LOS PROTOCOLOS ESCRITOS COMO MEDIO PARA EVALUAR LA COMPRENSIÓN MATEMÁTICA APLICANDO EL ANÁLISIS SEMIÓTICO AL PROCESO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS (Primera Parte) 1 Fredy Enrique González UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR Venezuela
[email protected] RESUMEN Esta es la primera de dos partes de un trabajo en el cual se expone una opción para evaluar la Comprensión Matemática estudiando los procesos de pensamiento activados durante la resolución de problemas matemáticos; para ello, se propone la aplicación de las técnicas del Análisis Semiótico, desarrolladas por J.D. Godino (2001), al contenido de los protocolos donde el resolutor registra por escrito todo cuanto le acontece, en los ámbitos cognitivo, emocional y corporal, mientras se aboca a la tarea de búsqueda de la solución a algún problema de contenido matemático. La primera parte es introductoria; en ella: (1) se sitúa el asunto en el contexto de la trascendencia que la resolución de problemas tiene en el aprendizaje matemático; (2) se esbozan aspectos básicos del Análisis Semiótico; y (3) se incluye un ejemplo de protocolo elaborado por el propio autor. En la segunda parte (que se publicará en un próximo número de la Revista Enseñanza de la Matemática de la Asociación Venezolana de Educación Matemática, ASOVEMAT), se ampliarán detalles relativos a las técnicas de Análisis Semiótico ejemplificando su aplicación al protocolo correspondiente al Problema de las Baldosas incluido en el presente artículo. Descriptores: Análisis Semiótico; Protocolos Escritos; Resolución de Problemas; Tareas Intelectualmente Exigentes, Metacognición. INTRODUCCIÓN Los problemas y el proceso de búsqueda de su probable solución siguen siendo “el corazón de la Matemática”, tal como lo dijera Paul Halmos (1980). Por ello, la necesidad de hacer investigación en resolución de problemas continúa vigente; las “Reflexiones Acerca de la Investigación en Solución de Problemas Matemáticos: 1970-1994”, llevadas a cabo por Frank Lester, Jr. (1994) así lo sugieren; en efecto, aún existen interrogantes en el ámbito de la resolución de problemas matemáticos que aguardan por su correspondiente respuesta y que son un espacio donde se propicia el ejercicio de la creatividad de quienes se entusiasman por este asunto. Entre los temas que permanencen ignotos se encuentra el que se refiere a los procesos de pensamiento puestos en juego por quien se aboca a la Tarea Intelectualmente Exigente (González, 1998) constituida por el esfuerzo de búsqueda de la solución a algún problema matemático; tales procesos son tan importantes como elusivos. Por ello, se requiere del desarrollo de procedimientos, técnicas, métodos e instrumentos que hagan viable el acceso a dichos procesos. En este contexto se ubican los protocolos que se construyen a partir del registro escrito de todo cuanto le acontece a un estudiante de Matemática, mientras se aboca a tratar de resolver un problema, tanto en lo cognitivo como en lo emocional y corporal; tales protocolos objetivan el recorrido cognitivo, afectivo y kinestésico llevado a cabo por el resolutor y se convierte así en un medio que hace posible el estudio de los procesos de pensamiento, especialmente de aquellos que son manifestación de 1
Como citar este artículo: González, Fredy Enrique. (2001). Los Protocolos Escritos como medio para evaluar la comprensión matemática aplicando el análisis semiótico al proceso de resolución de problemas matemáticos. Revista Enseñanza de la Matemática (ASOVEMAT, Venezuela); 10 (2), 44- 51.
la Comprensión Matemática, la cual da cuenta de los significados que los objetos matemáticos tienen, tanto el Individual (el que le asigna cada persona en particular) como el Institucional (aquel que el objeto tiene per se en el contexto de la propia disciplina matemática). A continuación se presentan aspectos básicos relacionados con: (a) una perspectiva cognitiva de la resolución de problemas que enfatiza la atención sobre los procesos de pensamiento implicados en la búsqueda de solución a los problemas matemáticos; (b) la elaboración de protocolos, y (c) el Análisis Semiótico. Esta primera parte culmina con la inclusión del protocolo elaborado por el autor cuando resolvió el Problema de las Baldosas. Perspectiva Cognitiva de la Resolución de Problemas y el Papel de los Protocolos Escritos La solución de problemas matemáticos exige la activación de un conjunto de procesos de pensamiento de orden superior que propicien el establecimiento de conexiones entre: (a) la información contenida en el enunciado del problema y los significados cotidianos y la terminología matemática; (b) las unidades discretas de información contenidas en el problema para construir una totalidad significativa; (c) esta totalidad y un esquema conceptual del problema; (d) este esquema y un procedimiento matemático; por ello, los procesos de pensamiento que las personas activan cuando resuelven problemas de Matemática son indicios de su nivel de competencia para la realización de tareas propias de esta disciplina, es decir de su Comprensión Matemática, la cual implica el establecimiento de conexiones significativas entre los múltiples tipos de conocimientos que componen un área matemática específica; entre dichas conexiones están las que se establecen entre conceptos y procedimientos, símbolos y referentes concretos (dibujos o material manipulable); entre conceptos o procedimientos generales y ejemplos específicos; entre conocimiento recién adquirido y conocimientos previos; entre la terminología matemática y el mundo real, y el lenguaje y experiencias diarias. El estudio de los procesos de pensamiento que los alumnos activan cuando están abocados a la búsqueda de la solución de algún problema de Matemática, concebida ésta como una Tarea Intelectualmente Exigente (González, 1998), crea la necesidad de diseñar procedimientos que hagan posible apreciar el funcionamiento intelectual del alumno, cuando éste está en plena actuación, es decir, enfrascado en el proceso de resolución. Uno de dichos procedimientos consiste en exigirle al resolutor que registre por escrito todo lo que va pensando, todas las emociones y sensaciones que va teniendo, y –de ser posible- todas las reacciones que en su organismo se van produciendo, mientras trata de resolver el problema que se le ha planteado; de esta manera se obtiene una información que, luego de ser analizada, permite hacer inferencias relacionadas con los procesos o modos de pensamiento empleados por la persona durante el proceso de búsqueda de la solución. Los registros realizados por el alumno en su papel de resolutor constituyen lo que se denomina un protocolo; así que éste consiste en un registro escrito, pormenorizado y detallado de todos los fenómenos (cognoscitivos, afectivos, vivenciales, experienciales, kinestésicos, etc.) de lo que le ha sucedido a una persona mientras ha estado intentando resolver algún problema, aun cuando no haya logrado alcanzar la solución del mismo. Los protocolos constituyen un instrumento cuya elaboración y posterior análisis de su contenido, podría ayudar al resolutor a incrementar sus niveles de actuación metacognitiva; es decir, tomar conciencia de sus propios procesos de pensamiento, y en consecuencia, mejorarlos; a través de la metacognición (González, 1996), el resolutor está en condiciones de reflexionar acerca de su propio comportamiento y desempeño cuando está intentado resolver problemas. Usando la información que se registra en un protocolo, pueden ser respondidas las siguientes preguntas: ¿cuáles son los caminos que ha seguido el resolutor para resolver el problema? ¿ qué decisiones ha tomado? ¿se ha empecinado en alguna idea? O, por el contrario, ¿ha considerado varias opciones para abordar el problema? ¿qué tipo de representaciones ha empleado, cómo ha sido su pensamiento: visual, analítico, geométrico?. Tomando el hábito de la reflexión, podría hacer emerger 2
en parte los procesos que rigen su mente y tomar conciencia tanto de sus capacidades para resolver problemas, como de sus límitaciones y bloqueos; así, podrá llegar a saber: cuáles dificultades tiene para resolver problemas, cuáles son los problemas que más le gusta resolver, qué tipo de estrategias para resolver problemas domina mejor, cuál es la tendencia habitual de su pensamiento. En un protocolo se registran dos tipos de información: TIPO 1: ésta hace referencia al contenido del proceso (operaciones, dibujos, gráficas, tablas, cálculos, algoritmos matemáticos utilizados, representaciones ideográficas o simbólicas, intentos fallidos, errores de cálculo, tachaduras o enmiendas). Por su importancia, esta información no se debe borrar, es preferible tacharla; TIPO 2: aquí se incluyen todas las observaciones hechas acerca del proceso; son comentarios pertinentes que se hacen sobre la marcha (lo que se está haciendo, lo que se opina acerca de lo que se está haciendo, los sentimientos por los que se está pasando, las angustias, las emociones, las sensaciones, las vivencias, las alegrías, los comentarios, en fin, todo aquello que permita formarse una idea de lo que está ocurriendo en la mente y en el cuerpo de la persona cuando está esforzándose por resolver el problema). El Análisis Semiótico como Técnica para el Estudio de los Protocolos de Resolución de Problemas Debido a que los protocolos constan de registros escritos y pormenorizados de la actividad intelectual, emocional y corporal desplegada por el resolutor al enfrentarse a la tarea de resolver el problema, ellos constituyen una objetivación de dicha actividad la cual, en consecuencia, es susceptible de ser estudiada recurriendo a alguna herramienta de análisis pertinente como, por ejemplo, el Análisis Semiótico que sugiere Juan Diaz Godino, del Departamento Didáctica de la Matemática en la Universidad de Granada; de acuerdo con Godino y Arrieche (2001), dicho análisis constituye una técnica que permite caracterizar tanto los significados sistémicos (o praxeológicos) de un objeto matemático como los significados elementales puestos en juego en un acto de comunicación matemática. Así mismo, dicho análisis proporciona una herramienta para identificar conflictos semióticos potenciales en la interpretación de un texto usado en un proceso de estudio, o conflictos que tienen lugar en la realización efectiva de una interacción didáctica (p. 2). Esta técnica y su aplicación a la caracterización de significados se ha ejemplificado en Godino (2001) donde se hizo el análisis de un proceso de estudio de la mediana propuesto en un libro de texto de educación secundaria. Se afirma que es posible aplicar el Análisis Semiótico al estudio de los protocolos porque éstos constituyen un texto susceptible de ser descompuesto en “unidades semióticas” construidas como segmentos que se definen a partir de los cambios que el resolutor efectúa en el uso de las siguientes “entidades primarias”: Lenguaje (escrito, oral, gráfico,...), Situaciones-Problemas, Acciones (operaciones, algoritmos, procedimientos, técnicas), Conceptos (definiciones), Propiedades (proposiciones), y Argumentos (justificaciones, validaciones) (Godino, 2001; Godino y Arrieche, 2001). El Problema de las Baldosas: protocolo elaborado por el autor Seguidamente se incluye el ejemplo de un protocolo escrito por el autor para la resolución del problema intitulado PROBLEMA DE LAS BALDOSAS y cuyo enunciado se ofrece a continuación. 3
PROBLEMA DE LAS BALDOSAS La superficie de un piso ha sido cubierta con baldosas de cerámica, blancas y negras, según el diseño de la figura que se muestra más abajo. Observe que el ancho del modelo es de siete (7) baldosas. ¿Cuántas baldosas en total se utilizaron, si el ancho total del piso es de ciento cuarenta y tres (143) baldosas.
Figura 1 PROTOCOLO ELABORADO POR EL AUTOR 1. 10:05 a.m. (Recuerdo que he decidido enumerar los párrafos). Me vienen a la mente ideas vagas y conocimientos acerca del problema; ya hay varios alumnos 1 que lo han resuelto, aunque difieren en el resultado. Alguien me dijo que había usado progresiones. Tengo en la mente la imagen del dibujo del problema. Me siento presionado porque hay alumnos que ya han trabajado el problema y yo no lo he hecho todavía. Siento que a medida que voy escribiendo, me voy serenando, calmando (suspiro profundo, cruzo las piernas y... otro suspiro...), me dispongo a leer el enunciado... (suspiro profundo...). 2. (Otro suspiro). Por fin, voy a leer el enunciado. Leo el enunciado por primera vez. Me llama la atención la palabra “superficie”. No se me ocurre nada. Vuelvo a leer. Al leer “blancas” y “negras”, pienso en incógnitas. Recuerdo que en otra oportunidad dividí el enunciado del problema en diferentes oraciones. Leo otra vez. Veo el modelo (Figura 1). Observo que hay una simetría. Esta simetría es axial, hay un número impar (7) de líneas y la cuarta línea constituye el eje. Se me ocurre simbolizar el aspecto matemático del diseño haciendo una tabla donde aparezcan: nro. de la línea, cantidad total de baldosas de cada línea, cantidad de baldosas blancas y cantidad de baldosas negras. Esa tabla es lo que voy ha hacer ahora.
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3. Tabla 1 # de línea 1 2 3 4 5 6 7 Total
N 1 2 3 4 3 2 1 10
B 0 1 2 3 2 1 0 9
T 1 3 5 7 5 3 1 25
Estoy tratando de encontrar alguna relación... Suspendí el trabajo porque me llamaron y tuve que salir del salón (10:21 a.m.)
4. (Continúo después de atender a los visitantes, 10:25 a.m.) Se me ocurre dibujar un nuevo diseño; en este caso creo que hay que trabajar a partir de la línea media (es decir, la cuarta línea, extendiéndola hacia la derecha y hacia la izquierda con dos baldosas adicionales, una de cada lado); como los extremos son baldosas negras, entonces hay que colocar dos baldosas blancas. Voy a dibujar ese diseño. Se me ocurre calcarlo en la hoja.
(a) Tengo dificultades para hacer el diseño en este nuevo caso; (b) observo que agregando sólo dos baldosas blancas, el diseño que se obtiene no coincide con el modelo. Así que pienso que debe agregarse por parejas alternadas, una blanca y una negra. O sea, que el aumento se debe hacer de cuatro en cuatro, dos de cada lado, una blanca y otra negra; (c) Noto que al agregar cuatro se obtienen 14 blancas y 18 negras (= 32 baldosas adicionales). Observo que 32 = 8.4. Voy a hacer la tabla de este diseño.
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Tabla 2 # de línea 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Total
N 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 36
B 0 1 2 3 4 5 4 3 2 1 0 25
T 1 3 5 7 9 11 9 27 5 3 1 61
Ahora voy a tratar de encontrar regularidades: 1. Al agregar 4 baldosas se obtienen 11 líneas (11 = 4 + 7) 2. Los totales de cada color son cuadrados perfectos En el caso de ancho 7: N = 16 = 42 (4 = nro. de negras) B = 9 = 32 (9 = nro. de blancas) En el caso de ancho 11 (7 + 4): N = 36 = 62 (6 = nro. de negras) B = 25 = 52 (5 = nro. de blancas) 3. ¡Eureka! El total de baldosas depende de la cantidad de cada color que haya en la línea media; es decir, la que marca el ancho. A partir de siete, hay que irlas aumentando de cuatro en cuatro, dos blancas y dos negras.
Noto que me emociona saber que estoy cerca de la solución; pero, me inquieta que aún no la tenga precisada. Estoy tratando de ver qué ocurre cuando se pasa de siete a once. El próximo diseño tendrá ancho 15 (11 + 4) y en la línea media habrá 8 negras y siete blancas; por tanto, el total de baldosas será igual a 82 + 72 = 64 + 49 = 113. El problema es, entonces, saber cuántas negras y cuántas blancas habrá en la línea que tenga 143 baldosas de ancho, ¿cómo lo averiguo? 5. Usaré una tabla donde relacione: número de la línea media, ancho de la línea, nro. de baldosas negras y nro. de baldosas blancas. Tabla 3 # de línea 4 6 8 10 12 . . .
Ancho 7 11 15 19
N
4 6 8 10
B 3 5 7 9
Tengo la sensación de que el número de la línea media aumenta de dos en dos, es decir, aumenta dos líneas por encima y dos líneas por debajo cada vez que se agregan cuatro baldosas a la línea media anterior. Observo que, el nro. de línea coincide con el número de baldosas negras y que el ancho es igual al doble del número de la línea, menos una unidad; es decir, (a) # de línea = # de baldosas negras (b) ancho de línea media = 2(# de línea) – 1 = 2N – 1. Me falta hallar una relación para el Nro. de blancas; pero, me doy cuenta de que es una unidad menor que el número de negras; o sea, B = N – 1. Creo que puedo plantear una ecuación: Ancho de línea media = B + N = (N–1)+N = 2N – 1 ¡EUREKA!
6. Ancho de Línea Media = 2N – 1. Si el ancho es 143, entonces tendremos que 2N – 1 = 143; por consiguiente, N = 71. Así que las blancas deben ser... ¡HEY! Tengo UN error, N no puede ser 71, porque entonces B sería 70 y (71 + 70) no da 143. Así que voy a hacer la cuenta de nuevo. 7. 2N –1 = 143 2N = 144 N = 72 B = 71. Por tanto, en la línea media tendremos 72 negras y 71 blancas. De acuerdo con la Tabla 2, el número total de baldosas será: 2 71 + 722 = 5041 + 5184 =10.225. Este resultado coincide con el que los alumnos hallaron en el salón. ¡Menos mal ... ! (12 m.) 6
8. Después de haber encontrado la anterior solución, con más tranquilidad, me dispongo a buscar otra vía. Los alumnos en el salón dijeron que habían usado progresiones, voy a tratar de hacerlo por esa vía. Intento hacerlo mirando las tablas, pero, siento la necesidad de recurrir al modelo (diseño) inicial. 9. Decido trabajar con el diseño correspondiente al ancho de línea media igual a 11. Me doy cuenta de que, en este caso, el número total de baldosas es: T = 2 (1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1) = 2(1+3+5+7+9) + 11 Me da la impresión de que para el caso de ancho de L.M. igual a 143, tendría la siguiente situación: T = 2 (1+3+5+7+9+11+... + 141) + 143 = 2[(1+141)141/2] + 143 = 142.141 + 143 = 20065 No me da igual. Evidentemente hay un error. Voy a revisar. 10. Mi error es que estoy considerando mal la suma de los términos de una progresión aritmética. Tengo una progresión aritmética donde a 1 = 1, r = 2 y n = 141. Ojo, No es n = 141, sino 70. No, tampoco es 70. Son 71 11. No recuerdo la fórmula para hallar Sn. Voy a deducirla... (Me cuesta escribir en la computadora los cálculos manuales que hice; ...decido copiarlos a mano, ver Figura 2).
Figura 2: Cálculos Hechos a Mano relativo a la Suma de n Términos de una Progresión Aritmética
12. Realmente, di muchas vueltas para llegar al resultado usando progresiones. Este resultado no me discrimina el número de blancas y negras. ¿Cómo lo hago por esta vía? No lo se... por ahora... Como ya ha sido dicho, el protocolo anterior constituye una instancia de comunicación matemática. En él se aprecian distintos tipos de actuaciones que el resolutor ha llevado a cabo en su esfuerzo por encontrar la solución al Problema de las Baldosas. Al contenido de este protocolo es posible aplicarle técnicas de Análisis Semiótico; el espacio otorgado para este artículo no permite incluir dicho análisis aquí; ello será el objeto de la segunda parte de este trabajo, la cual será incluida en un próximo número de esta misma Revista.
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REFERENCIAS Godino, J. D. (2001). Análisis Semiótico y Didáctico de Procesos de Instrucción Matemática . Versión revisada del trabajo presentado en la Reunión del grupo “La Didáctica de la Matemática como Disciplina Científica”. III Simposio de la SEIEM, Valladolíd, Septiembre de 1999. Recuperable en: http://www.ugr.es/local/jgodino/semiótica.htm Godino, J. D. y Arrieche, M. (2001). El análisis Semiótico como Técnica para Determinar Significados. Recuperable escribiendo a
[email protected] González, F. (1993-1996). Acerca de la Metacognición. Paradigma XIV al XVII, (1-2), 109-135. González, F. (1998). Metacognición y Tareas Intelectualmente Exigentes. Zetetiké, 6 (9), 59 – 87. Halmos, P. (1980). The Heart of Mathematics. The American Mathematical Monthly, 87(7), 519-524. Lester, F. Jr. (1994). Musings About Mathematical Problem-Solving Research: 1970-1994. Journal for Research in Mathematics Education- JRME , 25( 6), 660-675. Existe traducción al español elaborada con fines didácticos por Yolanda Serres V. (Enero, 1996;
[email protected])
EL AUTOR: Fredy E. González Universidad Pedagógica Experimental Libertador
[email protected] Núcleo Maracay, Tel.: (58) (243) 2421983 (58) (144609532) Apartado 514; Código Postal 2101 Maracay, Estado Aragua Venezuela
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Líneas de Trabajo: Formación de Profesores. La metacognición en los procesos de resolución de problemas; la Educación Matemática como disciplina científica. Historia Social de la Educación Matemática.
Se hace esta mención por cuanto este protocolo fue elaborado por el autor en el marco de un curso sobre Resolución de Problemas administrado por él mismo, en 1997, a un grupo de trece (13) Estudiantes para Profesor de Matemática; éstos fueron alumnos regulares de la Especialidad de Matemática en el Núcleo Maracay de la Universidad Pedagógica Experimental Libertador (UPEL Maracay)
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