L\'universo, questo grande calcolatore

L’universo, questo grande calcolatore  di Roberto Siagri 

  Fatti non foste a viver come bruti,   ma per seguir virtute e canoscenza  Dante, Inferno ,Canto XXVI ‐ Ulisse 

  Un libro può cambiare la vita  All’età di 12 anni mi venne regalato un libro che serbo ancora con nostalgia e che  mi ricorda  sempre quanto ci rimanga da imparare per tanto si studi. Il libro è “Spazio, Tempo e Gravitazione”  di Arthur Eddington1, un grande fisico inglese che si batté, ai tempi della stesura da parte di  Einstein della teoria della relatività generale (che estende la teoria della gravitazione universale di  Newton) quando questi era ad insegnare  a Berlino, per dimostrare la correttezza della stessa  contro un corpo accademico inglese che rifiutava ostinatamente tutto ciò che proveniva dalla  Germania allora in guerra con l’Inghilterra. I conflitti e le ideologie dividono le nazioni anche sulle  idee scientifiche, nonostante la neutralità e universalità del  sapere. Eddington, di indole pacifista,  sfidava questi ostacoli ideologici e cercava di estraniarsi  dalle vicende contingenti della guerra per  trovare nella scienza una maniera per gettare ponti, mettendo la conoscenza sopra la brutalità  degli eventi in corso. In realtà a quell’età non sapevo ancora la storia di Eddington, che ho  conosciuto solo più tardi, ma mi sembra importante ricordarla. Quello che mi interessava a quel  tempo era riuscire a leggere quel libro, e devo dire che non fui capace di portarmi oltre i  primi due  capitoli.  Poi gli studi e gli interessi presero altre direzioni e il completamento della lettura finì nel  dimenticatoio.  Ho iniziato con questa storia perché dietro la teoria della relatività generale (a cui  si è aggiunta successivamente  la meccanica quantistica) si mettono in gioco un po’ tutte le nostre  conoscenze  di cosmologia  (dal Greco κόσμος, kosmos "Universo " e ‐λογία, ‐logia "studio"), che è  lo studio dell’origine, dell'evoluzione e del futuro destino dell'universo, inteso come sistema  ordinato e complesso in antitesi al caos  (dal greco χάος, khaos, che si riferisce a uno stato senza  forma che precede la creazione dell’Universo). Non so perché un professore delle medie mi regalò  quel libro, anche se immagino fosse perché  già in quegli anni avevo un forte interesse per le  scienze e per l’astronomia in particolare. Fu un dono prezioso nonostante la difficoltà   dell’argomento;si tratta di un libro difficile anche per un laureato in fisica che non abbia seguito un  indirizzo teorico. Due cose importanti mi rimasero impresse nella mente: la necessità di sforzarsi di  guardare ai problemi da angolature diverse e inusuali, e il fatto che alcuni, andando oltre l’istinto  naturale di vivere e sopravvivere, mostrino la propensione a spingersi verso la conoscenza e la  comprensione del luogo in cui siamo, ovvero dell’universo. Pur non avendo terminato la lettura  del libro  mi rafforzai nella convinzione che  la comprensione dell’universo fosse una cosa  importante per dare un senso alla nostra esistenza, compresa quella quotidiana. Inoltre con il  tempo mi sono convinto che  la nostra mente  ha bisogno di classificare i problemi confinandoli in  spazi logici finiti.  Senza un confine ci mancano i riferimenti, e si tende a lasciare il campo libero  all’irrazionale, al caos e all’insicurezza che tentiamo da sempre di rifuggire.  Il bordo o la frontiera  ci permettono di non perdere  il controllo, perché se da un lato sappiamo bene che non abbiamo                                                               1 

 Arthur S. Eddington,  Spazio, tempo e gravitazione ,Bollati Boringhieri, Torino, 1971,  2 ed.  

ancora una risposta per quello che sta aldilà, sappiamo anche che possiamo continuare ad  investigare il mondo conosciuto, con l’obiettivo di spostare sempre più in là la frontiera. E' questo  che fa la scienza.  Rimane dunque da indagare su come sia nato questo universo, su come esso si  evolva e su quale sia il nostro posto in esso.       Quando un po’ più adulto ho cominciato ad alzare gli occhi al cielo durante una notte serena e a  soffermare il pensiero sull’enormità  che ci sovrasta, mi sono sentito impotente ed inutile, ed è  questo certamente il pensiero che passa per la mente di tutti, che ci blocca e ci paralizza. Si capisce  perché fin dall’antichità si sia cercato di porre un limite, di confinare il tutto a un lembo di terra  nota, di delimitare perfino la volta celeste a uno schema fatto di più sfere concentriche, per  passare poi con il tempo alla  visione dell’universo come lo conosciamo ora, in espansione e  popolato da tante galassie ed ammassi di galassie simili alla nostra.  Pensavamo di esserci messi al  riparo confinando  il nostro mondo  dentro una matriosca di sfere, ci eravamo costruiti il nostro  guscio protettivo  di cui pensavamo di conoscere le regole, e tutto quello che stava fuori  non ci  interessava. Oggi abbiamo una nuova visione dell’universo, per ora forse un po’ metafisica:  l’universo calcola continuamente il suo stato futuro ed il calcolo sta andando avanti dal big bang  ovvero da 14 miliardi di anni. Dal nulla (lo schermo nero del computer) all’universo  così come lo  conosciamo (lo  schermo del computer popolato di finestre, icone e programmi in esecuzione)  e  tutto questo a partire da un programma basato su algoritmi molto semplici.    Programma e algoritmo  Abbiamo introdotto nel precedente paragrafo due parole che, pur essendo ormai entrate nel  dizionario di tutti, per questioni di leggibilità qui brevemente definiamo.   Un programma per computer, o solo un programma, è una sequenza di istruzioni scritte in modo  da poter essere lette ed eseguite da un computer. I programmi vengono anche chiamati software  per distinguerli dall’hardware che invece si riferisce alle componenti elettroniche. Un computer  per funzionare ha bisogno di istruzioni, perché non sa fare altro che eseguire istruzioni di cui è  sempre in attesa. I programmi o i software si possono dividere in due grandi filoni: software di  sistema e software applicativo. I computer che comunemente usiamo possono eseguire  contemporaneamente due o più programmi.  In informatica e in matematica, un algoritmo è un  metodo efficace, espresso come  un insieme finito di istruzioni2 che specificano una sequenza di  operazioni da effettuare al fine di risolvere un problema specifico o una classe di problemi. Gli  algoritmi vengono utilizzati sia per esigenze di calcolo che di elaborazione dati, e anche per  automatizzare ragionamenti logici.    Dunque un programma è  l'espressione concreta di un algoritmo in un particolare linguaggio di  programmazione, pensato per risolvere un problema specifico. Visto da un'altra angolatura  potremmo dire che la fase di progettazione produce un algoritmo, la fase di implementazione poi  produce un programma che esprime l'algoritmo progettato. A tale proposito un algoritmo si presta  molto meglio di una formula a descrivere  la realtà. Si pensi all’animazione  digitale e ai livelli di                                                               2

  Un algoritmo deve possedere le seguenti proprietà. Finitezza: l’algoritmo si deve completare dopo un numero finito di passi. Non  ambiguo: ogni passo deve essere chiaramente definito, e avere una sola interpretazione. Sequenza definita: ogni passo deve avere  un unico e definito modo di precedere. La prima fase e l'ultimo passo  devono essere chiaramente notati. Fattibilità: Deve essere  possibile eseguire ogni istruzione. Ingresso/uscita: ci deve essere un numero specificato di valori di input e uno o più valori di  risultato. 

vicinanza ccon la realtàà che questaa ha raggiunnto, il tutto o grazie ad a algoritmi e ccalcolatori m molto  veloci.  Traa i più celebri teorizzato ori che tuttoo è algoritm mo è Gregorry Chaitin,  cche così descrive il  progresso del pensierro umano: ““L'eredità inntellettuale dell'Occidente, e a queesto propossito  permetteteemi di ricorrdare  Pitago ora, Platonee, Galileo e James Jean ns, afferma  che tutto è numero;  Dio è un m matematico. Ora iniziam mo a crederre a qualcossa di leggerm mente diverrso, un  perfezionaamento del credo pitaggorico originnale: ogni co osa è  softw ware; Dio è uun program mmatore di  3  computer.  O forse dovrei dire: Tu utto è algorritmo!”   Tutto è diggitalizzabile e  Se guardiamo bene il mondo into orno a noi, ppossiamo vedere che è è più discretto che continuo (più  rappresenttabile in forrma digitale e che analoggica, contrariamente all’evidenza)), a cominciare dal  DNA  che èè in fin dei cconti una se equenza, ovvvero un pro ogramma ch he permettee di  costruire le  strutture vviventi del p pianeta (piante, insetti,, pesci,  anim mali e uman ni).  Per nonn parlare de elle  particelle eelementari,  che oltre ad essere disscrete possono presen ntarsi solo coon livelli disscreti delle  grandezze fisiche che le caratteriizzano, com me ad esemp pio l'energia a. Anche la  musica, che e sembrava  il regno deel continuo, è invece diventata il reegno del diggitale. Quassi  tutti i riprroduttori ogggi usano   il formato MP3 che è un formato o digitale, e  lo stesso diicasi per la ffotografia ee i video  con i relativi  formati diggitali JPEG ee MPEG, tan nto per citarre i più notii.   Tutto intorno a noi èè fatto in ulltima  istanza di 00 e 1. Chaitiin è anche m molto criticoo sull’esiste enza dei num meri reali, cche aldilà de el nome, di  reale semb brano averee ben poco: se la naturaa è discretaa, dunque ra appresentabbile con interi, al  massimo eesistono le ffrazioni di in nteri  ovveroo i numeri rrazionali, da a cui conseggue che i nu umeri reali  inclusivi deegli irrazionali (π pi‐gre eco, e di Eul ero, σ sezio one aurea, e ecc..) derivaano dalla no ostra  percezionee  e descrizione di un m mondo cont inuo, ma co osì non è.  U Un po’ comee a dire che esistono  lo 0 e l’1 e i numeri naaturali, men ntre tutti glii altri numeri sono il rissultato di opperazioni dii algoritmo..                            Fig. 1: un cerrchio non è alttro che il risultato di un’opeerazione di lim mite. E’ il risultato del contiinuo aumenta are i lati del  poligono iscrritto o circoscrritto, un’estra apolazione di uun poligono re egolare con in nfiniti lati   

  pio, i numeri irrazionali come pi‐grreco, di cui n non conosciamo tutte  le cifre e du unque  Per esemp riusciamo aa rappresen ntare solo p parzialment e, potrebbe ero invece  essere rapppresentati con un  programma in tutta laa loro formaa.  L’algoritm mo che descrive pi‐greco è molto  breve, dunque pur  avendo un numero infinito di cifrre la quantittà di inform mazione con ntenuta nel  numero è b bassa, visto  che è la co omplessità d dell’algoritm mo che definnisce la quaantità di info ormazione ccontenuta n nel numero  (complessiità di Kolmo ogorov).    A Al contrario  un numero o che sia verramente cassuale non h ha un  algoritmo per generarrlo e dunque  il “suo al goritmo è e esso stesso””,  la sua co mplessità è è massima.  Un  prograamma, che èè basato su un algoritm mo,  richiede e un calcola atore per la  sua esecuzzione, ed è                                                               3

  G. J. Chaitin,  Leibniz, Inforrmation, Math aand Physics 21 JJun 2003 http:///arxiv.org/abs//math/03063033 

qui che sta il punto di svolta secondo  G. O. Longo: questa considerazione infatti promuove il  “…computer al grado di “concetto filosofico” rivoluzionario. Probabilmente il risvolto più  clamoroso di tale designazione consiste nella scoperta ‐ a dir poco epocale ‐ che esiste un  linguaggio (ndr: il linguaggio di programmazione che esprime l’algoritmo) il quale rispecchia la  realtà in  modo molto più aderente di quanto lo possano fare le parole e i numeri.”4    Non rassegnarsi alla casualità  Quando si pensa all’universo o alla nostra vita non si  può non pensare al caso,  ma l’idea che tutto  sia avvenuto per caso non sembra ragionevole dal punto di vista probabilistico. A tale proposito si  cita il teorema della scimmia programmatrice instancabile. Questo teorema  afferma che una  scimmia che prema a caso i tasti di una tastiera per un tempo infinitamente lungo quasi  certamente riuscirà a comporre qualsiasi testo prefissato. Ebbene, anche se questa affermazione  sembra plausibile, in realtà la probabilità che la scimmia riesca a comporre in modo casuale le  prime righe dell'Amleto di Shakespeare è pressoché pari a zero.  Il testo dell'Amleto contiene  circa  130.000  caratteri,  e se anche  tutto  l'universo fosse pieno di scimmie, una al posto di ogni atomo  (1080), ed esse digitassero per un tempo pari a 100 volte la vita dell'universo (~1012 anni), la  probabilità di riprodurre l’Amleto sarebbe ancora così infinitesimale da non essere diversa da zero  (1/ 10 183800).  Se però il testo casuale digitato dalla scimmia lo interpretiamo come codice di un  programma, allora le cose cambiano. Infatti  la probabilità che una scimmia digiti casualmente un  programma che possa spiegare l’universo così come lo vediamo è certamente piccola, ma pur  sempre possibile. O come direbbe Jürgen Schmidhuber : “la nostra fondamentale incapacità di  percepire lo stato del nostro Universo non implica l’esistenza  in esso di casualità”5. Schmidhuber,  che si occupa di intelligenza artificiale e di cui è ben noto l'algoritmo che definisce la bellezza,   oltre ad essere contrario al caso, come del resto lo sono diventato io, è anche un sostenitore  dell'idea che l’Universo che conosciamo è il risultato di un programma. E’ anche vero che  l’universo è stato descritto dall’uomo in funzione delle conoscenze storicamente disponibili,  passando nel tempo dal descriverlo come un complesso organismo, al vederlo come un complesso  di orologi oscillatori, per arrivare alla descrizione di oggi fatta nell’era digitale: l’universo come un  grande computer. C’è da domandarsi se questo modo di procedere non derivi semplicemente dal  fatto che noi descriviamo il mondo  di volta in volta con gli strumenti che abbiamo a disposizione,  ma forse c'è qualche cosa d’altro dietro a questo, ovvero che i nostri strumenti, essendo sempre  più raffinati, ci permettono di comprendere sempre di più e meglio il nostro mondo ed il nostro  universo. Per dirla come Slavoj Žižeck : “la tecnologia non imita più semplicemente la Natura,  piuttosto rivela il meccanismo sotterraneo che la genera.”6    Se esaminiamo la vita e la carriera di John Archibald  Wheeler7, uno dei grandi fisici del secolo  scorso, possiamo avere un esempio di questa evoluzione. Fino al 1950, ci fu una fase che lui stesso  chiamò "Tutto è particella", un periodo in cui egli era alla ricerca di modi per costruire tutte le  entità di base, come neutroni e protoni,  a partire dalle  particelle più leggere e  fondamentali quali                                                               4 

 G.O. Longo, A. Vaccaro,  Bit Bang La nascita della filosofa digitale, Apogeo, 2014     Jürgen Schmidhuber, A computer Scientist’s View of Life, the Universe and everything , in C. Freksa (editor), Lecture Notes in      Computer Science, Springer, 1337, 1997   6    Slavoj Žižeck, L’epidemia dell’immaginario, Boringhieri, Torino  2003  7    http://robward.org/john‐wheeler‐summarises‐his‐life‐in‐physics/  5

i quark. Nella seconda fase, che egli definì "Tutto è campo", cominciò a vedere il mondo come  fatto di campi di forza, in cui le particelle erano semplici manifestazioni dei campi elettrici,  magnetici, gravitazionali e dello stesso spazio‐tempo. La terza fase, che è anche la più recente e  che lui ha chiamato "Tutto è informazione",  è iniziata quando si è concentrato sull'idea che la  logica e l’informazione sono alle fondamenta della teoria fisica.    Da queste considerazioni si comincia a intuire che il calcolatore non è solo una macchina  complessa, ma è qualche cosa di più, e non solo, come si è visto, dal punto di vista del  ragionamento filosofico che sottende. Il calcolatore abilita una nuova matematica e dunque un  nuovo pensiero.  Questo è importante perché molte difficoltà incontrate in passato nel pensare  che tutto sia deterministico derivavano dalla mancanza di modelli matematici che, pur nel  determinismo, lasciassero spazio all’umana imprevedibilità del futuro e dunque al libero arbitrio.   Contrariamente a quelli che ritengono che il determinismo e il libero arbitrio  si escludano a  vicenda, io credo come  tanti altri che le due idee possano coesistere, a patto di intenderci sulla  definizione di libero arbitrio, vista la non univocità del termine.  Se per libero arbitrio definiamo   semplicemente la percezione di essere “attore” che ogni essere umano ha mentre agisce, allora i  due concetti possono coesistere. Ovvero anche se gli esseri umani non possono formare  indipendentemente dal contesto i propri desideri e convinzioni, l'importante è che  l’interpretazione di "libero arbitrio" sia collegata alla possibilità di tradurre quei desideri e quelle  convinzioni in azioni volontarie. Con questa premessa andiamo ora alla ricerca della matematica  che sia in grado di coniugare determinismo e libero arbitrio.    L’avvento dei calcolatori e le formule ricorsive   Con il calcolatore possiamo finalmente vedere all’opera e vedere il risultato della matematica  ricorsiva, che è una matematica difficile da comprendere senza il calcolatore stesso, e dunque non  era mai stata presa in considerazione come descrittrice dei modelli fisici fino agli anni ’60 dello  scorso secolo. Si tratta di una matematica che ha formule molto semplici ma che necessita di un  calcolatore per arrivare ai risultati, perché nella maggior parte dei casi i risultati si vedono solo  dopo che si sono eseguite tantissime iterazioni.  Le due tipologie di ricorsive  più note  sono  quella   dei  frattali e quella degli automi cellulari.   Partiamo dai  frattali di cui credo un po’ tutti abbiamo  visto delle immagini, magari senza sapere  cosa rappresentassero  (vedi figura 2) .  Si tratta di  oggetti tra i più complessi della matematica, anche se la loro formula è spesso in apparenza molto  semplice. Ad esempio nel caso dei frattali tipo Mandelbrot, studiati da Benoît Mandelbrot8 dal  quale prendono il nome, la formula è del tipo:  Zn+1=Zn 2  + A    (dove n è un numero intero che va da 0 a infinito mentre  Z e A sono numeri complessi 9)  Nella formula, le A rappresentano dei punti del piano (piano complesso). Per sapere se le Z fanno  parte dell’insieme di Mandelbrot, la successione degli Zn per un dato A deve convergere a un  numero finito. Se la serie converge viene attribuito al punto il colore nero. Se la serie diverge (cioè                                                               8

   Benoît B. Mandelbrot, Gli oggetti frattali, Torino, Einaudi 1987     Un Numero Complesso Z è composto da una coppia di numeri reali  X e Y, dunque rappresentabili come un punto nel piano. Il  primo numero è chiamato parte reale, il secondo parte immaginaria e si scrive anche come  (X, iY).  L’unica “magia” che hanno  queste coppie è di essere dotate di una regola di scambio tra parte reale e parte immaginaria che si materializza con la  moltiplicazione tra coppie, ovvero: il prodotto di due parti immaginarie dà luogo a una parte reale, il prodotto di due parti reali dà  ancora luogo a una parte reale, il prodotto di una parte reale e una immaginaria dà luogo a una parte immaginaria.     

9

il numero d diventa sem mpre più graande), alloraa in funzion ne della velo ocità con cuui diverge (d di quanto  incrementaa tra un passsaggio e l’aaltro) le vienne assegnatto un colore e. Dunque lee parti colo orate non  fanno partte dell’insiem me di Mand delbrot.   

             

 

  Figura 2:        a) frattale di Mandelbrot; 10                                                  b) sviluppo o tridimensionnale di un fratttale11                         

  Vediamo ill cambio di paradigma che si cela  dietro a questa appare ente sempli cità.  L’indicce n  nella  formula staa ad indicarre che ogni risultato vieene calcolatto a partire dal risultatto preceden nte. Se  vogliamo ssapere qual è il centesimo risultatoo bisogna m mettere nellla formula i l 99esimo rrisultato,  ma per sap pere questo o bisogna avver messo pprima nella fformula il 9 98esimo risuultato, e cossì via.  Ecco  che allora ssi capisce che per ottenere un quaalsiasi risulttato  devo a aver calcola to o devo ccalcolare  tutti i valorri precedenti.  Prima dell’avvento  dei calcolatori queste funzioni rim manevano inesplorate  perché, come si può intuire, lo svvolgimento  manuale richiede tanttissimo tem po. La figurra 2.b   mostra unaa rappresen ntazione trid dimensionaale di un frattale.  In na atura non trroviamo il se et di punti  del frattalee di Mandellbrot. Tuttavia, i mode lli matemattici che prod ducono l'inssieme di Maandelbrot  si presentaano in un ceerto numero o di sistemi  naturali. A tale propossito le immaagini sotto riportate  sono esem mpi di conneessioni tra laa periodicitàà del set di Mandelbrot e le perioddicità che troviamo in  natura: cosste marine, vegetali, de elta di fium mi ecc.   

  ure frattali in natura: a) proofilo di una co osta 12;   b)  brroccolo romannesco 13;  c) alberi14   Figura 3:  Eseempi di struttu

                                                             10

  

11    12    13   

  Phil Reeed  https://www w.flickr.com/ph hotos/master‐pphillip/  Mandellbrot Exploratio on           Tai Le   https://www.fflickr.com/photos/taile/  3D fr actal      Ken Douglas,  https://www.flickr.com m/photos/goodd_day/       Karen B Booth, https://w www.flickr.com m/photos/frenc htart/ 

Dai frattali agli autom mi cellulari  La formulaa di un frattaale è dunqu ue un primoo esempio d di formula riicorsiva  dovve la ricorsiività serve  per calcolaare il risultatto in un datto punto. Si  è anche vissto che non n è una form mula risolvib bile per via  analitica. P Per la soluzione di quessto tipo di foormule si deve ricorrerre a un proccedimento formale  composto dal ripeterssi di un dete erminato nuumero finito o di passi, o ovvero quelllo che prima abbiamo  chiamato aalgoritmo. EEsso viene p poi trasform mato con un n linguaggio di program mmazione in n un  programma, il quale vviene infine eseguito daa un calcolaatore.  In ge enerale noi  risolviamo o ogni  problema ggeometrico o o matematico, anche  se istintivamente e senza accorgeercene, in m maniera  algoritmicaa ma con un n numero limitato di paassi. Ci sono o poi formu ule come quuella del fratttale che  richiedono o così tante iterazioni (rripetizione  di una sequ uenza di passsi) che prim ma dell’avve ento del  calcolatoree risultavano umaname ente pressooché incalco olabili.  Grazzie ai calcolaatori si è po otuto  dunque iniiziare ad esp plorare que este aree deella matemaatica, portando alla lucce un nuovo o filone di  ricerca chee non riguarrda solo ogggetti  matem matici  dellaa tipologia d dei frattali m ma anche ogggetti  logico/mattematici  co ome gli auto omi cellularii.   Gli automi cellulari  so ono modellii matematicci  che si evo olvono in fu unzione di uuna regola logica   e: il termine “automa”,  perché  si  anche molto semplicee.  Il nome ggià ci svela aalcune cose comportan no (evolvono nel tempo) seguendoo automaticamente un na regola;  i l termine “ccellulare”   perché la loro natura è discreta e e  si raffigurrano per l’ap ppunto grafficamente ccome piccolle celle  può assume ere solo duee valori, vuo oto o pieno, cioè di soli to bianco o o nero (nel  quadrate. Ogni cella p di evoluzionne, applicata al colore d della cella ssotto esame e, è  mondo diggitale 0 o 1). La regola d funzione dello stato (ccolore) delle celle vicinne e detta il risultato ( ccolore) futuuro della cella.  Per  ù compiutam mente il fun nzionamentto prendiam mo il caso dii un automaa cellulare  capirne più monodimeensionale, o ovvero una rriga di quaddratini: poicché il colore e dipende daai vicini e dato che  ogni cella h ha due vicin ni, il numero o possibile ddi stati in cu ui si possono trovare raaggruppate tre celle è  8  (per la reegola delle combinazio oni: 2 stati__cella1*2 staati_cella2*2 2 stati_cellaa3 = 23 =8). Ognuno di  questi statti raggruppaati  ammette ancora duue possibili futuri, dunq que le possiibili regole di  evoluzionee sono 256, ovvero tuttte le combinnazioni deggli otto possibili stati deelle tre celle e (per la  regola delle combinazzioni e aven ndo 8 configgurazioni: 2sstati futuri cconfig.1 * 22stati futuri config.2  8   256) . Ogni A Automa è id dentificato ccon il numeero della reggola , e qui  *... * 2stati futuri conffig.8= 2 =2 sotto in figgura 4 possiamo vedere e la regola ddi comportaamento dell’automa ceellulare num mero 90  con la sua evoluzione.  La prima iimmagine rrappresentaa la regola, la seconda lle prime evoluzioni in  cui appaiono pattern regolari che e si susseguuono nel tem mpo.    

               Figura 4:  a)) Automa Cellulare  Regola 90;                               b) evoluzione nel tempo dell’Autooma Cellularee  R.90                                                                                                                                                                                                                                             14

  

  Paulo V Valdivieso, httpss://www.flickr.ccom/photos/p__valdivieso/ 

  mbiamo rego ola e prendiamo l’automaa della regolaa 30 (figura 5 5), osservanddolo su scale e temporali  Se però cam più lunghe, ecco che appaiono delle e irregolarità , ovvero un ccomportame ento del tuttto imprevedibile rispetto  mpo.                                                                                                          all’automa 990 che invecce mantiene la sua regolaarità nel tem

         Figura 5:  a a) Automa cellulare  Regola a 30;                            b) evoluzione nel tem mpo dell’Autooma Cellulare  R.30 

 

Stephen W Wolfram15 neel libro “A n new kind of  science” paarla diffusam mente di quuesto tipo d di automi  monodimeensionali, e racconta dii come sia r iuscito a tro ovarne anch he alcuni chhe riproduce endosi  soddisfano o a molte  leeggi della fissica, mentree altri sono totalmente e sterili o daanno luogo  indefinitam mente agli sstessi patterrn. Questi m modelli matematici si riiscontrano aanche in naatura e qui  di seguito vvediamo un n esempio d di un patter n simile all’’automa della regola 300 in conchigglie che  non hanno o mai visto la luce del sole e che si   trovano nelle profond dità oceanicche.     

                           

        

    

Figura 6 :  Co onus textile (a))16  mostra il p pattern di un aautoma cellullare del tipo 3 30 (b) sul suo gguscio 

  Un automaa cellulare  altrettanto famoso è qquello bidim mensionale iinventato dda John Conway 17 e   chiamato ““il gioco della vita”.  Ne el suo insiem me non diffferisce molto dal frattaale  monodimeensionale, se non per ill fatto che i  quadrati su uddividono un piano  cche diventa una sorta  di scacchieera.  Anche qui ogni quadrato puòò avere solo due stati, ““vivo” o “moorto”, rappresentati  dai colori b bianco e nero (0 o 1).  SSi definisco no a caso un certo num mero di caseelle “vive” e e si osserva  come si evvolvono nel tempo, statto dopo staato, in funzio one di una regola  per  il cambio di colore   dipendentee dallo stato o delle celle e vicine, chee in un pian no sono 8 mentre nel caaso  monodimeensionale errano 2. La re egola per viivere è averre almeno 2 2 o 3 celle vvicine “vive””. Se ce ne                                                               15

 Stephen Woolfram,  A new kind of science,, Wolfram Meddia, 2002   

16

 Richard Lingg   https://www w.flickr.com/photos/rling/  Texxtile Cone  

17

 Gardner, Martin "Mathem matical Games – – The fantastic ccombinations of of John Conway's new solitaire  e game "life"",        Scientific  A American 223, O October 1970. 

sono di meeno si muorre per solitu udine, se ce  ne sono di più si muorre per sovraaffollamento. Vale  anche la reegola che see una cella ““morta“ si ttrova vicino a 2 o 3 celle “vive”, quuesta ritorn na in vita.   18 Da quando o il gioco deella vita è staato inventa to nel 1970 0 , sono sta ate identificcate  molte  interessanti "creaturee" viventi in questo uniiverso. Esse includono modelli chee rimangono o invariati,  oscillano p periodicameente, scivolaano attrave rso lo spazio mentre oscillano, o m modelli che emettono  forme che partono veerso l'estern no, chiamatee astronavi.  Utilizzand do tali compportamenti è possibile  implementtare dei mo odelli che traasportano i nformazion ni o che fann no operaziooni logiche.  Ma se il  gioco dellaa vita permeette di fare operazioni  logiche, allo ora esso è a a sua volta uun compute er, ed è a  19 questa con nclusione ch he  arriva Paaul Rendell  nel 2000  .   

  Figura 7. :  Gioco della vitaa:,  9 passi  di evoluzione deel pattern 1 se econdo la rego ola descritta nnel testo 

  Formule non ricorsive e e complesssità irriduccibile  Abbiamo finora visto i frattali e ggli automi ceellulari , che e sono due esempi di fo formule rico orsive.  Vediamo o ora le formu ule  non rico orsive, che ssono quelle più  comun nemente ussate e che tu utti  abbiamo im mparato a sscuola. Di qu uesto grupppo fanno paarte anche  le funzioni cche descrivvono  i  fenomeni ffisici. Prend diamo per esempio unaa delle form mule più sem mplici, ovverro   y=a*x                                             

  ppresentazion ne nel piano di una retta    ((in questo ese empio a=2)                                                                                        Figura 8: rap

  che è la forrmula di un na retta passsante per l’ origine in un piano carrtesiano (figgura 8). La sstessa  forma assu ume anche la formula d del moto di  un corpo aa velocità co ostante:   s==v*t . Posso sapere  quanto spaazio ho perccorso al tem mpo t senza  sapere quaal era lo spa azio percorsso al tempo t‐1,  ovvero perr conosceree un risultato non devoo conoscere il risultato precedentee.  Queste fo ormule  sono chiam mate anche funzioni . C Come  ulteriiore esempio prendiam mo la traietttoria di un p pallone  colpito con n un calcio. Essa è facilmente desccrivibile dalla formula d della  parabbola del tipo o: y=  2 a*x +b*x+  c.                                                                          

19

 http://rendell‐attic.org/gool/tm.htm 

                     

 

 

Figura 9:  a) p parabola in un n quadrante d del piano carteesiano  b)traie ettoria ideale di un pallone  e  lanciato con un calcio 

  Il moto è d descritto da una funzione risolvibille per via an nalitica e se enza far ricoorso a formu ule  ricorsive, o ovvero  ogni punto può ò essere calccolato senza tener con nto dell’evolluzione storrica dei  punti preceedenti.  Chiamerem mo i fenomeeni che possono esseree descritti d dalle funzion ni  fenomenni “riducibilii”, poiché  essi posson no essere descritti (ridotti), anchee se complessi, con una a formula chhe è una funzione.   Chiamerem mo invece feenomeni “irrriducibili” qquei fenom meni che non n possono eessere ricon ndotti a   formule caalcolabili per via analitica con una  funzione, e e che dunqu ue continua no a celare la loro  complessittà. Faremo o ora due ese empi che sppiegano  la d differenza trra i due cas i.   Come prim mo caso  preendiamo un orologio e  lo apriamo:  vediamo che per quaanto complicato sia il  suo meccanismo interrno, il movimento com mplessivo pu uò essere se empre scom mposto in taanti  e in questo  movimentii elementarri, la sommaa dei quali rricostruirà  iil movimentto complesssivo. Anche caso il funzzionamento o del sistema è indipenndente dallaa storia  del sistema steesso, vale a dire che  per calcolaarne il funzio onamento, ammesso cche si conossca la formu ula che lo deescrive, si p può partire  da un qualunque istan nte nel tempo, trascuraando il com mportamento nel tempoo antecedente.   

              

Figura 10: a)un orologio è un sistema co omplicato; 20, b) una manife estazione è un n sistema com mplesso.  21

   

  Se prendiaamo invece in considerazione una  manifestazzione di piazzza, vediam mo che, in qu uesto caso,  non è posssibile scomp porre il siste ema in tantii sottosistem mi descrivib bili con funzzioni, e non è possibile  disporre dii una funzio one analiticaa che descriiva il fenom meno. Le varrie componeenti del sisttema, oltre  a essere diipendenti trra di loro co ome nel cas o dell’orolo ogio,  dipend dono anchee  dal loro passato, c’è  una dipend denza tra co osa succede e al tempo tt e cosa succederà al te empo t+1. Q Queste situaazioni, per  le quali non disponiam mo di formu ule analitichhe, vengono o definite “ccomplesse”,, e la loro co omplessità                                                               20  

 

21

 

 

Ben Graantham https://www.flickr.com/photos//ijammin/       Steve Kaaiser https://w www.flickr.com/photos/djbbones/ 

“irriducibile”.  Se la complessità è riducibile, ci troviamo solo di fronte ad un meccanismo  complicato.  Le  formule degli automi cellulari, di qualunque dimensione essi siano, sembrano conciliarsi di più  con i fenomeni complessi che si sviluppano in maniera consequenziale. Queste formule   rappresentano dunque un vero e proprio cambio di paradigma: mentre nelle formule non ricorsive  un risultato futuro può essere calcolato, una volta nota la formula, indipendentemente dal  risultato passato, nelle formule ricorsive invece un risultato futuro può essere previsto solo se  sono stati calcolati tutti, e ripeto tutti, i valori passati. Insomma dobbiamo ripercorrere la storia  dall’inizio per conoscere il futuro, la qual cosa dal punto di vista della nostra esperienza di umani  non dovrebbe stupire  più di tanto.     L’universo: un calcolatore che computa in maniera ricorsiva il suo stato futuro   In un primo momento la scoperta di queste “strane”  formule  ricorsive mi aveva incuriosito, per la  loro soluzione per via algoritmica e la vicinanza  ai calcolatori, e anche per la loro facilità di  programmazione. Leggendo qua e là avevo intravisto un collegamento con alcune strutture del  mondo fisico, ma non avevo notato alcun nesso con l’evoluzione dell’universo finché non mi sono  imbattuto nel libro di Stephen Wolfram citato in precedenza22. Devo dire che questa lettura mi ha  riordinato le idee, almeno dal punto di vita logico, lungi dal dire di aver compreso la questione. Sto  cercando di spiegare perché la cosa ha un senso logico, e parto dalla formazione  che ho avuto e  che mi ha portato ad avere  una visione deterministica del mondo e dell’universo. Dentro questa  visione non c’è spazio per il caso e tutto è causalità. Il problema nasceva dal fatto che le uniche  formule che conoscevo e che servivano a descrivere i fenomeni e dunque  l’universo erano del tipo  non ricorsivo, provenienti da una visione “riducibile” dell’universo che risaliva a Cartesio e  Leibnitz.  Una formula risolvibile per via analitica che descrivesse l’universo  mi preoccupava un  po’.  Era difficile accettare un determinismo che permettesse di  ridurre l’universo a una formula  calcolabile per via analitica, perché per  tanto complessa essa fosse, sarebbe stata pur sempre  calcolabile, anche se con delle approssimazioni,  e ciò avrebbe messo nelle mani di chi avesse  avuto la formula (e strumenti di calcolo sufficientemente potenti) il futuro! Questo ovviamente  avrebbe tolto a ciascuno di noi la possibilità, almeno in principio,  di  autodeterminarsi ovvero di  poter disporre del libero arbitrio.  Il primo problema che mi si poneva era quindi come coniugare  determinismo e libero arbitrio. La scoperta delle formule ricorsive, come quelle del tipo  dell'automa cellulare, può dare un'ottima risposta alla domanda. Se infatti la formula dell’universo  fosse una formula ricorsiva, allora  potremmo  far convivere  determinismo e  libero arbitrio senza  paura che qualcuno possa “rubarci” il futuro, perché una  formula di tipo ricorsivo non   permetterebbe a chi la possiede di avvantaggiarsi di essa per scrutare nel futuro. Per fare ciò,  questi dovrebbe disporre di un calcolatore così potente da riuscire a eseguire la formula dalla sua  prima iterazione (il  momento della nascita dell’universo) all’iterazione che porta allo stato attuale,  il tutto in un tempo decisamente inferiore ai 14 miliardi di anni. Tuttavia, sappiamo da  considerazioni logiche e fisiche che è impossibile costruire un sistema più efficiente del sistema  che lo contiene, in altre parole, è impossibile costruire un calcolatore  che sia più efficiente del                                                               22

  Vedi nota 15 

calcolatore che lo contiene. Dunque possedere la formula ricorsiva dell’universo avrebbe  unicamente uno scopo estetico e scientifico. Essa permetterebbe di conoscere le prime fasi  dell’universo, e forse di capire l’evolversi di alcuni fenomeni locali, visto che i pattern dentro le  formule ricorsive tendono a ripetersi, anzi la ripetizione è prevalente, il che spiega  perché sia  possibile costruire delle teorie scientifiche e avere delle leggi che all’interno di certe scale  dimensionali danno degli ottimi risultati..  Inoltre c’è una ragione secondo me ancora più profonda per cui l’algoritmo dell’universo non può  che essere ricorsivo, ed è legata alla contraddizione che  porta con sé una descrizione dell’universo  basata su una formula non ricorsiva, la quale per quanto complessa è pur sempre calcolabile in un  tempo ragionevolmente finito, almeno entro i primi ordini di grandezza. Ecco il ragionamento: se  conosco la formula posso calcolare (predire) il futuro, se conosco il futuro potrei cercare di  cambiarlo modificando il corso degli eventi presenti, il che contraddice però il fatto di avere una  formula che predice il futuro.  Se invece la formula è ricorsiva, se cioè l’universo non è riducibile ad  una formula risolvibile per via analitica, allora esco dalla contraddizione poiché  per quanto visto  prima non potrei mai essere in condizione di poter calcolare il futuro, visto che il calcolatore  ipotetico della formula universo avrebbe uno svantaggio temporale di 14 miliardi di anni.    Da queste considerazioni si può concludere che l’universo potrebbe essere una sorta di automa  cellulare, immune a qualsiasi possibilità di manipolazione del futuro a medio o lungo periodo da  parte di chi ci sta dentro. Che l’universo possa avere un meccanismo evolutivo sul modello  dell’automa cellulare è un'ipotesi sostenuta da parecchi  studiosi, tra i quali, come abbiamo già  visto, Stephen Wolfram e prima ancora Konrad  Zuse, uno dei padri del calcolatore così come lo  conosciamo  oggi, il quale ne teorizzò l’idea nel testo “Rechnender Raum”23 (“lo spazio  calcolante”) nel 1967.  Questo ragionamento sottende che l’universo è un calcolatore e che la sua  evoluzione è da attribuirsi all'esecuzione di un programma, peraltro molto semplice, alla stregua di  una regola di riproduzione di un automa cellulare. Partendo da un pattern semplicissimo, con il  tempo lo stesso si complicherebbe così tanto da produrre gli imponenti fenomeni  che osserviamo  nell’universo. A tale proposito vale la pena di citare Richard Feynman, uno dei più grandi fisici di  sempre, che disse:  “Mi lascia sempre perplesso il fatto che, secondo le leggi come le  comprendiamo oggi, ci vogliano una macchina calcolatrice e un infinito numero di operazioni  logiche per calcolare quello che accade in una regione dello spazio e del tempo, per quanto piccola  sia. Come può accadere così tanto in quel piccolissimo spazio? Perché c'è bisogno di una quantità  infinita di logica per calcolare ciò che accadrà in un piccolissimo frammento di spazio tempo?  Così  ho spesso ipotizzato che alla fine la fisica non avrà più bisogno di un'enunciazione matematica, che  alla fine il meccanismo sarà svelato e le leggi appariranno semplici, come una scacchiera con tutte  le sue difficoltà solo apparenti”24    L’informazione  Eseguendo i programmi, un calcolatore non fa altro che elaborare informazioni e crearne di nuove.  L’informazione è una grandezza che proprio  Zuse porta in primo piano nel suo scritto                                                               23

 Konrad Zuse, Rechnender Raum, Elektronische Datenverarbeitung, vol. 8,  1967.  In inglese : Calculating Space, MIT Technical         Translation AZT‐70‐164‐GEMIT,  Cambridge, Mass.,  1970  24   Richard Feynman,   La legge fisica ,   Bollati Boringhieri, 1971 

“Rechnender Raum”, e ad essa dà lo stesso valore che si dà alla massa e all’energia, una vera e 

propria grandezza fisica.  Zuse ipotizza che questa ulteriore grandezza  potrebbe forse  permetterci  di  spiegare leggi come quella della conservazione dell’energia.  Questa convinzione sussiste  tutt’oggi ed alcuni fisici come Seth Lloyd25 pensano che comprendendo meglio il ruolo  dell’informazione si possa arrivare a conciliare la teoria della relatività  generale con la meccanica  quantistica.  Visto che l’informazione comincia a fare capolino come grandezza fisica,  proviamo a  darne una definizione come la diede Bateson26, ovvero una differenza che genera una differenza.  Contrariamente alla massa e all’energia, l'informazione non è collocabile nello spazio tempo e non  si conserva. Potremmo anche dire che l’informazione non si divide ma si moltiplica.  Inoltre per  l’informazione vale una sorta di principio di non ulteriorità: non occorre ricorrere ad altri concetti  per spiegare cosa sia. Parafrasando Edward Fredkin 27,  uno dei grandi sostenitori dell’idea che  l’universo sia un calcolatore e padre della filosofia digitale28:  di tutte le cose al mondo per le quali  ci si domanda di cosa siano fatte, di una sola si riesce a rispondere senza tirare in ballo  qualcos’altro, e questa è l’informazione.    Parlare di informazione ci porta a parlare di bit, ovvero della sua unità elementare, che possiamo  rappresentare come una cella vuota o piena, bianca o nera, e se assegniamo un numero al vuoto e  al pieno  ritroviamo lo 0 e l’1.  Se abbiamo dei bit e un calcolatore che li elabora con degli  algoritmi, il risultato è informazione. L'informazione sarà tanta o poca in funzione di quanto  cambiamento questa produrrà, e non dipenderà dalla quantità di 0 o 1 prodotti ma dal loro grado  di prevedibilità. Una sequenza infinita di 0 e 1 che si ripetono con regolarità (0,1,0,1,0,1,01…)  contiene pochissima informazione perché possiamo scrivere una regola molto semplice per  descriverla.  Dunque più casuale è la sequenza più questa contiene informazione, fino al limite di  infinita informazione per una sequenza casuale infinita.    Chi invece si è occupato di misurare la quantità di informazione è stato Claude E.  Shannon, e la  teoria è descritta nel trattato “A Mathematical Theory  of Communication” del 1948. Questo è a  tutt’oggi uno dei pilastri della teoria dell’informazione ed è alla base di tutti i ragionamenti che  legano energia, entropia, informazione.    

L’entropia e una nuova prospettiva per il futuro dell’universo  Sin dalle scuole primarie ci hanno fatto credere che l’entropia sia disordine e che l’Universo si stia  evolvendo verso un aumento dell’entropia e un livellamento della temperatura, fino a raggiungere  una specie di morte termica in un universo freddo.  Innanzitutto sfatiamo il concetto che l’entropia  sia disordine: l'entropia non è disordine29! Questa confusione su disordine ed entropia risale al  1895, cioè a prima che ci fosse un'adeguata comprensione dei dettagli sui livelli di energia in atomi  e molecole. A quel tempo l'esistenza delle molecole non era nota neanche ai più eminenti  scienziati. Chi ha proposto ed elaborato la seconda legge della termodinamica non aveva nessuna  frase migliore per descrivere ciò che credeva accadesse nelle sostanze. Solo più tardi, a partire dal                                                               25

  Seth Lloyd, Programming the Universe, Alfred A. Knopf, 2006 

26   

Gregory  Bateson, Verso una ecologia della mente, Adelphi, Milano, 1976 

27

  Edward Fredkin, citato nell’articolo di Richard Wright, "The On‐Off Universe, The Sciences (January‐February 1985) 28   http://www.digitalphilosophy.org/  29    

Frank L. Lambert, Professor Emeritus (Chemistry), http://entropysite.oxy.edu/ 

primo Novecento, si è capita l’esistenza dei livelli di energia quantizzata, e ordine/disordine sono  diventati termini sempre più obsoleti. La seconda legge della termodinamica è un potente aiuto  per capire perché il mondo funziona così com'è, perché le pentole calde si raffreddano, perché si  sta caldi anche al freddo, perché la benzina fa funzionare un motore. Essa ci dice che nel nostro  mondo materiale l’energia di qualunque  genere si dissolve o si disperde se essa non è ostacolata  nel farlo. L'entropia è la misura quantitativa di questo processo spontaneo: quanta energia è  passata dal sistema nello stato ristretto o concentrato al nuovo sistema nello stato più  ampiamente sparso (alla temperatura del processo). Dal 1860 fino ad oggi, in fisica e chimica  l’entropia è stata applicata solo alle situazioni che coinvolgono il flusso di energia che può essere  misurata in forma di calore. L’entropia non è disordine, non una misura del caos, non una forza  trainante. La diffusione dell’energia, o la dispersione  in più micro‐stati, è la forza trainante della  chimica. L'entropia è la misura o l'indice di tale dispersione. In termodinamica, l'entropia di una  sostanza aumenta quando viene riscaldata perché più energia termica significa più micro‐stati  all'interno della sostanza. Al contrario, quando i gas o i liquidi si lasciano espandere o mescolare in  un volume più grande, l'aumento di entropia è dovuto ad una maggiore dispersione della loro  invariata energia termica originale. Da un punto di vista molecolare tutti questi aumenti di  entropia comportano la dispersione dell'energia su un numero maggiore, o su un set più  facilmente accessibile, di micro‐stati.    A tale proposito facciamo un esempio. Prendiamo un bidone di benzina: si sa che essa è   altamente infiammabile, o per meglio dire instabile, perché non ama rimanere in uno stato con  così elevata concentrazione di energia. Per questo basta una piccola scintilla per farla esplodere.  Ora il bidone di benzina può essere visto come un sistema che contiene tutte le molecole di  benzina, ed è descrivibile con un certo numero di informazioni visto che le molecole non possono  che stare all’interno del bidone, e che la loro velocità dipende solo dalla temperatura, secondo la  distribuzione di Boltzman. Miliardi e miliardi di molecole tutte facilmente descrivibili, se  accettiamo un piccolo errore. In presenza della fiamma il bidone esplode, e il risultato è che il  sistema finale ha aumentato notevolmente l’informazione e ha distribuito l’energia. Gli eventi che  avvengono spontaneamente tendono a distribuire equamente l’energia e ad aumentare  l’informazione, infatti adesso per descrivere tutte le molecole ci servono molti più dati. Si può fare  la stessa analogia con l’aria costretta nel pneumatico e la foratura del pneumatico.  Prendendo  spunto dall’entropia di Shannon30 ,  viene spontaneo  associare l’entropia alla   quantità di informazione.  La conclusione è che  l’universo stia andando verso  stati a più  alto  contenuto di informazione.  Quello che a noi  sembra disordine non sarebbe altro che  informazione  non ancora compresa.     Un Universo antropomorfo o infomorfo  Questa prospettiva dell’entropia intesa come informazione cambia un po’ il nostro modo di  guardare all’universo. Si può ipotizzare un principio infomorfico e non antropomorfico, si può cioè  pensare che l’universo è così non tanto per permettere a noi di osservarlo ma perché esso tende  all’emersione di strutture intelligenti che lo possano anche osservare. Se l’universo si evolve verso                                                               30

 Sriram Vajapeyam,  Understanding Shannon's Entropy metric for Information, http://arxiv.org/abs/1405.2061 

 

stati di info ormazione ccrescente, sse cioè sta ddiventando sempre più ù intelligentte e se la no ostra  presenza n ne è una pro ova, allora d dovremmo ttrovare nell’evoluzione e universalee strutture iin grado di  gestire den nsità di energia crescen nte. Infatti,  come vedremo nel pro ossimo paraagrafo, è prroprio  questa cap pacità che aumenta la q quantità di  informazion ne gestibile, in quanto  esiste un le egame  diretto tra l’energia lib bera e l’enttropia (legatta ai micro‐‐stati del sistema). A taale riguardo  sono  interessanti gli studi d di Eric Chaissson31  che ddimostrano come l’univverso si stiaa evolvendo o verso  strutture cche hanno laa capacità d di sosteneree sempre maggiori densità di enerrgia. Il graficco  seguente illustra prop prio questa tendenza nnel corso delle ere che ccontraddisttinguono la storia  dell’univerrso.  

  Figura 11: i  flussi di den nsità di energgia delle struutture che si sono via via sviluppate nnel nostro un niverso 

  Da questi sstudi si ricavva la consid derazione chhe  più complesse ed  o organizzate  sono le strutture, più  flussi energgetici sono in grado di gestire.  Noon sorprend de allora, an nche se in reealtà è conttro‐ intuitivo, cche una fogllia d’erba ge estisca una  densità di e energia (103 erg/sec/g))  maggiore circa 100  volte rispetto a quellaa di una stellla come il ssole  (