Lógica modal, modal epistémica y un ejemplo epistémico.

Lógica Modal, Lógica Epistémica y un ejemplo de modelado.! Melisa Gutiérrez Vivanco!

Lógica Modal! • 

Con Aristóteles se da la discusión sobre el tiempo y la necesidad.!

• 

Intentaba capturar el significado de los operadores “Es necesario que…” y “Es posible que…”!

• 

Estos operadores no se pueden definir por medio de funciones booleanas. !

• 

De manera similar a la semántica de necesidad y posibilidad, se puede dar una semántica para conceptos como temporalidad, acciones o conocimiento.!

Sintaxis! Las fórmulas del la lógica proposicional modal se definen de la siguiente manera:! ! ! Los dos últimos operadores (los modales) no existen en el cálculo de proposiciones.! ! Varias de estas fórmulas son interdefinibles. En particular! !

Semántica! En lugar de funciones booleanas, para hablar de la verdad de las proposiciones modales, utilizaremos marcos de Kripke.

! donde! ! ! es un conjunto de mundos posibles y! ! ! es una relación de accesibilidad entre mundos.!

Satisfacción y verdad! El valor de verdad de las proposiciones atómicas es relativo a cada mundo posible.! Sea un marco y sea ϕ el conjunto de proposiciones atómicas. Tenemos una función de evaluación! e : ϕ ×W -> {V, F}!

! La relación de satisfacción es relativa al marco de Kripke, a una función evaluación y a un mundo específico de W …!

!

Satisfacción! Ahora podemos generalizar la noción de satisfacción:! Afirmamos que φ es verdadera en e mediante la siguiente condición! ! ! Asimismo, diremos que la fórmula es válida respecto a un marco F a partir del siguiente esquema:! ! ! Finalmente, la noción de validez en general:! !

Propiedades de la relación de accesibilidad!

Esquemas modales!

En la semántica de Kripke, el sistema S5 es caracterizado por modelos donde la relación de accesibilidad es una relación de equivalencia!

Reglas de inferencia!

Sistemas axiomáticos! Los sistemas axiomáticos de lógica modal incluyen el axioma K, y las reglas MP y N. Otros sistemas son:! KD KT KB K4 K5! ! Los siguientes sistemas reciben un nombre particular:! S4 = KT4 y S5 = KT5 !

Sistemas axiomáticos! En términos de la semántica de Kripke, S5 es caracterizado por modelos donde la relación de accesibilidad es de equivalencia.! ! S5 también puede ser caracterizado por modelos universales: en donde todo mundo es accesible desde cualquier otro.! ! En vistas de las necesidades de mi modelo, demuestro también que KDB4 ≅ S5!

Lógica Modal Epistémica!

Lógica modal epistémica! El conocimiento es determinante en la toma de decisiones. Las decisiones muchas veces se basan no sólo en el conocimiento de los hechos, sino también en el conocimiento que tenemos sobre el conocimiento que tienen otros agentes de estos hechos. Los juegos son un claro ejemplo.!

! La lógica epistémica nos provee de un lenguaje que por un lado, nos permite expresar hechos y por otro, expresar el conocimiento (o las creencias) que se tienen respecto a estos hechos. El modelo construido para el sudoku muestra esta distinción.!

El lenguaje clásico de la lógica modal epistémica (Lℇ) se construye a partir de:! ! •  Un conjunto de proposiciones atómicas (denotado como Φ) en cuyos términos es posible describir el mundo sobre el cual deseamos que los agentes razonen.! •  Un conjunto de agentes (comúnmente denotado como A), un operador modal Ki para cada agente i∈A, y los conectivos lógicos ¬ y ∨ (disyunción).!  ! •  Kiφ El agente i sabe φ.! ! •  Kiφ∧Kjψ El agente i sabe φ y el agente j sabe ψ.
 ! •  Ki(φ→ψ) ! El agente i sabe que φ implica ψ.! •  
 Kiφ∧¬Kjφ ! El agente i sabe φ y no es cierto que el agente j sepa φ.!

El lenguaje de la lógica epistémica sirve para expresar conocimiento de órdenes superiores.! KiKjp∧¬KjKiKjp ! El agente i sabe que el agente j sabe p, pero el agente j no sabe que el agente i sabe que el agente j sabe p. Podemos definir el operador dual.! Piφ≡def¬Ki¬φ! 
 Aunque éste no coincide con una definición intuitiva de creencia.!

•  Definición (Estructura de mundos posibles). Dado un conjunto de proposiciones atómicas Φ y un conjunto de agentes A, una estructura de mundos posibles es una terna M= donde:! •  W es un conjunto tal que W≠∅ y cada elemento de W es llamado un mundo posible.! •  Para cada agente i ∈ A, tenemos una relación (llamada de accesibilidad), Ri⊂W×W.! •  V:Φ 2W es una función que asigna a cada proposición atómica en Φ un conjunto de mundos posibles.!

•  Ejemplo: Sea K= un marco de Kripke tal que! •  W = {w1,w2,w3}! •  R1= {(w1,w3), (w1, w2), (w2, w1), (w3, w2)} y,! •  R2= {(w1,w2), (w2, w1), (w3 , w3), (w2, w3)} !

! Mientras en la lógica proposicional el valor de verdad de las proposiciones depende únicamente del valor de verdad de las proposiciones atómicas, en lógica modal, el valor de verdad está dado en términos de la accesibilidad entre mundos posibles. !

Definición (Semántica para LE). ! ! •  (M,w) ⊨ p

si y sólo si

w∈V(p)!

•  (M,w) ⊨ ¬φ si y sólo si no es cierto que (M,w) ⊨ φ ! •  (M,w) ⊨ (φ∨ψ) si y sólo si (M,w) ⊨ φ o (M,w) ⊨ ψ ! •  (M,w) ⊨ Kiφ si y sólo si (M,u) ⊨ φ para toda u∈W tal

que (w,u)∈Ri! !

Ejemplo: Supongamos está soleado en la Ciudad de México y un agente i se encuentra ahí. El agente sabe que está soleado en la Cd de México, pero no sabe si está lloviendo o no en Londres. Entonces, considera posible las situaciones ! w: Está soleado en la Cd de México y está lloviendo en Londres. ! u: Está soleado en la Cd de México y no está lloviendo en Londres. !

! Consideremos las siguientes proposiciones:! p= "Está soleado en la Ciudad de México"! q= "Está lloviendo en Londres”! La incertidumbre de i respecto a si está lloviendo o no en Londres puede representarse con el modelo M = !

•  M = ! •  W = {w,u}! •  Ri = {(w,w), (w,u), (u,w), (u,u)}! •  V: Φ→ 2W es una función tal que V(p)={w,u} V(q)={w}! Podemos representar M gráficamente de la siguiente manera:!

Considerando a w el mundo que describe la situación real, tenemos que:! •  (M,w)⊨Kip El agente i sabe que está soleado en la Ciudad de México ya que en los dos mundos que considera posibles (w y u), la proposición p es verdadera.! •  (M,w)⊨¬Kiq∧¬Ki¬q El agente i no sabe si en Londres llueve o no (pero lo considera posible), ya que en uno de los mundos que considera posibles (en w) se satisface q, y en el otro no.!

Definición (Sistema de demostración para la lógica epistémica). Tenemos los esquemas de S5 para el operador K! •  K

Ki(φ → ψ) → (Kiφ → Kiψ)!

•  T

Kiφ → φ!

•  4

Kiφ → KiKiφ!

•  5

¬Kiφ → Ki¬Kiφ !

Los sistemas axiomáticos de lógica modal (incluyendo la lógica epistémica) casi siempre incluyen el axioma K, así como las reglas MP y N ! ! MP: φ → ψ, φ! ψ! N: _φ ! Kiφ !

Un caso epistémico!

Tres etapas de formalización! ! E1. Separar los aspectos computacional y !epistémico del sudoku. La distinción entre !estos aspectos mostrará el fenómeno !epistémico en este contexto. Esta etapa es !necesaria para desarrollar las otras dos.!

Tres etapas de formalización! ! E2. Definir un estilo de actualización de !modelos. Con el fin de modelar la !interacción entre creencias, el modelo debe !ser capaz de actualizarse ante la aparición !de nueva información. Revisión de !creencias y Lógica dinámica son dos !alternativas.! !

Tres etapas de formalización! ! E3. La construcción de un modelo para !resolver de forma eficiente el sudoku !considerando los aspectos epistémicos del !juego.!

El sudoku!

Un juego bien planteado tiene una única solución. El éxito del juego depende de las creencias que vamos formando. De estas creencias dependerá la formación de “buenas” conjeturas. Si el proceso cognitivo es fiable, la mayoría de las conjeturas serán correctas, lo que nos conducirá a la adquisición de conocimiento. Es decir, a la solución del juego. !

Modelo del sudoku! •  Sintaxis! •  Semántica! •  Axiomas! •  Un ejemplo!

Modelo del sudoku! •  Sintaxis! •  Semántica! •  Axiomas! •  Un ejemplo!

Definición. Definimos las proposiciones atómicas del sudoku como ! ! Φ’ = {Nijk| N, i, j, k=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}! ! Donde Nijk es una abreviatura de la proposición “El número N corresponde a la casilla Cijk”, y la casilla Cijk está determinada por la intersección de la fila hi y la columna vj, la cual pertenece a la subcuadrícula sk.!

! ! ! ! ! ! P: 6131∧3152∧4162∧9211∧4221∧8231∧5252∧3273∧! 7311∧2383∧6524∧2545∧7555∧6665∧8686∧5696∧! 6747∧4779∧5837∧8858∧7937∧3968∧5979∧6999!

Hasta aquí el modelo carece de recursos para distinguir entre las proposiciones verdaderas y las falsas. Como la solución es única, proposiciones como! 5142= "El número 5 corresponde a la casilla C142" !

van a ser verdaderas o falsas desde el principio hasta el último momento. Pero nuestro conocimiento sobre ese valor varía a lo largo del juego. Esto es lo que queremos modelar.!

Definimos el lenguaje epistémico con compatibilidad para el sudoku LECTS como sigue:! •  ⊤∈ LECTS ! •  Si p ∈Φ entonces p ∈ LECTS ! •  Si φ ∈ LECTS y ψ ∈ LECTS entonces φ∨ψ ∈ LECTS! •  Si φ ∈ LECTS y ψ ∈ LECTS entonces φ∧ψ ∈ LECTS ! •  Si φ ∈ LECTS entonces ¬φ ∈ LECTS! •  Si φ ∈ LECTS y ψ ∈ LECTS entonces (φ→ψ) ∈LECTS! •  Si φ ∈ LECTS entonces Kφ ∈ LECTS ! •  Si φ ∈ LECTS entonces Pφ ∈ LECTS! •  Si φ ∈ LECTS entonces ⊡C φ ∈ LECTS! •  Si φ ∈ LECTS entonces ⋄C φ ∈ LECTS !

Pφ expresa que el jugador considera posible φ (donde “considerar posible” quiere decir que el jugador sabe que φ no violaría las reglas del juego). ! Pφ ≡ ¬K¬φ! El agente considera posible que un número ocupe una casilla si y sólo si él no sabe con certeza que esa casilla no puede ser ocupada por ese número. !

Modelo del sudoku! •  Sintaxis ! •  Semántica ! •  Axiomas! •  Un ejemplo!

Modelo del sudoku! •  Sintaxis ! •  Semántica ! •  Axiomas! •  Un ejemplo!

Vamos a construir un marco de Kripke! Ms=! •  Los mundos posibles serán arreglos parciales en los que se exhiben ciertos números que no contradicen las reglas del juego. ! •  i∈ {1,2} (Una relación por cada modalidad)! •  V: Φ → Ts Que a cada proposición atómica le asigna un valor de {falso, ⊥, verdadero}.!

Definición (Relación de accesibilidad para compatibilidad). Decimos que wj es accesible (bajo la relación de compatibilidad) a wi si wj exhibe un número más que wi y el número que se agrega en wj no aparecía ya en el mismo renglón, columna o subcuadrícula en wi. ! ! R1={(wi, wj) | wi < wj en sólo un número sin !contradecir las reglas}! !

! Si para algún w ∈ W se tiene que no existe wi tal que (w, wi) ∈ R1 sólo tenemos dos opciones:! ! a)  w = S (donde S es el arreglo solución).! ! b)  Existe φ ∈ w tal que su valor de verdad es distinto a su valor de verdad en S.!

Definición (Relación de accesibilidad para el conocimiento). Decimos que wj es accesible (bajo la relación de conocimiento) desde wi si el conjunto de números exhibidos en wj es compatible con el de los exhibidos en wi.! ! R2={(wi, wj) | la exhibición de los números de wi no contradice a la de wj}!

! Las propiedades del modelo dicen cosas acerca del fenómeno que se modela. R1 y R2 s e d e fi n i e r o n c o n b a s e e n l a s consideraciones que nos interesan en el fenómeno epistémico del sudoku. Las propiedades de las relaciones de accesibilidad tienen consecuencias en la validez de los axiomas.!

Podemos observar que R1 no es! 1.  Reflexiva! 2.  Simétrica! 3.  Transitiva! Esto quiere decir que tampoco van a ser válidos los axiomas del sistema S5 para los operadores de compatibilidad. !

Por otro lado, la relación de conocimiento (R2) sí es una relación de equivalencia. Se demuestra que ésta es ! 1.  Simétrica! 2.  Reflexiva! 3.  Transitiva!

! Se prueba que si una relación es de equivalencia se satisfacen ciertos esquemas axiomáticos. En particular KDT4. Se demuestra también que un sistema KTD4 es S5. Por lo tanto, los operadores de conocimiento satisfacen los axiomas de S5.!

Modelo del sudoku! •  Sintaxis ! •  Semántica ! •  Axiomas! •  Un ejemplo!

Modelo del sudoku! •  Sintaxis ! •  Semántica ! •  Axiomas! •  Un ejemplo!

Axiomas! •  Axiomas del juego! •  Axiomas de conocimiento! •  Axiomas del modelo!

Axiomas! •  Axiomas del juego! •  Axiomas de conocimiento! •  Axiomas del modelo!

! Estos axiomas son los que expresan las reglas del juego. ! ! (J1) Nijk ¬Mijk, si N ≠ M! ! (J2) Nijk ¬Nlmn, si (i=l) ∨ (j=m) ∨ (k=n)!

Axiomas! •  Axiomas del juego ! •  Axiomas de conocimiento! •  Axiomas del modelo!

Axiomas! •  Axiomas del juego ! •  Axiomas de conocimiento! •  Axiomas del modelo!

La posibilidad epistémica está condicionada a la posibilidad de acción; en el sudoku sólo puedo conocer aquello que puedo realizar (jugar). ! (C1) Kφ ⧠cφ! Dos equivalencias:! (C1’) ¬⧠cφ P¬φ ! (C1’’) ¬⧠cφ ¬Kφ! ! Si una jugada no es posible, no podemos saber la proposición que la representa (pues ésta es falsa).!

Bajo el mismo razonamiento, tenemos el siguiente axioma: ! (C2) Pφ ◊cφ! ! Equivalentemente (aplicando el dual y contrapositiva):! (C2’) ¬⧠cφ K¬φ!

Axiomas! •  Axiomas del juego ! •  Axiomas de conocimiento ! •  Axiomas del modelo!

Axiomas! •  Axiomas del juego ! •  Axiomas de conocimiento ! •  Axiomas del modelo!

! Tradicionalmente la lógica modal epistémica cumple con los axiomas de S5. Estos axiomas han capturado bastante bien algunas de nuestras intuiciones acerca de lo que el conocimiento debe cumplir. Si un sistema cumple los axiomas KDB4 entonces es S5. MS cumple con estos axiomas. !

Definición (Sistema de demostración para la lógica epistémica). Tenemos los esquemas de S5 para el operador K! •  K

Ki(φ → ψ) → (Kiφ → Kiψ)!

•  T

Kiφ → φ!

•  4

Kiφ → KiKiφ!

•  5

¬Kiφ → Ki¬Kiφ !

(D) Kφ → Pφ ! Si yo sé que un número n corresponde a una casilla Cijk, en particular considero posible que el número n corresponda a la !casilla Cijk.! ! (B) φ → KPφ! Si es el caso que n corresponde a la casilla C ijk , entonces debo saber que puedo ! considerar la posibilidad de que el número n corresponda a la casilla Cijk.!

(4) Kφ → KKφ! ! Si sé que un número n corresponde a una casilla Cijk, entonces sé que lo sé. Esto ! es lo que en el sudoku nos permite distinguir entre una pista inicial o una casilla ! ocupada por un número cuya correspondencia no podría ser de otra manera, y un !número que coloqué (quizá por estrategia) y que es susceptible de ser borrado.!

Modelo del sudoku! •  Sintaxis ! •  Semántica ! •  Axiomas ! •  Un ejemplo!

Modelo del sudoku! •  Sintaxis ! •  Semántica ! •  Axiomas ! •  Un ejemplo!

Una proposición que no conocemos.!

Consideremos el siguiente sudoku de 4×4


! !

!

1! !

!

2!

1!

3!

4!

4!

2!

3!

2!

! El juego comienza con las pistas! dadas. ! ! ! A este mundo (inicial) lo! llamaremos w.!


 Sea x1 el mundo (subarreglo) resultante de agregar 3 en la casilla C242. Tenemos que wR1x1

!

!

!

1! ! !

2!

3!

1!

3!

4!

2!

4!

2!

3!


 Sea x2 el mundo resultante de agregar 1 en la casilla C221. Tenemos que x1R1x2

!

!

!

1! ! 1 ! 2!

3!

1!

3!

4!

2!

4!

2!

3!


 Sea x3 el mundo resultante de agregar 4 en la casilla C142. Tenemos que x2R1x3

!

!

!

1!

4!

1 ! 2!

3!

1!

3!

4!

2!

4!

2!

3!


 Sea x4 el mundo resultante de agregar 1 en la casilla C444. Tenemos que x3R1x4

!

!

!

1!

4!

1 ! 2!

3!

1!

3!

4!

2!

4!

2!

3! 1!


 Sea x5 el mundo resultante de agregar 3 en la casilla C111. Tenemos que x4R1x5

!

3! !

1!

4!

1 ! 2!

3!

1!

3!

4!

2!

4!

2!

3! 1!


 Notemos que las únicas opciones para la siguiente jugada son colocar 2 o 4 en la casilla C121, o colocar 2 o 4 en la casilla C211. !

3! !

1!

4!

1 ! 2!

3!

1!

3!

4!

2!

4!

2!

3! 1!

El problema es que ningún mundo ! resultante de cualquiera de estas ! jugadas es R1-accesible desde x5. ! Es decir, ! x5⊭☐c (4211∨ 2211) y x5⊭☐c(4121∨ 2121)!

Pero x5 no es la solución del juego, ya que la solución del juego debe describir la correspondencia número-casilla para todas las casillas del tablero. Dado que los números que ocupan las casillas en x5 no pueden coincidir en su totalidad con los del mundo solución, quitando a las pistas iniciales (pues éstas sí son conocimiento), tenemos que:! ¬K (3242 ∧ 1221 ∧ 4142 ∧ 1444 ∧ 3111) Es decir, ! ¬K 3242 ∨ ¬K 1221 ∨ ¬K 4142 ∨ ¬K 1444∨ ¬K 3111! O sea que para w, o para algún xi con i∈ {1, 2, 3, 4, 5} existe algún mundo xi+1 que le es R2-accesible en el cual e(φ, xi+1 ) = F (donde φ∈ xi pero φ ∉ xi-1; es decir, φ describe la jugada que realizamos para pasar al mundo siguiente). Basta con saber quién es la i tal que xi ⊭ K φ para saber cual es la jugada incorrecta, y por tanto, la proposición que será falsa en la solución.

Observemos que wR2 z1, wR2 y1 por lo tanto wR1 z1 y wR1 y1

R1,R2! !

!

1! !

!

2!

1!

3!

4!

4!

2!

3!

w!

!

!

!

1! !

3!

!

2! !

1!

3!

4!

4!

2!

3!

2!

z1!

2!

R1,R2!

!

!

1! !

4!

2! !

1!

3!

4!

4!

2!

3!

!

y1!

2!

Evaluemos la proposición 3242 . Para que w ⊨K 3242 es necesario ! que e (3242, wi) = V para todo wi t al que wR2 wi. Si la evaluamos en w, z1 y y1, tenemos que, en w y en y1 podría ser verdadera. Sin embargo, en z1, la proposición no puede ser verdadera. Así, tenemos un mundo (z1) que es R2 –accesible desde w, donde e (3242, z1) = F. Por lo tanto, w ⊭ K 3242 : Debemos reconsiderar la jugada 3242

1,2! !

!

1! !

!

2! 3!

1!

3!

4!

4!

2!

3!

w'!

!

2!

!

!

1! !

3!

!

2!

3!

1!

3!

4!

2!

4!

2!

3!

z1’ !

1,2! !

!

!

1! !

4!

2!

3!

1!

3!

4!

2!

4!

2!

3!

y1’

Una proposición que sí conocemos!

Consideremos el mismo sudoku desde el principio


! !

!

1! !

!

2!

1!

3!

4!

4!

2!

3! !1! w! w‘!

2!

De manera “informal” es claro! que dado este juego sabemos! que el número 1 corresponde a! la casilla 444. Nos gustaría que ! nuestro modelo capture estas ! nociones (muy comunes en el ! sudoku). ! Sea w’ el subarreglo resultante! de agregar 1444 a w . Veamos ! que w ⊨ K 1444

Vamos a revisar todos los mundos posibles zi que son R2-accesibles a w para ver si 1444 es verdadera en cada uno de ellos. Como una proposición sólo puede ser verdadera si aparece en el subarreglo, llamaremos zi’ al mundo resultante de agregar 1444 a zi.


 
 
 


Notemos que los mundos resultantes de agregar 1 en las casillas C ∨ C ∨ C no son R -accesibles a w ij2 1jk i1k 1 (pues violan el axioma J ) 


2




!

!

!

1! !

!

2!

1!

3!

4!

4!

2!

3!

2!

Entonces, sin considerar la casilla 444 (que es en la que queremos ! evaluar al 1), sólo hay un mundo accesible desde w resultado de ! agregar el número 1: ! !

1! !

1!

2!

! !

1! !

1!

2!

1! 3! 4! 2!

1! 3! 4! 2!

4! 2! 3 !

4! 2! 3 ! 1!

z1

z1’!

Tenemos que wR1 z1 , w’R2 z1’ y e (1444, z1’) = V


 
 
 


Notemos que los mundos resultantes de agregar 2 en las casillas C ∨ C ∨ C no son R -accesibles a w i4k i2k 2jk 1 (pues violan el axioma J ) 


2




!

!

!

1! !

!

2!

1!

3!

4!

4!

2!

3!

2!

Entonces, sin considerar la casilla 444 (que es en la que queremos ! evaluar al 1), sólo hay un mundo accesible desde w resultado de ! agregar el número 2: 2! !

1! !

!

2!

2! ! !

1! ! 2!

1! 3! 4! 2!

1! 3! 4! 2!

4! 2! 3 !

4! 2! 3 ! 1!

z2

z2’!

Tenemos que wR1 z2 , w’R2 z2’ y e (1444, z2’) = V


 
 
 


Los mundos resultantes de agregar 3 en las casillas C no son i2k R -accesibles a w. 1

!

!

!

1! !

!

2!

1!

3!

4!

4!

2!

3!

2!

Entonces, los mundos que resultan de agregar el número 3 y que son accesibles desde w son z3, z4, z5 y z6 …

3!

!

1!

!

2!

! 3!

!

1!

!

2!

!

1! 3! 4! 2!

1! 3! 4! 2!

4! 2! 3 !

4! 2! 3 ! z4!

z3! !

1! 3!

!

1!

!

2!

!

2! 3!

!

1! 3! 4! 2!

1! 3! 4! 2!

4! 2! 3 !

4! 2! 3 !

z5!

z6!

Los correspondientes mundos con el número 1 en la casilla 444 son z3’, z4’, z5’ y z6’ …

Vemos que wR1 zi , w’R2 zi’ y e (1444, zi’) = V! con i = 3, 4, 5, 6.

3!

!

1!

!

2!

! 3!

!

1!

!

2!

!

1! 3! 4! 2!

1! 3! 4! 2!

4! 2! 3 ! 1!

4! 2! 3 ! 1! z4’!

z3’! !

1! 3!

!

1!

!

2!

!

2! 3!

!

1! 3! 4! 2!

1! 3! 4! 2!

4! 2! 3 ! 1!

4! 2! 3 ! 1!

z5’!

z6’!





 Finalmente, observemos que los mundos resultantes de agregar 4 en las casillas C no son R -accesibles i1k 1 aw .

!

!

!

1! !

!

2!

1!

3!

4!

4!

2!

3!

2!

Entonces, los mundos accesibles desde w resultado de ! agregar el número 4 son: !

4!

1! !

!

!

1! !

!

2!

!

4!

2!

1! 3! 4! 2!

1! 3! 4! 2!

4! 2! 3 !

4! 2! 3 !

z8

z7 !

!

1! 4!

!

2!

!

!

1! !

!

2! 4!

1! 3! 4! 2!

1! 3! 4! 2!

4! 2! 3 !

4! 2! 3 !

z9

z10

Los correspondientes mundos con el número 1 en la casilla 444! son: !

4!

1! !

!

!

1! !

!

2!

!

4!

2!

1! 3! 4! 2!

1! 3! 4! 2!

4! 2! 3 ! 1!

4! 2! 3 ! 1!

z8’

z7’ !

!

1! 4!

!

2!

!

!

1! !

!

2! 4!

1! 3! 4! 2!

1! 3! 4! 2!

4! 2! 3 ! 1!

4! 2! 3 ! 1!

z9’

z10’

Tenemos que wR1 zi , w’R2 zi’ y e (1444, zi’) = V! con i = 7, 8, 9, 10.

Tenemos entonces que!

R2 / w’ = { (w’, zi’) | i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}! Es decir, todos los mundos R2-accesibles desde w’ son los zi’. Esto es por que el axioma C1 establece que R2 está constreñida por R1. Dado que e (1444, zi’) = V para toda i∈{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}! Tenemos que ! w’ ⊨ K 1444 Pero el único mundo R1-accesible desde w, ocupando la casilla 444, es w’. Por lo anterior, podemos decir justificadamente, que en w sabemos que en la casilla 444 “va el número 1”.

Conclusiones! •  El modelo construido para el sudoku MS distingue la parte computacional de la parte epistémica del juego. Permite determinar cuando un razonamiento para resolver el juego es fiable y muestra que las conjeturas falsas también proveen conocimiento. Una vez completado el proyecto, éste podría generalizarse a contextos más amplios del conocimiento humano.!