender los gráficos y estadísticas que utiliza a lo largo de su libro.

1.1 Interés compuesto Comenzamos con algunos términos comunes y cálculos del reino de las inversiones de renta fija. El monto de la inversión que se llama principal. La "renta fija" de las inversiones se llama interés. El interés por unidad de capital por unidad de tiempo se denomina tasa de interés. Por lo general, las tasas de interés están expresadas en dólares por año por cada dólar de principal. Estas unidades se puede escribir: $/(y $). Las unidades de dólar se cancelan, por lo que este tipo de interés cuenta con unidades por año. Del mismo modo, si la tasa de interés son las manzanas por día por manzana prestada, las unidades de manzanas cancelarán, y las unidades de la tasa de interés serán por día. En general, las unidades de un tipo de interés son por unidad de tiempo. Cuando la unidad de tiempo es de un año, se dice que un tipo de interés es una tasa de interés anual. Si la unidad de tiempo no se menciona, entonces será casi siempre una tasa de interés anual. Las tasas de interés que se citan en alguna unidad de tiempo específico se pueden convertir en cualquier otra unidad de tiempo a través de una transformación lineal simple. Por ejemplo, una tasa de interés diaria de x% corresponde a una tasa de interés anual de (365) (x) % (véase el ejercicio 1.1 para un ejemplo.) Utilizamos P para el principal de una inversión de renta fija y R para la tasa de interés anual. En el interés simple intereses por el monto del principal únicamente. En este caso, después de n años, el valor de la inversión será: (1.1)

Vs (n) = RPn + P

Por ejemplo, supongamos que usted invierte $ 5.000 a una tasa de interés simple anual del 4,5%. Después de dos años el valor de su inversión será: Vs (2) = (0.045) ($ 5000) (2) + $ 5000 = $ 5, 450 Es muy común que los intereses se “agraven” cada año. En este caso, al final de cada año, el interés de ese año se añadirá al principal, por lo que la inversión va a ganar intereses sobre los intereses. El primer año será como interés simple, ya que ninguno de los intereses se devengó aún. En consecuencia, el valor después del primer año será: Va (1) = RP + P = (1 + R) P Después del segundo año, el valor será: Va (2) = RVa (1) + Va (1) = R (1 + R) P + (1 + R) P = (1 + R)2 P: Del mismo modo, después de n años, el valor será: (1.2)

Va (n) = (1 + R)n P

Por supuesto, esta fórmula sólo funciona con números enteros de un año. Para los números no enteros, se deberá redondear, calcule Va(n), y el uso que en la fórmula (1.1) de interés simple para la fracción del año anterior. (Ver el ejercicio 1.6 para un ejemplo.) Vamos a volver a nuestro ejemplo anterior. Una vez más, usted invierte $5000 en un interés del 4,5% anual, pero esta vez con interés compuesto anual. Después de dos años el valor de su inversión será: Va (2) = (1 + 0,045)2 ($5000) = $ 5460,13

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(Aquí y en todo el capítulo, los montos en dólares se han redondeado al céntimo más próximo.) Observe que la inversión vale menos bajo interés simple de bajo interés compuesto, ya que bajo interés compuesto se gana alrededor de $ 10 de intereses sobre los intereses del primer año. El razonamiento anterior para la capitalización anual se aplica a capitalización frecuentemente. El único problema es que la tasa de interés necesita escribirse en términos del mismo intervalo de tiempo que la capitalización de intereses. Si R es una tasa de interés anual, y el interés es compuesto t veces al año, entonces el valor de una inversión después de n años será: 𝑅 𝑡𝑛 𝑉𝑡 (𝑛) = (1 + ) 𝑃 𝑡 Volvamos a nuestro ejemplo, esta vez suponiendo que los que un interés compuesto diario. Después de dos años, el valor será: 𝑉365 (2) = (1 +

0.045 365.2 ($5000) = $5470.84 ) 365

A medida que agravará cada vez más frecuentemente, se llega a la expresión de continua composición: 𝑅 𝑡𝑛 𝑉𝑐 (𝑛) = lim (1 + ) 𝑃 𝑡→∞ 𝑡 Podemos hacer esto mucho más manejables mediante el hecho de que: 1 𝑥 𝑒 = lim (1 + ) 𝑥→∞ 𝑥 donde e es la constante de Euler. Esto nos da la siguiente fórmula para el descuento continuo: 𝑅𝑛

𝑅 𝑡𝑛 1 (𝑡/𝑅) 𝑉𝑐 (𝑛) = lim (1 + ) 𝑃 = [ lim (1 + ) ] 𝑡→∞ (𝑡/𝑅)→∞ 𝑡 (𝑡/𝑅)

𝑃 = 𝑒 𝑅𝑛 𝑃

Volvamos a nuestro ejemplo una vez más, esta vez asumiendo capitalización continua. Después de dos años, el valor de la inversión será: Vc (2) = e (0.045) (2) ($ 5000) = $ 5470,87 Una vez más, observe cómo a través de estos ejemplos, el valor de la inversión es mayor cuanto más compuesto es el interés. Los resultados de capitalización continua dan valores mayores, pero los rendimientos de la composición más frecuente caen con bastante rapidez. Por ejemplo, el valor es casi el mismo bajo tasa de descuento diaria que continua.

1.2 Tasas de crecimiento Los economistas se han interesado en las tasas de crecimiento de las variables económicas. Usted puede leer, "El producto interno bruto creció a una tasa de 2,3% anual en el trimestre", o "La inflación es del 4%" o "La población mundial está creciendo un 20% cada década." Cada una de estas declaraciones con una tasa de crecimiento. Una tasa de interés es la tasa de crecimiento del valor de un activo, y toda la terminología de la y las fórmulas de la sección anterior se aplican a las tasas de crecimiento en general. Por ejemplo, podemos calcular tasas de crecimiento anual simples y tasas de crecimiento anual que se ven capitalizadas anualmente o de forma continua. Tenga en cuenta los siguientes valores para el Producto Interno Bruto (PIB) de un hipotético país: Año

PIB

1991

$100.000.000

1992

$130.000.000

1993

$135.000.000

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La tasa de crecimiento del PIB es sólo el tipo de interés que el PIB habría tenido que ganar si se tratara de una inversión de renta fija. Por ejemplo, la tasa simple de crecimiento del PIB entre 1992 y 1993 está dado por R en la Ecuación (1.1). El PIB comienza como P, y termina como Vs (n), siendo n un año. Conectando todos los números, se obtiene: $135K = (R)($130K)(1) + $130K; de modo que: R =

$135K − 1 ≈ 1.03846154 − 1 = 3,846154% $130K

Como otro ejemplo, para calcular la tasa anual de crecimiento del PIB, capitalizado anualmente, entre 1991 y 1993, se utiliza la ecuación (1.2). El PIB comienza como P, termina en Va (n), y n es de dos años. Esto nos da: $ 135K = (1 + R) 2 ($ 100K), de modo que: 𝑅 = (

$135𝐾 0.5 ) − 1 ≈ 1.16189500 − 1 = 16,189500% $ 100𝐾

Como último ejemplo, haremos el mismo cálculo, pero utilizando la capitalización continua. Resolveremos la ecuación (1.3) para R. El PIB comienza como P, termina como Vc (n), y n es de dos años. $ 135K = E 2𝑅 ($ 100K), de modo que: 𝑅 = [ln ($ 135K) − ln ($ 100K)](0,5) ≈ 0,15005230 15 = 15,005230% Generalmente, los economistas prefieren utilizar la capitalización continua, por dos razones. En primer lugar, bajo la capitalización continua, el cálculo de la tasa de crecimiento entre dos valores de una serie requiere nada más que tomar la diferencia de sus logaritmos naturales, como se hizo anteriormente. Esta propiedad es útil para graficar series. Por ejemplo, considere algunas series que se dada por V(n) = V0e0,08n, que se representa en la Figura 1.1. Por las ecuaciones anteriores, se sabe esta serie que crece a una tasa de 8% continua. La figura 1.2 representa el logaritmo natural de la misma serie, es decir, ln [V(n)] = ln (V0) + 0,08 n. A partir de la ecuación, se puede ver que esta nueva serie es lineal en n, y la pendiente (0,08) da la tasa de crecimiento. Barro siempre etiqueta el eje vertical de un gráfico con la "escala proporcional", ha graficado el logaritmo natural de la serie subyacente. Para ver un ejemplo, consulte la Figura de Barro 1.1. La segunda razón por la que los economistas prefieren las tasas continuas de crecimiento es que tienen la siguiente propiedad deseable: si usted calcula las tasas de crecimiento continuas año tras año de una serie y luego toma el promedio de los precios, el resultado es igual a la tasa de crecimiento continuo en el intervalo entero. Por ejemplo, considere las cifras del PIB hipotéticos de arriba: $ 100K, $ 130K, y $ 135K. La tasa de crecimiento continuo entre los dos primeros es: ln ($ 130K) - ln ($ 100K). La tasa de crecimiento continuo entre los dos segundos es: ln ($ 135K) - ln ($ 130K). El promedio de estos dos es: [ln ($ 135K) − ln ($ 130K)] + [ln ($ 130K) − ln ($ 100K)] 2 Los dos términos ln ($ 130K) se cancelan, dejando como resultado la fórmula para el crecimiento continuo de tipo de cambio entre el primer y el tercer lugar, como se dedujo anteriormente.

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Si realizamos el mismo ejercicio con crecimiento simple o crecimiento compuesto anual, vamos a encontrar que el promedio de las tasas de crecimiento individuales no será igual a la tasa total de crecimiento. Por ejemplo, si el PIB crece un 8% este año y un 4% el próximo año, ambos calculados con capitalización anual, la tasa de crecimiento de dos años no será del 6% (Usted debe comprobar que en realidad será 5,98%.). Por otro lado, si el 8% y el 4% se calcularon utilizando capitalización continua, entonces la tasa de crecimiento continuo a lo largo de la período de dos años sería de 6%.

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Capítulo 2

Esfuerzo Laboral, Producción, y Consumo Robinson Crusoe vive solo en una isla, por lo que es una economía en sí mismo. Tiene preferencias sobre el consumo y el ocio, y puede producir bienes de consumo mediante el uso de trabajo y el capital. Examinaremos primero la producción. Luego, nos dirigiremos a las preferencias. Poniendo estas dos piezas juntas, obtenemos las decisiones óptimas de Crusoe en cuanto a trabajo, ocio y consumo.

2.1 Las Posibilidades de Producción de Robinson Crusoe Crusoe utiliza los factores de producción con el fin de producir y. Podemos pensar este producto como cocos. Aquí consideramos al capital k y el trabajo l. El capital podrían ser cocoteros, y el trabajo la cantidad de tiempo que trabaja Crusoe, medido como una fracción de un día. ¿Cuánto produce Crusoe con determinados recursos? depende del tipo de tecnología A que emplea. Formalizamos este proceso de producción a través de un la función de producción. A menudo simplificamos nuestros problemas suponiendo que la función de producción tiene alguna forma funcional particular. Como un primer paso, a menudo asumimos que puede ser escrita: y= A.f(k,l), para alguna función f (·). Esto significa que a medida que la tecnología A aumenta, Crusoe puede obtener más producto de los factores dados. Es razonable requerir que la función f (·) sea creciente en cada argumento. Esto implica que el aumento del factor k o l aumentará la producción. Otra suposición común es que la producción es cero si cualquier entrada es cero: f (0, l) = 0 y f (k, 0) = 0, para todo k y l.

Una forma funcional que tiene estas propiedades es la función Cobb-Douglas, por ejemplo: y= A k1-α lα, para algún α entre cero y uno. Esta función en particular exhibe rendimientos constantes a escala, puesto (1 -α) + (α) = 1. La Figura 2.1 es una representación tridimensional de esta función para valores particulares de A y α.

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No vamos a tratar con el capital k hasta el Capítulo 9, así que por ahora se supone que el capital es fijo, por ejemplo, en k = 1. Esto simplifica la función de producción. Con un ligero abuso de notación, redefinimos f (·) y escribimos la producción como y = f (l). Así es como Barro lo utiliza en su Capítulo 2. Si la función de producción original era Cobb-Douglas, y= A k1-α lα, entonces bajo el supuesto de que k = 1, la función de producción es: y= A lα. La gráfica de esta curva es una rebanada a través de la superficie representada en la figura 2.1. Se parece a la figura de Barro 2.1. Como usted sabe, el producto marginal de un factor de producción (por ejemplo, el trabajo l) es la producción adicional, o "producto", que resulta del aumento de la entrada de ese factor. Formalmente, el producto marginal de un factor es la derivada de la función de producción con respecto a ese factor. Por ejemplo, el producto marginal del trabajo es: dy/dl = f ’ (l). El producto marginal es la derivada de la función de producción, y el derivado da la pendiente. Podemos leer al producto marginal como la pendiente de la función de producción, como lo hace Barro en la Figura 2.1. En el caso particular en que la función de producción es Cobb-Douglas (y el capital es fijo), y= A lα, por lo que el producto marginal del trabajo es: dy/dl = Aαlα-1. Este resultado es siempre positivo, ya que se requiere que disminuya a medida que aumenta l. En consecuencia, esta función de producción exhibe un producto marginal decreciente: la primera unidad de trabajo es más productivo que la décima unidad de trabajo. La representación gráfica de esta ecuación producto marginal nos da algo así como Figura 2.2 de Barro. Barro habla de mejoras en la tecnología y sostiene que tanto la función de producción como el producto marginal cambian como resultado de esta mejora. Los efectos de este cambio en tecnología son más claros cuando examinamos una función de producción en particular. Por ejemplo, consideramos que nuestra función de producción: y= A lα. La mejora en la tecnología significa que A sube. En consecuencia, cualquiera que sea la producción, se somete al mismo porcentaje de aumento como el incremento en A. Por ejemplo, si A se duplica, entonces la salida en cada l será el doble lo que solía ser. En particular, cuando l es cero, la salida es cero al igual que antes, ya que dos veces cero sigue siendo cero. El resultado es que la función de producción sufre un tipo de alza-rotación, pivotando sobre el origen anclado, l=0. Eso es precisamente lo que representa Barro en la Figura 2.3. Podemos examinar el producto marginal también. Bajo la función particular que estamos utilizando, el producto marginal del trabajo (PMgL) es: dy/dl = Aαlα-1. Por consiguiente, el producto marginal de cada l experimenta el mismo cambio porcentual que A. Dado que la PMgL es mayor a niveles bajos de L, la curva de producto marginal se desplaza hacia más arriba a niveles dados de l. Refiérase a la Figura 2.4 de Barro.

2.2 Las Preferencias de Crusoe Crusoe se preocupa por su consumo c y su ocio. Ya que estamos midiendo al trabajo l como la fracción del día que trabaja Crusoe, el resto es ocio. En concreto, el ocio es 1-l. Representamos a sus preferencias con una función de utilidad u (c, l). Tenga en cuenta que el segundo argumento no es un bien “bueno”, ya que Crusoe no disfruta trabajando. En consecuencia, podría haber sido menos confuso si Barro hubiera escrito la utilidad como v (c, 1-l), por alguna función de utilidad v (·). Suponemos que las preferencias de Crusoe satisfacen las propiedades estándar: aumentan con cada bien “bueno”, son convexas, etc. A menudo se simplificará el análisis suponiendo una forma funcional particular para las preferencias de Crusoe. Por ejemplo, podríamos tener: u(c,l)= ln(c) + ln(1-l). Con una función en mano, podemos trazar curvas de indiferencia. Para ello, hemos creado u(c,l) a un número fijo u̅, y resolvemos para c en función de l. Bajo estas preferencias, se obtiene: 𝑐=

𝑒 𝑢̅ 1−𝑙

A medida que cambiamos u̅, obtenemos diferentes curvas de indiferencia, y el conjunto de éstas se ven como en la Figura 2.6 de Barro. Debe notarse algo extraño, puesto que están aumentando a medida que nos movemos hacia la derecha. Esto se debe a que estamos graficando un bien "mal" (el trabajo l) en el eje horizontal. Si graficáramos ocio (1-l) en su lugar, entonces obtendremos las curvas de indiferencia que se parecen a lo que vio en sus cursos de microeconomía. MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 10

2.3 Las Elecciones de Crusoe Cuando ponemos las preferencias y la tecnología en conjunto, tenemos opciones óptimas de Crusoe de trabajo l, ocio l-l, y consumo c. Formalmente, el problema de Crusoe es:

Hay dos elementos de la ecuación (2.1). En primer lugar, en el marco del max, indicamos las variables que Crusoe tiene que elegir, en este caso, se elige c y l. En segundo lugar, después de la palabra "max" ponemos el maximando, que es lo que Crusoe está tratando de maximizar, en este caso, él se preocupa por su utilidad. La ecuación (2.2) dice que Crusoe no puede consumir más de lo que produce. Podemos entonces sustituir el símbolo "≤" por "=". Supongamos Crusoe elige c y l tal que c < y. Esto no puede ser óptimo, ya que podría aumentar el maximando un poco si aumenta c, ya que u (c, l) es creciente en c. En pocas palabras: nunca será óptimo para Crusoe desperdiciar parte de su producción, así que sabemos que c = y. Por último, la ecuación (2.3) codifica simplemente la tecnología de producción que está disponible para Crusoe. Con todo esto en mente, podemos simplificar la forma en que escribimos el problema de Crusoe de la siguiente manera:

Aquí, estamos haciendo uso del hecho de que c = y, y sustituimos la segunda restricción en el primero. Hay dos formas para resolver tal problema. La primera es sustituir las restricciones en el objetivo. El segundo es el uso de los multiplicadores de Lagrange. Sustituyendo Restricciones en la Función Objetivo En el problema de maximización que estamos considerando, tenemos c en el objetivo, pero sabemos que c = f(l), por lo que podemos escribir el problema max como:

Ya no tenemos c en el maximando o en las limitaciones, por lo que c ya no es una variable de elección. En este punto, tenemos un problema de maximización de una función con respecto a una variable, y no tenemos restricciones restantes. Para obtener las opciones óptimas, tomamos la derivada con respecto a cada variable de elección, en este caso sólo l, y hacemos la derivada igual a cero. A la ecuación resultante la llamamos condición de primer orden, "FOC". En nuestro ejemplo:

Utilizamos l* para denotar el l que satisfaga esta ecuación (elección óptima de trabajo de Crusoe). Podemos tapar esa opción de nuevo en c = f(l) para obtener el consumo óptimo de Crusoe: c* = f(l*). Obviamente, su decisión óptima de ocio será de 1 – l*. Bajo las formas funcionales particulares de utilidad y consumo que hemos estado considerando, podemos obtener respuestas explícitas de las decisiones óptimas de Crusoe. Recordemos, que hemos estado usando u(c,l) = ln (c) + ln (1 - l) y y= f(l) = Alα. Cuando conectamos estas funciones en la condición de primer orden en la ecuación (FOC l), se obtiene:

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El primer término entre paréntesis es u1(c, l) = 1/c, utilizando el hecho de que c = Alα. El segundo término entre paréntesis es de la regla de la cadena, es el término f ’(l). El término final es u2 (c, l). Podemos cancelar los términos de la ecuación (2.4) y reorganizar para obtener:

Hacemos una multiplicación cruzada y resolvemos los rendimientos:

Cuando nos conectamos este valor de l* en c* = f(l*), se obtiene:

Estas son elecciones óptimas de Crusoe de trabajo y consumo. Usando Multiplicadores de Lagrange (Ver del original)

2.4 Efectos renta y sustitución Barro utiliza gráficos para examinar cómo cambian las decisiones óptimas de consumo y de trabajo de Crusoe cuando su función de producción se desplaza y gira. Él llama a los cambios en las elecciones de Crusoe "efectos riqueza y sustitución", que recuerda vagamente a su estudio de los efectos renta y sustitución de microeconomía. En ese contexto, considera los cambios y las rotaciones de las rectas presupuestarias lineales. La "recta presupuestaria" de Crusoe es su función de producción que no es lineal. Esta diferencia resulta de hacer el cálculo matemático poco práctico de los efectos renta y sustitución. Por otra parte, los "efectos riqueza" que Barro considera violan nuestra hipótesis de que la producción es cero cuando el trabajo l es cero. Tal efecto riqueza es representado como un desplazamiento hacia arriba de la función de producción en la Figura 2.8 de Barro. Esto corresponde a la adición de una constante de la función de producción de Crusoe, lo que significa que la producción no es cero cuando l lo es. La Figura 2.10 de Barro representa un pivote de la producción respecto al origen. Este tipo de cambio en la producción es mucho más común en la macroeconomía, ya que es la forma en que suelen representar mejoras tecnológicas. Si la función de producción de Crusoe es y = Alα, entonces un aumento de A se verá exactamente así. Dada una forma funcional específica para u (·), es sencillo calcular cómo cambian las elecciones de consumo c y trabajo l de Crusoe para cualquier cambio dado en A. Por ejemplo, supongamos que u (c, l) = ln (c) + ln (1-l) como antes. Arriba hemos demostrado que:

Determinar cómo c* cambia cuando A cambia se llama estática comparativa. El ejercicio típico es tomar la ecuación que da la opción óptima y diferenciarlo para la variable que cambia. En este caso, tenemos una ecuación para la elección óptima de Crusoe de c*, y estamos interesados en cómo esta elección va a cambiar cuando A cambia. Eso nos da:

La derivada de la ecuación (2.7) es positiva, por lo que la elección óptima de consumo de Crusoe aumentará cuando A aumenta.

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La estática comparativa para una elección óptima de trabajo l* de Crusoe es aún más fácil. Arriba hemos obtenido:

No hay una A en el lado derecho, de modo que cuando se toma la derivada parcial respecto a A, el lado derecho es una constante. En consecuencia, dl*/dA = 0, es decir, la elección de Robinson Crusoe de esfuerzo laboral no depende de su tecnología. Esto es precisamente lo que representa Barro en su Figura 2.10. La intuición de este resultado es la siguiente. Cuando A aumenta, el producto marginal del trabajo aumenta, ya que la pendiente de la función de producción aumenta. Esto anima a Crusoe a trabajar más. Por otro lado, el aumento de A significa que para cualquier l Crusoe produce más, por lo que es más rico. Como resultado, Crusoe trata de consumir más de los bienes normales. En la medida en que el ocio 1-l es un bien normal, Crusoe decide trabajar menos. Bajo estas preferencias y esta función de producción, estos dos efectos se cancelan con precisión. En general, este no será el caso y la decisión de l* queda indeterminada.

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Capítulo 3

El Comportamiento de los Hogares en el Mercado del Producto y de Crédito En este capítulo pasamos del mundo en el cual Robinson Crusoe está solo en su isla a un mundo de muchos agentes idénticos que interactúan entre sí. Para empezar, consideremos un hogar representativo en particular. Cuando sumamos los comportamientos de muchos hogares, se obtiene la macroeconomía. Mientras que en el Capítulo 2 vimos las opciones de Crusoe entre el consumo y el ocio en un momento en el tiempo, aquí consideramos las opciones de consumo de los hogares en varios períodos, haciendo abstracción de las decisiones laborales de los hogares. La Sección 3.1 introduce la configuración básica de este capítulo. En la Sección 3.2 se trabaja un modelo en el que las familias viven por sólo dos períodos. Las familias viven indefinidamente en el modelo presentado en la Sección 3.3. Ambos modelos siguen al libro de Barro bastante de cerca, pero por supuesto con mayor detalle matemático. La principal diferencia es que Barro tiene hogares que deciden sobre el dinero, mientras que aquí no lo hacemos.

3.1 La Configuración General El hogar representativo se preocupa por el consumo ct en cada período. Esto se formaliza mediante una función de utilidad U(c1, c2, c3, …). Los economistas casi siempre simplifican los problemas intertemporales asumiendo que las preferencias son aditivamente separables. Estas preferencias son similares: U(c1, c2, c3, …) = u(c1) + βu(c2) + β2u(c3) + …. La función u(.) se llama utilidad del periodo. Satisface las propiedades estándar de funciones de utilidad. La variable β se llama factor de descuento. Es sólo un número, por ejemplo 0.95. El hecho de que sea menor que 1 significa que la familia se preocupa un poco más sobre el consumo actual de lo que se preocupa por el consumo futuro. La familia recibe un ingreso exógeno yt en cada período. Este ingreso es en términos de bienes de consumo. Decimos que es exógeno, ya que es independiente de todo lo que la familia hace. Piense en esto como ingresos legados de Dios o bienes que caen del cielo. En el momento t, la familia puede comprar o vender bienes de consumo ct a un precio de P por unidad. (Como en Barro, el nivel de precios P no cambia con el tiempo.) Por ejemplo, si la familia vende 4 unidades de bienes de consumo a otra persona, entonces el vendedor recibe $4P por esos bienes. El hogar es capaz de ahorrar dinero mediante la compra de bonos que devengan intereses. Utilizamos bt para indicar el número de dólares en bonos que el hogar compra en el período t, para lo cual recabará el principal y los intereses en el período t+1. Si el hogar invierte $1 en este período, entonces el próximo período que recupera su $1 de capital más $R en intereses. Por lo tanto, si la familia compra bt bonos este período, entonces el próximo período, el principal más los intereses serán bt (1 + R). El hogar viene al mundo sin bonos, es decir, b0 = 0. Dado que cada $1 de inversión en bonos paga $R de interés, R es la tasa de interés simple de los bonos. Si los bonos pagan R al "próximo período", a continuación, si la tasa de interés es diaria, mensual, anual, etc, determina cuál es la longitud de un "período". Si el "período" es un año, entonces el tipo de interés r es una tasa anual. El hogar puede pedir prestado o prestar, es decir, la familia puede emitir o comprar bonos, lo que sea que la haga más feliz. Si bt es negativo, el hogar es un deudor neto. En el período t los recursos del hogar son sus ingresos yt y las obligaciones que lleva desde el último periodo, con intereses. El valor en dólares de estos recursos es el siguiente: En el período t el hogar asigna sus recursos para su consumo actual y la inversión en bonos que se llevará adelante en el próximo período. El costo en dólares de estos usos es: MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 14

Poniendo esto junto nos da la ecuación presupuestaria del período t de la unidad familiar: En una configuración general, tendríamos una ecuación presupuestaria como esta para cada período, y podrían ser arbitrariamente muchos períodos. Por ejemplo, si un período fuera un año, y la casa “vive” durante 40 años, entonces tendríamos cuarenta restricciones presupuestarias. Por otro lado, el período podría ser un día, y luego tendría muchas más restricciones presupuestarias.

3.2 Un Modelo de Dos Períodos Comenzamos esta sección con una discusión de las opciones de un hogar representativo. A continuación, ponemos un montón de estos hogares juntos y discutimos el equilibrio macroeconómico resultante. Las Elecciones de un Hogar Representativo En este modelo el hogar vive durante dos períodos de tiempo, t = 1, 2. En este caso, las preferencias del hogar se reducen a: Dado que la familia no va a estar para disfrutar de consumo en el período 3, sabemos que no va a ser óptimo para el hogar comprar bonos en el período 2, ya que quitarán de consumo c2 del periodo2 y proporcionará ingresos sólo en el período de 3, momento en el que el hogar ya no existirá. En consecuencia, b2 = 0. Eso deja sólo a b1 en este modelo. Las restricciones presupuestarias del hogar se simplifican también. En el período 1 la ecuación presupuestaria del hogar es: Y en el período t=2 es: El problema del hogar es elegir los consumos c1 y c2 y los bonos del primer período b1 a fin de maximizar la utilidad (3.1) sujeta a las ecuaciones de presupuesto (3.2) y (3.3). La familia tiene como dados el nivel de precios P y el tipo de interés R, tal como se ve. Escribimos el problema del hogar:

Se resuelve este problema utilizando el método de los multiplicadores de Lagrange. El Lagrangiano es: Dónde λ1 y λ2 son nuestros dos multiplicadores de Lagrange. Las condiciones de primer orden son:

(Una vez más, las estrellas o asteriscos indican que sólo las decisiones óptimas satisfacen estas condiciones de primer orden). Dejamos fuera las condiciones de primer orden con respecto a los multiplicadores de Lagrange λ1 y λ2, ya que sabemos que nos van a devolver las dos restricciones presupuestarias. Reescribiendo de las dos primeras FOC’s a conveniencia nos da: MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 15

Podemos enchufar esto en la condición de primer orden con respecto a b1 para obtener:

lo que podemos reescribir como:

La ecuación (3.7) se denomina ecuación de Euler (que se pronuncia: OIL-er) y relaciona la utilidad marginal del consumo en los dos períodos. Dada una forma funcional para u(.), podemos usar esta ecuación y las dos ecuaciones presupuestarias para resolver las elecciones del hogar c1*, c2*, y b1*. Es posible utilizar la ecuación de Euler para hacer deducciones acerca de estas opciones incluso sin saber la forma funcional particular de la función de utilidad período, pero este análisis es mucho más manejable cuando se le da la forma de u(.). Por consiguiente, asumimos u(ct) = ln (ct). Entonces u’(ct) = 1/ ct, y la ecuación (3.7) se convierte en:

Antes de resolver para c1*, c2* y b1*, vamos a pensar en esta ecuación. Recuerde, las preferencias son: u(c1) + β u(c2). Intuitivamente, si β sube, entonces la familia se preocupa más por el futuro que antes, así que esperamos que el hogar consuma más c2 y menos c1. Así lo demuestra gráficamente en la Figura 3.4 de Barro. Grandes β se corresponden con pendientes menores en las curvas de indiferencia de los hogares, que rotan hacia abajo y hacia la izquierda. En consecuencia, la elección de la familia de c2 subirá y la de c1 va a bajar, como se espera. Podemos mostrar el resultado matemáticamente también. Un aumento en β causa un aumento en el lado derecho de la ecuación de Euler (3.8), por lo que c2* sube en relación con c1*, como se espera. Ahora tenemos en cuenta los cambios en la parte del presupuesto. Supongamos que R aumenta. Entonces el costo de oportunidad del consumo c1 en el primer periodo aumenta, ya que la familia puede renunciar a c1 y ganar un mayor retorno de la inversión en bonos. Por el mismo razonamiento, el costo de oportunidad de c2 baja, ya que la familia debe renunciar menos c1 para obtener una determinada cantidad de c2. En consecuencia, si R aumenta, esperamos que la familia sustituya de c1 hacia c2. Consulte la Figura 3.4de Barro. Si R aumenta, entonces la línea de presupuesto gira en sentido horario, es decir, se hace más pronunciada. Esto indica que la familia decide por más c2 y menos c1 (sujeto a estar en cualquier curva de indiferencia dada), al igual que nuestra intuición sugiere. Matemáticamente, nos referimos una vez más a la ecuación de Euler. Si R aumenta, entonces el lado derecho es más grande, por lo que c*2 /c*1 sube, lo que vuelve a confirmar nuestra intuición. Dado u(ct) = ln(ct), podemos resolver las decisiones óptimas de los hogares. La ecuación de Euler y las ecuaciones (3.2) y (3.3) nos dan tres ecuaciones con tres incógnitas, c1*, c2*, y b1*. Las soluciones son:

Usted puede verificar esto si quiere. Si lo hace, no es más que un ejercicio de álgebra. MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 16

Si le decimos a la familia que la tasa de interés es R, la familia realiza su propia maximización para conseguir sus opciones de c1, c2 y b1, como antes. Podemos escribir estas elecciones como funciones de R, es decir, c1*(R), c2*(R), y b1*(R), y podemos preguntarnos qué pasa con estas elecciones ante cambios en la tasa de interés R. Una vez más, este ejercicio se llama "estática comparativa". Todo lo que hacemos es tomar la derivada de las opciones con respecto a R. Por ejemplo:

Así, c2* sube si el tipo de interés sube, como nuestra intuición sugiere. Equilibrio de mercado Hasta ahora hemos limitado la atención a un solo hogar. Una macroeconomía se compone de un número de estos hogares. En este modelo, que resulta ser trivial, ya que todas las casas son iguales, pero el ejercicio le dará la práctica para los ajustes más difíciles por venir. El ejercicio básico es cerrar nuestro modelo para tener la tasa de interés R que se determina de manera endógena. Recordemos, dijimos que los hogares pueden ser tanto prestamistas como prestatarios, en función de si b1 es positivo o negativo, respectivamente. Bueno, los únicos prestatarios y prestamistas en esta economía son los N hogares, y todos ellos son iguales. Si todos quieren pedir prestado, no habrá nadie dispuesto a prestar, y habrá un exceso de demanda de préstamos. Por otro lado, si todos quieren prestar, habrá un exceso de oferta de préstamos. Más formalmente, podemos escribir la demanda agregada de los bonos como: Nb1*. El equilibrio del mercado requiere:

Por supuesto, se puede ver que esto requiere que cada familia no preste ni se endeuda, ya que todas las casas son iguales. Ahora nos dirigimos a una definición formal de equilibrio. En general, un equilibrio competitivo es una solución para todas las variables de la economía, en la que: (i) todos los agentes económicos toman los precios como dados, (ii) con sujeción a los precios, todos los agentes económicos se comportan racionalmente, y (iii) todos los mercados se vacían. Cuando se le pide que defina un equilibrio competitivo de una economía específica, su tarea consiste en traducir estas tres condiciones en los detalles del problema. Para la economía que estamos considerando aquí, hay dos tipos de precios: el precio del consumo P y el precio de los préstamos R. Los actores de la economía son los N hogares. Hay dos mercados que se deben vaciar. En primer lugar, en el mercado de bienes, tenemos: En segundo lugar, el mercado de bonos se debe vaciar, como se indica en la ecuación (3.9) anterior. Con todo esto escrito, nos dirigimos ahora a la definición de un equilibrio competitivo para esta economía. Un equilibrio competitivo en este contexto es: un precio de consumo P*, un tipo de interés R*, y los valores de c1*, c2*, y b1*, de modo que:   

Tomando P* y R* como se indica, todas las N casas eligen c1*, c2*, y b1* según el problema de maximización dado en las ecuaciones (3.4) - (3.6); Teniendo en cuenta estas opciones de ct*, el mercado de bienes se equilibra en cada período, tal como se indica en la ecuación (3.10), y Teniendo en cuenta estas opciones de b1*, el mercado de bonos se vacía, como se indica en la ecuación (3.9).

Los economistas a menudo son algo pedantes con todos los detalles en sus definiciones de equilibrios competitivos, pero proporcionando el detalle hace que sea muy claro ver cómo funciona la economía. Pasamos ahora a calcular el equilibrio competitivo, comenzando por el mercado de crédito. Recordemos, podemos escribir b1* en función del tipo de interés R, ya que la decisión de préstamo de cada hogar depende del tipo de interés. Estamos interesados en encontrar la tasa de interés que equilibra el mercado de bonos, es decir, el R* de tal manera que b1*(R*) = 0. Obtenemos: MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 17

Haciendo cero el lado izquierdo y resolviendo para R*:

Después de un poco de álgebra nos queda:

Esta ecuación pone de manifiesto que la tasa de interés de equilibrio está determinada por los ingresos de los hogares en cada período (y1 e y2) y por la impaciencia de los hogares (β). Podemos realizar estática comparativa aquí al igual que en cualquier otro lugar. Por ejemplo:

por lo que aumenta el ingreso si, en el segundo período, R* también lo hace. Por el contrario, si los ingresos del segundo periodo se reducen, entonces R* también lo hace. Esto tiene sentido intuitivo. Si y2 cae, las familias tratan de invertir los ingresos del primer periodo en bonos con el fin de suavizar el consumo entre los dos períodos. En equilibrio, esto no puede suceder, ya que la tenencia de bonos netos debe ser cero, por lo que la tasa de interés de equilibrio debe caer con el fin de proporcionar un desincentivo a la inversión para contrarrestar precisamente el deseo de los hogares para suavizar el consumo. Usted puede trabajar a través de estáticas comparativas similares y la intuición para examinar cómo son los cambios de equilibrio de tasas de interés en respuesta a cambios en y1. (Véase el ejercicio 3.2.) Tome en cuenta que en este modelo y con estas preferencias, interesan sólo los ingresos relativos. Por ejemplo, si ambos y1 y y2 se contraen en un 50%, entonces y2 = y1 no cambia, por lo que la tasa de interés de equilibrio no cambia. Esto tiene implicaciones contrastables. Es decir, podemos probar la reacción temporal frente a una disminución permanente de ingresos. Por ejemplo, supongamos que hay un shock temporal en la economía de tal manera que y1 desciende en un 10% en la actualidad, pero y2 es invariable. La estática comparativa indica que la tasa de interés de equilibrio debe aumentar. Esto significa que los shocks negativos temporales al ingreso inducen una tasa de interés más alta. Supongamos ahora que el shock negativo es permanente. De esta manera, tanto y1 como y2 caen un 10%. Este modelo implica que R* no cambia. Esto significa que los shocks permanentes no afectan la tasa de interés. El otro precio que es parte del equilibrio competitivo es P*, el precio de una unidad de consumo. Resulta que el precio no es único, ya que no hay nada en nuestra economía que precise que P* lo sea. La variable P ni siquiera aparece en las ecuaciones de c1* y c2*. Aparece en la ecuación para b1*, pero se cae al imponer el hecho de que b1* = 0 en equilibrio; véase la ecuación (3.11). La intuición es que el aumento de P ha de contrarrestar sus efectos: aumenta el valor de los ingresos de un hogar, y eleva el precio de su consumo en la misma forma, por lo que aumentar P no tiene ningún efecto real. Puesto que P* no puede virar hacia abajo, cualquier número va a funcionar, y tenemos un número infinito de equilibrios competitivos. Esto quedará más claro en el Capítulo 5.

3.3 Un Modelo de Infinitos Períodos La versión del modelo en el cual las vidas de hogares representativos duran infinitos períodos es similar al modelo de dos períodos de la sección anterior. La utilidad del hogar es ahora:

En cada período t, la familia se enfrenta a una restricción presupuestaria:

MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 18

Dado que la familia vive para todo t = 1, 2; …, hay un número infinito de estas restricciones presupuestarias. La familia decide sobre ct y bt en cada período, por lo que hay un número infinito de variables de elección y un número infinito de condiciones de primer orden. Esto puede parecer desconcertante, pero no dejes que te intimide. Todo funciona bastante bien. Podemos escribir el problema de maximización en forma condensada de la siguiente manera:

El símbolo "∀" significa "para todo", por lo que la última parte de la línea de restricción se lee como "para todo t en el conjunto de los enteros positivos". Para hacer el Lagrangiano, en cada periodo de tiempo t, el hogar tiene una restricción presupuestaria que recibe un multiplicador de Lagrange λt. El único truco es que usamos la notación de sumatoria para manejar todas las restricciones:

Ahora estamos listos para obtener las condiciones de primer orden. Dado que hay un número infinito de ellas, no tenemos esperanza de escribir a todas una por una. En su lugar, simplemente escribimos las FOC’s para las variables del período t. La FOC para ct es muy fácil:

La condición de primer orden para bt es más difícil porque hay dos términos en la suma que tienen bt en ellos. Considere b2. Aparece en la restricción presupuestaria para t = 2 como bt, pero también aparece en la restricción presupuestaria t = 3 como bt-1. Esto conduce a la t+1 de los siguientes términos:

Una manipulación sencilla de esta ecuación conduce a:

Reescribiendo la ecuación (FOC ct) nos da:

Podemos rotar esta ecuación hacia delante un período (es decir, sustituir t con t+1) para obtener la versión para el próximo período:

Dividiendo la ecuación (3.14) a (3.15) se obtiene la ecuación:

Por último, multiplicamos ambos lados por β y utilizamos la ecuación (3.13) para deshacernos de los términos lambda en el lado derecho:

MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 19

Si compara la ecuación (3.16) a la ecuación (3.7), se dará cuenta de que las ecuaciones de Euler son las mismas en el modelo de dos períodos y el de infinitos períodos. Esto se debe a que las compensaciones intertemporales que enfrenta la familia son las mismas en los dos modelos. Al igual que en el modelo previo, podemos analizar los patrones de consumo utilizando la ecuación de Euler. Por ejemplo, si β= 1/(1+R), esto implica que el consumo es constante en el tiempo. Si la tasa de interés R es relativamente alta, entonces el lado derecho de la ecuación (3.16) será mayor que uno y el consumo aumentará con el tiempo. Valor Presente de una Restricción Presupuestaria Ahora nos dirigimos a una formulación ligeramente diferente del modelo con el hogar representativo de duración infinita. En lugar de forzar a la familia para equilibrar su presupuesto en cada periodo, ahora el hogar debe simplemente equilibrar el valor actual de todos los presupuestos. Se calcula el valor presente de todos los ingresos de la unidad familiar:

Esto nos da la cantidad de dólares que el hogar podría obtener en el periodo 1 si vendió los derechos de todos sus ingresos futuros. Por otro lado, el valor presente de todo el consumo de los hogares es:

Poniendo estos dos valores presentes juntos nos da única restricción presupuestaria actual valor de la unidad familiar. El problema de maximización del hogar es:

Nosotros usamos λ como multiplicador de la restricción, por lo que el Lagrangiano es:

La condición de primer orden con respecto a ct es:

Rotando esto adelante y dividiendo la ct FOC por la ct+1 FOC tendremos:

lo que se reduce a:

MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 20

por lo que tenemos la misma ecuación de Euler, una vez más. Resulta que el problema que enfrenta la familia de acuerdo con el valor actual de la restricción presupuestaria es equivalente a aquella en la que existe una restricción para cada período. Ocultas en la versión de valor actual se encuentran las tenencias de bonos. Podríamos deducir dichas participaciones observando la secuencia de los ingresos yt y escogido consumos ct*.

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Capítulo 4

La Demanda de Dinero Este capítulo trata de explicar una cruda realidad: los autores solían retirar $20 cuando iban al cajero automático, mientras que ahora tienden a retirar $300. Vamos a hacer un modelo para examinar esta cuestión. En nuestro modelo, el consumidor elige la frecuencia de ir al banco y cuánto dinero va a retirar una vez allí. Sea T la cantidad de tiempo (en fracciones de años) entre los viajes de un consumidor al banco para obtener dinero. Si T es de 1/3, entonces el consumidor va al banco cada 4 meses, o tres veces al año. Para T arbitrarias, el consumidor hace 1/ T viajes al banco en un año. Ir al banco es un dolor de cabeza. Se necesita tiempo y esfuerzo, y el banco puede cobrar por cada retiro. Nosotros acumulamos todos estos gastos en algún costo en dólares γ. Podríamos derivar γ por: (i) el cálculo de costo de oportunidad del tiempo, (ii) la multiplicación por la cantidad de tiempo necesario para ir al banco, y (iii) la adición de los cargos impuestos por el banco. El costo por año de los viajes de este consumo en el banco es sólo el número de viajes por su respectivo costo, por lo que los costos de las transacciones anuales del consumidor son los siguientes: (1/T)(γ). Si todos los precios se duplican, entonces estos costos se duplican, ya que tanto las comisiones bancarias como el costo de oportunidad del tiempo de los consumidores se dobla. En consecuencia, con el fin de obtener el impacto real sobre el consumo de estos costos anuales, tenemos que ajustar por el nivel de precios P. Aquí vemos que si los precios se duplican, entonces tanto P como γ se duplican, y sus efectos se anulan, por lo que los costes reales no cambian, como se requiere. Ahora ir al banco es costoso, pero el consumidor sigue haciéndolo porque necesita dinero para comprar cosas. Supongamos que nuestro consumidor gasta Pc dólares en consumo de cada año, donde este gasto está suavizado. (Esto le da a los consumidores c dólares reales de consumo de cada año). Con el fin de pagar por todo este consumo, el consumidor tiene suficiente dinero disponible en un momento dado para hacer las compras. Podemos calcular cuánto dinero gasta el consumidor entre las idas al banco. (Recordemos, T mide el tiempo entre los viajes, en fracciones de año.) Si T es 1, entonces el consumidor gasta Pc. Si T es 1/2, entonces el consumidor gasta (Pc)/2. En general, el consumidor gasta PcT dólares entre las idas al banco. Esa es la cantidad que el consumidor debe retirar en cada viaje. El consumidor puede optar por ir con menos frecuencia (T grande), pero sólo si el consumidor está dispuesto a retirar más en cada viaje. La Figura 4.1 de Barro proporciona una ilustración gráfica de cómo las tenencias de dinero de los consumidores evolucionan con el tiempo. Después de ir al banco, las tenencias de dinero de los consumidores disminuyen linealmente, por lo que las tenencias de dinero promedio de los consumidores son:

(Esto utiliza el hecho de que el área de un triángulo es la mitad de la base por la altura). Los saldos monetarios reales promedio del consumo son:

Tenga en cuenta que las tenencias de dinero promedio de los consumidores son cada vez más mientras mayor sea el tiempo entre las visitas del banco, es decir, cuanto más tiempo entre las visitas, más dinero tiene en promedio el consumidor. Debido a que hay costos de transacción involucrados en cada viaje al banco, podríamos preguntarnos por qué el consumidor no va una vez, retira un montón de dinero, y obtiene todo de una vez. Todo el dinero que el consumidor retira entre las idas al banco no genera intereses, pero el dinero que queda en el banco devenga intereses. Este interés previsto es el costo de oportunidad de mantener dinero. Si la tasa de interés nominal anual es R, entonces cada año el consumidor pierde

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dólares de interés. Nótese que el aumento promedio de las tenencias de dinero da como resultado una mayor cantidad de intereses no percibidos. Podemos afirmar esta cantidad de interés en dólares en términos reales:

Ahora estamos listos para poner todo esto junto. El consumidor elige T, el tiempo entre las visitas del banco. Hemos calculado el costo anual de visitas bancarias de los consumidores y el costo anual de los intereses no percibidos de las tenencias de dinero de los consumidores, tanto en términos nominales como reales. La adición de estas dos costas y nos da:

Esta ecuación se representa en la Figura 4.2 de Barro. Ahora usamos cálculo para obtener el comportamiento óptimo del consumidor. Es decir, queremos derivar costos minimizando la elección de tiempo del consumidor T entre las visitas al banco a retirar dinero. Estamos interesados en los costos mínimos, por lo que tomamos la condición de primer orden de la ecuación (4.1) con respecto a T:

Resolviendo para T*:

Con esta respuesta, ahora podemos escribir la expresión algebraica para las tenencias medias de dinero en términos reales 𝑚 ̅/𝑃, que Barro llama ϕ(R, c; γ/P)?. Las tenencias de dinero promedio del consumidor son:

Cuando sustituimos en nuestra expresión para T*, obtenemos:

Podemos hacer estática comparativa para examinar cómo estas tenencias de dinero se ven afectados por los cambios en los parámetros fundamentales. Vea los ejercicios para los ejemplos. Las soluciones a estos ejercicios proporcionan la respuesta a la pregunta planteada al principio de este capítulo: ¿Por qué los autores ahora retiran 300 dólares de los cajeros automáticos, mientras que solían retirar sólo $20? Pues bien, hoy gastan más dinero, el costo de oportunidad de su tiempo es mayor, los costos de transacción en los cajeros es mayor, y las tasas de interés son más bajas. Es de suponer que el consumidor que subyace a este modelo de demanda de dinero haga una elección de cuánto c consumir cada año. Ahora analizaremos brevemente si tiene sentido que el consumidor elija c y T por separado. Cuando un consumidor decide cuánto consumir c, considera el precio de los bienes que se compran. Los precios más altos por lo general implican que el consumidor opta por consumir menos. Ahora, el costo de un producto como peldaño hacia la caja registradora no son todos los costos para el consumidor de adquirir el bien. El consumidor podría tener que: gastar esfuerzo para llegar a la tienda, gastar tiempo valioso esperando en la cola, MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 23

o gastar tiempo y dinero para tener el dinero en efectivo para hacer la compra. Todas estas cosas se suman a los gastos que el consumidor se enfrenta a la hora de tomar una decisión de compra. Si estos costos adicionales cambian, entonces el consumo de los consumidores va a cambiar. Esto implica que las mismas cosas que el consumidor considera a la hora de elegir T afectarán elección óptima del consumidor de c. Dado que c fue una de las cosas que pesan en la determinación de T*, es un defecto de nuestro modelo que asumamos que podríamos separar estas decisiones. Piense en el ejemplo siguiente. Supongamos cargos de cajeros automáticos suben temporalmente a $100 por transacción. En nuestro modelo, esto implica que aumenta γ, por lo que T* sube, ya que la gente quiere ir al banco con menos frecuencia. Nuestro modelo supone que c es fijo, pero en realidad c caerá debido a la nueva tarifa de los cajeros, ya que el consumo es ahora más caro (especialmente el consumo de los bienes que se tienen que comprar con dinero en efectivo). Por lo tanto, nuestra solución para T* (que asume un c fijo) está obligada a diferir de la que implica un modelo más sofisticado. Considerando que c disminuye a medida que γ aumenta, y ∂T*= ∂c 0 todavía 𝐼

tendremos un equilibrio. Esto es, la dotación {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 }𝑖=1 sigue respondiendo de equilibrio del mercado, y los valores para el consumo continuarán siendo óptimos para los consumidores, dado el nuevo sistema de precios {𝛾𝑝1 , 𝛾𝑝2 , … , 𝛾𝑝𝑁 } MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 26

Es obvio que las restricciones de equilibrio del mercado seguirán manteniéndose, ya que no se cambia la dotación y los precios no entran en los límites de equilibrio del mercado. Por lo tanto, sólo se necesita demostrar que la asignación todavía será óptima, dado el nuevo sistema de precios. Ya sabemos que la asignación es una opción óptima para los consumidores, dado el viejo sistema de precios. Si podemos demostrar que el nuevo sistema de precios no cambia la restricción presupuestaria del consumidor, entonces el problema del consumidor con los nuevos precios serán equivalentes al problema original, por lo que tienen la misma solución. La restricción presupuestaria con los nuevos precios es la siguiente:

Podemos extraer los términos comunes fuera de las sumatorias y dividiendo a ambos lados nos queda:

que es igual a la restricción presupuestaria bajo el sistema de precios original. El problema del consumidor no 𝐼 cambia, por lo que todavía tiene la misma solución. Esto muestra que la asignación {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 }𝑖=1 y los precios {𝛾𝑝1 , 𝛾𝑝2 , … , 𝛾𝑝𝑁 } forman un equilibrio también. La idea básica es respecto a los precios relativos, no a los precios absolutos. Si todos los precios se multiplican por una constante, el ingreso a partir de la venta de la dotación se incrementará en la misma proporción que el costo de los bienes de consumo. Mientras los precios relativos son constantes, tal cambio no influirá en las decisiones de los consumidores. Tenga en cuenta que no necesitamos mirar las condiciones de primer orden para demostrar nuestro punto. La posibilidad de normalización de los precios se deriva de la estructura básica de esta economía de mercado, no de suposiciones específicas sobre la utilidad o la tecnología.

5.4 La Ley de Walras En un modelo de equilibrio general, una restricción de equilibrio de mercado es redundante. Esto significa que si se satisface la restricción presupuestaria de los consumidores y se mantienen todas las condiciones de mercado, entonces la última condición de mercado se satisface automáticamente. Este hecho tiene valor práctico, ya que implica que podemos omitir una restricción de equilibrio del mercado de inmediato cuando se calcula un equilibrio. Sin mencionarlo, hemos hecho ya uso de esto en la Sección 3.2. Aunque la definición de equilibrio es necesaria para vaciar el mercado de bienes, las limitaciones del mercado para bienes no se utilizaron realmente. Esto fue posible porque estaban implícitas en las restricciones presupuestarias y el hecho de que el mercado de bonos estaba en equilibrio. Esta característica de los modelos de equilibrio general se conoce como la Ley de Walras. Para ver lo que la ley de Walras tiene que ver en nuestra economía general de intercambio puro, se supone que las limitaciones presupuestarias de cada uno de los consumidores I y las restricciones de equilibrio del mercado de los primeros N-1 bienes se satisfacen. Queremos mostrar que la última restricción de equilibrio del mercado del bien N también se satisface. Sumando las limitaciones presupuestarias de los consumidores:

Reordenando se obtiene:

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Dentro de los corchetes tenemos la diferencia entre el consumo total y la dotación total de n bienes. Si el mercado para un bien n se vacía, esta diferencia es cero. Puesto que suponemos que los primeros N-1 mercados están en equilibrio, la ecuación (5.3) se convierte en:

Dado que pN> 0, esto implica:

Así, el mercado N-ésimo se equilibrará también. La intuición detrás de este resultado es más fácil de ver cuando el número de mercados es pequeño. Si sólo hay un bien, digamos manzanas, las restricciones presupuestarias de los consumidores implican que cada consumidor come las manzanas de las que está dotado. Entonces la restricción de equilibrio de mercado tiene que ser satisfecha también, puesto que ya está satisfecha a nivel de cada consumidor individual. Supongamos ahora que hay un bien más, digamos naranjas, y la restricción de equilibrio del mercado de las manzanas está satisfecha. Eso implica que los gastos totales en manzanas equivalen al ingreso total de la venta de manzanas de otros consumidores. Debido a que cada consumidor equilibra el gasto con los ingresos, los gastos tienen que ser iguales a los ingresos para las naranjas también, por lo que el mercado de naranjas estará en equilibrio.

5.4 El Primer Teorema del Bienestar Las dos primeras características de los modelos de equilibrio general que hemos presentado en este capítulo eran técnicas. Son de alguna ayuda en el cálculo de equilibrios, pero por sí mismos no proporcionan una visión profunda que se pueda aplicar al mundo real. La situación es diferente con la última característica que vamos a tratar, la eficiencia de los resultados en las economías de equilibrio general. Este resultado tiene implicaciones importantes para las propiedades del bienestar de los modelos económicos, y desempeña un papel clave en la teoría de los sistemas económicos comparados. Antes de que podamos mostrar que los equilibrios en nuestro modelo son eficientes, tenemos que precisar qué es exactamente lo que se entiende por eficiencia. En economía, por lo general utilizan el concepto de eficiencia de Pareto. Otro término para la eficiencia de Pareto es óptimo de Pareto, y vamos a utilizar indistintamente las dos versiones. Una asignación es Pareto eficiente si se respetan las condiciones de equilibrio del mercado y si no hay ninguna otra asignación que: (1) también satisface las condiciones de equilibrio del mercado, y (2) hace 𝐼 que todos estén mejor. En nuestro modelo, una asignación {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 }𝑖=1 es por lo tanto Pareto eficiente si

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la restricción de equilibrio de mercado en la ecuación (5.2) es válida para cada uno de los N bienes y si no hay 𝐼

otra asignación {𝑐1−𝑖 , 𝑐2−𝑖 , … , 𝑐𝑁−𝑖 }𝑖=1 que también satisface el equilibrio de mercado y tal que:

para todos los i consumidores. Tenga en cuenta que el concepto de óptimo de Pareto no nos obliga a tomar ninguna posición sobre el tema de la distribución. Por ejemplo, si las funciones de utilidad son estrictamente crecientes, una asignación Pareto-óptimo es tener un único consumidor que consuma todos los recursos en la economía. Esta asignación es claramente factible, y cada asignación alternativa hace que este consumidor esté peor. Una asignación Pareto-eficiente no es necesariamente la que mucha gente consideraría "justa" o incluso "óptima". Por otro lado, mucha gente estaría de acuerdo en que es mejor que todo el mundo esté mejor, siempre y cuando sea posible hacerlo. Por lo tanto podemos interpretar la eficiencia de Pareto como un estándar mínimo para una "buena" asignación, y no como un criterio para la "mejor". Ahora queremos mostrar que toda asignación de equilibrio en nuestra economía es necesariamente un óptimo 𝐼 de Pareto. El equilibrio consiste en una asignación {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 }𝑖=1 y un sistema de precios {𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑁 }. Dadas las condiciones de equilibrio de mercado válidas para cualquier asignación de equilibrio, el primer requisito para el óptimo de Pareto se cumple automáticamente. La segunda parte tiene un poco más de trabajo. Queremos demostrar que no hay ninguna otra asignación que satisface también el equilibrio del mercado y que eso haga que todos estén mejor. Vamos a probar esto por contradicción. Es decir, vamos a suponer que una mejor asignación en realidad existe, y entonces mostrará que esto nos lleva 𝐼

a una contradicción. Por lo tanto, vamos a suponer que hay otra asignación {𝑐1−𝑖 , 𝑐2−𝑖 , … , 𝑐𝑁−𝑖 }𝑖=1 , que satisface de equilibrio del mercado tal que:

para todo consumidor i. Sabemos que el consumidor i maximiza la utilidad sujeta a la restricción 𝐼

𝐼

presupuestaria. Dado que el consumidor elige {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 }𝑖=1 aunque {𝑐1−𝑖 , 𝑐2−𝑖 , … , 𝑐𝑁−𝑖 }𝑖=1 produce una mayor 𝐼

utilidad, tiene que ser el caso de que {𝑐1−𝑖 , 𝑐2−𝑖 , … , 𝑐𝑁−𝑖 }𝑖=1 viole la restricción presupuestaria del consumidor:

𝐼

De lo contrario, los consumidores optimizadores no habrían elegido el consumo en la dotación {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 }𝑖=1 en el primer lugar. Sumando la ecuación (5.4) sobre todos los consumidores y reordenando:

𝐼

Asumamos que la asignación {𝑐1−𝑖 , 𝑐2−𝑖 , … , 𝑐𝑁−𝑖 }𝑖=1 satisface el equilibrio de mercado. Por lo tanto, los términos dentro de los corchetes son todos cero. Esto implica 0>0, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, no hay tal 𝐼

𝐼

asignación {𝑐1−𝑖 , 𝑐2−𝑖 , … , 𝑐𝑁−𝑖 }𝑖=1 , y la asignación de equilibrio original, {𝑐1𝑖 , 𝑐2𝑖 , … , 𝑐𝑁𝑖 }𝑖=1 es un óptimo de Pareto. MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 29

Dado que cualquier equilibrio competitivo es un óptimo de Pareto, no hay posibilidad de una redistribución de los bienes que haga que todo el mundo esté en mejores condiciones que antes. La optimización individual junto con la existencia de mercados implica que todas las ganancias del mercado son explotadas. También hay un recíproco parcial para el resultado que acabamos de demostrar, el "segundo teorema del bienestar". Mientras que el primer teorema del bienestar dice que todo equilibrio competitivo es Pareto eficiente, el segundo teorema del bienestar dice que cada óptimo de Pareto se puede implementar como un equilibrio competitivo, siempre y cuando la riqueza se pueda redistribuir con antelación. El segundo teorema del bienestar se basa en algunas suposiciones adicionales y es más difícil de demostrar, por lo que lo omitimos aquí. En las economías con un solo consumidor no hay problemas de distribución, y los dos teoremas son equivalentes. Tabla 5.1 Notación del Capítulo 5

Variable Definición N

Número de bienes

pn

Precio del bien n

I

Número de consumidores

Cin

Consumo de n bienes del consumidor i

Ui (.)

Función de utilidad del consumidor i

ein

Dotación de n bines del consumidor i

γ

Factor arbitrario de proporcionalidad

Ejercicios Ejercicio 5.1 (Fácil) Demostrar la importancia que la ley de Walras tiene para la economía del mercado crediticio que discutimos en el capítulo 3.2. Es decir, utilizar las restricciones presupuestarias de los consumidores y las condiciones de equilibrio del mercado de bienes para obtener la condición de equilibrio del mercado de los bonos de la ecuación (3.9). Ejercicio 5.2 (Difícil) Supongamos que el precio de equilibrio del uno de los bienes n es cero. ¿Cuál es la interpretación económica de esta situación? ¿Cuál de nuestros supuestos descartó que el precio es igual a cero? ¿Por qué? ¿Sigue actuando la Ley Walras? ¿Y el primer teorema del bienestar?

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Capítulo 6

El Mercado Laboral En este capítulo se trabaja en los detalles de dos modelos distintos. La Sección 6.1 contiene un modelo de un período en que los hogares son los demandantes y oferentes de trabajo. El equilibrio en el mercado de trabajo determina el salario de equilibrio. En la Sección 6.2 se desarrolla el modelo de dos períodos del capítulo 3. En este caso, a las familias se les permite elegir su oferta de trabajo en cada período.

6.1 Equilibrio en el Mercado Laboral Esta economía se compone de un gran número de hogares idénticos. Cada uno es dueño de una granja en la que emplea mano de obra para producir bienes de consumo, y cada uno tiene trabajo que puede suministrar a otros agricultores. Por cada unidad de trabajo ofrecida a los demás, una familia recibe un salario w, que se paga en unidades de consumo. Los hogares toman este salario como dado. Con el fin de hacer clara la exposición, prohibimos a una familia de proporcionar mano de obra para su propia granja (Esto no tiene nada que ver con los resultados del modelo). La primera tarea del hogar representativo es la de maximizar los beneficios de su explotación. La producción de la granja está dada por una función de producción f (ld), donde ld es la mano de obra demandada (es decir, empleados) por esa granja. La familia propietaria de la finca decide cuánto trabajo ld contratar. La condición de primer orden con respecto a ld es:

Esto implica que la familia continuará contratando obreros hasta que el producto marginal del trabajo adicional se iguale al salario de mercado. La ecuación (6.1) nos da la demanda de trabajo óptima ld*. Al conectar esto en la ecuación beneficio se obtiene el máximo beneficio del hogar: 𝜋 ∗ = 𝑓(𝑙𝑑∗ ) − 𝑤𝑙𝑑∗ . Después de que el beneficio de la finca está maximizado, la familia tiene que decidir cuánto trabajar en las fincas de los demás y cuánto consumir. Sus preferencias están dadas por u(c, ls), donde c es el consumo de los hogares, y ls es la cantidad de trabajo que la familia proporciona a las fincas de otros hogares. La familia recibe ingresos π* por la ejecución de su propia finca y el ingreso laboral de trabajar en las fincas de los demás. En consecuencia, el presupuesto del hogar es: Así, el Lagrangiano para el problema del hogar es:

La condición de primer orden con respecto a c es:

y con respecto a ls es:

Resolviendo cada uno para λ e igualando:

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por lo que la familia continúa suministrando mano de obra hasta que su tasa marginal de sustitución de mano de obra para el consumo cae hasta igualarse al salario que recibe. Teniendo en cuenta determinadas formas funcionales para u (·) y f (·), podemos resolver para la elección óptima ld* y ls* y calcular el salario de equilibrio. Por ejemplo, supongamos que:

Bajo estas formas funcionales, la ecuación (6.1) se convierte en:

Esto implica que el beneficio π* de cada hogar es:

Después de un poco de manipulación algebraica y factorizaciones, se convierte en:

En virtud de las preferencias dadas, tenemos u1(c,l) = 1/c y u2(c,l) = -1/(1- l). Recuerde, la ecuación presupuestaria implica c = π + wls. Al conectar éstos en la ecuación (6.2) nos da:

que se reduce a:

Al conectar π de la ecuación (6.4) se obtiene:

que se reduce a:

Ahora que hemos determinado la oferta de trabajo familiar óptima ls* en función del salario de mercado w y hemos calculado elección óptima de la unidad familiar de la mano de obra a contratar ld* por un salario determinado. Dado que todos los hogares son idénticos, el equilibrio se produce cuando la oferta de la unidad familiar es igual a la demanda de los hogares. En consecuencia, establecemos ld* y ls* llamamos al salario resultante w*:

MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 32

Reunimos los términos semejantes para obtener:

Si hacemos algunas manipulaciones algebraicas más a los rendimientos:

Por último, conectamos de nuevo este salario de equilibrio en nuestras expresiones de ld* y ls*, que estaban en términos de w. Por ejemplo, al conectar la fórmula para w* en la ecuación (6.3) nos da:

Por supuesto, se obtiene la misma respuesta para ls*, ya que la oferta debe ser igual a la demanda en equilibrio. Teniendo en cuenta estos resultados para ld*, ls* y w*, podemos realizar la estática comparativa para determinar los valores de equilibrio que dependen de los cambios en los parámetros subyacentes. Por ejemplo, supongamos que la economía experimenta un shock positivo en su productividad. Esto podría ser representado por un incremento en el parámetro A de la función de producción. Podríamos estar interesados en la forma en que afecta al salario de equilibrio:

por lo que el salario de equilibrio aumentará. Sólo mediante el análisis de las fórmulas de ld* y ls*, sabemos que la oferta y la demanda de trabajo no se modificarán, ya que A no aparece en ellas. La intuición de este resultado es sencilla. Con la nueva productividad, más alta, los hogares estarán más dispuestos a contratar mano de obra, pero esto es compensado exactamente por el hecho de que el nuevo salario es más alto. Por otro lado, los hogares se ven tentados a trabajar más por el salario más alto, pero al mismo tiempo son más ricos, por lo que quieren disfrutar de más tiempo libre, que es un bien normal. Bajo estas preferencias, los dos efectos se cancelan. Tabla 6.1 Notación de la Sección 6.1

Variable Definición w

Salario en bienes por unidad de trabajo

ld

Demanda laboral de la granja

f(ld)

Producción de la granja

c

Consumo familiar

ls

Oferta de trabajo familiar

u(c, ls)

Utilidad familiar

λ

Multiplicador de Lagrange

ℒ

Lagrangiano

A

Parámetro de la función de producción

α

Parámetro de la función de producción

6.2 Elección Intertemporal de Trabajo El modelo en esta sección es una pura extensión del desarrollado en la Sección 3.2. En este modelo el hogar representativo vivió durante dos períodos. Cada período, la familia recibió una dotación, e1 y e2. La familia

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eligió el consumo de cada período, c1 y c2, y el número de dólares en bonos b1 para llevar del periodo 1 al periodo 2. El modelo presentado aquí es casi idéntico. La única diferencia es que el hogar ejerce un esfuerzo laboral con el fin de adquirir bienes en lugar de tener una dotación exógena. En particular, el hogar tiene alguna función de producción: yt = f (lt). El hogar elige el esfuerzo laboral de cada período, l1 y l2. El ingreso yt toma el lugar de la dotación del modelo del capítulo 3. El problema de la maximización del hogar es:

Consulte el Capítulo 3 para un análisis de: (i) las limitaciones presupuestarias, (ii) el significado del nivel de precios P y la tasa de interés R, y (iii) cómo funcionan los bonos. El Lagrangiano es:

Existen siete condiciones de primer orden:

Dejamos fuera las condiciones de primer orden con respecto a λ1 y λ2, porque sabemos que se reproducen las restricciones. Resolviendo las ecuaciones (FOC c1) y (FOC c2) para los multiplicadores de Lagrange y enchufando en la ecuación (FOC b1) se obtiene:

Esta es la misma ecuación de Euler que vimos en el capítulo 3. Resolviendo las ecuaciones (FOC l1) y (FOC l2) para los multiplicadores de Lagrange y enchufando el resultado a la ecuación (FOC b1) se obtiene:

Se trata de una ecuación de Euler también, ya que también relaciona utilidades marginales en períodos consecutivos. Esta vez, se relaciona con las utilidades marginales de mano de obra. Podríamos analizar ecuaciones (6.5) y (6.6) en términos de las funciones abstractas, u (·) y f (·), pero es mucho más simple de asumir para formas funcionales particulares y luego llevar a cabo el análisis. En consecuencia, se supone:

Al conectar la función de utilidad en la ecuación (6.5) se obtiene:

MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 34

al igual que en el capítulo 3. Por ejemplo, esta ecuación implica que una mayor tasa de interés R implica que el hogar consume más en el periodo 2 en relación con el período 1. La ecuación (6.6) se convierte en:

El análisis de esta ecuación es un poco complicado. Como un primer paso, tomemos a una función auxiliar. Entonces la ecuación (6.7) se puede escribir como:

como

Ahora, vamos a considerar que la forma en D (l) cambia cuando cambia la l:

Sabemos que lx> 0 para todo x, por lo que lα-2> 0. Además, α (1-l) 0. De la misma manera, se dice que un sistema fiscal es regresivo si ℋ′(𝑎; 𝜓) < 0.

Comportamiento de los Hogares Volvamos ahora nuestra atención a los hogares. El hogar tiene una tecnología para la producción de ingresos 𝒴1 que puede ser una función de la acción de ɑ, es decir 𝒴(ɑ). Si ɑ es las horas trabajadas, entonces 𝒴 es creciente en ɑ, si ɑ es horas de ocio, entonces 𝒴 es decreciente en ɑ y si ɑ es ventanas de una casa entonces 𝒴 no se ve afectada por ɑ. El hogar tendrá preferencias directamente sobre la a y un ingreso neto de impuestos 𝒴(𝑎) − ℋ(𝑎; 𝜓). Así, las preferencias son:

Obviamente, tenemos aquí un problema de maximización, el cual impulsará todos los análisis en este capítulo. En el hogar se consideran diversas opciones de un ɑ (ventanas, horas, yates), que tiene en cuenta ambos efectos, el efecto directo de ɑ en la utilidad y el efecto indirecto de ɑ, a través del recibo de impuestos (tax bill) 𝒴(𝑎) − ℋ(𝑎; 𝜓). Definimos: 1

Usamos la notación 𝒴 para los ingresos con el fin de enfatizar que el ingreso es ahora una función de opciones a.

MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 78

Para cada valor de ψ, tendremos una amax (ψ) que es la elección de ɑ donde se resuelve este problema de maximización. Esto es:

Supongamos por un momento que U, 𝒴 y ℋ satisfacen las condiciones de regularidad de manera que para cada ψ posible sólo hay un valor posible de amax. El gobierno debe tomar la respuesta 𝑎𝑚𝑎𝑥 (𝜓) del hogar como dada. Teniendo en cuenta algún sistema de impuestos ℋ, ¿cuánto ingreso debe recaudar el gobierno? Claramente, ℋ[ɑ𝑚𝑎𝑥 (𝜓), 𝜓]. Supongamos que el Gobierno es consciente de la respuesta optima del hogar, 𝑎max (ψ), para la elección del parámetro de impuestos, ψ. Sea T(ψ) el ingreso que el gobierno obtiene, es decir la renta pública, a partir de los paramentos de la política fiscal.

Tenga en cuenta que los ingresos del gobierno sólo provienen de esta contribución, es decir, dichos ingresos son solo lo que se recauda de los hogares. Las funciones ℋ (ɑ; ψ) y T (ψ) están estrechamente relacionados, pero no deben ser confundidas entre ellas. ℋ(ɑ; ψ) es el sistema impositivo o la política fiscal: es la estructura legal que determina lo que se recibe de la contribución de los hogares (tax bill), tiene en cuenta el comportamiento de los hogares. Las familias eligen el valor de ɑ, pero la política fiscal debe dar el recibo de la contribución de todas las posibles opciones de ɑ, incluidas las que un hogar nunca elegirá. Piense en ℋ como la legislación aprobada por el Congreso. La función T(ψ) proporciona los ingresos reales del gobierno en la política fiscal ℋ (a;ψ) cuando las familias reaccionan de forma óptima a la política fiscal. Las familias eligen la acción ɑ que los hace más felices. El mapeo de los parámetros de la política fiscal ψ que los hogares eligen es llamado ɑ𝑚𝑎𝑥 (ψ). Así, los ingresos reales del gobierno, ψ, T (ψ), y la legislación aprobada por el Congreso, ℋ (a;ψ), están relacionadas por la ecuación (13.1).

La Curva de Laffer ¿Cómo se comporta la función T (ψ)? En este capítulo vamos a pasar un poco de tiempo teniendo en cuenta las diversas formas posibles de T (ψ). Uno de los conceptos a los que hemos de volver varias veces es el de la curva de Laffer. Supongamos que si ɑ es fija, ℋ (a; ψ) es creciente en ψ (por ejemplo, podría ser la tasa de impuesto sobre ventanas de la casa). Además, si ψ es fija, que ℋ (a; ψ) es creciente en ɑ. Nuestro análisis no cambiaría si sumiéramos todo lo contrario, ya que estos supuestos son simplemente convenciones de nombres. En estos supuestos, ¿T necesariamente es creciente en ψ? Considere la derivada total de T con respecto a ψ. Es decir, calcular el cambio en los ingresos ante un aumento en ψ, teniendo en cuenta el cambio en el comportamiento óptimo de la unidad familiar:

El segundo término es positivo, por supuesto. El primer término es positivo si ɑ𝑚𝑎𝑥 es creciente en ψ. Si ɑ𝑚𝑎𝑥 es decreciente, y si el efecto es lo suficientemente grande, entonces la función de los ingresos del gobierno en realidad puede decrecer en ψ a pesar de los supuestos sobre el sistema tributario ℋ. Si esto sucede, se dice que hay una curva de Laffer en el sistema tributario. Una nota sobre los términos: la frase "curva de Laffer" se asocia con un amargo debate político. La estamos utilizando aquí como una taquigrafía conveniente para la engorrosa frase "un sistema fiscal que exhibe la disminución de ingresos de los hogares en un parámetro que aumenta los ingresos del gobierno manteniendo constante comportamiento hogar porque la familia ajusta su comportamiento en respuesta". ¿Los sistemas tributarios presentan curvas de Laffer? Por supuesto. Por ejemplo, una política Victoriana que grava los impuestos sobre el número de ventanas (por encima de un número mínimo diseñado para eximir a la clase media) en una casa, en un lapso de años dio lugar a grandes casas con muy pocas ventanas. Como resultado, la plebe inició la construcción de viviendas más modestas también sin ventanas y el no uso de ventanas se MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 79

convirtió en una especie de moda. Los aumentos en el impuesto ventana llevaron, a largo plazo, a la disminución de los ingresos recaudados. La presencia de una curva de Laffer en el sistema de impuestos de los EE.UU. es una cuestión empírica fuera del alcance de este capítulo. Por último, la presencia de una curva de Laffer en un sistema fiscal no significa automáticamente que una reducción de impuestos produce el crecimiento de ingresos. El conjunto de parámetros ψ debe estar en la región de pendiente negativa de la curva de los ingresos del gobierno para que ese sea el caso. Así, el sistema de impuestos de los EE.UU. de hecho podría mostrar una curva de Laffer, pero sólo a muy altas tasas impositivas medias, en donde el caso de recortes de impuestos (dado el bajo nivel actual de los impuestos) daría lugar a una disminución de los ingresos.

Impuestos de Suma Fija (Lump-sum Taxes) Consideremos ahora los resultados si el gobierno introdujera un sistema tributario con la característica especial de que el monto a pagar del impuesto no dependa de las decisiones del hogar. Es decir,

para todas las opciones de ψ. Tenga en cuenta que las decisiones óptimas de los hogares todavía pueden cambiar con ψ, pero que los ingresos del gobierno no variarán si ɑ𝑚𝑎𝑥 varía. Vamos a determinar lo que sucede a la derivada de la función de los ingresos del gobierno T de la ecuación (13.2) de más arriba:

Esto es siempre mayor que cero, por hipótesis. Por lo tanto, nunca hay una curva de Laffer cuando el sistema fiscal tiene la propiedad de que ∂ℋ/∂a = 0, es decir, cuando existen impuestos de suma fija. Los impuestos que no varían con las características del hogar se conocen como impuestos de capitación (per cápita) o impuestos de suma fija. Estos impuestos son impuestos que gravan de manera uniforme en cada persona o "cabeza" (de ahí el nombre). Tenga en cuenta que no hay ningún requisito de que los impuestos de suma fija sean uniformes, sino simplemente que las acciones de los hogares no pueden afectar a la boleta de impuestos (monto a pagar). Una lotería fiscal haría igual de bien. En la historia moderna ha habido relativamente pocos ejemplos de impuestos de suma fija. El uso más reciente de los impuestos de capitación fue en Inglaterra, donde fueron utilizados a partir 1990-1993 para financiar los gobiernos locales. Cada Consejo (equivalente aproximadamente a un condado) divide sus gastos por el número de residentes adultos y entrega facturas fiscales para esa cantidad. Su interlocutor era, en ese momento, un estudiante graduado empobrecido que vivía en la sección de Rotherhithe de Londres, y fue presentada con una factura por 350 £ (unos 650 dólares en ese momento). Esta política fue profundamente impopular y llevó a la "Batalla de Trafalgar Square", el peor disturbio inglés del Siglo XX. Vale la pena señalar que este impuesto no cumplía totalmente las exigencias de un impuesto de suma fija, ya que variaba en los distintos condados, y, en teoría, los hogares podían afectar a la cantidad de impuestos que se recaudaba, mudándose de condados, en forma conservadora o en forma activa. Como esta medida es más o menos imposible de implementar en el corto plazo, la mayoría de las familias pagaban. Los impuestos de suma fija, aunque son de una curiosidad histórica, son muy importantes en el análisis económico. Como veremos en la siguiente sección, la oferta de trabajo responde de manera muy diferente a los impuestos de suma fija que a los impuestos sobre la renta.

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La Pérdida de Eficiencia de los Impuestos Los impuestos de suma fija limitan la cantidad de pérdida de bienestar asociada a la tributación. Considere el efecto de un aumento en los impuestos que provoca un aumento de los ingresos públicos: los ingresos se incrementan ligeramente y el ingreso domestico neto de impuestos disminuye en poco más que el aumento de los ingresos gubernamentales. Esta diferencia es una forma de pérdida de eficiencia, ya que implica la pérdida de ingresos tanto para el hogar como para el gobierno. Es difícil caracterizar la pérdida de eficiencia de los impuestos con la indicación general que hemos establecido aquí (vamos a ser mucho más precisos en la siguiente sección). Sin embargo, vamos a ser capaces de demostrar que la pérdida de bienestar es cada vez mayor cuando hay cambios en el comportamiento del hogar. Es decir cuanto más sensible es 𝑎𝑚𝑎𝑥 para ψ, mayor será la pérdida de eficiencia. Considere la posibilidad de una política fiscal ℋ (a; ψ) y dos conjuntos de parámetros diferentes para la política fiscal, ψ0 y ψ1. Supongamos que, para fijar ɑ, ℋ (a; ψ0) < ℋ (a; ψ1). La utilidad del hogar en cada uno de los parámetros fiscales es:

La pretensión es que el cambio en el ingreso neto de los hogares supere el cambio en los ingresos del gobierno, o bien:

Hay que recordar que T (ψ)= ℋ[𝑎𝑚𝑎𝑥 (𝜓); 𝜓]. La ecuación (13.3) es verdadera sólo si: Es decir, el ingreso bruto de los hogares (antes de impuestos) cae en respuesta al impuesto, mayor va a ser la pérdida de eficiencia. Pero ya que el ingreso bruto de los hogares está totalmente bajo su control, a través de la elección de ɑ, esto es equivalente a decir que cuanto más cambios en ɑ, mayor es la pérdida de eficiencia. Este es un resultado muy general en el análisis de la fiscalidad: cuanto más la familia quiera o intente escapar de los impuestos, mediante la alteración de su comportamiento, mayor es la pérdida de eficiencia de los impuestos. Si suponemos además que no hay efectos ingreso puros en la elección de ɑ, entonces los impuestos de suma fija no afectan a la elección que hacen los hogares de ɑ y no habrá ninguna pérdida de eficiencia de los impuestos (una prueba formal de este punto está más allá del alcance de este capítulo). La asunción de que no existe ningún efecto renta es relativamente fuerte, pero, como veremos más adelante, aún sin ello los impuestos de suma fija afectan el comportamiento de los hogares de manera muy diferente a los impuestos sobre la renta.

13.2 Tributación Laboral En esta sección vamos a suponer que las familias eligen sólo su nivel de esfuerzo u oferta de trabajo L. Vamos a asumir que tienen acceso a una tecnología para transformar el trabajo en el bien de consumo dada por wL. Piense en w como un salario. Aunque no vamos a despejar un mercado de trabajo en este capítulo, por lo que w no es un precio endógeno, podemos imaginar que todas las casas tienen una tecnología productiva, como ser un patio trasero, donde se realiza la transformación. Las familias disfrutarán del consumo y no les gusta el esfuerzo (les da desutilidad), pero no pueden consumir sin incurrir en esfuerzo. Se busca equilibrar estos deseos para llegar a una decisión óptima de la oferta de trabajo. Los impuestos del gobierno distorsionaran esta elección y afectaran a la oferta de trabajo.

Un Ejemplo Sencillo Como un primer paso, considere un hogar con una función de utilidad sobre el consumo C y el esfuerzo L de la forma: MACROECONOMÍA. Una aproximación matemática | 81

El ingreso del hogar toma la forma:

Supongamos que hay un impuesto simple único, por lo que la política fiscal es:

Por lo tanto la restricción presupuestaria del hogar se convierte en:

Sustituyendo esta restricción presupuestaria en función de utilidad del hogar obtenemos:

Esta es la función de utilidad del hogar dado una tasa de impuestos τ. Podemos resolver el problema de maximización y encontrar V(τ) directamente. Tomamos la derivada con respecto a la variable de elección individual, la oferta de trabajo L, e igualamos a cero para encontrar:

Despejando L tenemos:

Podemos sustituir la oferta de trabajo, L(τ), de nuevo en la política fiscal del gobierno para encontrar la función de los ingresos del gobierno:

¿Este sistema presenta una curva de Laffer? De hecho lo hace. Claramente, T (τ) En este caso es simplemente una parábola con un máximo en τ = 0,5 (Ver Figura (13.1)). El efecto del impuesto sobre la renta fue de abrir una brecha entre la productividad del hogar (constante en w) y el pago recibido del hogar por su actividad productiva. El hogar tiene una tasa de salario efectivo (1-τ)w. A medida que la tasa de impuesto τ se traslade a la unidad, el salario efectivo de los hogares tiende a cero, y lo mismo ocurre con la oferta de trabajo. Compare esto con la estructura tributaria en el que la familia da cuenta de todos los beneficios de su esfuerzo, después de pagar su obligación fija. Así volvemos nuestra atención al impuesto de suma fija.

Figura 13.1: Una función de los ingresos del gobierno que muestra una curva de Laffer.

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Un Impuesto de Suma Fija Ahora vamos a introducir un impuesto de suma fija por el importe 𝜏𝐿 2 No importa los ingresos que el hogar acumule, siempre se verá obligado a pagar el importe 𝜏𝐿 . Por otra parte, después de pagar 𝜏𝐿 , el hogar consume todos sus ingresos. Anteriormente, con el impuesto sobre la renta, los hogares se enfrentaban a un salario efectivo de (1- τ)w, que disminuía a medida que τ aumentaba. Ahora el salario efectivo de los hogares será w (después del ingreso crítico donde 𝜏𝐿 es alcanzado). ¿Significa esto que el esfuerzo no se verá afectada por 𝜏𝐿 ? Recuerde de la sección anterior que esto sólo ocurrirá si no hay efectos riqueza. Examinando la función de utilidad revela que no es homogénea de grado 1 en la riqueza, por lo tanto, podemos esperar que la oferta de trabajo pueda variar con 𝜏𝐿 . En particular, dado que el ocio es un bien normal, vamos a esperar que la oferta de trabajo sea cada vez mayor en 𝜏𝐿 . La restricción presupuestaria del hogar, con esta política fiscal, se convierte en: Así el problema de maximización del hogar es:

La condición de primer orden para la optimización es:

Despejando L obtenemos:

Vemos que la oferta de trabajo aumenta, de hecho, en el monto del impuesto de suma fija 𝜏𝐿 . El hogar aumenta su oferta de trabajo lo suficiente para pagar su obligación tributaria. ¿Cuál es la función de los ingresos del gobierno? Se trata, en este caso, simplemente de: Así que, con un impuesto de suma fija, no hay curva de Laffer (por supuesto).

Oferta Laboral General y Tributación Con la asunción de una función de utilidad de raíz cuadrada, hemos sido capaces de obtener soluciones de forma cerrada muy interesantes para la oferta de trabajo y la función de los ingresos del gobierno. Nuestros resultados, sin embargo, se vieron obstaculizados por estar atados a una forma funcional particular. Ahora introducimos una forma más general de preferencias (aunque manteniendo el supuesto de desutilidad lineal de esfuerzo). Veremos que una curva de Laffer no es en absoluto un resultado predestinado a los impuestos sobre la renta. De hecho, cuando los agentes son muy reacios al riesgo, y cuando el consumo cero es catastrófico, veremos que la curva de Laffer desaparece del sistema de impuestos sobre la renta. Considere la posibilidad de agentes con preferencias sobre el consumo C y la oferta de trabajo L, de la forma:

Note la diferencia cuando 0 ≤ γ ≤1 y cuando γ ≤0. En el primer caso, un consumo de cero produce meramente utilidad cero, mala, pero soportable; mientras que en el último caso, el consumo de cero produce una utilidad negativa infinita, que es insoportable. Los agentes harán todo lo posible para evitar cualquier posibilidad de un consumo cero cuando γ ≤0. Recordemos que en el ejemplo anterior (cuando γ=0,5), la oferta de trabajo se

La notación τ𝐿 pretende representar el impuesto de suma fija: hay un exceso de la participación de la notación τ y L en este capítulo. Consulte la tabla al final si se queda confundido. 2

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redujo a cero cuando la tasa de impuesto sobre la renta se incrementó a la unidad. Algo muy diferente va a suceder aquí. Dada las distorsiones de la tasa de impuesto sobre la renta τ, la restricción presupuestaria del hogar se convierte en:

como de costumbre. El problema de elección del hogar se convierte en:

La condición de primer orden necesaria para la maximización es:

Esto a su vez implica que:

Tenga en cuenta que si γ 0 y γ0 es la tasa de descuento. La familia comienza la vida con unas existencias iniciales de capital de K0>0. Además, los ingresos de la familia cada período, Yt, es: donde Kt es el capital del hogar en el período t, y α es un parámetro de producción que satisface 0