Los elementos de euclides

Los Elementos de Euclides Una revisión con Cabri Geomètre

Hipatia de Éfeso

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Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar de manera errónea es mejor que no pensar. Hipatia de Éfeso, 370-415 dJC Pensadora vinculada a la Biblioteca de Alejandría

Portada: Arriba: el Teorema de Pitágoras (proposición 47, del Libro I) en un manuscrito griego del siglo XII. Abajo: el Teorema de Pitágoras con Cabri Geomètre.

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Índice 1. Introducción……………………………………………...……………….…-22. Metodología…………………………………………………...………….…-32.1. Cabri Geomètre…………………………………………..………….….-32.2. Como instalar Cabri Geomètre…………………………..……………..-32.3. Primeros pasos con Cabri Geomètre……………………...…………….-32.4. Construcciones básicas con Cabri Geomètre……….…..………………-43. Pórtico axiomático…………………………………….…….………………-83.1. Definiciones Libro I…………………………..…………….………..…-83.2. Definiciones Libro II………………………….……………...……….-103.3. Definiciones Libro III…………………………….…………...………-103.4. Definiciones Libro IV……………………….……..………………….-113.5. Postulados………………………………………………………..……-113.6. Nociones comunes………………………………………………...…..-124. Proposiciones…………………………………………………………..…..-134.1. Libro I…………………………………………………………............-134.2. Libro II………………………………………..……………………….-234.3. Libro III………………………………………………………………..-284.4. Libro IV……………………..………………………………………...-335. Conclusiones……………………………………………………………….-366. Bibliografía……………………………………………………………...…-377. Herramientas………………………………………………………………..-38-

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1. Introducción. Euclides de Alejandría (-325aC- -265aC) fue uno de los jóvenes discípulos de Platón. No se conservan demasiados datos sobre su vida. Por ejemplo no nos consta su lugar de nacimiento. A menudo se confunde con Euclides de Megara, discípulo de Sócrates. Fue coetáneo del instaurador de la dinastía tolemaica Tolome Sóter, después, por tanto, de la muerte de Alejandro Magno. Creó escuela y enseñó en Alejandría. Se cree también que Euclides no hacía énfasis en los aspectos prácticos de la materia. Se cuenta que en una ocasión uno de sus alumnos le preguntó qué utilidad tenía estudiar geometría. Euclides ordenó a uno de sus esclavos que le diese unas monedas, ya que debe ganar algo necesariamente de lo que aprende. Su gran obra es una colección de libros llamados los Elementos, dividido en 13 volúmenes, en los cuales se recopilan las matemáticas de entonces. La estructura de estos libros consiste en un pórtico axiomático donde se encuentran las definiciones, postulados y nociones comunes. Son las reglas del juego a partir de las que se deducen las proposiciones. Es la primera vez en la historia que se abordan las matemáticas desde esta perspectiva. La intención de este trabajo consiste en revisar estas proposiciones con las herramientas de hoy en día. Lo hacemos mediante un programa informático llamado Cabri Geomètre.

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2. Metodología 2.1 Cabri Geomètre: El Cabri Geomètre es un programa de geometría interactiva -más adelante se verá qué significa dicha interactividad-. El programa consiste en una paleta donde disponemos unas herramientas que en realidad no son más que la regla y el compás y combinaciones de ambos. El procedimiento a seguir sería construir un objeto -p.e. la mediatriz de un segmento- a partir de un objeto inicial -en este caso el segmento-. La interactividad viene dada por el hecho de que podemos variar el objeto inicial y entonces el objeto construido irá variando en función de ello. Si la construcción se mantiene coherente es que está bien hecha. Hay que tener presente que una construcción en Cabri no constituye demostración de la misma.

2.2 Cómo instalar Cabri Geomètre. 1. Ejecutar el archivo Cabri.exe. 2. Elegir el lugar donde queremos que se instale. Se recomienda la opción por defecto c:\Archivos de programa\Cabri 3. Copiar el archivo wing32.dll a la carpeta c./Windows/system32 4. El programa está listo para ser ejecutado.

2.3 Primeros pasos con Cabri Geomètre. 1. Ejecutamos Cabri desde inicio/programas/cabri, Tendremos una pantalla como la que sigue.

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2. En los botones de la barra de herramientas vemos un botón con un cursor. Es la opción que aparece activa por defecto. 3. El segundo botón es un punto. Si pulsamos y mantenemos botón izquierdo se nos despliega una persiana con tres opciones: punto, punto sobre un objeto e intersección. Si activamos punto podremos dibujar puntos en la paleta. 4. El tercer botón incluye las opciones recta, segmento, semirrecta, vector, etc. Recta y segmento serán las más usadas. Este botón correspondería a la regla de la geometría. 5. El cuarto botón correspondería a la opción compás. De hecho la única instrucción que utilizaremos aquí es circunferencia. 6. Se recomienda al lector que dibuje puntos, segmentos, rectas y circunferencias para familiarizarse con estas instrucciones. 7. Después de dibujar unos cuantos objetos activamos la opción cursor -primero de los botones-. Si nos ponemos sobre un objeto y apretamos el botón izquierdo vemos que podemos arrastrar y/o deformar los objetos en cuestión.

2.4 Construcciones básicas con Cabri Geomètre:  Mediatriz. (Ver archivo mediatriz.fig) 7

Creamos un segmento en cualquier lado de la paleta. Activamos la opción circunferencia y hacemos clic sobre A hasta B y de B hasta A, de manera que las dos circunferencias se corten en dos puntos que los uniremos con una recta y esta formara la mediatriz.

 Bisectriz. (Ver archivo bisectriz.fig) Creamos dos rectas que se corten en un punto, hacemos clic en este punto con la herramienta circunferencia y describimos un circulo con el radio que queramos. Este cortara en dos puntos, los cuales los uniremos por otras dos circunferencias, estas dos se cortan en dos puntos y con la herramienta recta los unimos de manera que también pase por el punto en común anteriormente mencionado.

 Teorema de Tales o división geométrica. (Ver archivo Teorema de Tales.fig) 8

Este teorema nos permite dividir el segmento en n segmentos iguales. Para nuestro ejemplo lo dividiremos en cuatro. Primero dibujamos un segmento, el que queremos dividir. Trazamos una semirrecta que parta de uno de los extremos del segmento. Dibujamos cuatro circunferencias sobre la semirrecta de modo que obtengamos cuatro segmentos iguales. Unimos el extremo del segmento inicial con el extremo del cuarto segmento sobre la semirrecta y por último trazamos paralelas.

 Algunos puntos y rectas notables. o Incentro. (Ver archivo incentro.fig) Es el centro de la circunferencia inscrita tangente a los tres lados del triángulo, y el punto donde se encuentran las tres bisectrices. Para

construir

esto,

primero

trazaremos un triángulo en el cual dibujaremos las bisectrices. Estas bisectrices se cortaran.

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Hacemos una perpendicular que nos indicará la tangencia del círculo. Y en este punto trazaremos una circunferencia tangente al triángulo

o Ortocentro. (Ver archivo ortocentro.fig) Es el punto donde se cortan las tres alturas del triángulo. La altura es la perpendicular hecha desde un vértice al lado opuesto. Para poder construir este punto primero debemos dibujar un triángulo. Con la herramienta perpendicular, trazamos tres que pasen justo por el ángulo opuesto. El punto donde se cortan será el que buscamos.

o Circuncentro. (Ver archivo circuncentro.fig) Es el centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los vértices del triángulo y el punto donde coinciden las tres mediatrices del triangulo. Construimos un triángulo y en cada uno de los lados trazamos una mediatriz. Por último trazamos una circunferencia que pase por todos los vértices del triángulo.

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3. Pórtico axiomático Es la gran novedad de los Elementos. Antes se había ya escrito sobre matemáticos y geometría, pero nunca con un planteamiento tan diáfano. Primero de definen los objetos que se van a tratar después se póstula que nos es permitido hacer con ello y luego se dan unas nociones comunes –reglas del razonamiento- para trabajar con todos estos conceptos. A continuación reproducimos las definiciones de los Libros I, II, III y IV, postulados y nociones comunas.

3.1 Definiciones Libro I 1. Un punto es lo que no tiene partes. 2. Una línea1 es una longitud sin anchura. 3. Los extremos de una línea son puntos. 4. Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella. 5. Una superficie es lo que solo tiene longitud y anchura. 6. Los extremos de una superficie son líneas. 7. Una superficie plana es aquella que yace por igual respecto de las líneas que están en ella. 8. Un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. 9. Cuando dos líneas que comprenden el ángulo son rectas el ángulo se llama rectilíneo. 10. Cuando una recta levantada sobre otra recta forma ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de lo ángulos iguales es recto y la recta levantada se llama perpendicular a aquella sobre la que está. 11. Ángulo obtuso es el mayor que un recto. 12. Ángulo agudo es el menor que un recto. 13. Un límite es aquello que es extremo a algo. 1

Para Euclides una línea es una recta.

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14. Una figura es lo contenido por uno o varios límites. 15. Un círculo es una figura plana comprendida por una línea2 tal que todas las rectas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí. 16. Y el punto se llama centro del círculo. 17. Un diámetro del círculo es una recta cualquiera trazada a través del centro y limitada en ambos sentidos por la circunferencia del círculo, recta que también divide el círculo en dos partes iguales. 18. Un semicírculo es la figura comprendida entre el diámetro y la circunferencia por él cortada. Y el centro del semicírculo es el mismo que el del círculo. 19. Figuras rectilíneas son las comprendidas por rectas, triláteras las comprendidas por cuatro, multilaterales las comprendidas por más de cuatro rectas. 20. De entre las figuras triláteras, triángulo equilátero es la que tiene los tres lados iguales, isósceles la que tiene sólo dos lados iguales, y escaleno la que tiene los tres lados desiguales. 21. Además, de entre las figuras triláteras, triángulo rectángulo es la que tiene un ángulo recto, obtusángulo la que tiene un ángulo recto, acutángulo la que tiene tres ángulos agudos. 22. De entre las figuras cuadriláteras, cuadrado es la que es equilátera y rectangular, rectángulo la que es rectangular pero no equilátera, rombo la que es equilátera pero no rectangular, romboide la que tiene los ángulos y lados opuestos iguales entre sí, pero no es equilátera ni rectangular; y llámese trapecios las demás figuras cuadriláteras. 23. Son rectas paralelas las que estando en el mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.

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Euclides la llama circunferencia.

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3.2 Definiciones Libro II 1. De todo paralelogramo rectangular se dice que está comprendido por las dos rectas que comprenden el ángulo recto. 2. En toda área del paralelogramo llámese gnomon a uno cualquiera de los

paralelogramos situados en torno a su diagonal junto con los dos complementos.

3.3 Definiciones Libro III

1. Círculos iguales son aquellos cuyos diámetros son iguales, o cuyos radios son iguales. 2. Se dice que es tangente a un circulo la recta que, tocando el circulo y siendo prolongada, no corta el circulo. 3. Se dice que son tangentes entre sí los círculos que, tocándose mutuamente, no se cortan. 4. En un círculo se dice que las rectas están a la misma distancia del centro, cuando las perpendiculares trazadas desde el centro hasta ellas son iguales. 5. Se dice que está a mayor distancia aquella recta sobre la que cae la perpendicular mayor. 6. Un segmento de un círculo es la figura comprendida por una recta y una circunferencia de un círculo. 7. Un ángulo de un segmento es el comprendido por una recta y una circunferencia de un círculo. 8. Ángulo de un segmento es el ángulo que, cuando se toma un punto sobre la circunferencia del segmento y se trazan rectas desde él hasta los extremos de la recta que es la base del segmento, está comprendido por las rectas trazadas. 9. Cuando las rectas que comprenden el ángulo cortan una circunferencia se dice que el ángulo está sobre ella.

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10. Un sector de un círculo es la figura que, cuando se construye un ángulo en el centro del círculo, está comprendida por las rectas que comprenden el ángulo y la circunferencia cortada sobre ellas. 11. Son segmentos de círculo semejantes los que admiten ángulos iguales, o aquellos en que los ángulos son iguales entre sí.

3.4 Definiciones Libro IV 1. Se dice que la figura rectilínea está inscrita en otra figura rectilínea, cuando cada uno de los ángulo de la figura inscrita toca los lados respectivos de aquella en la que se inscribe. 2. De manera semejante, se dice que una figura esta circunscrita en torno a otra figura, cuando cada lado de la figura circunscrita toca los ángulos respectivos de aquella en torno a la cual se circunscribe. 3. Se dice que una figura rectilínea esta inscrita en un círculo, cuando cada ángulo de la figura inscrita toca la circunferencia del círculo. 4. Se dice que una figura rectilínea está circunscrita en torno a un círculo, cuando cada lado de la figura circunscrita toca la circunferencia del círculo. 5. De manera semejante, se dice que un círculo está inscrito en una figura, cuando la circunferencia del círculo toca cada lado de la figura en la que está inscrito. 6. Se dice que un círculo está circunscrito en torno a una figura, cuando la circunferencia del círculo toca cada ángulo de la figura en torno a la que está circunscrito. 7. Se dice que una recta está adaptada a un círculo, cuando sus extremos están en la circunferencia del círculo.

3.5 Postulados 1. El trazar una línea recta desde un punto cualquiera hasta un punto cualquiera. 14

2. Y el prolongar continuamente una recta finita en línea recta. 3. Y el describir un círculo con cualquier centro y distancia. 4. Y el ser todos los ángulos rectos iguales entre sí. 5. Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontraran en e lado en el que los menores que dos rectos.

3.6 Nociones comunes 1. Las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí. 2. Y si se añaden cosas iguales a cosas iguales, los totales son iguales. 3. Y si de cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales. 4. Y las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí. 5. Y todo es mayor que la parte.

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4. Proposiciones A continuación presentamos lo que es el núcleo del trabajo de investigación. Se irán analizando proposiciones trabajándolas con Cabri Geomètre. En todo lo que sigue se ha adaptado al alfabeto latín del griego para referirnos a los objetos. En el Libro I la letra mayúscula denota un punto mientras que las mayúsculas denotan rectas y circunferencias. A partir del libro II utilizamos mayúsculas para todos los objetos respetando la notación original de los Elementos.

4.1 Libro I Proposición 1

Construir un triángulo equilátero sobre una recta finita dada.

Tenemos un segmento dado AB en la cual haremos un triángulo equilátero. Trazamos una circunferencia con centro A y distancia AB (b) y otra con centro en B y distancia BA (a)3 . Y a partir del punto C donde los círculos e cortan entre sí trazamos las rectas CA, CB hasta los puntos A, B. Y puesto que el punto A es el centro del círculo Cab, AC es igual a BC4; puesto que el punto B es a su vez el centro del Círculo CAb, BC es igual a BA y se ha demostrado que CA es igual a AB, por tanto, cada una de las rectas5 CA, CB es igual ab6. Por lo tanto el triángulo ABC es equilátero.

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Ver postulado 3. Ver definición 15. 5 Refiriéndose a segmento. 6 Ver nociones comunas 1. 4

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Ver Lib I prop1.fig

Proposición 2

Poner en un punto dado (como extremo) una recta igual a una recta dada.

Sea A el punto dado y Br la recta dada. Tenemos que poner en el punto A una recta igual a la recta dada Br. Trazamos desde el punto A hasta el punto B la recta AB y construimos sobre ella el triángulo equilátero OAB7 y que el resultado sea la prolongación de los lados de este Oe, Oz. Con el centro en B y la distancia Br describimos un círculo rhb y a la vez con centro en O y la distancia Oh, describimos el círculo rhb con centro B. Como el punto B es el centro del círculo rhb, Br es igual a Bh. Como a su vez el punto O es el centro del círculo hae, Oe es igual a Oh. La parte restante Ae es igual a la parte restante Bh. Hemos demostrado, también, Br es igual a Bh, por lo tanto, cada una de las rectas Ae, Br es igual a Bh y luego Ae es también igual a Br. Por consiguiente, en el punto dado A se ha trazado la recta Ae igual a la recta Br.

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Ver proposición anterior.

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Ver Lib I prop 2.fig 1

Proposición 3

Dadas dos rectas desiguales, quitar de la mayor una recta igual a la menor.

Sean AB, r las dos rectas desiguales dadas siendo AB la mayor de ellas. Tenemos que restar de la mayor, AB una recta igual a la menor, r. Colocamos sobre el punto A la recta la recta Aa igual a la recta r y con el centro A y la distancia Aa describimos el círculo aEZ8 y como el punto A es el centro del circulo aEZ, AE es igual a Aa pero también r es igual a Aa, luego cada una de las rectas AE, r es igual a Aa, de modo que también AE es igual a r. Por lo tanto, dadas dos rectas desiguales: AB, r, se ha quitado de la mayor, AB, la recta AE igual a la menor, r

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Ver postulado 3.

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Ver Lib I prop 3.fig

Proposición 4

Si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales a dos lados del otro y tienen iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también las respectivas bases iguales y un triángulo será igual al otro, y los ángulos restantes, a saber: los subtendidos por lados iguales, serán también iguales respectivamente.

Seas ABC, abc, dos triángulos que tienen los dos lados AB, AC iguales a ab iguales a ab, ac, respectivamente, es decir AB a ab y AB a ab, y el ángulo ABC igual al ángulo abc. Afirmamos que la base BC es igual a la base bc y que el triángulo ABC es igual al triángulo abc y los ángulos restantes son iguales. Si aplicamos que el triangulo ABC i el triángulo abc y el punto A se coloca sobre el punto a y la recta BC sobre la recta bc coincidirán también el punto B sobre el punto b por ser igual AB a ab, al coincidir también AB con ab, la recta AC

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coincidirá con ac por ser igual al ángulo BAC al bac de modo que también el punto C coincidirá con el punto c por ser igual a su vez AC a ac. Pero también el punto B había coincidido con el punto b de modo que la base BC coincidirá con la base bc y será igual a ella9. De modo que también el triángulo entero ABC coincidirá con el triángulo abc. Por consiguiente, si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales a dos lados del otro y tienen, iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales, tendrán también las respectivas bases iguales y un triángulo será igual al otro.

Ver Lib I prop 4.fig 1

Proposición 5

En los triángulos isósceles los ángulos de la base son iguales entre sí, y prolongadas las dos rectas iguales, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre sí.

Sea ABR el triángulo isósceles que tiene el lado AB igual al lado AR, y sean Ba, Re el resultado de prolongar en línea recta las rectas AB, AR10. Decimos que el ángulo ABR es igual al ángulo ARB y el ángulo RBa es igual al ángulo BRe. 9

Ver nociones comunes 4. Ver postulado 2.

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Tomamos al azar un punto Z en la recta Ba y quitamos de la mayor Ae, la recta AH igual a la menor AZ y trazamos las rectas ZR, HB. AZ es igual a AH y AB a AR,

las

dos

rectas

ZA,

AR

son

respectivamente iguales a las dos rectas HA, AB y comprenden el ángulo común ZAH, por lo tanto, la base ZR es igual a la base HB, y el triángulo AZR será igual al triangulo AHB, y los ángulos restantes subtendidos por lados iguales serán también iguales respectivamente, el ángulo ARZ al ABH y el AZR al AHB. La recta entera AZ es igual a la recta entera AH, cuyas respectivas partes AB y AR son Ver Lib I prop 5.fig 1

iguales, entonces la parte restante BZ es igual a la parte restante RH. Demostramos

también que ZR es igual a HB, entonces las dos rectas BZ, ZR son iguales a las dos rectas RH, HB, respectivamente, y el ángulo BZR es igual al RHB y su base común es BR por lo tanto el triángulo BRZ es igual al triángulo RHB y los ángulos restantes son iguales respectivamente así que también es igual el ángulo ZBR al HRB y el ángulo BRZ al RBH. En los triángulos isósceles los ángulos que están en la base son iguales entre sí y prolongadas las rectas iguales los ángulos situados debajo de la base serán iguales entre sí. Q.E.D.11. Proposición 6

Si dos ángulos de un triángulo son iguales entre sí, también los lados que subtienden a los ángulos iguales serán iguales entre sí.

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Quod erat demonstrandum, que significa: que es lo que había que demostrar.

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Sea el triángulo ABR que tiene el ángulo ABR igual al ángulo ARB. Decimos también que el lado AB es igual al lado AR porque si no lo fueran uno de los ángulos sería mayor. Y del lado mayor AB quitamos la recta aB igual al lado menor AR y trazamos aR. Como AB es igual a AR y BR es común, también los lados Ab, BR son iguales a los lados AR, RB, respectivamente, y el ángulo aBR es igual al ángulo ARB, por lo tanto, la base aR es igual a la base AB, y el triángulo aBR será igual al triángulo ARB, el menor al mayor, lo cual es absurdo, entonces los lados AB y AR no son desiguales porque son iguales. Si dos ángulos de un triángulo son iguales entre sí, también los lados que subtienden a los ángulos iguales serán iguales entre sí Q.E.D.

Ver Lib I prop 6.fig 1

Proposición 7

No se podrán levantar sobre la misma recta otras dos rectas iguales respectivamente a dos rectas dadas, de modo que se encuentren en dos puntos distintos por el mismo lado y con los mismos extremos que las rectas dadas.

Si suponemos que es posible hacerlo, construimos sobre una misma recta AB, otras dos rectas Aa, aB iguales respectivamente a dos rectas dadas AR, RB, que se encuentren en dos puntos diferentes R y a, por el mismo lado y que tengan los 22

mismos extremos, de modo que RA sea igual a aA y tengan los mismo extremos, de modo que RA sea igual a Aa y tenga el mismo extremo que ella: A, y RB sea igual a AB y tenga el mismo extremo que ella: B, trazamos Ra. Puesto que AR es igual a Aa, también es igual el ángulo Ara al ángulo AaR, por lo tanto, el ángulo AaR es mayor que el ángulo aRB, luego el ángulo RaB es mucho mayor que el ángulo aRB. Puesto que RB es a su vez igual a aB, también es igual el ángulo RaB al

Ver Lib I prop 7.fig 1

ángulo

aRB.

Pero

se

ha

demostrado que también es mucho mayor que es, lo cual es imposible. Por consiguiente, no se podrán levantar sobre una misma recta otras dos rectas iguales respectivamente a dos rectas dadas de modo que se encuentren en dos puntos distintos por el mismo lado y con los mismos extremos que las rectas dadas. Q.E.D.

Proposición 8

Si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales respectivamente a dos del otro y tienen también iguales sus bases respectivas, también tendrán iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales.

Sean ABR, aEZ dos triángulos que tienen los dos lados AB, AR iguales, respectivamente, a aE, aZ, es decir, el lado AB al lado aE y el lado aZ y que tengan también la base BR igual a la base EZ. Decimos que el ángulo BAR es también igual al ángulo EaZ. Pues si se aplica el triángulo ABR al triángulo aEZ y se pone el punto B sobre el punto E y la recta BR sobre la recta EZ, coincidirá también el punto R con el punto Z por ser igual BR a EZ y al coincidir BR con EZ coincidirán también BA, RA con Ea, aZ. Pues 23

si coincide la base BR con la base EZ y los lados BA, AR no coinciden con los lados Ea, aZ sino que se desvían como EH, HZ, podrán ser construidos sobre una misma recta otras dos rectas iguales respectivamente a dos rectas dadas que se encuentren en puntos distintos por el mismo lado y con los mismos extremos. Pero no pueden construirse, por lo tanto, no es posible que, aplicada la base BR a la base EZ, no coincidan los lados BA, AR con los lados Ea, aZ. Luego coincidirán de modo que también el ángulo BAR coincida con el ángulo EaZ y será igual a el. Por lo tanto, si dos triángulos tienen dos lados del uno iguales respectivamente a dos lados del otro y tienen las bases respectivas iguales, también tendrán iguales los ángulos comprendidos por las rectas iguales. Q.E.D.

Ver Lib I prop 8.fig 1

Proposición 9

Dividir en dos partes iguales un ángulo rectilíneo dado.

Sea BAR el ángulo rectilíneo dado. Tenemos que dividirlo en dos partes iguales. Cogemos un punto al azar, a, en la recta AB y quitamos de la recta AR la recta AE igual a Aa y trazamos aE, construimos sobre aE el triángulo equilátero aEZ y finalmente trazamos AZ. 24

Decimos que el ángulo BAR ha sido dividido en dos partes iguales por la recta AZ. Pues como la recta aA es igual a la recta AE y AZ es común, las dos rectas Aa, az son iguales respectivamente a las dos rectas EA, AZ. Y la base aZ es igual a la base EZ, por lo tanto, el ángulo aAZ es igual al ángulo EAZ. Por consiguiente, el ángulo rectilíneo dado BAR ha sido dividido en dos partes iguales por la recta AZ.

Ver Lib I prop 9.fig 1

Proposición 10

Dividir en dos partes iguales una recta finita dada.

Sea AB la recta dada. Tenemos que dividir en dos partes iguales la recta finita AB. Construimos sobre ella el triángulo equilátero ABR y lo dividimos en dos partes iguales el ángulo ARB mediante la recta Ra. Decimos que la recta AB ha sido dividida en dos partes iguales en el punto a. Como la recta AR es igual a la recta RB y la recta Ra es común, entonces las dos

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rectas AR, Ra son iguales respectivamente a las dos rectas BR, Ra y el ángulo Ara es igual al ángulo BRa, por lo tanto, la base Aa es igual a la base Ba. Por consiguiente, la recta finita dada AB ha sido dividida en dos partes iguales en el punto a.

Ver Lib I prop 10.fig 1

4.2 Libro II Proposición 1

Si hay dos rectas y una de ella se corta en un numero cualquiera de segmentos, el rectángulo comprendido por las dos rectas es igual a los rectángulos comprendidos por la recta no cortada y cada uno de los segmentos.

Sea A, BR dos rectas y cortamos al azar BR en los puntos a, E. Decimos que el rectángulo comprendido por A, BR es igual al rectángulo comprendido por A, Ba y el comprendido por A, aE y además el comprendido por A, ER. Trazamos a partir del punto B la recta BZ que forme ángulos rectos con BR y hacemos igual a A, y por el punto H trazamos HO paralela a BR y por los puntos a, E, R trazamos AK, EP, RO paralelas a BH.

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El rectángulo BO es igual a los rectángulos BK, aP, EO. BO es el rectángulo comprendido por A, BR: porque está comprendido por HB, BR y BH es igual a A, pero BK es el rectángulo comprendido por A, Ba: porque está comprendido por HB, Ba, y BH es igual a A. Y aP es el rectángulo comprendido por A, PE: porque aK, es decir BH es igual a A. Además del mismo modo EO es el rectángulo comprendido por A, ER, así pues el rectángulo comprendido por A, BR es igual al rectángulo comprendido por A, BR es igual al rectángulo comprendido por A, Ba y el comprendido por A, ER. Por consiguiente, si hay dos rectas y una de ellas se corta en un numero cualquiera de segmentos, el rectángulo comprendido por las dos rectas es igual a los rectángulos comprendidos por la recta no cortada y cada uno de los segmentos.

Ver Lib II prop 1.fig 1

Proposición 2

Si se corta al azar una línea recta, el rectángulo comprendido por la reta entera y cada uno de los segmentos, es igual al cuadrado de la recta entera.

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Cortamos la recta AB en cualquier punto que llamaremos R. Decimos que el rectángulo comprendido por AB, BR junto con el rectángulo comprendido por BA. AR es igual al cuadrado de AB. Dibujamos a partir de AB una paralela que pase por el punto R. El rectángulo AE es igual a los rectángulos AZ, RE. Ahora bien, AE es el cuadrado de AB, pero AZ es el rectángulo comprendido por BA, AR. Por consiguiente, si se corta al azar una línea recta, el rectángulo comprendido por esta recta entera y cada uno de los segmentos, es igual al cuadrado de la recta entera.

Ver Lib II prop 2.fig 1

Proposición 3 Si se corta al azar una línea recta, el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos, es igual al rectángulo comprendido por los segmentos y el cuadrado del segmento primeramente dicho.

Cortamos al azar la recta AB en R. Decimos que el rectángulo comprendido por AB, BR es igual al rectángulo comprendido por AR, EB junto con el cuadrado de BR. Construimos a partir de RB el cuadrado RVEB, y prolongamos EV hasta Z, y por el punto A trazamos AZ paralela a una de las dos rectas del rectángulo dado. Entonces AE es igual a AV, RE, ahora bien, AE es el rectángulo comprendido por AB, BR: porque esta comprendido por AB, BE, y BE es igual a 28

BR, pero AV es el rectángulo comprendido por AR, RB: porque VR es igual a RB, y AB es el cuadrado de RB. El rectángulo comprendido por AB, BR es igual al rectángulo comprendido por AR, RB junto con el cuadrado de BR. Por consiguiente, si se cortan al azar una línea recta, el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos es igual al rectángulo comprendido por los segmentos y el cuadrado del segmento primeramente dicho.

A

R

B

Z

V

E

Ver Lib II prop 3.fig 1

Proposición 4

Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rectángulo comprendido por los segmentos.

Cortamos al azar una línea AB en el punto R. Decimos que el cuadrado AB es igual a los cuadrados de AR, RB y dos veces el r rectángulo comprendido por AR, RB. Construimos a partir de AB el cuadrado AVEB y trazamos BV. Por el punto R trazamos RZ paralela a una de las dos rectas AV, EB, y por el punto H trazamos OK paralela a las dos rectas AB. VE. Como RZ es paralela a AV, y BV ha incidido sobre ellas, el ángulo externo RHB es igual al interno y opuesto AVB. Pero el ángulo AVB es igual al ángulo ABV, puesto que el lado BA es también igual al lado AV, por lo tanto, el ángulo RHB es también igual al ángulo HBR. De modo que el lado BR es también igual al lado RH, pero RB es igual a 29

HK y RH a KB, por lo tanto, HK es también igual a KB, luego RHKB es equilátero. Por consiguiente, si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rectángulo comprendido por los segmentos.

A

R

B

O

H

K

V

Z

E

Ver Lib II prop 4.fig 1

Proposición 5 Si se corta una línea recta en segmentos iguales y desiguales, el rectángulo comprendido por los segmentos desiguales de la recta entera junto con el cuadrado de la recta que esta entre los puntos de sección, es igual al cuadrado de la mitad.

Cortamos una recta cualquiera AB en segmentos iguales en el punto R, y en segmentos desiguales en el punto V. Decimos que el rectángulo comprendido por AV, AB junto con el cuadrado de RV es igual al cuadrado de RB. Construimos a partir de RB el cuadrado REZB y trazamos BE, y por el punto V trazamos AH paralela a una de las dos rectas RE, BZ. Por el punto O trazamos a su vez Km paralela a una de las dos rectas AB, EZ, y por el punto A trazamos, asimismo, AK paralela a una de las dos rectas RX, BM. Y como el complemento RO es igual al complemento OZ, añadimos a ambos VM, por lo tanto el 30

rectángulo entero RM es igual al rectángulo entero VZ. Poro el rectángulo RM es igual al rectángulo AX, puesto que la recta AR es igual a la recta RB, por lo tanto, el rectángulo AX es también igual al rectángulo VZ. Añadimos a ambos OR. VO es el rectángulo comprendido por AV, VB: porque VO es igual a VB. Por consiguiente si se corta una línea recta en segmentos iguales y desiguales, l r rectángulo comprendido por los segmentos de la recta entera junto con el cuadrado de la recta que esta entre los puntos de sección, es igual al cuadrado de la mitad.

A

R

V

B

K

X

O

M

E

H

Z

Ver Lib II prop 5.fig 1

4.3 Libro III Proposición 1

Hallar el centro de un círculo dado.

Dado el círculo ABR. Tenemos que hallar el centro del círculo ABR. Para ello trazamos al azar una recta AB, la dividimos en dos por el punto V, a partir de este trazamos VR perpendicular a AB y prolongamos hasta E. Dividimos en dos partes iguales RE en Z. Decimos que Z es el centro del círculo ABR. Suponemos que no, entonces si es posible sea H el centro, trazamos HA, HV, HB. Ahora bien, como AV es igual a VB y VH es común. Los dos lados AV, VH son iguales respectivamente a los

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dos lados HV, VB. La base HA es igual a la base HB, pues son radios, por lo tanto, el ángulo AVH es igual al ángulo HVB, pero cuando una recta levantada sobre otra recta hace los ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto12. Por lo tanto, el ángulo HVB es recto. Pero también es recto el ángulo ZVB, por tanto, el ángulo ZVB es igual al ángulo HVB, el mayor al menor, lo cual es imposible. Luego H no es el centro del círculo ABR. De la misma manera demostraríamos que ningún otro lo es excepto Z. Por consiguiente el punto Z es el centro del círculo ABR.

R

H Z

A

V

B

Ver Lib III prop 1.fig 1

Proposición 2

Si se toman dos puntos al azar en la circunferencia de un círculo, la recta que une dos puntos caerá dentro del círculo.

Sea ABR el círculo, y sobre su circunferencia tomamos al azar dos puntos A, B. Decimos que la recta trazada desde A hasta B caerá dentro del círculo.

12

Ver definición 10

32

Suponemos que no, entonces, si es posible, que caiga fuera como ABR, y sea V. Trazamos VA, VB y prolongamos VZE. Como VA es igual a VB entonces A

V

también el ángulo VAE es igual al ángulo VBE. Como un lado

E

AEB del triangulo VAE ha sido

Z

prolongado, entonces el ángulo B

VAE es igual al ángulo VBE.

Ver Lib III prop 2.fig 1

Por tanto, el ángulo es mayor

que el ángulo VBE, ahora bien, al ángulo

Proposición 3

Si en un círculo una recta trazada a través del centro divide en dos partes iguales a otra recta no trazada a través del centro, la corta formado también ángulos rectos; y si la corta formado ángulos rectos, la divide también en dos partes iguales.

Sea ABR el círculo, y en él una recta trazada a traces del centro dividida en dos partes iguales a otra recta AB no trazada a través del centro, por el punto Z. Decimos que también la corta formado ángulos rectos. Tomamos el centro del círculo ABR y sea E. Trazamos EA, EB. Como AZ es igual a ZB y ZE es común, los dos lados son iguales a los lados. Y la base EA es igual a la base EB, por tanto, el triangulo AZE es igual al ángulo BZE. Pero cuando una recta levantada sobre otra recta hace los ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto, por tanto, cada uno de los ángulos AZE, BZE es recto. Luego RV trazada a través del centro dividiendo en

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dos partes iguales a AB no trazada a través del centro, la corta también formando ángulos rectos. Pero ahora cortamos RV a AB formando ángulos rectos. Decimos que también la divide en dos partes iguales, es decir, que AZ es igual a ZB. Pues siguiendo la misma construcción, como EA es igual a EB, el ángulo EAZ es también igual al ángulo EBZ. Pero el ángulo recto AZE es igual al ángulo recto BZE, por tanto, EAZ, EZB son dos triángulos que tienen dos ángulos iguales a dos ángulos, y un lado igual a un lado, el común a ambos EZ, que subtiende a uno de los ángulos iguales; luego tendrá también los lados restantes iguales a los lados restantes, así pues, AZ es igual a ZB. Por consiguiente, si en un círculo una recta trazada a través del centro divide en dos partes iguales a otra recta no trazada a través del centro, la corta también formando ángulos rectos. Y si la corta formando ángulos rectos, la divide también en dos partes iguales.

R

E Z

A

V Ver Lib III prop 3.fig 1

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B

Proposición 4

Si en un círculo se cortan entre si dos rectas que no pasan por el centro, no se dividen entre sí en dos partes iguales.

Sea ABRV el círculo y en él las dos rectas AR, BV que no pasan por el centro cortándose en el punto E. Decimos que no se dividen entre si en dos partes iguales. Pues, si fuera posible, dividimos entre sí en dos partes iguales de modo que AE sea igual que ER y BE a EV. Tomamos el centro del círculo ABRV y sea Z, trazamos ZE. Así pues, como una recta que pasa por el centro ZE divide en dos a otra recta que no pasa por el centro AR, también la corta formando ángulos rectos. Por tanto, el ángulo ZEA es recto. Como, a su vez, una recta ZE divide en dos a otra recta BV, también la corta formando ángulos rectos. Por tanto, el ángulo ZEB es recto. Pero se ha demostrado que también el ángulo ZEA es recto. Luego el ángulo ZEA es igual al ángulo ZEB, el menor al mayor, lo cual es imposible. Por tanto, las rectas AR, BV no se dividen entre sí en dos partes iguales. Por consiguiente, si en un círculo se cortan entre si dos rectas no pasan por el centro, no se dividen entre si en dos partes iguales.

V Z A E B Ver Lib III prop 4.fig 1

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R

Proposición 5

Si dos círculos se cortan entre si, su centro no será el mismo.

Cortamos, pues, los círculos ABR, RVH entre sí los puntos B, R. Decimos que su centro no será el mismo. Pues, si es posible, sea E y trazamos A

ER, y trazamos al azar EZH. Ahora bien, como el punto E es el centro del círculo ABR, ER es igual a EZ.

R

V

Como, a su vez, el punto E es el E

centro del círculo RVH, ER es igual a EH. Pero hemos demostrado que

Z B

ER es igual a EZ, por tanto, EZ también es igual a EH, la menos a la

H

mayor, lo cual es imposible. Por Ver Lib III prop 5.fig 1

tanto, el punto E no es el centro de los círculos ABR RVH.

Por consiguiente, si dos círculos se cortan entre si su centro no es el mismo.

4.4 Libro IV

Proposición 1

Adaptar a un círculo dado una recta igual a una recta dada que no sea mayor que el diámetro del círculo.

SEA abr el círculo dado y V la recta dada no mayor que el diámetro del círculo. Así pues, hay que adaptar al círculo ABR una recta igual a la recta V. Trazamos el diámetro BR del círculo ABR. Entonces, si BR es igual a V, ya se habrá hecho lo propuesto: porque al círculo ABR se ha adaptado BR igual a la

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recta V. pero si BR es mayor que V, hacemos RE igual a V, y con centro R y la distancia RE describimos el círculo EAZ, y trazamos RA. Entonces, como el punto R es el centro del círculo EAZ, RA es igual a RE. Pero es igual a V, por tanto, V es igual a RA. Por consiguiente, al círculo dado ABR se ha adaptado RA igual a la recta V.

A

B

E

R

Ver Lib IV prop 1.fig 1

Proposición 2

Inscribir en un círculo dado un triangulo de ángulos iguales a los de un triángulo dado.

Sea ABR el círculo dado y VEZ el triangulo dado. Así pues, hay que inscribir en un círculo ABR un triangulo de ángulos iguales a los del triangulo VEZ. Trazamos HO tangente al círculo ABR en el punto A y construimos en la recta AO y en su punto A el ángulo OAR igual al ángulo VEZ, y en la recta AH y en su punto A el ángulo HAB igual al ángulo VZE y trazamos BR. Como una recta AO tica al círculo ABR, y desde e punto de contacto A hasta el círculo trazada la recta AR, entonces el ángulo OAR es igual al ángulo ABR en el segmento alterno del círculo. Pero el ángulo OAR es igual al ángulo VEZ, entonces el ángulo ABR es también igual al ángulo VEZ. Por lo mismo el ángulo

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ARB es también igual al ángulo VZE. Por tanto, el ángulo restante BAR es igual al ángulo restante EVZ. Por consiguiente, se ha inscrito en el círculo dado un triangulo iguales a los del triangulo dado.

B R

E

Z

V A

Ver Lib IV prop 2.fig 1

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5. Conclusiones La geometría ha sido desde los principios de la humanidad un instrumento utilizado para encontrar soluciones a algunos problemas más comunes. A quienes la han dominado, les ha facilitado la medición de estructuras sólidas reales, tanto tridimensionales como superficies planas. Además es bastante útil para la realización de complejas operaciones matemáticas. Euclides fue el primero en componer un libro de elementos de geometría. Euclides destacaba por su habilidad expositiva y esta fue la clave para su obra de más éxito: los Elementos. Se trata de un libro de texto que cubre toda la matemática elemental de la época, es decir, la aritmética, la geometría sintética y el álgebra. En este libro Euclides no se dedicaba a calcular, sino que se limitaba a una exposición en un orden lógico de los fundamentos de la matemática elemental. Los Elementos de Euclides son notables por la claridad con que los teoremas y problemas son seleccionados y ordenados. Las proposiciones proceden lógica y rigurosamente de postulados o de proposiciones anteriores. Los griegos fueron conscientes de la importancia que tenía la composición de los elementos matemáticos. Una razón era que si se cuenta con unos elementos de geometría, cabe entender el resto de la ciencia, mientras que sin ellos no será posible comprender su complejidad y las demás partes resultan inalcanzables. Aún hoy en día podemos seguir estudiando los Elementos y ponerlos en práctica. La obra continúa hoy, 23 siglos después de su redacción, teniendo vigencia. Las soluciones aportadas en la mayoría de las proposiciones son de singular simplicidad y belleza. Hoy día disponemos de una utilidad informática, el Cabri Geomètre, que nos permite estudiar la obra de Euclides con una mayor comodidad. En este trabajo ofrecemos una vista a les Elementos mediante Cabri Geomètre. Exponemos una serie de proposiciones escritas por Euclides utilizando las herramientas de ahora. Este programa nos ha dado la oportunidad de poder manejar una geometría escrita hace siglos con unas herramientas nuevas. La

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ventaja es que se gana en facilidad de comprensión. Además, el uso del Cabri es una invitación a jugar con los Elementos. Finalmente me gustaría remarcar un aspecto que me ha causado gran impresión: el hecho de poder apreciar la profundidad del pensamiento de un ser humano que vivió hace unos 2300 años. En cierta manera ha sido como un viaje en el tiempo a través de la historia del pensamiento.

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6. Bibliografía Elementos, Euclides, editorial Gredos, Madrid 1991 Carl B. Boyer. Historia de la matemática, Carl B. Boyer, Editorial Cast., Madrid 1992 Cosmos, Carl Sagan, Editorial Planeta, Barcelona

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7. Herramientas Cabri Geomètre. http://www.cabri.com/v2/pages/es/index.php. El departamento de Edición en la Generalidad de Cataluña tiene adquiridos los derechos para los centros educativos públicos de Cataluña.

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