Los Obstáculos en El Aprendizaje Del Conocimiento Probabilístico: Su Incidencia Desde Los Libros De Texto 6 Obstacles in the Learning of Probabilistic Knowledge: Influence From the Textbooks

LOS OBSTÁCULOS EN EL APRENDIZAJE DEL CONOCIMIENTO PROBABILÍSTICO: SU INCIDENCIA DESDE LOS LIBROS DE TEXTO SERRADO, ANA Profesora de E. Secundaria [email protected] CARDEÑOSO, JOSÉ Mª Universidad de Granada [email protected] AZCÁRATE, PILAR Universidad de Cádiz [email protected] SUMARIO La importancia del estudio de los obstáculos en la construcción del conocimiento probabilístico es significativa debido al amplio número de sesgos, heurísticos, falacias y paradojas que surgen al asignar probabilidades a fenómenos aleatorios. Para clarificar dicha importancia, se presenta, en primer lugar, una reflexión sobre el significado que adquieren los obstáculos en el proceso de enseñanza y aprendizaje del Conocimiento Probabilístico. En segundo lugar, se introduce una clasificación de los obstáculos en epistemológicos, ontogénicos y didácticos; fundamentados en las revisiones de las investigaciones en el campo. En tercer lugar, se incluyen los resultados de la investigación sobre los obstáculos que puede inducir la presentación de éste conocimiento en las unidades dedicadas al "Tratamiento del Azar" en los libros de texto españoles de Educación Secundaria Obligatoria (de 12 a 16 años). SUMMARY The study of the obstacles in the construction of the probabilistic knowledge is important because subjects assign probabilities with the use of fallacies, paradoxes, heuristics and slants. In order to clarify this importance, first we present a reflection about the obstacles meaning in the teaching and learning process of the probabilistic knowledge. We, also, present a classification of the obstacles in epistemological, ontogenics and didactics. Finally, we include the results of an investigation about the obstacles in the units related to de "Hazard's Treatment" in the Spanish textbooks of Secondary School (ages from 12 to 16). Keywords: Textbooks, Secondary School, Obstacles, Teaching and Learning Probability 1. INRODUCCIÓN Los resultados que se presentan en este trabajo se enmarcan en la línea propuesta por Shaughnessy (1996). Este autor especificaba la necesidad de que las futuras investigaciones incluyan el estudio de las conexiones entre la enseñanza y el aprendizaje de la probabilidad. Los resultados que presentamos se integran en el estudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje del Conocimiento Probabilístico en la Etapa de Educación Secundaria Obligatoria (ESO, de 12 a 16 años). El inicio de dicho estudio parte del análisis de contenido de los libros de texto españoles para dicha etapa educativa; con una muestra significativa de las cuatro editoriales más habituales en España, que

incluye cinco textos (correspondientes a 1º, 2º, 3º y 4º de ESO; en 4º de ESO se diferencian dos niveles, A y B, según los estudios futuros. Apéndice I) La información procedente del análisis de los libros de texto debe entenderse como una primera aproximación a los difíciles y complejos procesos de enseñanza y aprendizaje del Conocimiento Probabilístico. La complejidad de dichos procesos se debe entre otros a tres causas básicas (Serradó, 2003). En primer lugar, el conocimiento matemático de carácter probabilístico se sustenta epistemológicamente en la noción de incertidumbre, antagónica a la noción de certeza, que caracteriza el conocimiento escolar matemático de otros ámbitos, como el álgebra, el análisis matemático o el geométrico. En segundo lugar, en el proceso de construcción y formalización del conocimiento probabilístico se han perdido las intuiciones sobre nociones como azar, aleatoriedad o incertidumbre. En tercer lugar, el conocimiento probabilístico se construye a partir de unas intuiciones primarias que aparecen en edades muy tempranas y que no evolucionan paralelamente al desarrollo del sujeto, entendiendo que emerge de la lógica causal, fuente de anti-intuiciones para el aprendiz (Fischbein, 1975). Estas intuiciones son producto de lo que directamente es percibido por el niño en diferentes contextos; lo cual provoca que los sujetos pongan en funcionamiento diferentes razonamientos y esquemas operativos en función de su experiencia en dichas situaciones. Las intuiciones que ponen en juego los alumnos en la construcción del conocimiento probabilístico son diferentes a las que se ponen en juego en otras áreas de conocimiento matemático (Fischbein, 1990, 1999). Bajo estos principios de complejidad, un proceso de enseñanza y aprendizaje del conocimiento probabilístico debería favorecer la evolución de las concepciones iniciales de los alumnos acerca de la probabilidad. A este respeto, Konold (1995) indica que los alumnos inician sus estudios sobre la probabilidad con intuiciones incorrectas. Además, indica que estas intuiciones son muy difíciles de alterar, complicación que viene originada por el hecho de que un estudiante puede sostener múltiples creencias, a menudo contradictorias, a cerca de cada situación en particular. Estas afirmaciones invitan a pensar que es necesario analizar cómo se ponen en juego las intuiciones primarias de los alumnos y, cómo se soslayan las dificultades existentes en la construcción del conocimiento probabilístico. Es decir, si los profesores tienen en cuenta a la hora de pensar en la planificación de su intervención, las dificultades y/o obstáculos que pueden existir en la construcción del Conocimiento Probabilístico. O si, por el contrario, el mismo proceso de enseñanza y aprendizaje fomenta el desarrollo de creencias contradictorias que dificulten la construcción adecuada del conocimiento. La respuesta a estos dos interrogantes pasa necesariamente por la conceptualización de la noción de obstáculo, la identificación de los obstáculos en la construcción del conocimiento probabilístico y el análisis del significado que adquieren en los procesos de enseñanza y aprendizaje. 2. LOS OBSTÁCULOS La noción de obstáculo utilizada en este artículo se basa en las consideraciones aportadas por Brousseau (1983). Para este autor, el obstáculo está constituido por un conocimiento, de los objetos, de las relaciones, de los métodos de aprendizaje, de las previsiones, de las evidencias, de las consecuencias olvidadas, de las ramificaciones imprevisibles, etc. que incide en la formas de pensar, se resiste a desaparecer, tiende a estabilizarse y se adaptará localmente. Socas (1997) define un obstáculo como aquel conocimiento que ha sido, en general, satisfactorio durante un tiempo para la resolución de ciertos problemas, y que por esta razón se fija en la mente de los estudiantes. Pero que, posteriormente, este conocimiento resulta inadecuado y difícil de adaptarse cuando el alumno se enfrenta a problemas nuevos. Un conocimiento, como un obstáculo, es fruto de la interacción del alumno con su medio y, precisamente, con una situación que le produce este conocimiento "interesante". Como tal, un obstáculo tiene significado en un sistema didáctico en el que coexisten, un alumno, un conocimiento y un medio. Brousseau (1983), considera que los obstáculos que se presentan en el sistema didáctico pueden tener diferentes orígenes: epistemológico, didáctico o ontogénico. El obstáculo de origen epistemológico está intrínsecamente relacionado con el propio concepto. Los obstáculos de origen ontogénico son debidos a las características del desarrollo del aprendiz. Los obstáculos de origen

didáctico son resultado de una opción o de un proyecto del sistema educativo, esto es, de las elecciones didácticas que se hacen al establecer una situación de enseñanza por el docente. Esta consideración de los obstáculos didácticos permite concluir que, en sí mismos, son un elemento a tener en cuenta en la planificación y desarrollo de los procesos de enseñanza y aprendizaje. 3. EL PAPEL DE LOS OBSTÁCULOS EN LOS PROCESOS DE ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE La consideración, por parte de los profesores, de la reflexión sobre los obstáculos en la construcción del conocimiento probabilística, debe ser un núcleo importante a la hora de planificar el proceso de enseñanza y aprendizaje. En cambio, las investigaciones sobre la planificación de los procesos de enseñanza y aprendizaje del conocimiento probabilístico indican las dificultades de los profesores para reflexionar sobre los obstáculos en la construcción de dicho conocimiento (Serradó, 2003a). Esta disyunción entre la necesidad de considerar los obstáculos en el aprendizaje de la probabilidad y la falta de su consideración por parte de los profesores, informan de la importancia que pueden adquirir los obstáculo, errores, dificultades e intuiciones en el desarrollo de los alumnos. La reflexión intencionada, por parte de los profesores sobre el significado de los procesos de enseñanza y aprendizaje, promueve el estudio e investigación sobre los obstáculos y dificultades de los alumnos. La reflexión sobre los obstáculos en el dicho proceso está relacionada con la reflexión intencionada y la necesidad de dar respuesta a interrogantes más amplios como: "¿Cómo se puede favorecer la evolución significativa y relevante de las concepciones de los alumnos?. ¿cómo formular una hipótesis realista de contenidos escolares que tenga en cuenta el punto de partida de los alumnos, sus ideas, expectativas e intereses potenciales?, ¿qué hipótesis de progresión se debe establecer para superar las posibles dificultades de aprendizaje y cómo hacerlo?, ¿qué actividades, y en qué secuencia, pueden favorecer el cambio y la evolución significativa de las ideas de los alumnos?, ¿qué momentos metodológicos existen y en qué se fundamentan?, ¿cómo organizar un plan de actividades abierto y flexible que se adapte a la dinámica natural del aula?…" (Porlán y Rivero, 1998: 92)

PROCESO DE INTEGRACIÓN DE LOS OBSTÁCULOS NIVEL INICIAL

NIVEL INTERMEDIO

Modelo didáctico Tradicional

Modelo didáctico innovador tecnológico y espontaneista

Sin consideración de los obstáculos

NIVEL REFERENCIA Modelo didáctico Investigativo Eje organizador de los problemas

Cierta consideración: errores, paradojas, falacias

figura 1: Niveles de integración de los obstáculos Estos interrogantes se deben entender como ámbitos de investigación profesional que favorecen el desarrollo profesional del profesorado (Azcárate, 1999) Las posibles respuestas a estos interrogantes son complejas, múltiples y diversas. En este artículo, se presenta una posible respuesta, reducida, a estos problemas tan amplios desde la consideración del papel del profesor, el tratamiento de los obstáculos y las actividades que se proponen a los alumnos. Las posibles respuestas que los profesores dan a estos interrogantes se pueden presentar desde diferentes modelos (figura 1).

Hay formas más simplificadas y reduccionistas, que corresponden a modelos didácticos tradicionales; que evolucionan, progresivamente hacia otras formas de hacer, más coherentes con modelos alternativos de carácter constructivista e investigativo, pasando por niveles intermedios que tienen cierta consideración de las intuiciones previas de los alumnos, sus dificultades y obstáculos en la construcción del conocimiento probabilístico. El siguiente gráfico reproduce la integración de la noción de obstáculo en los procesos de enseñanza y aprendizaje (P E/A), según una hipótesis de desarrollo profesional del docente. Así, desde el modelo tradicional, desde una perspectiva epistemológica positivista, enfatiza el papel expositivo del profesor que organiza el P E/A. Se promueve la presentación de una estructura cerrada, jerarquizada y lineal del currículum, que no permite la intervención del alumno, y dónde no se tienen en consideración los obstáculos epistemológicos, ontogénicos o didácticos en la construcción del conocimiento probabilístico. Tampoco se proponen actividades que faciliten la indagación en falacias, paradojas; sino que estas se reducen a la aplicación de los contenidos explicados previamente por el profesor. Sin embargo, los modelos didácticos innovadores se caracterizan por dar un mayor protagonismo al alumno, su aprendizaje y actuación. Existen dos tendencias diferenciadas de modelos innovadores: tecnológicos y espontaneistas. Los modelos innovadores tecnológicos se fundamentan en la participación activa del alumno a partir de la realización de un conjunto de actividades, elaboradas y secuenciadas desde perspectivas científicas. Algunas propuestas se basan en la organización de actividades en formas de procesos dirigidos a sustituir el error detectado en la evaluación inicial de las concepciones de los alumnos (Serradó, 2003a). El error en el Proceso de E/A, simplemente, pone de manifiesto una idea o noción inadecuada y existencia de fallos en el proceso. El error es concebido como una condición que acompaña a todo proceso de mejora, como un elemento constructivo e innovador (De la Torre, 1993). Esta consideración positiva del error supone una concepción innovadora para la mayor parte de los profesores, ya que exige pensar desde parámetros diferentes el significado del aprendizaje del alumno y la posible existencia de obstáculos en dicho proceso. En este caso, el profesor, puede realizar cierta planificación a priori de los obstáculos que pueden surgir durante la elaboración de las actividades. Por el contrario, en el modelo didáctico innovador espontaneista, no hay previsión sobre los posibles obstáculos que puedan surgir durante el P E/A. En la planificación de la intervención no se tienen en cuenta las concepciones previas de los alumnos, ni los obstáculos que se presentan con relación a la construcción del conocimiento probabilístico. El proceso se organiza a partir de tópicos, determinados por los centros de interés de los alumnos, que guían la elección y organización de los contenidos. Estos tópicos se organizan en tareas que favorecen el activismo del alumno, la aplicación de estrategias de ensayo y error; sin una fase de institucionalización del conocimiento, existiendo una desconexión entre los conocimientos conceptuales presentados y la experimentación realizada por el alumno. Dichas tendencias espontaneistas pueden reforzar el uso de heurísticos y sesgos en los alumnos al aportar explicaciones parciales válidas desde las observaciones y reflexiones sobre las actividades basadas en el ensayo y error. Ya en el nivel de referencia, se encuentran los modelos didácticos investigativos que suponen un cambio conceptual, que afecta tanto al papel que adquiere el alumno como el del profesor. Los alumnos, principales protagonistas del proceso, han de participar en la elaboración de decisiones sobre la reconstrucción de sus concepciones, percepciones, actitudes y sentimientos personales. El profesor aboga por una necesaria relación entre el conocimiento a tratar y el entorno del alumno. Y, entiende el P E/A, no como una transmisión de conocimiento, sino como la creación de condiciones para que los esquemas de conocimiento que ha de elaborar el alumno en el transcurso de sus experiencias, sean lo más rico posible. En este sentido, la lógica de la organización del currículum es más de carácter didáctico, siendo el eje de la estructura metodológica, la investigación de problemas significativos que respondan a los intereses de los alumnos. La propuesta de actividades, elaborada a tal propósito, es diversificada, abierta y organizada en función de los obstáculos a superar. Dichos obstáculos son abordados de forma indirecta, a través de las diferentes tareas propuestas a los alumnos, facilitando el proceso de investigación (que en ningún momento pretende reproducir las pautas del método científico).

La siguiente tabla (Tabla 1) resume las cuatro tendencias, expuestas anteriormente, con relación al "Tratamiento de los obstáculos en el P E/A". Tabla 1: Indicadores de las tendencias Elementos

Tradicional

Organización del currículum Papel del profesor Papel del alumno

Fragmentada, acumulativa y lineal Explicación, expositivo Pasivo, receptivo

Consideración de los obstáculos

Sin consideración

Actividades

Aplicación de la teoría explicada

Innovador Investigativo Tecnológico Espontaneista Emulación método Abierta sin Construcción del científico progresión conocimiento Presentador del método científico Reproductor del proceso

Observador

Mediador, crítico y reflexivo Activista Experimentador, analista, constructor del conocimiento Relacionados con Obstáculos que Como eje los errores surgen de la organizador de la actuación del selección de los alumno problemas Búsqueda de Actividades de Resolución de errores, paradojas, manipulación: problemas desde la falacias, situaciones observación y emulación método paradójicas desarrollo de los científico procesos

Desde una tendencia investigativa, para poder diseñar situaciones cuyo eje sea la superación de ciertos obstáculos y la construcción del conocimiento probabilístico, se necesita indagar y reflexionar sobre cuáles son los obstáculos significativos en el aprendizaje de las nociones probabilísticas. En la siguiente sección, se introduce una clasificación de los obstáculos que surgen en el "Tratamiento del Azar" y en la construcción de las nociones de aleatoriedad y probabilidad, la asignación de probabilidades y el estudio de la dependencia e independencia de sucesos. 4. OBSTÁCULOS EN LA CONSTRUCCIÓN DEL CONOCIMIENTO PROBABILÍSTICO La clasificación de los obstáculos que se presenta, a continuación, no recorre el amplio abanico de nociones asociadas a la noción de probabilidad, sino que se restringen a las que se presentan en el currículum escolar español para alumnos de 12 a 16 años (Decreto 106/1992). Dichas nociones se recogen en la siguiente tabla (Tabla 2; Serradó, 2003) Los obstáculos en la construcción del Conocimiento Probabilístico que presentamos están clasificados siguiendo las indicaciones de Brousseau (1983), en epistemológicos, ontogénicos y didácticos. Los obstáculos clasificados como epistemológicos se seleccionan de las investigaciones sobre Historia de la ciencia y de los procesos en la construcción de los conocimientos por parte de los científicos. Los obstáculos clasificados como ontogénicos, se elaboran a partir de la revisión sobre las investigaciones sobre el aprendizaje de estas nociones en los sujetos. Mientras que los obstáculos didácticos se extraen de las investigaciones sobre el "Tratamiento del Azar" en el aula. A pesar de la clarificación de estas tres categorías, a menudo, es difícil determinar si un cierto obstáculo de tipo epistemológico, no tiene también un carácter ontogénico; obstáculo que se reproduce en el sistema didáctico, configurándose, como un obstáculo de carácter didáctico.

Tabla 2: Nociones propuestas en el currículo Nociones Noción de aleatoriedad

Noción frecuencial probabilidad

•

de

Dependencia/Independencia aleatoria Esperanza matemática

•

Falta de información / datos.

•

Complejidad de las variables que inciden

•

Desconocimiento del proceso.

la •

Asignación de probabilidades

Observaciones Imposibilidad de predecir el resultado.

Estabilidad de las frecuencias relativas de muestras de tamaño creciente.

•

Tendencia a la probabilidad

•

Simulación mediante ordenadores

•

Regla de Laplace

•

Estimación

•

Reglas de probabilidad

•

Análisis de la dependencia aleatoria

•

Sucesos independientes

•

Probabilidad condicionada

•

Asociada a la ganancia o pérdida de un juego (justo).

4.1 OBSTÁCULO EPISTEMOLÓGICOS Los obstáculos epistemológicos están asociados a la misma construcción del conocimiento científico y, a su evolución histórica. Las consideraciones sobre estos obstáculos se realizan atendiendo a la evolución de las nociones de azar, aleatoriedad y la noción de probabilidad. La noción de Azar La clarificación del significado de la noción de azar ha necesitado de la evolución en la construcción de dicha noción que ha pasado por diferentes etapas significativas, en las que se buscaban diferentes explicaciones (Discursos del azar) para los fenómenos indeterminados (Azcárate, 1995). A lo largo de la construcción del significado de la noción de azar, se distinguen cinco fases diferenciadas, que coinciden con los discursos del orden, del azar/necesidad, de la providencia, de la ignorancia y de la complejidad. El primer estado en la evolución de la noción corresponde al Discurso del orden. El azar es entendido como causa desconocida que produce sucesos inesperados o "extraños", que se asocia con el viejo desorden inicial (Caos), que a veces surge a través de fuerzas incontroladas de origen mágico o divino. Un segundo estadio en la evolución de la noción de azar es el Discurso del Azar/Necesidad. El azar, reconocido como algo desconocido, es explicado como un simple reflejo del cruce inesperado de un conjunto de hechos que son producto de causas necesarias, establecidas por series causales independientes. Este es un significado similar al que hoy se otorga al termino causalidad que se diferencia del término suerte. La existencia de la incertidumbre en el mundo grecorromano se transformo en el poder de la Providencia, tercer estadio de los discursos del azar, que garantiza el orden y la armonía del Universo. La Divina Providencia no elimina la suerte o la casualidad, sino que no tiene en consideración el "azar" entendido como reflejo de lo desordenado, lo incontrolado o lo no causal.

La progresiva separación de las explicaciones de los fenómenos de los razonamientos divinos y la aproximación a las explicaciones debidas a teorías científicas hace concluir la aparición de un cuarto estadio y nuevo discurso del Azar, el Discurso de la Ignorancia. La teoría determinista del conocimiento científico reconoce dos tipos de fenómenos: aquellos que se rigen por leyes armónicas, y, por tanto, son previsibles en su evolución y repetición, y otra serie de fenómenos que aparentemente inexplicables e impredecibles, producto de la ignorancia. El "azar" era producto de la ignorancia humana a la hora de traducir científicamente, según leyes causales y deterministas ciertos acontecimientos de la Naturaleza. Según esta concepción no hay "azar" realmente, no existe el azar en sí mismo, es nuestra ignorancia lo que nos hace recurrir a él. Pointaré en una búsqueda de una noción de "azar" que significase algo más que la ignorancia humana, describió tres tipos de sucesos cuyo comportamiento era atribuido a éste. En primer lugar, sucesos que pueden estar producidos por causas insignificantes que se nos escapan perceptivamente, pero que determinan un efecto considerable. En segundo lugar, sucesos en qué lo importante no es la pequeñez de las causas que lo provocan, sino la complejidad de todas las interacciones entre ellas. En tercer y, último lugar, la limitación de los sujetos para describir todas las partes del Universo, que obligan a razonar de forma aislada considerando sólo los aspectos directamente implicados. En la actualidad, cuando se intenta analizar el comportamiento de un fenómeno o predecir su evolución, las decisiones se basan en la información que de él poseemos. De forma general y, en función de la naturaleza de la información o de la ausencia de ella, se pueden distinguir dos tipos de sucesos imprevisibles. Por una parte, aquellos en los que la carencia de información sobre los mismos emana de la propia naturaleza del fenómeno, fundamentando un azar esencial, natural u ontológico. Por otra parte, aquellos cuyo funcionamiento depende de las leyes empíricas fruto de la observación del hombre y sobre los cuales tenemos aún una información parcial sobre sus causas, fundamentando un azar relativo, humano o epistemológico. El reconocimiento de estas posibles categorizaciones del azar, hace que se conforme un último discurso del azar, el "azar" como elemento provocador de la complejidad existente en la realidad, donde su significación puede estar ligada a un carácter más ontológico. La reflexión que presenta Azcárate (1995) sobre la existencia de diferentes discursos del azar, indica la existencia de fuertes obstáculos epistemológicos en la propia construcción de su significado, relacionados con la noción de causalidad. Paralelamente, si se analizan los estudios sobre el significado que le atribuyen los sujetos a la noción de azar, se observa la existencia, también, de ciertos obstáculos ontogénicos. Hoemman y Ross (1982, cit. en Azcárate 1995) establecen que los niños antes de los seis años no tienen bien definida la relación causa-efecto y, en consecuencia, no diferencian las nociones de azar y causalidad. Es más, Inheler y Piaget (1985: 91) argumentan que "en el nivel preoperatorio, ante el azar los sujetos presentan una actitud paradójica: esperan que frente a condiciones semejantes los fenómenos se repitan de modo idéntico". En un principio el niño se desorienta ante lo inesperado o fortuito, pero luego progresivamente busca causas que justifiquen "más o menos" las fluctuaciones encontradas. Observa que la sucesión regular entre los hechos y, en general, ante las variaciones encontradas, admiten que todo es posible, lo que les lleva a buscar razones ocultas para los hechos de un cierto orden oculto; como, por ejemplo, cuando esperan una cierta compensación en la aparición de los posibles resultados esperados, como una autorregulación de los resultados. A este respeto, Benneth (2000: 13) indica que "las ideas intuitivas sobre el azar pueden preceder a las ideas formales y, si son correctas, pueden ser de gran ayuda en le aprendizaje; pero en caso contrario, pueden llegar a dificultar la correcta comprensión de los conceptos". La argumentación establecida, por esta autora, orienta sobre la necesidad de introducir, en el proceso de enseñanza y aprendizaje del conocimiento probabilístico, el estudio de la noción de azar. La no-inclusión de esta noción puede suponer un obstáculo didáctico en la construcción de la noción de probabilidad, ya que ésta se sustentará en ideas intuitivas que no permitirán comprender la naturaleza de los que fenómenos ante los que se enfrentan. En este sentido, se considera que la noción de azar es básica junto con la noción de aleatoriedad para caracterizar la noción de probabilidad.

La noción de aleatoriedad La aleatoriedad, en sí misma, es un concepto ambiguo que sólo puede ser definida en función de los instrumentos de los que se disponga para probar el carácter aleatorio del fenómeno ante el que nos enfrentamos. Ayton, Hunt y Wright (1989) plantean la imposibilidad de otorgar una definición rigurosa a la noción de secuencia aleatoria como explicación de la variedad de criterios que presentan los individuos para determinar si una cierta secuencia es aleatoria o no. Cardeñoso (2001), ante esta dificultad, propone la caracterización de la noción de aleatoriedad a partir de cuatro elementos independientes: el objeto de estudio, el conjunto que lo acoge, la proposición que determina dicha pertinencia del acontecimiento de la clase y un cuerpo de conocimiento como referente. El objeto de estudio se entiende como el acontecimiento al cual hay que enmarcar en una u otra proposición para su contextualización, estudio e interpretación probabilística. Debe, por tanto, tratarse de un acontecimiento que suceda, de tal forma desordenada, como para que se le considere de carácter fortuito y se tenga su ocurrencia como imprevisible. Se puede destacar una cierta evolución histórica de la noción de objeto de estudio, al igual que se presentaba una evolución histórica de la noción de azar. En un primer periodo histórico, se consideran como objetos los acontecimientos lúdicos y los objetos usados en su práctica. En un segundo periodo, los objetos considerados son los acontecimientos naturales que susciten el interés de los científicos. En un tercer periodo, los objetos son los acontecimientos cotidianos como unas situaciones a estudiar y modelizar. Los acontecimientos cercanos, prácticos evolucionan hacia acontecimientos cotidianos pero universales, donde el interés histórico reside en la capacidad que adquieren los sujetos de estudiar y modelizar dichos objetos. Es más, la comprensión por parte de los sujetos de los acontecimientos, también, se organizan o evolucionan desde su mayor proximidad hacia su universalidad (Cardeñoso, 2001). Existen ciertos paralelismos entre la evolución histórica de los significados que adquieren los objetos aleatorios y la capacidad del sujeto en discriminarlos como tales objetos aleatorios. Esta idea, sugiere la existencia de una posible relación entre los obstáculos epistemológicos, en la identificación de los fenómenos (aleatorios), y los obstáculos ontogénicos, asociados a la capacidad de clasificar del sujeto, en función de su relación con el objeto. La superación de dichos obstáculos ha de surgir de un tratamiento didáctico de la noción de fenómeno aleatorio que tenga en consideración la explicación del acontecimiento y su clase de referencia. Se requiere dicha explicación para no dar lugar a interacciones verbales infructuosas en el aula y para no facilitar la ruptura comunicativa de la enseñanza. Un análisis de las investigaciones sobre la comprensión de dichos conceptos, da a conocer que la comunicación en el aula se podría romper si las cuestiones sobre su significado se responden de forma individual o si se interpreta o se espera una respuesta a nivel de reflexiones generales (Cardeñoso, 2001). Batanero y Serrano (1999) indican que la introducción de la idea de aleatoriedad se hace preferentemente de un modo descriptivo, cobrando un papel primordial los matices de lenguaje. La descripción de las características atribuidas a los resultados de los experimentos se realiza mediante palabras como imprevisibles, inciertos,… con las que se pretende que se evoquen las propiedades de tales fenómenos, pero cuyo significado no suele clarificarse, dando lugar a diferentes caracterizaciones de los objetos aleatorios. La falta de clarificación de la noción de aleatoriedad deja abierta la posibilidad de interpretación ambigua y, se puede configurar como un obstáculo en la comprensión de la noción de aleatoriedad por parte de los alumnos. Idea que indica que un tratamiento inadecuado de la forma de contextualizar y referenciar los objetos (acontecimientos, fenómenos, experimentos aleatorios,…), puede ocasionar un obstáculo didáctico en la comprensión de la noción de aleatoriedad y, la posterior, comprensión de la noción de probabilidad. La noción de probabilidad La presentación de los obstáculos epistemológicos asociados a la construcción de la noción de probabilidad, se realiza atendiendo a los estudios sobre la evolución histórica de dicha noción. Azcárate (1995) indica la existencia de cuatro etapas diferenciadas en su construcción.

Una primera etapa que constituye el final de su fase exploratoria, dirigida al estudio de los hechos concretos, que se reconoce como Prehistoria. La idea de probabilidad surge asociada a la noción de juegos de azar, siendo Cardano el primer matemático en realizar un argumento teórico para calcular las posibilidades de los distintos resultados relacionados con los juegos de dados. Paralelamente surgen ideas intuitivas relacionadas con el grado de posibilidad, con algunos cálculos de frecuencias teóricas, sin tener consideración de cuerpo de conocimientos. Una segunda etapa intermedia en la que se inicia su estudio sistemático, aunque sin alcanzar niveles de formalización matemática, denominada iniciación al cálculo de probabilidades. La probabilidad nace desde su aplicación al estudio de situaciones de juego, ligadas a contextos empíricos. Su primera configuración como una teoría está asociada a la posibilidad de sistematización del cálculo de los sucesos aportada por Newton, relacionándola, muy a menudo, con la combinatoria. Los estudios de Inhelder y Piaget (1985), sobre la importancia de los razonamientos combinatorios de los sujetos, establecen que si el sujeto no tiene la capacidad combinatoria, no es capaz de usar la idea de Probabilidad salvo en casos de experimentos aleatorios muy elementales. Estos autores, relacionan la aparición del concepto de azar, con la idea de permutación y la estimación correcta de probabilidades, con el desarrollo de combinación. El razonamiento hipotético-deductivo opera con las posibilidades que el sujeto descubre y evalúa, por medio de operaciones combinatorias; siendo la capacidad combinatoria un componente fundamental del pensamiento formal. La combinación supone la coordinación de la seriación y la correspondencia, la permutación implica una reordenación respecto a un sistema de referencia móvil y reversible. Por tanto, las operaciones combinatorias son operaciones sobre operaciones, características del nivel de pensamiento formal. Fishebein (1975) analiza las dificultades que presentan los alumnos en la resolución de problemas combinatorios. Este autor indica que no siempre se alcanza el nivel de las operaciones formales, si no hay una enseñanza específica. Estas consideraciones, indican la necesidad de realizar una enseñanza adecuada de las nociones combinatorias, para favorecer un aprendizaje significativo del conocimiento probabilístico. En España, la enseñanza de la combinatoria se ha realizado, tradicionalmente, a nivel de Bachillerato (de 16 a 18 años) separada del resto de los contenidos curriculares, excepto en su relación con la probabilidad. Esta enseñanza ha estado centrada en el aprendizaje de definiciones y fórmulas de las operaciones combinatorias y en hacer ejercicios de cálculo con expresiones combinatorias. La combinatoria se considera difícil por los profesores, quienes, a veces, han preferido omitir su enseñanza de este nivel educativo (Navarro-Pelayo y otros, 1996). Un ejemplo de esta omisión intencionada se puede constatar en el Diseño Curricular Base de la Junta de Andalucía (BOJA, Decreto 106/1992). Con posterioridad y, con la incorporación de los nuevos diseños curriculares correspondientes a la ley de calidad (BOE, 3 de julio de 2003), se vuelve a mencionar la combinatoria. Y, se establece como Criterio de Evaluación: "determinar e interpretar el espacio muestral y los sucesos asociados a un experimento aleatorio, simple o compuesto sencillo, y utilizar la Regla de Laplace, los diagramas de árbol, las tablas de contingencia u otras técnicas combinatorias para calcular probabilidades simples o compuestas". El aprendizaje de la combinatoria se reduce a la determinación de una serie de técnicas que favorezcan la aplicación de la regla de Laplace; siendo estas técnicas más un instrumento heurístico que un campo de conocimiento que favorezca el aprendizaje de la probabilidad. En la historia de la probabilidad, la combinatoria no fue significativa para el desarrollo de una Teoría de la Probabilidad. Los cálculos probabilísticos empiezan a adquirir consistencia a partir de las aportaciones de Bernoulli. Este autor estudiando el aparente desorden que presentaban los resultados obtenidos en situaciones de juego, observó una cierta regularidad en la aparición de dichos resultados, que se conoce en la actualidad como la Primera ley de los Grandes Números. Bernoulli consideraba la probabilidad como algo personal y, por tanto, factible de variación en función del conocimiento individual. Esta consideración de la probabilidad no es un hecho histórico aislado, sino que es un aspecto común en los individuos. Este conocimiento individual incide, directamente, en la comprensión del significado de la estabilidad de las frecuencias, por parte de los sujetos. La comprensión incorrecta del significado de la estabilidad de las frecuencias, común en los adultos, se refleja en una transferencia de dicha ley a muestras pequeñas y, esperan que se cumpla con un número

limitado de pruebas (Azcárate, 1995). Dicho razonamiento se basa en la creencia de que el azar funciona como un mecanismo auto-correctivo en el que una desviación en una dirección es rápidamente equilibrada por una desviación en la dirección contraria (Falk y Konold, 1992). El ser humano cree el azar es un proceso auto-corrector en el cual las desviaciones en una dirección terminan siendo compensadas por desviaciones en otra dirección (Benneth, 2000). Esta consideración incorrecta de la noción de azar, que sustenta el significado de la estabilidad de las frecuencias relativas, supone un obstáculo epistemológico y ontogénico que dificulta la comprensión de la noción de probabilidad. La dificultad en la comprensión de la estabilidad de las frecuencias relativas reside, también, en la comprensión del significado de convergencia estocástica y límite, conocimientos que se han configurado como un obstáculo epistemológico en la construcción del análisis infinitesimal. A su vez, la presentación de situaciones didácticas en el aula que se fomentase el análisis de la estabilidad de frecuencias relativas con una muestra pequeña, podría configurarse como un obstáculo didáctico. Una tercera etapa en la evolución histórica de la noción de Probabilidad, está asociada a la formalización matemática y a la introducción del concepto de probabilidad. En esta etapa aparecen dos perspectivas diferenciadas. Una primera perspectiva, la bernouliana que atenderá el estudio de las frecuencias relativas; y, otra, la bayesiana, que se presentará más relacionada con los grados de credibilidad y sus necesarios ajustes con la realidad. En una cuarta etapa, se entra en la fase de asimilación de los avances teóricos y el posterior desarrollo de aplicaciones. Estas aplicaciones que abarcaban todos los campos del conocimiento, provocan un gran número de juicios sin fundamento con conclusiones erróneas, que influyeron directamente y negativamente en la consolidación de este campo de conocimiento. El análisis de la evolución histórica del cálculo de probabilidades, ha permitido identificar los obstáculos que se han superado hasta convertirse en ciencia. Se puede constatar cómo la ambigüedad de esta noción reside en la dificultad de caracterizar, a nivel histórico e individual, las nociones de azar y aleatoriedad. La problemática nivel individual implica la necesidad de introducir la reflexión sobre la existencia de ciertos obstáculos ontogénicos. 4.2 OBSTÁCULOS ONTOGÉNICOS La presentación de los obstáculos ontogénicos se organiza en función de los obstáculos asociados a la comprensión del significado de las nociones básicas que sustentan las nociones de aleatoriedad y probabilidad y los obstáculos asociados a las estrategias de razonamiento que utilizan los sujetos al otorgar significado a dichas nociones. Obstáculos asociados a la comprensión de las nociones básicas Estudios previos ya indicados, establecen las dificultades que presentan los sujetos al otorgar significado a la noción de fenómeno y experimento aleatorio mediante el uso del lenguaje cotidiano (Batanero y Serrano, 1999). Otras investigaciones, como las realizadas por Fischbein, Nello y Marino (1991), destacan las dificultades de los sujetos en la comprensión de las nociones de suceso simple y compuesto. La incorrecta comprensión de estas dos nociones puede ser un obstáculo para la posterior comprensión de las nociones de sucesos equiprobable, sucesos contrarios y suceso independendientes. La distinción entre sucesos equiprobables o no, se puede presentar de dos formas diferentes que surgen al otorgar significado a dicha noción. Una primera, que parece apelar a la cuantificación o evaluación numérica de la probabilidad (razonando a partir de porcentajes, razones,…), que puede provenir de una hipótesis que establezca el sujeto sobre la simetría o equidad del azar o bien de la igualdad de oportunidades o posibilidades de ocurrencia del suceso. En ciertos casos los sujetos rechazan la posible equiprobabilidad de un suceso a causa de la confusión que tienen entre el significado de la probabilidad y de la frecuencia de ocurrencia de un suceso. Dicha confusión se establece como un obstáculo para la distinción entre sucesos equiprobables. Una segunda, que apela a un juicio no cuantitativo de la equiprobabilidad, en relación con su carácter fortuito. La subjetividad

asociada a la determinación de la simetría o equidad del azar puede ser un obstáculo para la determinar si dos sucesos son equiprobables. Es más, dicha subjetividad favorece la aparición del llamado sesgo de la equiprobabilidad, introducido por Lecoutre y Duran (1988). Bajo el sesgo de la equiprobabilidad los sujetos consideran los posibles resultados de cualquier fenómeno equiprobables porque son materia del azar; siendo los sucesos equiprobables por naturaleza. En la distinción de los diferentes tipos de sucesos, los sujetos, también, presentan dificultades en la determinación de si dos sucesos son independientes y, en consecuencia, en la construcción del significado de la noción de independencia estocástica. Truran y Truran (1996) analizan el concepto de independencia que consideran como base fundamental del pensamiento estocástico. Expresan la negativa de los sujetos a aceptar que los generadores aleatorios no tienen memoria; indicando que es diferente considerar sucesos aleatorios que pruebas aleatorias. Estos autores proponen que para superar este obstáculo asociado a la comprensión de la noción de independencia se introduzcan dos caracterizaciones diferentes. Por una parte, se introduzca el significado de independencia clásica, " p( A ∩ B) = p( A) × p( B)" , y que se puede interpretar como que A no tiene efecto en B. Y, por otra parte, se reflexiones sobre la subjetividad de la independencia de la prueba, que refleja que los resultados de una prueba aleatoria no están influenciados por los resultados de cualquier otra prueba del mismo generador aleatorio. Las indicaciones de estos autores invitan a pensar la necesidad de introducir las dos conceptualizaciones de la noción de independencia con la finalidad de no generar un obstáculo didáctico. El estudio del reconocimiento de la dependencia clásica, necesita de la distinción de sucesos contrarios. En el mundo real los sucesos mutuamente excluyentes no son necesariamente sucesos complementarios, lo cual provoca una confusión en el sujeto (Cardeñoso, 2001). La confusión o obstáculo podría surgir en el momento que el sujeto debe realizar argumentaciones para determinar las posibles pertinencias a ciertas clases que generan los sucesos aleatorios; entrando en el carácter clasificador de la probabilidad. Estas argumentaciones que realizan los sujetos están dominadas ante situaciones de incertidumbre por el uso de heurísticos, que se configuran como posibles sesgos en la interpretación del significado de los sucesos; sesgos que podrían configurarse como obstáculos de carácter ontogénico de difícil superación. Obstáculos asociados a las estrategias de razonamiento Se incluyen en esta sección las investigaciones relacionadas con las estrategias de razonamiento que utilizan los sujetos para discriminar la aleatoriedad o no de un fenómeno o experimento y para asignar probabilidades a ciertos sucesos. En primer lugar, se introducen los resultados correspondientes a las investigaciones realizadas por Konold (1995), dirigidas a descubrir las interpretaciones y estrategias de los sujetos ante situaciones probabilísticas. Este autor introduce el término “outcome approach” para referirse a los razonamientos de los sujetos que evalúan en función del resultado siguiente, obviando el marco global de decisión (Nieto, 2002), la serie aleatoria, cuando se encuentra bajo condiciones de incertidumbre. Dichos razonamientos se centran en la predicción de la prueba individual inmediata y no el contexto global; induciendo a traducir el valor de la probabilidad en decisiones dicotómicas, en un valor del 50% para cada una. Se constata que hay una total ausencia de conocimiento sobre el resultado del fenómeno y/o experimento, y el sujeto no tiene argumentos suficientes para preferir uno u otro, ya que todos pueden ocurrir o no. Bajo este razonamiento subyace la idea de un azar como ignorancia sobre el funcionamiento de los fenómenos, que obstaculiza la comprensión de las nociones de suceso aleatorio y serie aleatoria, al identificar la aleatoriedad de la serie con la aleatoriedad de un suceso inmediato concreto. En segundo lugar, se incluyen el análisis de los obstáculos asociados al uso del heurístico de la representatividad (Kahnemann, Slovic y Tversky, 1982). Los sujetos consideran que un resultado debe ser representativo de la población que proviene; es decir, representativo del conjunto de características o cualidades sobre los que se trabaja. Según Cardeñoso (2001), la enseñanza reafirma esta creencia y no elimina sus sesgos, configurándose no sólo como un posible obstáculo ontogénico

sino como uno didáctico, que no facilita la comprensión de las situaciones dominadas por la incertidumbre. En tercer lugar, se analizan las argumentaciones basadas en la falacia del jugador. Esta falacia se fundamenta en una idea errónea sobre la imparcialidad de las leyes del Azar. Los sujetos suelen creer que el azar es un proceso autocorrector en el cual las desviaciones en una dirección terminan siendo compensadas por desviaciones en otra dirección (Benneth, 2000). Esta falacia se puede constituir en un obstáculo en la comprensión del significado de la estabilidad de las frecuencias relativas, al considerar que la estabilidad se puede dar en series limitadas de números. Falacia, a su vez, que se fundamenta debido a las dificultades reales de la experimentación en series aleatorias con un número elevado de repeticiones. En cuarto lugar, se reafirma la importancia del sesgo de la equiprobabilidad, ya introducido con anterioridad. Bajo este sesgo los sujetos consideran los posibles resultados como equiprobables por que son materia del azar. Este sesgo se constituye como un obstáculo para la comprensión de noción de aleatoriedad que se reduce su significado a sus argumentaciones basadas en la equiprobabilidad de los sucesos. En resumen, el uso de estrategias de razonamiento basadas en heurísticos, sesgos o falacias obstaculizan la construcción de las nociones de aleatoriedad, suceso aleatorio, serie aleatoria y suceso equiprobable. Pero, facilitan que los sujetos asignen probabilidades condicionados por juicios y estrategias que no son adecuados. Dichos juicios son producto de la interacción espontánea del sujeto con el medio o surgen en los contextos de aula. En el caso de que surjan en el aula, aparecen los obstáculos de carácter didáctico. 4.3 OBSTÁCULOS DIDÁCTICOS El estudio de los obstáculos de carácter didáctico se centra en dos aspectos relacionados con el uso del lenguaje probabilístico y en los contextos de ejemplificación y experimentación para la construcción del conocimiento. Obstáculos asociados con el uso del lenguaje probabilístico Las modernas teorías psico-pedagógicas sobre el aprendizaje de las matemáticas conceden un papel esencial al lenguaje, pero con frecuencia se olvidan de posibles conflictos interpretativos que los alumnos, especialmente los niños, pueden tener al no poseer un dominio completo del vocabulario técnico (Ortiz y Serrano, 2001). La tradición conductista americana consideraba el pensamiento como “habla no vocalizada”; mientras que el constructivismo piagetiano sustenta que el lenguaje sólo podrá reflejar y no determinar el desarrollo cognitivo. La comprensión del lenguaje y su uso por el niño depende de su implicación en las situaciones en que se utiliza (Dickson, Brown y Gibson, 1991). El lenguaje verbal desarrolla su función comunicativa y el aula se convierte en el centro de comunicación matemática. Al mismo tiempo, el lenguaje desarrolla también su función cognitiva en la medida en que facilita la introspección del propio conocimiento matemático. La posibilidad de expresar los conceptos con las propias palabras, así como de escucharse a uno mismo, favorece la estructuración de los mismos conceptos (Serra, 2004). La importancia del lenguaje en la construcción del conocimiento probabilístico se refleja en los diseños curriculares. En los Estándares Curriculares del Nacional Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000) se especifica que los profesores deben ayudar a sus alumnos a construir los conceptos progresivamente, a partir del desarrollo del vocabulario del niño y que los estudiantes del ciclo medio deben aprender la terminología básica en esta materia. En los trabajos de la Comisión Internacional IREM para la enseñanza de la probabilidad y la estadística en Francia, se sugiere que “conviene precisar el vocabulario, de forma que a cada nivel de descripción se asocien términos específicos que permitan a los alumnos tener en cuenta el punto de vista en que nos situamos: realidad, sentido, sensible, modelo, modelo probabilista” (Henry 2001: 164).

En España, en el Real Decreto que regula la ordenación general y las enseñanzas comunes de la Educación Secundaria Obligatoria se especifica como objetivo del área de matemáticas: “usar correctamente el lenguaje matemático con el fin de comunicarse de manera clara, concisa, precisa y rigurosa” (BOE, 2003). En el Diseño Curricular de la Junta de Andalucía (Decreto 106/1992), uno de los objetivos básicos del aprendizaje de las matemáticas es “comprender e interpretar distintas formas de expresión matemática e incorporarlas al lenguaje y a los modos de argumentación habituales”. Este objetivo pretende favorecer en los alumnos y las alumnas la apropiación progresiva de distintos códigos matemáticos de uso habitual en la sociedad actual: numérico, gráfico, geométrico, lógico, algebraico, estadístico y probabilístico. La utilización de formas de expresión matemática aporta concisión y claridad a la comunicación, favorece la selección y organización de los datos, la precisión y el rigor en la interpretación y, por lo tanto, contribuye a realizar una intervención más adecuada en diferentes situaciones. Todas estas recomendaciones son importantes, puesto que, cuando el alumno se inicia en el estudio de la probabilidad, ha usado en sus juegos y vida diaria términos y expresiones para referirse a los sucesos aleatorios, que con frecuencia no tienen el mismo sentido preciso que adquieren en el “Tratamiento del Azar” (Ortiz y Serrano, 2001). Estas diferencias existentes entre el lenguaje cotidiano y el lenguaje probabilístico pueden ser un obstáculo para la construcción del conocimiento. Hay muchos aspectos del lenguaje que pueden afectar al aprendizaje de las matemáticas, y que muchos alumnos no entienden los términos que se emplean en clase como parte del vocabulario matemático. Puede que existan problemas incluso cuando el alumno parece emplear un vocabulario apropiado, porque a veces atribuyen a las palabras un significado no acorde con el que se pretende darle a la clase. Por ejemplo, las investigaciones de Truran (1994) sugieren que muchos niños confunden los términos “imposible” y “muy poco probable”. Lo que resulta problemático no son los términos imposible, seguro,… en sí mismos, sino los conceptos y procesos subyacentes que se están comunicando y el significado que transmiten. Piaget considera esencial que el niño y el maestro analicen los diversos significados e interpretaciones de las palabras, de manera que cada uno sepa lo que el otro quiere decir al usar determinadas formas lingüísticas. En este sentido, se pueden encontrar tres tipos diferentes de palabras en la enseñanza de las matemáticas. En primer lugar, las palabras técnicas que, normalmente, no forman parte del lenguaje cotidiano, como suceso, serie, aleatoriedad. La comprensión de dichas palabras y la comprensión de los conceptos subyacentes están interrelacionada y, necesita de una enseñanza intencionada. En segundo lugar, palabras que aparecen en matemáticas y en el lenguaje ordinario, aunque no siempre con el mismo significado en los dos contextos, como límite o convergencia. La mayor parte de las clases de matemáticas se desarrollan en una mezcla de lenguaje ordinario y lenguaje matemático (Pimm, 1987). A causa de interpretaciones lingüísticas diferentes se producen innumerables confusiones cuando el profesor emplea términos del “dialecto matemático” y los alumnos lo interpretan de acuerdo con el lenguaje ordinario. En tercer lugar, palabras que tienen significados iguales o muy próximos en ambos contextos, como azar. En el caso de la enseñanza de la probabilidad en niveles no universitarios, la mayoría de los vocablos pertenecen a las dos últimas categorías, aunque, si el niño no está muy familiarizado por el uso, muchas de las palabras de la tercera categoría se convertirán en términos de la segunda, lo que podrá crear dificultades de comunicación en el aula (Ortiz y Serrano, 2001). Dificultades que surgen en el momento en que el alumno contextualiza su actuación, como consecuencia de la experimentación e interacción con otros alumnos. Obstáculos asociados a la experimentación y ejemplificación Estos obstáculos se refieren a los procesos de experimentación y ejemplificación desarrollados durante la enseñanza de las nociones de suceso aleatorio y probabilidad. Con relación a la noción de suceso aleatorio, Heitele (1975) indica que las posibilidades didácticas que se deducen de las experiencias empíricas son más limitadas de lo que sugieren los textos escolares. Las sucesiones aleatorias obtenidas en clase convergen lentamente. Debido, a su carácter aleatorio, puede ocurrir que no se obtenga el resultado deseado cuando se quiera mostrar con una simulación una cierta

probabilidad. Malara (1989) señala que el problema de la repetición de las frecuencias relativas, aunque tiene la problemática de que no todos los sucesos se pueden repetir infinitamente, se puede solucionar a partir de datos de anuarios estadísticos. Este tipo de argumentaciones favorecería: el establecimiento de relaciones entre la Estadística y la Probabilidad, y la presentación de contextos independientes de juegos de Azar. Echo que facilitaría la comprensión de que el azar está presente, no sólo en los juegos, en la mayoría de las situaciones cotidianas sociales, meteorológicas, de la economía. Con referencia a los contextos de ejemplificación que tradicionalmente se utilizan para introducir las nociones de probabilidad, se observa que una ruleta visualiza mejor la relación parte-todo, y por tanto, la Regla de Laplace y, además, permiten al alumno utilizar consideraciones de tipo geométrico. Las chinchetas permiten ejemplificar situaciones de sucesos no equiprobables. Las barajas, urnas o bolsas con bolas permiten trabajar situaciones de muestreo con y sin remplazamiento, facilitando la determinación de la probabilidad para sucesos dependientes e independientes, que no es fácil ejemplificar con otros dispositivos (Ortiz y Serrano, 2001). El uso de un instrumento particular para cada uno de los contextos en que se introduce una noción, pueden favorecer un aprendizaje asociativo del dispositivo con el concepto a aplicar, sin favorecer el aprendizaje significativo de las propiedades del uso de estos dispositivos (Azcárate, 1995; Serradó, 2003). La revisión sobre los obstáculos en la construcción del Conocimiento Probabilístico presentada en esta sección se configura como un marco teórico para el análisis del su “Tratamiento en los libros de texto de Educación Secundaria Obligatoria”. En la próxima sección, se presentan algunos de los obstáculos o dificultades que se han detectado en las investigaciones sobre el análisis del contenido de las unidades dedicadas al “Tratamiento del azar en Educación Secundaria Obligatoria” en los libros de texto de las Editoriales Bruño, Santillana, Guadiel y McGraw Hill (Serradó, 2003). 5. TRATAMIENTO DE LOS OBSTÁCULOS EN LOS LIBROS DE TEXTO La presentación del tratamiento de los diferentes obstáculos se realiza en función de las diferentes nociones teóricas que se introducen en los libros de texto. 5.1 NOCIÓN DE AZAR Con referencia a la noción de azar, se concluye que ninguna de las cuatro editoriales presenta una sección dedicada al estudio de dicha noción. Se presentan referencias al significado que adquiere dicha noción a partir de la presentación de textos y actividades de motivación. En estos textos y actividades se caracteriza el azar como una causa desconocida, otorgándole un significado mágico asociado a la suerte y un carácter causal asociado a la imprevisibilidad del fenómeno. Dicha caracterización se identifica con una modelización del azar entendido como el reflejo de una causa desconocida, que dificultan la caracterización del azar como “un elemento provocador de la complejidad existente en la realidad” (Azcárate, Serradó y Cardeñoso, 2004). Según las consideraciones teóricas introducidas con anterioridad, se puede argumentar que la falta de reflexión sobre el significado de la noción de azar y la imposibilidad por parte del alumno de construir una modelización adecuada de dicha noción, puede suponer un obstáculo para la comprensión de las nociones de aleatoriedad y probabilidad. 5.2 NOCIÓN DE ALEATORIEDAD Con referencia a la noción de aleatoriedad, se pueden presentar diferentes obstáculos asociados a la comprensión de las nociones relacionadas, como fenómeno y/o experimento aleatorio, proceso y suceso, serie aleatoria, etc. Los libros de texto de las diferentes editoriales realizan un uso confuso de las nociones de fenómeno y/o experimento, que se puede observar en los dos siguientes ejemplos:

“Podemos predecir, con toda seguridad, lo que va a ocurrir: se trata de fenómenos o experimentos deterministas”. (Bruño 4º A ESO, pág. 266). “El lanzamiento de un dado, de una moneda, el giro de la ruleta o la extracción de una bolsa son experimentos en los que no se puede predecir el resultado que se va a obtener. Se llaman experimentos aleatorios y su resultado depende del azar”. (Santillana, 1º ESO, pág. 248). El uso exclusivo de la noción de experimento, como en el caso de la editorial Santillana o Guadiel puede reafirmar la idea de que la única caracterización posible del azar es la suerte. El uso indistinto de ambas nociones pero la presentación, exclusivamente, de ejemplos y actividades asociadas a experimentos, puede favorecer la aparición de obstáculos en la transferencia de las nociones de azar y aleatoriedad en situaciones cercanas y cotidianas de los alumnos dominadas por la incertidumbre. En cambio, presentan una única caracterización del significado de experimento aleatorio. Las cuatro editoriales de la muestra definen esta noción a partir de la imposibilidad de predecir el resultado. Por ejemplo: “En estos casos no podemos conocer el previamente el resultado de las experiencias, que reciben el nombre de experimentos aleatorios” (Guadiel, 2º ESO, pág. 128) Las definiciones de experimento determinista propuestas en las cuatro editoriales están relacionadas todas con la posibilidad de predecir a priori el resultado, como contraposición a la definición de experimento aleatorio propuesto. La presentación de ambas nociones como antagónicas puede suponer un obstáculo en la comprensión adecuada de las situaciones dominadas por la incertidumbre. Este tipo de obstáculos se puede manifestar en forma de sesgos asociados al determinismo de los fenómenos, que surgirán en un intento de delimitar si ciertos fenómenos dependen o no de la incertidumbre. La introducción de estas dos nociones se complementa con un conjunto de actividades. En función del análisis del contenido de las actividades, se concluye concluir que las editoriales Bruño y Santillana presentan básicamente actividades de carácter conceptual asociadas al reconocimiento de los experimentos aleatorios y/o deteministas. Las actividades de la editorial Guadiel permiten, además, que los alumnos clasifiquen los fenómenos según su característica definitoria. Las actividades propuestas por la editorial McGraw Hill permiten analizar las diferentes propiedades definitorias. Por ejemplo: “Cuando llegas a un semáforo: ¿De qué color estará? ¿De qué depende? ¿Qué es más fácil que esté: rojo, amarillo o verde?” (Mc Graw Hill, 2º ESO, pág. 249, act. 7) Tanto en el nivel de introducción de las nociones teóricas como en el tipo de actividades propuestas, se favorece el uso descriptivo del lenguaje para incidir en la caracterización de las diferencias existentes entre los fenómenos/experimentos aleatorios o deterministas. En la sección anterior, se ha argumentado que dicho uso descriptivo del lenguaje puede constituirse como un obstáculo, al reducirse la posibilidad de clarificar la aleatoriedad o determinismo del experimento a la distinción de un adjetivo de uso cotidiano en un contexto científico. En este sentido, la falta de un vocabulario adecuado o el uso inadecuado de este puede ocasionar un obstáculo en la comprensión del significado de la noción de experimento aleatorio. La presentación en los textos de las cuatro editoriales de una única modelización de la noción de aleatoriedad, asociada a la imposibilidad de predecir los resultados de los fenómenos o experimentos, puede suponer un obstáculo para comprensión del amplio significado de esta noción y un obstáculo en la posterior comprensión de la noción de probabilidad, tal y como se ha argumentado en la sección anterior. Un reflejo del posible obstáculo que puede surgir en la comprensión de otras nociones asociadas, se observa al analizar las dificultades que presentan los sujetos en la distinción de los conceptos de proceso y suceso aleatorio. El análisis del contenido de los libros de texto refleja que, en general, en los textos no se enfatiza el estudio de estas diferencias. Si se analizan los obstáculos que surgen en la distinción de ambas nociones, se observa que residen en la imposibilidad de diferenciar entre la posibilidad de repetición de los experimentos (como proceso de repetición en unas mismas condiciones) y la posibilidad de que un experimento tenga múltiples posibilidades de resultados. La

consideración de estas diferencias puede ser esencial para la posterior comprensión de las nociones de experimento compuesto y serie aleatoria, básica para el estudio de la noción frecuencial de la probabilidad (Azcárate, Serrado y Cardeñoso, 2004). Las dificultades en la comprensión de dichas nociones, reside en la confusión de los sujetos/alumnos sobre el significado de sucesos elementales y espacio muestral. En los textos se define la noción de espacio muestral a partir del uso del término conjunto que no se clarifica, como se observa en la siguiente definición del texto de la editorial Bruño (1º de ESO, pág. 238): “El espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos elementales, y se designa por la letra E” La falta de clarificación del significado de conjunto se puede configurar como un obstáculo para la comprensión de dicha noción siguiendo la línea argumental de la sección anterior. Una mayor comprensión de su significado se podría obtener del análisis de las ejemplificaciones y actividades propuestas en el texto. Dichas ejemplificaciones y actividades se reducen a la identificación de los sucesos que lo componen, por ejemplo la actividad propuesta por la editorial Santillana (4º B de ESO, pág. 264, Piensa): “Se lanzan dos dados. ¿Es éste un experimento aleatorio? En caso afirmativo escribe el espacio muestral”. Salvo en excepciones los textos presentan todas las ejemplificaciones y actividades asociadas a la identificación de espacios muestrales de experimentos asociados a generadores. El uso de dichos generadores aleatorios facilita su determinación y cuantificación, ya que la repetición de los lanzamientos puede imaginarse de forma más rápida (Melitou y Stylianou, 2003). La reducción de los contextos de ejemplificación y experimentación puede ser un obstáculo para la transferencia de dichas nociones en otros contextos como el social, en que los espacios maestrales no son tan explícitos y no siempre se comprende correctamente. Con relación a la noción de serie aleatoria, no se proponen, en general, actividades en que los alumnos tengan que reflexionar sobre su significado, ni se enfrenta a los alumnos con situaciones en que tengan que verbalizar el uso de heurísticos como la falacia del jugador. En el caso de que los textos sean una de las únicas fuentes de información a la hora de planificar y desarrollar el proceso de enseñanza y aprendizaje, podría suceder que las argumentaciones de los alumnos estuviesen dominadas por el uso de heurísticos; convirtiéndose en un sesgo para la adecuada comprensión del significado de la probabilidad y de la probabilidad condicionada. 5.3 NOCIÓN DE PROBABILIDAD El significado escolar de la noción de probabilidad se introduce asociado al valor numérico que se asigna a cada suceso o como el valor que se obtiene del análisis de la estabilidad de las frecuencias relativas. En el análisis de la estabilidad de las frecuencias relativas, los textos no tienen en consideración las dificultades asociadas a la comprensión del significado de la convergencia estocástica. En los textos de las cuatro editoriales de la muestra, existen dos perspectivas diferenciadas para el análisis de la estabilidad de las frecuencias relativas. La editorial Santillana y Bruño introducen estas nociones a nivel teórico, sin proponer actividades que favorezcan la exploración de las tendencias de las series aleatorias, como se puede analizar en el siguiente ejemplo (Santillana, 3º, pág. 252): “Observa la gráfica siguiente y mira como, conforme aumenta el número de lanzamientos se observa que: *las oscilaciones de la gráfica son menos pronunciadas (menos picos) *las frecuencias relativas se van acercando a un determinado valor, es decir, tienden hacia un número fijo. El número es 0,5. Esta tendencia se observa en todos los fenómenos aleatorios y se denomina ley del azar o de estabilidad de las frecuencias, también denominada primera ley de los grandes números”.

El texto presenta una breve aclaración del significado de tender hacia un número fijo: “Cuando son pocas las veces que repites el lanzamiento de una moneda, la frecuencia relativa que esperas 0,5, y la que obtienes se parecen muy poco. Conforme vas aumentando el número de lanzamientos, esa diferencia se va reduciendo, y cuando lo repites muchísimas veces, esa diferencia se hace casi nula. Quiere esto decir que la frecuencia relativa empírica (la que obtienes al repetir el experimentos) se parece a la frecuencia relativa esperada, tanto más cuanto mayor sea el número de lanzamientos, y llega a ser casi idéntica cuando el número de lanzamientos es muy grande”. La propuesta de actividades que complementa la introducción de la noción frecuencial de la probabilidad para estas dos editoriales, se reduce al cálculo de la frecuencia relativa a partir de una tabla que recoge la frecuencia absoluta teórica de un dado. No se pretende que los alumnos experimenten con el significado de repetición de un experimento aleatorio y construyan series aleatorias que les permitan indagar sobre el significado de estabilidad de frecuencias aleatorias y comprender el significado de la noción de probabilidad. Una propuesta didáctica que no favorezca la experimentación sobre estos aspectos se puede configurar como un obstáculo didáctico para la construcción de la noción de la probabilidad. Los alumnos en este caso otorgarían significado a dicha noción a partir de las intuiciones primarias sobre el significado cotidiano del término, y podrían basar sus argumentaciones en el uso de heurísticos como el “outcome approach” o la falacia del jugador, que se podrían convertir en un obstáculo ontogénico en la comprensión del significado de la estabilidad de las frecuencias relativas. En cambio, las editoriales Guadiel y McGraw Hill proponen un conjunto de actividades para que los alumnos reflexionen sobre las propiedades de las frecuencias relativas y puedan analizar el significado de la estabilidad de las frecuencias relativas, como se puede en la siguiente actividad (Guadiel, 2º ESO, pág. 132, ej. 15): “Coge un dado de quinielas y efectúa 50 lanzamientos. Anota el número de veces que sale cada signo y completa la siguiente tabla con las frecuencias absolutas y relativas de los sucesos 1,X y 2. Suceso

Frecuencia Absoluta

Frecuencia Relativa

1 X

2 Reúne en una sola tabla tus resultados y los de tus compañeros y analízalos”. El texto no introduce ningún comentario sobre como se deben analizar los resultados, dejando a la elección del profesor y/o alumno el nivel de profundización en la inferencia del significado de la estabilidad de las frecuencias, la ausencia de regularidad de las series aleatorias o la impredicibilidad del resultado. En el caso de la editorial McGraw Hill y Guadiel, las propuestas didácticas incluyen actividades que favorecen la reflexión sobre el significado de la noción frecuencial de la probabilidad, con un número reducido de experimentos. La consideración de un número pequeño de repeticiones puede, a la larga, ocasionar un obstáculo en la comprensión del significado de convergencia aleatoria y reforzar la errónea validez del heurístico de la representatividad. A pesar de las dificultades que puedan surgir en dicha experimentación, Ortiz, Batanero y Serrano (1996) destacan que no deben suprimirse del proceso de enseñanza y aprendizaje del conocimiento probabilístico.

Los textos de las cuatro editoriales de la muestra priorizan la cuantificación de la probabilidad de los sucesos aleatorios sobre la construcción de dicha noción. 5.4 CUANTIFICACIÓN DE LA PROBABILIDAD En los textos de las editoriales Bruño y Santillana, se introduce el proceso de cuantificación de las probabilidades y la asignación de un valor numérico a partir de la comparación entre sucesos aleatorios correspondientes a generadores aleatorios como ruletas. Un ejemplo de esta situación se puede observar en el siguiente texto incluido en el texto de 3º de ESO de la editorial Bruño (pág. 274): “Si giramos la aguja, parece claro que la probabilidad de pararse en la zona “Blanco” es mayor que la probabilidad de pararse en la zona “Rojo”. Se trata de un experimento con dos sucesos elementales que tienen probabilidades distintas”.

Este tipo de generadores aleatorios permite que los alumnos indaguen sobre las comparaciones de tipo geométrico que favorecen la visualización de la proporción a considerar. El uso de este tipo de generadores, aunque facilita el establecimiento de comparaciones, puede fomentar la asociatividad entre éste y la estrategia a aplicar para asignar las probabilidades; pudiéndose configurar como un obstáculo para la realización de comparaciones mediante otros generadores. En particular, este tipo de estrategias favorecen que los alumnos reflexionen sobre el significado de suceso contrario y, pueden facilitar la superación de obstáculos asociados a la comprensión del Teorema de Bayes. La consideración de las expectativas del suceso entendidas en el sentido de Huygens, han de permitir la correcta comprensión del significado del valor esperado (esperanza matemática) y el significado de juego justo. La editorial McGraw Hill introduce en sus textos actividades en que los alumnos deben inferir el valor esperado, como por ejemplo (McGraw Hill, 4º A, pág. 212, ej. 15): “Lanza 100 chinchetas y estima la probabilidad de que una chincheta caiga con la punta hacia arriba”. La introducción de ejemplificaciones que favorezcan la comparación de sucesos y la asignación de un valor numérico a estos, se introduce en los textos como paso previo a las explicaciones relativas a la aplicación de la Regla de Laplace. Los textos de las cuatro editoriales de la muestra presentan estrategias diferentes para poder aplicar esta regla. Equiprobabilidad y regla de Laplace La editorial Bruño identifica en 1º de ESO (pág. 242), el significado de equiposible con equiprobable: “Cuando los sucesos de un experimento aleatorio tienen las mismas posibilidades de obtenerse se dice que son sucesos equiprobables” En el texto se indica que, para poder aplicar la Regla de Laplace, los contextos de aplicación deben ser equiprobables; presentando como ejemplificaciones de sucesos elementales equiprobables

los correspondientes al lanzamiento de dados y monedas. Sólo en 3º de ESO, presenta ejemplos de generadores aleatorios como chinchetas o ruletas en que, según el texto, visualmente se puede determinar que no son equiprobables. No se incluyen actividades en que los alumnos puedan experimentar sobre el significado de sucesos equiprobables. La editorial Guadiel, al igual que la editorial Bruño, propone en la definición de suceso equiprobable la identificación con el significado de equiposible. La diferencia radica en que propone una actividad para comprobar si un experimento es equiprobable, previo a la explicación del significado de esta noción (Guadiel, 4º, pág. 236): “Tenemos dos dados, uno perfecto, en el que todas las caras pesan igual, y otro en el que una de las caras pesa más. ¿Crees que en los dos dados todos los sucesos tienen la misma probabilidad de producirse?”. La editorial Santillana define los sucesos elemental equiprobables a partir de que tengan la misma probabilidad de salir (Santillana, 4º A, pág. 187): “Todos los sucesos elementales tienen la misma probabilidad de salir, y se denominan equiprobables”. Dicha definición, se complementa con un ejercicio para razonar si los sucesos elementales de un cierto experimento son equiprobables (Santillana 4º A, pág. 189): “Justifica tu respuesta En el lanzamiento de una moneda, los sucesos correspondientes al número de caras, ¿son equiprobables?” La editorial McGraw Hill propone, previamente a la introducción de la definición de suceso equiprobable, el análisis de la estabilidad de las frecuencias relativas de sucesos elementales equiposibles y no. Indica que la aplicación de la regla de Laplace sólo puede realizarse para sucesos elementales equiprobables, indicando que en el caso contrario se debe estimar a partir del análisis de la estabilidad de las frecuencias relativas (McGraw Hill, 4º A, pág. 208): “En ejemplos como los anteriores, o en algunas experiencias como las del lanzamiento de chinchetas o tabas, o la predicción de la probabilidad de que un fumador padezca una enfermedad respiratoria, etc., solamente podemos calcular la probabilidad haciendo una estimación (observando un gran número de casos y calculando la frecuencia relativa)”. En cada uno de los niveles educativos se introducen actividades que tienen por finalidad analizar si ciertos sucesos elementales son equiprobables o no, asociados a la experimentación con variedad de generadores aleatorios y fenómenos aleatorios relacionados con situaciones cercanas al alumnado. En resumen, podemos concluir que el tratamiento de la noción de equiprobabilidad que se realiza en los textos puede ocasionar dificultades en la comprensión de dicha noción. En los textos en que no se presentan actividades para razonar si los sucesos elementales son equiprobables, dándose por supuesta esta propiedad, se puede fomentar la aparición del sesgo de la equiprobablidad. La aparición de dicho sesgo se expresa de diferentes formas. En primer lugar, la equi-ignorancia, entendida por la ignorancia en los textos de la importancia de la comprobación de esta propiedad como paso previo a la aplicación de la Regla de Laplace. En segundo lugar, la equi-posibilidad, al presentar los ejercicios asociados a juegos aleatorios con sucesos elementales equiposibles como monedas, dados, etc. En tercer lugar, el método dicotómico que reposa sobre las opciones de aparcición y de no aparición de cada resultado aislado, con un 50% para cada posibilidad; debido a la falta de reflexión previa sobre las posibilidades de aparición de los valores de una serie aleatoria, sesgados por el uso de heurísticos como la falacia del jugador o el “outcome approach”, comentados en la sección anterior (Serradó, 2003). El uso de heurísticos como la falacia del jugador y/o el “outcome approach”, también, pueden ser un obstáculo para la comprensión del significado de dependencia e independencia de sucesos

aleatorios, ya que predisponen a considerar que dos sucesos consecutivos están siempre relacionados (Konold y otros, 1993; Meletiou y Stylianou, 2003). Dependencia e independencia de los sucesos aleatorios Estos autores sugieren que para superar los obstáculos debidos al establecimiento de relaciones entre dos sucesos consecutivos se puede introducir la noción de independencia a partir de la noción de independencia clásica p( A ∩ B) = p( A)·p( B) . La introducción de dichas nociones difiere según el texto de cada editorial. La principal diferencia que existe entre las cuatro editoriales radica en cómo se introduce el significado de sucesos dependientes e independientes. La editorial Bruño distingue ambas definiciones a partir de identificar las diferencias existentes al realizar extracciones con o sin reemplazamiento. La editorial Santillana define la independencia o no de sucesos en función de la influencia de la ocurrencia de un suceso respecto al otro. Ambas editoriales, deducen mediante ejemplificaciones, en que se aplica la regla de Laplace, las fórmulas que relacionan la probabilidad condicionada con el producto de probabilidades. En cambio, las editoriales Guadiel y McGraw Hill, definen directamente la dependencia e independencia a partir del establecimento de estas igualdades. En el caso concreto de la editorial McGraw Hill se introduce previamente el significado de la probabilidad condicionada a partir del análisis de la diferencia existente al realizar experimentos con y sin reemplazamiento. Las actividades propuestas en las cuatro editoriales reducen el estudio de la dependencia e independencia a la caracterización de las diferenciad debidas al reemplazamiento o no, como por ejemplo (Guadiel 4º, pág. 241, ej. 28): “Extraemos dos cartas de una baraja, una después de otra y sin devolución. Calcula la probabilidad de obtener dos figuras en los siguientes casos: a) La primera carta es un as. b) La primera carta es un caballo”. Los contextos básicos que se utilizan, para analizar la dependencia e independencia de los sucesos aleatorios y calcular su probabilidad, son generadores aleatorios como urnas y barajas, que facilitan la comprensión del significado de reemplazamiento. La introducción de estas nociones a partir de un tratamiento que se fundamente en el análisis del reemplazamiento con estos generadores aleatorios puede ser un obstáculo al asociar la estrategia de cálculo de la probabilidad con el generador aleatorio. Obstaculizando, además, la generalización de estas nociones a otros contextos no asociados con pruebas aleatorias (Truran y Truran, 1996) o la comprensión del significado en el mundo real (Kelly y Zeirs, 1988). La introducción del “Tratamiento de los obstáculos en los libros de texto” se ha realizado asociado a cada una de las nociones de forma aislada. La aparición de dichos obstáculos y su tratamiento no puede simplificarse y aislarse según la noción a tratar, sino que deben considerarse de forma continua y compleja en la construcción de los diferentes conceptos. En el siguiente apartado, se presenta un resumen de la incidencia de los diferentes obstáculos en la construcción de las diversas nociones. 5.5 EN RESUMEN Los textos no tienen en consideración diversos aspectos en el “Tratamiento del Azar”, que pueden convertirse en obstáculos en la construcción de las nociones asociadas y otras a desarrollar en cursos posteriores. En primer lugar, la concepción del azar y de la aleatoriedad desarrollada, desde las propuestas presentadas en los textos será un posible obstáculo para la comprensión de la probabilidad. Los textos presentan básicamente el azar modelizado a partir de argumentaciones asociadas con la suerte, y la aleaotiedad con la incertidumbre del suceso, caracterizaciones que son insuficientes para poder comprender adecuadamente, por ejemplo, el significado de serie aleatoria, esencial para la

comprensión de la noción frecuencial de la probabilidad o la noción de independencia de sucesos. La comprensión adecuada de la noción de serie aleatoria necesita de la valoración subjetiva de la complejidad de la secuencia, que se sustenta en una caracterización de la noción de aleatoriedad que supera las modelizaciones simples propuestas en los textos, caracterizadas como contraposición a la noción de fenómeno determinista que enfatiza las relaciones de causa y efecto entre dos valores de la muestra. A su vez, este tipo de relaciones de causa y efecto entre dos valores consecutivos de un experimento se conciben como sesgos en la interpretación correcta del significado de sucesos dependientes e independientes; aspectos que no tienen en cuenta los textos a la hora de introducir estas nociones. En segundo lugar, la presentación básicamente de ejemplificaciones y actividades asociadas a generadores aleatorios con espacios maestrales finitos y sucesos elementales equiprobables pueden configurarse como un obstáculo en el posterior cálculo de la probabilidad en cualquier contexto. Los espacios muestrales finitos que, surgen de estudios simples del uso de generadores aleatorios, como ruletas, urnas, dados, barajas o monedas, facilitan el planteamiento de situaciones para determinar los elementos del espacio muestral; pero, se configuran como un obstáculo para la posterior determinación y generalización del significado de espacio muestral asociado a contextos cotidianos. La presentación casi únicamente de ejemplificaciones y actividades con sucesos equiprobables puede ser un sesgo para el posterior cálculo de la probabilidad de sucesos en cualquier contexto. Este sesgo, puede deberse a la consideración de la equi-ignorancia al no solicitar en los enunciados de las actividades la comprobación de la propiedad de la equiprobabilidad o la equiposibilidad. En tercer lugar, la ausencia de instrumentos matemáticos y el nivel de razonamiento de los alumnos pueden dificultar la comprensión de ciertas nociones. Este tipo de dificultades y los obstáculos que pueden constituirse, se ven reflejados en la influencia que adquiere el lenguaje para definir nociones como experimentos o fenómeno aleatorio, suceso o probabilidad, a partir del uso de términos no clarificados con anterioridad como imprevisible, colección, conjunto, seguro, imposible,… En cuarto lugar, la construcción de la noción frecuencial de la probabilidad está sujeta a la comprensión adecuada de la convergencia estocástica, no iniciada en estos niveles educativos y que se desarrolla a nivel intuitivo. En las ejemplificaciones y actividades de los textos no se incluye cuestiones que permitan aflorar las intuiciones previas de los alumnos sobre la incidencia del azar en las series aleatorias; configurándose estas intuiciones en forma de heurísticos (falacia del jugador, outcome apoca, representatividad de la muestra, etc.). Para finalizar, en los textos de la muestra se refleja la concepción determinista de la realidad, al incluir en exceso la formulación de propiedades de la probabilidad, reglas, leyes que expresan el verdadero significado normalizado de la probabilidad, sin incidir en el análisis de las intuiciones primarias de los sujetos. La importancia del determinismo científico no se refleja únicamente en la formulación del conocimiento probabilístico, sino que se refleja en las tendencias de las estructuras didácticas subyacentes en los libros de texto (Serradó y Azcárate, 2003).

6. TENDENCIAS EN EL TRATAMIENTO DE LOS OBSTÁCULOS EN LOS LIBROS DE TEXTO. En los libros de texto de la muestra se diferencian dos tendencias en el tratamiento de los obstáculos. Por una parte, los textos de la editorial Santillana y Bruño se caracterizan por una organización del currículum fragmentada, acumulativa y lineal, que presenta una estructura de desarrollo de las unidades deductiva; introduciendo en primer lugar las nociones teóricas y, posteriormente, actividades de aplicación de estas nociones (Serradó y Azcárate, 2003). Estos textos presentan una tendencia “Tratamiento del Azar” que se caracteriza por priorizar la introducción del modelo laplaciano de la probabilidad asociado a generadores aleatorios (Azcárate, Cardeñoso, Serradó, 2003). No se incluyen actividades que favorezcan la reflexión sobre el significado de la equiprobabilidad, favoreciendo la posible aparición del sesgo de la equiprobabilidad. Tampoco, se

incluyen actividades que faciliten la manipulación y experimentación con generadores aleatorios que permitan indagar sobre el significado de serie aleatoria, noción frecuencial de la probabilidad; reafirmándose, en cierto sentido, el uso de heurísticos como la falacia del jugador y la representatividad de la muestra. Se concluye que en esta tendencia no se introducen actividades que faciliten la superación de ciertos obstáculos en la construcción del conocimiento probabilístico, sino que incluso se puede reafirmar la veracidad de ciertos obstáculos, heurísticos y sesgos. Por otra parte, los textos de la editorial Guadiel y McGraw Hill se caracterizan por una tendencia hacia un modelo didáctico tecnológico, que incluye actividades para construir, verificar y formular el conocimiento probabilístico, mediante la experimentación y manipulación de generadores aleatorios. Esta tendencia prioriza la introducción de la noción frecuencial de la probabilidad, en que los sucesos son una herramienta que facilita el cálculo de la probabilidad en cualquier contexto. Dicha experimentación facilita la reflexión sobre ciertos obstáculos asociados a la construcción de las nociones como equiprobabilidad, serie aleatoria, noción frecuencial de la probabilidad, dependencia e independencia de sucesos. Además, la editorial McGraw Hill introduce actividades que de forma manifiesta favorecen el análisis del uso de heurísticos como la falacia del jugador o el “outcome approach” (Serradó, 2003). 7. APÉNDICES Editorial Bruño: Miñano, A. y Ródenas, J. A. (1998). Matemáticas 1º. Madrid: Editorial Bruño. Miñano, A. y Ródenas, J. A. (1998). Matemáticas 2º. Madrid: Editorial Bruño. Miñano, A. y Ródenas, J. A. (1998). Matemáticas 3º. Madrid: Editorial Bruño. Miñano, A. y Ródenas, J. A. (1998). Matemáticas 4º A. Madrid: Editorial Bruño. Miñano, A. y Ródenas, J. A. (1998). Matemáticas 4º B. Madrid: Editorial Bruño. Editorial Santillana: Almodovar, J.A.; Corbalán, F.; García. P.; Gil, J. y Nortes, A. (1999): Matemáticas. Curso 1º ESO; Matemáticas. Curso 2º ESO. Madrid: Grupo Santillana de Ediciones Almodovar, J.A.; García. P.; Gil, J. y Vázquez, C. (1999): Matemáticas. Curso 3º ESO. Madrid: Grupo Santillana de Ediciones Almodovar, J.A; Gil, J. y Nortes, A. (1998): Matemáticas Opción A. Curso 4º ESO. Madrid: Grupo Santillana de Ediciones. Almodovar, J.A.; García. P.; Gil, J. y Vázquez, C. (1999): Matemáticas Opción B. Curso 4º ESO. Madrid: Grupo Santillana de Ediciones Editorial Guadiel: Guasch, M.; Merino, R.; Solsona, J. y Equipo Guadiel (1996): Matemáticas 1. Sevilla: Guadiel-Grupo Edebé. Fuster, M.; Martín Hernández, F. y Equipo Guadiel (1997): Matemáticas 2. Sevilla: Guadiel-Grupo Edebé. Doménech, Mª. A.; Doménech, M.; Jimeno, M.; Morató, Mª. A.; Suñé, Mª. M.; Tomás, J. y Equipo Guadiel (1995): Matemáticas 3. Sevilla: Guadiel-Grupo Edebé. Fuster, M.; Jimeno, M.; Martín, F.; Martínez, E.; Morató, Mª. A.; Tomás, J. y Equipo Guadiel (1996): Matemáticas 4 (B). Sevilla: Guadiel-Grupo Edebé. Editorial Mc Graw Hill: Pancorbo, L.; Becerra, Mª. V.; Martínez, R. y Rodríguez, R. (1995): Matemáticas 1. Madrid: McGraw-Hill/ Interamericana de España, S.A.U.

Becerra, Mª. V.; Martínez, R.; Pancorbo, L. y Rodríguez, R. (1996): Matemáticas McGraw-Hill / Interamericana de España, S.A.U. Amigo, C; Peña, P.; Pérez, A.; Rodríguez, A.; Sivit, F.; Asencio, Mª. J y Vicente, Matemáticas 3. Madrid: McGraw-Hill /Interamericana de España, S.A.U. Amigo, C; Peña, P.; Pérez, A.; Rodríguez, A.; Sivit, F.; Asencio, Mª. J y Vicente, Matemáticas 4 Opción A. Madrid: McGraw-Hill /I Interamericana de España, S.A.U. Amigo, C; Peña, P.; Pérez, A.; Rodríguez, A.; Sivit, F.; Asencio, Mª. J y Vicente, Matemáticas 4 Opción B. Madrid: McGraw-Hill / Interamericana de España, S.A.U.

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PILAR AZCÁRATE GODED Verderon nº 9 11100 San Fernando Cádiz, España

PROCESO DE INTEGRACIÓN DE LOS OBSTÁCULOS NIVEL INICIAL

NIVEL INTERMEDIO

Modelo didáctico Tradicional

Modelo didáctico innovador tecnológico y espontaneista

Sin consideración de los obstáculos

NIVEL REFERENCIA Modelo didáctico Investigativo Eje organizador de los problemas

Cierta consideración: errores, paradojas, falacias

Figura 1: Niveles de integración de los obstáculos

Elementos Organizació n del currículum Papel del profesor Papel alumno

del

Consideraci ón de los obstáculos Actividades

Innovador Investigativo Tecnológico Espontanei l sta Fragmentad Emulación Abierta sin Construcción a, acumulativa método científico progresión del conocimiento y lineal Explicación Presentador Observador Mediador, , expositivo del método crítico y reflexivo científico Pasivo, Reproductor Activista Experimentador receptivo del proceso , analista, constructor del conocimiento Sin Relacionados Obstáculos Como eje consideración con los errores que surgen de la organizador de la actuación del selección de los alumno problemas Aplicación Búsqueda de Actividades Resolución de de la teoría errores, paradojas, de problemas desde la explicada falacias, manipulación: observación y emulación método situaciones desarrollo de los científico paradójicas procesos Tradiciona

Tabla 1: Indicadores de las tendencias

Nociones Noción de aleatoriedad

• •

Falta de información / datos.

•

Complejidad de las variables que inciden

•

Desconocimiento del proceso.

Noción frecuencial de la • probabilidad

Asignación probabilidades

Estabilidad de las frecuencias relativas de muestras de tamaño creciente.

•

Tendencia a la probabilidad

•

Simulación mediante ordenadores

de •

Regla de Laplace

•

Estimación

•

Reglas de probabilidad

Dependencia/Independenci • a aleatoria • Esperanza matemática

Observaciones Imposibilidad de predecir el resultado.

Análisis de la dependencia aleatoria Sucesos independientes

•

Probabilidad condicionada

•

Asociada a la ganancia o pérdida de un juego (justo).

Tabla 2: Nociones propuestas en el curriculum