Los algoritmos de cálculo en la historia de la matemática y en la escuela

Los algoritmos de cálculo en la historia de la Matemática y en la escuela Verónica Grimaldi Artículo publicado en la revista “Papel y tinta, para el día a día en la escuela” 12(ntes) Octubre de 2010 “Para efectuar la sustracción se escribe primero la cantidad mayor y debajo la menor, cuidando bien de que las unidades se hallen debajo de las unidades, las decenas debajo de las decenas, etc.; se traza una línea horizontal; después, empezando por la derecha, se quita sucesivamente cada cifra del sustraendo de su correspondiente del minuendo y el resto se escribe debajo; si no hay resto se escribe 0. Si una cifra del sustraendo es mayor que la del minuendo, se aumenta, mentalmente, esa cifra del minuendo en 10 y de esta suma se resta la cifra del sustraendo, después mentalmente se disminuye en uno la cifra del orden siguiente.”1 Siguiendo los pasos que se describen en el párrafo anterior, se puede resolver cualquier resta de números naturales –con la condición de que el primero sea mayor que el segundo-. Este método no depende de los números que participen: siempre, si se siguen los pasos ordenadamente, se arriba a un resultado. Es lo que se ha dado en llamar algoritmo. Un algoritmo es un método, un modo particular de resolver un problema. Existen algoritmos para todas las operaciones en cualquier conjunto numérico. También existen algoritmos para resolver problemas de un determinado tipo –por ejemplo, la regla de tres simple para problemas de proporcionalidad-, para construir figuras con regla y compás, para resolver ecuaciones –por ejemplo, usando la fórmula de Bhaskara-, etc. Los algoritmos no son propiedad exclusiva de la matemática: ninguna computadora o calculadora de bolsillo podría funcionar si no se les brindara, a través de la programación, los algoritmos necesarios para que hagan lo que se supone que deben hacer. Si bien no parece extraña la idea de que las calculadoras y computadoras funcionan y evolucionan gracias al trabajo de expertos que diseñan y mejoran permanentemente sus programas, es menos habitual pensar en estos términos acerca de los métodos que pueden utilizarse para resolver cálculos. Y sin embargo al compararlos con los algoritmos informáticos algunas preguntas son inevitables: ¿Quién inventó los métodos de cálculo? ¿Cuándo? ¿Por qué tienen ese modo particular de funcionamiento? ¿Son los únicos o existen otros? ¿Fueron siempre iguales o han ido cambiando? ¿Son universales o en distintos lugares se usan distintos algoritmos? ¿Hay alguna razón para que elijamos uno y descartemos otros? ¿Se podrían mejorar? En este artículo se investigarán algunas de estas cuestiones, se analizará cómo han vivido estos objetos en la historia de la Humanidad y en la escuela, en un intento de buscar indicios acerca de su relevancia en los proyectos actuales de enseñanza de la Matemática.

Formas de calcular Los algoritmos de cálculo son formas más o menos eficientes de resolver cuentas. Los métodos que conocemos gracias a nuestro paso por la escuela nos parecen bastante “naturales”. Sin embargo, el uso masivo de estos modos de resolver cálculos escritos es relativamente reciente. 1

Husson, Luisa R. de (1914). Aritmética Elemental. Tercer año, “Sustracción”, parágrafo 59: Regla general, p. 48. La Plata.

El origen de nuestros algoritmos se remonta aproximadamente al 500 d.C. en la India 2. En el siglo IX el astrónomo persa Mohamed ibn Musa al-Khuwarizmi3 recopiló y difundió entre los árabes muchos de los elementos de la matemática hindú. Más tarde el encuentro entre árabes y europeos posibilitó la llegada a la Europa mediterránea de los números y los métodos de cálculo bien conocidos en Medio Oriente. Hasta entonces los europeos utilizaban las cifras romanas para expresar cantidades, y el ábaco romano para realizar cálculos con ellas4. El ingreso de métodos para realizar cuentas utilizando nuevas grafías fue resistida durante mucho tiempo. Esta resistencia se debió a múltiples factores, algunos relativos al poder que significaba la manipulación de un conocimiento vinculado al dinero y la economía, pero también a cuestiones religiosas, ya que las nuevas cifras provenían de una cultura considerada “infiel” por el cristianismo. Existieron además razones prácticas. Por ejemplo, el temor a las estafas, ya que el solo agregado de un símbolo en este sistema cambiaba radicalmente la suma a la cual se hacía referencia5. Además, las cifras extranjeras no estaban estandarizadas y sufrían variaciones de una región a otra, y de un copista a otro, lo cual en muchos casos convertía en ilegibles a las escrituras numéricas. Esto recién se habría de salvar con la invención de la imprenta (1440). Las necesidades de los comerciantes fueron la piedra angular para el gran cambio de un sistema de numeración a otro: los viajes de negocios exigían estandarizar las cantidades con las que se trabajaba, y los modos de medir y de calcular debieron evolucionar de forma tal que distintos pueblos pudieran compartir un mismo lenguaje6. La necesidad de operar con números cada vez mayores debido al aumento en el volumen del comercio dejó en evidencia los límites de la utilización del ábaco y del sistema de numeración romano, y propició la progresiva adopción del sistema indo-arábigo. “Imaginemos toda la presión, la tensión, la necesidad que tiene que haber habido como para cambiar el sistema de escritura de los números” (Sessa, Giuliani; 2008)

La aritmética del Renacimiento Durante el Renacimiento el “arte de calcular” tuvo un lugar privilegiado gracias al desarrollo del comercio, y muchos fueron los tratados que se escribieron al respecto. Estas obras son compendios en los que se muestran y ejemplifican varios modos de calcular para una misma operación. No existen en estos tratados explicaciones o argumentaciones acerca de la validez de los métodos que se presentan; en general se trataba de ofrecer herramientas útiles y eficientes a los comerciantes. “Coexisten unos junto a los otros los algoritmos generales con los particulares y los más populares con los menos conocidos, con el fin de ofrecer al lector 2

Culturas anteriores también desarrollaron algoritmos. Solo se hace referencia en esta reseña a métodos que guardan semejanzas con los que usamos actualmente y que podrían ser considerados, de algún modo, sus antecesores. 3

La palabra algoritmo deriva del nombre de este astrónomo. El ábaco romano estaba formado por ranuras con cuentas de piedra o metal que se iban moviendo para registrar las agrupaciones que originaban los cálculos que se resolvían. Algunas fuentes históricas indican que por el contrario, en Medio Oriente los cálculos se realizaban inicialmente sobre una tabla con fichas numeradas del 1 al 9 que tomaban diferentes lugares según el número a formar; aun no usaban el cero sino que dejaban un espacio o colocaban una ficha blanca. Paulatinamente este tablero fue reemplazado por tablas de arena en las que las cifras se escribían y borraban a medida que se iba calculando, dando paso así al uso del 0 y a los algoritmos escritos. Este origen podría explicar la “verticalidad” de nuestros algoritmos, y modismos como “me llevo uno”, que remiten a pasar una cuenta o una ficha con el número 1 a la columna del orden inmediatamente superior en el tablero. En este sentido, los algoritmos serían modelos de la acción mecánica que se realiza en el ábaco, pero sin necesidad de manipular objetos. 5 Esto no ocurría en el sistema romano, en el que el valor del número no se reflejaba en la cantidad de grafías utilizadas en su escritura, y en el que sus estrictas reglas hacían más complejo el agregado de símbolos. 6 Esta pretendida homogeneización no fue -ni es actualmente- universal. Ver, por ejemplo, Vilella Miró, X (2007). Matemáticas para todos: Enseñar en un aula multicultural, p 36. Horsori Editorial 4

la posibilidad de que cada uno hiciera lo que mejor le pareciera. La razón por la que un autor opta por una u otra selección de métodos de cálculo no es otra que la tradición y su libre albedrío, emulando en su texto, las más de las veces, a sus predecesores” (Sierra Vázquez et al, 1997) Una de las obras más notables de la época es Summa de arithmetica geometria proportioni et proportionalità, escrita por Luca Pacioli en 1494 en la ciudad de Venecia. Pacioli ofrece métodos para realizar las cuatro operaciones, además de múltiples cuestiones relacionadas con la geometría, la proporcionalidad y la contabilidad. A continuación se describirán brevemente los ocho métodos para multiplicar que presenta esta obra7.

Figura 1: Multiplicación por SCACHIERI o por BERICUOCOLO El método que se muestra en la figura 1 es el algoritmo convencional para la multiplicación que se ha enseñado tradicionalmente en Argentina. Se basa en la descomposición aditiva del segundo factor y la resolución de productos parciales que se escriben en distintas filas, corriendo un lugar hacia la izquierda cada vez el resultado. Los símbolos “x” y “+”, respectivamente para indicar multiplicación y suma, son posteriores a la publicación de este tratado.

Figura 2: Método del CASTELLUCIO En la figura 2 se muestra el método del Castellucio. Su nombre refiere al “castillo” que van formando los productos parciales al descomponer aditivamente el primero de los factores y resolver las sucesivas multiplicaciones. 7

Esta recopilación ha sido tomada de Mealla Seguí, Vicente. “Así lo hizo Luca Pacioli. Algunos algoritmos de la multiplicación”. Disponible en: http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/AsiLoHicieron/Pacioli/InprimaketaPacioli.asp

Figura 3: Multiplicación por COLONNA o TAVOLETTA El método que se muestra en la figura 3 es útil si uno de los factores es “pequeño” y de más de una cifra. Pacioli lo describe con palabras. Se adjunta un ejemplo para analizar su funcionamiento. Se trata al factor “pequeño” en su totalidad, multiplicándolo por cada parte de la descomposición del otro factor. En sucesivos pasos se descomponen aditivamente los productos parciales para agrupar cada parte de acuerdo al orden que se esté escribiendo.

Figura 4: Multiplicación por CROCETTA o CASELLA En la figura 4 se presenta la multiplicación 37 x 37 por el método de la cruz 8. Este es el texto que lo acompaña en la obra original: Primero asienta uno debajo del otro como se ve y empieza por la primera figura diciendo 7 por 7 hacen 49. Pon el 9 debajo de la raya y toma 4 para las decenas. Después, haz la cruz y di una vez 3 por 7, hacen 21. Después, otra vez 3 por 7, hacen 21. Suma estos dos productos, o sea 21 y 21, hacen 42 y 4 que tenias en la memoria hacen 46. Escribe el 6 y guarda 4. Después multiplica las últimas figuras, o sea 3 por 3, hacen 9, y 4 que guardabas hacen 13. Escribe el 13 al lado del 6 y el 9 que habías puesto antes y resultará 1369.

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Algunas fuentes consideran que este método dio lugar a la utilización del signo “x” para simbolizar la multiplicación.

Figura 5: Método del CUADRILÁTERO En la figura 5 se muestra el producto 5432 x 5432. El método es similar al algoritmo convencional que se utiliza actualmente, pero se escriben los productos parciales sin desplazarlos hacia la izquierda. La suma se realiza en diagonal. En este caso, la última cifra del resultado será 4 (ángulo superior derecho); la anteúltima proviene de 6 + 6; la anterior a ella, de 8 + 9 + 8; etc.

Figura 6: Multiplicación por GELOSIA o por GRATICOLA Pacioli explica el algoritmo que se presenta en la figura 6 ofreciendo como ejemplo la multiplicación 987 x 987 = 974169. Se construye un cuadrado 3 x 3 en el que cada una de las nueve celdas cuadrangulares se divide diagonalmente en dos partes y se escriben los factores tal como se indica, arriba y a la izquierda de las celdas. Luego se multiplican dígito a dígito los factores y se escribe cada uno de los productos parciales de modo que las unidades queden en la parte derecha de la celda y las decenas en la parte izquierda. Para obtener el resultado de la multiplicación, solo se deben sumar los dígitos que figuran en la misma diagonal, comenzando por la del extremo superior derecho (que será la cifra de las unidades del resultado).

Figura 7: Método del REPIEGO El procedimiento de la figura 7 consiste en descomponer alguno de los factores en un producto de factores de un solo dígito y aplicar la propiedad asociativa de la multiplicación. Se muestran aquí dos formas de calcular 29 x 24 utilizando este método. Si bien en esta figura se presenta la simbolización de los cálculos, Luca Pacioli solo los describe con palabras.

Figura 8: Multiplicación por SCAPEZZO La figura 8 muestra dos ejemplos que ilustran el último método que propone Pacioli, el cual se apoya en la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. En la obra original, los describe sin simbolizar. El análisis de estos métodos de cálculo muestra que no han variado significativamente desde su publicación en 1494 –aunque sí se ha avanzado en la simbolización, cuestión ausente casi por completo en aquella época-. Pero es interesante observar que las opciones que se ofrecían eran variadas y, según los estudiosos de estos tratados, “con el fin de ofrecer al lector la posibilidad de que cada uno hiciera lo que mejor le pareciera”. ¿Por qué esta diversidad que se ha dado en la historia de la Matemática ha estado ausente en la escuela? ¿Cuáles son las razones por las que usualmente se ha ofrecido un método único de resolución para cada una de las operaciones?

Caracterización de los algoritmos de cálculo No existe actualmente consenso en cuanto a una definición formal de algoritmo. Sin embargo, todas las definiciones comparten ciertas características que hacen que pueda considerarse algoritmo a cualquier procedimiento que funcione paso a paso, y en el que cada uno de ellos se pueda describir sin ambigüedad y sin hacer referencia a una computadora o una persona en particular que lo lleve a cabo. No se habla en estas caracterizaciones acerca de la distribución espacial específica de los números: podrían ordenarse en forma vertical, horizontal, en cuadrículas, etc., sin variar por ello la validez matemática del método. Tampoco la condición de eficiencia es necesaria para la existencia de los algoritmos; sin embargo, algunos autores la consideran “deseable”.

El concepto de eficiencia está ligado al ahorro de recursos como tiempo, esfuerzo en el caso de procedimientos “a mano”, o memoria en el caso de computadoras. Esta idea ha estado muy presente en el discurso escolar, que insistió en presentar un único algoritmo elegido por sobre los demás debido a su supuesta eficiencia. Los argumentos que usualmente han justificado la enseñanza de algoritmos “cortos”9 se refieren a la mínima cantidad de pasos o a la mínima cantidad de escritura necesaria para llevarlos a cabo. Sin embargo, esta idea de eficiencia es cuestionable. No existe un algoritmo que sea, a los ojos de todas las personas, el más eficiente 10. La intención de definir la eficiencia como concepto absoluto en un contexto que involucra a sujetos, deja justamente afuera al sujeto. Al momento de elegir qué método resulta eficiente para una determinada persona o grupo de personas, se deben conciliar dos cuestiones: por un lado, que la cantidad de recursos a utilizar sea mínima; pero por otro lado, que esa condición esté referida al usuario del algoritmo. En distintos momentos de nuestra vida –escolar o extraescolar- pueden resultarnos más eficientes o menos eficientes diferentes algoritmos, y eso dependerá de cuestiones tan subjetivas como la costumbre, la experiencia, los conocimientos previos y los nuevos, el manejo de información, el dominio de estrategias y recursos de cálculo, etc. Por otro lado, no existe un algoritmo que sea el más eficiente independientemente de los números en juego. Por ejemplo, mientras alguien que quiera resolver 72 : 4 de manera usual aun esté ubicando espacialmente los números en el papel, quien sepa que dividir por 4 es equivalente a encontrar la mitad del dividendo dos veces consecutivas ya habrá calculado que 72 : 4 = 18 puesto que 72 : 2 = 36 y 36 : 2 = 18. Sin dudas el segundo algoritmo ha sido más eficiente. Existe finalmente la idea de que “nuestros” algoritmos son mejores que otros, no por su eficiencia sino por su carácter general, por su efectividad para utilizarse en cualquier caso, algo que no todos logran -como el que se acaba de analizar para la división por 4-. Este argumento, si bien es veraz, deja nuevamente afuera al sujeto que lleva a cabo las operaciones. Si se tratara de una máquina, el hecho de cargar un único algoritmo que sirva para todos los números realmente es una ventaja de programación. Pero tratándose de personas, parece más razonable “aprovechar” la facultad humana de distinguir cuándo un algoritmo es conveniente y cuándo es pertinente buscar otra estrategia.

Universalidad de los algoritmos de cálculo “Nuestros” algoritmos no han sido ni son hoy los que se utilizan en todo el mundo. Ya hemos visto que en la Europa del Renacimiento se conocían al menos ocho formas diferentes de multiplicar, y cada persona que tuviera acceso a ellas era libre de elegir la que le resultara más práctica. Si volvemos al presente y tomamos por ejemplo la división, una persona que ha transitado su escolaridad primaria en Argentina muy probablemente resuelva el cálculo 5738:17 utilizando alguno de los procedimientos11 que se muestran en la figura 9: 9

A estos algoritmos se hace referencia en este artículo al hablar de “nuestros” algoritmos, o de algoritmos usuales. 10

Más adelante en este artículo se verá que en otros lugares del mundo se utilizan algoritmos tan cortos como los “nuestros”, pero que probablemente no elegiríamos. Esta resistencia, lejos de estar ligada a la eficiencia o ineficiencia del método “extranjero”, está directamente relacionada con la seguridad que nos genera la utilización de un algoritmo que conocemos y dominamos. 11 Se trata en realidad del mismo algoritmo pero en el primero no se escriben las restas parciales de la columna de la izquierda –que se hacen “en la cabeza”- sino solo sus resultados.

Figura 9: Algoritmos de división usuales en Argentina En otros países podrían proceder de otra manera, según muestra la figura 10:

Figura 10: Algoritmos de división utilizados en Estado Unidos12, Israel13, México14y Ecuador15. Estos modos de resolver el mismo cálculo solo difieren en la notación: si se enumerara la serie de pasos que permite resolver la división, las únicas instrucciones que cambiarían serían las relativas a cómo y dónde ubicar cada parte del procedimiento de resolución, y cuáles serán escritas y cuáles no; sin embargo, los cálculos intermedios son los mismos. Algo diferente ocurre con otros algoritmos que conviven en el mundo actualmente. Se muestran ejemplos de resta en la figura 12.

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Klein, D; Milgram, R.J. “The role of long division in the K-12 curriculum”. Disponible en http://www.csun.edu/~vcmth00m/longdivision.pdf 13 Long Division: A Touch-Stone for a Few Teaching Principles. Disponible en: www.math.technion.ac.il/~ra/englongdivision.doc 14 En base a: Gorgorió, Prat, Santesteban (2006). “El aula de matemáticas multicultural: distancia cultural, normas y negociación”, p.11. En Jesús M.Goñi (coord..), Matemáticas e interculturalidad, Ed Graó, Barcelona. 15 Op. cit.

Figura 11: Resolución de la resta 314 – 182 según el algoritmo usado en Argentina, un algoritmo utilizado por un alumno marroquí16 y uno utilizado por una alumna proveniente de Perú17. No solo existe en estos casos una distinción en cuanto a la distribución espacial de las cantidades en juego sino también en cuanto a la puesta en marcha del algoritmo. En el procedimiento usual que se utiliza en Argentina se comienza por las unidades. Al llegar a las decenas, la resta 1 – 8 no se puede hacer, y se “pide prestada” 1 centena a la columna de orden inmediatamente superior. De este modo quedan 11 decenas – 8 decenas, y las 3 centenas quedan reducidas a 2. El algoritmo utilizado por un alumno marroquí comienza a operar por las cantidades de mayor valor, es decir, se comienza por las centenas en la fila superior. Esto explica por qué inicialmente aparece el número 2 como resultado de 3 – 1, que debe ser corregido al resolver la resta de la fila de decenas. El algoritmo que propuso una alumna de Perú se asemeja al de Argentina en que comienza a operar por las unidades. Pero este procedimiento “salva” la resta de las decenas, que en principio no se podía resolver, de modo diferente: la centena que se agrega a la columna de las decenas –y que permite formar las 11 decenas- no se toma “prestada”. Aparece aquí una idea matemática muy interesante que es la de equivalencia de cálculos. Es un razonamiento similar al de compensar cuando se dan los vueltos: si se entregan $2 más, se debe recibir también $2 más de vuelto. En el cálculo que estamos analizando, se agrega 100 al minuendo y 100 al sustraendo. Los 100 que se agregan en el minuendo se asocian con las decenas, formando 11 decenas, en tanto que en el sustraendo, los 100 que se agregan se asocian con la centena para formar 2.

Más fácil o más difícil Si recibiéramos en nuestras aulas a un alumno que conoce alguna manera de resolver cálculos que no es la que nosotros conocemos, ¿cuál sería nuestra reacción? Rechazar el método y reemplazarlo por el “nuestro” sería una actitud posible. Pero este rechazo no tendría que ver con optar por el más fácil o el “correcto” sino solamente por el que nosotros conocemos. Desde la perspectiva del alumno será probablemente más difícil. Tiene sentido entonces preguntarnos si conviene enseñar algún algoritmo en particular, pregunta que exigiría profundizar en cuestiones psicológicas y didácticas. Digamos aquí que 16

Op. Cit. Este algoritmo fue registrado por la autora en una clase de Matemática y su Enseñanza I, correspondiente a la carrera Profesorado de EGB 1 y 2 en la ciudad de La Plata, Argentina, en 2007. La alumna provenía de los alrededores de la ciudad de Lima y afirmó haber aprendido este modo de restar al cursar su escuela primaria en la década de 1970. 17

muchos documentos curriculares vigentes en Argentina son explícitos en el hecho de no limitar la enseñanza a un algoritmo único para la resolución de las operaciones. La preocupación por cuán corto o largo sea el procedimiento, o si se escriben o no los pasos intermedios, ha dejado de tener el protagonismo de antaño para dar paso a cuestiones más vinculadas al trabajo matemático: qué tienen en común unos y otros, en qué se diferencian, cuál conviene más en cada situación, cuáles son los alcances y los límites de cada procedimiento18. Compartir con toda la clase modos diferentes de resolver las cuentas es tanto matemática como didácticamente interesante. Se propicia la idea de que el trabajo matemático es diverso, que también forma parte de él analizar y comparar diferentes formas de resolver un mismo problema. Y desde el punto de vista de los niños, posibilitamos que quienes tienen dificultades para comprender una estrategia tengan acceso a otra.

¿Es posible inventar algoritmos? Todos podemos inventar algoritmos. Por ejemplo, después de haber analizado el método para dividir por 4 en las páginas anteriores, podríamos extender esta idea e inventar un modo de dividir por 9. Para quien los piense por primera vez, estos algoritmos serán originales, propios, incluso si otras personas ya los han pensado. El hecho de que surjan de la puesta en marcha de un pensamiento original a partir de un nuevo conocimiento que interactúa de un nuevo modo con los anteriores le otorga el estatus de invento. Cuando existen en el aula condiciones de enseñanza que propician la utilización de estrategias diversas, que habilitan a explorar diferentes caminos, que animan a utilizar conocimientos disponibles para resolver nuevos problemas, y toda esta información circula, aparece la diversidad. Se han podido ver, a partir de un trabajo de enseñanza planificado y secuenciado, algoritmos no convencionales en las clases de Matemática. Se presentan a continuación algunos ejemplos19:

Figura 12: Procedimiento de resta utilizado por un alumno argentino de 5° grado (9-10 años) El algoritmo de la figura 12 fue presentado por un alumno de 5° grado. Al compartir su método con sus compañeros de clase, explicó: 2 – 2 es cero

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Sin embargo, cabe aclarar que desde la perspectiva de quien aprende es importante que al menos en un principio los pasos intermedios y los cálculos que se van haciendo estén a la vista, de modo de ejercer cierto control sobre el procedimiento que se está llevando a cabo. Eventualmente los algoritmos podrían acortarse, pero a la luz de las cuestiones que se vienen analizando en este artículo, la presencia de cálculos intermedios no convierte al procedimiento en menos virtuoso y ciertamente tiene ventajas didácticas. Se remite a la bibliografía para ampliar en este aspecto. 19 Extraídos de Dirección Provincial de Educación Primaria (2008). Material elaborado en el marco del proyecto “Planificar la enseñanza de la matemática”. La Plata. Disponible en: http://matematicaprimaria.googlepages.com

50 – 60 no se puede, entonces a 300 le saco 100 y se queda en 200. Ahora hago 100 – 60 que es 40, y le sumo 50. Me da 90 y pongo 9. 200 – 400 no se puede hacer, entonces a 8000 le saco 1000 y queda en 7000. Ahora hago 1000 – 400 da 600. 600 más 200 da 800 y pongo 8. Es interesante notar que este niño controla todo el tiempo el valor de las cantidades que va restando –esto es, sabe por ejemplo que el 5 de 8352 representa 50, y lo explicita en su discurso- algo que muchos pierden de vista cuando estudian únicamente los algoritmos usuales. Y también es notable que si no hubiera explicitado cómo lo piensa, quien leyera su producción podría suponer que lo hace del modo usual. El siguiente procedimiento fue inventado por un alumno de 4° grado:

Figura 13: Procedimiento de multiplicación utilizado por un alumno argentino de 4° grado (8-9 años) Su maestra, quien trabajó con él para comprender lo que estaba haciendo, lo describió de esta manera: Primero: hace 6 x 2, se lleva 1 y pone el 2 abajo Segundo: hace 2 x 32 y pone el 64 a la izquierda del 1. Queda 642. Tercero: hace 6 x 3, más el 1 que se llevaba es 19 y lo ubica debajo del 64 Finalmente suma, y da 832. Para quien domina el algoritmo usual de la multiplicación, este método puede parecer a simple vista incorrecto. Su autor “mezcla” en una misma fila multiplicaciones que involucran diferentes partes de los factores. Sin embargo este algoritmo se apoya en las mismas propiedades que el usual: la descomposición aditiva de los factores y la propiedad distributiva de la multiplicación en la suma. La propiedad asociativa garantiza la equivalencia de ambas estrategias. El algoritmo que se muestra en la figura 14 es diferente:

Figura 14: Procedimiento de multiplicación utilizado por una alumna argentina de 4° grado (8-9 años)

Su autora –una alumna de 4° grado- utiliza el 14 de manera global y procede como en el algoritmo usual por una cifra, realizando dos multiplicaciones: 14 x 5 y 14 x 2. Así, el 7 que aparece sobre el 2 representa el 70 de la multiplicación 14 x 5 –mientras que el 0 de este 70 se ha ubicado en el lugar del producto-. Los métodos que se presentan en la figura 15 están apoyados en la descomposición decimal de uno o ambos factores y la propiedad distributiva de la multiplicación en la suma20:

Figura 15: Procedimientos de multiplicación utilizados por alumnos argentinos de 3° y 4° grado (8 años) Todos tienen, sin duda, rastros de varios de los métodos que compiló Pacioli en 1494, aunque no corresponden exactamente a ninguno.

¿Debe la escuela enseñar algoritmos? Desde los inicios de la historia escolar los algoritmos de cálculo han estado incluidos en los planes de enseñanza. Estos métodos han sido contenidos incuestionables. Pero, ¿cuáles son las razones de esta vigencia? ¿Es necesario enseñar los algoritmos en la escuela actual? ¿Existen necesidades sociales y culturales que “obligan” a la escuela a incluirlos hoy en día? Desde hace un tiempo hay quienes cuestionan su presencia en las aulas, dado que consideran sin sentido “adiestrar” a los alumnos en métodos que una máquina puede hacer mejor. Muchos de los que se oponen a esta crítica responden que los alumnos deben saber hacer las cuentas “a mano” porque en la vida cotidiana podrían encontrarse en situaciones que les exijan resolver cálculos sin la ayuda de una máquina, y también por su potencial de propiciar en los niños el desarrollo de su capacidad de razonamiento. La discusión planteada en estos términos establece dos posturas opuestas. La idea que sustenta el “no” a los algoritmos supone que su enseñanza es necesariamente un adiestramiento, mientras que la idea que va por el “sí” supone que estos procedimientos son los únicos que permiten resolver cálculos, y que por sí mismos son portadores de ciertas virtudes para el desarrollo lógico. Ambas concepciones son cuestionables. 20

Extraídos de DGCyE, Dirección Provincial de Educación Primaria, Gabinete Pedagógico Curricular (2001). Orientaciones Didácticas para la enseñanza de la multiplicación en los tres ciclos de la EGB. La Plata. Disponible en: http://abc.gov.ar/lainstitucion/sistemaeducativo/educprimaria/default.cfm

Ningún contenido por sí mismo tiene la virtud de desarrollar capacidades lógicas en quienes lo estudian. En todo caso, el tipo de trabajo en torno a un contenido podría favorecer un progreso en ese sentido. La vigencia de la enseñanza de los algoritmos no puede apoyarse en este argumento sin especificar exactamente cómo será el trabajo con ellos, en qué sentido favorecen el progreso en habilidades lógicas y cuáles son las investigaciones psicológicas que avalan tal afirmación. Por otro lado, numerosos documentos curriculares y artículos de investigación21 muestran que sí es posible incluir procedimientos algorítmicos en el proyecto de enseñanza sin que esto signifique reducir el trabajo a prácticas mecánicas que solo conducirían a la aplicación ciega de métodos automáticos. Este enfoque, lejos de postular que los algoritmos son los únicos modos de resolver operaciones, propone trabajar sobre una diversidad de estrategias de cálculo: algorítmico, mental, estimativo, aproximado e incluso con calculadora. Se trata de aportar más opciones, de posibilitar el análisis de la conveniencia de una estrategia sobre otra en diferentes situaciones, de explorar caminos más cortos y más largos, de analizar sus ventajas y desventajas, sus límites y sus alcances. En definitiva, llevar al aula un contenido relevante de la cultura matemática – el cálculo- trabajado de un modo coherente con las características propias de esa cultura, y atendiendo al modo en que se lo utiliza en la sociedad actual. Desde este artículo se apoya la inclusión de algoritmos en los proyectos de enseñanza de la Matemática, debido a que constituyen un tipo de práctica que tiene un lugar importante en el quehacer de la disciplina. Pero, a partir del recorrido que se ha propuesto en los párrafos anteriores, está claro que la palabra “algoritmo” no refiere necesariamente al “algoritmo usual”. Como se ha intentado mostrar, los algoritmos usuales no son los únicos ni los mejores. La enseñanza de un algoritmo por sobre otro, lejos de ser un hecho “natural” de la vida escolar, es una decisión.

A modo de cierre Nadie pondría en discusión la afirmación “es necesario enseñar a resolver cálculos”. Pero la idea de que “es necesario enseñar los algoritmos usuales” es, en principio, controvertida. Se han propuesto desde estas páginas algunas preguntas y discusiones con el objetivo de reflexionar acerca de cuestiones en torno a los algoritmos de cálculo que por alguna razón han quedado cristalizadas en el imaginario escolar, y que a la hora del debate exhiben justificaciones débiles y maniqueas. Ha sido la intención de este artículo ofrecer información sobre la “vida” de estos objetos matemáticos que colabore para que estas posturas puedan transformarse en pensamientos menos rígidos, dispuestos a ser revisados a la luz de nuevos datos que aporten las investigaciones didácticas y psicológicas, y apoyados en argumentos que vayan más allá de la costumbre y la opinión. Bibliografía Consejo Provincial de Educación de Río Negro, Secretaría Técnica de Gestión Curricular, área Matemática (1998). La división por dos cifras: ¿un mito escolar? Disponible en: http://www3.educacion.rionegro.gov.ar/gcurri/matematica/matemat.htm Davis, P.; Hersh, R.(1989). Experiencia Matemática, Ed. Labor, Barcelona. 21

Ver bibliografía adjunta.

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