LO QUE LA INVESTIGACIÓN SABE ACERCA DEL USO DE MANIPULATIVOS VIRTUALES EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA

Competencias matemáticas en la enseñanza media Hugo Barrantes Campos, Jose Alfredo Araya Vega

En búsqueda de las competencias tecnológicas en la formación de formadores en matemáticas Yuri Morales López

Plataforma del discurso metodológico en docencia matemática: lo sociocultural y lo lingüístico como competencias guías Eliana D. Rojas

Conocimientos y currículo en la educación matemática Ángel Ruiz

Lo que la investigación sabe acerca del uso de manipulativos virtuales en el aprendizaje de la matemática Claudia Matus, Hernán Miranda

EXPERIENCIAS EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA Incorporación de la tecnología para la enseñanza y aprendizaje de la ecuaciones diferenciales ordinarias (edo) Yuri Morales López, Oscar Salas Huertas

Resolución de problemas como estrategia metodológica en la formación de docentes de matemáticas: una propuesta Jenifer Fonseca Castro, Cristian Alfaro Carvajal

PROPUESTAS EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA Resolución de problemas como estrategia metodológica en la formación de docentes de matemáticas: una propuesta

DOCUMENTOS Nuevo Comité Ejecutivo de la International Commission on Mathematical Instruction ICMI XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática Elena Chkryl La Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica: balance y perspectivas

AÑO 5, NÚMERO 6, FEBRERO 2010

Jenifer Fonseca Castro, Cristian Alfaro Carvajal

CURRÍCULO EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

DE INVESTIGACIÓN Y FORMACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Edison De Faria Campos

CUADERNOS

La importancia de las competencias en la educación superior

CUADERNOS DE INVESTIGACIÓN Y FORMACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

ARTÍCULOS DE INVESTIGACIÓN

PROGRAMA INTERINSTITUCIONAL DE INVESTIGACIÓN Y FORMACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA AÑO 5, NÚMERO 6, FEBRERO 2010

Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática es una colección de publicaciones que incluye trabajos de investigación, reseñas de experiencias académicas, documentos informativos orientados a la capacitación y formación de estudiantes y profesores de matemáticas. Busca nutrir la comunidad de Educación Matemática con instrumentos teóricos que permitan potenciar los quehaceres dentro de esta comunidad. Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática es una iniciativa del Programa Interinstitucional de Investigación y Formación en Educación Matemática, que integra proyectos y actividades realizadas por el Centro de Investigaciones Matemáticas y MetaMatemáticas y la Sede de Occidente de la Universidad de Costa Rica, la Escuela de Matemática de la Universidad Nacional, la Escuela de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad Estatal a Distancia, y el Departamento de Investigaciones Educativas del Ministerio de Educación Pública de Costa Rica. Se conciben como un medio para expresar los resultados de investiga-

ción y docencia que obtiene este colectivo de proyectos y personas. Cuadernos tiene una doble presentación: por un lado, de manera impresa, y, por el otro, de forma digital que se pone a la disposición de los usuarios por medio de Internet. Cuadernos no es una publicación abierta, los artículos se escriben por invitación del Consejo Editorial o del Director, pero en ocasiones se aceptan algunos trabajos de investigadores o académicos externos al Programa, para lo cual se debe enviar una solicitud formal al Director de Cuadernos. Las reglas de publicación, en este último caso, se encuentran en la página web de Cuadernos. Cada número de los Cuadernos se concentra en una temática específica, aunque incluye otros temas de interés. Los Cuadernos cuenta, además, con el apoyo del Comité Interamericano de Educación Matemática CIAEM, organismo regional de la International Comission on Mathematical Instruction ICMI.

510.1 C961c Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática / Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas, Universidad de Costa Rica; Escuela de Matemática, Universidad Nacional; Escuela de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Estatal a Distancia. – Año 4, Año 5, No. 6 (Febrero. 2010). San José, C.R.: Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas, Universidad de Costa Rica; Escuela de Matemática, Universidad Nacional; Escuela de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Estatal a Distancia, 2010- vi.

Consejo editorial Anabelle Castro Instituto Tecnológico de Costa Rica. Edison De Faria Universidad de Costa Rica. Edwin Chaves Universidad Nacional, Universidad de Costa Rica. Hugo Barrantes Universidad de Costa Rica, Universidad Estatal a Distancia. José Alfredo Araya Universidad Estatal a Distancia, Universidad Nacional. María de los Ángeles Jiménez Olimpiada Costarricense para la Educación Primaria. Víctor Buján Olimpiada Costarricense para la Educación Primaria. Angel Ruiz Universidad de Costa Rica, Universidad Nacional.

Consejo asesor internacional Carlos Sánchez Universidad de la Habana, Cuba. Eduardo Mancera Vicepresidente Comité Interamericano de Educación Matemática, México. Eliana Rojas University of Connecticut, EEUU. Hernán Miranda Universidad de Santiago, Centro Comenius, Chile. Luis Roberto Moreno Universidad de Panamá, Panamá.

ISSN: 1659-2573

María Salett Biembengut Universidade Estadual de Blumenau, Brasil.

1.MATEMATICAS – PUBLICACIONES SERIADAS 2. MATEMATICAS – ENSEÑANZA – COSTA RICA

Patrick Scott New Mexico Department of Higher Education, EEUU.

Director Angel Ruiz ([email protected])

Artes finales Inportento S.A. [email protected]

Versión en línea http://cimm.ucr.ac.cr/cuadernos

Direcciones Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas Universidad de Costa Rica Sede Rodrigo Facio San José, Costa Rica Escuela de Matemática Universidad Nacional Campus Omar Dengo Heredia, Costa Rica Escuela de Ciencias Exactas y Naturales Universidad Estatal a Distancia Sabanilla, Montes de Oca. San José, Costa Rica. Teléfono fax: (506) 25115742.

DE INVESTIGACIÓN Y FORMACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA

CUADERNOS

CURRÍCULO EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

PROGRAMA INTERINSTITUCIONAL DE INVESTIGACIÓN Y FORMACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA AÑO 5, NÚMERO 6, FEBRERO 2010

Tabla de contenidos EDITORIAL

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Artículos de investigación

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LA IMPORTANCIA DE LAS COMPETENCIAS EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR

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1. Introducción 2. El projecto tuning 3. Tuning América Latina 4. El proyecto 6x4 uealc Referencias y bibliografía Anexos

14 18 25 30 35 37

COMPETENCIAS MATEMÁTICAS EN LA ENSEÑANZA MEDIA

39

1. Introducción 2. Concepto de competencia 3. Competencias generales en la enseñanza media 4. Algunos peligros en el uso de las competencias en educación 5. Concepto de competencia matemática 6. Competencias matemáticas en la enseñanza media 7. Implicaciones de un abordaje por competencias del proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas en la enseñanza media 8. Las competencias en el sistema educativo costarricense 9. Conclusiones Referencias y bibliografía

40 41 43 44 45 46

Edison De Faria Campos

Hugo Barrantes Campos Jose Alfredo Araya Vega

49 53 60 61

EN BÚSQUEDA DE LAS COMPETENCIAS TECNOLÓGICAS EN LA FORMACIÓN DE FORMADORES EN MATEMÁTICAS

63

1. Introducción 2. Competencias tecnológicas para la educación matemática 3. Discusión y conclusiones Referencias y bibliografía

64 65 77 78

PLATAFORMA DEL DISCURSO METODOLÓGICO EN DOCENCIA MATEMÁTICA: LO SOCIO-CULTURAL Y LO LINGÜÍSTICO COMO COMPETENCIAS GUÍAS

81

1. Introducción 2. Fundamento teórico 3. El contexto social 4. Lenguaje y matemática 5. El docente matemático: el por qué de sus competencias

82 84 87 90 91

Yuri Morales López

Eliana D. Rojas

6. Proyecto reall (Raising Expectations for All Learners) 7. Conversaciones instruccionales 8. Enseñanza/instrucción diferenciada en aulas inclusivas 9. La tecnología; recurso esencial en proceso de enseñanza-aprendizaje 10. Conclusiones Referencias y bibliografía

93 96 99 99 101 101

CONOCIMIENTOS Y CURRÍCULO EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA

107

1. Introducción 2. Conocimiento pedagógico del contenido y currículo 3. Conocimientos en la formación del educador matemático: propuesta de un modelo teórico 4. Las matemáticas “aplicadas” en la formación inicial del profesional en educación matemática 5. Proporciones 6. Conclusiones Referencias y bibliografía

108 110

Ángel Ruiz

113 124 136 138 139

LO QUE LA INVESTIGACIÓN SABE ACERCA DEL USO DE MANIPULATIVOS VIRTUALES EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA

143

1. Introducción 2. ¿Qué son los manipulativos virtuales? 3. Investigaciones realizadas en torno a los manipulativos virtuales 4. Conclusiones Referencias y bibliografía

144 145 148 150 151

Experiencias en la educación matemática

153

INCORPORACIÓN DE LA TECNOLOGÍA PARA LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO)

155

1. Introducción 2. Marco referencial 3. Metodología 4. Consideraciones finales Referencias y bibliografía

156 158 162 169 171

Propuestas en la Educación Matemática

173

Claudia Matus Hernán Miranda

Yuri Morales López Oscar Salas Huertas

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMO ESTRATEGIA METODOLÓGICA EN LA FORMACIÓN DE DOCENTES DE MATEMÁTICAS: UNA PROPUESTA Jenifer Fonseca Castro Cristian Alfaro Carvajal

175

1. Introducción 2. MEAS: una metodología de trabajo en resolución de problemas 3. El enfoque “open-ended” de los japoneses 4. Dinámica del seminario como una metodología de trabajo en resolución de problemas 5. Elementos a considerar en la construcción de una propuesta metodológica basada en resolución de problemas en la formación de docentes de matemáticas 6. Conclusión Instrumento

176 178 181

Documentos

193

Nuevo Comité Ejecutivo de la International Commission on Mathematical Instruction ICMI

195

XIII CONFERENCIA INTERAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

205

1. Introducción 2. Sobre el lugar 3. Temas 4. Consejos científicos 5. Programa académico 6. Cronograma de actividades 7. Ponencias 8. Inscripción 9. Exhibidores 10. Exhibidores 11. CIAEM 12. ICMI 13. ICMI

205 206 207 208 210 211 213 214 214 214 215 216 217

ELENA CHKRYL

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La Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica: balance y perspectivas

221

Ángel Ruiz Hugo Barrante Campos Pilar Campos Bejarano

184 185 189 189

Editorial Si se acepta la visión metodológica de asumir la práctica profesional como un fundamento para la formación inicial de educadores, se requiere del desarrollo de procesos de convergencia entre academias, formadores de formadores, educadores en formación y en servicio. Una sinergia constructiva que demanda plataformas sociales y académicas así como voluntades apropiadas. Solo si se posee esta visión de la formación inicial se logrará una feliz convergencia con la formación continua. Lo que se planteamos aquí es la búsqueda de un “matrimonio” edificante entre academia, sociedad y usuarios (estudiantes y educadores). En la práctica profesional no intervienen solamente conocimientos, también habilidades, valores, actitudes. Y éstos no se encuentran por separado. ¿Cómo romper con los currículos basados exclusivamente en contenidos y en las necesidades de las academias? No hay una receta para hacerlo. En algunos casos, acciones y proyectos de trabajo conjunto estrecho de los formadores de educadores con educadores en servicio pueden resultar suficientes. En otros: una combinación de cambios curriculares y acciones de educación continua pueden servir. Pensamos que el concepto de competencia profesional puede ser utilizado para darle cuerpo a esa perspectiva de reorientar los currículos de formación de educadores hacia la práctica profesional. El concepto posee varias ventajas y también desventajas. Pensamos, sin embargo, que las primeras son mayores que las segundas. Desde hace bastantes años, muchos sistemas educativos han adoptado un enfoque por competencias educativas para establecer los lineamientos y el desempeño educativo. El concepto a veces se identifica con estándares o con capacidades logradas. Este enfoque ha sido usado mucho en la educación preescolar y primaria, e implica la definición del currículo escolar en términos orientados por las competencias educativas que se establecen: forma de evaluación, métodos de enseñanza, etc. Las palabras-fuerza de Aprender a conocer, Aprender a convivir, Aprender a hacer, Aprender a ser, Aprender a aprender, que fueron potenciadas por la UNESCO desde hace bastantes años, refieren precisamente a competencias. Tal vez la idea más fuerte sea el pasar del “saber” al “saber hacer”. El concepto posee fuertes implicaciones en la construcción de currículos, en particular para los estudios universitarios. Si se entiende bien su significado, se da un énfasis en procesos y no en colecciones de contenidos per se. El diseño de un Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 7-10. Costa Rica

currículo por competencias apuntala una construcción por medio de problemas o situaciones con invocación de diferentes disciplinas. Un tema o proceso permite convocar diferentes disciplinas en su formación, por lo que se invoca la inter y transdisciplinariedad. De igual manera, se enfatizan las acciones didácticas en el aprendizaje y se coloca al estudiante como centro. Los mecanismos de evaluación apuntan a la medición no solo de resultados sino de los procesos mismos; las metodologías didácticas de proyectos, resolución de problemas, enseñanza para la comprensión, y trabajo grupal se ven beneficiadas. Por otra parte, apuntala la definición de perfiles profesionales: conjuntos de competencias que la formación debe proporcionar. Existen diferencias en el lugar de las competencias dentro de las carreras universitarias: cuando lo que se persigue, por ejemplo, es provocar profesionales en investigación matemática universitaria, o si se busca un profesional en la ingeniería de construcción práctica de puentes. El papel de los requerimientos de la sociedad, de los entornos meta de trabajo o nichos profesionales afecta la estructura de las competencias. Es decir: hay en el papel de las competencias una ecuación que integra influjos sociales globales, influjos específicos del entorno laboral, e influjos de la academia (condiciones profesionales y cognoscitivas) que forma profesionales, todo en función de objetivos e intereses de aprendizaje. Las competencias se han incorporado en la formación docente con gran intensidad. No obstante, este enfoque ha levantado, también, posiciones de precaución, o abiertamente crítica, sobre varios aspectos: por un lado, en tanto que una reducción estrecha y minimalista de competencias profesionales puede deteriorar la calidad de la formación del educador. Es decir, una debilitación de las condiciones del educador como profesional conspira contra la profesionalización de la enseñanza. Si los niveles de competencias son inapropiadamente bajos, se deteriora la formación del educador. No obstante, de lo que se trata es de tener una visión estratégica y con el norte en la calidad. Es una sana advertencia para definir con mucha claridad los límites de la formación de educadores y de las competencias de tal manera que incorporen como objetivo su desempeño como un verdadero profesional, fuerte capacidad de investigación, pensamiento crítico y autónomo. Se convoca una perspectiva histórica, una preparación para asumir transformaciones de la práctica docente en un contexto que ha hecho del cambio su quintaesencia. Por otra parte, se ha criticado la utilización de las competencias como un recurso para gobernantes que desean “proletarizar” la labor educativa y construir un sistema inapropiado e indigno de exigencias y controles del trabajo del maestro: si el educador no posee las competencias se puede reducir su salario o despedirlos. Esta línea de argumentación basada en la “intencionalidad” de gobierno no nos parece muy fuerte para desacreditar el valor de las competencias como instrumento educativo y profesional. Gobernantes inescrupulosos pueden buscar

debilitar las condiciones socioeconómicas de los educadores con o sin las competencias como medio. La crítica más fuerte en nuestra opinión es la que afirma que el concepto de competencia profesional posee muchas acepciones o interpretaciones, y eso impide un uso apropiado que permita incluso la comparación de experiencias. Es cierto que existen muchas interpretaciones. Y eso es un verdadero problema. De lo que se trataría es de trabajar en una conceptualización apropiada que uniformice las interpretaciones. El tema no está agotado. ¿Cómo se debe operacionalizar la importancia que una institución o un país desee dar a cierto tipo de competencias? ¿Cómo se relaciona competencias y valores? ¿Cuál es el lugar de las competencias cognoscitivas? No nos parecería apropiado afirmar a las competencias profesionales como una panacea para la edificación curricular. Pero pensamos que definidos los términos adecuadamente, con suficiente precisión, es un marco útil para lograr distanciarnos de los modelos curriculares basados en la lógica cognoscitiva y en las academias solamente, e intentar plasmar una buena convergencia entre la formación inicial y la continua, con base en la labor profesional. La inercia en las instituciones formadoras de maestros es todavía muy fuerte. En muchas universidades lograr que se comprenda que el currículo debe responder a la práctica profesional directamente representa una fuerte batalla, donde muchas veces reina la incomprensión, la ignorancia, o la defensa a ultranza de posiciones o feudos cognoscitivos y profesionales. Diseñar un currículo por medio de competencias profesionales no es, en todo caso, garantía de éxito. Se requieren otros ingredientes en la sopa. Se puede tener en el papel un currículo perfecto en cuanto a perfiles profesionales y con base en competencias, pero si la realidad de aula, la vida real, no da cuerpo a esa estrategia el resultado solo puede ser negativo. Nada cambiaría. Se requiere formación, actitudes, voluntades, experiencias, vínculos sociales y académicos, valores. Y no solo eso: los entornos sociales institucionales, nacionales o internacionales son factores que afectan la práctica profesional, y a veces son decisivos. Si entendemos las competencias dentro de esas fronteras y con esos objetivos precisos, se dan menos posibilidades para que éstas sean solamente una moda pasajera en la educación internacional. Este número de nuestros Cuadernos posee como uno de sus temas centrales las competencias. Se analizan sus perspectivas generales para toda la educación superior, se incide en las competencias propiamente matemáticas, su papel en la formación de educadores de las matemáticas, y en particular se abordan las competencias tecnológicas en su relación con las matemáticas dentro de currículos de formación en la Educación Matemática.

Cuadernos 6 incluye otros temas también relevantes: una propuesta sobre formación docente con la resolución de problemas, formación docente y contextos multilingües y multiculturales, el importante tema del conocimiento en la formación inicial de los profesores de matemáticas, el estado del arte en los manipulativos virtuales, la integración de métodos numéricos, tecnologías y ecuaciones diferenciales en un curso de formación de formadores en la Educación Matemática. En esta ocasión, se incorpora una reseña de la elección de un nuevo comité ejecutivo de la International Commission on Mathematical Instruction, un anuncio sobre la XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática, el capítulo final del libro La Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica. Una reseña histórica, publicado en 1993 y que contiene elementos de interés para la Educación Matemática de nuestros días. Y, finalmente, publicamos el obituario de una apreciada colega, investigadora y amiga que falleció inesperadamente en el 2008. Angel Ruiz Director Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática 3 de julio del 2009.

Artículos de investigación

LA IMPORTANCIA DE LAS COMPETENCIAS EN LA EDUCACIÓN SUPERIOR Edison De Faria Campos Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas, Escuela de Matemática Universidad de Costa Rica [email protected] Resumen En este artículo analizamos la importancia de las competencias en el sistema de educación superior, y describimos cuatro proyectos importantes en este ámbito: DeSeCo, Tunning Europa, Tunning América Latina y el 6x4 UEALC.

Palabras Clave Competencias clave, curriculum, competencias matemáticas.

Abstract In this article we analyze the importance of the competencies in the higher education system, and describe four important projects in this area: DeSeCo, Tunning Europe, Tuning Latin America and the 6x4 UEALC.

Key Words Key Competencies, Curriculum, Mathematical Competencies.

Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 13-37. Costa Rica

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Edison De Faria Campos

1. Introducción Estamos viviendo cambio de tiempo y tiempo de cambio en dónde lo único que parece no cambiar es el propio cambio. La globalización está impulsando a la sociedad, y en particular a las universidades hacia una transformación en sus prácticas de enseñanza, líneas de investigación, procesos de evaluación y oferta educativa. Parte del fenómeno de la globalización es el desarrollo científico y tecnológico que demanda una educación superior de calidad, actualizada y que responda a los nuevos retos y necesidades sociales y económicas. Como afirma Pérez (2007, p. 9) la sociedad de la información y del conocimiento dirige a la educación demandas distintas de las tradicionales, claramente relacionadas con el desarrollo en todos los ciudadanos de la capacidad de aprender a lo largo de toda la vida, sujetos autónomos, capaces de tomar decisiones informadas sobre su propia vida y de participar de manera relativamente autónoma en la vida profesional y social. Todo esto conlleva al desarrollo de planes de estudios profesionales flexibles, abiertos a cambios permanentes, de carácter inter, multi y transdisciplinarios, que enfatice ciertos principios como la ética profesional, el trabajo colaborativo, la capacidad de aprender y actualizarse, la capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica y la capacidad para identificar, plantear y resolver problemas, entre otros. En este sentido, las universidades como responsables por una gran parte de la producción científica por la formación de recursos humanos competentes, tienen que asumir el papel de actor clave en este proceso de transformación. Según Malo (2008, p. 14), las universidades deben ser capaces de combinar flexibilidad con especialización: es decir; programas de estudios tradicionales y generales con los de educación continua y de posgrado, líneas de investigación sólidas en campos de frontera con mecanismos de acercamiento y vinculación con empresas e industrias. Esto conlleva cambios profundos en la pedagogía, nuevos enfoques y formas respecto del aprendizaje y la enseñanza, y diferentes papeles para el profesor y el estudiante. Hoy, nuestras universidades se centran en conocimientos disciplinarios, están organizadas en escuelas y facultades independientes, y enfatizan los procesos de enseñanza sobre el aprendizaje, una estructura que dificulta la movilidad de estudiantes de una universidad a otra y cambios de carrera. Por otro lado, existe una apreciación por personas fuera del ámbito universitario, de que existe poca relevancia social de la investigación realizada en las universidades y poca vinculación de éstas con los sectores públicos y privados. Concuerdo con Malo (2008) en que si las universidades latinoamericanas han de preparar a los jóvenes para

La importancia de las competencias en la educación superior

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enfrentar adecuadamente el mundo que les rodea, contribuir al cambio social, político y estructural que las naciones de la región requieren, y tener la fuerza para impulsar la inventiva, creatividad y productividad de la sociedad, necesita dar respuesta cabal a todos estos desafíos. Una de las posibles respuestas a los retos mencionados consiste en desarrollar planes de estudio fundamentados en competencias profesionales. Según Verdejo (2008, p. 155), la introducción del enfoque de competencias profesionales en el ámbito educativo responde a una creciente demanda de la sociedad de conocer las capacidades que se desarrollan a través de los diferentes procesos de formación, y por el interés de mejorar la preparación para lograr una mayor pertinencia para incorporarse al ambiente laboral. Esta demanda se basa en los diferentes estudios e investigaciones que se han realizado, tanto en el ámbito académico como en el laboral, sobre las competencias que necesitan los egresados de las universidades para incorporarse al trabajo. Para Pérez (2007, p. 5) el término competencias tiene una larga tradición y se encuentra contaminado por una carga pesada de interpretaciones conductistas que poco han contribuido a hacer comprender la complejidad de los procesos de enseñanza y aprendizaje de los seres humanos. La interpretación conductista considera que las competencias y habilidades tienen un carácter estrictamente individual y pueden contemplarse como libres de valores e independientes del significado de sus aplicaciones concretas. En un contexto más amplio, integrado y holístico, el documento DeSeCo (Definición y Selección de Competencias fundamentales) elaborado por la Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico, OCDE, presenta el concepto de competencias dentro de una interpretación comprensiva claramente distinta en dónde se identifican tres ejes de competencias fundamentales, con los que difícilmente se puede estar en desacuerdo. La propuesta de la OCDE recoge aportaciones de estudios socioculturales y constructivistas sobre el desarrollo y los aprendizajes humanos y busca acercar el aprendizaje escolar a los problemas y exigencias de la vida contemporánea al fundamentarse en las competencias que permitan a los individuos conocerse y gobernarse a sí mismos, a relacionarse con los demás en diversos contextos y a elaborar sus propios proyectos de vida personal, social y profesional. En el documento DeSeCo (OCDE, 2005), se define la competencia como “la capacidad de responder a demandas complejas y llevar a cabo tareas diversas de forma adecuada. Supone una combinación de habilidades prácticas, conocimientos, motivación, valores éticos, actitudes, emociones y otros componentes sociales y de comportamiento que se movilizan conjuntamente para lograr una acción eficaz.

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Edison De Faria Campos

Se consideran competencias fundamentales, las competencias imprescindibles que necesitan todos los seres humanos para hacer frente a las exigencias de los distintos contextos de su vida como ciudadanos. Las competencias clave o fundamentales son aquellas que son importantes para muchas áreas de la vida, que contribuyen a una vida satisfactoria y al buen funcionamiento de la comunidad social. Por lo tanto el concepto de competencias involucra dimensiones cognitivas y no cognitivas: conocimientos, habilidades cognitivas, habilidades prácticas, actitudes, valores y emociones. Fundamentado en el documento DeSeCo y en sus desarrollos críticos posteriores, Pérez (2007, pp. 13-16) destaca las siguientes características principales del concepto de “competencias clave”, en cuanto a su carácter: Holístico e integrado. Los conocimientos, capacidades, actitudes valores y emociones no pueden entenderse de manera separada. Contextual. Las competencias se concentran y se desarrollan vinculadas a los diferentes contextos de acción. Ética. Las componentes se nutren de las actitudes, valores y compromisos que los sujetos van adoptando a lo largo de la vida. Creativo de la transferencia. La transferencia debe entenderse como un proceso de adaptación creativa en cada contexto. Reflexivo. Las componentes clave suponen un proceso permanente de reflexión. Evolutivo. Se desarrollan, perfeccionan, amplían, o se deterioran y restringen a lo largo de la vida. En el concepto de competencia se entrelaza e integra lo afectivo, lo psicomotor y lo cognitivo en una nueva síntesis en el momento de llevar a cabo la acción, la evaluación y la reflexión sobre la acción (Verdejo, 2008, p. 158). Comúnmente, bajo el enfoque de competencias, el perfil de egreso se entiende como un conjunto articulado de competencias profesionales que se supone permitirán un desempeño exitoso (pertinente, eficaz y eficiente) del egresado en la atención y resolución de los problemas más comunes en el campo de su profesión. Desde esta perspectiva, la competencia se demuestra en la acción o ejecución. Para poder evaluar el grado de dominio de la competencia es necesario contar con variables observables y criterios de valoración (Verdejo, 2008 p. 159). La incorporación de competencias en el currículo demanda la descripción de los conocimientos, habilidades y actitudes necesarias para llevar a cabo las acciones que demuestren las competencias, así como el diseño de los procesos de aprendizaje necesarios para la adquisición de tales competencias. Durante el proceso de

La importancia de las competencias en la educación superior

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enseñanza y de aprendizaje, el énfasis que tienen los conocimientos, habilidades y actitudes varía de acuerdo al proceso de desarrollo de la competencia, es decir, existen niveles de competencias. Es importante destacar que bajo el enfoque de competencias, el proceso de enseñanza y de aprendizaje se centra en el alumno, en cómo enseñarlo a aprender a lo largo de la vida, mientras que las evaluaciones se basan en modelos centrados en las evidencias que se pueden observar y valorar y que evidencian el dominio de la competencia. Para esto se hace necesaria la descripción de los elementos operacionales de la competencia en términos de evidencias clave, recogidas a partir de la ejecución de tareas y ejercicios pertinentes, y sus criterios de valoración. Según Verdejo (2008), para elaborar una prueba de competencias, es necesario contar con el perfil de referencia definido por competencias en términos de excelencia y no de criterios mínimos, identificar cuáles son las competencias que se van a evaluar en el examen, elaborar la Tabla de especificaciones que asegure que todas las competencias están presentes en el examen y asegurar que cada competencia se evalúe en su contexto y no aisladamente. Los criterios de aprobación se determinan no por el porcentaje de aciertos sino a través de una metodología en la que un grupo de expertos determinan el puntaje en la escala de competencia que deberá ser alcanzado por el sustentante. La evaluación de las competencias no debe considerarse de forma aislada sino de forma sistémica para asegurar la congruencia con los planes de estudio y las formas de enseñanza-aprendizaje. Referente a la evaluación, podemos mencionar que el concepto clave de evaluación en el Programa para la Evaluación Internacional para Estudiantes (PISA, por sus siglas en Inglés) es el de competencia, que se define como “la capacidad de los alumnos para aplicar conocimientos y habilidades, y para analizar, razonar y comunicarse con eficacia cuando plantean, resuelven e interpretan problemas relacionados con distintas situaciones”. Las competencias clave del proyecto DeSeCo se dividen en tres categorías: usar herramientas interactivamente, interactuar en grupos heterogéneos y actuar de forma autónoma (OCDE, 2005, pp. 9-15): 1. Usar herramientas interactivamente a. Capacidad para usar el lenguaje, los símbolos y el texto interactivamente b. Capacidad para usar conocimiento e información interactivamente c. Capacidad para usar tecnología interactivamente 2. Interactuar en grupos heterogéneos a. Capacidad para relacionarse bien con los otros b. Capacidad para cooperar

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Edison De Faria Campos

c. Capacidad para gestionar y resolver conflictos 3. Actuar de forma autónoma a. Capacidad para actuar dentro de un amplio panorama/compleja situación b. Capacidad para elaborar, conducir y gestionar los propios planes de vida y proyectos personales c. Capacidad para manifestar y defender derechos, intereses, límites y necesidades. En el documento mencionado se analiza cada una de las competencias anteriores. A seguir menciono algunos esfuerzos importantes para introducir las competencias en el currículum universitario, los proyectos Tuning-Europa, Tuning-América Latina y 6x4 UEALC.

2. El proyecto tuning En 1999, los Ministros de Educación Europeos iniciaron, en Bolonia, un proceso de reforma y decidieron llevar a cabo algunas acciones tendientes a desarrollar, antes del 2010, un Espacio Europeo de Educación Superior que sea competitivo y atractivo para estudiantes y docentes. En este proceso, ministros de 29 países europeos firmaron la declaración de Bolonia que busca fomentar un aprendizaje de calidad, la movilidad de estudiantes, profesores e investigadores por las universidades europeas, así como la adopción de un sistema que permita la construcción de un espacio común de educación superior y de armonización de los sistemas de títulos universitarios y de grados académicos en toda Europa. Las metas planteadas fueron revisadas y ampliadas en reuniones posteriores realizadas en Praga (2001), Berlín (2003), Bergen (2005) y Londres (2007). En este marco se creó el proyecto Tuning que pretende la potenciación del Espacio Europeo de Educación Superior, tratando de uniformar los programas de formación docente europeos en algunas disciplinas, entre ellas las Matemáticas, por medio de las competencias profesionales, y el proyecto inspiró la creación de dos proyectos latinoamericanos que enfatizan las competencias en la educación superior: el Tuning América Latina y el 6x4 UEALC. Como respuesta al reto planteado por la Declaración de Bolonia, el proyecto Tuning inició sus actividades en el año 2001 con la participación de 77 universidades europeas. Este número aumentó a 135 universidades en el 2004 (González; Wagenaar y Beneitone, 2004, p. 151) y actualmente involucra a más de 175 universidades europeas. A finales del año 2000 el proyecto “Sócrates-Erasmus Tuning Educational Struc-

La importancia de las competencias en la educación superior

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tures in Europe” fue presentado a la Comisión Europea como un proyecto piloto para dos 2 años, bajo la coordinación de la Universidad de Deusto en Bilbao, España, y la Universidad de Groningen, de los Países Bajos. El proyecto, entre otras metas, aspiraba lograr que los programas de estudio fueran comparables y compatibles, facilitar la transparencia y el reconocimiento académico a nivel europeo y promover la confianza entre las instituciones, brindando una metodología que garantice y mejore la calidad de los programas de estudio. El lema de Tuning es “Sintonía en las estructuras y programas educativos respetando su diversidad y autonomía”. Según González y Wagenaar (2006, p. 27) Tuning propone y promueve programas con orientación en “salidas” que se basen en resultados de aprendizaje expresados en términos de competencias genéricas y específicas de cada área y créditos ECTS (European Credit Transfer and Accumulation System) basados en el volumen de trabajo del estudiante. En la primera fase del proyecto (2001-2002) se formularon definiciones de los términos “perfil”, “resultados de aprendizaje” y “competencias” (González y Wagenaar, 2003, p. 23) y se seleccionaron siete disciplinas: administración de empresas, química, ciencias de la educación, historia, geología, matemáticas y física. En la segunda fase (2003-2004) fueron agregadas enfermería y estudios europeos (cada fase tenía una duración de dos años). En el proyecto mencionado, la definición propuesta para perfil académico y profesional se relaciona con las necesidades y demandas sociales de la comunidad académica nacional e internacional y se encuentra íntimamente ligada con la identificación y el desarrollo de competencias y habilidades necesarias para su logro, en todo el plan de estudios. En este sentido, los resultados de aprendizaje son formulaciones de lo que el estudiante debe conocer, comprender o ser capaz de demostrar tras la finalización del proceso de aprendizaje y pueden estar referidos a una sola unidad o módulo del curso o a un periodo de estudio, además se especifican los requisitos mínimos para la concesión de un crédito. Así, las competencias representan una combinación dinámica de conocimientos, comprensión, habilidades y capacidades y pueden ser genéricas o específicas. El proyecto reconoce la importancia de las competencias específicas de cada área y que éstas deben ser la base para los programas conducentes a la obtención de un título universitario, pero también enfatiza el desarrollo de competencias genéricas, elementos cada vez más importantes en la preparación de los estudiantes de cara a su futuro papel en la sociedad como profesionales y ciudadanos. Además distingue tres tipos de competencias genéricas: •

Instrumentales: las que tienen una función instrumental, incluyendo capacidades cognitivas, metodológicas, tecnológicas y lingüísticas.

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Edison De Faria Campos

•

Interpersonales: capacidades individuales tales como habilidades sociales (interacción y cooperación sociales). • Sistémicas: capacidades y habilidades relacionadas con sistemas globales (combinación de comprensión, sensibilidad y conocimientos). Como mencionamos anteriormente, en la primera fase se desarrolló una metodología para el diseño de programas de titulación basados en perfiles identificados, que se traducían en resultados de aprendizaje expresados en competencias y vinculados con créditos ECTS (González y Wagenaar, 2006, p. 11). El perfil de titulación se basó en un proceso de consulta a gran escala a profesores, estudiantes, graduados, empleadores y organizaciones profesionales, para identificar las competencias genéricas más importantes para cada uno de los campos académicos implicados. Correspondería a las universidades involucradas el diseño final de cada programa, pues se consideró que “los órganos y el personal universitario, en último termino, son los que están mejor equipados para identificar los recursos necesarios para ofrecer un programa académico, y ello tanto en lo referente al personal docente, los apoyos logístico y técnico, etc., como a las unidades educativos y el diseño del programa” (González y Wagenaar, 2006, p. 12). El conjunto de competencias genéricas académicas comunes a todas las áreas implicadas en el proyecto, identificadas como las más importantes fueron: capacidad de análisis y de síntesis, capacidad de aprender y resolución de problemas. Mientras tanto, los graduados y los empleadores coincidieron en identificar como importantes, para el campo laboral, las competencias: capacidad de aplicar los conocimientos adquiridos, capacidad de adaptarse a nuevas situaciones, preocupación por la calidad, habilidad para gestionar la información, capacidad para trabajar de forma autónoma, para trabajar en equipo, para organización y planificación, para la comunicación oral y escrita y habilidades interpersonales. Los resultados de la consulta pueden ser consultados en la publicación del proyecto Tuning I y en la página web de Tuning. En el anexo 1 aparece la lista con las 30 competencias genéricas resultantes del proceso de consulta. También fueron identificadas competencias específicas de cada una de las nueve áreas de conocimiento pertenecientes a la segunda fase del proyecto. Lo esencial de la propuesta Tuning es la promoción de programas con orientación en salidas basadas en resultados de aprendizaje expresados en términos de competencias genéricas y específicas de cada área, es decir, a partir de los perfiles de titulación identificados se vinculan los créditos ECTS a resultados de aprendizaje que son expresados en términos de las competencias adquiridas por el estudiante. Esta conexión es bastante evidente en las definiciones dadas por Tuning: Los resultados de aprendizaje son formulaciones de lo que el estudiante debe conocer, comprender o ser capaz de demostrar tras la finalización de una experiencia de aprendizaje. Los resultados del aprendizaje pueden estar referidos a una sola unidad o módulo de curso o a un período de estudios, por ejemplo un programa

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de primer o segundo ciclo. Por último, los resultados de aprendizaje especifican los requisitos mínimos para la concesión de un número determinado de créditos y deben su formulación al cuerpo docente. Las competencias representan una combinación dinámica de conocimientos, habilidades, capacidades y valores. La promoción de estas competencias es el objeto del programa educativo. Las competencias cobran forma en varias unidades de curso y son evaluadas en diferentes etapas. Quien las obtiene es el estudiante. Los resultados del aprendizaje se expresan en términos de competencias. Estas últimas pueden desarrollarse en mayor grado que el requerido en el caso de unos determinados resultados de aprendizaje marcados por una unidad educativa. (González y Wagenaar, 2006, p. 14)

Se argumenta que la utilización de los resultados del aprendizaje permite una flexibilización muy superior a la habitual en el caso de los programas de estudio de diseño más tradicional debido a que muestra que distintos caminos pueden llevar a resultados comparables. Por otro lado, su utilización respeta íntegramente la autonomía de otras instituciones y culturas educativas. Lo que importa son los resultados de aprendizaje y no las distintas y variadas rutas que conducen a ellos. Todo esto conlleva a un modelo curricular centrado en el estudiante que se orienta a las salidas, en contraposición al modelo centrado en el docente que se orienta a las entradas, pues en aquél se requiere que los conocimientos y habilidades más importantes que el estudiante debe de adquirir durante el proceso de aprendizaje sean los que determinen los contenidos del programa de estudios. Además, los resultados del aprendizaje y las competencias están centrados en los requerimientos de la disciplina y las necesidades sociales en términos de preparación para el trabajo y la ciudadanía. Se sugiere que en los programas de estudio basados en ciclos, cada ciclo debería contar con su propio grupo de resultados de aprendizaje, formulados en términos de competencias y orientados a un perfil de salida para el ciclo. Hilando más fino, cada curso tendría que contar con sus resultados de aprendizaje que a la vez son parte de los resultados de aprendizaje del ciclo y que son parte de los resultados de aprendizaje globales del programa. Como consecuencia, cada curso tendrá sus propias competencias con niveles pertinentes de acuerdo al curso y al ciclo considerados. Tuning recomienda no incluir más de ocho competencias en los resultados del aprendizaje para cada unidad o módulo individual de cada curso, y que sean competencias que puedan ser realmente evaluadas. Para lograr un currículo eficiente, todas las unidades deberían de estar relacionadas entre sí tanto en los cursos de un mismo nivel como en cursos de distintos niveles y ciclos, un todo armonizado, coherente, flexible e interdependiente que asegure calidad y pertinencia.

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Para poder comparar las distintas áreas disciplinares del proyecto, Tuning elaboró una plantilla para que los distintos grupos de discusión pudieran sintetizar la información relacionada con los aspectos solicitados por el proyecto. La plantilla busca información sobre los siguientes aspectos (González y Wagenaar, 2006, p. 43): • Una introducción al área de conocimiento • Perfiles de titulación y profesiones • Resultados del aprendizaje y competencias: descriptores de niveles de ciclo • Volumen de trabajo del estudiante y ECTS Cada grupo de discusión, después de intensos debates, buscó llegar a un consenso acerca de lo que los estudiantes deberían saber, comprender y ser capaces de hacer en términos de resultados de aprendizaje que debían obtenerse y competencias que debían adquirirse. Otro elemento de análisis importante consiste en la referencia a créditos ECTS fundamentados en el volumen de trabajo del estudiante. Es indispensable que el volumen de trabajo y la calidad del programa tengan correspondencia con el tiempo que dispongan los estudiantes para alcanzar los resultados del aprendizaje. Finalmente, se incluye en la plantilla elementos acerca de enfoques de aprendizaje, enseñanza y evaluación y la mejora de la calidad. Se pide por ejemplo, tres ejemplos de buena práctica en aprendizaje, enseñanza y evaluación, de cara a la adquisición de competencias relevantes para el área disciplinar.

Matemática en Tuning A modo de ejemplo, comento brevemente los resultados de la aplicación de la metodología Tuning para el área de matemática. La conclusión relacionada con competencias genéricas es que se espera que los estudiantes desarrollen competencias genéricas tales como: la elaboración y sostenimiento de argumentos, resolución de problemas, habilidades comunicativas, capacidad de análisis y síntesis. Se sugieren además las competencias específicas: capacidad de idear una demostración; capacidad de construir un modelo matemático de una situación dada y la capacidad para resolver problemas utilizando herramientas matemáticas. En las tablas que siguen se describen las competencias específicas para los dos primeros ciclos (González y Wagenaar, 2006, pp. 129-130).

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Tabla 1. Competencias específicas para el Primer Ciclo Primer ciclo

Competencias clave específicas del área

Competencias clave genéricas

Descriptor del ciclo: Para finalizar con éxito un título de primer ciclo en Matemáticas, los estudiantes deberán ser capaces de: • Mostrar un conocimiento y comprensión de conceptos, principios, teorías y resultados básicos de la matemática; • Conocer y explicar el significado de enunciados complejos empleando la notación y el lenguaje matemáticos; • Demostrar destreza en el razonamiento, manipulación y cálculos matemáticos; • construir demostraciones rigurosas; • demostrar competencia en diferentes métodos de demostración matemáticos.

Nivel 1 Contenido. Las Matemáticas que todo científico debería conocer: álgebra básica y aritmética, álgebra lineal, cálculo, ecuaciones diferenciales básicas, estadística y probabilidad básicas. Resultados del aprendizaje Para completar el nivel 1, los estudiantes deberán ser capaces de: (a) Comprender algunos teoremas matemáticos y sus demostraciones; (b) Resolver problemas matemáticos que, sin ser triviales, sean similares a otros ya conocidos por el estudiante; (c) Traducir a términos matemáticos problemas simples expresados en lenguaje no matemático con el fin de resolverlos. Nivel 2 Contenido Teoría básica de las “áreas principales” de la matemática, incluyendo la mayoría de las citadas a continuación y preferiblemente todas ellas: • ecuaciones diferenciales a nivel básico • funciones complejas a nivel básico • algo de probabilidad • algo de estadística • algo de métodos numéricos • geometría de curvas y superficies a nivel básico • algunas estructuras algebraicas • algo de matemáticas discretas Resultados del aprendizaje: Para completar el nivel 2, los estudiantes deberán ser capaces de: (d) suministrar pruebas de resultados matemáticos que no sean idénticos a las ya conocidas anteriormente, pero que guarden relación con ellas; (e) traducir a términos matemáticos problemas de dificultad moderada planteados en lenguaje no matemático y apoyarse en dicha traducción para resolverlos; (f) resolver problemas en una diversidad de campos matemáticos que requieran algo de originalidad; (g) construir modelos matemáticos para describir y explicar procesos no matemáticos.

• Conocimientos profundos de “Matemáticas elementales ” (como las que formarían parte de la educación secundaria). • Capacidad para construir y desarrollar argumentos matemáticos lógicos identificando claramente presupuestos y conclusiones. • Capacidad para pensar cuantitativamente. • Capacidad para extraer información cualitativa de datos cuantitativos. • Capacidad para formular problemas matemáticamente y en forma simbólica, con el fin de facilitar su análisis y su solución. • Capacidad para diseñar estudios basados en la observación y la experiencia y analizar los datos de ellos resultantes. • Capacidad para emplear herramientas informáticas como apoyo a los procesos matemáticos y para obtener información suplementaria. • Conocimiento de software o lenguajes de programación específicos.

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Tabla 2. Competencias específicas para el Segundo Ciclo Segundo ciclo

Competencias clave específicas del área

Descriptor de ciclo: Para completar con éxito un título de segundo ciclo, los estudiantes deberán ser capaces de: • leer y comprender un tema de la bibliografía matemática y demostrar pericia en un informe argumentado por escrito o verbalmente; • Iniciar una investigación en un campo especializado.

• Familiaridad con la abstracción, incluyendo el desarrollo lógico de teorías formales y sus relaciones. • Capacidad para modelar matemáticamente una situación del mundo real y aplicar las destrezas matemáticas a contextos no matemáticos • Disposición a afrontar problemas nuevos de áreas nuevas. • Capacidad para comprender problemas y abstraer sus elementos esenciales. • Capacidad para formular problemas complejos de optimización y toma de decisiones e interpretar las soluciones en sus contextos originales. • Capacidad para exponer argumentos matemáticos y sus conclusiones con claridad y precisión y en concordancia con la audiencia respectiva tanto oralmente como por escrito. • Conocimiento de procesos de enseñanza y de aprendizaje de las matemáticas.

En nuestro contexto costarricense, el primer ciclo equivale a bachillerato mientras que el segundo ciclo equivale a la licenciatura o bien a una maestría académica. En cuanto al aprendizaje, enseñanza y evaluación en matemática, se sugiere una combinación de clases magistrales, sesiones de ejercicios individuales o en grupo, tareas, uso de laboratorios informáticos y la realización de proyectos en pequeños grupos para fomentar el trabajo colaborativo. El componente de investigación es sugerido en el segundo ciclo, para la confección de la tesina o de la tesis. Considero que hace falta considerar otras estrategias de enseñanza, aprendizaje y evaluación como por ejemplo la creación de portafolios, incorporación de investigaciones desde el primer nivel y la incorporación de la historia de la matemática como recurso metodológico. No cabe duda que el enfoque basado en competencias tiene un fuerte impacto en la gestión curricular, en la docencia y en los diferentes procesos de evaluación. Está contribuyendo a la transformación de los procesos de enseñanza y de aprendizaje pues articula la teoría con la práctica, contextualiza la formación profesional dentro de un marco social, político, económico y cultural y procura dar una formación integral al futuro ciudadano o ciudadana. Por lo tanto merece un estudio cuidadoso, reflexivo y crítico, principalmente debido a que se trata de una metodología que se está generalizando en el ámbito mundial.

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3. Tuning América Latina Durante la IV Reunión de Seguimiento del Espacio Común de Enseñanza Superior de la Unión Europea, América Latina y el Caribe (UEALC) en Córdoba (España) en Octubre de 2002, los representantes de América Latina que participaron en el encuentro, tras escuchar la presentación de los resultados de la primera fase del Tuning, expusieron la inquietud de proponer un proyecto similar con América Latina. Desde ese momento se empezó a preparar la iniciativa, que fue presentada por un grupo de universidades europeas y latinoamericanas a la Comisión Europea a finales de octubre de 2003 (Beneitone y cols., 2007, p. 14). Las 8 universidades latinoamericanas que presentaron la propuesta fueron: Universidad Nacional de La Plata (Argentina), Universidad Estadual de Campinas (Brasil), Universidad de Chile (Chile), Pontificia Universidad Javeriana (Colombia), Universidad de Costa Rica (Costa Rica), Universidad Rafael Landívar (Guatemala), Universidad de Guanajuato (México) y Universidad Católica Andrés Bello (Venezuela). Las 7 universidades europeas fueron: Technische Universität Braunschweig (Alemania), Universidad de Deusto (España), Universidad París IX-Dauphine (Francia), Universidad de Pisa (Italia), Universidad de Groningen (Países Bajos), Universidad de Coimbra (Portugal) y Universidad de Bristol (Reino Unido). La propuesta fue aceptada por la Comisión Europea, y durante los meses de Julio y Agosto de 2004 los coordinadores generales visitaron a 18 países latinoamericanos para presentar la propuesta a las instancias pertinentes – Ministerios de Educación, Conferencias de Rectores entre otras – y para posteriormente proceder a los cambios y ajustes necesarios. De esta forma el proyecto Tuning América Latina se inició formalmente en Octubre de 2004, con la participación de 62 universidades latinoamericanas y con 4 grupos de trabajo: administración de empresas, educación, historia y matemáticas. En un segundo momento se incorporaron 120 nuevas universidades latinoamericanas y 8 grupos de trabajo: arquitectura, derecho, enfermería, física, geología, ingeniería civil, medicina y química. Las 182 universidades provienen de 18 países latinoamericanos. Posteriormente se incorporó República Dominicana con 8 universidades. Las universidades participantes fueron escogidas por los Ministerios de Educación, Consejos de Educación superior y la Conferencia de Rectores de cada país, basados en criterios de excelencia nacional en el área que representan, capacidad de diálogo con otras instituciones que trabajan en la misma disciplina, tamaño de la institución, trayectoria y autoridad académica. En Costa Rica participan las siguientes universidades: Universidad de Costa Rica (arquitectura, educación, enfermería), Universidad Nacional (historia y química)

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y el Instituto Tecnológico de Costa Rica (ingeniería civil). En la página Web (http://Tuning.unideusto.org/Tuningal) están publicados los documentos de trabajo, la lista de las universidades participantes de cada país y los resultados alcanzados. El objetivo del proyecto es el de la búsqueda de un debate para identificar e intercambiar información y mejorar la colaboración entre las instituciones de educación superior, para el desarrollo de la calidad, efectividad y transparencia, respetando las particularidades de las diferentes instituciones. Según Beneitone y cols (2007, p. 15), uno de los propósitos centrales del proyecto es contribuir al desarrollo de titulaciones fácilmente comparables y comprensibles “desde adentro”, en base a los objetivos que la titulación se marque, desde los perfiles buscados para los egresados, ofreciendo elementos que posibiliten ampliar la articulación entre los sistemas de educación superior de los países de América Latina. Mediante la búsqueda de perspectivas que pudiesen facilitar la movilidad de los poseedores de títulos universitarios y profesionales en América Latina y quizás también en Europa, el proyecto tiene como meta impulsar consensos a escala regional sobre la forma de entender los títulos, desde el punto de vista de las competencias que los poseedores de dichos títulos serían capaces de alcanzar. De esta forma, el inicio del proyecto está dado por la búsqueda de puntos comunes de referencia, centrados en las competencias. Utilizando la misma metodología del Tuning Europeo, el Tuning América Latina tiene cuatro grandes líneas de trabajo: competencias (genéricas y específicas); enfoques de enseñanza, aprendizaje y evaluación de estas competencias; créditos académicos y calidad de los programas. Para encontrar una definición apropiada de cuáles son las competencias genéricas para América Latina, el proyecto Tuning América Latina solicitó a cada Centro Nacional Tuning (CNT) una lista de las competencias genéricas consideradas relevantes a nivel nacional. Tomando como punto de partida la lista de las 30 competencias genéricas identificadas en Tuning Europa, cada CNT procedió a elaborar su propia lista mediante consultas a expertos a nivel nacional y utilizando los mecanismos que consideraron pertinentes. Fueron consultados académicos de las universidades (4558), estudiantes graduados (7220), estudiantes no graduados (9162) y empleadores (1669). Las listas fueron enviadas al núcleo técnico del proyecto que se encargó de seleccionar 85 competencias genéricas. En la primera reunión general del proyecto realizado en Buenos Aires en Marzo de 2005 fueron discutidas las competencias propuestas y al final la lista fue reducida a 27 competencias genéricas para América Latina (Beneitone y cols., 2007, p. 44): 1. Capacidad de abstracción, análisis y síntesis. 2. Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica.

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3. Capacidad para organizar y planificar el tiempo. 4. Conocimientos sobre el área de estudio y la profesión. 5. Responsabilidad social y compromiso ciudadano. 6. Capacidad de comunicación oral y escrita. 7. Capacidad de comunicación en un segundo idioma. 8. Habilidades en el uso de las tecnologías de la información y de la comunicación. 9. Capacidad de investigación. 10. Capacidad de aprender y actualizarse permanentemente. 11. Habilidades para buscar, procesar y analizar información procedente de fuentes diversas. 12. Capacidad crítica y autocrítica. 13. Capacidad para actuar en nuevas situaciones. 14. Capacidad creativa. 15. Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas. 16. Capacidad para tomar decisiones. 17. Capacidad para trabajo en equipo. 18. Habilidades interpersonales. 19. Capacidad de motivar y conducir hacia metas comunes. 20. Compromiso con la preservación del medio ambiente. 21. Compromiso con su medio socio-cultural. 22. Valoración y respecto por la diversidad y multiculturalidad. 23. Habilidad para trabajar en contextos internacionales. 24. Habilidad para trabajar en forma autónoma. 25. Capacidad para formular y gestionar proyectos. 26. Compromiso ético. 27. Compromiso con la calidad. De las 27 competencias, 22 concuerdan con las elaboradas por el Tuning europeo. En la tabla abajo podemos ver cuáles son las seis competencias más importantes para cada grupo latinoamericano consultado (Beneitone y cols., 2007, pp. 52,55,58 y 60).

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Tabla 3. Competencias importantes en América Latina Académicos

Graduados

Estudiantes

Empleadores

Compromiso ético

Compromiso con la calidad

Compromiso con la calidad

Compromiso ético

Capacidad de aprender y actualizarse

Compromiso ético

Capacidad para aprender y actualizarse

Compromiso con la calidad

Capacidad de abstracción, análisis y síntesis

Capacidad para aprender y actualizarse

Compromiso ético

Capacidad para aprender y actualizarse

Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica

Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas

Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica

Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica

Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas

Capacidad para tomar decisiones

Capacidad para tomar decisiones

Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas

Compromiso con la calidad

Capacidad para aplicar los conocimientos en la práctica

Capacidad para identificar, plantear y resolver problemas

Capacidad de trabajo en equipo

En la tabla vemos una intersección muy alta en algunas competencias, principalmente el compromiso ético y con la calidad. Se esperaría que la capacidad de comunicación en un segundo idioma estuviera entre las más importantes, pero curiosamente está en la lista de las menos importantes para los cuatro grupos consultados, en particular fueron los empleadores los que otorgaron un menor valor para ella. Otra competencia clasificada entre las más importantes es la capacidad para identificar, plantear y resolver problemas, sin duda alguna es algo fundamental en cualquier profesión. Para los más de 22000 cuestionarios recibidos, se evidenció una alta correlación entre los cuatro grupos consultados acerca de las 27 competencias genéricas, y todas éstas fueron calificadas como importantes por los grupos consultados. Los académicos y los graduados asignaron una calificación cercana a la máxima para la competencia “conocimientos sobre el área de estudio y la profesión” pues la consideran como la mejor competencia desarrollada en las universidades. El caso de las matemáticas Para las competencias específicas para las matemáticas, el proyecto ALFA Tuning – América Latina reunió en Agosto de 2005 en Belo Horizonte, Brasil, a los representantes de las 15 universidades latinoamericanas del área de Matemáticas, y posterior al análisis de las propuestas de las competencias específicas presentadas por cada universidad, elaboró una lista final con 23 competencias específicas del área (Beneitone y cols., 2007, pp. 241, 242): 1. Dominio de los conceptos básicos de la matemática superior.

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2. Capacidad para construir y desarrollar argumentaciones lógicas, con una identificación clara de hipótesis y conclusiones. 3. Capacidad para expresarse correctamente, utilizando el lenguaje de la matemática. 4. Capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas. 5. Capacidad para formular problemas en lenguaje matemático, de forma tal que se faciliten su análisis y su solución. 6. Conocimiento de la evolución histórica de los conceptos fundamentales de la matemática. 7. Capacidad para iniciar investigaciones matemáticas, bajo la orientación de expertos. 8. Capacidad para formular problemas de optimización, tomar decisiones e interpretar las soluciones en los contextos originales de los problemas. 9. Capacidad para contribuir en la construcción de modelos matemáticos, a partir de situaciones reales. 10. Capacidad para utilizar las herramientas computacionales de cálculo numérico y simbólico para plantear y resolver problemas. 11. Destreza en razonamientos cuantitativos. 12. Capacidad para comprender problemas y abstraer lo esencial de ellos. 13. Capacidad para extraer información cualitativa de datos cuantitativos. 14. Disposición para enfrentarse a nuevos problemas en distintas áreas. 15. Capacidad para trabajar con datos experimentales y contribuir a su análisis. 16. Capacidad para comunicarse con otros profesionales no matemáticos. 17. Capacidad para trabajar en equipos interdisciplinarios. 18. Capacidad para presentar los razonamientos matemáticos y sus conclusiones, con claridad y precisión y de forma apropiada para la audiencia a la que van dirigidos, tanto oralmente como por escrito. 19. Conocimiento básico del proceso de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas. 20. Dominio de la matemática elemental, es decir, la que se debe incluir en la enseñanza preuniversitaria. 21. Capacidad de participar en la elaboración de los programas de formación matemática en los niveles preuniversitarios. 22. Capacidad para detectar inconsistencias. 23. Conocimiento del inglés para leer, escribir y exponer documentos en inglés, así como comunicarse con otros especialistas. Seleccionadas las competencias específicas, los representantes de las 15 universidades participantes decidieron aplicar cuestionarios a académicos (415), estudiantes (679) y graduados (304).

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Los resultados de la encuesta fueron analizados y discutidos durante la tercera reunión general del proyecto Tuning – América Latina realizada en San José, Costa Rica en Febrero de 2006. La competencia calificada como la más importante en los 3 grupos consultados fue la número 1 “dominio de los conceptos básicos de la matemática superior”. La siguiente tabla presenta las competencias mejores y las peores calificadas en cada grupo (dentro de cada grupo aparecen en orden decreciente de importancia) (Beneitone y cols., 2007, p. 243): Tabla 4. Calificacición de competencias Grupo Académicos Graduados Estudiantes

Competencias con medias altas 1, 2, 3, 5, 12, 18, 4 1, 3, 12, 2, 4, 18, 7 1, 12, 2, 7, 3, 18, 4

Competencias con medias bajas 8, 19, 11, 15, 21, 6 8, 11, 15, 19, 6, 21 15, 8, 11, 19, 21, 6

La correlación entre los tres grupos fue muy alta, indicando un alto nivel de concordancia de opiniones entre ellos. Además, las 23 competencias específicas de la lista fueron consideradas importantes en la formación de un matemático. Muchas de las 23 competencias específicas para matemática contenidas en la lista Tuning América Latina fueron tomadas de la lista de 15 competencias para matemática de Tuning Europa (González, J. y Wagenaar, R., 2003 pp. 292, 293). Curiosamente, una de las competencias con baja calificación fue la número 21, “capacidad de participar en la elaboración de los programas de formación matemática en los niveles preuniversitarios”, la que considero fundamental en un proyecto de transformación curricular como el propuesto por el proyecto Tuning. A continuación describiremos el proyecto 6x4 UEALC.

4. El proyecto 6x4 uealc Este proyecto es parte del esfuerzo de los gobiernos de la Unión Europea, América Latina y el Caribe (UEALC) para la creación de un espacio común en educación superior. El Proyecto 6x4 UEALC es esencialmente latinoamericano debido a que la mayoría de sus participantes son latinoamericanos, su organización, conducción, fi-

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nanciamiento y reuniones han estado a cargo de, y tenido lugar en instituciones latinoamericanas y principalmente porque los participantes consideraron que el objetivo central del proyecto es la búsqueda de herramientas para la convergencia de los sistemas educativos de educación superior de América Latina, la construcción de un espacio común de educación superior latinoamericano. Para esto, entre otros objetivos, se busca relacionar las competencias profesionales necesarias para el ejercicio profesional y la calidad en cada profesión, con el uso de los créditos académicos como un referente común que permite la comparación y el reconocimiento de los resultados del aprendizaje en distintos sistemas. El origen del nombre del proyecto 6x4 UEALC se debe a que se orienta al trabajo con 6 profesiones: Medicina, Ingeniería Electrónica, Eléctrica y afines, Administración, Matemáticas, Historia y Química y cada una de ellas en los 4 ejes de análisis: créditos académicos, evaluación y acreditación, competencias profesionales, y formación para la innovación y la investigación. Entre sus logros encontramos propuestas de herramientas para la movilidad interinstitucional, un modelo de descripción y evaluación de competencias (MECO), referentes comunes para la evaluación y la acreditación, y estrategias de formación para la investigación y la innovación. En el proyecto participaron universidades de 9 países latinoamericanos y 4 países europeos, para conformar un conjunto de 61 instituciones de educación superior. Los países con mayor número de participantes fueron México, Argentina, Colombia, Bolivia y Costa Rica. Se conformó un comité de seguimiento integrado por los responsables del proyecto, los coordinadores de los ejes, los coordinadores de las carreras, y los expertos europeos y canadiense que apoyaron la iniciativa. Según Burbano (2008, P. 29), al concluir la primera fase del Proyecto, se debe destacar como uno de los logros, un mayor acercamiento regional e interregional entre profesores, investigadores y administradores de universidades de trece países, quienes junto a expertos de asociaciones de universidades, gobiernos y agencias de investigación y acreditación, participaron en el análisis de competencias profesionales, créditos académicos, evaluación y acreditación, y formación para la innovación y la investigación en las profesiones o carreras predefinidas. Los avances en el eje de competencias han permitido un acercamiento común entre los participantes alrededor del tema, expresado en un marco de trabajo que facilita la comparación de los aprendizajes individuales y el reconocimiento de los perfiles de egreso en las profesiones o carreras seleccionadas; además, se han sentado bases para la construcción de un modelo para la educación y la evaluación de las competencias en América Latina. Similar a la metodología utilizada en Tuning, el Sistema de Créditos Académicos (SICA) es un medio que facilita la valoración y comparación de los resultados

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del aprendizaje en el contexto de distintos programas y entornos de estudio y está basado en el volumen total de trabajo que requiere el estudiante medio para lograr las competencias profesionales o los objetivos del aprendizaje en los distintos niveles de la educación superior. Para Restrepo (2008, p. 87), cuando los créditos están relacionados con competencias y resultados del aprendizaje, resultan más fáciles de comparar. Los créditos cuantificados en términos de resultados del aprendizaje adquieren una dimensión más precisa y expresan más claramente su “valor”. Los resultados del aprendizaje son formulaciones donde se detalla lo que el estudiante puede hacer una vez adquiridos los créditos. Según Pol y Ferreira (2008, p. 126), el crédito SICA permite comparar los programas de formación entre instituciones de un mismo país y entre los países de América Latina pero también de Europa ya que ha sido pensado en términos de compatibilidad con el sistema ECTS. Para recopilar la información relacionada con competencias, el proyecto 6x4 UEALC consultó a académicos, empleadores, alumnos y graduados. En el proyecto se consideran tres tipos de competencias: • Específicas: competencias propias de la profesión-carrera. • Transversales: competencias compartidas con la familia de la profesión-carrera. • Genéricas: competencias compartidas con todas las profesiones-carrera. Para describir las competencias profesionales se toma como referente fundamental el perfil de egreso actual de la profesión-carrera de la institución de enseñanza, considerando que para definirlo se llevó a cabo una consulta tanto en el campo académico como en el profesional. Posteriormente se describe las funciones típicas de la profesión en el país considerado, se identifica los problemas y situaciones que típicamente enfrenta el profesional en el ejercicio de estas funciones y se describen, en términos de competencias profesionales, las tareas necesarias para resolver estos problemas en forma adecuada. Es importante mencionar que el proyecto considera niveles de dominio de competencias. Cada competencia considerada tiene una escala que considera desde un nivel inicial de competencia hasta un nivel de desarrollo avanzado, como dado en la tabla abajo:

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Tabla 5. Niveles de dominio Competencias

Novato Desarrollo inicial

Experto Desarrollo avanzado

Competencia 1 Competencia 2 Competencia n

Para (Verdejo 2008, p. 166) en la descripción de las competencias es necesario especificar el grado de desarrollo deseado en los distintos niveles de formación con la finalidad de precisar los resultados esperados para cada programa de estudios. Esta información es la base para el diseño de los procesos de evaluación de forma que exista congruencia entre los instrumentos de evaluación y el nivel esperado de desarrollo de la competencia. También se considera importante revisar si las áreas curriculares actuales, en las instituciones consideradas, cubren todas las competencias descritas en el perfil: Tabla 6. Áreas de competencias Competencias Competencia 1

Área 1 x

Competencia 2 Competencia n

Área 2

….

Área N

x x

x

x

Como mencionamos anteriormente, para analizar las profesiones-carreras, el proyecto comparó los perfiles de egreso de los programas académicos de las instituciones participantes, expresados en competencias profesionales, para identificar un perfil común, cuantificar el trabajo de los estudiantes utilizando un sistema de créditos común, determinar elementos e indicadores para la evaluación y acreditación del programa, identificar las competencias específicas para desarrollar investigación e innovación y las estrategias para potenciarlas en los programas de los distintos niveles académicos (Pol y Ferreira 2008, p. 174). Un fruto del trabajo mencionado anteriormente es el Modelo para la Educación y Evaluación de Competencias (MECO), para la incorporación del enfoque de competencias como herramienta para favorecer el reconocimiento de cualificaciones y la movilidad académica. Las competencias genéricas encontradas en la descripción del perfil de egreso de las seis carreras son: dominio de los conocimientos de la profesión-carrera, metodología de la profesión-carrera, pensamiento crítico y habilidades de razona-

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miento, investigación, resolución de problemas e innovación, liderazgo y gestión, comunicación, trabajo colaborativo, ética profesional y responsabilidad social. Las sugerencias dadas por los distintos actores participantes de los grupos focales y los cuestionarios permitieron ampliar la lista con las competencias: habilidades de aprendizaje independiente y a lo largo de la vida, capacidad de autoevaluación, pensamiento global, habilidades de integración, administración del cambio, habilidades técnicas, habilidades tecnológicas, trabajo interdisciplinario para la resolución de problemas, conocimiento de las condiciones del contexto económico, político, ético y social para ubicar los límites de las soluciones propuestas. Acerca de las competencias en matemáticas, fueron consideradas tres énfasis: matemática pura, matemática aplicada y educación matemática (Trejos 2008, pp. 592-602). Matemática pura • investigación (competencia específica – competencia transversal) • enseñanza y docencia (competencia genérica) Matemática aplicada • modelación matemática (competencia específica) Matemática educativa • enseñanza y docencia (competencia genérica) • investigación en matemática educativa (competencia específica) • difusión de conocimiento en matemática educativa (competencia genérica) Para cada competencia se describen situaciones relacionadas con la competencia, acciones a tomar, contexto o condición de realización de cada situación y los criterios de ejecución de la acción. Considero que el formato utilizado por el proyecto 6x4 para describir las competencias, oculta competencias genéricas y específicas que son explícitas en el proyecto Tuning – América Latina.

5. Conclusiones Las universidades no pueden mantenerse ajenas a las profundas transformaciones políticas, sociales, económicas, científicas y tecnológicas que son requeridas por nuestras sociedades. Estas sociedades son bastante complejas y demandan de los individuos un amplio rango de competencias para que éstos puedan enfrentar con éxito los desafíos del mundo de hoy, y una competencia es más que conocimien-

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tos y destrezas pues involucra entre otras cosas, actitudes, valores, principios, capacidad para comunicar ideas, habilidad para seleccionar información y disposición para vivir con otros. Como se afirma en (OCDE, 2005, p. 5), los objetivos de una educación basada en competencias son el éxito para los individuos (empleo con ingresos aceptables, salud personal, seguridad, participación política), para la sociedad (solidaridad, formación de redes sociales, derechos humanos, equidad y sostenibilidad ecológica). La consideración del desarrollo de competencias como actividad de formación educativa es una importante actividad con implicaciones epistemológicas y didácticas que conducen a una transformación del proceso educativo y de su evaluación. Proyectos como DeSeCo, Tunning y 6x4 UEALC son importantes iniciativas en la búsqueda de la identificación de un número finito de competencias necesarias para una vida exitosa y para el buen funcionamiento de nuestras sociedades, válida en distintos contextos. La educación por competencias busca una educación de calidad y pretende ser un instrumento para reducir las desigualdades de oportunidades existentes en grupos de población, principalmente a los que pertenecen a culturas minoritarias o a grupos sociales vulnerables debido a su condición socioeconómica. Pero no se trata de importar teorías provenientes de otras latitudes. Es necesario que asumamos una actitud reflexiva y abierta para analizar las propuestas de los distintos proyectos y tomar lo que sea lo mejor para nosotros y para nuestra región. Esta es una iniciativa que nace en Europa y que se extiende por toda América Latina.

Referencias y bibliografía Beneitone P.; Esquetine C.; González J.; Maletá M.; Siufi G.; Wagenaar R., eds. (2007). Reflexiones y perspectivas de la Educación Superior en América Latina. Informe final – Proyecto Tunning – America Latina 2004-2007 España: Universidad de Deusto, Universidad de Groningen. Burbano. L. (2008). Relevancia del Proyecto 6x4 para América Latina. En Propuestas y acciones universitarias para la transformación de la educación superior en América Latina. Informe final del proyecto 6x4 UEALC. Bogotá, Asociación Colombiana de Universidades. Disponible en Internet: http://www.6x4uealc.org/site2008/indice.htm González, J. y Wagenaar, R., eds. (2003). Tuning Educational Structures in Europe. Informe Final. Fase 1. Bilbao, España: Universidad de Deusto.

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La importancia de las competencias en la educación superior

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ANEXO 1 Lista de competencias genéricas resultantes de la primera fase de tuning Competencias instrumentales: • Capacidad de análisis y síntesis. • Capacidad para organización y planeamiento. • Conocimiento general básico. • Conocimientos básicos de la profesión. • Comunicación oral y escrita en el idioma nativo. • Conocimiento de una segunda lengua. • Habilidades computacionales elementales. • Habilidades para manejar la información (recuperar y analizar la información de distintas fuentes). • Resolución de problemas. • Toma de decisión. Competencias interpersonales: • Habilidades críticas y autocríticas. • Trabajo en equipo. • Habilidades interpersonales. • Habilidad para trabajar en un equipo interdisciplinario. • Habilidad para comunicar con expertos de otros campos. • Apreciación de la diversidad y multiculturalidad. • Habilidad para trabajar en un contexto internacional. • Compromiso ético. Competencias sistémicas: • Capacidad para aplicar el conocimiento a la práctica. • Habilidades de investigación. • Capacidad para aprender. • Capacidad para adaptarse a nuevas situaciones. • Capacidad para generar nuevas ideas (creatividad). • Liderazgo. • Comprensión de culturas y costumbres de otros pueblos. • Habilidad para trabajar de forma autónoma. • Diseño y gestión de proyectos. • Iniciativa y espíritu emprendedor. • Preocupación por la calidad. • Voluntad de triunfar.

COMPETENCIAS MATEMÁTICAS EN LA ENSEÑANZA MEDIA Hugo Barrantes Campos Centro de Investigación de Matemáticas y Metamatemáticas Universidad de Costa Rica Escuela de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Estatal a Distancia [email protected] [email protected] Jose Alfredo Araya Vega Escuela de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Estatal a Distancia Centro de Investigación y Docencia en Educación, Universidad Nacional [email protected] Resumen En este trabajo se realiza una discusión sobre el concepto de competencia y, en particular, de competencia matemática. Se describen algunas competencias matemáticas que han sido propuestas para la enseñanza media. También se analizan algunas implicaciones de un enfoque por competencias. Finalmente, se analiza el programa de estudios de matemáticas del III ciclo de la Educación General Básica costarricense (grados 7-9), en cuanto a las competencias que pretende desarrollar en los estudiantes. Palabras clave Competencia, competencia matemática, currículum. Abstract In this work, a discussion is realized about the concept of competence and, particularly, of mathematical competence. Some mathematical competences that have been proposed for Secondary School (grades 7-9) are described. Also, some implications of the competences approach are analyzed. Finally, the mathematics study program for the III cycle of the Costa Rican General Basic Education is analyzed regarding the Students competences pretended to be developed. Key words Competence, Mathematical Competence, Curriculum.

Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 39-62. Costa Rica

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1. Introducción Las dificultades que se presentan en el aprendizaje de las matemáticas por parte de los estudiantes, particularmente de enseñanza media, tiene múltiples aristas y deben, por lo tanto, ser abordadas desde diversos ángulos. Pero antes de entrar en discusiones al respecto debemos preguntarnos ¿qué significa que un estudiante o cualquier otra persona tiene un mal rendimiento en matemáticas? Un estudiante que pasa el examen de bachillerato ¿tiene buen rendimiento en esta disciplina? Evidentemente, los resultados de una prueba, particularmente de cierto tipo de pruebas, no pueden decirnos mucho al respecto. Anualmente, la Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica realiza un examen denominado “Prueba de Diagnóstico en Matemática para estudiantes de primer ingreso”. Quienes presentan esta prueba son estudiantes que han ganado recientemente las pruebas nacionales y el temario y formato de ambas son muy parecidos. Sin embargo, el desempeño de estos estudiantes en el examen de diagnóstico son completamente desalentadores. Arce y Jiménez (2008) reportan que en el año 2008 el 62,5% de los estudiantes obtuvo un rendimiento inferior al 50% en dicha prueba. Lo anterior es solo un indicador, pero cabe, además, preguntarse ¿cómo se desempeñan estos estudiantes en otros ámbitos de la vida en los que las matemáticas pueden serles útiles o en cursos universitarios que requieran de algún tipo de destreza matemática? En los últimos años, el enfoque de competencias en el proceso educativo ha cobrado fuerza y, aunque no necesariamente resuelve todos los problemas en este ámbito, puede arrojar luz en cuanto a posibles soluciones. Buena parte de la literatura indica que el modelo denominado “educación por competencias”, tuvo su origen en Australia, Nueva Zelanda, Estados Unidos, Inglaterra y Canadá. En este modelo educativo se propone estrechar la distancia que separa la escuela de las necesidades sociales y el mundo laboral, de manera que una educación por competencias requería que la escuela formara de manera eficiente y exitosa desempeños laborales que le permitieran al futuro trabajador realizar de manera ética, eficiente y exitosa su ejercicio laboral y profesional. Actualmente el énfasis ha cambiado en el sentido de que no solamente importa la competencia en el campo laboral, sino también en todos los ámbitos personales y sociales de los individuos. De acuerdo con Rey (1999), uno de los puntos de referencia centrales de las concepciones actuales acerca del término competencia es el concepto de “competencia lingüística” de Noam Chomsky. Según el concepto de Chomsky, la competencia es una condición de potencialidad, una “capacidad para”, que determina la puesta en ejecución pero que es independiente de ella.

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2. Concepto de competencia En primer lugar analizaremos el sentido del término competencia. Aunque algunos elementos, en las definiciones dadas al término competencia, en diferentes momentos, son concordantes, no existe aún un acuerdo completo al respecto. Algunas de las definiciones dadas aluden explícitamente a lo laboral. Así, por ejemplo Guy Le Boterf dice que una competencia es el “saber actuar en un contexto de trabajo, combinando y movilizando los recursos necesarios para el logro de un resultado excelente y que es validado en una situación de trabajo” (Le Boterf, 2001). Por otra parte, el Consejo Federal de Cultura y Educación de Argentina, define competencia como: “un conjunto identificable y evaluable de conocimientos, actitudes, valores y habilidades relacionados entre sí que permiten desempeños satisfactorios en situaciones reales de trabajo, según estándares utilizados en el área ocupacional” (citado en Corvalán y Hawes, 2006, p. 6). Estas dos definiciones refieren las competencias al desempeño laboral del individuo; es decir, la competencia es algún tipo de capacidad que puede verse reflejada en el contexto de una situación de trabajo. Existen otras definiciones de carácter más abarcador. Tal es el caso de la que proporciona el Gobierno de la Provincia de Quebec que enfatiza aspectos cognitivos, psico-sociales e interpersonales; expresa que “una competencia es el conjunto de comportamientos socio-afectivos y habilidades cognoscitivas, psicológicas, sensoriales y motoras que permiten llevar a cabo adecuadamente un rol, una función, una actividad o una tarea” (citado en Corvalán y Hawes, 2006, p. 6). Perrenoud (1999) dice que es la “capacidad de actuar de manera eficaz en un tipo definido de situación, capacidad que se apoya en conocimientos, pero no se reduce a ellos” (p.7). Estas dos definiciones se salen de lo puramente laboral y consideran otras actividades, situaciones o tareas en general. Tienen en común, con las dos anteriores, la referencia a conocimientos y modos de comportamiento que pueden ser movilizados en la actuación eficaz ante algún tipo de tarea o actividad. También se ha definido las competencias desde el punto de vista educativo. Cullen (1997), dice que son “complejas capacidades integradas, en diversos grados, que la educación debe formar en los individuos para que puedan desempeñarse como sujetos responsables en diferentes situaciones y contextos de la vida social y personal, sabiendo ver, hacer, actuar y disfrutar convenientemente, evaluando

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alternativas, eligiendo las estrategias adecuadas y haciéndose cargo de las decisiones tomadas” (p. 93). El proyecto Tuning Europa las define como “una combinación dinámica de atributos, en relación a conocimientos, habilidades, actitudes y responsabilidades, que describen los resultados del aprendizaje de un programa educativo o lo que los alumnos son capaces de demostrar al final de un proceso educativo”. (Tuning, 2003, p. 80) En estas dos definiciones, además de mencionar las características de las competencias en la acción por parte del sujeto, se establece el papel que juega el proceso educativo en el desarrollo de tales competencias. Las diversas definiciones enuncian ciertos componentes esenciales del concepto de competencia. Por una parte, la posibilidad de movilizar el conocimiento; esto es, ante una situación o tarea dada, poder utilizar el conocimiento que se posee. Por otra parte, la posibilidad de integrar diversos conocimientos en aras de resolver un problema. El otro aspecto se refiere a la actuación en contexto, aquí se destaca la importancia de poder utilizar el conocimiento en una situación de contexto específico fuera del ámbito escolar. Finalmente el desarrollo de capacidades meta cognitivas que permitan el aprendizaje autónomo (Coll y Martín, 2006). En síntesis, consideraremos que una competencia es una capacidad que le permite al individuo actuar en contexto para realizar una actividad, función o tarea. Garagorri (2007) clasifica las competencias en dos tipos: 1) Generales, transversales o generativas: están caracterizadas por tener la potencialidad de engendrar una infinidad de conductas adecuadas respecto a una infinidad de situaciones nuevas. En el ámbito educativo son aquellas comunes a todas las áreas disciplinares. 2) Específicas o particulares: se aplican a una situación o familia de situaciones dentro de un contexto particular. Se refiere al saber hacer en una situación y contexto concreto. En el ámbito escolar son las que se relacionan con cada área temática. Eurydice, la red europea de información en educación, considera además algunas competencias como claves; al respecto expresa que A pesar de las diferentes concepciones e interpretaciones del término, la mayoría de los expertos parecen coincidir en que para que una competencia merezca el atributo de clave, fundamental, esencial o básica, debe ser necesaria y beneficiosa para cualquier individuo y para la sociedad en su conjunto. Debe permitir que un individuo se integre apropiadamente en un número de redes sociales, al tiempo que permanece

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independiente y personalmente eficaz tanto en situaciones que le son conocidas como en otras nuevas e imprevisibles. Finalmente, puesto que todas las situaciones están sujetas a cambios, una competencia clave debe permitir a las personas actualizar sus conocimientos y destrezas constantemente con el fin de mantenerse al corriente de los nuevos avances (Eyrydice, 2002, p. 14).

El concepto de competencia clave es fundamental en el campo educativo puesto que permite concentrarse en aquellas alrededor de las cuales girarán los diversos elementos del currículum. Por otra parte, al analizar las competencias, tanto genéricas, claves o particulares, deben considerarse tres categorías que se refieren a competencias cognitivas, procedimentales y actitudinales o interpersonales. Entre los rasgos que hacen de las competencias un concepto útil y que deben tenerse en cuenta desde el punto de vista educativo se pueden citar los siguientes: 1. Implican la movilización de los recursos personales tales como conocimientos, actitudes y otros, para desempeñarse con excelencia en la realización de una tarea. 2. Las competencias se dan a partir de la relación entre los procesos de aprendizaje y de desarrollo. 3. Al desarrollar una competencia se da un cambio personal integral. (Molina, 2006) 4. Tiene un carácter integrador puesto que incluye diversos elementos de manera integrada. Una competencia en algo implica el empleo coordinado de conceptos, procedimientos y actitudes. 5. Son transferibles y multifuncionales; esto es, se aplican en múltiples situaciones de tipo diverso (transferible) y se usan para conseguir varios objetivos (multifuncionales). Esta característica se aplica fundamentalmente a las competencias clave y generales. 6. Son dinámicas e ilimitadas. Cada individuo responde con niveles variables en una competencia específica a lo largo de su vida. 7. Son evaluables. Esto se refiere a que es posible verificar si una persona en particular posee determinada competencia. (Garagorri, 2007)

3. Competencias generales en la enseñanza media Se denota en todo lo anterior una tendencia a considerar las competencias como algo útil para el campo laboral. En ese sentido, en el campo educativo estarían particularmente referidas a la educación técnica y a la educación de nivel superior.

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Sin embargo, el concepto se puede aplicar a los diferentes niveles educativos. Se pueden establecer competencias generales que deben adquirir los estudiantes al concluir la enseñanza preescolar, primaria y media y, también, particularmente en este último caso, las competencias en cada una de las disciplinas particulares que se enseñan en este nivel. Las competencias generales del nivel medio de enseñanza deberán dirigirse al desarrollo integral del individuo como persona y como miembro de la sociedad, dentro del marco de la globalización y la inmersión en la sociedad del conocimiento. El tipo de competencia que se logre formar en este nivel reviste una gran importancia puesto que determina mucho del accionar futuro de la persona; tanto si sigue estudios superiores como si se suma al campo laboral una vez concluida la educación media. Entre estas competencias, que le permiten a los estudiantes construir las bases de su aprendizaje, podemos mencionar como clave la interpretación y comunicación apropiada de la información, la posibilidad de razonar de manera creativa y el resolver problemas. Estas competencias deben complementarse con algunas competencias más bien de tipo personal y social tales como la de trabajar en equipo, actuar éticamente, entre otras. En este sentido, OCDE/PISA (2006) establece que “existen asimismo una serie de habilidades generales de carácter muy amplio que es esencial que los alumnos desarrollen. Entre ellas se incluyen la comunicación, la adaptabilidad, la flexibilidad, la capacidad de solucionar problemas y la utilización de las tecnologías de la información (p. 10).

4. Algunos peligros en el uso de las competencias en educación Aunque el enfoque de competencias en la educación, en general, representa un serie de ventajas en cuanto al proceso de aprendizaje por parte de los estudiantes, en particular porque permite que este sea activo, algunos autores como Garagorri (2007) han señalado los siguientes riesgos en los que se puede caer con el uso de las competencias: 1. Reducir el currículo a las competencias específicas observables o medibles olvidando las transversales. 2. Hacer un planteamiento de currículo basado en competencias transversales sin ligazón con las competencias específicas y dando por supuesto su transferencia automática 3. Reducir el currículo a las competencias, olvidando las experiencias y los saberes que nos constituyen.

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4. Reducir el planteamiento del currículo basado en competencias a puro formalismo. Más que peligros del modelo de competencias, lo anterior se refiere a un uso inadecuado del mismo. Particularmente son problemas conceptuales y de criterio que deben evitarse.

5. Concepto de competencia matemática Marín y Guerrero (2005) y Rico (2005) subrayan la importancia de la noción de competencia dentro de las finalidades del currículo de matemáticas de secundaria. Por otra parte, de acuerdo con Puig (2008), “la competencia considerada en el ámbito de las matemáticas debe explicar y predecir el conjunto, potencialmente infinito, de las actuaciones del sujeto. Sin embargo, también se puede hablar de la competencia en un dominio más o menos concreto de las matemáticas, de manera que el modelo de competencia tiene que describir la conducta del sujeto ideal en ese dominio y, así, explicar y predecir su conjunto de actuaciones posibles en ese dominio” (p. 93). En ese sentido, Niss (2002) define primero lo que considera como competencia: “Poseer una competencia (ser competente) en algún dominio de la vida personal, profesional o social es dominar (a un nivel apropiado, módulo condiciones y circunstancias) aspectos esenciales de la vida en tal dominio” (p. 6). Luego establece que la competencia matemática: “Es la habilidad para entender, juzgar, hacer y usar las matemáticas en una variedad de contextos y situaciones intra y extra matemáticos en los que las matemáticas juega o puede jugar un papel” (Niss, 2002, p. 7). Por su parte, OCDE/PISA (2006) establece que la competencia matemática es “la capacidad que tiene un individuo de identificar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo, emitir juicios bien fundados y utilizar e implicarse en las matemáticas de una manera que satisfaga sus necesidades vitales como un ciudadano constructivo, comprometido y reflexivo. (p. 13). Posteriormente agrega: “el área de la competencia matemática definido por PISA hace referencia a la capacidad de los alumnos para analizar, razonar y comunicarse eficazmente cuando plantean, formulan, resuelven e interpretan problemas matemáticos en diversas situaciones. ( p.74). Aclara que el término “mundo” hace referencia al marco natural, social y cultural en que vive el individuo y explica que la “situación” es la parte del mundo del estudiante en la que se localizan las tareas que se le plantean.

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En ambos casos está implícito en la idea de competencia matemática la capacidad para plantear, formular, resolver, e interpretar problemas utilizando las matemáticas dentro de una variedad de situaciones y contextos, desde aquellos que son puramente matemáticos hasta los que no tienen una apariencia matemática. Esto refiere a dos aspectos muy importantes: la situación y el contexto. Según Proenza y Leiva (2006), se han considerado cuatro tipos de situación: personales, educativas o laborales, públicas y científicas y, también, dos tipos de contexto: intra-matemático y extra-matemático. Las situaciones personales son las que están relacionadas con la actividad diaria del alumno. Se refieren a la forma como el individuo percibe una tarea que le afecta de modo inmediato y cómo puede afrontarla matemáticamente. Las educativas o laborales, son aquellas situaciones que se encuentran de modo natural en la escuela o el lugar de trabajo. Las públicas son situaciones que requieren que los alumnos activen su comprensión, conocimiento y habilidades matemáticas para evaluar los aspectos de una situación externa con repercusiones importantes en la vida pública. Las científicas son situaciones más abstractas y pueden implicar la comprensión de un proceso tecnológico, una interpretación teórica o un problema específicamente matemático. Un contexto intra-matemático es aquel en el que la tarea específica a realizar se refiere solamente a objetos matemáticos tales como estructuras o símbolos; usualmente se da en situaciones de tipo científico o escolar. Mientras que un contexto extra-matemático incluye elementos externos que influyen en la interpretación y solución.

6. Competencias matemáticas en la enseñanza media Niss (2002) plantea ocho competencias matemáticas organizadas en dos “grupos”: competencias para preguntar y responder acerca de, dentro y por medio de las Matemáticas y competencias de comprensión y uso del lenguaje y los instrumentos matemáticos. El primer grupo se proporciona en la tabla 1.

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Tabla 1. Competencias para preguntar y responder acerca de, dentro y por medio de las matemáticas 1. Pensar matemáticamente (dominio plantear preguntas que son la característica de las Matemátide modos matemáticos de pensamien- cas, y saber las clases de respuestas (no necesariamente dar to), por ejemplo: las respuestas ellos mismos o decir cómo obtenerlas) que las Matemáticas pueden ofrecer; entender y manejar el alcance y limitaciones de un concepto dado. ampliar el alcance de un concepto abstrayendo algunas de sus propiedades; generalizar resultados a clases más amplias de objetos; distinguir entre clases diferentes de afirmaciones matemáticas (incluso aseveraciones condicionadas (‘si-entonces’), afirmaciones basadas en cuantificadores, asunciones, definiciones, teoremas, conjeturas, casos). 2. Plantear y solucionar problemas identificar, plantear, y especificar clases diferentes de matemáticos, por ejemplo: problemas matemáticos -puros o aplicados; sin límites determinados (abiertos) o cerrados; solucionar clases diferentes de problemas matemáticos (puros o aplicados, sin límites determinados o cerrados), ya sea planteados por otros o por uno, y, de ser apropiado, de modos diferentes. 3. Modelar matemáticamente (es de- analizar fundamentos y propiedades de modelos exiscir analizar y construir modelos), por tentes, incluyendo evaluación de su rango y validez ejemplo: descifrar modelos existentes, es decir traducir e interpretar elementos de modelos en términos de “realidad modelada”. realizar modelización activa en un contexto dado estructurar el campo matematizar funcionar con o dentro del modelo, incluyendo la solución de los problemas que provoca el modelo validar el modelo, interna y externamente analizar y criticar el modelo, en sí mismo y vis-à-vis alternativas posibles comunicar sobre el modelo y sus resultados monitorear y controlar el proceso de modelación completo. 4. Razonar matemáticamente, por hacer seguimiento y evaluación de cadenas de argumentos ejemplo: propuestos por otros saber lo que una prueba matemática es y no es, y cómo esto se diferencia de otras clases del razonamiento matemático, p.ej las heurísticas identificar y mostrar las ideas básicas en una argumentación dada (sobre todo una prueba), incluyendo distinguir líneas principales de detalles, ideas de detalles técnicos; idear argumentos matemáticos formales e informales, y transformar argumentos heurísticos en pruebas válidas.

Fuente: Niss (2002).

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El segundo grupo se proporciona en la tabla 2. Tabla 2. Competencias de comprensión y uso del lenguaje y los instrumentos matemáticos. 5. Representar entidades matemáticas (objetos y situaciones), por ejemplo

comprender y utilizar (descifrando, interpretando, distinguiendo entre) diversas clases de representaciones de objetos, de fenómenos y de situaciones matemáticos; entender y utilizar las relaciones entre diversas representaciones de la misma entidad, incluyendo saber sobre sus fuerzas y limitaciones relativas; elegir y cambiar entre representaciones.

6. Manipular símbolos matemáticos y formalismos, por ejemplo:

descifrar e interpretar lenguaje matemático simbólico y formal, y entender sus relaciones con el lenguaje natural; entender la naturaleza y las reglas de los sistemas matemáticos formales (sintaxis y semántica); traducir de lenguaje natural al lenguaje formal/ simbólico manejar y manipular afirmaciones y expresiones que contienen símbolos y fórmulas.

7. Comunicar dentro de, con, y sobre las Matemáticas, por ejemplo

entender los escritos, visuales o textos orales de otros, en una variedad de registros lingüísticos sobre las materias que tienen un contenido matemático; expresión propia sobre tales materias, en diversos niveles de precisión teórica y técnica, en forma oral, visual o escrita

8. Hacer uso de los soportes y de las herramientas (incluyendo TICs), por ejemplo

saber la existencia y las propiedades de varias herramientas y soportes para la actividad matemática, su gama y limitaciones; utilizar reflexivamente estos soportes y herramientas.

Fuente: Niss (2002).

Este enfoque ha tenido una influencia muy grande en el proyecto PISA de la OCDE (Organización para la Cooperación y el Desarrollo Económico), en particular en las pruebas que se realizaron en los años 2003 y 2006. De hecho, el marco teórico de estas pruebas, aunque enuncia una definición de competencia matemática algo distinta de la de Niss, adopta el listado propuesto por éste. Este es un punto de partida importante para orientar los currículos de la Educación Matemática con base en competencias. Sin embargo, desde luego, esto requiere una mayor reflexión y un análisis de la situación particular de cada entorno educativo que permita definir cuáles son, en realidad, las competencias matemáticas que se desea que adquieran los estudiantes.

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De hecho, Puig critica los enunciados muy generales para ciertas competencias que aparecen en el informe PISA; se refiere, particularmente, por ejemplo a “plantear y resolver problemas”. Propone la necesidad de un modelo de competencias proveniente de dos fuentes: una que examina al sujeto ideal y otra a los sujetos reales. En ese sentido indica que los elementos de la competencia no pueden ser simplemente una lista, sino que deben combinarse formando una estructura. Además, considera que “la oposición entre contenidos conceptuales y competencias en el terreno curricular es una falacia. Lo que es crucial es la concepción de la naturaleza de las matemáticas subyacente y las consecuencias que de ella se derivan” (Puig, 2008, p. 103) En síntesis, podemos considerar la lista de competencias matemáticas de Niss como un referente del cual partir, pero que debe ser analizado con el fin de dilucidar cuáles de esas competencias queremos para los estudiantes de nuestro sistema educativo, eventualmente cuáles otras que no están en esa lista, hasta qué nivel de competencia queremos que los estudiantes lleguen al finalizar la educación media o al finalizar cada ciclo de la educación general básica.

7. Implicaciones de un abordaje por competencias del proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas en la enseñanza media Abordar el proceso de enseñanza aprendizaje de las matemáticas mediante un modelo de competencias tendría una serie de implicaciones importantes en diferentes ámbitos. Entre ellas podemos mencionar las siguientes: El currículo. La fundamentación del currículo pasaría, en primer lugar, por un debate con la participación de múltiples actores, que permita establecer qué competencias generales y específicas de la disciplina se quiere lograr en los estudiantes al finalizar el proceso educativo de enseñanza media y, también, cuáles competencias y en qué medida deben obtenerse al final de cada ciclo. En este proceso debe tenerse en cuenta algunas componentes que deberían estar presentes en un currículo basado en competencias; entre ellas: • • •

La capacidad que debe adquirir el estudiante a través del proceso educativo de integrar los distintos tipos de conocimiento. La capacidad de poder transferir los aprendizajes a situaciones concretas. La necesidad de desarrollar en los estudiantes capacidades metacognitivas que le permitan seguir aprendiendo a lo largo de la vida.

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Planes y programas. Los planes y programas de estudio deberían enfatizar en la identificación de los desempeños que se espera de los estudiantes, considerados éstos como expresión de las competencias. Por otra parte, en el campo específico de las matemáticas, no sería útil hacer la separación tan tajante que se da actualmente entre diferentes áreas dentro de las mismas matemáticas. El currículo debería reflejar la estrecha relación que se da entre el álgebra, la geometría, etc. En el aula. La mediación pedagógica, el tipo de materiales y los métodos con los que se manejan los contenidos, tendrían que cumplir con características acordes con la adquisición de competencias por parte de los estudiantes. Perrenoud (2005) establece como una de las competencias del profesor la de organizar y animar situaciones de aprendizaje. Como competencias más específicas que llevan a esta competencia general propone: • Conocer, a través de una disciplina determinada, los contenidos que hay qu enseñar y su traducción en objetivos determinados. • Trabajar a partir de las representaciones de los alumnos. • Trabajar a partir de los errores y de los obstáculos de aprendizaje. • Construir y planificar dispositivos de secuencias didácticas. • Implicar a los alumnos en actividades de investigación, en proyectos de conocimiento. (p. 15) Estas capacidades del profesor, que se pondrían de manifiesto en el contexto del aula durante el desarrollo de la lección y las tareas asignadas, serían coadyuvantes importantes en la adquisición de competencias por parte de los estudiantes. En este sentido, en la lección de matemáticas, debería privilegiarse el uso de la resolución de problemas como estrategia didáctica. Este tipo de estrategia brindaría a los estudiantes la posibilidad de hacer conjeturas, verificar resultados, en fin, de hacer matemáticas y, por lo tanto, le permitiría el desarrollo de competencias matemáticas como las que propone Niss. Papel del alumno. A través de estrategias de aprendizaje apropiadas debe asignársele al estudiante un papel activo en el proceso educativo. Esto le permitiría la adquisición de conocimientos y la formación de sus capacidades. Desde luego, aquí también es fundamental el papel del profesor. Al respecto, una de las competencias del profesor que menciona Perrenoud (2005) es implicar a los alumnos en su aprendizaje y en su trabajo. Esto pasa por el fomento del interés por el aprendizaje en el estudiante, hacer explícita su relación con el conocimiento y desarrollar su capacidad de autoevaluación. También debería inducir al alumno a la realización de investigación matemática, el desarrollo de proyectos y trabajo colaborativo.

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La evaluación. Uno de los aspectos más complejos y que es objeto de mayor debate en el marco de las competencias es el de la evaluación. Sin embargo, hay consenso en cuanto a que la evaluación tradicional, al menos en el caso de matemáticas, no permite el desarrollo de competencias. Esto está ligado con el hecho de que la adquisición del conocimiento por sí sola no es suficiente para realizar un análisis apropiado de una situación o resolver problemas; se requiere también tener la disposición para usar las habilidades y estrategias así como el conocimiento de cuándo y cómo aplicarlas. Algunas condiciones a considerar de la evaluación por competencias son las siguientes: • •

Priorización de los criterios de evaluación y sus indicadores de logro. Realización de tareas en contexto de evaluación; esto implica la necesidad de un escenario o contexto que promueva los desempeños esperados según el grado y el área. • Comprender que las competencias aparecen entrelazadas; es decir, no existe una competencia pura, por ejemplo al resolver un problema matemático contextualizado, hay un enunciado lingüístico y procedimientos matemáticos. Formación del profesorado. Dado que los profesores deben poseer las competencias matemáticas de los estudiantes en un nivel superior y, también, otras competencias tanto de tipo matemático como no matemático, se haría necesario un cambio curricular en los programas de formación inicial de los profesores. También sería necesario establecer mecanismos de capacitación continua de los profesores en servicio. Tanto los planes de formación inicial como los de formación continua del profesor deben tener en cuenta cuáles serían las competencias que éste debe tener para realizar su labor de manera eficiente. Esto debe ser motivo de debate y reflexión para determinar aquellas que sean pertinentes en las circunstancias particulares de una región o país; sin embargo, algunas competencias han sido propuestas. Perrenoud (2005) ofrece una lista de diez competencias de referencia y para cada una de ellas menciona competencias específicas a tener en consideración para trabajar en formación continua. Estas diez competencias son: • •

•

Organizar y animar situaciones de aprendizaje. Las competencias específicas que incluye fueron mencionadas arriba. Gestionar la progresión de los aprendizajes. Entre otras, incluye: concebir y hacer frente a situaciones problema, adquirir una visión longitudinal de los objetivos de enseñanza y observar y evaluar a los alumnos en situaciones de aprendizaje según un enfoque formativo. Elaborar y hacer evolucionar dispositivos de diferenciación.

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• • • • •

• •

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Implicar a los alumnos en su aprendizaje y en su trabajo. Trabajar en equipo. Participar en la gestión de la institución. Informar e implicar a los padres. Utilizar las nuevas tecnologías. Esto implica, entre otros, explotar los potenciales didácticos de programas en relación con los objetivos de los dominios de enseñanza. Afrontar los deberes y dilemas éticos de la profesión. Organizar la propia formación continua. Para esto es necesario establecer un programa personal de formación, negociarlo, implicarse en tareas a nivel general de la enseñanza, etc.

En cuanto a las competencias en el campo de las matemáticas y su enseñanza en el nivel medio, Rico (2004) hace una propuesta, que nos parece apropiada, para la formación inicial del profesor de matemáticas (pp. 8-9): •

Dominio de los contenidos matemáticos de Educación Secundaria desde una perspectiva matemática superior y su conocimiento como objetos de enseñanza-aprendizaje. • Dominio de la organización curricular y planificación de estos contenidos matemáticos para su enseñanza. • Capacidad para el análisis, interpretación y evaluación de los conocimientos matemáticos de los alumnos a través de sus actuaciones y producciones matemáticas. • Capacidad de gestión del contenido matemático en el aula. También propone algunas competencias más específicas entre las que podemos señalar: • • •

Reconocer los tipos de razonamiento de los estudiantes, proponer tareas que los orienten, diagnosticar sus errores, y proponer los correspondientes procesos de intervención. Seleccionar y secuenciar actividades para el aprendizaje escolar; analizar los diversos problemas que surgen en situaciones de aprendizaje. Disponer de criterios, técnicas e instrumentos específicos para la evaluación del conocimiento matemático.

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8. Las competencias en el sistema educativo costarricense Los Programas de Estudio de Matemática del III Ciclo y de Educación Diversificada contienen los lineamientos del Ministerio de Educación Pública respecto a los derroteros de la educación matemática costarricense, por lo tanto, si se desea orientar los currículos de la Educación Matemática con base en competencias, se hace necesario un análisis de este entorno educativo que permita determinar cuál es la realidad de las competencias matemáticas que se desea desarrollar en los estudiantes de educación media. Anteriormente hemos presentado una perspectiva teórica de estas competencias matemáticas que se deben desarrollar en los estudiantes de educación media, pero ¿establecen los Programas de Estudio de Matemáticas, ya sea en forma explícita o implícita, las competencias a desarrollar mediante los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática en nuestro país? En los Programas de estudio se logran identificar cuatro grandes componentes, una primera denominada “La transversalidad en los programas de estudio”, luego encontramos las orientaciones y estrategias metodológicas y de evaluación; una tercera parte la constituye las características y objetivos de los programas de cada ciclo, para terminar con la concreción de lo anterior en las tablas de objetivos, contenidos procedimientos, valores y actitudes y aprendizajes por evaluar. Aunque el propósito es hacer una revisión de estos documentos desde una perspectiva de competencias matemáticas, es importante hablar sobre la primera parte, pues aunque es de carácter general presenta explícitamente un enfoque por competencias. En esta sección encontramos el concepto de qué se entenderá por competencias a través de todo el documento, a saber: Las Competencias se entienden como: “Un conjunto integrado de conocimientos, procedimientos, actitudes y valores, que permite un desempeño satisfactorio y autónomo ante situaciones concretas de la vida personal y social” (Comisión Nacional Ampliada de Transversalidad, 2002). Las mismas deben orientar los procesos educativos y el desarrollo mismo de la transversalidad. (MEP, 2005a, p. 2)

Puede observarse que se adopta, en mucho, la posición del Consejo Federal de Cultura y Educación de Argentina. A la definición anterior, se debe agregar la definición de competencia de transversalidad, que se hace pertinente dado el carácter general y transversal de esta sección, como se indicó anteriormente, al respecto se adopta la definición dada por Beatriz Castellos en el 2002: Aquellas que atraviesan e impregnan horizontal y verticalmente, todas las asignaturas del currículo y requieren para su desarrollo del aporte integra-

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do y coordinado de las diferentes disciplinas de estudio, así como de una acción pedagógica conjunta. Si se revisan los programas de estudio, se encontrarán explícitamente las competencias a desarrollar para cada uno de los temas transversales de éstos, así como una propuesta para el abordaje metodológico de la Transversalidad desde los Programas de Estudio y en el planeamiento didáctico, que en resumen dice: En este caso, se presenta como tarea para las y los docentes identificar -a partir de una lectura exhaustiva de los conocimientos previos del estudiantado, del contexto sociocultural, de los acontecimientos relevantes y actuales de la sociedad-, cuáles de los objetivos de los programas representan oportunidades para abordar la transversalidad y para el desarrollo de las competencias. (MEP, 2005a, p. 2)

Pese a su carácter general, lo anterior se describe como una evidencia de que el enfoque en competencias no es ajeno a los Programas de estudio para la educación media y esto nos posiciona para hacer un análisis de las secciones siguientes que son específicas para el área de matemáticas. Aunque de aquí en adelante, no encontraremos explícitamente el término competencias ni una referencia directa a su desarrollo en el estudiante de educación media, resultará interesante analizar algunas referencias implícitas a éstas. Los programas de estudio se estructuran, en torno a cuatro aprendizajes fundamentales según lo sugiere Jacques Delors, en su libro La Educación Encierra un Tesoro, a saber: aprender a conocer, aprender a hacer, aprender a vivir juntos y aprender a ser. Además, se instaura como meta una educación científica y tecnológica sin descuidar la perspectiva integral y humanista. Establecen que en la educación matemática en enseñanza media no sólo debe buscar la obtención de contenidos teóricos o culturales por parte del estudiante, sino que es esencial -y es importante destacar la similitud con el concepto de competencia que hemos adoptado- “fomentar las destrezas, habilidades y recursos mentales indispensables que debe tener el ciudadano del nuevo orden histórico en las nuevas condiciones” y se visualiza a la formación matemática como un mecanismo fundamental y necesario para el desarrollo de las capacidades superiores en el estudiante como: capacidades analíticas, lógicas, de síntesis y criticidad cognoscitivas, del razonamiento inductivo y la abstracción; claramente se está hablando de capacidades que le permitirán al joven un desempeño, el juego de un rol dentro del cual está la comprensión y resolución de situaciones de la vida cotidiana en la actualidad; se está entendiendo a la matemática como un medio para desarrollar en los jóvenes el pensamiento abstracto y riguroso y la independencia de criterio, para su realización plena. Todo lo anterior se afirma en diferentes puntos de los programas de estudio, en donde también se agrega:

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Las Matemáticas son un factor importante para la formación de valores porque: desarrolla la imaginación, la creatividad, el razonamiento, la criticidad, la capacidad de hacer estimaciones y también contribuye al aprecio por la naturaleza, a través de su aplicación en el arte, y propician el desarrollo de modelos matemáticos que contribuyen al desarrollo sustentable y sostenible de la naturaleza. (MEP, 2005a, p.12)

y continúa diciendo Propicia el desarrollo de la capacidad para realizar juicios críticos, valora las relaciones que se establecen entre los diferentes hechos, fenómenos y las Matemáticas, para construir su conocimiento, confrontar la información, los resultados y otros, con la realidad. (MEP, 2005a, p.13)

Con todo lo anterior, se comienza a fundamentar la idea de que aunque los programas de estudio, en sus orientaciones y estrategias metodológicas y de evaluación no explicita un enfoque por competencias, sí se logra identificar a través de todos sus enunciados una visión hacia el desarrollo de éstas. Esta idea se reafirma cuando se leen los fines fundamentales de los programas, que indican qué se espera de los estudiantes: 1. Aprendan a valorar las matemáticas. 2. Se sientan seguros de su capacidad para hacer matemáticas y confíen en su propio pensamiento matemático. 3. Lleguen a resolver problemas matemáticos. 4. Que aprendan a comunicarse mediante la matemática. 5. Aprendan a razonar matemáticamente. 6. Experimenten situaciones abundantes y variadas, relacionadas entre sí, que los lleven a valorar las tareas matemáticas, desarrollar hábitos mentales matemáticos, entender y apreciar el papel que las Matemáticas cumplen en los asuntos humanos. 7. Exploren y puedan predecir e incluso cometer errores y corregirlos de forma que ganen confianza en su propia capacidad de resolver problemas simples y complejos. 8. Puedan leer, escribir y debatir sobre las matemáticas y formular hipótesis, comprobarlas y elaborar argumentos sobre la validez de las hipótesis. 9. Se familiarice con una Matemática integrada en todas sus áreas. 10. Tengan experiencias variadas en relación con la evolución cultural, histórica y científica de las matemáticas, de forma que puedan apreciar el papel que cumplen las matemáticas en el desarrollo de nuestra sociedad y el impacto que tienen en la cultura y la vida diaria. 11. Exploren las relaciones existentes entre las matemáticas y las disciplinas con las que interactúan.

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Puede observarse que la mayoría se refieren a capacidades dirigidas al desarrollo integral del individuo como persona y como parte integral de la sociedad, en el contexto de globalización. Un análisis pormenorizado nos lleva a encontrar coherencias con el concepto de competencias matemáticas, en particular la esbozada por Niss, pues describen habilidades que le permitirán al alumno “entender, juzgar, hacer y usar las matemáticas en una variedad de contextos y situaciones intra y extra matemáticos en los que las matemáticas juega o puede jugar un papel” y muy bien complementado con el concepto de OCDE/PISA (2006), en cuanto a que en los fines se encuentran implícitas capacidades que le permitirán al estudiante “identificar y comprender el papel que desempeñan las matemáticas en el mundo”. Aspecto importante a señalar en los programas de estudios es que se plantea la resolución de problemas como estrategia didáctica privilegiada para llevar al logro de los fines descritos, ya que con ello se estimula en el estudiante procedimientos de observación, comparación, análisis, deducción, etc., para lograr no solamente la adquisición de contenidos, sino el desarrollo de estructuras de pensamiento. Los programas de estudio centran el logro de los fines propuestos en el desarrollo de habilidades mentales, el desarrollo de estas habilidades debe ser el hilo conductor de la labor docente. El conocer las habilidades mentales propuestas y su concepción lleva a establecer la conexión entre los fundamentos de los programas de estudios y las concepciones de competencias que se han citado, estas habilidades son: 1. Identificación: estará preparado para reconocer una realidad tomando como base sus características, ya sea en forma real o sobrentendida. 2. Diferenciación: Si se reconoce un concepto o una situación por las características que este presenta, pero se diferencian aquellas que son esenciales de las irrelevantes. 3. Representación mental: interiorizar las características de un objeto o de una situación ya sea concreta o abstracta y se representan los rasgos esenciales que permiten definir el concepto o la situación como tal. 4. Transformación mental: modificar o combinar características de uno o varios objetos para producir representaciones de un grado mayor de abstracción o complejidad. 5. Comparación: establecer relaciones entre parejas de características de objetos o situaciones, de tal forma que se establezcan semejanzas y diferencias. 6. Clasificación: se agrupan elementos de acuerdo con atributos definitorios, a partir de categorías, se está clasificando. Se puede agrupar con base en categorías denominadas clases o con base en el establecimiento de categorías conceptuales. 7. Codificación: establece símbolos o interpreta símbolos que permiten la ampliación a los términos, evitando la ambigüedad aunque se aumente la abstracción, se

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denomina codificación. 8. Decodificación: capacidad para decidir cómo traducir las instrucciones verbales a actos motores, y descifrar algún mensaje o símbolo. Se interpretan símbolos para dar amplitud a los términos y símbolos a medida que aumenta la abstracción. 9. Proyección de relaciones virtuales: consiste en percibir estímulos externos en forma de unidades organizadas que luego se proyectan ante estímulos semejantes. Se proyectan imágenes haciéndolas ocupar un lugar en el espacio. 10. Análisis: implica la separación de un todo en sus partes, conservando sus cualidades, funciones, usos, relaciones, estructuras y operaciones. 11. Síntesis: percibir la realidad a través de un proceso, integrar para formar un todo significativo. 12. Inferencia lógica: se realizan deducciones y se crean nuevas informaciones a partir de los datos percibidos. 13. Razonamiento analógico: establecer o analizar relaciones de orden superior entre diferentes elementos, conceptos, hechos o situaciones pertenecientes a uno o más conjuntos. 14. Razonamiento hipotético: capacidad mental para realizar inferencias y predicciones de hechos a partir de los ya conocidos y de las leyes que los relacionan. 15. Razonamiento transitivo: capacidad de ordenar, comparar y transcribir una relación hasta llegar a establecer una conclusión. 16. Razonamiento silogístico: operación mental que permite llegar a conclusiones a través de la proyección e interpretación de relaciones entre dos premisas. 17. Pensamiento divergente: establecer nuevos parámetros a través de los cuales se pueden detectar diferencias entre similares. 18. Conceptualización: se agrupa objetos, eventos o situaciones con características comunes o esenciales, denominadas propiedades definitorias. Una revisión minuciosa de estas habilidades nos permitiría hacer una relación directa con las competencias propuestas por NISS: Tabla 3. Competencias y habilidades mentales Competencias para preguntar y responder acerca de, dentro y por medio de las matemáticas Competencia

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Habilidad mental

1. Pensar matemáticamente (dominio de modos matemá- Análisis ticos de pensamiento) Síntesis Pensamiento divergente 2. Plantear y solucionar problemas matemáticos 3. Modelar matemáticamente (es decir analizar y cons- Transformación mental truir modelos) Representación mental Clasificación

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4. Razonar matemáticamente

Inferencia lógica Razonamiento analógico Razonamiento hipotético Razonamiento transitivo Razonamiento silogístico

Competencias de comprensión y uso del lenguaje y los instrumentos matemáticos. 5. Representar entidades matemáticas (objetos y situa- Identificar ciones) Diferenciación Comparación 6. Manipular símbolos matemáticos y formalismos

Codificación Decodificación

7. Comunicar dentro de, con, y sobre las Matemáticas

Proyección de relaciones virtuales

8. Hacer uso de los soportes y de las herramientas (incluyendo TICs)

Como se indicó, la competencia dos es el hilo conductor para llevar al logro de los fines y en los programas se presenta todo un apartado con las recomendaciones metodológicas de cómo utilizar resolución de problemas como estrategia metodológica para la enseñanza, incluyendo características de los problemas, estrategias de solución y tipos de problemas. Acerca de la competencia ocho, se presenta en los programas de estudio un apartado completo en donde se deja patente que ante el exceso de información se debe ofrecer al estudiante elementos sobre cuál ha sido el proceso de creación y desarrollo del conocimiento, la ciencia y la tecnología. Aunque se enfatiza en el uso de la calculadora, su visión de que ésta permite clarificar, acentuar y profundizar el concepto, es decir, obtener información de mayor valor cognoscitivo, es extensible a una concepción generalizada sobre tecnologías de información y comunicación. Respecto a valores y actitudes, los programas de estudio son claros en el rol que debe jugar el desarrollo del pensamiento y la formación matemática, en la formación integral del joven, textualmente dice: Si la educación de los adolescentes se caracteriza por ser integral, entonces la formación de su personalidad, de su carácter, de su conciencia humanista y de su convivencia social en una cultura para la paz y la democracia, y su valoración subjetiva respecto de lo que se le enseña, del modo en que se le enseña y de quien se lo enseña (actitudes), deben ir en forma paralela al desarrollo del pensamiento y su formación matemática. (MEP, 2005b, p.54)

Las actitudes son vistas no solo como algo que debe desarrollarse en el alumno, sino como vehículo que interviene decisivamente en la adquisición del conocimiento, ya que actitudes como el interés, la perseverancia, la curiosidad, la

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búsqueda de la verdad, entre otras, son factores que favorecen el aprendizaje. Por lo que los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática se apoyan en los valores y actitudes de los estudiantes pero a la vez se fomenta su formación porque en ellos se desarrolla la imaginación, la creatividad, el razonamiento, la criticidad, entre otras. Otro elemento importante de destacar en los programas de estudio que permite visualizar una relación directa con competencias matemáticas es el considerar que el desarrollo de estructuras conceptuales constituye un proceso a largo plazo; las estructuras conceptuales se desarrollan, elaboran, profundizan y se van haciendo más completas con el paso del tiempo, guardando esto último gran similitud con el concepto de desarrollo gradual de las competencias, donde los autores hablas de niveles de logro o de desarrollo de las competencias. En el III Ciclo de la Enseñanza General Básica y Educación Diversificada se establecen objetivos generales que están relacionados con los fines de la enseñanza de la matemática descritos anteriormente y que permiten identificar en ellos conceptos como: capacidad de abstracción, procedimientos y principios matemáticos, lenguaje matemático, pensamiento lógico, análisis y la resolución de situaciones problemáticas, razonamiento lógico, divergente y analógico, el pensamiento deductivo e inductivo y los procesos de análisis y síntesis; y construcción y reconstrucción de modelos matemáticos que como se ha dicho reiteradamente están estrechamente relacionados con el desarrollo de competencias matemática. Finalmente, la última parte constitutiva de los programas de estudio es una tabla cuyos componentes son: Objetivos

Contenidos

Procedimientos

Valores y actitudes

Aprendizajes por evaluar

Una breve descripción de los componentes es la siguiente: •

Los objetivos representan los productos de aprendizajes que debe lograr el estudiante.

•

Los contenidos constituyen el conocimiento básico del aprendizaje, en términos de teorías, conceptos, hechos, modelos, sucesos y datos aportados por las distintas disciplinas del saber. Los procedimientos se refieren a procesos cognoscitivos que debe llevar a cabo el estudiante, de acuerdo con el nivel cognoscitivo del objetivo de aprendizaje.

•

Los valores y actitudes permiten el desarrollo afectivo de los estudiantes, mediante la construcción de las habilidades morales.

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•

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Los aprendizajes por evaluar describen aquello de lo que debe ser capaz un alumno para demostrar que ha logrado un objetivo de aprendizaje propuesto.

Todos estos componentes, guardan relación con todo lo descrito anteriormente, los objetivos mantienen una perspectiva de desarrollo de habilidades, destrezas y procedimientos, según se ha puntualizado y guardan coherencia horizontal con los procedimientos. Los contenidos se constituyen en un listado, que en una adecuada concepción, deben ser concebidos como el vehículo para el logro de los objetivos. En cuanto a valores y actitudes, el contenido de la columna reflejan los fundamentos dados para esta componente y finalmente, Sobre aprendizajes por evaluar, son una sustantivación del objetivo por lo que su significado es el mismo que los objetivos. Todo el análisis realizado permite concluir que los programas de estudio de la educación media, aunque en su mayoría no lo citan como tales, describen con mucho detalle las competencias generales y matemáticas que se requiere desarrollar en los adolescentes, y cubren todos los rangos de competencias matemáticas que diferentes autores han citado. Un aspecto que sí debe citarse es que no existe garantía ni controles para indicar que lo que se realiza en las aulas sea coherente con lo que se enuncia en los programas.

9. Conclusiones La introducción de la discusión de las competencias en el debate relativo al currículo tiene la virtud de avanzar desde la concepción de la sola relación enseñanzaaprendizaje hacia un abordaje más integral, en el que se tome en consideración diversos aspectos tales como el entorno de acción, los aspectos individual y social en el que se desenvuelve el individuo. Aunque no hay consenso sobre el concepto de competencia, sí existen algunos elementos (Le Boterf, 2001; Molina, 2006; Molina, 2005) que deben estar abarcados por él; podemos mencionar los siguientes: • • •

Las competencias movilizan e integran conocimientos, habilidades y actitudes, aunque ellas en sí mismas no corresponden a ninguno de ellos. La movilización de recursos solo es pertinente en situación. La acción producto de una competencia requiere de operaciones mentales complejas que permiten determinar y realizar esa acción adaptada a una si-

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tuación particular. • Las competencias se crean en el proceso formativo, pero también se desarrollan y se pueden crear otras a través de las circunstancias en las que se desenvuelve el individuo. Estos elementos determinan que, al menos en el plano específico de las matemáticas, un abordaje por competencias conllevaría que la persona se pueda encontrar más capacitada para analizar lo que el entorno le ofrece, puede decidir con mayores elementos de juicio entre diferentes alternativas y, en general, sea más crítica. Por otra parte, un enfoque por competencias en la enseñanza media requeriría tomar en consideración diversos elementos como la fundamentación del currículo, los planes y programas de estudio específicos, el desarrollo de la lección y las tareas asignadas, la evaluación y la formación inicial y continua del profesorado. Todo esto requeriría de un debate previo con la participación de diversos actores, que permitiera establecer las competencias tanto generales como específicas de cada asignatura que se desea lograr en los estudiantes. En el caso particular de la enseñanza media costarricense, de acuerdo con el análisis realizado, se concluye que se tiene en mente que los estudiantes adquieran ciertas competencias tanto generales como matemáticas acorde con aquellas que diferentes autores han citado. Sin embargo, este es solo un aspecto entre muchos puesto que podemos preguntarnos, entre otras cosas: ¿hay condiciones apropiadas para llevar a cabo las diversas labores requeridas para que los estudiantes adquieran esas competencias?, ¿están formados los profesores para asumir un enfoque por competencias de manera apropiada?

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EN BÚSQUEDA DE LAS COMPETENCIAS TECNOLÓGICAS EN LA FORMACIÓN DE FORMADORES EN MATEMÁTICAS Yuri Morales López Escuela de Matemática Universidad Nacional Costa Rica [email protected] Resumen En este artículo se pretende un acercamiento hacia cuáles deben ser las competencias tecnológicas que deben estar presentes en los currículos de los futuros docentes en matemática. Para esto, se analizan distintas propuestas, tanto nacionales e internacionales, sobre lo que significa la tecnología en nuestra realidad y, con base en esto, se pretende ofrecer al lector una panorámica global sobre este tipo de competencias. Palabras clave Competencias tecnológicas, enseñanza, aprendizaje, matemática, currículo, formación de docentes. Abstract This article seeks a rapprochement towards what should be the technological competencies that must be present in the curriculum of future teachers in Mathematics. To do this, it analyzes different proposals, both local and international, about the implications of technology in our reality and, based on this, it is intended to provide the reader with an overview on such competencies. Key words Technological Competencies, Teaching, Learning, Mathematics Curriculum, Teacher Training.

Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 63-80. Costa Rica

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1. Introducción La realidad nacional e internacional muestra que el impacto de la tecnología es cada vez mayor en todos los sectores de la sociedad. Estos sectores, a su vez, urgen de profesionales capacitados en el uso de la tecnología como una herramienta para potenciar sus habilidades y así ofrecer mayores aportes en sus labores. En este sentido, Costa Rica es un país que puede ofrecer al mundo profesionales de este calibre, siempre y cuando las políticas de inversión en educación, investigación y tecnología estén acordes con las necesidades en equipo y de profesionales capacitados. Asimismo, no sólo se trata de una inversión económica en estas áreas prioritarias, sino que se trata de una gestión equilibrada entre las posibilidades que ofrece nuestra economía y un replanteamiento de lo que se desea como país. En el sector educación, las políticas deben dirigirse a inversión en infraestructura, equipo, becas, entre otros, y al mismo tiempo, políticas sensatas de inversión en investigación educativa e innovación tecnológica. En este momento, parece claro que poseer tecnología no significa saber cómo utilizarla y, cada vez, más académicos parecen encontrar en ésta una esperanza de dotar de mayor calidad a todos los sectores de la educación. Lo que aún no parece estar claro es que para aprovechar esos recursos se deben plantear estrategias para conocer cómo incorporarlas al currículo nacional, cuál es el impacto que éstas pueden tener y, además, cuál es el papel de los profesionales especializados en la incorporación de la tecnología en el sector educativo; a criterio del autor, uno de los retos es, también, asimilar que el mayor nicho para generar un cambio en todos los sectores de la educación costarricense es el lugar donde son formados los docentes: las universidades. Las problemáticas relacionadas con este tema se ven reflejadas, por ejemplo, en estudios como el I Informe del Estado de la Educación Costarricense (2005) donde se afirmó que, desde un punto de vista institucional, uno de los problemas involucrados en las posibilidades de los jóvenes por permanecer en secundaria es la escasez en los logros en la formación de formadores. Indiscutiblemente, la enseñanza de la matemática en secundaria no escapa a estas situaciones; en el ámbito nacional, han surgido investigaciones relacionadas con la formación de docentes en esta área; por ejemplo, Chaves (2003) trabajó sobre la percepción de los actores y determinó, entre otras, la siguiente problemática: el empleo de herramientas tecnológicas (en la formación de formadores) no juega un papel preponderante; a su vez, este autor señala que un programa que obvie el impacto tecnológico en la sociedad “corre el riesgo de quedarse rezagado y sus egresados tendrán serios problemas para incorporarse exitosamente a una sociedad

En búsqueda de las competencias tecnológicas en la formación de formadores en matemáticas

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demandante de conocimiento tecnológico” (Chaves, 2003, p. 102). Autores como Barrantes (2003) sugieren que las universidades deben revisar sus planes de estudio en la formación de formadores y adecuarlos a los nuevos requerimientos acorde con lo que se espera de esta disciplina en la enseñanza media. De lo anterior se desprenden dos preguntas fundamentales: ¿cuál es el cambio necesario dentro del quehacer en la formación de formadores de matemáticas? Y, ¿qué papel juega la tecnología en este nuevo orden? Una pista podría encontrarse en lo que afirmó Ruiz en el 2001: “En matemáticas, para dar un ejemplo, las nuevas tecnologías permiten reorganizar el currículum debilitando énfasis calculatorios y promoviendo los aspectos conceptuales, las aplicaciones, las interrelaciones con otras áreas científicas o tecnológicas, etc.” (pp. 142-143). Esto, en sí, puede puntualizar el hito a seguir: el currículum. Las tendencias a nivel internacional actualmente apoyan esta posición; la necesidad de homogenizar criterios en lo que respecta a la calidad de la educación y las oportunidades de los futuros profesionales se ha visto traducida en programas específicos como: El proyecto Tuning (2001) para Europa y Tuning para América Latina (2004), el Programa para la Evaluación de Alumnos de la OECD (PISA, 2006), entre otros. Estos se han convertido en algo más que una serie de programas; en el ámbito internacional, hoy son aceptados como una metodología mediante la cual, la educación sea comparable, y aún más relevante, se dirijan esfuerzos para alcanzar los mejores estándares en la calidad de la educación. Es en este sentido que la tendencia apunta a una reorganización curricular basada en las competencias. Retomando lo anterior, en este trabajo se pretende esclarecer cuáles pueden ser las competencias tecnológicas que deben estar presentes en los currículos de los futuros docentes en matemática. Para esto, se analizan distintas propuestas, nacionales e internacionales sobre lo que representa la tecnología en nuestra realidad y, con base en esto, se pretende ofrecer al lector una panorámica global sobre este tipo de competencias.

2. Competencias tecnológicas para la educación matemática

2.1 ¿Qué se entiende por competencia? Existe una amplia literatura donde se ha tratado de definir lo que significa una competencia; López y Flores (2006) mencionan como un ejemplo que existen

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Yuri Morales López

autores que han presentado hasta veinte definiciones distintas para lo que se puede entender por una competencia; en general, éstas hacen mención a conceptos como conocimientos, aplicación, destrezas, actitudes y aspectos de la vida. Otra fuente es el informe de Tuning para América Latina (2004-2007) donde se mencionan las competencias que los portadores de un título deben ser capaces de alcanzar. En este sentido, las competencias pueden ser caracterizadas porque se pueden adquirir mediante un proceso (y son susceptibles a desarrollarse) y están relacionadas con las capacidades; no se está predefinido para poder desarrollar una competencia y no se trata, solamente, de lo que un individuo puede hacer en un trabajo específico. En este mismo informe se definen las competencias como “una combinación de atributos respecto al conocer y comprender (conocimiento teórico de un campo académico); el saber cómo actuar (la aplicación práctica y operativa a base del conocimiento); y al saber cómo ser (valores como parte integrante de la forma de percibir a los otros y vivir en un contexto” (Tuning para AL, 2007, p.25). Como se desprende de la definición anterior, una competencia no significa que todo deba ser valorado como una habilidad, sino que, también están en juego factores como los conocimientos o saberes y la sociedad. Tal vez, estas últimas consideraciones son más cercanas al concepto que expresa el Proyecto Tuning para Europa: “las competencias representan una combinación dinámica de conocimiento, comprensión, capacidades y habilidades” (González y Wagenaar, eds, 2006, p. 37). Dado esto, también se puede mencionar que, comúnmente, se definen dos tipos de competencias: competencias generales las cuales son competencias presentes en todos los cursos y en todas las titulaciones (se definieron 27 competencias genéricas para América Latina ver la Tabla 1); concretamente son competencias que todo profesional debe poseer; por otro lado, las competencias específicas, las cuales se reflejan en un programa específico (la Tabla 2 muestra las 23 competencias específicas para el área de la Matemática).

Tabla 1. 27 competencias genéricas de Tuning para América Latina. 1) Capacidad de abstracción, análisis y síntesis 2) Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica. 3) Capacidad para organizar y planificar el 4) Conocimientos sobre el área de estudio y la tiempo. profesión. 5) Responsabilidad social y compromiso ciu- 6) Capacidad de comunicación oral y escrita. dadano.

En búsqueda de las competencias tecnológicas en la formación de formadores en matemáticas

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7) Capacidad de comunicación en un segundo 8) Habilidades en el uso de las tecnologías de la idioma. información y de la comunicación. 9) Capacidad de investigación.

10) Capacidad de aprender y actualizarse permanentemente.

11) Habilidades para buscar, procesar y analizar 12) Capacidad crítica y autocrítica. información procedente de fuentes diversas 13) Capacidad para actuar en nuevas situacio- 14) Capacidad creativa. nes. 15) Capacidad para identificar, plantear y resol- 16) Capacidad para tomar decisiones. ver problemas. 17) Capacidad de trabajo en equipo.

18) Habilidades interpersonales.

19) Capacidad de motivar y conducir hacia me- 20) Compromiso con la preservación del metas comunes. dio ambiente. 21) Compromiso con su medio socio-cultural.

22) Valoración y respeto por la diversidad y multiculturalidad.

23) Habilidad para trabajar en contextos inter- 24) Habilidad para trabajar en forma autónonacionales. ma. 25) Capacidad para formular y gestionar pro- 26) Compromiso ético. yectos. 27) Compromiso con la calidad.

Fuente: Extraído de Tuning para AL, 2007, pp.44-45.

Tabla 2. 23 competencias específicas para el área de Matemática según Tuning para América Latina. 1. Dominio de los conceptos básicos de la ma- 2. Capacidad para construir y desarrollar artemática superior. gumentaciones lógicas, con una identificación clara de hipótesis y conclusiones. 3. Capacidad para expresarse correctamente, 4. Capacidad de abstracción, incluido el desautilizando el lenguaje de la Matemática. rrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas. 5. Capacidad para formular problemas en len- 6. Conocimiento de la evolución histórica de guaje matemático, de forma tal que se faciliten los conceptos fundamentales de la matemática. su análisis y su solución. 7. Capacidad para iniciar investigaciones mate- 8. Capacidad para formular problemas de opmáticas, bajo la orientación de expertos. timización, tomar decisiones e interpretar las soluciones en los contextos originales de los problemas. 9. Capacidad para contribuir en la construcción 10. Capacidad para utilizar las herramientas de modelos matemáticos, a partir de situacio- computacionales de cálculo numérico y simbónes reales. lico para plantear y resolver problemas. 11. Destreza en razonamientos cuantitativos.

12. Capacidad para comprender problemas y abstraer lo esencial de ellos.

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13. Capacidad para extraer información cuali- 14. Disposición para enfrentarse a nuevos protativa de datos cuantitativos. blemas en distintas áreas. 15. Capacidad para trabajar con datos experi- 16. Capacidad para comunicarse con otros promentales y contribuir a su análisis fesionales no matemáticos y brindarles asesoría en la aplicación de las matemáticas en sus respectivas áreas de trabajo. 17. Capacidad para trabajar en equipos inter- 18. Capacidad para presentar los razonamiendisciplinarios. tos matemáticos y sus conclusiones, con claridad y precisión y de forma apropiada para la audiencia a la que van dirigidos, tanto oralmente como por escrito. 19. Conocimiento básico del proceso de ense- 20. Dominio de la matemática elemental, es ñanza-aprendizaje de las matemáticas. decir, la que se debe incluir en a enseñanza preuniversitaria. 21. Capacidad de participar en la elaboración 22. Capacidad para detectar inconsistencias. de los programas de formación matemática en los niveles preuniversitarios 23. Conocimiento del Inglés para leer, escribir y exponer documentos en inglés, así como comunicarse con otros especialistas.

Fuente: Extraído de Tuning para AL, 2007, pp.241-242.

En el próximo apartado se rastreará, específicamente, la habilidad en el uso de las tecnologías de la información y de la comunicación, y los resultados obtenidos en Tuning para América Latina respecto a los académicos, graduados, estudiantes y empleadores. Por otro lado, aunque se desea, en este trabajo no es posible profundizar en las distintas concepciones sobre los currículos basados en competencias y todas sus relaciones con áreas específicas; por esta razón, en los próximos apartados nos enfocaremos en las competencias tecnológicas en el área de la Enseñanza de la Matemática. (Para profundizar en el concepto de las competencias y competencias específicas en Matemática, ver Puig (2008), OECD (2003), Proyecto 6X4 (2008)) 2.2 Sobre las distintas competencias tecnológicas en la Educación Matemática Como se mencionó anteriormente, una de las competencias generales definidas en Tuning para América Latina es la habilidad en el uso de las tecnologías de la información y de la comunicación; en los resultados obtenidos en la investigación relacionada a Tuning se determinó que tanto en los grupos de estudiantes y graduados, así como el grupo de los empleadores consideraron que esta competencia es una de las más importantes y de las que presenta mayor distancia con los logros alcanzados; solamente el grupo de los académicos consideraron que (siendo importante esta competencia) su distancia con los logros no es alta. Es decir, el grupo de los académicos es el único que considera que la incorporación

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de la tecnología en la educación ha sido satisfactoria. Lo anterior es una buena señal para especular que la percepción de lo que el universitario académico considera que se logra en el aula con el uso de la tecnología no es compartida por los otros sectores. ¿Es esto un indicador de que no se ha sistematizado el proceso de la incorporación de la tecnología en las aulas universitarias, ni en la formación de docentes, mediante herramientas de investigación? Esta hipótesis, también, puede estar marcando una escasa madurez en el sector de la educación superior respecto al uso de la tecnología como herramienta; igualmente, queda pendiente reflexionar sobre cuál es el impacto de esta percepción en la calidad de la educación. Lo anterior también puede indicar que algunos estudiantes están adquiriendo ciertas competencias y destrezas en ambientes computacionales lúdicos – massively multiplayer online role-playing game (MMORPG) como Lineage 2, World of Warcraft y Sims – y en ambientes relacionados con comunidades virtuales, como HI-5, FaceBook y Myspace, que parecen ser de interés para los empleadores y que la academia parece no aceptar como validas. De esta manera, muchos empleadores podrían desear que su personal tenga destrezas y conozca cómo desenvolverse en ambientes virtuales, que conozca cómo interactuar con otros y, lo más importante, que sea productivo inclusive, on line. En este sentido, el Programa para la Evaluación Internacional de Alumnos (PISA, 2006) es más abierto respecto al tema de competencias tecnológicas en áreas específicas; por ejemplo, se menciona el uso de la tecnología como una habilidad general y profundiza en un instrumento especializado que incluye emplazamiento, desenvoltura y actitudes; además, se realizan estudios relacionados con el momento para aprender a utilizar la tecnología computacional (Ver OECD, 2005). Tomando en cuenta estos resultados, a continuación se analizan algunas posiciones respecto a estas competencias en la carrera de Enseñanza de la Matemática tratando de construir, simultáneamente, una percepción coherente con las necesidades en la educación superior en Costa Rica. En primera instancia, Quintanilla (2000) definió las siguientes competencias tecnológicas respecto a los docentes en formación: el conocimiento y utilización de los equipos informáticos estándar; conocimiento y uso funcional y creativo de los programas informáticos instrumentales estándar y de páginas Web de referencia; de tratamiento de la información: búsqueda, adquisición y procesamiento. En este caso, es necesario señalar que en la propuesta de Quintanilla (2000) no se incluye explícitamente competencias relacionadas con CSCL (Computer Supported Collaborative Learning). Esta última es relevante, pues existen estudios como Ruiz, Jorrín y Villagrá (2007) donde demostraron mediante una serie de análisis comparativos que los estudiantes no solamente pueden construir competencias sobre aprendizaje colaborativo, sino que, además, se estimulan competencias tecnológicas relacionadas en el área de la investigación.

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Por otra parte, López y Flores (2006) señalan que las competencias que los futuros docentes deben poseer respeto al uso de las tecnologías están más relacionadas con su labor de aula, ejemplificando y viviendo los posibles usos. Estos autores resaltan las siguientes competencias: a) Competencias básicas en el uso de las TIC. Elementos necesarios para el manejo y divulgación del conocimiento. b) Competencias en el uso de las TIC para la navegación. Elementos necesarios para la comprensión y gestión de recursos mediante redes (Internet). c) Competencias en el uso de las TIC como medios de comunicación. Elementos relacionados con la comunicación por correos, foros, blogs y construcción de Wikis. d) Competencias en el uso de las TIC como medios para el aprendizaje. Herramientas para mediación y formación continua. El estudio realizado por Godoy (2006) sobre competencias tecnológicas y rendimiento académico de los estudiantes universitarios es fundamental pues, es uno de los que, de forma causal, trata de explicar el impacto que tuvo la incorporación del uso de las tecnologías en los currículos de educación superior (en este caso en Venezuela); en este trabajo se utilizó un índice de habilidades en TIC construido por SEUSISS PROJECT (2003) llamado ICT Skills Index (ISI) el cual es una escala de puntuación para medir las habilidades de los estudiantes respecto a distintas herramientas. Este estudio logró determinar que los tipos de software prioritarios (para cualquier estudiante de educación superior) son los orientados al: diseño Web, manejador de presentaciones, bases de datos, programas para elaborar gráficos, hojas de cálculo, bases de datos bibliográficas en línea, navegadores Web, programas de correo electrónico, aplicaciones para Chat, y procesadores de texto. Entre los resultados más relevantes de éste, sobresale el hecho de mostrar que los estudiantes que enfrentan pequeñas situaciones del e – learning obtienen un valor más alto en el ICT Skills Index y, por otro lado, se logró confirmar que “involucrarse en buenas prácticas educativas relacionadas con la tecnología, influye positivamente sobre el número de aplicaciones software que se pueden manejar” (Godoy, 2006, p. 669). Por otro lado, en un trabajo realizado por Silva, Gros, Garrido y Rodríguez (2006), respecto a los estándares tecnológicos para la formación inicial docente en Chile, se establecieron 6 dimensiones en las que deben circundar, según los autores, las propuestas de competencias en la formación de formadores: 1.La primera (básica-mínima) relacionada con el manejo y uso propiamente operativo de hardware y software, 2. diseño de Ambientes de Aprendizaje entendida como la habilidad y/o destreza para organizar entornos de enseñanza y aprendizaje con uso de tecnología, 3. vinculación TIC con el Currículo, donde se da importancia a realizar un proceso

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de aprendizaje, desde las necesidades de los sectores curriculares (norma curricular) que permita contextualizar los aprendizajes, 4. evaluación de recursos y aprendizaje, centrada en las habilidades para evaluar técnica y críticamente el impacto de uso de ciertos recursos y organización de entornos de aprendizaje, 5. mejoramiento profesional entendido como aquellas habilidades y destrezas que permiten a los docentes, dar continuidad a lo largo de la vida, a procesos de aprendizaje de y con TIC, 6. ética y valores orientada a elementos legales y de uso ético de recursos.(p. 7)

En un trabajo posterior, Garrido, Gros y Rodríguez (2008), mencionan que en este tipo de enfoque, al menos deben existir cuatro grandes áreas temáticas o grupos de competencias: pedagógica, colaboración y trabajo en red, aspectos sociales y aspecto técnicos. En la propuesta principal, Silva, Gros, Garrido y Rodríguez (2008) lograron establecer 16 estándares distintos, agrupados en 5 nuevas dimensiones (área pedagógica, aspectos sociales, éticos y legales, aspectos técnicos, gestión escolar y desarrollo profesional) y que contienen 78 indicadores respecto al uso de las TIC en la formación inicial docente.

2.3 Aproximando las competencias tecnología del futuro docente de enseñanza de la matemática. Con base en los aportes anteriores, a continuación se brinda una primera oferta sobre algunos temas que se deben incluir en relación con las competencias tecnológicas necesarias para la formación de los docentes en matemática; todo esto buscando una apropiación de la herramienta por parte del futuro profesor. Para esto, se hace necesario contar con los aportes de un último proyecto llamado Proyecto 6x4 UEALC que en su informe final presenta un trabajo de Verdejo (2008), quien se enfoca hacia la evaluación por competencias. Aunque este documento contiene elementos significativos sobre las mismas, en éste se realiza una explicación sobre su diseño; en la medida de lo posible, se trató de aplicar este modelo para la construcción de la siguiente propuesta, la cual es el producto principal de este trabajo. Competencias tecnológicas básicas 1. El docente explica los principales conceptos asociados a las TIC y, en especial, al ordenador. 2. El docente manipula adecuadamente las funciones del ordenador. 3. El docente conoce funciones de administración de archivos en un sistema operativo. 4. El docente construye documentos para la comunicación de ideas pasadas en

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procesadores de texto, hojas de cálculo y WYSIWYG en sus versiones On y OffLine. 5. El docente maneja información relacionada con bases de datos en hojas de cálculo. 6. El docente conoce el concepto de redes de comunicación como la Internet. 7. El docente maneja motores de búsqueda especializados en estas redes. 8. El docente domina el concepto de WEB 1.0, 2.0 y 3.0, y sus herramientas relacionadas (Blogs, wikis, chats, IP – comunicaciones, entre otros). 9. El docente conoce cómo compartir sus ideas en estas redes. Competencias tecnológicas relacionadas con diversidad y ética computacional 10. El docente puede diferenciar entre software propietario y libre. 11. El docente reconoce la importancia del uso de materiales con derechos de autor. 12. El docente es capaz de proponer ofertas sobre el uso de software educativo de carácter libre. Competencias tecnológicas relacionadas con la administración del proceso educativo 13. El docente es capaz de usar las hojas de cálculo como herramientas para manejar información respecto a su quehacer. 14. El docente es capaz de utilizar los procesadores de texto como una herramienta para la presentación de información relacionada a su quehacer (exámenes, informes, planes, minutas). Competencias tecnológicas relacionadas con la administración pedagógica del proceso educativo 15. El docente conoce el papel de la tecnología en el currículo nacional. 16. El docente es capaz de proponer estrategias para la incorporación efectiva de la tecnología como elemento de mediación pedagógica. 17. El docente puede valorar el impacto de otras propuestas. Competencias tecnológicas relacionadas con metodologías en el proceso educativo 18. El docente sabe incorporar metodologías como WebQuest. 19. El docente analiza la incorporación de la tecnología en modelos basados en la resolución de problemas. 20. El docente puede plantear estrategias basadas en Computer Algebraic Systems (CAS), software de geometría dinámica (SGD), software estadístico y software orientados a la modelización de fenómenos.

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Competencias tecnológicas relacionadas con comunidades virtuales y el Blended Learning 21. El docente conoce los conceptos del e– learning y el Blended – learning. 22. El docente puede estimular el trabajo colaborativo on-line. 23. El docente conoce la jerarquía sobre la creación de identidades en la virtualidad. Competencias relacionadas con software específico 24. El docente puede crear construcciones en los SGD y problematizar las visualizaciones. 25. El docente puede utilizar los CAS como herramientas para la simplificación de cálculos. 26. El docente es capaz de esbozar diagramas de flujo respecto a rutinas basadas en métodos numéricos. 27.El docente es capaz de comprender rutinas preconstruidas para el análisis de datos y aproximaciones a soluciones en temas de matrices, ecuaciones, diferenciación e integración numérica). 2.4 Relación de las competencias tecnológicas propuestas con las competencias específicas definidas para el área de Matemática por Tuning para América Latina. Las competencias planteadas anteriormente fueron la culminación de un proceso de reflexión, diseño y construcción por parte del autor. Con el objetivo de evaluar su importancia y pertinencia en los currículos de formación en esta área se han seleccionado las competencias enumeradas de la 18 hasta la 20. En este apartado se explica de qué manera se concibieron y construyeron algunas de ellas y su relación con las 23 competencias específicas planteadas en el Proyecto Tuning; en los siguientes párrafos se explican algunas de estas relaciones. Se puede empezar ilustrando las competencias relacionadas con metodologías en el proceso educativo. En primer lugar, al proponer que el docente sabe incorporar metodologías como el WebQuest se prepara un escenario en el cual el profesor pueda atender, desde aspectos cognitivos hasta propuestas metodológicas. Por ejemplo, la competencia específica en el área de la matemática relacionada con el conocimiento de la evolución histórica de los conceptos fundamentales de la matemática (N°6 - tabla 2) podría plantearse a través de este tipo de trabajo; para esto, se hace necesario que el currículo se adapte para estimular nuevas destrezas en el estudiante; además, se hace necesario que el futuro docente sea capaz de implementar metodologías basadas en el uso de redes y respectando los principios de socialización.

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De esta manera, esta competencia tecnológica también puede estar relacionada o puede estimular la capacidad de trabajar en equipos interdisciplinarios (N°17 - tabla 2) donde, por ejemplo, el profesor se haya enfrentado a una serie de situaciones contextualizadas. Además, conocer cómo plantear estas metodologías puede estimular la capacidad para presentar los razonamientos matemáticos y sus conclusiones, con claridad y precisión y de forma apropiada para la audiencia a la que van dirigidos, tanto oralmente como por escrito (N°18 - tabla 2). De igual importancia, también se puede planificar formas de potenciar el conocimiento del Inglés para leer, escribir y exponer documentos en inglés, así como comunicarse con otros especialistas (N°23 - tabla 2); ver tabla 3. Tabla 3 Competencia sobre con la incorporación de metodologías relacionada con las competencias N°6, N°17, N°18 y N°23 de las competencias específicas para el área de Matemática según Tuning para AL. El docente sabe incorporar metodolog[ias como el WebQuest Conocimiento de la evolución histórica de los conceptos fundamentales de la matemática

Presentar los razonamientos matemáticos y sus conclusiones, con claridad y presición y de forma apropiada para la audiencia a la que van dirigidos, tanto oralmente como por escrito

la capacidad de trabajar en equipos interdisciplinarios

Conociemiento de inglés para leer, escribir y exponer documentos en inglés, así como comunicarse con otros especialistas

En segundo lugar, la propuesta relacionada con que el docente sea capaz de analizar la incorporación de la tecnología en modelos basados en la resolución de problemas tiene, en comparación a la anterior, mayor correspondencia (pero no mayor o menor relevancia) sobre aspectos relacionados a la componente de investigación. Es decir, habilidades como la capacidad para contribuir en la construcción de modelos matemáticos, a partir de situaciones reales (N°9 - tabla 2) pueden potenciarse mediante el análisis del uso de la tecnología para describir situaciones específicas. Desde luego, un punto esencial es que, tener como eje la resolución de problemas también es decidir cuándo es conveniente, o no, su uso; esto puede estimular la capacidad para comprender problemas y abstraer lo esencial de ellos (N°12 - tabla 2) esto también guarda estrecha relación con capacidad para utilizar las herramientas computacionales de cálculo numérico y simbólico para plantear y resolver problemas (N°10 - tabla 2). Simultáneamente, se consideraron las siguientes competencias: capacidad para construir y desarrollar argumentaciones lógicas, con una identificación clara de hipótesis y conclusiones (N°2 - tabla 2), capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas (N°4 - tabla 2), capacidad para

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iniciar investigaciones matemáticas, bajo la orientación de expertos (N°7 - tabla 2), destreza en razonamientos cuantitativos (N°11 - tabla 2), disposición para enfrentarse a nuevos problemas en distintas áreas (N°14 - tabla 2) y la capacidad para trabajar con datos experimentales y contribuir a su análisis (N°15 - tabla 2). En la medida en que se construyeron las competencias anteriores, surgió la necesidad de construir, además, un “par” que proporcionara información respecto al uso de software especializado en álgebra, geometría y/o estadística: el docente puede plantear estrategias basadas en Computer Algebraic Systems (CAS), software de geometría dinámica (SGD), software estadístico y software orientados a la modelización de fenómenos. Para esta competencia es necesario, no solo un manejo computacional básico, sino que, se hace necesario capacidades para expresarse correctamente, utilizando el lenguaje de la Matemática; la capacidad de abstracción, incluido el desarrollo lógico de teorías matemáticas y las relaciones entre ellas; capacidad para formular problemas en lenguaje matemático, de forma tal que se faciliten su análisis y su solución; capacidad para contribuir en la construcción de modelos matemáticos, a partir de situaciones reales, capacidad para comprender problemas y abstraer lo esencial de ellos; disposición para enfrentarse a nuevos problemas en distintas áreas y por último, la capacidad para trabajar con datos experimentales y contribuir a su análisis (N°3, N°4, N°5, N°12, N°14, N°15 - tabla 2, respectivamente). En la práctica, la utilidad de estas relaciones sería inmediata, pues, es obvio que se pretende un contexto en el que se prepare al docente en herramientas tecnológicas, pero, que a la vez sea capaz de comprender estas en un entorno educativo formal; Es decir, que sea capaz de entender y “manipular” situaciones que enfrenten al estudiante ante retos y no solamente ejemplos. No se trata de enfrentar al estudiante ante retos donde se involucre como objetivo principal el uso de uno de estos software, sino, que pueda proponer e investigar actividades enriquecidas con estos. Si se supone por un momento que se desea incorporar el uso de SGD en ciertos cursos de una carrera de enseñanza de la Matemática con el fin último que el futuro docente cuente con estas herramientas, entonces se puede prever que, al menos se deben sistematizar tres etapas mínimas: uso técnico, estrategias básicas y nuevas estrategias. Aunque, en cierto modo, se puede pensar que estas etapas son bien conocidas, la problemática radica en que, a criterio del autor, algunos de los programas de formación para los formadores de matemática, suponen mayor énfasis en las dos primeras etapas. En resumen, el otorgar mayor significado a estas etapas reproduce ambigüedades en currículos inyectados de tecnología por sí misma y en el segundo caso, la tecnología favoreciendo estrategias de un modelo curricular fragmentado y antagónico a las necesidades actuales.

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Consecuentemente, no es posible demandar estrategias novedosas a un grupo de estudiantes que enfrenta varios años de estrategias vinculadas a la formación magistral. Es aquí donde se debe poner la mirada en aportes novedosos relacionados con SGD como los de Connor, Moss y Grover (2007), Fuglestad (2007), Cho, Song y Kim (2007), Zodik y Zaslavsky (2007), Jungwirth (2006), Santos y Páez (2007), Guven y Kosa (2008), Todd y Wiechmann (2008), Falcade, Laborde y Mariotti (2007), Larios (2006), Uicab y Oktaç (2006), Kyttälä y Lehto (2008) congruentes con estrategias basadas en la resolución de problemas y enriquecidas con uso de tecnologías. Además de exponer y ejemplificar estas estrategias al estudiante, se suponen, desde ajustes en la práctica docente universitaria, hasta rediseños en los currículos en las carreras de los futuros formadores en matemática. Puesto que el currículo de muchas de estas carreras está orientado por los contenidos, es necesario dar espacio a los componentes prácticos del área temática, sin dejar de lado la importancia de conocer la teoría que sustentan las aplicaciones. Una actividad inherente a este tipo de programas educativos universitarios debe ser los proyectos a mediano y largo plazo con el objetivo de promover la investigación junto a la historia y las herramientas tecnológicas. Como cierre de este apartado y como parte final de esta propuesta se exponen algunas de las tareas que, a criterio del autor, deben ser inmediatas en el quehacer actual de muchas de las carreras de enseñanza de la Matemática, en lo que al uso de las TICs como herramientas se refiere: • • • • • • •

Evaluar la pertinencia de rediseñar los currículos bajo las perspectivas de los currículos por competencias. reformulación de los currículos de tal manera que sean susceptibles a cambios en las estrategias metodológicas basadas en la resolución de problemas, la historia y la tecnología como herramienta; armonizar los currículos de tal manera que la tecnología no reproduzca yerros ya detectados y sean integrales con las competencias en áreas como: matemática pura, matemática aplicada y la educación; en muchos casos, iniciar con los procesos de evaluación de los alcances y el impacto que puede tener un currículo fortalecido con tecnología en los futuros docentes. adoptar procesos de acreditación nacional e internacional; impulsar la investigación efectiva en el uso de herramientas tecnológicas (tanto en términos de matemática aplicada como de carácter educativo) durante tiempo efectivo de las carreras y no solamente en los cursos de estrategias educativas; redimensionar y delimitar las etapas donde se pretende la aprehensión de software, el uso de software para la investigación y la matemática aplicada o el uso del software como herramienta didáctica. Para el autor, uno de los principales

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errores que se han cometido en los currículos ha sido confundir la utilidad que tiene un software para la investigación en matemática aplicada con su utilidad pedagógica. Es decir, se piensa erróneamente que si un software es útil para aproximar series, resolver ecuaciones diferenciales, integrales, geometría dinámica, estadística, entre otros, entonces tiene, a priori, un alto valor didáctico, y viceversa. Asimismo, es necesario un rediseño de escenarios de aprendizaje mediante el uso de las herramientas tecnológicas, bases de datos y la Internet como herramientas de investigación, comunicación y divulgación de resultados.

3. Discusión y conclusiones Como se mencionó, la literatura y las investigaciones señalan que la problemática sobre el tema de la incorporación tecnológica aún se encuentra vigente, inclusive, en los programas internacionales de educación superior. Se debe seguir promoviendo la sistematización de conocimiento respecto a esta incorporación, sus posibles impactos y la especialización de docentes y, además, se debe experimentar con situaciones concretas. En este sentido, se concuerda con Silva y otros (2006), al afirmar que: El desafío para la formación es pasar de esta etapa general a una más específica, en la cual se provea a los futuros docentes de un manejo operativo de la tecnología, de conocimientos, herramientas y actitudes que le permitan aprovechar al máximo las potencialidades de ésta para la mejora de los procesos de enseñanza, desarrollando un aprendizaje más efectivo de los alumnos. (p. 14)

Por otro lado, debe comentarse que existe una estrecha relación entre esta propuesta y el concepto de currículo basado en competencias, por lo que, naturalmente, no se puede omitir que el impacto (provechoso o no) de las tecnologías depende en gran medida de la propuesta curricular vigente. Como se mencionó, los programas internacionales (Tuning, PISA, 6X4, entre otros) ofrecen una buena perspectiva sobre ¿hacia dónde debe dirigirse o “reorganizarse” los currículos nacionales? En fin, este trabajo pretende incrementar la comprensión de la tecnología como un recurso útil en un currículo basado en competencias. Además, se desea que éste se convierta en un punto de partida para la discusión en la academia sobre lo que pueden representar las competencias tecnológicas en la educación de docentes en Matemática y, consecuentemente, definir, entre todos, cuáles son las competencias necesarias y cómo contextualizarlas dentro de los distintos centros de formación de formadores en esta área. Asimismo, cuáles de éstas pueden ser consideradas como específicas, transversales, generales, según un programa o carrera determinada. Esta es una razón más por la que es preciso la puesta en escena de proyectos e investigaciones relacionadas con estos temas.

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En este momento, la principal tarea pendiente en muchas carreras es conformar un grupo de trabajo para la evaluación académica inicial en el tema del uso de herramientas tecnológicas en el contexto de la formación de formadores en matemática, con el objetivo de ajustar y perfeccionar este tipo de propuesta. Además, es necesario iniciar con procesos de validación tanto en el sector académico, como en los sectores conformados por los educandos, graduados, los profesionales en servicio y los empleadores. En este caso, todos somos responsables de lograr un consenso sobre lo que para nosotros representa un docente que pueda aprovechar los recursos tecnológicos; como lo mencionan Beneitone y otros (2007) “la definición de estas competencias es responsabilidad de los académicos, en consulta con otros grupos interesados en el tema. Al definir competencias y resultados del aprendizaje, se desarrollan puntos de referencia consensuados, que sientan bases para la garantía de la calidad” (p.16).

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PLATAFORMA DEL DISCURSO METODOLÓGICO EN DOCENCIA MATEMÁTICA: LO SOCIO-CULTURAL Y LO LINGÜÍSTICO COMO COMPETENCIAS GUÍAS Eliana D. Rojas Neag School of Education University of Connecticut, Storrs, EEUU. [email protected] Resumen Este trabajo examina la importancia y beneficios del analizar el cómo las características de los contextos socioculturales diversos median las disposiciones e interacciones de los estudiantes de matemáticas y su impacto en el diseño y reforzamiento de competencias múltiples en docencia matemática. Subyacente está la preocupación por las experiencias de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas de estudiantes representantes de grupos étnicos y sociales tradicionalmente marginados. Palabras clave Matemática, etnomatemática, cultura, lenguaje, competencias, formación profesional docente, Latin@ Abstract This analysis looks at the importance and benefits of how the characteristics of diverse social contexts mediate the dispositions and interactions of the mathematics learners. Examine the relations between culture and Teaching and Learning mathematics, it offers a thoughtful treatment of the role of culture in the teaching and learning of mathematics and do synthesize literature that is relevant to this concern from multiple sub disciplines in education including sociology, sociolinguistics, and critical theory. Key words Competences, Mathematics, Ethnomathematics, Mathematics Literacy, Cultural Pedagogy, Latin@

Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 81-105. Costa Rica

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1. Introducción Los análisis discursivos de las comunicaciones de profesores y del personal de escuelas que concentran sectores estudiantiles de alta vulnerabilidad, revelan consistentemente la reacción inquieta y confusa de profesores e investigadores, sorprendidos y azorados, frente al discurso desorientado y fuera de contexto de los niños, niñas y jóvenes provenientes de culturas diversas y/o de extrema pobreza. Estos jóvenes se expresan de manera confusa, y son más concretos que abstractos en su pensar, con matices mágicos y sobrenaturales, en vez de los esperados tonos lógicos y racionales; con extrema carencia en el manejo del vocabulario esencial y poco “científicos” en su modo de usar el lenguaje y en la forma cómo enfrentan y cómo entienden los problemas. Difieren de de los criterios establecidos y definidos formalmente en los estándares de competencias. En su análisis los profesores e investigadores reevalúan y revisan sus interpretaciones una y otra vez tratando de encontrar alguna profundidad y coherencia en el pensamiento y uso del lenguaje de estos jóvenes, no pocos rechazan desesperanzados la posibilidad de cambio en esta tendencia al fracaso, y lo reducen a una frase irreverentemente aceptada “ellos… ellas no quieren, no pueden”. En pocos casos se intenta validar las respuestas de los alumnos conforme al reconocimiento de sus experiencias individuales, desde la perspectiva de estos jóvenes, dándole validez a sus historias, a las de sus familias y de su comunidad. La mayoría de los programas para estos niños y niñas se enfocan en resolver los “problemas” que llevarían consigo a la escuela en vez de desafiarles y concentrarse en desarrollar sus fortalezas y talentos matemáticos. Persistentemente, la mayoría de jóvenes en condición de vulnerabilidad son ubicados en clases de matemáticas con menores exigencias, y/o de educación especial (de discapacidad) debido, primero a percepciones y creencias individuales e incorrectas acerca de la incompatibilidad de su lenguaje, su cultura y su pobreza con las demandas de la escuela, viéndoles como deficientes en vez de reconocer sus fortalezas, y segundo a la inexistencia de un sistema justo de evaluación relevante y competente. A medida que los principios de equidad e igualdad, guiados por el mandato de las Naciones Unidas “educación para todos”, World Declaration on Education for All (UNESCO, 1990), se imponen en los discursos de los gobiernos, la integración de grupos escolares representando a minorías étnicas y sociales crece, aumentando la diversidad social, lingüística y cultural de la población escolar en las aulas tradicionales. La exigencia de un reconocimiento y validación formal a estas nuevas experiencias y a este nuevo conocimiento que se genera en estos cambiantes centros educativos, es indispensable. Estos desafíos obligan a los investigadores y educadores a redefinir el rol del profesor, y a observar las dinámicas de interacción

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y discursos dentro y fuera del aula desde una nueva perspectiva. En los Estados Unidos la población de estudiantes más significativa en términos de su impacto en las dinámicas de enseñanza y aprendizaje de la matemática y lenguaje está representada por la juventud de descendencia Hispanoamericana. Los Latin@s -hijos de inmigrantes provenientes de América Latina y el Caribe- representan la población escolar de más alto crecimiento en las aulas escolares norteamericanas. Estos conforman el 15.1% (45.5 millones) de la población total norteamericana (U.S. Census Bureau, 2007 American Community Survey). Mientras la matrícula de la población tradicional de estudiantes disminuyó en un 10%, la población de jóvenes estudiantes Latin@s (de grados K a 12º) aumentó en un 68% en la última década (Pew Hispanic Center Research Report, October 5, 2006). Al mismo tiempo que estas nuevas dinámicas ofrecen una oportunidad única para enriquecer las experiencias educativas de cientos de jóvenes expuestos a estos nuevos ambientes, (nuevos idiomas, nuevas culturas, nuevos conocimientos) los resultados muestran un constante incremento en la brecha de desigualdad. Los jóvenes Latin@s representan el 22 % de la cifra de deserción escolar a nivel nacional (National Center for Education Statistics, 2007)). Menos de un 4% tiene acceso a educación superior (University of Connecticut ALFAS Report, 2008). Estas diferencias se deben más que nada a diferencias con respecto a oportunidades y acceso a recursos. Cerca de 40% de los/as jóvenes Hispan@s asisten a escuelas secundarias donde el graduarse no es la norma. Las escuelas secundarias compuestas por una mayoría de jóvenes de diversidad étnica social y/o lingüística, son cinco veces más vulnerables a que menos de sus jóvenes (50%) se gradúen en cuatro años (Balfanz & Legters, 2004). Mientras los estados de la nación norteamericana en general han elevado los estándares y requisitos de graduación en matemáticas y han agregado un currículo más riguroso, los jóvenes Latin@s continúan teniendo menor acceso a Algebra I, puerta de entrada a Algebra II y cursos de mayor rigor (Achieve, 2007), manteniéndose en peligro constante de no tener acceso a experiencias matemáticas más enriquecedoras y por lo tanto de desertar y/o limitar su ingreso a educación superior. La oferta curricular matemática en la escuela secundaria norteamericana es altamente diferenciada, una variedad de cursos representando concentraciones curriculares matemáticas y nivel de rigor variados han, tradicionalmente, limitado el acceso a jóvenes de minorías lingüísticas a experiencias matemáticas de nivel avanzado y por consiguiente ingreso a la educación superior. La preocupación de investigadores y educadores comprometidos con la docencia matemática, y la diversidad lingüística y cultural, ha generado preguntas múltiples relacionadas con la identificación de prácticas didácticas enfocadas en apoyar el progreso académico de jóvenes inmigrantes Latin@s que ingresan a las escuelas norteamericanas no sólo con bajo dominio del idioma dominante, sino de diversidad en el tipo y niveles de escolaridad, edad, lenguaje materno, educación de los padres, condición social y otros. Estas preguntas incluyen no sólo elementos

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relacionados con metodologías instruccionales, sino también con respecto a la necesidad de implementar intervenciones drásticas en las áreas de lenguaje, cultura y matemática. Sin duda la presencia creciente de estos jóvenes en las aulas escolares alrededor del mundo, a quienes en los Estados Unidos se identifica como Latin@s -English Learners (L=ELs) (Rojas, 2009), ha impactado los temas y formas en que se hace investigación en educación y replanteado preguntas y necesidades derivadas de estos resultados. Los últimos indicadores recomendados revelan prácticas emergentes y de trascendencia prometedora y de aplicación validada a través de culturas y comunidades. Esto los obliga a redefinir las tendencias e indicadores de competencias curriculares y pedagógicas en la carrera docente. El cuestionamiento al impacto de quiénes y cómo se hace investigación y educación matemática con respecto a estos jóvenes y desde qué “punto de vista” se analizan resultados y se toman decisiones, ha generado una discusión desde el interior de las comunidades de educadores y matemáticos/as latinos/as en los Estados Unidos y al interior de América Latina y el Caribe. El impacto que estos diálogos tengan favorecerá el desarrollo investigativo y práctico en ambos sectores. En este trabajo trato de situar la discusión con respecto a las competencias pedagógicas que guiarían el discurso metodológico matemático en ambas arenas. Enfocada en la realidad educativa de los jóvenes Latin@s en los Estados Unidos, trato de ampliar y transpolar experiencias de investigación y práctica. La validez y relevancia de las discusiones presentadas aquí ofrecen un punto de partida para las reformas a considerar en la preparación de docentes.

2. Fundamento teórico Las investigaciones recientes fundamentan su análisis teórico en la visión del profesor como un intelectual (Giroux H., 1988) y en los principios y juicios de valores de la intervención pedagógica critica de Freire, definida aquí como postura inquisidora conducente a cuestionar las condiciones sociales, políticas, y económicas bajo las cuales se construyen los discursos pedagógicos (Freire, 1970). La Ethnomatematica (D’Ambrosio, 1990), valida la investigación y práctica de la matemática desde el interior de la historia de grupos humanos individuales. Ofrece una invitación a profesores y estudiantes a un encuentro consigo mismos y con la matemática. Esta “humanización” de las matemáticas como disciplina, le da vida y significado a conceptos abstractos que los/as estudiantes tienden a ver como ajenos a sus realidades. D’Ambrosio relaciona las matemáticas con el estado en que está el mundo, en su discurso nos invita a cuestionar nuestra habilidad de visualizar las

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matemáticas como la herramienta de cambio, de servicio a un mundo responsable, de mas equidad, mejor. Habiéndolas mal utilizado como un vehículo de transmisión y aceptación de inequidad, de arrogancia e intolerancia en vez de reconocerlas como el punto de encuentro entre culturas, como educadores matemáticos debemos responder al fracaso de su diseminación como conocimiento disciplinario fundamental. Bajo el lema “es solo para algunos” a cientos de jóvenes les hemos negado la oportunidad de aceptarlas, y aprehenderlas. Por otro lado al resumir su complejidad discursiva y generalizarlas como “un idioma universal” en vez de “el idioma del universo” provocamos gestiones administrativas equivocadas de impacto irreversible en los jóvenes. En los Estados Unidos los estudiantes Latin@s son estimulados a desasociarse con su leguaje y cultura, ignorando el impacto de la historia de los pueblos latinoamericanos en el desarrollo de las matemáticas. Al mismo tiempo son persuadidos a retrasar el desarrollo de su conocimiento matemático y sumergirse en el aprendizaje del idioma y la cultura anglosajona. El reconocimiento a esta validación, tiene el potencial de transformar la escuela, profesores y a los estudiantes en una comunidad de aprendizaje en la que sus actores gestionan encuentros con la comunidad que se extiende más allá del núcleo escuela y familia inmediata. Las estrategias de enseñanza de la sala de clase fundamentadas en pedagogía crítica conllevan el interrumpir y dislocar las prácticas tradicionales, respetando y actuando sobre las múltiples posiciones y perspectivas de sus actores, en búsqueda del reconocimiento a los valores individuales tanto del profesor como del estudiante, dando paso a la justicia, al mismo tiempo que se le otorga a los/as jóvenes el poder creativo y el asumir el sentido de responsabilidad como una acción de respuesta social. Se crean ambientes en los que los estudiantes desarrollan capacidades independientes, aceptando y respondiendo a este modelo de toma de decisiones y acciones a partir de acciones individuales y colectivas. La importancia y ventaja de desarrollar el hábito de reflexión en los docentes como instrumento de investigación y análisis de su práctica sobre la práctica, radica en el impacto que tiene sobre la efectividad y calidad de sus prácticas en el aula, al mismo tiempo que estimula y valida su actividad académica dentro de su comunidad escolar. Estas prácticas han demostrado tener un impacto de transformación significativo tanto en el profesor como en el alumnado que representa a grupos de minorías de diversidad cultural, lingüística y social (CLSD), que generalmente son devaluados por la población reconocida como la dominante. La actividad y disposición se refleja, como consecuencia de la interacción reflexiva del y la docente, en una relación y modelaje diario con y ante sus estudiantes, quienes además toman decisiones a través de las acciones y dinámicas discursivas que se generan en el aula. Como consecuencia de estas interacciones los/las jóvenes ven, finalmente, su razón de ser dentro de la comunidad sala de clase sintiendo por primera vez que si pueden, que se sienten “apoderados de su aprendizaje” (Rojas, 2007).

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Se reconoce tres niveles en los procesos de reflexión: la “reflexión sobre la acción,” la “reflexión en la acción” y la “reflexión para la acción”. El elemento cognitivo del pensamiento reflexivo se asocia al conocimiento que los maestros deben adquirir para tomar buenas y responsable decisiones en la situación de aula; tal conocimiento reflejaría, aproximadamente, las siete categorías amplias de conocimiento que discutía Shulman, (en Reagan, Rojas y Veneros, 2009). • •

el conocimiento del contenido el conocimiento pedagógico general, con referencia especial a aquellos principios y estrategias amplios de manejo y organización de aula, que trascienden los contenidos de la materia; • el conocimiento del currículo, con particular dominio de los materiales y programas que sirven como “instrumentos del oficio” para los maestros; • el conocimiento del contenido pedagógico, de aquella especial amalgama entre el contenido y la pedagogía que es el propio y singular ámbito de los profesores, su forma especial de comprensión profesional; • el conocimiento de los estudiantes y de sus características; • el conocimiento de los contextos educativos; desde el conocimiento de las actividades del grupo o el aula y del gobierno y financiamiento de los distritos escolares, hasta el conocimiento del carácter de las comunidades y las culturas; y • el conocimiento de los fines, propósitos y valores educativos y de sus bases históricas y filosóficas (1987, p.54). A través de esta postura inquisitiva del y la docente se nos ofrece información enriquecedora que nos permite, más que nunca, afirmar que no deben aceptarse más excusas que justifiquen las respuestas y resultados, en matemáticas, exageradamente negativos de nuestros jóvenes. El entendimiento de que las dificultades no se concentran en las características fenotípicas de los estudiantes ni en su condición social, lingüística, ni cultural, es fundamental en este esquema. Las dinámicas discursivas que suceden en el aula escolar son las que se facilitan o restringen en común acuerdo, los procesos de comunicación y práctica en los que se reproduce el conocimiento matemático escolar. Este conocimiento nos ayuda a delinear los procesos efectivos de enseñanza-aprendizaje del conocimiento matemático a nivel escolar considerando los paradigmas exclusivos de las comunidades hacia las cuales esta información está orientada, y que las intervenciones para lograr los objetivos allí planteados son responsabilidad no sólo del profesor de matemáticas sino también de la comunidad educativa que se extiende a la comunidad.

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3. El contexto social Las estructuras sociales individuales deben reconocerse y re-interpretarse a través de la exégesis de los sistemas políticos, sociales y educativos. Estas experiencias deben asociarse a las nuevas estructuras emergentes y de sus interacciones, y así construir modelos educativos que respondan en conjunto a los múltiples contextos culturales y sociales que conforman las comunidades escolares con las que compartimos hoy. Se deben integrar explícitamente los procesos curriculares y experiencias educativas de cada uno de los educandos a través de indicadores explícitamente delineadas en recomendaciones a nivel nacional. El grado de multiplicidad de experiencias a las que sometamos a los/las jóvenes y el momento de su proceso educativo en que estas prácticas sean aplicadas, serán variables decisivas en cuanto al impacto que estas tendrán en la capacidad de estos jóvenes de desenvolverse y responder como adultos responsables a las necesidades de un mundo multiétnico-multicultural. Esta transformación social exige una revisión crítica en los estándares curriculares y de evaluación disciplinaria, y por consiguiente de la formación y desarrollo profesional docente. Además de las preguntas relacionadas con identificar a quién y de qué competencias serán responsables estos educadores matemáticos emergentes y del cómo de los procesos y del cuándo de exponerles a estas experiencias, se agrega el tipo de entrenamiento y conocimiento que estos profesionales requieren para hacer efectiva esta transformación. La innovación y modificación curricular, la didáctica y transformación de estas experiencias se manifestarían desde la comunidad y la escuela. Se intervendría a través de centros de estudios, configurados en pequeñas academias al interior de la escuela tradicional. La comunidad la integraría la familia, una masa crítica que a menudo desconoce el lenguaje de comunicación y los valores asociados al funcionamiento de los centros educativos. En el caso más complejo, de nuevos inmigrantes, este desconocimiento incluye elementos básicos de supervivencia haciendo importantísima la intervención de los estudiantes, los jóvenes educandos, quienes en ocasiones asumen un rol de mediadores entre su familia, la escuela, y la sociedad, dinámicas manifestadas continuamente en familias de baja escolaridad y en comunidades de alta pobreza. De los/las estudiantes: La inequidad persistente en relación al acceso que tienen muchos jóvenes a experiencias enriquecedoras de aprendizaje matemático y a niveles de aplicaciones relevantes y múltiples, se ha transformado en un punto de preocupación crítica. En general, los estudiantes no están siendo apoyados con un proyecto educativo matemático que refuerce y potencie sus capacidades individuales, con procesos y experiencias matemáticas que les permitan alcanzar su mayor potencial de excelencia. Los temas relevantes a la representatividad de lo cultural, lingüístico y social, de cada uno de los/as jóvenes deben sean

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propiamente integrados en los temas matemáticos de las mallas curriculares ofrecidas a través del currículo matemático escolar y transversalmente a través de las diferentes disciplinas. Del/la docente: Al mismo tiempo la formación profesional del docente matemático requiere rediseñar los programas de la carrera docente, en pre-servicio tanto como del docente en-servicio. Se debe promover seminarios y cursos dentro de la malla curricular obligatoria, que explícitamente contengan lecturas, diálogos, reflexiones, trabajos de prácticas en terreno e instancias de indagación e investigación que induzcan a la modificación de los diálogos discursivos al interior del aula y del currículo matemático. Estos nuevos temas deben reconocer la desigualdad de oportunidad, la importancia de identificar las variables que interfieren en el éxito o fracaso matemático de estos/estas jóvenes, reconocer los nuevos desafíos, reconocer la necesidad de intervenir con prácticas significativas, valorar y ofrecer soluciones. Independientemente de su condición cultural, lingüística y/o social, las experiencias matemáticas de nuestros jóvenes deben capacitarles para servir a una sociedad que se expande más allá de las limitaciones de las fronteras y para responder a un mundo tecnológicamente global. Nuestros jóvenes deben egresar matemáticamente alfabetizados. Este conocimiento que se reconoce hoy como alfabetización matemática (mathematics literacy) se entreteje entre las diferentes disciplinas y actividades de desarrollo profesional y del trabajo. Desde la visión del NCTM particularmente esto concerniría a estudiantes minoritarios , de diferentes etnias –de ascendencia africana, de comunidades indígenas, latinos (EEUU) y a estudiantes de nivel socioeconómico vulnerable (NCTM, 2000). Hoy nos concierne a todos, la población estudiantil de más alto riesgo consistentemente tiene menos acceso a la enorme gama de recursos humanos, didácticos y tecnológicos disponibles; a académicos y profesores calificados (incluyendo su representatividad étnica y cultural); experiencia matemática de nivel avanzado; escuelas de ambiente y seguridad funcional, tecnología, materiales, textos y un currículo y actividad didáctica basada en recomendaciones emanadas de investigaciones recientes, incluyendo aspectos de diferenciación que reflejen sus experiencias y las de su comunidad (Apple, 1995; Darling-Hammond, 1997; King, 2005; Oakes et al., 2003). Las recomendaciones emanadas de las reflexiones de trabajos de investigación realizados por educadores matemáticos que trabajan en escuelas de alta concentración de estudiantes latin@s y participantes en un programa de postgrado (MA-master) en la región Este de los Estados Unidos, manifiestan indicadores tales como: De los profesores/as: • •

creencia que todos los/las jóvenes pueden aprender matemáticas al mejor nivel responsabilidad en individualizar y diferenciar las realidades de los/as jóvenes

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estudiantes y persistir en ayudarles a alcanzar el conocimiento esperado • refleja su disposición de tener expectativas de y exigir excelencia de cada estudiante • se enorgullece de su trabajo y del ambiente en que se desarrolla su trabajo • incluye prácticas y evaluaciones continuas de las competencias, logros y desafíos de los estudiantes • valora la diversidad humana y guía a los /las estudiantes en su aprendizaje de aprender a valorar al otro • integra en el currículo matemático diario las creencias, valores e historia de los/as estudiantes • integra la participación explícita de los/as estudiantes en las decisiones con respecto a dinámicas de discurso en el aula incluyendo el currículo y las evaluaciones • colabora con colegas en las diferentes disciplinas en el plan de mediar interpretaciones • se preocupa en identificar prácticas instruccionales relevantes De los estudiantes: • es justo/a y predica justicia, • sabe sus nombres, • es paciente, • relaciona los problemas (matemáticos) a sus experiencias, • los desafía, cree en ellos/as, • habla español (o trata), • escucha su música, come su comida, va a sus barrios, • está al día (maneja la tecnología) (Rojas, Eliana, 2008: REALL Project,) Estas recomendaciones coinciden con estudios de tesis facilitados por profesores participantes en un programa e-learning de postgrado (MA-magister) de la Universidad de la Frontera de Temuco en Chile (2008). ( http://dme.ufro.cl/mem/) Las entidades científicas y colegios profesionales, junto al gobierno federal, hacen un llamado permanente a la educación superior a centrar sus esfuerzos en facilitar procesos de investigación y cambios en sus proyectos de formación docente, tanto como de perfeccionamiento profesional continuo para docentes, con el solo fin de abordar seriamente este desafío. Como consecuencia, un número significativo de investigaciones se centra hoy en temas de procesos enseñanza-aprendizaje enmarcados en el principio de aceptación, integración, y reconocimiento al valor del capital cultural que ofrece esta diversidad entre la población escolar. Las organizaciones educacionales y profesionales nacionales encargadas de diseños de estándares (NCTM), evaluación (NAEP) y acreditación de la carrera profe-

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sional docente (NCATE) postulan un serio compromiso al desafío de reducir la brecha de rendimiento en matemáticas existente entre los diferentes grupos sociales y raciales, especialmente latinos, en las escuelas norteamericanas. En las últimas décadas el gobierno federal tanto como las organizaciones profesionales han generado fondos especialmente destinados a articular las competencias profesionales de los docentes y a apoyar investigaciones enfocadas en la identificación de factores de interferencia en el progreso educativo de estos jóvenes y sus familias (USDS, IES, Carnegie). (Ver: UCONN- REALL; CEMELA). Los resultados derivados de dichas investigaciones tienen un alcance más allá de los parámetros definidos por las características de estas comunidades. Las comunidades escolares caracterizadas por variables disímiles, urbanas, suburbanas, rurales en ambientes tradicionales (independientemente de la distribución racial y/o lenguaje) están considerando y adoptando las recomendaciones y modelos derivados de dichas investigaciones (Echevarria and Graves, 2006; Rojas, 2009), como contribuciones válidas, independientemente de la supuesta “homogeneidad” de su comunidad escolar particular. Es más, dada la realidad de movilidad social y de trans-nacionalidad que conforman los grupos humanos escolares hoy en día, crece la necesidad de comunicación y colaboración entre las naciones y sus sistemas educativos, especialmente Hispanoamérica, tanto para transferir modelos exitosos, como para aprender los unos de los otros (Rojas, 2007).

4. Lenguaje y matemática El uso y manejo del lenguaje es clave en la apreciación y adquisición de los conceptos matemáticos. La resolución de problemas y el discurso investigativo científico están sumergidos en lenguaje: preguntas, descripciones, explicaciones, hipótesis, debates, clarificaciones, elaboraciones, verificaciones y el compartir y comunicar resultados. La investigación sostiene que el potencial para aprender y mejorar las destrezas lingüísticas a la vez que se aprenden matemáticas y ciencias, es significativo (Buxton, 1998; Crawford, 1995; Kang & Pham, 1995; Kessler, Quinn, & Fathman, 1992; Laplante, 1997). Los estudiantes adquieren apreciación de las matemáticas al reconocerlas como un conector de lenguaje y aprenden lenguajes al reconocerlos como la expresión de las matemáticas. Nos cuestionamos aún si entendemos que estas dimensiones de discurso e interacción son válidas en los procesos de instrucción y evaluación del conocimiento matemático y cómo impactan la formación del profesor de matemáticas a nivel primario y secundario. Como consecuencia, estos determinan el éxito o fracaso de los/las jóvenes en sus dos primeros años en educación superior. Entendemos que estos desafíos son más significativos aún cuando se trata de incorporar y ser-

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vir con equidad y calidad a la comunidad escolar. Los estudiantes de diversidad social, lingüística, y cultural tienen gran desventaja y dificultad, con respecto a sus compañeros de cultura y posición social dominantes, al interpretar los significados de conectores lógicos propios del discurso matemático y científico. Los conectores lógicos, por ejemplo, se definen como palabras y frases, tales como, si, porque, sin embargo, en consecuencia, etc., que señalan relaciones lógicas entre las partes de un texto, elementos determinantes en la comprensión de lectura y comunicación de la información. En las matemáticas y las ciencias, los conectores lógicos señalan similitudes y contradicciones; causa y efecto; razón y conclusión; secuencias cronológicas o lógicas; y elementos definitorios en la comprensión y solución de un problema. Las instancias de asimilación y comunicación de la información matemática se traducen en una seria limitación para los estudiantes si no manejan el discurso lingüístico correspondiente. Las convenciones del lenguaje social son altamente contextualizadas, lo que les permite a los jóvenes en general, con o sin problemas de manejo del lenguaje de la mayoría, inferir significados e interpretar claves visuales y el lenguaje no verbal. El lenguaje académico sin embargo, es más abstracto y las palabras comunes pueden tomar un significado muy especializado. En el discurso académico es generalmente responsabilidad individual del estudiante, el construir su propio significado y se apoya en su propio entendimiento tanto de su interpretación del lenguaje como de los conceptos. Ambos lenguajes son importantes, pero aunque un estudiante puede tener fluidez relativa en su lenguaje social, debe ser explícitamente expuesto (enseñado) al uso del lenguaje académico. “En la sala de clases de matemáticas” –postularía Schoenfeld- “ambos lenguajes deben construirse conjuntamente” (Schoenfeld, 1992) 5. El docente matemático: el por qué de sus competencias Los profesores tienen teorías implícitas acerca de la inteligencia, el saber, y el aprender (Greeno, 1989). Estas teorías pueden ser socialmente construidas desde perspectivas ideológicas teóricas y filosóficas como creencias epistemológicas (Flores, 2000). Estas creencias conforman la base de sus actitudes y acciones, e influyen en sus prácticas instruccionales y orientaciones pedagógicas (Deemer, 2004; Rust, 1994). Es esencial entonces preguntarnos acerca de la relevancia de los fundamentos teóricos, filosóficos, y prácticos que influyen en su quehacer actual. Debemos entender qué, cuándo o cómo se generaron esas prácticas, quiénes influyeron en esas creencias, cómo reconstruimos los procesos a partir de ellas, o a pesar de ellas; cómo las cambiamos, y si es o no posible reconstituir ese conocimiento, re-situarlo. ¿Qué ideas acerca de las matemáticas uno lleva consigo (arrastra) a su propio quehacer matemático?, y ¿cómo es que estas creen-

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cias individuales y personales modelan, estructuran la forma en que uno hace matemáticas y por lo tanto de cómo enseña matemáticas? Es aquí donde algunos autores asumen un punto de vista ‘constructivista’ en relación a cómo se construyen las percepciones y el quehacer individual matemático en los estudiantes. La individualización de la enseñanza para los estudiantes y el construir su estructura (marco conceptual) matemática a partir de sus creencias, intuiciones, y experiencias, y construir el aprendizaje nuevo sobre esos cimientos (“scaffolding”andamiaje) (Gibbons, 2002) a partir de la identificación de estos conocimientos previos, ayudará a los profesores en las etapas de reconocimiento e identificación de acciones a tomar, en términos curriculares y procesos de evaluación. Estas etapas de identificación de los estudiantes en términos de reconocimiento de lo que estos traen consigo a la sala de clases, han dado validez y efectividad a las elecciones curriculares necesarias en los procesos enseñanza aprendizaje de las matemáticas. Además refuerzan el sentimiento de control sobre lo que se sabe y lo que se debe aprender. Schoenfeld (1992) se refiere a la “cultura de la sala de la clase de matemáticas” como “una parte de una fórmula (prescrita), no negociable, y no relacionada con el resto del mundo” (p. 190). En este “nicho” suceden dinámicas de diálogo, de comunicación, de pensamiento y acción subconsciente, percepciones internas versus externas, interpretaciones y conjeturas, explicaciones de estas interpretaciones, y transmisión de un conocimiento “a mi manera”, dentro del contexto de lo personal. Por ejemplo, nuestro propio conocimiento acerca de cómo procesamos nuestra actividad de pensar: ¿Cuán efectivos y precisos somos en cuanto a responder, describir nuestras ideas, nuestros propios pensamientos? Tomamos decisiones con respecto a nuestras respuestas, y sólo cuando controlamos los ambientes, es decir “entendemos” reconocemos o no lo que el otro sabe, por lo tanto, podemos “adivinar lo imprevisto” de lo que el otro piensa y hacer conjeturas acertadas. Según Schoenfeld, una buena respuesta a un problema, exige el uso eficiente de lo que uno sabe: “si no se tiene una clara idea de lo que se sabe, uno tiene que aceptar que va a encontrarse con serias dificultades para resolver un problema (p. 190)” o para responder a un problema. En otras palabras, nuestro enfoque ante una tarea específica, y nuestro entendimiento de cómo resolver o manejar esa tarea, son afectados por el grado con el cual uno pueda responsablemente ser capaz de evaluar aquello que uno sabe, para entender lo que necesita aprender, y al mismo tiempo, controlar lo que es capaz de aprender. Tradicionalmente la actividad relacionada con la enseñanza de las matemáticas a nivel escolar se ha concentrado en el profesor de matemáticas. La formación del profesor de esta disciplina en términos del desarrollo de sus capacidades de contenido ha sido responsabilidad mayormente de las escuelas de ciencias básicas matemáticas con una alta concentración de académicos científicos matemáticos enfocados en contenido. Estos han permaneciendo significativamente divorcia-

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dos de los departamentos de formación pedagógica y han tenido muy escasa conexión con los centros educacionales y/o de investigación pedagógica. Hoy en día se reconoce, la necesidad de un serio acercamiento entre estas comunidades. En algunos modelos de investigación pedagógica matemática en los Estados Unidos, en los últimos años, el tema de colaboración interdisciplinaria entre las entidades vinculadas con los procesos de adquisición del conocimiento matemático, se visualiza como una variable indispensable en los procesos de formación y seguimiento de la carrera del y de la docente matemático/a. La formación del profesor de matemáticas se construye sobre una base interdisciplinaria que se cimenta en un fuerte dominio del conocimiento matemático además de técnicas de indagación (inquiry) de las diferentes instancias de discurso, aprendizaje y evaluación de procesos matemáticos en la sala de clases. Dichas acciones requieren de parte del profesor un conocimiento teórico y práctico, tanto de los conceptos y acciones metodológicas de la acción de enseñar matemática como del manejo de principios y procesos que enmarcarían sus acciones de liderazgo e indagación en el aula. Esta actitud intelectual le permite al docente visualizar la sala de clases de matemáticas como una plataforma de observaciones y análisis de los discursos y actividades que iluminan procesos de enseñanza aprendizaje significativos. Hoy en día, además, se estructuran los proyectos de institución y escuela, como pequeñas comunidades de aprendizaje. Este nuevo esquema se traduce en el reconocimiento de la realidad social, valores, lenguaje y cultura de la comunidad inmediata en la vida de los estudiantes (Reyes, 2008). En este contexto, las responsabilidades del educador se extienden a una experiencia de formación profesional que está enmarcada por esta nueva necesidad de visión antropológica del grupo social con el que se relaciona (Reyes, 2003), incluyendo además de las diferentes disciplinas, la comunidad científica, y la familia. Esta nueva comunidad educativa nos obliga a cuestionar la efectividad de las prácticas que incluirían a estos sectores tradicionalmente desasociados del contexto de la escuela, por ejemplo, los padres. La participación de los padres o familia responsable inmediata ha probado tener correlación positiva con el rendimiento de los estudiantes y su apreciación por las matemáticas (Rojas & Hartsock, 2006).

6. Proyecto reall (Raising Expectations for All Learners) Considerando las recomendaciones y modelos educativos emergentes, este proyecto se concentra en apoyar el desarrollo de la carrera docente del profesor de matemáticas al nivel de postgrado, en las aulas escolares de tres sectores urbanos en la zona del Este de los Estados Unidos de Norteamérica. Las actividades se extienden a la participación de directores, orientadores, padres y alumnos, y a

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los estudiantes de pre-grado de la Neag School of Education, de la Universidad de Connecticut, Storrs. La población escolar estudiantil de ascendencia hispanoamericana en dichos distritos escolares supera el 75 por ciento. Incluyendo la inmigración permanente de familias de Brasil, por lo que portugués se considera el segundo idioma materno de relevancia en las dinámicas del proyecto. REALL utiliza entre otros, conceptos y recomendaciones basadas en el protocolo de instrucción y evaluación SIOP (Sheltered Instruction Organizational Protocol) (Echevarría, Vogt & Short, 2006) incorporando en el diseño de las prácticas académicas y contextuales de sus participantes, nuevos conocimientos y actividades múltiples e interdisciplinarias. El proyecto REALL se enfoca en proveer a los profesores participantes con técnicas de trabajo pedagógico que les capacitan para desarrollar actividades didácticas siguiendo el concepto “nicho” de Schoenfeld, sheltered se traduce literalmente como “cobijado”. La sala de clase se transforma en un centro de interacciones y discursos cuidadosamente diseñados, guiados e investigados por el profesor. El protocolo de instrucción SIOP brinda oportunidades a los profesores de matemáticas de diferenciar las capacidades de sus alumnos y acomodar prácticas instruccionales relevantes a las necesidades académicas de sus estudiantes. El SIOP consiste de ocho componentes interrelacionadas que establecen un parámetro didáctico explicito al profesor tanto como al alumno, y a su comunidad inmediata. Sus componentes incluyen: • • • • • • • •

Preparación de la lección, Construcción de los fundamentos y conocimientos previos, Entrega comprensiva de la información, Estrategias de interacción, Interacción Práctica/aplicación, Presentación de la lección, y Revisión/evaluación.

Usando estrategias de instrucción conectadas a estos componentes, los profesores diseñan y dictan sus lecciones de matemáticas atendiendo explícitamente a las necesidades académicas y lingüísticas de los estudiantes. El protocolo enfatiza la importancia de priorizar la comprensión de los estudiantes sobre “lo que se enseña” y el “por qué se enseña” (objetivo del contenido), el lenguaje y las diferentes dinámicas de interacción del discurso matemático y del uso y comportamientos de este lenguaje (objetivo de lenguaje). El proyecto REALL-SIOP incorpora además el objetivo de cultura, y por primera vez interactúan explícitamente los conocimientos e interpretaciones matemáticas previas desde las perspectivas individuales de los estudiantes (Rojas 2009). Nunes, et al, describían las habilidades matemáticas de cientos de jóvenes, adquiridas mientras negociaban su

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sobrevivencia en las calles de Brasil (Nunes, Schliemann, and Carraher, 1993). El método REALL-SIOP reconoce los procesos de identificación y clarificación del lenguaje discursivo académico en las instancias de instrucción de conceptos matemáticos como el elemento fundamental de la comprensión del contenido matemático. Los estudiantes son expuestos a protocolos de comunicación y diferenciación, tomando en cuenta el leer, hablar, escribir y escuchar matemáticas. Los temas matemáticos reflejan las diferentes historias y vidas de los estudiantes y de sus comunidades. A través de cursos y seminarios formales intensivos, los profesores adquieren el conocimiento teórico y vuelven a sus centros y aulas escolares con una postura crítica y responsable al respecto de su quehacer diario. Es ahora más importante que nunca el identificar los temas claves que guiarán sus acciones pedagógicas. Se envuelven en diálogos formales e informales con sus colegas, compartiendo actividades de reflexión para generar cambios. El protocolo de evaluación de competencias se transforma en su instrumento personal de autoevaluación y crecimiento. Ya no es necesario un equipo de inspección ajeno a la realidad tan individual, personal, que se cuestiona. Es de el/ella mismo/a, su propia gestión, es aquí donde el profesor se apodera de su propio conocimiento. Los profesores y educadores participantes planifican, a nivel de sus instituciones, sesiones de desarrollo profesional usando el modelo REALL-SIOP. Se enfocan las sesiones en las diferentes componentes; toda la facultad incluyendo a los directores, orientadores, jefes de UTP, profesores, personal auxiliar, padres y representantes de los estudiantes, participan en sesiones generales y sesiones enfocadas en las especialidades, a nivel de responsabilidades, y luego a nivel interdisciplinario. Los temas de enfoque general son matemáticas y lenguaje, integrados en las diversas disciplinas, ciencias, ciencias sociales y las artes. Un aspecto de la integración curricular de las matemáticas que debe ser explícitamente incorporado en el currículo escolar matemático y como programa de formación de profesores, es la Etnomatemática (D’Ambrosio, U. 1990, 2004) (etnomatemática - etnogeometría). Desmitificar las matemáticas mediante la inclusión de su historia y conectarla a las historias de los/las jóvenes les hará apreciar la contribución que las distintas culturas hicieron al desarrollo del conocimiento matemático tanto como la matemática al desarrollo de la humanidad. Los educadores participantes de REALL incluyen en sus lecciones referencias a la geometría del arte y arquitectura maya, al sistema de conteo de los Incas, el calendario azteca, y el vocabulario mapuche. El profesor debe estar capacitado para conectar aspectos de la matemática a su historia. Ej. “el cero… ¿Quiénes, cuales civilizaciones fueron los primeros en pensar en este concepto? ¿Cómo impacta el desarrollo de la historia humana, y de la matemática? ¿En qué periodo de la historia?”

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Las prácticas de enseñanza matemática se caracterizan especialmente por concentrarse en el desarrollo de lenguaje a través del aprendizaje del contenido matemático, explícitamente reconoce y usa aspectos del conocimiento y experiencias culturales y matemáticas previas del estudiante, como métodos para construir lecciones significativas y apoyar el nuevo aprendizaje. Las lecciones se basan en Unidades Temáticas y se diseñan enfocándose en temas identificados, con propósito, (por ejemplo, temas de salud, medioambiente, responsabilidad social y/o cívica) y donde el enfoque es el aprendizaje de conceptos y procesos matemáticos. El diseño de las lecciones se planifica diferencialmente en torno a unidades temáticas. La diversidad lingüística es reconocida, evaluada y considerada en cada objetivo de las unidades y explícitamente demostrada en las lecciones. El idioma primario/materno (español) es deliberadamente utilizado a discreción del profesor, el currículo es modificado y adaptado (en su forma, no en su contenido) a las necesidades individuales de los estudiantes. Las investigaciones confirman que los estudiantes rinden mejor cuando leen y usan materiales en el lenguaje que dominan mejor. El material de lectura que utiliza conceptos culturalmente familiares facilita la comprensión. Además sabemos que el conocimiento adquirido en el idioma materno se transfiere al segundo idioma (Cuevas, 1997; NCTM, 2000; Center for Applied Linguistics [CAL], 2006; Echevarría, 2006). Las salas de clases se convierten entonces en nichos de interacciones, de conversaciones, en al menos tres idiomas: inglés, español y matemática. El involucrar a los estudiantes en conversaciones relacionadas con lo que se enseña, “conversaciones instruccionales” a la vez conectándolas con su quehacer personal estimula la seguridad, confianza y creatividad, elementos críticos en el desarrollo de la sensibilidad matemática (Goldenberg & PattheyChavez, 1995). Las conversaciones instruccionales se definen como diálogos en los cuales las ideas disciplinarias son exploradas hasta alcanzar el máximo entendimiento de los conceptos y se desarrollan con el propósito de involucrar a los estudiantes en discusiones, sin perder la relevancia y concentración de los temas en cuestión.

7. Conversaciones instruccionales Las conversaciones instruccionales en matemáticas se describen como diálogos en los cuales las ideas matemáticas se exploran hasta alcanzar el máximo nivel de entendimiento de un concepto con la intención de envolver a los/las estudiantes en discusiones extensas sin perder la relevancia y el enfoque contenido matemático. Pueden transformarse en avenidas de expresión matemática tanto como histórica,

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científica, social económica. Los estudiantes se envuelven en conversaciones en las que reflejan con sus propias palabras la interpretación de los conceptos matemáticos. Pueden ser planificadas en pequeños grupos y ser usadas para alcanzar objetivos de contenido tanto como de lenguaje matemático Una Escena en el aula de Matemáticas: El/la profesor/a dice; En el Teorema de Pitágoras: La suma de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo es igual al cuadrado construido sobre la hipotenusa” El/a profesor/a estimula a los estudiantes a expresar ideas en su propio lenguaje, el más familiar “díganlo, escríbanlo, con/en sus propias palabras” El/la profesor/a se envuelve en conversaciones relacionada con la historia y la época de Pitágoras, y e teorema de Pitágoras. En este tipo de actividades los estudiantes desarrollan y comparten preguntas y aplicaciones relevantes con sus compañeros. Los estudiantes deben ser alentados a sentirse libres de expresar ‘sus propios puntos de vista’, “a estimar” “a cometer errores” y “a encontrar respuestas y soluciones”. Los estudiantes van anotando los diferentes enfoques del problema vistos desde las perspectivas de los/as otros/as estudiantes, el/la profesor/a verifica, corrige, y construye el análisis. Los/las estudiantes discuten, construyen ideas, elaboran y se sienten libres de expresar “su propio punto de vista matemático”.

Los alumnos habrán tenido ya antes la experiencia de trabajar el tema con el profesor de historia. Y podrán utilizar el lenguaje del contenido matemático en las diferentes disciplinas, antes o después de la clase de matemáticas. Esta colaboración interdisciplinaria ayuda a los jóvenes a identificar los temas estudiados como exclusivos de “la matemática” tanto como las aplicaciones en el mundo real desde las perspectivas de las diferentes disciplinas. Una consecuencia importante en estas interacciones y sus secuencias es que los docentes trabajan colaborativamente en temas que hasta ahora, incluyendo las aplicaciones, han sido exclusivos del profesor de matemáticas. Los alumnos aprenden a diferenciar los componentes exclusivamente matemáticos de la disciplina matemática y a validar sus aplicaciones desde la plataforma de cada una de las disciplinas colaboradoras correspondientes (ciencias, cívica, física, música, arte, literatura, etc.). En un estudio de “interdisciplinaridad de la enseñanza de la Matemática” en Chile los estudiantes cuestionaban el conocimiento matemático del profesor de física quien “no nos supo explicar”, al mismo tiempo el profesor de física se quejaba de ‘tener que enseñar matemática a estos jóvenes que no aprendieron nada”. Además de aprender matemáticas y su lenguaje los alumnos son capaces de discernir el lenguaje matemático, ver la relevancia de las matemáticas en sus vidas y adquieren confianza en sus capacidades de hacer matemáticas. Al utilizar la matemática como el lenguaje que construye conocimiento y entendimiento de una nueva cultura y su comportamiento facilita el entrelazar respon-

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sabilidad social y estar alerta a problemas con los que quizás no estemos familiarizados y que los jóvenes encuentran en estos, lo que para ellos, nuevos ambientes. Los estudiantes aprenden de los otros, se sensibilizan acerca de sus realidades y los ayudan a resolver problemas. Gutstein y Peterson en su libro “Rethinking Mathematics (Repensando la Matemáticas)” (2005) nos proveen ejemplos de cómo los temas de responsabilidad social, ecología, preservación del medioambiente y clase social pueden entretejerse dentro del currículo matemático. Los estudiantes pueden aprender de su propio poder como participantes activos en esta nueva sociedad y mientras aprenden matemáticas importantes pueden jugar un rol más activo en sus comunidades a la vez que comunican este nuevo aprendizaje a sus familias y comunidades. Para lograr que los alumnos progresen desde un estado de no estar preparados hasta el punto donde se sientan capacitados para tomar riesgos, envolverse en actividades de alto nivel crítico, tomar una posición con respecto a las ideas matemáticas y científicas a la vez que manejan el contenido matemático, los profesores deben tener un entendimiento profundo de los estudiantes latinos/as y de sus comunidades (Reyes, 2007). Existe una conexión entre la capacidad de solucionar los problemas académicos (solucionar problemas cognitivos) y las habilidad de enfrentar y resolver problemas. Se ha encontrado gran conexión entre el conocimiento que el estudiante tiene de sí mismo y su rendimiento en matemáticas. Los/as profesores/as y los/as lideres de distritos escolares tienen la gran responsabilidad de confrontar, atender y comunicar a toda la comunidad, las necesidades de estos jóvenes. Al mismo tiempo deben elaborar procesos de experiencias de desarrollo profesional enfocadas en las recomendaciones emergentes derivadas de la investigación responsable. Los y las profesores/as pueden crear portafolios instruccionales con variedad de artefactos con el propósito de reconocer los estilos de aprendizajes individuales de los estudiantes. Los estudiantes en general se benefician trabajando en colaboración con los padres, profesores y estudiantes en la construcción de un plan diferenciado de los temas matemáticos que se deben reforzar, y con proyectos y tareas, u otras experiencias. Los profesores deben proveer acceso a mentores matemáticos de diversidad de género tanto como representantes de diversos grupos sociales, lingüísticos, culturales y étnicos. Deben reflejarse dentro del sistema escolar, de la comunidad, bien sea en persona o usando la tecnología cibernética (email). Los profesores deben crear problemas y ejercicios usando una variedad de estrategias instruccionales.

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8. Enseñanza/instrucción diferenciada en aulas inclusivas La diferenciación se refiere no sólo a la habilidad matemática si no a la realidad social, la cultura, el lenguaje y la habilidad de manejo y aplicación del lenguaje académico conforme a las necesidades especiales. El aula y las lecciones matemáticas son organizadas y acomodadas para cambios continuos. Las dinámicas de discurso, instrucción y evaluación son definidas y delineadas por las características individuales de los estudiantes. El National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) recomienda “proveer y facilitar apoyo a los estudiantes en su lenguaje natural…evaluar cuidadosamente su nivel de manejo de lenguaje y su nivel de conocimiento y dominio de las matemáticas… en la toma de decisiones y recomendaciones… y buscar en las recomendaciones de modelos de enseñanza, currículo, y estrategias de evaluación que se acomoden a estas diferencias culturales y lingüísticas “(NCTM, 2000). Mientras en Estados Unidos se cuestionan y rechazan permanente los beneficios de evaluar a los jóvenes latinos/as en su idioma materno, en América Central, en países como Guatemala, asumieron un compromiso responsable al delinear su proyecto educativo nacional. Siendo uno de los pocos países que ofrece exámenes nacionales en cuatro lenguajes mayas, K’ iche’, Q’ eqchi, Kaqchikel y Mam. Para estos cuatro lenguajes Mayas los exámenes nacionales de matemáticas y lenguaje se ofrecen a los estudiantes en el primer y segundo año de primaria. Los exámenes siguen las mismas especificaciones que los elaborados en español, pero los ítems son creados en cada uno de los lenguajes. La matemática Maya está representada en la aritmética de las cuatro operaciones, suma, resta, multiplicación y división.

9. La tecnología; recurso esencial en proceso de enseñanza-aprendizaje Ya en 1999, D’Ambrosio sintetizaba su propuesta de un nuevo concepto curricular en tres dimensiones: literacy, matheracy, and technoracy (D’Ambrosio 1999b). Estas tres dimensiones, intercambiablemente, nos proveen, “en una manera crítica, con poderosos instrumentos comunicativos, analíticos y tecnológicos para enfrentar el siglo 21” (D’Ambrosio, 2007). Aún, ya cerca de cumplir la primera década, el acceso y uso relevante de la tecnología difiere en calidad y cantidad dependiendo del grupo social y económico representativo del distrito escolar (PISA, 2005). La forma en que se debe estimular y aplicar el uso de la tecnología, presenta una oportunidad única en el proceso de disminuir la brecha de desigualdad en logros educativos entre estudiantes de diferentes grupos sociales. Los programas especialmente enfocados en temas de desarrollo, particularmente, del lenguaje literario tanto

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como del lenguaje matemático y las matemáticas en sí, están disponibles (Tracey & Young, 2005) para todos los niveles escolares y se usan consistentemente a través del currículo en los distritos escolares de comunidades de niveles socioeconómicos altos. Los programas dirigidos a estudiantes CLSD, han ignorado la potencialidad de estos instrumentos. El acceso a libros electrónicos, historias interactivas, textos completos disponibles a través de archivos públicos, es posible tanto en las escuelas como en lugares públicos. El software de acceso gratis a nivel internacional se ofrece en varios idiomas. Los gobiernos a través de las municipalidades y distritos deben formalizar proyectos que permitan el acceso de las escuelas a programas y estudios que explícitamente se enfoquen en las necesidades didácticas de esta población estudiantil y sus familias, capacidades, edades, niveles de lenguaje, etc. La tecnología provee oportunidades instruccionales para todos; estudiantes, padres y profesores trabajando en conjunto. Al mismo tiempo es un instrumento que facilita la comunicación e intervención inmediata con respecto a los avances y limitaciones de los jóvenes. Algunas tecnologías de comunicación disponibles incluye Microsoft NetMeeting, que ofrece conferencias-web audio, White board interactivos y con capacidad para chateo; el uso apropiado y dirigido de juegos, herramientas graficas como calculadoras, y software creativo. La tecnología ofrece posibilidades de trabajo independiente a estudiantes en escuelas y distritos que no pueden ofrecer una proporción baja de profesor/alumno. Los padres, tutores, alumnos y profesores se comunican individualmente o en grupo, en diferentes capacidades y horarios usando programas similares como web-based instant messenger, e-mail or Skype. (Burns, 2006). Las didácticas y metodologías de uso de las tecnologías en ambientes CLSD deben ser un elemento explícito en la formación del docente. El liderazgo en el uso efectivo de la tecnología le da más y mejor acceso al material disciplinario, a la comunicación con otros/as docentes y a otros modelos pedagógicos. También facilita e incrementa su capacidad de diferenciar y afrontar las necesidades exclusivas de cada estudiante. Las investigaciones nos muestran que los estudiantes, en general, pasan más tiempo envueltos en prácticas independientes con sus profesores, instructores, y mentores cuando se integra la tecnología (Means et al, 2007). El estudiante transforma su quehacer y asume control e independiza su práctica, la tecnología se transforma en “el otro profesor” (Burns, 2006). El/la profesora de aula, entonces, se concentra en problemas importantes relacionados con su quehacer profesional como docente reflexivo.

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10. Conclusión Coincidimos entonces en que las perspectivas teóricas recientes se enfocan en el aprendizaje de las matemáticas como un proceso que intrínsecamente envuelve el uso de lenguaje y el lenguaje se manifiesta como la expresión de una cultura inherente a cada individuo. Tales nociones respaldan las descripciones del proceso de enseñanza matemática como un proceso que debe enfocarse en “darle sentido” a lo que se enseña (Lampert, 1990; Schoenfeld, 1992; 2001), y a la necesidad de desarrollar normas socio-matemáticas de discurso y comunicación en el salón de clases (Cobb, Wood, & Yackel, 1993). El proceso debe además facilitar prácticas de comunicación de las matemáticas en las que se debe modelar y argumentar matemáticamente. Concordamos en que los currículos basados en Estándares coinciden en propiciar la discusión y análisis de problemas y situaciones matemáticas, para lo cual el profesor debe desarrollar en el estudiante una capacidad matemáticamente analítica pertinente, además de organizar, de interpretar y representar el problema, donde deben resolverse y comunicarse los resultados. Esto requiere, además, el uso y dominio de un lenguaje, primario, que sirva para la interpretación y comunicación de las matemáticas (Moschkovich, 2000). Atender a esa demanda es imprescindible. Al conseguir el desarrollo profesional permanente del docente a través de la investigación crítica y reflexiva, al aplicar el conocimiento derivado de la investigación en sus propias aulas, con extensión a la comunidad, en sus experiencias pedagógicas matemáticas inmediatas; al desarrollar y modificar conceptos y teorías educativas conceptuales a través de actividades, observaciones e investigaciones dentro de su realidad y la de sus estudiantes y sus historias, el profesor fundamenta sólidamente su práctica educativa, al mismo tiempo que la dignifica y valora en su quehacer académico-científico profesional. Promueve además propuestas alternativas con posibilidades de elaborarlas e implementarlas sobre la base de las tendencias actuales en Educación Matemática a la vez que establece una plataforma de creatividad e investigación científica con efectos más amplios que los de su quehacer en la sala de clase.

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CONOCIMIENTOS Y CURRÍCULO EN LA EDUCACIÓN MATEMÁTICA Ángel Ruiz Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas, Universidad de Costa Rica. Escuelas de Matemática de la Universidad Nacional y Universidad de Costa Rica. http://cimm.ucr.ac.cr/aruiz [email protected] Resumen Se abordan asuntos centrales del currículo para la formación inicial de educadores matemáticos y se propone un modelo de descripción de los distintos componentes cognoscitivos que debe incluir. Se apuntala el papel del conocimiento pedagógico del contenidos matemáticos CPC, y se señalan características tanto de éste CPC como de las matemáticas que específicamente deben poseer estos currícula. Palabras clave Educación Matemática, Curriculum, Enseñanza, Conocimientos. Abstract Central issues of the curriculum for the initial formation of Mathematics Teachers are tackled and we propose a model for the description of the different knowledge components that it must include. There is propped up the role of the Pedagogical Content Knowledge PCK, and characteristics so much of this one PCK as of the Mathematics that specifically must include these curricula are proposed. Key words Mathematics Education, Curriculum, Teaching, Knowledge.

Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 107-141. Costa Rica

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1. Introducción Dentro de los principales centros de interés que ha establecido la Educación Matemática en el mundo, se encuentra el tema de los conocimientos que deben poseer el educador matemático, para realizar “efectivamente” su práctica profesional. Las preguntas son varias: ¿Posee un impacto el conocimiento de los educadores en la forma enseñanza? ¿Importa en el aprendizaje de los estudiantes? ¿Cuál tipo de conocimientos es más relevante ya sea para enseñar o para lograr resultados de aprendizaje? ¿Cuál debería ser la organización óptima de los diferentes tipos de conocimiento? ¿Posee un impacto? La formación inicial influencia la forma en la que el educador establece su labor (Fennema y Loef Franke, 1992, p. 148) pero sobre todo la manera de enseñanza. Para la psicología cognitiva, por ejemplo, el conocimiento, en general, influye directamente en el pensamiento de los educadores, y por lo tanto en las acciones que realice en el aula (Brown y Borko, 1992, p. 211), aunque este impacto directo en el aprendizaje no sea, sin embargo, como veremos, tan claro. Se puede aproximar el problema del currículo en Educación Matemática desde dos ópticas: centrada en los contenidos (especialmente matemáticos), o en situaciones de enseñanza aprendizaje. Los hallazgos en investigación internacional favorecen la segunda perspectiva. Cuando se asume una óptica curricular basada en los contenidos matemáticos, simplemente, se busca seleccionar y adaptar el currículo de la Enseñanza de las Matemáticas de tal manera que, por ejemplo, un plan de estudios incluya suficientes contenidos en las áreas matemáticas (designadas por los matemáticos como relevantes), y, a la vez, no tenga contenidos en exceso más bien propios de la profesión matemática para la educación superior y la investigación. Normalmente, las experiencias en ese enfoque han apuntado a reducir los contenidos matemáticos en cantidad y profundidad (una profesión con menor “nivel” matemático). En este enfoque su lógica está determinada por las necesidades propias de los matemáticos o por lo que es interpretado así por ellos. Las necesidades pedagógicas se “cubren” con algunos cursos de educación, ya sea de didáctica, currículo, evaluación, o componentes de otras disciplinas conexas (como la psicología). Estos últimos de una naturaleza general y no específicos a la disciplina de las matemáticas. Como desarrollaremos con mayor detalle, la experiencia más generalizada en el mundo ha sido una estructura de conocimientos que unifica dos áreas cognoscitivas: matemáticas y pedagogía. Normalmente, se ha asumido la pedagogía o la didáctica (en la tradición europea continental) como una ciencia un arte general, aplicable a situaciones particulares que generan pedagogías o didácticas “especiales” o específicas. La Educación Matemática es aquí un “matrimonio” entre contenidos matemáticos y

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contenidos de esa pedagogía general. Se trata de una yuxtaposición de contenidos, sin intersección o interrelación íntima. Esto se expresa en currículos con cursos de matemática por un lado y curso de pedagogía por el otro. ¿Dónde queda la mediación entre contenidos matemáticos y pedagogía específica para el aula? Se asumía que los contenidos pedagógicos generales proporcionan la base para esa mediación específica. La realidad es, sin embargo, otra. En algunos países, el énfasis fue colocado en los contenidos matemáticos; en otros el énfasis se dio en los contenidos de educación general. En algunos países se ha favorecido un currículo en el cual la formación matemática se enfatiza por años y se concibe la Educación Matemática como una especialización posterior (España, Francia); en otros, más bien, las matemáticas son un énfasis dentro de un currículo de educación. Esto ha tenido que ver con los lugares institucionales en los cuales la Educación Matemática se desarrollaba (en Escuelas de Matemática o en Facultades de Educación). En muchos casos, sin embargo, la separación entre matemática y educación y otros componentes ha sido la regla durante muchos años. Pedagogía impartida por especialistas en educación, en general, sin conocimiento de las matemáticas. Y matemáticas aportadas por profesores de matemáticas (aunque no necesariamente matemáticos profesionales activos), sin conocimiento de la pedagogía. Como afirman Ruiz, Chavarría y Alpízar (2003): Durante décadas y décadas hasta ahora en todo el mundo han predominado programas de formación de profesores de matemáticas que han sido en esencia “embutidos” de pedagogía general y matemáticas (la mayoría de las veces de bajo nivel). Una yuxtaposición pobre e inútil para propiciar el progreso de la enseñanza aprendizaje de las matemáticas. Los profesores de matemáticas formados en esas condiciones terminan al egresarse de las universidades dependiendo de sus virtudes y debilidades solamente para su labor, sin poder fundamentar sus actividades profesionales en métodos y conceptos y recursos proporcionados por su disciplina en las aulas universitarias. A las dificultades propias de la naturaleza de las matemáticas para su aprendizaje, se añaden las derivadas de una separación drástica entre pedagogía y matemáticas. La construcción de la disciplina académica permitirá avanzar en la definición de un perfil profesional propio, una especialidad capaz de seguir progresando. La investigación en este escenario, ahora y como ejemplo, es posible de concebirse como un proceso permanente incorporado, como dijimos antes, en los quehaceres de la profesión, en el aula misma.

Vamos a buscar, en lo que sigue, una respuesta teórica a los problemas planteados en la anterior cita.

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2. Conocimiento pedagógico del contenido y currículo Desde hace más de 20 años, las principales investigaciones apuntan a una reconstrucción de los curricula en la enseñanza de las matemáticas que supere la perniciosa dicotomía y separación entre contenido matemático y contenido pedagógico. Esta separación entre contenido disciplinar y pedagogía no ha sido exclusiva de las matemáticas: química historia, lenguaje, etcétera, han visto las dificultades de esta dicotomía. Por eso mismo, vamos a reseñar alguno de los planteamientos generales más significativos que se han dado en el contexto internacional. El norteamericano Lee Shulman (1986) afirmaba que el “paradigma escondido” en la formación ha sido precisamente el “conocimiento pedagógico del contenido” CPC, en inglés Pedagogical Content Knowledge. Este va más allá del conocimiento de la disciplina en sí mismo y señala al conocimiento de la disciplina para la enseñanza. No se trata de una conjunción de pedagogía y contenido, ni una intersección de ambas. Según este psicólogo norteamericano, dentro de esta categoría debe incluirse, en relación con los tópicos que se enseñan con mayor regularidad en una materia, las formas y representaciones más útiles del concepto o procedimiento, las analogías más poderosas, ilustraciones, ejemplos explicaciones y demostraciones. El lo resume diciendo CPC son: Las vías de representación y formulación de la materia que la hacen comprensibles a los otros. El conocimiento pedagógico del contenido también incluye el entendimiento de lo que hace algo fácil o difícil en el aprendizaje de tópicos específicos, es decir concepciones y preconcepciones que los estudiantes de la diferentes edades y contextos incorporan en el aprendizaje de los tópicos más frecuentemente enseñados y en las lecciones más frecuentemente enseñadas. Cuando estas preconcepciones son equivocadas, lo que es usual, los educadores necesitan conocimiento de las estrategias que pueden resultar más fructíferas para reorganizar el entendimiento de los estudiantes, puesto que es poco probable que estos estudiantes participen en el proceso educativo como una tabla rasa (Shulman, 1986, p. 9).

Es decir, las dimensiones cognitivas que participan en el acto de enseñanza aprendizaje son irrelevantes y poseen un estatuto propio dentro del conocimiento que debe tener el educador. Shulman y Quinlan (1996) insisten: La capacidad para enseñar, sin embargo, no está compuesta de un genérico conjunto de habilidades pedagógicas; en su lugar, la efectividad de la enseñanza es altamente dependiente conjuntamente del conocimiento del contenido y del conocimiento didáctico del contenido, en cómo una buena comprensión de la materia

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y en cómo una buena comprensión de los modos de transformar los contenidos de materia en representaciones con potencialidad didáctica (p. 409).

¿Cuál es la esencia intelectual de esta aproximación? El conocimiento de la disciplina no genera por sí mismo los mecanismos para la enseñanza de los contenidos en particular a alumnos específicos. Este conocimiento se construye con y sobre conocimiento de la disciplina, el conocimiento teórico general y el conocimiento de los alumnos. Según Gudmundsdottir (1990): “es la parte más importante del conocimiento base de la enseñanza y distingue al profesor veterano del novel, y al buen profesor del erudito”. ¿Cómo se construye este conocimiento pedagógico del contenido? ¿Es una derivación del contenido? Bolívar (2005) acude a los términos de Marks (1990) para señalar algunas vías, interpretación, especificación y síntesis de la siguiente manera: • • •

se puede considerar que algunas dimensiones pedagógicas del contenido se siguen directamente del contenido matemático (“interpretación”); Otras dimensiones pueden derivarse de conocimientos pedagógicos generales (“especificación”); Otras dimensiones no se derivarían necesariamente ni del contenido disciplinar ni del pedagógico ni de otro conocimiento pedagógico del contenido anterior (“síntesis”), pueden ser todos ellos en alguna proporción.

Debe hacerse el CPC, entonces, en esa categoría de construcciones pedagógicas que no son implicaciones de contenidos disciplinares o de pedagogía general, sino de la situaciones específicas a la enseñanza aprendizaje de una materia. También, con Grossman (1989) y Marks (1990), citados por Bolívar (2005), se pueden señalar otros componentes posibles del CPC: 1. Conocimiento de la comprensión de los alumnos: modo cómo los alumnos comprenden un tópico disciplinar, sus posibles malentendidos y grado de dificultad; 2. Conocimiento de los materiales curriculares y medios de enseñanza en relación con los contenidos y alumnos; 3. Estrategias didácticas y procesos instructivos: representaciones para la enseñanza de tópicos particulares y posibles actividades/tareas; y 4. Conocimiento de los propósitos o fines de la enseñanza de la materia: concepciones de lo que significa enseñar un determinado tema (ideas relevantes, prerrequisitos, justificación, etc.).

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Con Ruiz, Barrantes y Gamboa (2009): El conocimiento pedagógico del contenido implica una reorganización y transformación de los contenidos disciplinares que debe tener en cuenta el contexto, el currículo y los estudiantes. Apunta directamente hacia elaboraciones y construcciones sobre la enseñanza de un tópico específico y representaciones múltiples del mismo, así como sus propósitos didácticos. Incorpora también los mecanismos de pensamiento y razonamiento que pueden resultar fructíferos para el objetivo pedagógico. También incorpora los valores, creencias, concepciones que participan en la práctica de enseñanza aprendizaje en un nivel determinado.

¿Es el conocimiento pedagógico del contenido un subconjunto de la disciplina o es algo más? Es decir, una vez reconocidos la existencia y el lugar del CPC, se plantea si ésta es una derivación exclusiva el contenido. En el caso de las matemáticas, ¿definen y determinan éstas su CPC? Concordamos con Hashweh (2005): El conocimiento didáctico del contenido es el conjunto o repertorio de “construcciones pedagógicas”, resultado de la sabiduría de la práctica docente, normalmente con una estructura narrativa, referidas a tópicos específicos. De este modo no sería ni una subcategoría del conocimiento de la materia (conocimiento de la materia para la enseñanza) ni una forma genérica de conocimiento, sino una colección de “construcciones didácticas”, específicas para cada tópico, que puede ser examinada en los diversos componentes que la configuran (conocimiento curricular, del contenido, creencias sobre la enseñanza-aprendizaje, conocimientos y creencias didácticas, conocimientos del contexto y recursos, metas y objetivos) (reseñado por Bolívar, 2005).

Cabe preguntarse también si el CPC se reduce a los conocimientos que merecen la comprensión de la cognición o el aprendizaje e individual de los sujetos. En nuestra opinión el conocimiento pedagógico del contenido o la pedagogía específica no pueden reducirse a la psicología del aprendizaje al margen de los contextos e influencias sociales que forman parte del hecho educativo. En resumen, se asume en esta perspectiva que la pedagogía (o la didáctica, en la acepción europea continental), vista como conjunto de principios genéricos que se pueden aplicar a cualquier disciplina, es algo diferente de una pedagogía específica. La existencia de una pedagogía específica tiene sentido epistemológico a partir de la existencia del conocimiento de la disciplina específicamente pedagógico. Puesto en otros términos: la didáctica específica no se considera simplemente una aplicación de los principios de la pedagogía general, sino que refiere a los métodos específicos de la disciplina y las circunstancias precisas en que se realiza la formación en la misma. ¿Cómo se deben integrar en el currículo (en la misma malla curricular) el conocimiento disciplinar, el conocimiento pedagógico del contenido y conocimiento pedagógico general? Las investigaciones sugieren que, puesto que estos tres com-

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ponentes se superponen y poseen intersecciones en la práctica, entonces: “… los centros de formación del profesorado no deberían impartirlos en cursos independientes (cursos disciplinares y métodos didácticos por otro)” (Bolívar, 2005, pp. 25-26). No obstante, podríamos pensar que de lo que se trata es de establecer una estrategia que involucre CPC y una enseñanza de los contenidos matemáticos de manera específica para el educador. Volveremos sobre este tema.

3. Conocimientos en la formación del educador matemático: propuesta de un modelo teórico El diseño y arquitectura precisos de un currículo debe obedecer a varios factores contextuales e históricos aparte de los teóricos y epistemológicos. No es el propósito de nuestro trabajo ofrecer un mayor nivel de precisión. Con base en las anteriores consideraciones, sin embargo, vamos a referirnos con mayor detalle a la estructura de conocimientos para el educador matemático. Shulman (1987) señala varios tipos de conocimiento que debe poseer un educador: Si hubiera que organizar los conocimientos del profesor en un manual, en una enciclopedia o en algún otro tipo de formato para ordenar el saber, ¿cuáles serían los encabezamientos de cada categoría? Como mínimo incluirían: • •

Conocimiento del contenido; Conocimiento didáctico general, teniendo en cuenta especialmente aquellos principios y estrategias generales de manejo y organización de la clase que trascienden el ámbito de la asignatura; • Conocimiento del currículo, con un especial dominio de los materiales y los programas que sirven como “herramientas para el oficio” del docente; • Conocimiento didáctico del contenido: esa especial amalgama entre materia y pedagogía que constituye una esfera exclusiva de los maestros, su propia forma especial de comprensión profesional; • Conocimiento de los alumnos y de sus características; • Conocimiento de los contextos educativos, que abarcan desde el funcionamiento del grupo o de la clase, la gestión y financiación de los distritos escolares, hasta el carácter de las comunidades y culturas; y • Conocimiento de los objetivos, las finalidades y los valores educativos, y de sus fundamentos filosóficos e históricos. Entre estas categorías, el conocimiento didáctico del contenido adquiere particular interés porque identifica los cuerpos de conocimientos distintivos para la enseñanza. Representa la mezcla entre materia y didáctica por la que se llega

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a una comprensión de cómo determinados temas y problemas se organizan, se representan y se adaptan a los diversos intereses y capacidades de los alumnos, y se exponen para su enseñanza (pp. 10-11)

Shulman no buscaba ser exhaustivo. No obstante, apuntó algunas de las principales categorías que vamos a considerar aquí dirigidas hacia las matemáticas. El nuevo contexto apunta a una disciplina y ciencia social que parte de los conceptos y métodos matemáticos (que nutren y establecen las fronteras cognoscitivas en las que se trabaja), realiza una “transposición didáctica” (una conversión de los mismos en objetos educativos para la enseñanza y aprendizaje), y coloca sus objetivos colectivos en aprendizajes dentro de entornos sociales. Invoca matemáticas teóricas (que proporcionan objetos y métodos específicos), matemáticas para la enseñanza (matemáticas que han tenido un proceso de transposición didáctica), conocimientos de historia, filosofía, antropología y otras ciencias sobre las matemáticas, didáctica o pedagogía específica (asociada a las matemáticas), conocimiento de los aprendizajes matemáticos (cognitivo, social), y conocimiento de los procesos educativo generales (pedagogía, sociología). Existen otros conocimientos que se deben incorporar en la formación de un educador matemático que apelan a su formación integral, como las bellas artes y las llamadas “humanidades” o técnicas (como las TICs), las lenguas modernas (aquí daremos énfasis a aquellos componentes directamente aplicados en la profesión). Podemos integrar estos conocimientos en un modelo formado por esos elementos cognoscitivos de la siguiente manera:

Tabla1. Estructura de conocimientos en la formación inicial del educador matemático Categoría 1. Conocimiento general

Subcategorías

Descripción Aquel que no refiere a los procesos educativos pero que es relevante en la formación integral del educador y de todo profesional: estudios que sostienen una perspectiva humanista en la formación, conocimientos instrumentales (lenguajes y paquetes informáticos, etc.), otras lenguas.

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2. Conocimiento matemático y metamatemático

Conocimiento mate- Las matemáticas que el educador necesita, una mático forma de matemática aplicada (subconjunto de las matemáticas, aunque no un subconjunto de las matemáticas para el matemático, del ingeniero, u otros): representaciones de conceptos y soluciones múltiples, útiles para construir situaciones problemas, generadoras de pensamiento matemático, interrelaciones teóricas dentro de las matemáticas, representación por medio de modelos y aplicaciones, etc. Conocimiento meta- Los conocimientos sobre las matemáticas desde matemático diferentes enfoques disciplinarios: historia, filosofía, estudios sociales de las matemáticas. No es toda la metamatemática sino aquella de interés para el educador (subconjunto de las metamatemáticas).

3. Conocimiento edu- Conocimiento peda- Refiere a los diferentes aspectos que participan cativo general gógico general directamente en la enseñanza y aprendizaje: currículo, evaluación, didáctica, psicol ogía del aprendizaje y la enseñanza, cognición, sociología educativa. Conocimiento educa- Intervienen en la educación pero no necesariativo general no peda- mente para la acción pedagógica directa: normagógico. tivas institucionales, sociología y antropología de grupos, etc. 4. Conocimiento pedagógico de las matemáticas y las metamatemáticas.

Conocimiento peda- Refiere a las representaciones múltiples y mediagógico matemático ciones pedagógicas específicas de los contenidos matemáticos. En dos dimensiones generales: relativas a los estudiantes; relativas a la enseñanza. Conocimiento peda- Dimensiones pedagógicas de las metamatemátigógico metamatemá- cas: conceptos y métodos cómo intervienen o se tico pueden usar historia, epistemología, antropología, etc. en el aula.

Modelo elaborado por A. Ruiz.

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Se puede representar gráficamente como aparece en la figura 1.

Figura 1. Estructura de conocimientos en la formación inicial del educador matemático.

General

Educación General

Matemáticas y Metamatemáticas

Pedagogía en Matemáticas y Metamatemáticas

Veamos con mayor detalle algunas de estas categorías. Conocimiento educativo general El conocimiento educativo general refiere a aquellos principios y situaciones generales de enseñanza y aprendizaje, principios curriculares y de evaluación, psicología de niños y adolescentes, dinámica de grupos, liderazgo colectivo, reglamentación institucional, influjos socioculturales en la educación presentes en la práctica educativa, etc. Con Ruiz, Barrantes y Gamboa (2009): La investigación revela que este componente general no posee un impacto tan fuerte en el éxito del aprendizaje específico de la matemática en el aula. Sí es importante, no obstante, porque existen dimensiones no relativas directamente a las matemáticas que intervienen en la práctica profesional dentro y fuera del aula: entre otras, vida institucional, interrelación con profesionales de otras disciplinas, conductas (psicología y sociología) de grupos o individuos, problemas generales de aprendizaje (discapacidades, por ejemplo), visiones y creencias sobre la educación y la vida que

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intervienen (filosofías), factores culturales generales (asociados a etnia, género, clase social, etc.), valores éticos, actitudes, legislación, etc. Es un componente general que apoya las perspectivas más amplias de la profesión del educador.

El problema que ha existido en muchas partes en el currículo del educador matemático, es que ha incorporado sólo dos componentes: matemáticas y ciencias sociales de la educación. Incluso, en algunos países, se llegó a asumir que la transposición didáctica de las matemáticas a las “matemáticas para la enseñanza” debía ser realizada por el mismo educador dotado solamente de esos componentes. Esto era simplemente absurdo. Lo que hoy se subraya como crucial es la incorporación de las dimensiones específicas en la pedagogía y el aprendizaje de las matemáticas. La presencia de matemáticas y conocimiento educativo general no encierra ningún secreto especial. Una situación diferente ocurre con la pedagogía matemática. Además, resulta de interés mencionar que no hay evidencia de que el conocimiento de teorías generales del aprendizaje (ya sea behaviorismo o constructivismo) impacten las decisiones de los educadores en su labor de aula (Fennema y Loef Franke, 1992, p. 153). O sea, su incorporación no posee un influjo directo para la práctica docente (lo cual no quiere decir, por supuesto, que no haya que incorporarlas en el currículo). Sí hay evidencia de un mayor impacto en la acción del docente del conocimiento de las condiciones cognitivas en las que se realiza el aprendizaje, es decir, de los procesos mentales a través de los cuales el estudiante aprende de manera específica los conceptos matemáticos (diversidad de estrategias, estructura de pasos cognitivos, obstáculos didácticos). Por las razones señaladas arriba, no vamos en este trabajo a dar un detalle mayor al conocimiento educativo general. Conocimiento pedagógico de las matemáticas y las meta-matemáticas Ya hemos mencionado que un fuerte impacto sobre la práctica profesional y, por ende, en la enseñanza y el aprendizaje posee, según los hallazgos de la investigación, el conocimiento pedagógico de los diferentes tópicos de las matemáticas que se deben enseñar. Es decir, el conocimiento de las técnicas, principios, organización de situaciones y recursos en general para enseñar en el aula aquellas partes de las matemáticas que posee el currículo escolar. No se trata solamente de adquisición de técnicas (procedimientos) sino de conocimiento de todos los aspectos que se encuentran en los procesos de enseñanza aprendizaje de cada tópico matemático: orígenes cognoscitivos e históricos en las matemáticas, significado y perspectiva matemática de los conceptos o métodos a enseñar, estudio de los procedimientos de

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enseñanza posibles y una jerarquización de los mismos en función del aprendizaje, organización de la clase para el objetivo específico, estudio de dificultades u obstáculos didácticos, etc. Se debe ver como una integración interactiva entre matemática y pedagogía orientada con precisión hacia el nivel educativo y a los contenidos matemáticos que se deben enseñar. Podemos colocar algunas subcategorías bajo el conocimiento pedagógico del contenido: • • • • • • •

Teorías del aprendizaje matemático. Cognición y matemáticas. Creencias en matemáticas. Currículo matemático. Didácticas y gestión de las matemáticas. Evaluación matemática. Investigación en Educación Matemática.

La lista, por supuesto, no es exhaustiva y, también, se pueden reagrupar las subcategorías, pero, con la estructura presentada, ya hemos dibujado la perspectiva teórica que pensamos puede sostener un currículo en la Educación Matemática. ¿Cómo se perfilaría mejor este conocimiento pedagógico de las matemáticas? Ofrecemos en lo que sigue algunas pinceladas de lo que pueden ser estas subcategorías cognoscitivas con propósitos de ilustración. Teorías del aprendizaje matemático. El educador matemático debe conocer las epistemologías de la Educación Matemática: constructivismo, socioculturalismo, interaccionismo, etc., las teorías educativas de la construcción de conocimiento matemático y mediaciones prácticas en la acción de aula. ¿Cómo se construye una estrategia didáctica en las matemáticas de acuerdo a las diferentes perspectivas epistemológicas? Didácticas y gestión de las matemáticas. Producto precisamente de la mayor conciencia del lugar del conocimiento pedagógico del contenido, en las últimas décadas se ha dado una amplia generación de resultados sobre cómo enseñar los contenidos matemáticos en los diferentes niveles educativos. Ya sea que se acuda al recurso de contextualizar en entornos sociales y físicos, al uso de manipulables, al uso de la historia, los juegos de contenido matemático, los desafíos o las tecnologías digitales modernas, se empuja a la utilización de múltiples instrumentos para apoyar el aprendizaje. Es decir: potenciación de las didácticas matemáticas. En esto se pueden señalar dos posible aspectos: por un lado, las didácticas asociadas a cada disciplina de las matemáticas:

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• • • • •

Didáctica del álgebra. Didáctica de la geometría. Didáctica del análisis (de funciones, cálculo, etc.) Didáctica de la aritmética y la teoría de números. Didáctica de la estadística y las probabilidades.

En cada caso, se trata de invocar múltiples representaciones de los conceptos o procedimientos de cada una, diversas estrategias de enseñanza (adaptadas a cada una), contextos de aplicación, perspectivas generales en cada disciplina. En todo momento: se debe abordar la didáctica desde las competencias asociadas que establece el currículo escolar y buscar los mejores mecanismos para desarrollarlas en cada caso. Por el otro lado, se encuentran temas transversales (presentes en todas las disciplinas y en el currículo matemático): uso de la historia, de las tecnologías, de la investigación, etc. La didáctica que utiliza como medio la historia de las matemáticas, por ejemplo, es un conocimiento distinto de la historia de las matemáticas específicamente. Invoca estrategias y procedimientos pedagógicos de una mera particular. Didáctica general de la gestión del aprendizaje de las matemáticas en el aula. Esto último refiere a las características de la acción docente en el aula: organización de las etapas (inicio, cierre, siguiente lección), las instrucciones y las actitudes docentes (el nivel de la participación del estudiante, por ejemplo), las tareas escolares, la escogencia de los instrumentos pedagógicos, que pueden usar, entre otros, marcos teóricos provenientes de la resolución de problemas, la teoría de las situaciones didácticas, la fenomenología didáctica, etc. Son relevantes las experiencias internacionales en la labor de aula; ¿qué resultados aportan que pueden ser útiles para el educador? Estudios comparativos de aula son importantes de conocer. Por ejemplo, los ya clásicos de Stigler y Hiebert (1999) o los más recientes de Clarke, Emanuelsson, Jablonka, y Mok (2006), y Clarke, Keitel y Shimizu (2006). Cognición y matemáticas. Los resultados de investigación evidencian que las dimensiones específicas del qué y cómo enseñar matemática son las cruciales; lo mismo sucede con los conocimientos sobre el aprendizaje. De hecho, los estudios realizados con la influencia de la psicología educativa cognitiva (donde pesa el constructivismo), el socioculturalismo y la misma resolución de problemas, todos interesados en el aprendizaje, potenciaron lo que se suele llamar las ciencias cognoscitivas (“cognitive science”). Este último es un nuevo campo interdisciplina-

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rio que, desde finales de los años 50, incluye antropología, inteligencia artificial, psicología cognitiva, computación, educación, lingüística y filosofía (Schoenfeld, 2000). Con nuevos instrumentos de experimentación, metodologías y formas de postular las diversas teorías se abrieron interesantes y novedosas posibilidades de experimentar sobre el estudio del pensamiento y resultados muy relevantes sobre el papel de los contextos culturales y sociales en el aprendizaje (Bransford et al, 2000, p. 8). Este importante campo de investigación hoy incluye todos los aspectos sobre la formación de conceptos matemáticos, las conductas y estrategias en la resolución de problemas, los esquemas cognitivos, la construcción de sentido o significado, las características efectivas y actitudinales en relación con los estudiantes. La cognición y el aprendizaje de las matemáticas es el tipo de investigación predominante en la Educación Matemática (Niss, 2000). Este tipo de estudios y sus conclusiones deberían nutrir con fuerza el currículo de la enseñanza de las matemáticas en las universidades. Ahora bien, no solo debe incorporarse aquí el conocimiento de los aprendizajes con base en la óptica de la psicología cognitiva, que se centra mucho en el individuo y su devenir interno, sino, también, conocimiento sobre los influjos culturales y sociales, las instituciones, la familia, etc. y sobre las conductas colectivas que impactan en el aprendizaje: la interacción interpersonal, lo cooperativo, la dinámica colectiva de los procesos de aprendizaje, las negociaciones y los “contratos didácticos” en el aula (explícitos o implícitos), las características de la transmisión de significados en la clase, las modificaciones cognoscitivas por la influencia de los otros en el individuo y viceversa. En el currículo del educador matemático debería ingresar, por ejemplo, el análisis de los procedimientos mentales presentes en los procesos educativos relacionados con las matemáticas, tanto por parte de los estudiantes como de los profesores (por ejemplo, las actitudes tipo “efecto Topacio” o “efecto Jourdain” que ha señalado Brousseau, o la “constante macabra” de Antibi). Descripción, significados y utilización pedagógica de los errores y las dificultades en las matemáticas. Procesos mentales específicos en la resolución de problemas: por ejemplo, metacognición (control). Creencias en matemáticas. Los resultados sobre las creencias, un componente importante en los trabajos sobre resolución de problemas, tanto de los estudiantes como de los educadores, es un tema que debería incluirse en el armamento teórico que reciben los educadores en formación. Lo que piense un estudiante condiciona múltiplemente su actitud hacia la instrucción matemática que recibe. Y las creencias de los educadores juegan un papel crucial en el tipo de lección que éstos desarrollen y, por ende, en lo que los estudiantes vayan a aprender (Fennema y Loef Franke, 1992, p. 157).

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El currículo posee responsabilidad en la potenciación de ideas erróneas o apropiadas que el educador va a reproducir en el aula y el asunto debe abordarse en la formación inicial de manera directa. Un ejemplo: varias investigaciones señalan que las creencias “robustas” en el educador matemático en formación son difíciles de transformar (Pp’t Eynde, de Corte y Verschaffel, 2001), pero hay resultados que muestran cómo se logran cambiar percepciones de estos profesores acerca de la naturaleza de las matemáticas y su enseñanza; por ejemplo: transformación de una visión que enfatiza formalismo y pensamiento algorítmico hacia otra que afirma los aspectos constructivos y de proceso en la matemática y su enseñanza –por medio de un énfasis en la resolución de problemas (Liljedahl, Rolka y Rösken, 2007). Currículo matemático. Los objetivos de las matemáticas en el nivel educativo meta: en el caso que favorecemos, la educación media preuniversitaria. ¿Cuáles son las condiciones, medios, contextos y límites de la enseñanza aprendizaje de las matemáticas en estos niveles escolares? Precisamente, sería pertinente la temática de los significados de las competencias (Niss, PISA), habilidades y destrezas matemáticas (National Research Council de los EUA), estándares (National Council of Teachers of Mathematics de los EUA) en la organización, definición y realización práctica de un currículo en matemáticas. El educador matemático requiere conocimiento de cuáles son las razones y las condiciones de la incorporación de los conocimientos matemáticos que deben estar presentes en la matemática escolar. En ese sentido, un tema importante son las adaptaciones del currículo matemático a contextos socioculturales y a condiciones específicas de enseñanza aprendizaje. El progreso y cambio en los currículos: ¿cómo mejorar las competencias matemáticas de los estudiantes? No puede faltar la perspectiva internacional: currículos matemáticos en diversas partes del mundo, sus comparaciones. Evaluación matemática. El educador matemático en formación debe recibir conocimiento sobre las relaciones entre metodología de enseñanza en matemáticas y los procesos de evaluación específicos. Parámetros y procedimientos de evaluación específicos a las matemáticas; por ejemplo en torno a la resolución de problemas, a la evaluación de las competencias de argumentación y comunicación matemáticas, modelización matemática, etc. Otro tema crucial: las estrategias que permitan la evaluación adecuada de la comprensión de conceptos así como de los procedimientos algorítmicos en matemáticas. Diseño de tareas (task design) para el desarrollo de la lección y mecanismos de evaluación. Conocimiento y significados de las pruebas estandarizadas en los procesos de aprendizaje. Instrumentos evaluativos de diagnostico para el apoyo educativo en la enseñanza aprendizaje de las matemáticas. Pruebas comparativas internacionales en matemáticas: PISA, TIMSS, etc.: premisas teóricas, métodos, análisis y utilización de resultados en el mejoramiento del sistema educativo y la acción de aula.

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Formación continua e investigación en Educación Matemática. El educador matemático debe recibir en su formación inicial instrucción sobre los principales métodos que se utilizan en la investigación en la Educación Matemática: cualitativa, cuantitativa, de casos, etc. A la vez debe adquirir conocimiento y competencias para realizar investigación de aula en su práctica profesional con el propósito, en particular, de mejorar su enseñanza y profundizar los niveles de aprendizaje. Un educador debe recibir en su formación inicial conocimiento sobre los hallazgos en la Educación Matemática internacional sobre formación continua e investigación. Por ejemplo, las características y métodos de la “lección estudio” en Japón, que integra, entre otras cosas, investigación de aula, formación continua y desarrollo profesional. Por otra parte, el educador requiere conocer cómo puede usar la historia de las matemáticas en el aula, las reflexiones filosóficas deben jugar un papel específico en el desarrollo de la labor profesional, los resultados de estudios sociales o en general meta-matemáticos ocupan un espacio propio que lo hemos consignado dentro de esta gran categoría. Conocimiento matemático y meta-matemático Como consignan Ruiz, Barrantes y Gamboa (2009): Los Conocimientos matemáticos son los contenidos y métodos de las matemáticas y los Conocimientos meta-matemáticos deben entenderse aquí como conocimientos filosóficos, históricos, sociológicos sobre las matemáticas. Es decir contenidos de y sobre la disciplina: • • • • •

Conceptos y procedimientos; métodos de construcción, validación y comunicación; estructuras cognoscitivas; aplicaciones; historia, filosofía y estudios sociales de las matemáticas.

El dominio cuantitativo y cualitativo de conocimientos matemáticos se ha demostrado ofrece, entre otras cosas, mayores opciones para la enseñanza en el aula, así como mayor seguridad y confianza del docente en su labor (impacto en la situación del educador) (Brown y Borko, 1992, p. 220), aunque conviene precisar esta valoración. Bass (2005) llega a decir incluso que la Educación Matemática en su conjunto es una matemática aplicada: La Educación Matemática no es Matemática. Es un dominio de trabajo profesional

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que hace un uso fundamental altamente especializadas formas de conocimiento matemático y en ese sentido puede ser, sugiero, útilmente vista como una especie de matemática aplicada. Voy a argumentar que, como sucede en otros dominios de las “matemáticas aplicadas”, la primera tarea del matemático que quiere contribuir en esta área es entender sensiblemente el dominio de aplicación, la naturaleza de sus problemas matemáticos, y las formas de conocimiento matemático que son útiles y usables en este dominio (p. 416).

El punto de fondo aquí es la conceptualización de la forma particular de matemática que requiere el educador matemático (que exige ser a su vez ser enseñada de forma específica: muy ejemplarizante) y las características que debe tener. Es decir, el significado preciso de la “aplicación”. Para Bass (2005): “El conocimiento necesario para la enseñanza debe ser usable para la resolución de problemas especializadas y el razonamiento que los maestros tienen que hacer”. En el caso de la primaria, en efecto, Heather Hill, Deborah Ball y Hyman Bass han desarrollado un importante proyecto en esa perspectiva (Learning Mathematics for Teaching Project). Ellos han propuesto un modelo con 4 categorías: (1) Conocimiento matemático común (que se espera sea conocido por cualquier adulto educado), (2) Conocimiento matemático especializado (estrictamente conocimiento matemático que es particular para el trabajo de enseñanza, aunque no requerido o conocido en otras profesiones que usan intensamente las matemáticas (incluyendo la investigación matemática), (3) Conocimiento de matemáticas y estudiantes y (4) Conocimiento de matemáticas y enseñanza (Bass, 2005, p. 429).

El conocimiento matemático especializado no debe verse como un “subconjunto” de lo que otros profesionales incluso matemáticos deben saber. El conocimiento matemático aplicado a la educación supone contenidos matemáticos propiamente pero ligados a objetivos en la acción educativa. Podemos invocar aquí una relación con la “transposición didáctica” desarrollada por Chevallard, donde el “saber sabio” sufre una serie de modificaciones para convertirse primeramente en “saber a enseñar” y luego en “saber enseñado”. El primer paso desde el “saber sabio” en la transposición didáctica genera la determinación de los contenidos que deben formar parte del currículo escolar; el segundo paso transforma este último “saber a enseñar” en un objeto de enseñanza. Esto se desarrolla en un contexto institucional, en este caso las unidades educativas. Por eso, este autor subraya que la transposición didáctica debe verse como un proceso institucional, una “antropología, que invoca aquellas entidades que produce en el “saber sabio” y aquellas que lo reciben con el propósito de realizar una transposición didáctica. La escogencia de los contenidos a enseñar es una forma de aplicación matemática en la educación, y una vez que se convierten esos

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contenidos en objetos de enseñanza se invoca conocimientos pedagógicos de los mismos. Ahora bien, la teoría establece el “saber enseñar” y el “saber enseñado” en función del “saber sabio”. Este último es la principal referencia. Las implicaciones aquí son claras: las matemáticas determinan plenamente los objetos de enseñanza. Esta visión es concordante con las ideas de Brousseau, que colocan la “didáctica de las matemáticas” dentro de la práctica matemática propiamente, por diversas razones (Ruiz, 2003). Esta teoría de la transposición didáctica subraya los contenidos en la enseñanza y aprendizaje y no precisamente los procesos de la enseñanza aprendizaje que se encuentran al margen de los contenidos; se subraya la disciplina como fuente de una pedagogía específica, la transposición didáctica enfoca su interés en las dimensiones más amplias institucionales, sociales. La estructura de momentos que establece la transposición son válidos de manera general, no obstante la clave en todo esto es cuáles son las matemáticas y sus procesos pedagógicos asociados. Todo apunta a la construcción de currículos con una fuerte participación de pedagogías específicas de las matemáticas, donde las competencias profesionales claramente establecidas pueden ser útiles. Esto supone cursos específicos de pedagogía matemática, y a la vez propósitos pedagógicos matemáticos específicos en todo el currículo. Los Conocimientos matemáticos son los contenidos y métodos de las matemáticas y los Conocimientos meta-matemáticos deben entenderse aquí como conocimientos filosóficos, históricos, sociológicos sobre las matemáticas. Es decir contenidos de y sobre la disciplina: • • • • •

Conceptos y procedimientos; métodos de construcción, validación y comunicación; estructuras cognoscitivas; aplicaciones; historia, filosofía y estudios sociales de las matemáticas.

4. Las matemáticas “aplicadas” en la formación inicial del profesional en educación matemática ¿Pueden ser concebidas las matemáticas para el educador matemático al margen de las consideraciones pedagógicas generales? La respuesta es negativa. Estos conocimientos no pueden ser establecidos al margen de la pedagogía específica, tiene que existir un vínculo explícito. De las cosas que más influencian en

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la formación de un estudiante de enseñanza de las matemáticas es la forma en que recibe los cursos de matemática. Es posible enseñar en cursos de pedagogía matemática y cómo deben enseñarse los contenidos matemáticos, pero solo eso, incluso, resultaría insuficiente. Hace relativamente poco tiempo, en el 2004, en la conferencia vigésimo octava del International Group for the Psychology of Mathematics Education PME, un foro se dedicó exclusivamente a la temática del conocimiento matemático del educador matemático para la educación media. Nos parece pertinente retrotraer algunas de las conclusiones: • •

Es necesario conocer matemáticas con un cierto nivel de competencia. Adicionalmente a enseñar matemáticas hay una necesidad de adquirir un conocimiento “diferente” de las matemáticas. • Cuál es ese conocimiento diferente, es algo que no está claro. • En algunos casos, se propone que ese conocimiento sea: la matemática escolar con ideas relevantes como las funciones; en otras ocasiones, ese conocimiento es visto simplemente como algo diferente de las matemáticas del matemático profesional. • Se ha obtenido progreso en el conocimiento de las concepciones de los estudiantes sobre las matemáticas, pero falta ver cómo se transfiere ese conocimiento dentro del conocimiento del educador para enseñar. • En la preparación de educadores matemáticos existe todavía una desconexión entre lo que los estudiantes experimentan como matemáticas y su enseñanza en los cursos formales de matemáticas y lo que son los cursos de Educación Matemática (Doerr y Wood, 2004, p. 189). En ese foro, Borba (Brasil) y Even (Israel) consignaron su experiencia nacional afirmando que más contenidos matemáticos o más competencia matemática no son la solución para lograr progreso en la Educación Matemática. Supuestos erróneos. Una forma de analizar este asunto nos parece puede hacerse a través de opiniones comunes en los medios de formación de educadores (aunque con diferencia entre países): 1. Que el conocimiento de las matemáticas asegura las competencias para la enseñanza de esta disciplina en el la secundaria. 2. Mayor conocimiento de matemáticas (más contenidos) mejora por sí mismo las competencias del educador matemático. 3. Los contenidos de un curso de matemática para la formación docente deben establecerse solamente con base en las conexiones matemáticas que posean esos contenidos (su relación teórica, estructura, etc.). 4. Que los cursos de matemática deben ser iguales o similares a aquellos impar-

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tidos para futuros matemáticos profesionales. A lo sumo lo que debe cambiar es el número de contenidos o la dificultad de los ejercicios a resolver. 5. Que las matemáticas que debe aprender un educador matemático deben ser superiores y más amplias que las que debe aprender un ingeniero. Todas estas ideas son equivocadas, y precisamente contrarían varios de los resultados de la investigación que hemos reseñado arriba. Brevemente: las ideas 4 y 5 asumen implícitamente que la matemática y la Educación Matemática son profesiones que se identifican sin más. Aquí no hay variación en el significado cualitativo de las matemáticas en una y otra profesión. Y, en la realidad, las cosas son distintas: las matemáticas que ocupa un educador matemático no son las mismas que requiere un matemático ni las mismas que requiere un ingeniero: son distintas, tanto en el tipo de contenidos, como en la manera como se enseñan y aprehenden. Muchos temas de matemática para el ingeniero y la forma en que se les enseña no deben formar parte del currículo de un educador matemático; y así hay otros temas que deberá tener el currículo del educador matemático que no deben estar en el del ingeniero. Lo mismo pasa con la formación para el matemático. Ingeniero, matemático y educador matemático son profesionales distintos, que deben tener perfiles distintos y estar dotados de competencias diferentes. Las ideas 1 y 2 expresan una convicción muy extendida: saber matemática es suficiente para enseñar matemática. Como afirmamos antes: eso es falso; es una condición necesaria, pero no suficiente. Todas las mediaciones entre contenido disciplinar y la práctica de enseñanza aprendizaje se pierden en esa visión. Son muchos los ejemplos de esto en el mundo, y también en la experiencia individual de la docencia. Cuánta matemática es la necesaria para enseñar, por ejemplo en la educación secundaria, es objeto de debate e investigación. La tercera idea señala una visión alejada de la pedagogía y de las competencias profesionales. No deben ser los temas de las matemáticas (y su lógica teórica) solamente los que definan el currículo, y en particular definan las matemáticas que deben enseñarse. La experiencia internacional en la construcción de currículos se ha ido distanciando mucho de aquellas simples colecciones o listados de contenidos matemáticos que definen cursos y se orienta más hacia colecciones de situaciones didácticas o “problemas” estrechamente asociadas a propósitos pedagógicos. Contenidos, objetivos y metodología deben estar estrechamente integrados. La matemática para el educador matemático no es cualquier matemática con finalidades distintas a las de ese profesional: en ese sentido, se trata, en efecto, de una matemática “aplicada”: “el conocimiento necesario para la enseñanza es diferente de aquel del que se necesita en otras ocupaciones” (Bass, 2005, p. 430).

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El tema es complejo y vamos a proponer algunas características de las matemáticas para el educador matemático en la educación secundaria (niveles 7 a 12). Empezamos, sin embargo, por mencionar dos situaciones “conflictivas” en la formación inicial del futuro educador: •

Si los cursos disciplinares se rigen por un modelo formalista (sobrecargado de aspectos axiomáticos, demostrativos y formales) y con metodologías de aula (tiempos y tipos de exposición, evaluación, etc.) conductistas (ausencia de resolución de problemas y aprendizajes activos y colaborativos, por ejemplo), eso pesará en la práctica profesional (ya sea que rechace su formación o la incorpore y fracase en su labor). • Si los cursos que se imparten están abarrotados de contenidos o si “no alcanzan las lecciones” para su desarrollo y hay que acudir a tareas o trabajo extra-clase para desarrollarlos, los propósitos formativos están colocados en una perspectiva equivocada. La última situación “conflictiva” que mencionamos arriba nos conduce a algo muy importante: uno de los criterios esenciales debería ser el favorecer la profundidad sobre la amplitud, uno de los resultados sobre el aprendizaje. Es decir: más que “cubrir” mucha materia, muchos tópicos, de lo que se trata es de ver algunos en profundidad y con objetivos diferentes a los usuales. Esto es importante porque la tendencia dominante en muchos formadores de profesores de matemáticas (basada en una óptica de los contenidos) es tratar de “ver” el mayor número de contenidos matemáticos, aunque se desarrollen con menor tiempo y calidad. Y algunos currículos en nuestros países están sobrecargados en contenidos matemáticos. Even (2004) lo expresa con toda claridad: Un enfoque tradicional para equipar a los profesores de matemáticas de la educación secundaria con conocimiento matemático es de naturaleza cuantitativa: “más es mejor”. Este enfoque está basado en la premisa que los educadores han aprendido, y entonces conocen las matemáticas escolares; y que los educadores deben saber más matemática que las matemáticas que deben aprender sus estudiantes, y entonces los estudios matemáticos avanzados son un buen indicador del conocimiento matemático adecuado para el educador. Sin embargo, muchas investigaciones (...) sugieren que los educadores de matemáticas de enseñanza media muy a menudo no poseen una comprensión sólida de las matemáticas que ellos necesitan usar y enseñar en la escuela. Esto incluye conceptos fundamentales del currículo de la escuela secundaria, como son las funciones y las demostraciones. (p. 171).

Estas opiniones son relevantes: es muy extendida la idea de aumentar cuantitativamente las matemáticas y sus competencias para mejorar su aprendizaje. Las opiniones que invocamos coinciden con investigaciones que se han realizado en

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las últimas décadas: la investigación no ofrece tantos resultados que conecten mayor conocimiento matemático (después de cierto nivel) y mejor aprendizaje (Fennema y Loef Franke, 1992, p. 148). Esta no es una situación, sin embargo, que poseen todos los currículos en el mundo. En algunos países su problema radica en que el conjunto de contenidos matemáticos es muy reducido, como en algunos programas de formación de escuelas normales en México. Una formación extremadamente débil en matemáticas no forma en muchas de las competencias que debe tener el educador matemático como la investigación de aula y la atención a estudiantes talentosos; provoca una equivocada transmisión de la naturaleza de las matemáticas; ofrece debilidad en la formación en la argumentación matemática y los métodos matemáticos y en muchas otras competencias matemáticas esenciales. Una formación extremadamente cargada en matemática, como en España, ha encontrado un fracaso también, por otras razones (como las pruebas PISA 2000 y 2003, entre otras, consignaron). Algo muy importante de señalar: la forma como se enseñen los contenidos matemáticos, también, influye decisivamente en los contenidos pedagógicos que adquiere el docente en formación. Esto posee dos aspectos. Por un lado: Dentro de las clases universitarias de matemática, la principal preocupación entre la mayoría de matemáticos es todavía cuánto contenido hay que cubrir. Para cubrir ese contenido su instrucción muy frecuentemente preserva la exposición tradicional de la estructura formal del contenido. Los educadores en formación no tienen más opción que experimentar dos aproximaciones contrastantes de aprendizaje: orientación a procesos versus orientación al contenido. (Lin, 2004, p. 175). Si una aproximación metodológica formalista y conductista predomina en ese aprendizaje matemático, la visión y los métodos que adquiere el educador en formación se verán afectados por esa perspectiva e influenciarán la forma como actuará en el aula posteriormente. Aunque el educador en formación reciba conocimiento pedagógico, por ejemplo, con énfasis constructivista y hacia la resolución de problemas, el modelo de matemática formalista y conductista que recibe en la formación matemática tenderá a deformar su conocimiento pedagógico. Un profesor universitario de matemática que asume como su lógica de clase el esquema clásico “definición-teorema-demostración-corolario-ejemplo-ejercicioaplicación”, influirá en la percepción y conocimiento sobre las matemáticas de sus estudiantes con una mentalidad formalista errónea. Esto hace que los diferentes conocimientos (en las 4 categorías que hemos conceptuado) que debe recibir el docente no puedan verse de manera “compartimentalizada”, aislados, pues lo que se hace con una mano se puede borrar con la otra, se invoca un currículo integrado.

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Cuando los cursos de matemática son impartidos, por ejemplo, por matemáticos profesionales existen mayores posibilidades de que ofrezcan conocimiento sobre los métodos, estrategias y condiciones de construcción matemática, y no solo la arquitectura formal axiomática (que solo se consigna después del proceso de construcción cognoscitiva). Sin embargo, aumentan las posibilidades de que el matemático oriente sus clases por las necesidades y la lógica de su quehacer disciplinario sin objetivos que serían relevantes para el educador matemático (como el subrayar las relaciones entre el cuerpo general de la matemática y la “matemática para enseñar”, aplicaciones, etc.). Por otro lado, si los cursos no son impartidos por matemáticos profesionales, sino por profesores alejados de la construcción matemática (armados en algunos casos apenas de un poco más de matemáticas que sus alumnos, sin conocer de primera mano los temas en la vanguardia de su disciplina) éstos pueden exhibir percepciones sobre la naturaleza de ésta muy alejada de la realidad práctica de esa construcción, y se amplía la posibilidad de la transmisión de ideas equivocadas sobre la naturaleza de la práctica profesional matemática. Es este un problema extendido, como lo consignan Li (2004) y Doerr (2004). Debe existir convergencia entre las matemáticas que recibe el educador en su formación inicial y la Educación Matemática, deben ser cursos adaptados a sus objetivos y perspectivas profesionales. Por otro lado, existe un problema cuando las matemáticas universitarias no están estrechamente relacionadas con las escolares. Por eso Even (2004) afirma: … basarse en los estudios matemáticos avanzados en el nivel universitario para obtener un conocimiento matemático adecuado para el educador de las matemáticas escolares de la educación media es problemático. Aparentemente, aún si los educadores ya han aprendido como estudiantes las matemáticas que necesitan enseñar, y luego han estudiado matemáticas aún más avanzadas, ellos necesitarán todavía que re-aprender las matemáticas que tienen que enseñar (p. 172).

No se trata por supuesto que la formación matemática del educador matemático sea solamente un poco mayor que la que recibió en la secundaria, sino que las matemáticas escolares sean un foco de la atención de su formación profesional. Que los tópicos del currículo escolar sean objeto para moldear la formación matemática más elevada. La conclusión inevitable: la enseñanza de la matemática para los educadores matemáticos no debe asumirse como la adecuada sin necesidad de un escrutinio y planificación mayores. Es decir, qué se enseña de las matemáticas y cómo se enseñan las matemáticas para los educadores matemáticos debe ser establecido dentro de una estrategia coherente precisa.

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Profundidad mejor que amplitud: criterios. La mayor profundidad como criterio puede ser inservible si no se le brinda un cuerpo. Proponemos que profundidad, para los cursos de matemática en la formación de educadores matemáticos, se entienda como, en cada tópico, analizar: diferentes representaciones (cuando sea posible: visual, operativa, formal, relacional, e incluso con usos de tecnología si es pertinente, etc.), contextos sociohistóricos, aplicaciones, algunas estrategias de enseñanza (didácticas), más ejercicios, etc. Profundidad sobre amplitud implica en cada curso: seleccionar con precisión los tópicos a enseñar. Debe tomarse en cuenta, sin embargo, que no es lo mismo un curso inicial que uno intermedio o uno final en la materia que se va a desarrollar. En los finales debe existir más flexibilidad. El criterio que se ha enfatizado hasta ahora en la formación matemática para docentes de secundaria ha sido casi siempre el de la lógica de los contenidos (por ejemplo: ¿cómo no vamos a ver las demostraciones detalladas de los teoremas de existencia y unicidad en ecuaciones diferenciales?). Han sido las necesidades de las matemáticas propiamente o la de los profesores de matemáticas en las universidades (sus ideas, necesidades o prácticas tradicionales) las que han dominado muchas veces el currículo en los cursos de matemática. Los libros de texto que se suelen usar son simplemente de matemáticas (a veces hacia matemáticos, a veces hacia ingenieros) y no orientados a la profesión del educador. Las notas de clase en forma de folletos o hasta elevados a formato de libro que a veces se usan solo reproducen la misma experiencia. A la luz de lo que hoy se sabe sobre la Educación Matemática en el mundo, las preguntas que se debe responder, en el desarrollo de cada curso, son otras: ¿de qué manera este curso deberá servir al futuro docente? ¿Cuáles son las competencias que favorecen el curso y cada contenido del mismo? La vocación pedagógica debe nutrir cada curso de matemática de una manera específica. ¿Cuáles son los temas centrales? ¿Cuáles temas permiten mayores aprendizajes y conexiones disciplinares o transdisciplinares? En varios países e instituciones formadoras de formadores donde los currículos están sobrecargados de contenidos y se busca realizar un rediseño curricular emergen preguntas evidentes: ¿qué tópicos se deben quitar para poder profundizar otros? ¿Cómo hacerlo? ¿Cómo traducir estos propósitos en los cursos de pedagogía general, y en los de matemáticas? Pensamos que, además de una selección cuidadosa de los tópicos (que en algún momento debería ser establecida con base en un currículo diferente), podemos sistematizar resumidamente algunas características “deseables” que hemos abordado antes y que pueden servir como una guía. Características “deseables” en la lección de matemáticas. (1.) Mostrar relaciones del tópico con otras áreas de las matemáticas: ver las aplicacio-

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nes o relaciones dentro de las matemáticas (métodos comunes, etc.). Por ejemplo: la teoría de grupos sirvió para clasificar las geometrías, lo que además invoca la historia. Esto es importante, porque al verse las relaciones entre campos de las matemáticas se aprecia mejor el valor de los métodos y la unidad de las matemáticas. (2.) Establecer relaciones explícitas entre la matemática para enseñar (el currículo escolar al que va orientada la carrera) y las matemáticas que tenemos en las aulas universitarias. Partir de los contenidos del currículo escolar siempre y subir poco a poco a lo más general. Buscar implicaciones de la matemática teórica sobre el currículo escolar. Ej.: Al estudiar el anillo de polinomios, se pueden usar múltiples ejemplos de ese currículo escolar. Incluso conceptos como el de “ideal” en álgebra se pueden visualizar más (no solo ver su definición, propiedades y sus relaciones con otros). Con más razón, en cálculo o en probabilidad. Las series, por ejemplo, poseen muchas aplicaciones dentro y fuera de las matemáticas. Los desarrollos limitados están asociados al estudio de aproximación, a modelos, etc. Hay grupos aplicados famosos en la física (de fases, Relatividad, etc.). Esto es de lo más importante porque ofrece a las matemáticas que se enseñan en el nivel superior sentido y motivación intelectual para el estudiante. La pedagogía específica, que describimos en detalle, se ve beneficiada por una formación y matemática que subraya adecuadamente interrelaciones entre la matemática para enseñar y las matemáticas teóricas y sus perspectivas en general. Es decir: la relación en que los contenidos disciplinares del currículo escolar y las matemáticas modernas debe ser explícita. Algunas veces esta relación se expresa como “matemáticas escolares desde una perspectiva superior”. Se dirige a apuntar la construcción de planes de formación de educadores matemáticos basados en los componentes del currículo escolar y no al revés que es lo que ha predominado durante mucho tiempo en varias latitudes. (3.) ¿Cuál es el sentido de contenidos meta-matemáticos? Pensamos que son relevantes contenidos sobre las matemáticas desde una perspectiva diferente: valoración de sus estructuras, sus métodos de pensamiento, sus perspectivas teóricas, en fin asuntos que refieren a la filosofía. De igual manera, la colocación de las matemáticas en contextos históricos y socioculturales es vital no solo para comprender la naturaleza de las matemáticas, sino también como un recurso vital para la práctica del educador. Esta visión la afirman, por ejemplo, Niss y PISA 2003, como pulsiones transversales: historia y filosofía de las matemáticas, relación de aplicación de las matemáticas en el entorno sociocultural y físico. La historia y en general lo conocimientos meta-matemáticos ofrecen no solo recursos pedagógicos muy especiales, sino perspectivas muy importantes sobre la naturaleza de las matemáticas. Este tema se puede vincular mucho a las creencias y a la cultura que intervienen en los procesos de esta práctica profesional. (4.) Recurrir a modelos o aplicaciones de algunos de los tópicos, la relación con el entorno y la realidad. Esto no se puede hacer de la misma manera en todo los cursos. Pero casi todos los conceptos del currículo que tenemos en enseñanza de la matemática

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permiten aplicaciones. La modelización, por ejemplo, es uno de los temas fuertes en la Educación Matemática actual. El propósito responde a la necesidad de visualizar las matemáticas para la enseñanza. Esto posee implicaciones no solo sobre cada curso sino sobre el conjunto del currículo (en la selección y definición de cursos de cada área, y en los propósitos a plantear). Conocimientos de modelización, matematización y problemas contextualizados deben ser parte usual de los contenidos que deben dominar los educadores matemáticos. (5.) Otro elemento clave que debe incorporarse en la formación de los futuros educadores matemáticos es la presentación de los conceptos y métodos matemáticos acudiendo al mayor número de representaciones de los mismos: numéricas, algebraicas, gráficas, geométricas, visuales, con tecnologías digitales, etc. Debe pensarse que el profesor se va a enfrentar a estudiantes con capacidades o aproximaciones múltiples hacia el aprendizaje. El dominio de múltiples representaciones o estrategias permitiría recursos imprescindibles para el educador en el aula. Esto obliga a darle énfasis de maneras muy distintas a las matemáticas que reciben los futuros profesores de aquellas matemáticas que requieren los futuros matemáticos profesionales o los ingenieros, por ejemplo. Existe una correlación positiva entre un conocimiento matemático integrado, con una fuerte comprensión de las relaciones teóricas dentro de las matemáticas y su conexión con el entorno, y el impacto en el aula. Figura 2. Algunas características convenientes en las Matemáticas de la formación inicial del profesor de Matemáticas

Modelización y aplicaciones

Presentaciones múltiples de objetos matemáticos

Visión integradora y sistemática de las matemáticas

Contextos socioculturales e históricos

Relación con el currículo a enseñar

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Resolución de problemas. Es aconsejable introducir la resolución de problemas como una estrategia metodológica en el aula. ¿Cómo se va a pedir que los futuros docentes propongan o usen la resolución de problemas en sus clases si no enseñamos así en la universidad o en las escuelas normales? En lugar de exponer teoría, enunciar y ver las demostraciones de n teoremas, y luego hacer ejercicios (el esquema formalista), se debería seleccionar un tema, empezar por problemas ilustrativos y significativos, y crear el contexto para los teoremas. Los resultados de la investigación internacional en la Educación Matemática así como las experiencias escolares en varios países, subrayan la relevancia de la resolución de problemas en las lecciones de matemáticas, como instrumentos articuladores de la misma y para el desarrollo del currículo. Hacer lo contrario del esquema formalista no es fácil. Hay al menos dos elementos que pesan en su contra: por un lado, que muchos de los resultados que ya existen en el mundo sobre esto (hallazgos y experiencias novedosas) a veces no se encuentran muy disponibles para usarse en la labor de aula (a veces por limitaciones de idioma); por otra parte, lo más importante, que muchos de quienes enseñan en las universidades han sido formados en los esquemas, actitudes y modelos formalistas. Las creencias que nos han heredado sobre la naturaleza de las matemáticas es un factor que juega un papel muy importante. La reacción al cambio, además, es un asunto social y cultural muy complejo. Y en este tema, con una disciplina científica y profesional que tiene apenas unos 50 años, es especialmente difícil. Sin embargo, esta vía estratégica de construcción de la acción de aula con base en problemas es una perspectiva prometedora. Y debe hacerse un esfuerzo por usarla y contextualizarla en las condiciones curriculares de cada país.

Demostraciones El lugar de los métodos de argumentación y demostración matemáticas es muy importante en los currícula de formación para profesores de matemáticas: es una de las características centrales de las matemáticas como disciplina. Ahora bien, la perspectiva del educador, obliga a darle el lugar que le corresponde en los cursos de matemáticas. Cuando se estudian las demostraciones, dentro de esa visión “aplicada”, es importante señalar el tipo de métodos demostrativos, su relación con otros, debe preguntarse siempre qué se aprende de una demostración. Muchas de las demostraciones son demasiado particulares. Las interesantes para el educador matemático son, sin embargo, las que usan métodos de aplicación más general. Estas son las que brindan más lecciones para el estudiante. Si se van a ver n teoremas,

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deben enfatizarse aquellos que posean mayor significado educativo (generalidad, aplicabilidad, conexión con otros temas). Algunas demostraciones no son necesarias y más bien su introducción obstruye la comprensión de conceptos y métodos matemáticos más relevantes. Estas características suponen una preparación meticulosa del curso y de cada lección dentro de la nueva perspectiva. Y, por supuesto, la evaluación deberá corresponder a esta visión.

Evaluación. El tema de la evaluación es uno de los más importantes a los que nos enfrentamos. Una evaluación inapropiada puede echar por tierra todos los buenos propósitos formativos y todas las ideas renovadoras. Ha sido una de las grandes debilidades en la enseñanza de las matemáticas. Y en la formación docente en matemáticas que hemos tenido en las diferentes universidades se han cometido muchos errores en esta dimensión. Se han repetido esquemas evaluativos que no subrayan los aspectos formativos, no incorporan las conexiones con otros propósitos de la educación (como la investigación, o los aprendizajes interactivos y colaborativos), o la formación en modelos para la futura labor práctica del profesional que se forma. Muchas veces, en exámenes, lo que se evalúa no corresponde a lo que se enseña. No ha sido difícil cometer errores en cuanto a la convergencia entre la lección que se ha dado y lo que se exige luego en un examen a los estudiantes. Los principios de evaluación general que se enseñan en los cursos educativos raramente se han incorporado en los cursos de matemática. Otro más de los ejemplos de esa separación entre disciplina y pedagogía. Como sugerencias generales en busca de mejorar los procesos de evaluación proponemos: alrededor de un 50% debe ser evaluado por medio de proyectos (tareas, pequeñas investigaciones, portafolios, etc.). Todo mesurado: tareas imposibles o que significan tiempos casi infinitos no tienen sentido. Es aconsejable que estos proyectos vayan orientados a la formación docente. Es decir, temas que conecten con dimensiones interesantes para la labor de aula futura: puede ser el espacio idóneo para introducir mucha historia, contextualizaciones, modelizaciones, o relaciones con otros campos de las matemáticas. No debe, en general, concebirse como un espacio adicional para desarrollar más contenidos matemáticos. El otro porcentaje con exámenes. Estos exámenes deben estructurarse de acuerdo a lo que se enseñó en el aula: misma proporción de aspectos demostrativos por ejemplo, nivel de dificultad similar … (un porcentaje debe ser tomado de prácticas o tareas dadas con anterioridad). Insistimos en temas desarrollados en el aula, porque a veces se ponen trabajos extractase demostrativos (que no se ve en el aula, o se ven poco) y se evalúan en los exámenes. También debe haber partes con

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situaciones novedosas, porque hay que recordar la importancia de la transferencia (enfrentarse a nuevas situaciones) en la formación disciplinar. El propósito de estos cursos, debe recordarse siempre, es preparar a los estudiantes en las matemáticas que requiere un educador matemático en la educación secundaria. Las conexiones deben ser directas y explícitas con las matemáticas del currículo escolar, siempre que sea posible. Y no solo al principio del curso o en declaraciones verbales generales, sino a lo largo del todo el curso. Esto no se puede hacer por supuesto de la misma manera en cada curso. Los proyectos pueden ser un instrumento para ir desarrollando habilidades dentro de los estudiantes en la investigación; además pueden invocar aprendizajes colaborativos. En algunos cursos los proyectos pueden ser un espacio muy rico en el que la tecnología digital pueda usarse con mucha pertinencia. Evidentemente, este tipo de enfoque implica mucho más trabajo que simplemente seguir un texto al pie de la letra, es más complejo que evaluar la materia por medio solamente de exámenes. No siempre es fácil vincularse a los contenidos del currículo escolar y las consideraciones pedagógicas. Por eso es necesaria una preparación meticulosa.

Punto de partida todavía válido. Una colección de sugerencias de partida todavía válidas sobre las características del conocimiento matemático para el educador matemático: • • • • • • •

conocimiento del contenido y discurso de las matemáticas, incluyendo conceptos y procedimientos matemáticos y las conexiones entre ellos, representaciones múltiples de conceptos matemáticos y procedimientos, formas de razonar matemáticamente, resolver problemas, y comunicar la matemáticas efectivamente en diferentes niveles de formalismo, además, desarrollar sus perspectivas sobre la naturaleza de las matemáticas, la contribución de diferentes culturas en el desarrollo de las matemáticas, y el papel de las matemáticas en la cultura y la sociedad, los cambios en la naturaleza de las matemáticas y la forma en la cual enseñamos, aprendemos y hacemos matemáticas como resultado de la disponibilidad de tecnologías, matemáticas escolares dentro de la disciplina de las matemáticas, la naturaleza cambiante de la matemática escolar, su relación con otras materias escolares, y sus aplicaciones en la sociedad (National Council of Teachers of Mathematics, 1991, p. 132).

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Muchos de estos aspectos se deben reflejar directamente en la labor de aula en las universidades. Cursos de matemática donde se invocan contextualizaciones, historia, representaciones múltiples, modelización, vínculo con el currículo escolar, etc., que, como señalamos, en particular, deben expresarse en los procesos de evaluación.

5. Proporciones ¿Cuáles deben ser las proporciones que deben tener los diferentes componentes dentro del currículo? La búsqueda de mediaciones entre disciplinas y práctica profesional es un importante denominador común en las perspectivas internacionales: hay consenso en que no es conveniente una formación academicista al margen de una orientación profesional. Los esquemas que han dominado hasta hace poco tiempo en muchos países europeos, por ejemplo, como España y Holanda, han tenido poco espacio dentro de sus currículos para la profesionalización del educador y para competencias y conocimientos en pedagogía matemática. Mucha matemática, poca pedagogía. PISA 2000 y 2003, con resultados educativos no muy alegres para los estudiantes de estos países, señaló que la orientación no era la adecuada: •

•

La comparación de los resultados de la prueba de matemáticas -en relación con PISA 2000, añadido por A. Ruiz-, frente a los globales y a los de Portugal –nivel de inversión por alumno similar a la de España- muestran que el porcentaje medio de aciertos es del 51% para los alumnos españoles frente a una media internacional del 55% (Gómez, Puig, Quirós, y Viaño, 2004, p. 9). En el año 1994, la Comisión Europea presentó un informe sobre el fracaso escolar en la Unión Europea (UE) que revelaba que en nuestro país –España, añadido A. Ruiz- cerca del 23% de los jóvenes no obtenía el diploma correspondiente al final de la escolarización obligatoria. España era entonces el segundo país de la UE con mayor número de fracasos escolares, sólo superado por Holanda (26%) (Gómez et al, 2004, p. 9).

Las nuevas propuestas, para la educación, pareciera, buscan un compromiso con lo que ha existido y con la incorporación de enfoques distintos que han adquirido mayor momentum en la investigación internacional (profesionalización, pedagogía específica). Es difícil pensar que existe una estructura de componentes curriculares de aplicación universal para todos los países. Cada cual, sin embargo, debe tallar esa es-

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tructura con base en sus contextos y objetivos. Por ejemplo, en el caso de Noruega, Kleve y Jaworski (2004) documentan una situación que es común en varios países: por un lado, los estudiantes salen de la secundaria con muy malos niveles de competencia matemática, y, en segundo lugar, los profesores de matemática en formación son de los de menor nivel de competencias matemáticas. Esto les obliga a realizar acciones adicionales de formación universitaria para proporcionar competencias matemáticas (en el caso de Noruega, dos años de estudios antes de entrar en enseñanza de matemática). El currículo debe tomar en cuenta esa situación. Es un llamado a tomar en cuenta la especificidad y los contextos locales. Si las competencias matemáticas con las que ingresan a la universidad son muy buenas, como en el caso de Japón y Finlandia, es posible desarrollar plenamente un currículo que incorpore todos los aspectos que hemos planteado en nuestra propuesta. En general lo que pensamos puede ser un buen punto de partida, es lo que se puede recoger en un modelo piramidal de la siguiente manera. Figura 3. Pirámide de conocimientos para la formación de profesores de matemáticas.

General

Educación general

Pedagogía de Matemáticas y Meta-Matemáticas Matemáticas y Metamatemáticas

La base de la pirámide es la formación más importante: Matemáticas y MetaMatemáticas, seguida de aquella en la Pedagogía de éstas, para luego dar lugar a la Educación General y a los Conocimientos Generales. Los componentes se deberían ajustar de acuerdo a las condiciones de cada país, o también si la formación es destinada a enseñar entre los grados 7 y 12 de la educación media, o si el objetivo es solo la enseñanza en los grados 7-9. En todo caso, lo que no es un tema que vamos a abordar acá, todo parece apuntar en la investigación internacional a potenciar una sólida formación matemática y meta-matemática para los profesores de matemáticas para toda la educación media.

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6. Conclusiones Los temas del currículo para la Educación Matemática se han convertido desde hace muchos años en un asunto central de la investigación en esta disciplina. Especialmente, por la misma naturaleza de ésta, que asume un puente natural entre la teoría y la práctica. La formación de los educadores matemáticos, inicial y continua, constituye la clave para poder potenciar los esfuerzos de progreso educativo, y para, al mismo tiempo, nutrir nuevos momentos de avance cognoscitivo. Los conocimientos que debe poseer el educador matemático son una parte medular de su formación, aunque no la única. Los valores, actitudes, .. también pesan mucho. Pero asegurar que esa parte sea apropiada se vuelve sustancial. Y en este territorio la investigación y las experiencias internacionales pueden aportar mucho. Sin duda representó un fuerte “clarinazo” el pronunciamiento de Shulman en el año 1986, apuntalando el CPC con base en la premisa esencial de que no basta el conocimiento disciplinar: es necesario pero no suficiente. Y las transposiciones didácticas o las mediaciones de la disciplina a la práctica de aula no deben ser ajenas de la formación inicial y la continua de todos los educadores de enseñanza “de”. En el caso de las matemáticas, esto que se debería haber asumido rápidamente, ha contado con una inercia de las fuerzas dominantes que asumieron los currícula con base en los contenidos disciplinares sin más y la estructura de las necesidades de los matemáticos; un asunto que, por supuesto, tiene su historia, porque, para no ir muy lejos: la reforma de las “matemáticas modernas” fue un gran momento para apuntar precisamente muchas de las cosas que no había que hacer. Pero bueno, de múltiples maneras se ha llegado a nuevos derroteros y al progreso de una nueva disciplina científica y una práctica profesional correspondiente, en las que en poco tiempo se ha cristalizado un cambio notable. Las nuevas fases en la enseñanza de las matemáticas, afirman precisamente ideas específicas con base en la práctica y en la investigación. Todavía muchas de éstas no han calado con la profundidad que se debiera, pero todo apunta en esa dirección, y se debe reconocer: algunos países, regiones y comunidades más audaces o con ciertas condiciones sociales, económicas y culturales que hay que estudiar bien, se han adelantado y encontrado buenas rutas de progreso en la Educación Matemática. En este trabajo hemos ofrecido una propuesta para un modelo que integre los conocimientos que debe incorporar la formación de los educadores matemáticos, y descrito algunas de esas dimensiones. Tal vez lo más relevante sea la propuesta de redefinir las matemáticas que deben incorporarse, “aplicadas”, pero con el sentido de un equilibrio integrador con los otros componentes, y adaptado todo a contextos socioculturales y educativos específicos. Es decir: además de afirmar

Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 139

el estatus de la Educación Matemática como una nueva disciplina científica independiente, ofrecer las características que en sus currícula de formación así lo expresan: potenciación del CPC, matemáticas “aplicadas” para el educador y un equilibrio de sus componentes con arraigo local. Aun más lejos, para aterrizar las abstracciones, se ha querido en este artículo precisar y detallar algunos de los elementos que esos grandes componentes pueden suponer. De esta forma, pensamos se podría avanzar en las investigaciones y las experiencias prácticas necesarias para ir conformando con especificidad lo que apenas quisimos delinear aquí, darle cuerpo al esqueleto intelectual que hemos planteado, y abrir avenidas que permitan sostener y nutrir importantes intentos de cambio que se están dando en varias partes del mundo.

Referencias y bibliografía Bass, H. (2005). Mathematics, mathematicians, and Mathematics education, Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society. Volume 42, Number 4, Pages 417–430, S 02730979(05)01072-4. Articulo publicado electrónicamente el 23 de junio del 2005 Bolívar, A. (2005). Conocimiento didáctico del contenido y didácticas específicas, Profesorado. Revista de currículo y formación del profesorado, 9, 2. Bransford, J. D.; Brown, A. L. & Cocking, R. R. (2000) (Eds.). How people learn. Brain, Mind, experience, and School. Washington D. C., USA: National Academy Press. Brown, C. A., y Borko, H. (1992). Becoming a mathematics teacher. En D. A. Grouws, Handbook of research on mathematics teaching and learning. New York: Macmillan. Clarke, D; Emanuelsson, J.; Jablonka, E. & Mok, I. A. C. (2006) (Eds.). Making Connections. Comparing Mathematics Classrooms Around The World. The Netherlands: Sense Publishers. Clarke, D.; Keitel C. & Shimizu, Y. (2006) (Eds.). Mathematics Classrooms in Twelve Countries: The Insider’s Perspective, The Netherlands: Sense Publishers. Doerr, H. M. (2004). Contribución escrita, en Doerr y Wood: International perspectives on the nature of mathematical knowledge for secondary teaching: progress and dilemmas. Proceedings of the 28Th Conference of the International group for the Psychology of Mathematics Education. Doerr, H. M. & Wood, T. (2004). International perspectives on the nature of mathematical knowledge for secondary teaching: progress and dilemmas. En Proceedings of the 28Th Conference of the International group for the Psychology of Mathematics Education. Even, R. (2004). Contribución escrita, en Doerr y Wood: International perspectives on the nature of mathematical knowledge for secondary teaching: progress and dilemmas. Proceedings of the

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Ángel Ruiz

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Conocimientos y currículo en la Educación Matemática 141

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LO QUE LA INVESTIGACIÓN SABE ACERCA DEL USO DE MANIPULATIVOS VIRTUALES EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA Claudia Matus Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile [email protected] Hernán Miranda Centro Comenius Universidad de Santiago de Chile [email protected] Resumen La tecnología ha revolucionado muchos aspectos de nuestra vida. En particular, las tecnologías de información y comunicación han prometido transformar la educación, permitiendo a los estudiantes acceso a nuevos ambientes de aprendizaje, enriqueciendo así sus experiencias escolares. En años recientes las tecnologías basadas en Internet han dado paso y hecho posible una nueva generación de programas interactivos que emulan recursos manipulativos didácticos que existen en la realidad. Estos nuevos manipulativos, llamados manipulativos virtuales (MV), corresponden a aplicaciones basadas en web, multiplataforma y muy flexibles para ser usadas en distintas situaciones de enseñanza y aprendizaje. Este artículo presenta el concepto de manipulativo virtual y, basado en una revisión de investigaciones recientes, resume los hallazgos reportados respecto de su uso en diferentes situaciones de aprendizaje y las razones de por qué son importantes para la enseñanza actual de la matemática. Palabras clave Manipulativos virtuales, Educación Matemática, Tecnología, Enseñanza, Aprendizaje. Abstract Technology has revolutionized many aspects of life. Information and communication technologies, in particular, have also promised to transform education, enabling students´ access to new learning environments and enriching their school experiences. In recent years, onCuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 143-151. Costa Rica

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line technologies have allowed and made possible to emerge a new generation of manipulatives, called virtual manipulatives (VM). These VM are very flexible web-based applications to be used as important tools for teaching and learning mathematics more effectively. This article presents virtual manipulatives describing their features, advantages, and restrictions as they have been encountered in different recent field studies. In addition, the article discusses some of the reasons why virtual manipulatives are important resources for current teaching and learning mathematics. Key words Virtual Manipulatives, Mathematics Education, Technology, Teaching, Learning.

1. Introducción

Durante la última década, las tecnologías de la información y comunicación han comenzado a ser usadas extensiva y masivamente en diferentes ambientes escolares. A modo de ilustración, Barron, Kemker, Harmes, and Kalaydjian (2003) muestran que, en el caso de los Estados Unidos, “los gastos para equipar escuelas con computadores y tecnologías relacionadas se han incrementado persistentemente a nivel nacional, estatal y local” (p. 489). Como resultado, tanto la tasa de computadores por estudiante como la conexión a Internet de las escuelas se ha mejorado considerablemente (Kleiner & Ferris, 2002; U.S. Department of Education, National Center for Education Statistics, 2006). Este nuevo escenario altamente tecnologizado impone nuevos desafíos a la vez que genera nuevas oportunidades para la educación matemática. En este mismo sentido, es fácil ver cómo la tecnología ha revolucionado muchos aspectos de nuestra vida. El uso de los computadores ha prometido también, en particular, transformar la educación, ofreciendo nuevos ambientes de aprendizaje y oportunidades más significativas para aprender (USDE, 2004). Una prueba de esto es el reciente desarrollo de los llamados “manipulativos virtuales”, pequeños programas visualizados gratuitamente en Internet, diseñados específicamente para favorecer el aprendizaje de las matemáticas escolares. Esta y otras ayudas tecnológicas son señaladas en la literatura como herramientas importantes para la enseñanza más efectiva de tópicos matemáticos y resolución de problemas (NCTM, 2000).

Lo que la investigación sabe acerca del uso de manipulativos virtuales en el aprendizaje de la matemática 145

Sin embargo, siendo los manipulativos virtuales un desarrollo bastante reciente, no presentan mucha evidencia empírica acerca de sus resultados educativos cuando son usados en ambientes de sala de clases. Este trabajo reporta los principales hallazgos encontrados en la literatura acerca de los manipulativos virtuales. El foco escogido fue identificar contenidos y habilidades matemáticas que demostraron ser favorecidas con el uso de estas nuevas herramientas, en investigaciones de campo. Finalmente, se plantea la necesidad de más y diversa investigación sobre el uso de los manipulativos virtuales, especialmente, en diferentes contenidos, habilidades, grados escolares y condiciones socioculturales de los estudiantes.

2. ¿Qué son los manipulativos virtuales? Quizá la definición que más representa la naturaleza de los manipulativos virtuales sea la expresada por Moyer, Bolyard y Spikell (2002, p. 373), para quienes un manipulativo virtual (MV) es “una representación visual de un objeto dinámico e interactivo, basado en la Web, que presenta oportunidades para la construcción del aprendizaje matemático”. Se insiste en considerarlos manipulativos porque los “objetos pueden ser tocados y movidos por los estudiantes para introducir o reforzar una idea o concepto matemático” (Hartshorn & Boren, 1990, p.1). Así mismo, son denominados virtuales, en el sentido que fueron creados y son simulados por un computador para dar la sensación de su existencia real (RAE, 2001). Sin embargo, técnicamente hablando, los MV son pequeños programas, escritos usualmente en lenguaje Java, integrados en páginas HTML o páginas Web. Las principales características de los manipulativos virtuales son: • • • • • •

Tienden a ser más que la réplica exacta de los manipulativos “concretos” o “físicos” (Geoplano, Bloques de Cuisenaire, Tangramas, Bloques lógicos). En general, incluyen opciones adicionales propias de un ambiente digital (copiar y colorear piezas, seleccionar y mover múltiples objetos). La mayoría ofrece simulaciones de conceptos y operaciones que no pueden ser fácilmente representadas por los manipulativos tradicionales (Suma de fracciones no equivalentes). Algunos combinan representaciones icónicas y simbólicas de conceptos y operaciones en un mismo ambiente (Ecuaciones con balanzas). Son flexibles, independientes y dinámicos; pueden ser controlados enteramente por el maestro/a y los estudiantes, además, ser usados en diferentes lecciones, niveles y edades. Algunos ofrecen registrar las acciones o resultados para proveer de feedback al estudiante.

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•

Están disponibles sin límite, en cualquier lugar, las 24 horas del día vía Internet. Profesores, padres y niños pueden acceder a ellos gratis. Hoy en día existen varios sitios que ofrecen abiertamente herramientas y recursos para el aprendizaje de la matemática escolar para profesores, padres y estudiantes en forma de MV. Sin duda, el más importante repositorio de MV se encuentra en Utah State University. Allí existe la Biblioteca Nacional de Manipulativos Virtuales (http://nlMV.usu.edu/es/nav/vlibrary.html), una gran colección de manipulativos, juegos y actividades -recientemente traducida al español-, que está organizada por temas y niveles educativos (Cannon, Dorward, Heal, & Edwards, 1999). Otro lugar importante de visitar es el proyecto “Interactive Project” de la fundación Shodor, http://www.shodor.org/interactivate/. Este proyecto contiene también una variada gama de recursos y lecciones de clase relacionadas. Actualmente, el proyecto Eduteka de Colombia, http://www.eduteka.org/MI/master/ interactivate/ está traduciendo algunos de sus interactivos. También el Consejo Nacional de Profesores de Matemática de los Estados Unidos, NCTM, ha puesto a disposición una serie de manipulativos bajo el proyecto llamado “Illuminations - Marcopolo”, http://illuminations.nctm.org/ActivitySearch.aspx. Allí los profesores pueden relacionar los estándares de enseñanza de ese país con recursos y lecciones disponibles en el sitio. Pero cuando se habla de MV, no se puede dejar de mencionar el proyecto WisWeb del Freudenthal Institute (http://www.fi.uu.nl/wisweb) en Holanda. Este fue una de las primeras iniciativas en ofrecer manipulativos para la enseñanza de álgebra en secundaria. Finalmente, otras iniciativas personales como “Arcytech” de Jacobo Bulaevski en http://arcytech.org/java/, “Manipula Math with Java” de Ies Inc. en http://www.ies.co.jp/math/java/index.html y “Dr. Super” de George Manson University http://www.galaxy.gmu.edu/~drsuper/, han colaborado también con recursos. Un buen ejemplo de lo que los MV pueden ofrecer a la enseñanza y el aprendizaje de la matemática es éste que permite estudiar la ecuación de primer grado (ver figura 1). Este MV ilustra las ecuaciones lineales usando la metáfora de la balanza que debe permanecer en equilibrio. Considera, incluso, la alternativa de representar aquellos casos de ecuaciones más complicadas que tienen números y variables negativas. A través de este modelo, un profesor puede ilustrar, paso a paso y de muchas maneras diferentes, las ideas algebraicas básicas que subyacen en la resolución de ecuaciones lineales. Hasta ahora, si bien existían recursos didácticos basados en esta misma noción, no había una forma de representar estas ideas de una manera razonable y flexible, y que a la vez capturara los detalles y sutilezas de las ideas matemáticas involucradas.

Lo que la investigación sabe acerca del uso de manipulativos virtuales en el aprendizaje de la matemática 147

Figura 1. MV para representar ecuaciones lineales

Click and drag quantities from bins to balance beam pans to represent the ecuation . 4x - 3 = x + 3

Continue Clear

Create Problem

New Problem

Fuente: http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_324_g_4_t_2.html?open=instructions&from= category_g_4_t_2.html

Otro buen ejemplo de MV es el geoplano virtual (virtual geoboard). La invención del geoplano se le atribuye al profesor egipcio Caleb Gattegno en 1950. Consiste de una superficie plana, usualmente de madera, de forma cuadrada y que cuenta de pequeños clavos o cabezales dispuestos en intervalos regulares. Los niños y niñas deben colocar elásticos alrededor de los clavos para hacer formas, modelar diferentes conceptos geométricos o resolver puzles matemáticos. Este manipulativo a menudo es usado para explorar conceptos básicos de geometría plana tales como el perímetro y área. Aquí (ver figura 2) se muestra una versión virtual del geoplano de diez unidades cuadradas que permite colorear áreas para realizar diferentes diseños. Además, los usuarios pueden fácilmente borrar elásticos o sacarlos de los clavos para hacer nuevas figuras.

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Figura 2. Geoplano Virtual (Virtual Geoboard)

Fuente: http://standards.nctm.org/document/eexamples/chap4/4.2/part2.htm#applet

3. Investigaciones realizadas en torno a los manipulativos virtuales Pese a que la lista de MV se extiende en el tiempo y el interés de profesores también se acrecienta, lo cierto es que sólo algunos estudios han reportado el uso de MV en ambientes escolares; la mayoría de ellos han sido realizados en los Estados Unidos. Un primer foco de investigación sobre los MV ha sido el compararlos con su contraparte, los manipulativos concretos o tradicionales. Después, algunos estudios se han focalizado en las ventajas que ofrecen los MV para la enseñanza y el aprendizaje de ciertos tópicos de la matemática escolar tales como fracciones, geometría y álgebra, principalmente en tercer, cuarto y quinto año. Estos últimos estudios ofrecen una visión más detallada de las posibilidades y restricciones que los MV pueden acarrear en la sala de clase. Suh, Moyer y Heo (2005) realizaron su estudio en 5to año y recolectaron información de observaciones, entrevistas y videos durante 3 días. La investigación reveló que el uso de los MV ayudaron a los estudiantes a conectar las representaciones simbólicas y pictóricas de las fracciones, así como a descubrir los patrones detrás de las operaciones matemáticas por medio de la experimentación y la prueba de hipótesis con el computador. Los autores sugieren que los applets ayudarían, particularmente, a aquellos estudiantes que requieren de aprendizaje visual y los estudiantes de bajo logro.

Lo que la investigación sabe acerca del uso de manipulativos virtuales en el aprendizaje de la matemática 149

En otro estudio más extenso en 3r grado, Reimer y Moyer (2005) recolectaron datos de un pre y post-test sobre conceptos y procedimientos con fracciones, se hizo entrevistas y una encuesta sobre actitudes a los estudiantes. Los resultados mostraron estadísticamente mejoramientos en el puntaje del post-test de conceptos y una positiva relación entre éste y el post-test de procedimientos. Las entrevistas y la encuesta revelaron que los MV ayudaron a los estudiantes a aprender más por medio del inmediato feedback, la práctica con fracciones se hizo más rápida y fácil con el computador que con lápiz, y ésta fue más entretenida. Los resultados parecen indicar que en la enseñanza y aprendizaje de fracciones, MV aparecen como una gran ayuda. Moyer, Niezgoda y Stanley (2005), también han observado y registrado las diferentes interacciones de 16 niños del kindergarten usando MV, bloques de madera, y lápiz y papel para el aprendizaje de patrones. Se estableció que los niños crean más y más complejas series de patrones en el computador, inclusive usando teselaciones, más que usando papel y lápiz. Los participantes despliegan más creatividad creando patrones en el computador, que reflejan la complejidad de su pensamiento. Sin embargo, Steen, Brooks y Lyon (2006) examinaron el impacto de los MV de bloques lógicos en la formación de conceptos geométricos en una unidad de 1er. año con un grupo más extenso de 31 estudiantes. Pese a que el grupo experimental superó en los dos post-test al grupo control, no hubo diferencia estadísticamente significativa entre ambos grupos. Las observaciones recolectadas sugieren de todas formas que los MV incrementan la motivación y concentración en la tarea, además de proveer feedback al estudiante. En otro estudio con 4to y 5to año, se comparó el uso de tangramas virtuales y tangramas concretos con 93 estudiantes (Olkun, 2003). Usando tres grupos, un control y dos experimentales (4to año y 5to año), se aplicaron un pre y un posttest. Los resultados mostraron que ambos grupos experimentales mejoraron significativamente sus rendimientos en el post-test. El mejoramiento más destacable en general fue en las habilidades de razonamiento espacial. Sin embargo, el grupo de 5to año así como los varones tuvieron mejor rendimiento. Los resultados sugieren que los MV podrían servir de ayuda en el mejoramiento del rendimiento, la motivación por el aprendizaje, y el desarrollo de importantes habilidades en geometría en diferentes niveles educativos. Finalmente, también se ha investigado el uso de MV en la enseñanza del concepto de valor posicional con estudiantes de 2do año escolar (Moyer, Niezgoda & Stanley, 2005). Esta vez, se registraron sus interacciones y discusiones en el computador, y se analizaron sus hojas de trabajo. Se concluyó que la manipulación de los objetos en la pantalla ayudó a los niños a comprender el significado y el proceso de la adición. Así mismo, les permitió a escribir y verbalizar ideas matemáticas de mejor manera. Sin embargo, en álgebra los resultados no fueron tan alentadores.

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La más reciente investigación de Suh y Moyer (2007) revisó el impacto del uso de MV para enseñar ecuaciones de primer grado en 3er año. El estudio comparó además el uso de un manipulativo físico con el virtual, a través de pre y post tests, observaciones y videos. Los resultados mostraron que ambos materiales fueron efectivos en el logro de los estudiantes, pero en forma diferente. El MV resultó más apropiado para relacionar los símbolos con las figuras, guiar paso a paso en el método y proveer de feedback, no así para inventar nuevas estrategias.

4. Conclusiones En resumen, los principales resultados destacan recientes investigaciones, a nivel primario, donde los MV demostraron ser muy apropiados en conceptos como valor posicional y fracciones, propiedades de figuras geométricas y búsqueda de patrones. Se subraya que, a través de la manipulación de objetos en la pantalla, estudiantes y profesores pueden tener una base para comunicar ideas matemáticas y resolver problemas. Además, los MV demostraron ser útiles promoviendo el aprendizaje independiente, la creatividad y la exploración, proveyendo de feedback inmediato. No menos relevante es el hecho que los estudiantes mencionaran que disfrutaron usando los MV y resolviendo problemas, más que con lápiz y papel. Respecto a sus contrapartes, i.e. manipulativos concretos, los MV demostraron ser tanto o más efectivos en el aprendizaje de conceptos de geometría. Es importante señalar, eso sí, que en otras áreas como ecuaciones de primer grado los MV no cumplieron con las expectativas esperadas. Aún cuando los resultados recopilados pueden ser insuficientes y no generalizables, los estudios muestran evidencia empírica significativa para apoyar una relación positiva entre el uso de los MV y el mejoramiento del aprendizaje de las matemáticas. Sin embargo, la necesidad de más y diversa investigación es evidente, especialmente, en diferentes contenidos, habilidades, grados y condiciones socioculturales de los estudiantes. Dada la tendencia a incrementar las inversiones en computadores y conexión a Internet en las escuelas, es imperativo dar a conocer en más detalle los usos y ventajas de los MV, así como, las limitaciones de estas herramientas en la enseñanza de las matemáticas. Se espera que el conocimiento reportado en estas investigaciones de campo pueda, además, incentivar y guiar el desarrollo de MV en español, que apoyen directamente las necesidades educativas de nuestra comunidad hispana, poniéndolas abiertamente a disposición de profesores, estudiantes y padres.

Lo que la investigación sabe acerca del uso de manipulativos virtuales en el aprendizaje de la matemática 151

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Experiencias en la educación matemática

INCORPORACIÓN DE LA TECNOLOGÍA PARA LA ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE LA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS (EDO) Yuri Morales López Escuela de Matemática Universidad Nacional, Costa Rica [email protected] Oscar Salas Huertas Escuelas de Matemática Universidad Nacional y Universidad de Costa Rica Costa Rica [email protected] Resumen En este trabajo se expone la necesidad de la incorporación de la tecnología y de los procesos de modelización en el curso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO) de la carrera de Enseñanza de la Matemática en la Universidad Nacional en Costa Rica, con el fin de motivar a los alumnos para que logren: hacer un tratamiento discreto de la información, acceder al razonamiento estocástico para la búsqueda de las soluciones, y utilizar la matemática discreta, la modelización y la optimización de procesos para la interpretación de los problemas, entre otros. En particular, se presentan los principales resultados de la experiencia sistematizada en este curso durante el segundo periodo del 2008 en la Universidad Nacional. Palabras clave Ecuaciones diferenciales, modelación e interpretación de fenómenos, uso de tecnología. Abstract The aim of this paper is to illustrate the need for the incorporation of technology and process modeling in the course of Ordinary Differential Equations (ODE), of the major in Mathematics Education in the Universidad Nacional in Costa Rica, in order to motivate students to achieve: to make a discreet handling of information, access the stochastic reasoning for the search of solutions, and use discrete matheCuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 155-172. Costa Rica

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Yuri Morales López - Óscar Salas Huertas

matics, modeling and optimization processes for the interpretation of problems, among others. In particular, we show the main results of the systematized experience in this course during the second half of 2008 at the Universidad Nacional. Key words Differential equations, modeling and interpretation of events, use of technology.

1. Introducción La tecnología juega un papel fundamental en todos los sectores de la sociedad. La investigación en las ciencias exactas y las sociales se ha visto nutrida por información obtenida del análisis de datos que, cuatro décadas atrás, hubieran sido imposibles de analizar. Toda esta nueva información ha conducido a replantear, día con día, los modelos construidos sobre una base de conocimiento que sufre cambios, cada vez, con mayor velocidad. Múltiples sectores de nuestra sociedad del conocimiento trazan esfuerzos para poder plantear modelos los cuales expliquen, con mayor exactitud, lo que ocurre en diversos fenómenos naturales o eventos propios de nuestro quehacer. Para esta tarea, es innegable que el futuro profesional debe contar cada vez con mejores destrezas y habilidades tanto cognitivas como meta–cognitivas. Es decir, el nuevo profesional no solo deberá ser consciente del cómo aprende y reaprende, sino que también, deberá contar con la habilidad de ser crítico y saber cómo resolver problemas. Bajo estas consideraciones, todos los sectores de la educación costarricense tienen un grado de responsabilidad, pero, la educación superior tiene una tarea tanto difícil y loable, como romántica: ofrecer al futuro profesional las mejores herramientas, destrezas, habilidades y conocimientos para desarrollarse en su área y, al mismo tiempo, estar acorde con las necesidades sociales y ambientales. Para esto, la educación superior debe encargarse de ofrecer el conocimiento de una manera integrada, sin desligar un área de otra. Es en este sentido que la matemática puede ser una herramienta para ofrecer las habilidades y destrezas antes mencionadas. Consecuentemente, la matemática puede nutrir otras áreas mediante estrategias que involucren la modelación de fenómenos y las simulaciones con computadores.

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¿Por qué se estudian las ecuaciones diferenciales (modelización matemática)? Las EDO es uno de los temas más apasionantes de la Matemática Aplicada que nos transporta a la modelización de problemas del entorno; en este sentido, entenderemos por modelización matemática, esencialmente, el traslado de un problema del mundo real a un problema matemático, resolver el problema matemático e interpretar la solución en el lenguaje del mundo real. Si se desea preparar a economistas, ingenieros, matemáticos, biólogos, entre otros, para la modelización de problemas complejos, en los que una masa de información irrelevante oscurece el objetivo central y, además, la habilidad principal consiste en destacar dicho objetivo y seleccionar la información necesaria, entonces la formación debe diferir claramente de la tradicional, en la cual según Brousseau (1986), las clases están dirigidas a comprender conceptos abstractos, demostrar teoremas y resolver ecuaciones, muy conveniente para la formación de matemáticos puros; pero insuficientes para el que va a aplicar la matemática o en la formación inicial de un profesor de matemática (Almeida, V., Bruna, A., Espinel, M.C., García, J.A., Bermúdez, M., González, M., 1998). Si desde la enseñanza obligatoria se llegara al conocimiento matemático resolviendo problemas en íntima conexión con la vida diaria, las ciencias humanas, o con la física, y se educara al alumno en la modelización de tales problemas, entonces el ciudadano medio tendría un mejor concepto sobre la necesidad, el interés y el poder de las Matemáticas. Por todo ello, existe en la actualidad una corriente en Educación Matemática que sostiene con fuerza la necesidad de que el aprendizaje de las matemáticas se realice en continuo contacto con las situaciones del mundo real que les dieron y le siguen dando su motivo y vitalidad. En los últimos años, los avances en cuanto al poder de cálculo de la computadora han ocasionado que la enseñanza de la matemática en cursos como Métodos Numéricos o Ecuaciones Diferenciales, puedan contar con una metodología propia de las ciencias experimentales, en el sentido de poder experimentar y comprobar. Al mismo tiempo, es fundamental considerar que los procesos a los cuales se les trata de dar respuestas con el uso de la computadora necesita de objetos discretos y procesos finitos, lo cual ha puesto de moda temas como: combinatoria, matrices, geometría combinatoria, problemas de optimización, procesos iterativos, recursividad, entre otros. Dichas cuestiones se suelen unificar con el término matemática aplicada o discreta, ya que tratan, en general, fenómenos discretos y procesos finitos de la vida real. Entonces, es indiscutible que los métodos numéricos utilizados en el curso de EDO cuentan en este momento de gran auge no solo debido al papel que juegan actualmente las computadoras, sino que, como ya lo mencionamos, puede existir

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una relación y aplicabilidad de los contenidos en una amplia variedad de disciplinas tales como biología, química, ingeniería, informática, sociología, etc. Es clara la importancia de entender el papel y rol que juegan las matemáticas aplicadas dentro del currículum de formación inicial para profesores de Enseñanza de la Matemática; sobre todo cuando se observa que el material existente en cursos tales como Ecuaciones Diferenciales no cumple con las expectativas ni se adapta a las necesidades concretas de los futuros formadores. Es por lo anterior que consideramos necesaria la incorporación de la tecnología y de los procesos de modelización en el curso de EDO, en particular, en la carrera de Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional, en Costa Rica, con el fin de motivar a los alumnos para que, entre otras cosas, logre: hacer un tratamiento discreto de la información, acceder al razonamiento estocástico para la búsqueda de las soluciones, y utilizar la matemática discreta, la modelización y la optimización de procesos para la interpretación de los problemas. Por último, cabe mencionar que nuestros objetivos implícitos en el curso procuran: promover la conexión entre las distintas partes de la matemática, resolver problemas con aplicaciones al mundo real, dominar los principios básicos de iteración, recursión e inducción, utilizar los conceptos matemáticos para modelizar diversas situaciones y aplicar métodos discretos de optimización para los distintos problemas.

2. Marco referencial La enseñanza y aprendizaje de la EDO es un área de sumo interés en muchas carreras universitarias; en gran medida, esto se debe a que esta disciplina nació como necesidad práctica. Los resultados de Newton y Leibniz entre el siglo XVII y XVIII fueron los grandes detonantes para que se desarrollara toda una teoría sobre las ecuaciones que contienen funciones y sus derivadas. Para entender cómo están aprendiendo los estudiantes esta área, es indispensable conocer cuál es su escenario o su contexto y qué cursos de matemáticas han superado. Además de esto, es necesario conocer cuáles son algunas de las deficiencias más comunes con las que un estudiante concluye el curso de EDO. Existen ciertas señales que nos pueden permitir conocer el aprovechamiento en estos cursos; por 1 Existen distintos enfoques de cómo enseñar ecuaciones diferenciales y sus herramientas, este trabajo enfoca el uso de tecnología. Esto no quiere decir que se deba omitir la historia como recurso, sino que, ambos pueden ser utilizados para lograr una mediación pedagógica.

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ejemplo, es válido preguntarse cuáles son las bases previas del estudiante, esto es: ¿cuál fue el enfoque con el que se manejó el concepto de límite, derivada, integración y serie? ¿Con qué frecuencia se relacionan estos conceptos con aplicaciones en fenómenos naturales o sociales? ¿Con cuáles herramientas cuenta el estudiante para la modelación y simulación de fenómenos? ¿Se ha formalizado un concepto de error por aproximaciones o errores relativos? Otro factor es el enfoque con el que se pretenda resolver los problemas asociados. Según Nápoles, González, Genes, Basabilbaso y Brundo (2004) existen tres grandes enfoques: el algebraico, el numérico y el geométrico, los cuales están asociados a la teoría de las múltiples representaciones. Una de las problemáticas con la que cuenta la enseñanza de esta disciplina es que, aún hoy, predomina el enfoque algebraico como reflejo de la primera forma que se tuvo de resolver estos problemas. Para Nápoles y otros (2004) “esto ha traído, como consecuencia, que se tenga una visión muy parcial de los métodos que existen para resolver ecuaciones diferenciales, pues frecuentemente en el estudio de los modelos determinísticos se requiere establecer articulaciones entre los diferentes acercamientos.” (p. 46) Esto también causa que el estudiante sienta reticencia a interpretar gráficas y tratar de establecer conjeturas a partir de la visualización; un ejemplo de esta problemática es tratar de interpretar la solución de gráficamente, mediante soluciones particulares y el campo de direcciones; aunque los estudiantes están familiarizados con las funciones exponenciales desde la secundaria, no logran, comúnmente, interpretar la solución (ver gráfica 1). Inclusive, autores como Dobbs (2004) señalan que, hasta el factor A de la ecuación anterior puede ser de gran interés desde las ciencias a las matemáticas, y viceversa; el problema principal se presenta cuando el estudiante posee deficiencias en el concepto relacionado con esta función y sus posibles interpretaciones. Gráfica 1. Campo direccional y algunas soluciones particulares para y´ = y

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En una investigación de Moreno y Azcárate (2003) llamada Concepciones y Creencias de los Profesores Universitarios de Matemáticas acerca de la Enseñanza de las Ecuaciones Diferenciales, se mostró que los docentes involucrados creen que:1. “Los estudiantes aprenden las ecuaciones diferenciales por imitación y memorización de situaciones y por esquemas de resolución vistos en clase”. (p. 271) 2. “Los estudiantes son incapaces de pensar, crear y razonar por ellos mismos”. (p. 271) 3. “Las definiciones son algo mecánico que tiene que aprenderse y en donde no hay nada que entender.” (p. 271) 4. “Sería mucho más interesante interpretar un modelo matemáticamente que invertir tanto tiempo en resolver diferentes tipos de ecuaciones mecánicamente.” (p. 272) 5. “La utilización de ordenadores de forma sistemática nos obligaría a cambiar la manera actual de enseñanza de las ecuaciones diferenciales y a dar más importancia a los métodos gráficos y numéricos.” (p. 272) 6. “La formación de los profesores como matemáticos está muy alejada de las aplicaciones a otros campos de las ciencias experimentales.” (p. 272) 7. “Dado que las técnicas y los modelos matemáticos son dos aspectos difíciles de reconciliar, los profesores finalmente suelen elegir uno.” (p. 272) 8. “Resulta mucho más fácil aprender a resolver una ecuación diferencial que reconocer un modelo matemático, de forma que los profesores suelen optar por el camino más fácil.” (p. 272) Además de los factores mencionados, ciertas prácticas son habituales en la enseñanza de la matemática y, por ende, en la enseñanza de las EDO. Por ejemplo, para realizar correcciones de cálculo, se enseña a los estudiantes que, únicamente, deben insertar la solución que obtuvieron, dentro de la ecuación original para verificarla. (Yeung y Chung, 2007). Es decir, en muy pocas ocasiones se le muestra al estudiante que la solución de un problema (no necesariamente la solución exacta) puede ser la suma de evidencia como gráficos, aproximaciones, entre otros. Otros autores como Raychaudhuri (2007) señalan que la mayoría de los problemas con los que cuentan los estudiantes en cursos de Ecuaciones Diferenciales pueden deberse a la poca comprensión e importancia que se le otorga al conocimiento de los teoremas de existencia y unicidad. Por otra parte, Puga (2001) opina que la problemática principal puede estar arraigada en lo que él denomina como problemas didácticos en los cursos tradicionales en esta temática. Este autor indica los siguientes problemas: falta de modelización o escasez de procesos completos de modelización; poco o nulo balance

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entre los tres enfoques (algebraico, geométrico y numérico) en la solución de las ecuaciones diferenciales, escasez en el análisis e interpretación de soluciones, validación de soluciones, ejemplos de ajustes de modelos y predicciones. A las referencias y posturas mencionadas anteriormente, se debe agregar un factor primordial y complejo: el enfoque curricular en la Enseñanza de las Matemáticas. Las nuevas tendencias en Educación Matemática, proponen que cuando se analice el proceso de enseñanza aprendizaje, se considere como un fin principal el hecho de que los estudiantes comprendan las matemáticas o que logren competencia o capacidad matemática. Por consecuencia de lo anterior, surge la necesidad de definir la noción de competencia, Competencia se refiere a la persona ‘competente’ como al “conocedor de cierta ciencia o materia, o experto o apto en la cosa que se expresa o a la que se refiere el nombre afectado por ‘competente’”. La competencia se relaciona con la aptitud, capacidad, disposición, “circunstancia de servir para determinada cosa”. Una persona apta, o capaz, es “útil en general para determinado trabajo, servicio o función”. Diccionario de uso español de María Moliner. Una “competencia” se entiende como “la capacidad de realizar una tarea o de finalizar algo con éxito”. Pone en juego la noción de ‘capacidad’, que se refiere tanto al nivel general de inteligencia de alguien como a la cualidad o destreza que tiene esa persona para hacer una cosa particular. Diccionario Penguin de Psicología Parece claro entonces que la competencia es un rasgo cognitivo y disposicional del sujeto; también que será distinta según el campo profesional, el objeto de saber o la edad. Hablamos así de competencia matemática para el ingeniero, el físico, para el actuario, el estudiante de enseñanza de la matemática o del matemático puro. Competencia y comprensión se complementan: la competencia atiende al componente práctico, mientras que la comprensión al componente teórico del conocimiento. La competencia pone en juego conocimientos de tipo procedimental, mientras que la comprensión requiere conocimiento conceptual. La sociedad, por lo tanto, valora la acción; pero, nos planteamos la interrogante ¿es posible o deseable la acción sin comprensión? Parece que la acción será más flexible y adaptable, generalizable, y por tanto, más eficaz si va acompañada de comprensión, de saber por qué se hacen así las cosas (Godino, 2003).

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Para lograr la comprensión y la competencia matemática Godino (2003), nos plantea dos cuestiones básicas: ¿Qué comprender? ¿Cuáles son los conocimientos matemáticos que queremos que nuestros alumnos lleguen a dominar? La respuesta a estas preguntas es el eje descriptivo, que indicará los aspectos o componentes de los objetos a comprender. Definir la “buena” comprensión y la “buena competencia” matemática requiere definir previamente las “buenas” matemáticas. (p. 4) ¿Cómo lograr la comprensión y la competencia por parte de nuestros alumnos? La respuesta a esta pregunta es el eje procesual que indicará las fases o momentos necesarios para el logro tanto de la “buena” comprensión como de la “buena” competencia. (p. 4) De esta forma el logro de la competencia y comprensión, están por consiguiente, íntimamente ligadas al cómo concebimos el conocimiento matemático. Los términos y expresiones matemáticas denotan entidades abstractas, cuya naturaleza y origen tenemos que explicitar, para poder elaborar un modelo útil y efectivo, razonando sobre lo que entendemos por: comprender tales objetos. De lo anterior, surgen las siguientes preguntas ¿Cuál es la estructura del objeto a comprender? ¿Qué formas o modos posibles de comprender existen para cada objeto matemático? ¿Qué aspectos o componentes de la práctica y el discurso matemático es posible y deseable que aprendan los estudiantes en un momento y circunstancias dadas? ¿Cómo articular el estudio de sus diversas componentes? Este último factor analizado debe llevarnos entonces, coherentemente, a reconocer también que debe existir una determinada manera de entender las matemáticas y los objetos matemáticos y que, evidentemente, junto a la necesidad particular de comprender cómo se aprenden las EDO yace un panorama más amplio respecto al cómo aprender Matemáticas

3. Metodología Los contenidos matemáticos han cambiado en las últimas décadas y también la manera de hacer matemáticas. La matemática ha adoptado ciertas metodologías de trabajo de las ciencias experimentales, sobre todo debido al uso de las computadoras. Las actividades como observar, explorar, utilizar discernimientos intuitivos, hacer predicciones, probar hipótesis, conducir ensayos, controlar variables,

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simular situaciones reales son cada vez más frecuentes, (Almeida, V., Bruna, A., Espinel, M.C., García, J.A., Bermúdez, M., González, M., 1998). Dado los precedentes anteriores, como docentes hemos identificado las siguientes necesidades en el curso de Ecuaciones Diferenciales: 1. Reformar las prácticas actuales en el aula para incluir la historia y las tecnologías como herramientas útiles en el aprendizaje de esta disciplina. 2. Incluir actividades que involucren la exploración y el descubrimiento, donde la matemática se presente como una ciencia viva y en pleno desarrollo y no como una serie de recetas y conocimientos acabados. 3. Desarrollar las habilidades relacionadas con la creación de conjeturas y posibles acercamientos a la solución de problemas. 4. Utilizar los enfoques geométrico, algebraico y numérico como fuentes de hipótesis y como acercamientos a la solución de una ecuación diferencial. Estas necesidades, a nuestro criterio, son un reflejo particular de lo que no poseen muchos de los currículos de formación docente en matemática, pero también, representan grandes metas a alcanzar en el desarrollo propio de cada curso. Dado esto, en este primer acercamiento se planteó (propuesta): 1. Detectar algunas de las posibles causas que puedan influir en la comprensión de las Ecuaciones Diferenciales. 2. Integrar el contenido matemático con los métodos de formación donde el futuro docente se vea profesionalmente activo (acción para llevar al aula). 3. Implementar en el curso los contenidos matemáticos con problemas relacionados con la física y la química, entre otros; esto con el fin de lograr una posición activa y práctica de la materia. 4. Dotar al estudiante de herramientas para la comprensión del desarrollo teórico del curso de tal manera que, por un lado, el estudiante domine los medios que existen, tanto bibliográficos como programas de computadoras y, por otro lado, que desarrolle contenidos en acción y se percate de las posibles afinidades con temas relacionados. Estrategias: Se concibió una serie de actividades con tres contenidos fundamentales; primero, programación estructurada básica orientada a los métodos numéricos clásicos para la resolución de las ecuaciones diferenciales (Euler, Euler modificado, Taylor y Runge – Kutta de cuarto orden); en segundo lugar, funciones predefinidas de trazas y graficación, principalmente asociadas a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias, y por último, funciones predefinidas en los software para la resolución algebraica de las EDO. Estas se basaron, fundamentalmente, en ejercicios relacionados con la bibliografía recomendada y apoyados con los tutoriales de los fabricantes de los software.

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Circunstancia inicial: Se elaboró esta propuesta de curso contemplando que los estudiantes no han sido formados bajo un currículo fuertemente apoyado en el uso de las TIC’s y, por lo tanto, se requirió trabajar en algunos conceptos básicos sobre el uso de software y una breve introducción a la programación estructurada (ver tabla 1). Tabla 1. Principales instrumentos utilizados para el desarrollo del curso (propuesta) y sus respectivos enfoques. Instrumentos de evaluación durante el curso de Ecuaciones Diferenciales Pruebas tradicionales, laboratorios de programación y proyecto de aplicación Enfoque algebráico

Enfoque geométrico

Pruebas escritas Pruebas Cortas Pruebas Cortas tradicionales

Enfoque numétrico

Integración gráfica Pruebas extraclase en el laboratorio

Laboratorios de investigación

Sobre la población y el contexto: Para este trabajo se tomaron los dos grupos del curso de Ecuaciones Diferenciales impartido en el IV nivel de la carrera de Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional en el II ciclo del 2008; dichos grupos contaron inicialmente con una población de 44 estudiantes en total. Sobre la metodología del curso: La estrategia utilizada para el desarrollo de las lecciones comprendió una componente teórica y una práctica, de manera tal que, durante la primera fue desarrollada la teoría necesaria para la resolución de las EDO; esto mediante clases magistrales, en las cuales, la participación del estudiante consistía en el aporte de ideas para la resolución de ejercicios seleccionados y pertinentes de acuerdo con el modelo propuesto. La segunda correspondió al desarrollo de las clases en el laboratorio de cómputo; en ellas, el estudiante tuvo una participación activa tanto en el desarrollo como en la aplicación de los métodos numérico y geométrico que, a la postre, serían los necesarios para resolver los problemas de aplicación asignados por los profesores en un proyecto final del curso. Se programó una visita al laboratorio por cada tres visitas al salón de clase, aproximadamente, durante todo el ciclo. Sobre la evaluación: Se propuso tres pruebas teóricas, pruebas cortas y tareas planeadas para comprobar el dominio de los conceptos tradicionales relacionados con el enfoque algebraico, la elaboración y exposición de un trabajo grupal, y la realización de un proyecto final. En éste, las herramientas tecnológicas se utilizaron para: promover las múltiples representaciones (logrando que el estudiante trascienda la solución algebraica), la modelización (tomando un problema de la

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vida real y formulando el modelo matemático necesario para resolverlo) o el análisis de soluciones (para la aproximación de soluciones numéricas y la representación geométrica de familias de curvas y campos direccionales). Percepción del estudiante: Se decidió construir un Blog en la plataforma del sitio Google (www.edouna.blogspot.com) para que los estudiantes compartieran, a modo de anecdotario, su percepción respecto al curso, la metodología y el uso de las herramientas tecnológicas; esta herramienta estuvo disponible del 18 de agosto al 16 de noviembre del 2008 y en este espacio se pudo documentar 209 aportes. Sobre el software: Se trabajó con Mathematica versión 6.0 en un grupo y MatLab versión 7.0 en el otro (versiones de prueba). Una hipótesis establecida (y que no fue posible analizar por los autores en este trabajo) fue que para fines prácticos del curso, los software de programación no son más que una colección de modelos conceptuales, por lo que, la instrucción podrá variar en forma, pero, no de fondo. En el próximo apartado se describen las experiencias obtenidas y otras consideraciones. En este apartado se exponen los principales resultados e implicaciones de la aplicación de la propuesta; para esto, se deseó incluir en este análisis, tres ángulos distintos respecto a las incidencias desde la perspectiva del docente, desde la perspectiva curricular y, por último, la del estudiante. 1. Cambios en las prácticas habituales Desde la perspectiva curricular, la coyuntura histórica de la enseñanza de la Matemática ha mostrado que los cursos tradicionales de nivel superior se basan en metodologías magistrales y eso, poco a poco, caló en lo que el estudiante considera un curso avanzado. Durante las primeras etapas de la aplicación de la propuesta existió un ambiente de desconcierto respecto a un curso que, por tradición, se trabaja por teoremas y técnicas algebraicas para resolver las ecuaciones. Esta confusión inicial respecto al trabajo se debió a dos razones principales: primero, tratar de involucrar la interpretación (algebraica, numérica y geométrica) en las soluciones de una ecuación, y segundo, desconcierto debido al papel que jugaría el estudiante cuando utilizara la tecnología. Desde la perspectiva del docente, el cambio que representa incluir estos tres enfoques también requirió planificación, e inclusive, aceptar que las discusiones habituales, poco a poco, se transformaron en preguntas no habituales a un curso clásico. Apreciación del estudiante: “me preocupa la parte que es del proyecto o de los trabajos que se deben presentar con el programa de Mathematica 6, siento que

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se debe tener más preparación para el manejo, ya que no solo consiste en travesearlo”. 2. El papel del enfoque tradicional dentro de la propuesta Los procesos de innovación, muchas veces, pueden ser planificados y estructurados sistemáticamente, pero, lo que cualquier proceso de este tipo debe asegurar es no entorpecer o menospreciar objetivos que ya eran exitosos. Bajo esta premisa, uno de los retos presentes en esta modificación de la estrategia curricular fue no disminuir la comprensión en los teoremas y técnicas algebraicas que se alcanzaban bajo la propuesta clásica. Basado en esto, se planificó que las pruebas escritas principales guardarán énfasis en el enfoque algebraico y con el nivel tradicional de exigencia en los temas. Ahora, puesto que el porcentaje de evaluación en estas pruebas es alto y, aclarando que no se ha realizado un análisis comparativo con cursos anteriores, sí se puede afirmar que la promoción fue alta. Sin ni siquiera tratar de conjeturar que la propuesta es más efectiva que el trabajo que se ha venido realizando en los ciclos anteriores, se pudo rescatar que el estudiante se sintió motivado por el uso de la herramienta tecnológica. Apreciación del estudiante: “Éste software es de gran ayuda, ya que facilita el trabajo y permite una mejor percepción y comprensión de conceptos que quizás consideramos abstractos, ya que estamos acostumbrados por los cursos que llevamos y en los libros que leemos, a un modelo algebraico”. 3. Problemáticas en el enfoque alternativo Es oportuno mencionar que como cualquier otro proceso de enseñanza-aprendizaje el enfoque alternativo bajo el cual se desarrolló el curso de Ecuaciones Diferenciales no está exento de problemáticas. Las mismas se presentan en varias etapas del proceso; • Se debe ser muy precavido cuando se planean las actividades o situaciones didácticas que servirán, a posteriori, en el aula para generar conocimientos y motivar a los alumnos a la búsqueda de soluciones; las actividades llamadas por Brousseau (1997) situaciones a-didácticas son los principales indicadores de que el alumno está asimilando los conocimientos. • Las vivencias en el aula y, en particular, en el laboratorio fueron fundamentales para que el estudiante llevara a la práctica los conceptos teóricos aprendidos, pero introdujeron una serie de variables que el docente no pudo subestimar; el estudiante posee, para la resolución de problemas planteados por el profesor, lo que Schoenfeld (1985) llamó inventario de recursos adquiridos a lo largo de sus

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años de estudio, y se tuvo que intervenir en el momento oportuno para aportar correcciones, pues algunos de estos recursos podrían haber sido defectuosos y confundir el trabajo realizado por el alumno; otro aspecto esencial que se tiene que considerar es el “control” pues cuando se asignaron problemas para que el alumno los trabajara, estos por su naturaleza, podían ser resueltos siguiendo diferentes caminos, por lo tanto, el estudiante debió escoger la heurística que iba a utilizar para resolverlo (i.e. el estudiante tiene el control). Esto genera una dinámica interesante pues el alumno debe tener la capacidad de identificar cuando la heurística utilizada no lo está llevando a ninguna parte y entonces debe decidir volver al inicio y cambiar la estrategia. Cabe destacar que la situación anterior no es natural para el alumno, pues como pudimos constatar, él mismo no está familiarizado con la idea de equivocarse cuando resuelve un determinado problema matemático. • Otras importantes consideraciones se pueden realizar a partir de las experiencias generadas del trabajo o proyecto de investigación asignado a los estudiantes como parte de la evaluación del curso. Aquí se pudieron identificar una serie de aspectos para los cuales los estudiantes parecen no haber construido las suficientes estrategias para resolver problemas a lo largo de la carrera, por ejemplo, dado un problema de la vida real ellos poseen poca habilidad para pasarlo al lenguaje matemático; cuando se atascan o encuentran dificultad para encontrar la solución, parecen no tener la capacidad de buscar mecanismos de simplificación o mecanismos que les permitan enfrentar el problema de un modo diferente; una vez que logran encontrar la solución a un determinado problema tiene dificultades extraordinarias para discernir si la misma corresponde a algo práctico o una solución teórica (etapa de validación de la respuesta). De hecho, muestran importantes barreras cognoscitivas que les imposibilita en muchos casos adaptar una respuesta obtenida, a través de una fórmula matemática, para una respuesta que explique lo que sucede en un determinado fenómeno físico. • Una última acotación que nos queda por hacer, concierne a la evaluación de los procesos, hasta cierto punto complejos, que se generan cuando se utiliza la modelización como herramienta para lograr la comprensión de los contenidos matemáticos. La inquietud fundamental es la ausencia de instrumentos aptos para medir si el estudiante adquirió una determinada competencia o no; además, si la adquirió, ¿en qué medida es capaz de utilizarla? Por ejemplo: se necesitan procesos de evaluación que brinden información sobre la capacidad de interpretación que posee el estudiante y la forma en que se enfrenta a un problema de modelización; en dichos instrumentos se debe evidenciar la forma y la profundidad con que cada uno de los objetivos fue alcanzado. Por otra parte, coincidimos con las ideas de Barbosa (2006), y pensamos que los procesos de evaluación deben retroalimentarse con la oportuna creación de espacios de discusión donde el estu-

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diante comparta con sus compañeros y con el profesor las ideas utilizadas durante el proceso de modelización, ya sean aquellas de carácter puramente matemático, aquellas de carácter tecnológico que le permiten construir el modelo, y aquellas que tienen que ver meramente con la reflexión acerca de los criterios utilizados para la creación del modelo. 4. Influencia del uso de la tecnología A lo largo del presente artículo hemos tratado de evidenciar la importancia de la componente tecnológica y el peso de la misma dentro del enfoque que adoptamos para el curso Ecuaciones Diferenciales. Sin embargo, tenemos que ser claros en que se detectaron una series de deficiencias en la formación inicial de los estudiantes de la carrera, los cuales llegan a los niveles superiores sin contar con los conceptos elementales de la programación; éstos son esenciales para desarrollar procesos numéricos y geométricos con un nivel de matemática adecuado (puede suceder lo mismo en el curso de Métodos Numéricos). Parecería necesario entonces, que las carreras de matemática cuyo currículo contenga estos cursos, realicen un esfuerzo importante para ofrecerle al estudiante competencias que vayan más allá de la utilización de software asociados a la ofimática u otros donde el alumno solo tiene que darle los datos y el programa se encarga de hacer la matemática (tipo caja-negra). En estos, comúnmente, los estudiantes confían ciegamente en lo que hace el software sin poder intervenir en el proceso. Tomando en consideración la calidad de algunos de los trabajos presentados por los estudiantes del curso, se deduce que ellos sí cuentan con las habilidades necesarias para aprender y comprender programación enfocada a la matemática. Para aprovechar esto, lo fundamental debe ser, primero, estimular este tema al inicio de la carrera y, segundo, mostrar al estudiante el nuevo panorama matemático que le ofrecen estas herramientas. Apreciación del estudiante: “El formato del proyecto, donde se debe programar los métodos de Euler, Euler mejorado y Runge – Kutta nos permite visualizar las facilidades que nos pueden ofrecer las herramientas tecnológicas para convertir procedimientos repetitivos pero muy extensos en procedimientos fáciles y rápidos de visualizar”.

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4. Consideraciones finales Junto a las razones y evidencias expuestas en el apartado anterior, en este trabajo también se pretendió detectar algunas posibles causas que influyen en la com2 prensión de la resolución de las ecuaciones diferenciales por parte de los estudiantes; complementariamente a las posibles razones que la bibliografía expuesta ofrece, a nuestro criterio, estas se concentran en tres grandes problemáticas: • Debilidades en el concepto de aproximación y métodos numéricos simples. Se considera que el estudiante muestra ciertas debilidades en temas como las series, el polinomio de Taylor y el caso de Maclaurin para la aproximación numérica de funciones con radios de convergencia útiles para ciertos problemas de aplicación. Esta poca experiencia causó que, para muchos, el concepto de aproximación numérica en el curso fuera algo extraordinario, cuando debió ser una estrategia casi natural. Además, al parecer, los estudiantes tienen una percepción de que las aproximaciones numéricas no representan una herramienta, ni poseen carácter de validez en la Matemática. • Debilidades en interpretación de resultados. Durante las clases impartidas tanto en el laboratorio como en el salón de clases, se detectó que los estudiantes no poseen todas las competencias, que como profesores apreciamos que son necesarias para analizar las posibles interpretaciones de los resultados algebraicos, geométricos y numéricos. • Debilidad sobre el uso de herramientas tecnológicas a través de la carrera. Este factor fue de relevancia en la propuesta pues, dentro de ésta, se tuvo que incluir actividades básicas para el uso del software que, consecuentemente, requirieron la inversión de recursos. En un supuesto ideal, el estudiante debería ser confrontado con recursos tecnológicos de un propósito definido; es decir, aunque existen cursos de previos sobre uso de la tecnología, esto no puede asegurar al cuerpo docente encargado de este curso, que el estudiante ha utilizado la herramienta para la explicación y resolución de problemas ni para la modelización de fenómenos en los cursos fundamentales de Geometría, Cálculo, entre otros. Trabajo pendiente y recomendaciones Durante la administración y la aplicación de la propuesta, se pudo detectar que existe la necesidad de profundizar en la sistematización de intenciones educativas, prácticas en y fuera del aula y, al mismo tiempo, profundizar en las didácticas específicas en esta disciplina para lograr comprender los conocimientos que cons2

Este trabajo no se enfocó en una metodología explicativa o causa – efecto; las posibles causas de estas problemáticas se ofrecen desde la perspectiva como docentes del curso.

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truye el estudiante cuando se involucran los distintos enfoques y el papel de las tecnologías en estos nuevos conocimientos. Asimismo, esta comprensión puede aportar más indicios de cuáles deben ser las técnicas adecuadas para evaluar estos nuevos conocimientos; inclusive, estos aportes podrían evidenciar la necesidad del uso de instrumentos evaluativos no tradicionales dentro de nuestras aulas. Evidentemente, se hace necesario construir y mejorar instrumentos de recolección de información con el fin de documentar el impacto del uso de las herramientas tecnológicas, no solo en cursos de matemática aplicada, sino, en cursos de corte teórico y didáctico. Por otro lado, como se mencionó en el apartado de análisis, una de nuestras principales preocupaciones en el curso fue poder aceptar la poca comprensión del gran problema que engloba una propuesta de este tipo; se hace esta aclaración, pues, más que un recelo a la innovación, se desea motivar, en particular, a los docentes para iniciar (o continuar) con procesos que involucren estrategias alternativas para enriquecer la investigación en las didácticas específicas de los cursos de nivel superior. Por último, es importante motivar a los docentes para la toma de decisiones respecto a la incorporación de las tecnologías dentro de las carreras y, fundamentalmente, en áreas y cursos específicos; esto con el fin de impulsar cambios reales en todos los ámbitos y no, solamente, en directrices y políticas generales, las cuales están presentes en muchos currículos de formación de formadores en Matemática, pero que, pocas veces, son llevadas a la práctica.

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Yuri Morales López - Óscar Salas Huertas

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Propuestas en la Educación Matemática

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMO ESTRATEGIA METODOLÓGICA EN LA FORMACIÓN DE DOCENTES DE MATEMÁTICAS: UNA PROPUESTA Jennifer Fonseca Castro [email protected] Cristian Alfaro Carvajal [email protected] Escuela de Matemática Universidad Nacional Resumen Tradicionalmente, la resolución de problemas ha sido utilizada como actividad posterior al desarrollo de conceptos matemáticos, donde la aplicación casi mecánica de los conceptos es el objetivo final. No obstante, recientemente se ha planteado un enfoque más moderno de la resolución de problemas como estrategia metodológica en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas. Este enfoque pretende dar al docente y al estudiante otros tipos de experiencias que les permita construir, revisar y extender sus sistemas conceptuales y de vivencia. En este sentido, se describe brevemente el aporte teórico en la Resolución de Problemas como estrategia metodológica de los enfoques planteados por Lesh (Model-eliciting activities), los japoneses (Open-Ended problems) y la metodología utilizada en un Seminario de graduación centrado en el tema de la Resolución de Problemas llevado a cabo en el año 2007 en la Escuela de Matemática de la Universidad Nacional en Costa Rica. Esto con el objetivo de señalar e integrar aquellos elementos que deberían guiar la construcción e implementación de situaciones didácticas para la Resolución de Problemas como estrategia metodológica en la formación de docentes de matemática. Palabras clave Resolución de problemas, formación docente en Educación Matemática, Matemáticas, estrategias metodológicas en Enseñanza de las Matemáticas, modelos y modelando, problemas de cierre abierto. Abstract Traditionally, problem solving has been used as an activity after the Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 175-191. Costa Rica

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development of mathematical concepts, where the mechanical application of those concepts is the ultimate goal. However, a more modern approach proposes problem solving as a methodological strategy in the teaching and learning of mathematics. This approach aims to give teachers and students other experiences that allow them to build, revise, and extend their conceptual systems and experiences. We present in this article a brief description of the theoretical contributions of Lesh (Model-eliciting activities), the Japanese (Open-Ended problems), and the methodology used in a Seminar (a final requisite to complete a degree in Mathematics Education) conducted in 2007 at the School of Mathematics of the Universidad Nacional in Costa Rica, in order to draw those elements that should guide the construction and implementation of situations for problem solving as a methodological strategy in mathematics teacher education Key words Problem solving, Mathematics teacher preparation, Mathematics, Methodological strategies in Mathematics Teaching, Model-eliciting activities, Open-Ended problems.

1. Introducción La resolución de problemas se ha considerado como una importante estrategia para la enseñanza de las Matemáticas en estudiantes de Educación Media en diferentes partes del mundo. El NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) de los Estados Unidos), por ejemplo, lo ha consignado dentro de sus principios y estándares como un estándar de proceso y no de contenido. Por su parte, el Ministerio de Educación Pública (MEP) en Costa Rica contempla dentro de los programas vigentes de estudio a la resolución de problemas como la estrategia pedagógica más adecuada para el desarrollo de las lecciones. Esto hace que la resolución de problemas permita abordar varias dimensiones en la Educación Matemática. Por un lado, integra objetivos interdisciplinarios dentro de las propias Matemáticas, por ejemplo, geometría, álgebra y funciones; así como multidisciplinarios, por ejemplo, Matemáticas, Ciencias e Historia. Por otro lado, potencia los aprendizajes activos y colaborativos dentro de los énfasis curriculares modernos.

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Resolución de problemas, tradicionalmente, se ha utilizado como herramienta de evaluación y aplicación de conceptos matemáticos previamente estudiados. Bajo esta perspectiva, el conocimiento se presenta parcelado, y el resolver un problema se limita a proporcionar una respuesta predeterminada. No obstante, un enfoque más moderno de la resolución de problemas como estrategia metodológica en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas promete un aprendizaje más significativo e integral de conocimientos y experiencias para el estudiante y el docente. El uso de la Resolución de Problemas como estrategia metodológica para la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas, ha tenido una importante evolución: desde el análisis de estrategias heurísticas de solución con Polya, hasta el estudio de elementos cognitivos más complejos con Schoenfeld, Brousseau, Lesh y otros. Se han realizado diversos intentos para desarrollar la Enseñanza de las Matemáticas por medio de la resolución de problemas como una orientación pedagógica que logre en los estudiantes un aprendizaje más significativo de esta disciplina y de su utilización dentro y fuera del sistema educativo. Lo que se pretende con esto, es lograr un equilibrio entre los distintos niveles de complejidad de ejercicios y el propósito persistente de fortalecer y trabajar aquellos problemas que se escapan de lo rutinario. Aunque se han desarrollado importantes investigaciones sobre el uso de la Resolución de Problemas en niveles de primaria y secundaria, el tema no ha tenido un gran desarrollo en la formación de los docentes de Matemáticas. Sin embargo, si se pretende que los futuros profesores desarrollen la Resolución de Problemas como estrategia metodológica en los currícula de formación media, se debe gestar desde la formación en las universidades el uso de la resolución de problemas en el desarrollo de cursos propios de la Educación Matemática. Para generar un planteamiento que permita emplear la resolución de problemas en la formación de docentes de matemática es necesario considerar los aportes teóricos de algunos investigadores que han potenciado esta temática en otros niveles educativos. En este sentido, se presenta el trabajo realizado por Lesh y colegas en resolución de problemas, el enfoque Open-Ended empleado por los japoneses, así como la experiencia del Seminario de Resolución de Problemas llevado a cabo en el año 2007 en la Escuela de Matemática de la Universidad Nacional. El objetivo de este trabajo es rescatar los elementos teóricos pertinentes que necesariamente deben estar presentes en la construcción de propuestas de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas mediante la resolución de problemas en los cursos de formación de docentes en esta disciplina.

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En una primera parte de este trabajo se hace un resumen de algunos elementos teóricos para el desarrollo de la Resolución de Problemas como estrategia pedagógica. En esta perspectiva, se presenta la metodología de Model-Eliciting Activities (MEAs) desarrollada por Lesh y otros en distintas universidades norteamericanas, el trabajo de la escuela japonesa con el enfoque Open-Ended y, finalmente, los aportes teóricos del Seminario de graduación de Resolución de Problemas llevado a cabo en el año 2007 en la Escuela de Matemática de la Universidad Nacional. En la segunda parte, se rescatan los elementos teóricos presentes en los enfoques mencionados anteriormente, integrándolos para que sirvan de base en la implementación de Resolución de Problemas en las carreras de formación de docentes de Matemáticas.

2. MEAS: una metodología de trabajo en resolución de problemas Desde la antigüedad, los problemas matemáticos han tenido su lugar de privilegio dentro del currículo matemático (Stanic & Kilpatrick, 1988). Sin embargo, existe una confusión sobre lo que se entiende por resolución de problemas. Mientras que algunos conceptualizan resolución de problemas como medio para poner en práctica lo aprendido o para el desarrollo de estrategias de solución de problemas; muy pocos utilizan resolución de problemas como estrategia didáctica o medio para la enseñanza de contenidos matemáticos (Schroeder & Lester, 1989). Para Lesh y colegas, pioneros constantes del desarrollo de Resolución de Problemas en Matemáticas y otras disciplinas, un “problema no rutinario” debe permitir al estudiante definir, refinar, transformar y extender sus sistemas conceptuales con el propósito de crear interpretaciones adecuadas de la situación planteada (Lesh & Doerr, 2003b). Además, éste debe involucrar sistemas matemáticos interesantes que evidencien al estudiante la necesidad de construir modelos para la interpretación y explicación de la situación. El producto final debe ser la unión de modelos complejos o herramientas conceptuales que reflejen aspectos importantes de la forma de pensar de los estudiantes y puedan ser reutilizables en situaciones similares (Lesh & Yoon, 2004). Tanto el problema como el producto final que se espera de éste, deben facilitar la reflexión en los estudiantes En esta dirección, modelos no se entiende como sinónimo de “ideal”; sino como herramientas conceptuales que incluyen sistemas explícitos descriptivos y/o explicatorios que revelan importantes aspectos sobre cómo los estudiantes interpretan y hacen uso de sus conocimientos previos y experiencias en distintas situaciones (Lesh & Doerr, 2003b). Dichos modelos tienden a ser expresados usando una variedad de representaciones y medios, por ejemplo, simbología escrita, oral, gráficos y metáforas.

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a través de la documentación de sus aprendizajes y progresos, promoviendo así la externalización de sus razonamientos y formas de pensar (Lesh, Hoover, Hole, Nelly, & Post, 2000). Finalmente, la situación presentada debe ofrecer criterios para la evaluación de soluciones alternativas, así como para que los estudiantes juzguen por sí mismos los productos finales y sepan cuando tienen un modelo que les satisface (Lesh et. al., 2000). Bajo esta perspectiva, la dinámica de la resolución de problemas consiste en la interpretación, búsqueda, selección y aplicación de datos o herramientas conceptuales para dar explicación a las situaciones propuestas; todo en un proceso cíclico de expresión, interpretación, definición, transformación y extensión de ideas y conceptos, los cuales son gradualmente ordenados, integrados, refinados, elaborados y/o rechazados (Lesh & Yoon, 2004; Zawojewski & Lesh, 2003). Según estos autores, la enseñanza debe enfocarse en la estructuración cuidadosa de experiencias, en las cuales los estudiantes confronten la necesidad de construir modelos que les permitan constantemente expresar, evaluar y refinar o revisar sus formas de pensar. Con base en esta perspectiva, Lesh y colegas han trabajado en el diseño, implementación e investigación de experiencias que cumplan con las características de problema y resolución de problema antes descritos. Dichas experiencias son conocidas como, actividades provocadoras de modelos o “model-eliciting activities (MEAs)” y han mostrado tener un gran potencial en la enseñanza y aprendizaje de las Matemáticas en muchos de los niveles educativos—primaria, secundaria y universitaria (Lesh & Doerr, 2003a). Los MEAs son actividades que permiten a los estudiantes definir, explorar, revisar y expresar sus conocimientos en un periodo de trabajo grupal de aproximadamente sesenta minutos. Estas actividades son diseñadas para estimular la solución de problemas significativos y de la vida real donde la información brindada no siempre se encuentra en forma explícita y pre-matematizada, y donde la respuesta final no se resume al uso de procedimientos y algoritmos. Durante esos sesenta minutos de trabajo, los estudiantes no sólo hacen uso de sus conocimientos previos, sino que también modifican y/o extienden estos conocimientos durante los diversos ciclos de integración, diferenciación, revisión y organización de ideas por los cuales pasan (Lesh & Yoon, 2004). Estas actividades han sido utilizadas con distintos grupos meta, en diversos contextos, y para alcanzar distintos objetivos. Por ejemplo se han utilizado con estudiantes de pre-escolar, primaria y secundaria (Lamon, 2003; Shternberg & Yerushalmy, 2003); con estudiantes de ingeniería y enseñanza de las Ciencias y Matemáticas; en cursos de post-grado para la carrera de educación (Lesh, Zawojewski, & Carmona, 2003; Oakes & Rud, 2003); en la enseñanza y aprendizaje de contenidos matemáticos, de métodos pedagógicos y didácticos;

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como estrategias para la resolución de problemas (Zawojewski & Lesh, 2003); y para el desarrollo de hábitos meta-cognitivos, de investigación y de reflexión (Lesh, Lester, & Hjalmarson, 2003; Middleton, Lesh, & Heger, 2003). En la formación de docentes de matemáticas, estas actividades han adquirido un lugar distintivo en el planeamiento e instrucción de cursos de la disciplina—por ejemplo en estadística y probabilidad—y en cursos metodológicos y pedagógicos. La riqueza de los conocimientos y formas de pensar reflejadas en los productos finales (modelos), así como los procesos y ciclos de definición, revisión y modificación que se pueden observar durante las sesiones de trabajo, aportan componentes esenciales a la formación de docentes que son poco probables de encontrar en sesiones de resolución de problemas tradicionales. A diferencia de los problemas tradicionales donde el objetivo principal es la evaluación de conceptos y procedimientos, MEAs brinda a los futuros docentes un contexto que les permite no sólo evaluar, sino construir y extender sus conocimientos matemáticos, pedagógicos y pedagógico-matemáticos, a la vez que construyen, interpretan y revisan modelos o situaciones generadoras de modelos. La metodología empleada por Lesh en la implementación de MEAs como estrategias metodológicas en cursos de formación docente, se caracteriza por la multiplicidad de experiencias y roles que ésta ofrece a los futuros docentes en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Esta metodología permite al futuro docente experimentar matemáticas y resolución de problemas desde una perspectiva más dinámica y creativa, donde su papel e ideas son fundamentales para alcanzar los objetivos finales. Primero, es necesario que los futuros docentes experimenten por sí mismos lo que significa e implica resolver un problema con las características antes descritas. Durante sus experiencias como alumnos, los futuros docentes recopilan estrategias y actividades para utilizarlas con sus propios alumnos (Grossman, 1990). Bajo esta premisa, Lesh ofrece a los futuros docentes espacios para la solución y discusión de MEAs. Los futuros docentes trabajan en uno de los MEAs en forma grupal, presentando sus resultados a todo el grupo al final del proceso. Con esto, los futuros docentes tienen la oportunidad de experimentar los diversos ciclos de definición, revisión y modificación, al mismo tiempo que definen, revisan y modifican sus conocimientos matemáticos y pedagógicomatemáticos. Las sesiones de presentación y discusión después de cada sesión brindan a los futuros docentes espacios para generar discusión sobre las decisiones y estrategias matemáticas empleadas por cada grupo, así como de otros aspectos no tan conceptuales, pero igualmente importantes, como el trabajo en grupo y sentimientos encontrados. Esto les permite a los futuros docentes discutir y

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revisar conceptos, ideas y estrategias matemáticas presentes en sus modelos y en los modelos de otros grupos. Segundo, en complemento a las sesiones de trabajo en MEAs, los futuros docentes observan y analizan otros grupos meta trabajando en la solución de MEAs. Para esto, los futuros docentes hacen visitas presenciales u observan videos de otros grupos de estudiantes trabajando en los mismos MEAs que ellos ya trabajaron. Esto les brinda la oportunidad de experimentar estas actividades desde otra perspectiva, ya no como buscadores de soluciones sino como evaluadores y observadores de otros buscadores de soluciones. Al tratar de entender las estrategias de los estudiantes observados, los futuros docentes examinan y cuestionan sus conocimientos matemáticos, pedagógicos, y pedagógicos del contenido, así como sus propios modelos generados con anterioridad. Después de las múltiples sesiones de resolución y observación, los futuros docentes tienen espacios para la construcción y diseño de nuevos MEAs. Esto último con el objetivo de brindar una nueva perspectiva y experiencia a los futuros docentes: de buscador de soluciones y observador, a diseñador. La metodología empleada por Lesh permite al futuro docente cambiar de un papel pasivo, a un papel dinámico que requiere de creatividad, reflexión, y la construcción y revisión constante de aspectos cognitivos (matemáticos, pedagógicos y pedagógicos del contenido). El futuro docente experimenta y aprende desde las diferentes perspectivas: estudiante, profesor e investigador. Esto no sólo los dota con una sensibilidad particular para con sus alumnos, sino que también les permite seleccionar y construir actividades de mediación e instrucción en las que tanto ellos como sus estudiantes construyen y revisan conocimientos cognitivos y de crecimiento personal. Este enfoque propone una transformación radical en la forma de planear una lección, en la selección de situaciones o problemas y por supuesto, en el conocimiento matemático que desea abordarse.

3. El enfoque “open-ended” de los japoneses La metodología empleada por Lesh permite al futuro docente cambiar de un El sistema educativo japonés se ha caracterizado por los altos resultados de sus educandos y educadores en la resolución de problemas en pruebas internacionales estandarizadas, tales como PISA y TIMSS; así como por sus novedosos métodos educativos que han servido para el alcance de estos resultados. En las lecciones

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japonesas predominan, por ejemplo, el desarrollo de contenidos matemáticos de media y alta calidad, así como actividades (e.g., resolución de problemas de “final abierto”) que involucran la construcción de nuevas soluciones y el uso de mayor formas de pensamiento y razonamiento. El enfoque de resolución de problemas “Open-Ended” o de “final abierto” ha sido uno de los principales componentes en las metodologías utilizadas por los japoneses en sus aulas para la enseñaza y aprendizaje de las matemáticas. Dicho enfoque se originó en Japón en los años setenta con el propósito de estudiar y evaluar formas de razonamiento matemático de alto orden de los estudiantes (Inprasitha, 2009). Sin embargo, su aprovechamiento se ha extendido más allá, para convertirse en el principal medio de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en las aulas japonesas (Sawada, 1997). Los problemas de “final abierto” son formulados de tal manera que múltiples soluciones pueden ser generadas y evaluadas por los estudiantes como parte del proceso de resolución de problemas. Además, éstos son diseñados con la finalidad de servir como medio de partida para el desarrollo y descubrimiento de nuevos aprendizajes. Estos problemas se caracterizan por sus ricos contextos sociales que permiten enlazar los contenidos matemáticos con otras disciplinas y con la vida cotidiana del estudiante. La revisión, modificación y extensión de conocimientos, habilidades y experiencias previas de los estudiantes, son fundamentales en el desarrollo de estas actividades. Las soluciones y aportes propuestos por los estudiantes, determinan el contenido y dinámica de la lección. En estas actividades los métodos para llegar a las soluciones son tan o más importantes que la solución misma al problema (Shimada, 1997). A través de la resolución de problemas de “final abierto” los estudiantes matematizan situaciones de la vida cotidiana y encuentran relaciones matemáticas mientras hacen uso de sus conocimientos y habilidades; estudian los métodos y soluciones de otros estudiantes; comparan y examinan las diferentes ideas; y modifican o desarrollan sus propias conjeturas sobre el tema acorde con la experiencia (Sawada, 1997). La metodología de este enfoque propone una dirección completamente diferente a la tradicional. En el enfoque “Open-Ended” de los japoneses, las técnicas de resolución de problemas son utilizadas tanto para la solución del problema, como para el desarrollo y estructura de la lección misma (Sawada, 1999). A diferencia del enfoque tradicional (teoría→práctica/resolución de problemas→asignación de tarea), los docentes japoneses se enfocan en la solución de un solo problema de “final abierto” de principio a fin de sus lecciones. Estas inician con la presentación del problema a los estudiantes y los objetivos de la lección; así como una discusión de las posibles relaciones del problema y objetivos con otros problemas y temas

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vistos anteriormente. Seguido, trabajan de forma individual o grupal en el problema con la supervisión mínima del docente. Posteriormente, los estudiantes presentan sus ideas y métodos a otros compañeros, lo cual genera espacios de discusión, revisión, comparación y extensión de conocimientos e ideas. La intervención del docente en dichas discusiones es fundamental para guiarlos en la búsqueda de nuevos conocimientos; pero siempre basando sus intervenciones en resultados e ideas (nuevas o previas) que los estudiantes han generado. Finalmente, los nuevos resultados y conocimientos se discuten y resumen en grupo; y se buscan situaciones similares donde lo aprendido sea útil. El factor tiempo es esencial para el desarrollo exitoso de estas lecciones. Es indispensable que los estudiantes cuenten con suficiente tiempo para que investiguen la naturaleza del problema; generen y propongan múltiples soluciones; discutan y comparen cada solución posible; y reflexionen sobre lo aprendido y lo que pueden aprender (Sawada, 1999). El papel del docente en este tipo de actividades se centra en la selección y/o diseño de problemas; además de guiar y propiciar la discusión y el análisis con una agenda claramente definida (Sawada, 1999). Para esto es necesario que el docente tenga un claro panorama del papel del problema en su clase, así como el manejo total de todas las posibles soluciones y métodos de solución del problema planteado. La dinámica de estas actividades permite a los estudiantes participar más activamente en el proceso, expresar frecuentemente sus ideas en el aula y hacer uso comprensivo de sus conocimientos y habilidades. En estas actividades los estudiantes son motivados a proponer, justificar y probar sus conjeturas y respuestas, así como retro-alimentar sus ideas y las de sus compañeros. La aceptación de diferentes formas de pensar, hacer y resolver un problema, se vuelve tan importante para los estudiantes como la solución del problema mismo (Sawada, 1999). Sin embargo, es posible que algunos estudiantes no acostumbrados a este sistema de aprendizaje experimenten momentos de ansiedad o sientan insatisfacción en su aprendizaje por su dificultad para resumir y sintetizar los conceptos aprendidos (Sawada, 1997). Es posible que encuentren dificultades para entender y responder a estos tipos de problemas; sin dejar de lado la dificultad para el docente a la hora de diseñar y preparar situaciones o problemas significativos que cumplan con los objetivos y características de los problemas de “final abierto” (Sawada, 1997).

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4. Dinámica del seminario como una metodología de trabajo en resolución de problemas Este seminario se llevó a cabo durante el año 2007 con la participación de cinco estudiantes egresados de la carrera de Bachillerato y Licenciatura en la Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional en Costa Rica. El trabajo se realizó mediante sesiones semanales de discusión y análisis donde participaron los investigadores, el director del seminario y en algunas ocasiones expertos en investigación. Se formaron subgrupos de trabajo en donde cada uno seleccionó un tema de Matemáticas a nivel secundario para la construcción y aplicación de una propuesta pedagógica en un colegio de su escogencia. La dinámica del Seminario consistió en sesiones de discusión que permitían a los estudiantes construir, revisar y modificar tanto sus conocimientos matemáticos, pedagógicos y pedagógico-matemáticos; esto a través de la revisión de teorías existentes en la Educación Matemática y en los temas matemáticos a desarrollar en las propuestas metodológicas, a saber, polígonos, estadística, y función exponencial y logarítmica. Asimismo, se hizo una revisión de problemas existentes sobre estos temas, algunas aplicaciones en campos no matemáticos e historia de estos conceptos lo cual aportó elementos valiosos para la construcción de una propuesta metodológica para secundaria basada en la resolución de problemas (Ramírez, González, Zumbado, Arias, Espinoza & Espinoza, 2008). Cada subgrupo generó una propuesta que consistía en plantear al estudiante de secundaria un problema contextualizado, cuya estructuración pudiera por sí misma guiarlo a la solución deseada, sin que el docente manifestara alguna intención didáctica durante su desarrollo y, que con la búsqueda de la solución, se generaran nuevos conocimientos matemáticos El proceso de construcción de los problemas duró varias sesiones en donde los integrantes del seminario y expertos invitados, discutían, analizaban y modificaban continuamente cada versión, de forma tal que se garantizara que la solución del problema implicara necesariamente el uso de los conceptos matemáticos que se esperaban generar. Este proceso continuó hasta que los integrantes del seminario y los expertos consideraron que el problema era adecuado para su aplicación (Ramírez et al, 2008). La dinámica de trabajo planteada permitió a los integrantes del seminario, cumplir distintos roles en el proceso: (a) Como estudiantes universitarios: en este sentido las investigaciones teóricas sobre Resolución de Problemas, contenidos matemáticos específicos y contenidos

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pedagógicos, fueron esenciales para la construcción, revisión y extensión de estos conocimientos por parte de los seminaristas. (b) Como estudiantes de secundaria: constantemente los seminaristas debían ponerse en el papel de los estudiantes de secundaria para poder así analizar los procesos de resolución del problema que se querían llevar al aula. Cada subgrupo de seminaristas redactó una posible solución del problema planteado y la organizó en etapas que contenían la descripción de los posibles procedimientos realizados por los estudiantes de secundaria, los conocimientos previos (recursos) que se debían poseer y las heurísticas que éstos podrían manifestar y las posibles intervenciones del docente. Cada vez que se presentó el problema con sus correcciones a los miembros del seminario y expertos invitados, también se expuso su posible solución con los cambios respectivos, para su discusión y análisis. (c) Como profesores en servicio: se pretendía en este caso evaluar la pertinencia y la utilidad de la propuesta en la generación de los conocimientos matemáticos deseados. Para lograr esto se llevó a cabo la puesta en práctica de la propuesta pedagógica en secundaria, por conveniencia, se utilizaron los grupos que los integrantes del seminario tenían a cargo. Esto les permitió a los seminaristas no quedarse en la teoría, y ponerla en práctica o crear sus propias teorías; extendiendo así sus conocimientos matemáticos y pedagógicos en la acción del aula. (d) Como investigadores: en este sentido, los seminaristas hicieron un análisis de los instrumentos que se utilizaron en la valoración de la propuesta pedagógica en el aula a la luz del marco teórico desarrollado en el seminario. Asimismo, fue fundamental para la creación de los problemas a implementar, el análisis de los distintos componentes teóricos en los estudiantes de secundaria con los cuales se llevó a cabo la experiencia. En efecto, se hizo un estudio sobre los recursos cognitivos que poseían los estudiantes, esto fue fundamental, debido a que fue el punto de partida para resolver el problema, y se analizaron algunas creencias que los estudiantes poseían que eran relevantes en el momento de afrontar los problemas (Ramírez et al, 2008).

5. Elementos a considerar en la construcción de una propuesta metodológica basada en resolución de problemas en la formación de docentes de matemáticas Las experiencias anteriormente descritas apuntan la necesidad de utilizar la resolución de problemas en un sentido muy distinto al tradicional. En estas últimas

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se desarrollan los contenidos matemáticos seguidos por sesiones de resolución de problemas, que, en general, son ejercicios en donde el estudiante debe demostrar que domina los conceptos desarrollados. En contraste, las experiencias mencionadas evidencian que es posible desarrollar el currículo matemático mediante la resolución de problemas, pero, en este sentido, los nuevos conceptos matemáticos deberían emerger como parte del proceso de resolución. Esto supone claramente un cambio de roles de los estudiantes y profesores de matemáticas, y, por tal razón, la formación de docentes debería responder adecuadamente a esta propuesta metodológica. En esta dirección, interesa resaltar los elementos medulares de las propuestas de Lesh, Open-Ended y el Seminario de Resolución de Problemas desarrollado en la Universidad Nacional, que deberían estar presentes en cualquier propuesta que pretenda desarrollar cursos mediante la resolución de problemas. En un curso basado en resolución de problemas para la formación de docentes de Matemáticas se rescatan de las experiencias de Lesh y del Seminario de la Universidad Nacional la existencia de dos momentos fundamentales: el desarrollo de conceptos propios de la disciplina matemática y el desarrollo de los conceptos pedagógicos del contenido. En el primer caso, se plantea una serie de situaciones didácticas para que el futuro docente adquiera un concepto (por ejemplo, la derivada de una función real de variable real). En el segundo caso, el futuro docente debe ubicarse en el papel de profesor y llevar a cabo la construcción de las situaciones didácticas necesarias para que sus potenciales estudiantes de secundaria adquieran un concepto dado (por ejemplo, la función exponencial). En este sentido, existen al menos dos situaciones de resolución de problemas a considerar: (1) la solución a situaciones didácticas y (2) la construcción de las mismas. De esta manera, en la construcción de las situaciones didácticas se proponen los siguientes elementos: • Es esencial la investigación teórica de los temas que se desean abordar. Por ejemplo, las teorías existentes sobre la resolución de problemas, autores tales como Polya, Schoenfeld, Brousseau, Chevallard, Lesh, Sawada, entre otros. Asimismo, debe hacerse una investigación desde el punto de vista matemático del tema que se piensa abordar, este estudio debe incluir fundamentalmente tres aspectos: la teoría estrictamente matemática de los conceptos a desarrollar, los elementos históricos de dichos conceptos y las aplicaciones en otras disciplinas. Esto le dará al elaborador del problema una visión bastante clara, de forma tal que pueda esbozar las posibles situaciones didácticas para los conceptos que se pretenden enseñar; así estará en mejor posición de determinar si ese concepto del saber matemático es

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susceptible a transponerse y convertirse en un saber escolar. • Igualmente son indispensables ciclos de revisión y discusión durante el proceso de construcción de los problemas para asegurar que éste sea una situación a-didáctica (Brousseau, 1986) y contextualizada, donde los recursos, el control, las heurísticas y creencias de los estudiantes, sean previamente analizadas y el conocimiento sea la estrategia ganadora. Dicho problema debe estimular el desarrollo de modelos conceptuales por parte de los estudiantes que evidencien sus distintas ideas, conocimientos y experiencias sobre los temas abordados. Estos modelos no se deben limitar a simples respuestas como producto de la ejecución de procesos repetitivos y algorítmicos, sino más bien se trata de ofrecer soluciones que involucren justificaciones, conjeturas y análisis de las distintas variables involucradas. Los elementos descritos anteriormente deberían ser usados por docentes universitarios en la construcción de problemas que sirvan como estrategias metodológicas para sus cursos; y a su vez, éstos deben servir como guía a los futuros (o ya en servicio) docentes de secundaria para la construcción de estas situaciones. Por otra parte y de forma paralela a lo anterior, para la implementación de las situaciones didácticas construidas es importante tener en cuenta los siguientes elementos:

• Deben existir ciclos de definición, revisión y modificación, durante y después de la actividad, que le permitan al futuro docente enriquecer sus conocimientos y experiencias, lo que a su vez le permitirá interiorizar los conceptos discutidos. El problema planteado debe permitir al futuro docente la revisión y evaluación de sus ideas durante y después del proceso de solución; y exponer, compartir y comparar sus ideas con las ideas de otros compañeros, esto con el sentido de madurar sus conceptos y conjeturas. • Es necesario que el futuro docente tenga diversas experiencias que enriquezcan su formación como profesional en la Educación Matemática. Pasar por los diferentes papeles (estudiante, profesor, e investigador) sensibiliza al futuro docente sobre los temas a enseñar y las dificultades que sus estudiantes puedan enfrentar en el proceso. De igual manera, los futuros docentes podrán revisar y modificar sus sistemas conceptuales a distintos niveles y con distintos objetivos. • Es igualmente importante que la acción y dinámica, durante y después de la actividad se base en los resultados y aportes brindados por los futuros

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docentes. El rol del docente universitario se reduce a diseñar y orientar la dinámica de la clase; su intervención durante la solución del problema debe ser mínima. Se espera que los futuros docentes hagan uso de sus conocimientos y experiencias previas para la solución del problema y sean ellos mismos los que determinen los pasos a seguir en el proceso. • Un factor elemental en el proceso de resolución de problemas es el factor tiempo. En las tres experiencias descritas anteriormente (MEAs, OpenEnded y Seminario) el factor tiempo fue un determinante importante para el éxito de las actividades de resolución de problemas. Para que el proceso de resolución de problemas sea fructífero, es importante que los futuros docentes tengan a su disposición el tiempo suficiente para que investiguen sobre la naturaleza del problema propuesto; generen y propongan múltiples soluciones; discutan y critiquen los diferentes modelos propuestos; evalúen y comparen otros modelos; y reflexionen sobre lo aprendido. • El punto anterior nos lleva a pensar en un elemento igualmente importante: la cantidad de situaciones a desarrollar en clase. A diferencia del método tradicional donde listas de problemas son propuestos para su solución en una lección, las experiencias antes descritas basan sus lecciones en la solución y/o elaboración de una o dos situaciones didácticas por lección. Los ciclos de revisión, expresión y extensión de ideas requieren de tiempo y dedicación que la asignación de múltiples problemas podría limitar. Sin embargo, es importante que después de cada sección los futuros docentes busquen o trabajen en problemas relacionados que permitan la internalización y extensión de los conceptos aprendidos.

Los elementos antes presentados resumen los principales aspectos utilizados en el enfoque de MEAs, Open-Ended de los japoneses y la metodología del Seminario de Resolución de Problemas la Universidad Nacional. Cabe señalar que los elementos de construcción e implementación de situaciones didácticas propuestos en esta sección no se limitan a la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas a nivel de formación docente. Éstos podrían adecuarse y servir como guía para la construcción de una propuesta metodológica basada en la resolución de problemas a nivel de primaria y secundaria o en otras disciplinas y carreras. Es posible que los roles que se esperan que los estudiantes experimenten como parte de este proceso sean distintos a los que se quiere que los futuros docentes tengan, pero la idea de diversas experiencias debe persistir

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6. Conclusión En este trabajo se ha presentado el enfoque de Lesh , el Open-Ended de los japoneses y la metodología utilizada en el Seminario de Resolución de Problemas de la Universidad Nacional, como una alternativa para la inclusión de la resolución de problemas dentro de los cursos de las carreras de Enseñanza de las Matemáticas. Posteriormente, se hizo una integración de los principales elementos presentes en esas experiencias con el propósito de generar insumos que deberían orientar propuestas de cursos de formación en Educación Matemática bajo el enfoque de la Resolución de Problemas. Es importante señalar que bajo este esquema se pueden atender dos aspectos: por un lado el docente universitario puede hacer uso de estos elementos en el planeamiento de sus cursos para la enseñanza de algunos temas matemáticos. Por otro lado, puede plantear este esquema a los futuros docentes para que éstos generen situaciones que les servirá en su quehacer profesional. Con esto se espera brindar a los futuros docentes de Matemáticas una experiencia en resolución de problemas mediante modelos conceptuales que les permita transformar posteriormente su práctica de aula y con esto generar aprendizajes más efectivos y significativos en el estudiante de secundaria.

Referencias y bibliografía Brousseau, G. (1986). Fundamentos y Métodos de la Didáctica de la Matemáticas. Recherches en Didactique des Mathématiques, Vol 7, N° 2, 33 – 115. Grossman, P. L. (1990). The making of a teacher: Teacher knowledge and teacher education. New York: Teachers College Press. Inprasitha, M. (2009). Extraído el 14 de mayo de 2009 de http://www.criced.tsukuba.ac.jp/math/ apec2006/progress_report/symposium/Imprasitha_a.pdf Lamon, S. J. (2003). Beyond constructivism: An improved fitness metaphor for the acquisition of mathematical knowledge. En R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.), Beyond Constructivism: Models and Modeling Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning, and Teaching. Mahwash, New Jersey: Lawrence Erlbaum Association. Lesh, R., & Doerr, H. M. (2003a). Beyond Constructivism: Models and Modeling Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning, and Teaching. Mahwash, New Jersey: Lawrence Erlbaum Association.

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Lesh, R., & Doerr, H. M. (2003b). Foundations of a Models and Modeling Perspective on mathematics teaching, learning, and problem solving. En R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.), Beyond Constructivism: Models and Modeling Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning, and Teaching. Mahwash, New Jersey: Lawrence Erlbaum Association. Lesh, R., Hoover, M., Hole, B., Kelly, A. E., & Post, T. (2000). Principles for developing thoughtrevealing activities for students and teachers. En A. E. Kelly & R. Lesh (Eds.), Handbook of research design in mathematics and science education. (pp. 591-646). Mahwah, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Lesh, R., Lester, F. K., & Hjalmarson, M. (2003). A Models and Modeling Perspective on metacognitive functioning in everyday situations where problem solvers develop mathematical constructs. En R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.), Beyond Constructivism: Models and Modeling Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning, and Teaching. Mahwash, New Jersey: Lawrence Erlbaum Association. Lesh, R., & Yoon, C. (2004). What is distinctive in (Our Views about) Models & Modeling Perspectivas on Mathematics Problem Solving Learning and Teaching? En H. Henn, & W. Blue, (Eds.), ICMI Study 14: Applications and Modeling in Mathematics Education (pp. 151-160). Dortmund (Germany). Lesh, R., Zawojewski, J. S., & Carmona, G. (2003). What mathematical abilities are needed for success beyond school in a technology-based age of information? En R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.), Beyond Constructivism: Models and Modeling Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning, and Teaching. Mahwash, New Jersey: Lawrence Erlbaum Association. Middleton, J. A., Lesh, R., & Heger, M. (2003). Interest, Identity, and Social Functioning: Central Features of Modeling Activity. En R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.), Beyond Constructivism: Models and Modeling Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning, and Teaching. Mahwash, New Jersey: Lawrence Erlbaum Association. Oakes, W., & Rud, A. G. J. (2003). The EPICS Model in Engineering Education: Perspectives on Problem-Solving Abilities Needed for Success Beyond Schools. En R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.), Beyond Constructivism: Models and Modeling Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning, and Teaching. Mahwash, New Jersey: Lawrence Erlbaum Association. Ramírez, C., González, M., Zumbado, M., Arias, A., Espinoza, J., & Espinoza, J. (2008). La Resolución de Problemas en la enseñanza de las Matemáticas: Una experiencia con la función exponencial, polígonos y estadística. Tesis de Licenciatura en la Enseñanza de las Matemáticas, Universidad Nacional, Heredia, Costa Rica. Sawada, T. (1997). Developing lesson plans. En Becker, J., & Shimada, S. (Eds.), The Open-Endend approach: A new proposal for teaching mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Sawada, T. (1999). Mathematics as problem solving: A japanese way. Teaching Children Mathematics, v6 n1 p54-58. Schroeder, T. L., & Lester, F. K., Jr. (1989). Developing understanding in mathematics via problem solving. In P. R. Trafton (Ed.), New directions for elementary school mathematics (pp. 31-42). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Resolución de Problemas como Estrategia Metodológica en la Formación de Docentes 191

Shimada, S. (1997). The significance of an Open-Ended approach. En Becker, J., & Shimada, S. (Eds.), The Open-Endend approach: A new proposal for teaching mathematics. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Shternberg, B., & Yerushalmy, M. (2003). Models of functions and models of situations: On the design of modeling-based learning environments. En R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.), Beyond Constructivism: Models and Modeling Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning, and Teaching. Mahwash, New Jersey: Lawrence Erlbaum Association. Stanic, G. & Kilpatrick, J. (1988). Historical perspectives on problem solving in the mathematics curriculum. En R. Charles & E. Silver (Eds.), The Teaching and Assessing of Mathematical Problem Solving (pp. 1-22). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. Zawojewski, J. S., & Lesh, R. A. (2003). A Models and Modeling Perspective on Problem Solving. En R. Lesh & H. M. Doerr (Eds.), Beyond Constructivism: Models and Modeling Perspectives on Mathematics Problem Solving, Learning, and Teaching. Mahwash, New Jersey: Lawrence Erlbaum Association.

Documentos

Nuevo Comité Ejecutivo de la International Commission on Mathematical Instruction ICMI Programa Interinstitucional de Investigación y Formación en Educación Matemática www.cimm.ucr.ac.cr/pi-ifem El día 6 de julio del año 2008 se realizó la Asamblea General de la International Commission on Mathematical Instruction (Comisión Internacional de Educación Matemática) ICMI, http://www.mathunion.org/ICMI, que es la principal organización en la Educación Matemática del mundo. Esta Asamblea contó con los representantes oficiales del ICMI en cada país, y los delegados oficiales de la International Mathematical Union (Unión Matemática Internacional) IMU. Fue previa al International Congress on Mathematical Education (Congreso Internacional de Educación Matemática) que se realizó en Monterrey, México, entre el 6 y 13 de julio del 2008. En esta Asamblea General se eligió formalmente el Comité Ejecutivo del ICMI para el periodo 2010-2012. Una comisión electoral del ICMI presidida por Jeremy Kilpatrick (Medalla Félix Klein 2007) y donde participó también Michèle Artigue (presidenta 2007-2009 de ICMI) y otros distinguidos investigadores de la educación matemática, propuso una nómina provisional a partir de la cual se votó, dando por resultado la siguiente directiva: Presidente: William (Bill) Barton (Nueva Zelandia) Secretario-general: Jaime Carvalho e Silva (Portugal) Vicepresidentes: Ángel Ruiz (Costa Rica) Mina Teicher (Israel) Vocales: Mariolina Bartolini Bussi (Italia) Sung Je Cho (Corea) Roger Howe (Estados Unidos) Renuka Vithal (Sudáfrica) Zhang Yingbo (China)

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Programa Interinstitucional de Investigación y Formación en Educación Matemática

Sung Je Cho es el presidente del comité que organizará el ICME 12 que se celebrará en Corea en el año 2012. Esta es la primera vez que alguien de Costa Rica o América Central ocupa un puesto de tanta relevancia en la Educación Matemática internacional. Y de América Latina lo ocuparon en el pasado solo: Ubiratan D’Ambrosio (Brasil) entre 1979 y 1982 y Emilio Lluis (México) entre 1987 y 1990.

Asamblea General de ICMI, 6 de julio del 2008, Monterrey, México.

Esta elección constituye no solo un reconocimiento a la trayectoria y labor individual y personal en la Educación Matemática del profesor Ruiz (Director del Centro de Investigaciones Matemáticas y Meta-Matemáticas CIMM de la Universidad de Costa Rica y catedrático de las escuelas de Matemática de la Universidad de Costa Rica y Universidad Nacional), sino también a la de los equipos de académicos que lo han acompañado durante años en el trabajo académico. También con mucha relevancia su trabajo en América Latina en el Comité Interamericano de Educación Matemática CIAEM, organización de la que fue elegido presidente para el periodo 2007-2011 en julio del 2007 en Querétaro, México. Debe mencionarse adicionalmente que la nominación de Ruiz fue promovida primeramente por la US National Commision on Mathematics Education (Comisión nacional de Educación Matemática de los Estados Unidos), que representa a los educadores matemáticos de ese país ante el ICMI.

Nuevo Comité Ejecutivo de la International Commission on Mathematical Instruction ICMI 197

Esta elección constituye no solo un reconocimiento a la trayectoria y labor individual y personal en la Educación Matemática del profesor Ruiz (Director del Centro de Investigaciones Matemáticas y Meta-Matemáticas CIMM de la Universidad de Costa Rica y catedrático de las escuelas de Matemática de la Universidad de Costa Rica y Universidad Nacional), sino también a la de los equipos de académicos que lo han acompañado durante años en el trabajo académico. También con mucha relevancia su trabajo en América Latina en el Comité Interamericano de Educación Matemática CIAEM, organización de la que fue elegido presidente para el periodo 2007-2011 en julio del 2007 en Querétaro, México. Debe mencionarse adicionalmente que la nominación de Ruiz fue promovida primeramente por la US National Commision on Mathematics Education (Comisión nacional de Educación Matemática de los Estados Unidos), que representa a los educadores matemáticos de ese país ante el ICMI.

Ángel Ruiz (Costa Rica, presidente CIAEM), Michèle Artigue (Francia, Presidenta ICMI), XII CIAEM, Querétaro, México, julio 2007.

ICMI es la organización de Félix Klein, Jacques Hadamard, Marshall Stone, Saunders Mac Lane, Henri Cartan, Hans Freudenthal, Miguel de Guzmán, Mogens Niss, Michèle Artigue, Bernard Hodgson, Hyman Bass, y muchísimos otros. Esta alta posición internacional representa, además de un honor para la enseñanza de la matemática de Costa Rica y América Latina, posibilidades extraordinarias para estar en contacto directo con lo más reciente en lo que se hace en todo el mundo en la Educación Matemática; pero, también, supone retos y responsabilidades muy grandes.

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Programa Interinstitucional de Investigación y Formación en Educación Matemática

Jacques Hadamard (Francia)

Hans Freudentahl (Holanda)

Esta elección constituye no solo un reconocimiento a la trayectoria y labor individual y personal en la Educación Matemática del profesor Ruiz (Director del Centro de Investigaciones Matemáticas y Meta-Matemáticas CIMM de la Universidad de Costa Rica y catedrático de las escuelas de Matemática de la Universidad de Costa Rica y Universidad Nacional), sino también a la de los equipos de académicos que lo han acompañado durante años en el trabajo académico. También con mucha relevancia su trabajo en América Latina en el Comité Interamericano de Educación Matemática CIAEM, organización de la que fue elegido presidente para el periodo 2007-2011 en julio del 2007 en Querétaro, México. Debe mencionarse adicionalmente que la nominación de Ruiz fue promovida primeramente por la US National Commision on Mathematics Education (Comisión nacional de Educación Matemática de los Estados Unidos), que representa a los educadores matemáticos de ese país ante el ICMI. Sobre el icmi La International Commission on the Teaching of Mathematics (Commission Internationale de l’Enseignement Mathématique, Internationale Mathematische Unterrichtskommission, Commissione Internazionale dell’insegnamento matematico) se fundó durante el IV International Congress of Mathematicians (Roma 6-11 de abril de 1908). El primer presidente de ICMI fue Félix Klein, primer Vicepresidente G. Greenhill y primer Secretario General H. Fehr. La L’Enseignement Mathématique, fundada en 1899 por H. Fehr y Charles Laisant, fue adoptada como órgano oficial del ICMI y continua siéndolo hoy día. Tras la creación de la Unión Matemática Internacional IMU, después de la Segunda Guerra Mundial, el ICMI se reconstituyó como Comisión del IMU. En

Nuevo Comité Ejecutivo de la International Commission on Mathematical Instruction ICMI 199

1954 en la segunda Asamblea General de la IMU cambió su nombre por International Commission on Mathematical Instruction.

Felix Klein (Alemania)

H. Fehr (Suiza)

Estructura del ICMI ICMI está formada por el Comité Ejecutivo (EC), nombrado desde el 2008 por la Asamblea General del ICMI, y los representantes nacionales de los llamados Estados miembros. El grupo de los representantes nacionales constituye la Asamblea General del ICMI, que se reúne cada cuatro años dentro de los Congresos Internacionales de Educación Matemática (ICME). En varios países se han constituido Subcomisiones Nacionales del ICMI con el doble propósito de proporcionar un forum organizado para tratar aspectos de la educación matemática a nivel nacional y de conectar ese nivel con la comunidad internacional de educación matemática representada por el ICMI. Grupos de estudio afiliados Durante los pasados 30 años se han afiliado al ICMI cinco grupos de estudio permanentes, dedicado cada uno de ellos a un tema específico. Los grupos de estudio afiliados son los siguientes: • El Grupo de Estudio Internacional para las Relaciones entre la Historia y la Pedagogía de las Matemáticas (HPM). • La Organización Internacional de Mujeres y Educación Matemática (IOWME). • El Grupo Internacional para la Psicología de la Educación Matemática (PME). • La Federación Mundial de Competiciones Matemáticas Nacionales (WFNMC). • Grupo internacional de estudio de la Modelación matemática y sus aplicaciones (ICTMA).

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Programa Interinstitucional de Investigación y Formación en Educación Matemática

ICME: Congreso Internacional de Educación Matemática El evento de mayor importancia en la comunidad internacional de Educación Matemática es el International Congress on Mathematical Instruction (Congreso Internacional de Educación Matemática), que se celebra cada cuatro años, bajo los auspicios del ICMI. El lugar donde se desarrollará cada ICME es decidido por la Comité Ejecutivo del ICMI. Su programa científico es planeado por un Comité internacional del programa IPC, que trabaja independientemente del Comité Ejecutivo del ICMI. Los congresos fueron los siguientes: Edición

Año

Ciudad

País

1

1969

Lyon

Francia

2

1972

Exeter

Reino Unido

3

1976

Karlsruhe

Alemania

4

1980

Berkeley

Estados Unidos

5

1984

Adelaida

Australia

6

1988

Budapest

Hungría

7

1992

Quebec

Canadá

8

1996

Sevilla

España

9

2000

Tokio

Japón

10

2004

Copenhague

Dinamarca

11

2008

Monterrey

México

Investigaciones y publicaciones del ICMI Los ICMI Studies (Estudios del ICMI) son investigaciones internacionales que consignan el estado del arte en tópicos decisivos en la Educación Matemática del mundo. Son balances y perspectivas centrales para la investigación y práctica en la enseñanza de la matemática; referencias muy importante. Un ICMI Study incluye una serie de pasos: un Comité Internacional de Programa (IPC) es nombrado por el ICMI. Este IPC crea un Documento de Debate que se difunde lo más ampliamente posible en publicaciones internacionales, revistas, boletines informativos, etc. Estos han sido (algunos en curso): 1. La influencia de las computadoras y la informática en las matemáticas y su enseñanza. Estrasburgo (1985). 2. Las matemáticas escolares en los años noventa. (1986).

Nuevo Comité Ejecutivo de la International Commission on Mathematical Instruction ICMI 201

3. Matemáticas como una materia de servicio. (1987). 4. Matemáticas y cognición. (1987). 5. La popularización de las matemáticas. (1989). 6. La evaluación en la educación matemática. (1991). 7. Género y educación matemática. (1993). 8. ¿Qué es investigación en educción matemática y cuáles son sus resultados?. (1994). 9. Perspectivas de la enseñanza de la geometría para l siglo XXI. (1995) 10. El papel de la historia de la matemática en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. (1998). 11. La enseñanza y aprendizaje de las matemáticas en el nivel universitario. (1998). 12. El futuro de la enseñanza y el aprendizaje del álgebra. (2001). 13. Educación matemática en tradiciones culturales diferentes. Un estudio comparativo de Asia del Este y Occidente. (2002). 14. Aplicaciones y modelación en la educación matemática. (2004). 15. Educación y desarrollo profesional de los maestros de matemáticas (2005) 16. Matemáticas retadoras dentro y fuera del aula (2005) 17. Tecnologías digitales y enseñanza de las matemáticas: repensando el terreno. (2005) 18. Estadística y probabilidad en la educación matemática. (2005) 19. Prueba y demostración en la educación matemática (2007) 20. Interrelaciones educativas entre Matemáticas e Industria (2007) 21 “Re-sourcing” la Enseñanza y Aprendizaje de Matemáticas en contextos Multilingües (2007) Muchos de éstos han sido publicados como libros por la Universidad de Cambridge (los primeros 5), o por Kluwer/Springer. Mayor información en http://www.mathunion.org/ICMI/ICMIstudies_org.html El ICMI Bulletin es la publicación periódica de la ICMI. Se publican dos números al año, en junio y diciembre. Se pueden descargar en formato pdf todos los boletines de ICMI desde 1995 en la página web de esta institución. Recientemente se ha creado un medio de información ICMI News en línea: http:// www.mathunion.org/pipermail/icmi-news

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Programa Interinstitucional de Investigación y Formación en Educación Matemática

Premios ICMI Félix Klein y Hans Freudenthal El ICMI otorga premios para reconocer las contribuciones destacadas a la investigación en educación matemática. La Medalla Felix Klein, que toma su nombre del primer presidente de ICMI (1908-1920), honra los logros a lo largo de toda una vida de trabajo. La Medalla Hans Freudenthal, que toma su nombre del octavo presidente de ICMI (1967-1970), reconoce un programa relevante y acumulativo de investigación. Estos premios se otorgan todos los años cuya numeración sea impar, con presentaciones de las medallas y conferencias invitadas por los galardonados en el siguiente Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME). Sobre el ciaem El Comité Interamericano de Educación Matemática, CIAEM, es un organismo regional asociado, desde sus orígenes, al ICMI y comparte sus propósitos en la potenciación de la investigación en Educación Matemática.

Marshall Stone (Estados Unidos). Expresidente de ICMI. Expresidente de CIAEM.

El CIAEM fue fundado en 1961 por un grupo de matemáticos y educadores matemáticos de las tres Américas, liderado por el insigne matemático Marshall Stone, de los Estados Unidos, quien era, a la sazón, Presidente de la International Comission on Mathematical Instruction, ICMI. El objetivo principal de ese Comité fue integrar a los educadores de las Américas para evaluar y reformular los currículos de matemática de la enseñanza en general, pero, en especial, para propiciar el desarrollo de los países de América Latina. La primera Conferencia Interamericana de Educación Matemática se realizó en la ciudad de Bogotá, Colombia, en diciembre de 1961. Allí se creó el primer Comité Ejecutivo del CIAEM. Pocos años después, en diciembre de 1966, en Lima, Perú, se realizó la segunda Conferencia Interamericana de Educación Matemática.

Nuevo Comité Ejecutivo de la International Commission on Mathematical Instruction ICMI 203

Esas primeras Conferencias provocaron un movimiento fructífero para la Educación Matemática de las Américas, a pesar de las dificultades geográficas, de comunicación y, principalmente, económicas. Desde entonces, las Conferencias se suceden regularmente: Bahía Blanca, Argentina, noviembre/1972, 209 participantes de 22 países; Caracas, Venezuela, diciembre/1975, 281 participantes de 22 países; Campinas-SP, Brasil, febrero/1979, 569 participantes de 28 países; Guadalajara, México, noviembre/1985, 180 participantes de 24 países; Santo Domingo, República Dominicana, julio/1987, 316 participantes de 22 países; Miami, EUA, agosto/1991, 141 participantes de 21 países; Santiago, Chile, agosto/1995, 1080 participantes de 17 países; Maldonado, Uruguay, agosto/1999, 600 participantes de 20 países; Blumenau, Brasil, agosto/2003, 600 participantes de 20 países, y, la última, en Querétaro, México, en julio del 2007, con más de 800 participantes. La XIII CIAEM se celebrará en Recife (Brasil) en junio del 2011, año en que el CIAEM cumplirá 50 años de existencia. Las CIAEM ponen su énfasis en la calidad académica y científica de los eventos, en la consignación de resultados de investigación y de propuestas serias para mejorar la educación matemática.

Ubiratan D’Ambrosio (Brasil). Expresidente CIAEM, Medalla Félix Klein del ICMI en el 2005.

Desde su creación en 1961, han ocupado la presidencia del CIAEM las siguientes personas: Marshall Stone (1961-1972), Luis Santaló (1972-1979), Ubiratan D`Ambrosio (1979-1987), Eduardo Luna (1987-1995), Fidel Oteiza (1995-1999), Carlos Vasco (1999-2003), Salett Biembengut (2003-2007) y Ángel Ruiz (20072011). En el ICME 11, Ubiratan D’Ambrosio recibió formalmente la Medalla Felix Klein 2005 del ICMI por sus múltiples méritos y resultados a lo largo de una vida dedicada a la Educación Matemática.

XIII CONFERENCIA INTERAMERICANA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA

Reunión regional asociada a la International Commission on Mathematical Instruction, ICMI. 26 al 30 de junio de 2011 Universidade Federal de Pernambuco Recife, BRASIL ANUNCIO 1,5

1. Introducción El Comité Interamericano de Educación Matemática (CIAEM) convoca a educadores, investigadores y especialistas en Educación Matemática de todas las Américas y de otras partes del mundo a la XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática (XIII CIAEM) que se celebrará en Recife (Brasil), junio del 2011, año en que el CIAEM cumplirá 50 años de existencia. EL CIAEM es el primer grupo regional creado en la International Commission on Mathematical Instruction (ICMI), desde entonces se ha dado a la tarea de difundir y promover el trabajo colegiado de investigadores y profesionales de la educación matemática en todo el Continente Americano y el Caribe, además de fortalecer el espíritu de solidaridad y hermandad de los pueblos de la región, por medio de la participación de distintas corrientes de pensamiento y promotoras de diversas posiciones en la construcción de una nueva disciplina de las ciencias sociales, como lo es la educación matemática. El CIAEM es heredero de una tradición de trabajo académico de personajes relevantes como Marshall Stone, Luis Santaló, Ubiratan D´Ambrosio, entre otros,

206

Comité Interamericano de Educación Matemática

quienes abandonando la cautivación del culto a su persona por medio de una organización, han dedicado toda su atención a formar con todo rigor académico nuevas generaciones de educadores matemáticos, masa crítica que cada vez más abarca áreas de acción relevantes y han logrado importantes avances. Es por ello que el CIAEM quiere compartir su 50 aniversario con los profesionales de la educación matemática de la región que le ha sido encomendada por el ICMI desde su nacimiento, pues no sólo se trata intercambiar opiniones sobre asuntos académicos, sino de renovar nuestros lazos de unión y solidaridad y ratificar nuestra convicción por una cultura de compromiso, tolerancia, equidad y profesionalismo heredada de sus fundadores. Para celebrar el 50 aniversario del CIAEM, se ha otorgado a Recife, esplendoroso lugar de Brasil, la sede del XIII CIAEM. Se tendrá la oportunidad de contagiarse de las maravillas naturales del lugar, además de tener la posibilidad de conocer los avances de la comunidad de educadores matemáticos brasileños quienes compartirán su logros con profesionales de la educación matemática de varias partes del continente americano y de otras latitudes. De igual forma, al ser el CIAEM un Grupo Regional del ICMI, se tendrá la oportunidad de convivir, también, con los conductores principales de la máxima organización de la educación matemática en el mundo. Lenguas oficiales: Español, Portugués, Inglés y Francés.

2. Sobre el lugar Recife La ciudad de Recife – localizada en el noreste brasileño – es conocida por su población hospitalaria, temperatura agradable (media de 280C), excelente red hotelera y una gran variedad de atracciones turísticas. Recife

XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática 207

Universidade Federal de Pernambuco La Universidad Federal de Pernambuco (UFPE) es considerada una de las mejores instituciones de enseñanza superior del Brasil. En la UFPE funcionan decenas de carreras de graduación presenciales – incluyendo las de formación de profesores que enseñan Matemática – y más de cien carreras de posgrado– algunas con enfoque en la investigación en Educación Matemática. En particular, en el área de la Educación Matemática, la UFPE se ha destacado por tener diversos grupos que desarrollan investigación en el área y que trabajan en la formación inicial y continua de profesores que enseñan Matemática. Recientemente, la UFPE implementó un Programa de Posgrado – Maestría, directamente vinculada a la Educación Matemática y Tecnológica – EDUMATEC. Esperamos que la hospitalidad del Noreste del Brasil, construida por la mezcla cultural de pueblos amerindios, europeos y africanos sea una invitación a los participantes para que juntos busquen mejores caminos para la Educación Matemática en el continente americano.

3. Temas Centrales 1. Formación de profesores en la Educación Matemática 2. Resolución de problemas y modelización en Educación Matemática Otros 3. Tecnología y enseñanza de la matemática 4. Historia y epistemología 5. Etnomatemáticas y perspectivas socioculturales 6. Desarrollo curricular en matemáticas 7. Evaluación del aprendizaje matemático 8. Investigación en Educación Matemática 9. Competencias profesionales 10. Estadística y educación matemática 11. Sociología de la Educación Matemática 12. Nuevos enfoques y tendencias de la educación Matemática

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Comité Interamericano de Educación Matemática

4. Consejos científicos Comité asesor internacional Miembros 1. Alain Kuzniak (France, Directeur du Laboratoire André Revuz, Université Paris-Diderot). 2. Alicia Ávila (México, Universidad Pedagógica Nacional). 3. Bernard Hodgson (Canada, Secrétaire général ICMI, 1999-2009). 4. Bill Barton (New Zealand, President ICMI 2010-2012). 5. Carlos Vasco (Colombia, Expresidente CIAEM-IACME). 6. Eduardo Luna (República Dominicana, Expresidente CIAEM-IACME). 7. Fidel Oteiza (Chile, Director Centro Comenius, Expresidente CIAEMIACME). 8. Hyman Bass (United States, Expresident ICMI). 9. Jaime de Carvallo e Silva (Portugal, Secretário-geral ICMI 2010-2012). 10. María Falk de Losada (Colombia, Rectora Universidad Antonio Nariño). 11. María Salett Biembengut (Brasil, Expresidenta CIAEM-IACME). 12. Michael Shaughnessy (United States, President NCTM 2010-2011). 13. Paulo Figueiredo Lima (Brasil, Presidente SBEM). 14. Salvador Llinares (España, Ex-presidente de la SEIEM 1999-2002). 15. Ubiratan D’Ambrosio (Brasil, Expresidente CIAEM-IACME). Preside Angel Ruiz, (Costa Rica, Presidente CIAEM-IACME, Vicepresidente ICMI 2010-2012). Siglas CIAEM: Comité Interamericano de Educación Matemática, Comitê InterAmericano da Educação Matemática. IACME: Inter American Committee of Mathematics Education. ICMI: International Commission on Mathematical Instruction. NCTM: National Council of Teachers of Mathematics of the United States of America. SBEM: Sociedade Brasileira de Educação Matemática de Brasil. SEIEM: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática.

XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática 209

Comité Internacional del Programa Miembros 1. Alain Kuzniak (France, Directeur du Laboratoire André Revuz, Université Paris-Diderot). 2. Alicia Ávila (México, Universidad Pedagógica Nacional) 3. Bernard Hodgson (Canada, Secrétaire général ICMI, 1999-2009). 4. Bill Barton (New Zealand, President ICMI 2010-2012) 5. Carlos Vasco (Colombia, Expresidente CIAEM-IACME) 6. Eduardo Luna (República Dominicana, Expresidente CIAEM-IACME) 7. Fidel Oteiza (Chile, Director Centro Comenius, Expresidente CIAEMIACME) 8. Hyman Bass (United States, Expresident ICMI) 9. Jaime de Carvallo e Silva (Portugal, Secretário-geral ICMI 2010-2012) 10. María Falk de Losada (Colombia, Rectora
Universidad Antonio Nariño) 11. Michael Shaughnessy (United States, President NCTM 2010-2011) 12. Paulo Figueiredo Lima (Brasil, Presidente SBEM). 13. Salvador Llinares (España, Ex-presidente de la SEIEM 1999-2002) 14. Ubiratan D’Ambrosio (Brasil, Expresidente CIAEM-IACME) Preside Eduardo Mancera (México, Vicepresidente CIAEM, eduardo_mancera@ prodigy.net.mx) Consejo organizador local Miembros 1. Ana Selva ([email protected]) 2. Franck Bellemain ([email protected]) 3. Gilda Guimarães ([email protected]) 4. Iranete Lima ([email protected]) 5. Marcelo Câmara ([email protected]) 6. Paula Baltar ([email protected]) 7. Rosinalda Teles ([email protected]) 8. Verônica Gitirana ([email protected])

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Comité Interamericano de Educación Matemática

Presiden 1. Rute Borba (Brasil) ([email protected] , [email protected] ) 2. Carlos Monteiro (Brasil) ([email protected], cefmonteiro@ hotmail.com )

5. Programa académico Oradores especiales invitados* 1. Alan Schoenfeld (Estados Unidos) 2. Bill Barton (Nueva Zelandia) 3. Michèle Artigue (Francia) 4. Mogens Niss (Dinamarca) 5. Ubiratan D’Ambrosio (Brasil) 6. Carlos Vasco (Colombia) 7. César Carranza (Perú) 8. Claude Gaulin (Canadá) 9. Ed Jacobsen (EUA) 10. Eduardo Luna (República Dominicana) 11. Fidel Oteiza (Chile) 12. Luis Carlos Arboleda (Colombia) 13. Luis Moreno Armella (México) 14. Luz Manuel Santos (México) 15. Marcelo Borba (Brasil) 16. Paulo Figueiredo (Brasil) 17. Ricardo Losada (Colombia) 18. Salvador Llinares (España) *Actividades plenarias. Sesión solemne: CIAEM: 50 aniversario. Un panel con protagonistas de la historia del CIAEM en los últimos 50 años. Mesa redondas plenarias • Mesa redonda 1: ¿Cómo debe ser la formación de profesores para seguir una estrategia de resolución de problemas en la Educación Matemática?

XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática 211

• Mesa redonda 2: Contribución intelectual de Ubiratan D’Ambrosio a la Educación Matemática • Mesa redonda 3: ¿Cómo impactan las tecnologías los currículos de la Educación Matemática? Minicursos La CIAEM incluirá un conjunto de Minicursos Especiales de 2 o 3 horas con importantes especialistas de la Educación Matemática. Medalla Luis Santaló. El Comité Ejecutivo del CIAEM entregará la primera medalla Luis Santaló, a un educador y amigo del CIAEM cuyo esfuerzo dentro de instituciones educativas internacionales haya contribuido mucho al desarrollo del CIAEM.

6. Cronograma de actividades

Domingo 9.00-9.30

Lunes

Martes

Miércoles

Jueves

Conf. Plenaria 2

CIAEM: 50 aniversario

Conf. Plenaria 4

Conf. Plenaria 5

Café

Café

Café

Café

Conf. Paralelas 1

Conf. Paralelas 2

Conf. Paralelas 3

Conf. Paralelas 4

Almuerzo

Almuerzo

Almuerzo

Conf. Paralelas 5

9.30-10.00 10.00-10.30 10.30-11.00 11.00-11.30

Inscripción y entrega de materiales

11.30-12.00 12.00-12-30 12.30-13.00 13.00-13.30

Almuerzo

13.30-14.00 14.00-14.30

14.30-15.00

Mesa redonda 1

Comunicaciones, Comunicaciones, minicursos, talleres, minicursos, posters talleres, posters

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Comité Interamericano de Educación Matemática

15.00-15.30

Mesa redonda 3

15-30-16.00

Mesa redonda 2

16.00-16.30

Receso

16.30-17.00 17.00-17.40

Inauguración.

Entrega Medalla Luis Santaló.

Café

17.40-18.00

18.10-18.30

Café

Conf. Plenaria 3

Café

Clausura

Clausura

Comunicaciones, Comunicaciones, minicursos, talleres, minicursos, posters talleres, posters

Conferencia plenaria 1

18.40-19.00 19.10-19.30 19.30-19.40

Actividad cultural y brindis

Actividad cultural

20.00-21.00

Reuniones de grupos

Reuniones de grupos

21.00-22.00

Comunicaciones, Minicursos, Talleres y Posters (martes y miércoles)+ 14.00-14:20

Comunicaciones

Minicursos A, 3 horas

Talleres A, 3 horas

Presentación de posters

17.00-17.40

Café

Café

Café

Café

17.40-18.00

Comunicaciones

Minicursos B, 2 horas

Talleres B, 2 horas

Presentación de posters

14.30-14.50 15.00-15.20 15.30-15.50 16.00-16.20 16.30-16.50

18.10-18.30 18.40-19.00 19.10-19.30 19.30-19.40

+ Tentativos

XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática 213

7. Ponencias Consejo organizador local • Para recepción de trabajos (1 de agosto a 30 de noviembre del 2010). • Respuesta de aceptación (1 de diciembre del 2010 al 28 de febrero de 2011). • En algunos casos, el Comité Internacional del Programa pedirá correcciones o mejoras al responsable de la ponencia, las cuales deberán volverse a entregar antes del 31 de marzo de 2011. • Para asegurar la inclusión de la ponencia en el programa del evento, al menos uno de los autores firmantes deberá inscribirse (y pagar la cuota) antes del 15 de mayo del 2011. • Se dará un certificado de presentación a la ponencia que en efecto se presente, incluyendo el nombre de todos los autores firmantes. Se dará un certificado de participación en el evento solo a las personas que asistan al mismo. Modalidades de ponencias El evento aceptará ponencias en las siguientes modalidades: Comunicaciones científicas, Talleres (de 2 o 3 horas), Carteles, y Minicursos (de 2 o 3 Horas). Algunas ponencias podrán ser colocadas como conferencias paralelas, de acuerdo al criterio del Comité Internacional del Programa. Tamaño de las ponencias • Conferencias plenarias y conferencias paralelas: hasta 15 páginas. • Comunicaciones: 8-12 páginas. • Carteles: 3-6 páginas. • Talleres: 3-6 páginas. • Minicursos: 8-12 páginas. Procedimiento y formato de ponencias La XIII CIAEM solo recibirá propuesta de ponencias presentadas de manera completa (no resúmenes). El procedimiento y formato para su presentación se puede consultar en la página oficial del evento: http://www.ce.ufpe.br/ciaem2011. Una vez publicado el programa no se harán cambios de fechas u horarios. Cada ponente deberá aportar una computadora portátil para su presentación.

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Comité Interamericano de Educación Matemática

8. Inscripción Puede inscribirse en la XIII CIAEM a través de la página oficial del evento http:// www.ce.ufpe.br/ciaem2011 Cuotas y fechas de pago Inscripción: de 100 a 200 dólares EUA • Noviembre 2010-marzo 2011: 150 dólares (75 dólares, estudiantes*) • Abril 2010-mayo 2010: 180 dólares (90 dólares, estudiantes) • Junio: 200 dólares (100 dólares, estudiantes) *Solo para estudiantes de grado o postgrado matriculados al día. Deberán presentar identificación oficial y hoja de matrícula para poder recibir materiales, certificado de participación y asistir a las actividades del evento. Para recibir los materiales del congreso durante el evento, será indispensable presentar: original y copia fotostática del depósito o el reporte del pago por tarjeta de crédito.

9. Exhibidores Quienes deseen exponer materiales y realizar contactos, preventas o ventas directas de materiales o servicios de distinta índole a lo largo del congreso, deben comunicarse directamente con Rute Borba y Carlos Monteiro (coordinadores locales del evento) para acordar las cuotas a cubrir y los requisitos que deben atenderse.

10. Exhibidores MARTUR Viagens e Turismo es la agencia oficial de turismo con la que se puede hacer la reserva de hoteles y paquetes turísticos. Rua: Dr. Nilo Dornelas Câmara, 90 – lj. 02 Boa Viagem 51.021-040

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Recife – PE Brasil Tel. 55 (81) 3312.3666 [email protected] www.martur.com.br

11. CIAEM El Comité Interamericano de Educación Matemática CIAEM es un organismo regional asociado, desde sus orígenes, al ICMI y comparte sus propósitos en la potenciación de la investigación en Educación Matemática. El CIAEM fue fundado en 1961 por un grupo de matemáticos y educadores matemáticos de las tres Américas, liderado por el insigne matemático Marshall Stone, de los Estados Unidos, quien era, a la sazón, Presidente de la International Comission on Mathematical Instruction, ICMI. El objetivo principal de ese Comité fue integrar a los educadores de las Américas para evaluar y reformular los currículos de matemática de la enseñanza en general, pero, en especial, para propiciar el desarrollo de los países de América Latina. La primera Conferencia Interamericana de Educación Matemática se realizó en la ciudad de Bogotá, Colombia, en diciembre de 1961. Allí se creó el primer Comité Ejecutivo del CIAEM. Pocos años después, en diciembre de 1966, en Lima, Perú, se realizaba la segunda Conferencia Interamericana de Educación Matemática. Esas primeras Conferencias provocaron un movimiento fructífero para la Educación Matemática de las Américas, a pesar de las dificultades geográficas, de comunicación y, principalmente, económicas. Desde entonces, las Conferencias se suceden regularmente: Bahía Blanca, Argentina, noviembre/1972, 209 participantes de 22 países; Caracas, Venezuela, diciembre/1975, 281 participantes de 22 países; Campinas-SP, Brasil, febrero/1979, 569 participantes de 28 países; Guadalajara, México, noviembre/1985, 180 participantes de 24 países; Santo Domingo, República Dominicana, julio/1987, 316 participantes de 22 países; Miami, EUA, agosto/1991, 141 participantes de 21 países; Santiago, Chile, agosto/1995, 1080 participantes de 17 países; Maldonado, Uruguay, agosto/1999, 600 participantes de 20 países; Blumenau, Brasil, agosto/2003, 600 participantes de 20 países, y, la última, en Querétaro, México, en julio del 2007, con más de 800 participantes. Las CIAEM ponen su énfasis en la calidad académica y científica de los eventos, en la consignación de resultados de investigación y de propuestas serias para mejorar la educación matemática.

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Comité Interamericano de Educación Matemática

Desde su creación en 1961, han ocupado la presidencia del CIAEM las siguientes personas: Marshall Stone (1961-1972), Luis Santaló (1972-1979), Ubiratan D`Ambrosio (1979-1987), Eduardo Luna (1987-1995), Fidel Oteiza (1995-1999), Carlos Vasco (1999-2003), Salett Biembengut (2003-2007) y Ángel Ruiz (20072011). En el ICME 11, Ubiratan D’Ambrosio recibió formalmente la Medalla Felix Klein 2005 del ICMI por sus múltiples méritos y resultados a lo largo de una vida dedicada a la Educación Matemática. Consejo ejecutivo 2007-2011 Presidente: Ángel Ruiz (Costa Rica). Primer vicepresidente: Eduardo Mancera (México). Segundo vicepresidente: Patrick Scott (Estado Unidos). Secretario: Hernán Miranda (Chile). Anterior presidenta: Salett Biembengut (Brasil) Vocal: Hugo Barrantes (Costa Rica).

12. ICMI La International Commission on the Teaching of Mathematics (Commission Internationale de l’Enseignement Mathématique, Internationale Mathematische Unterrichtskommission, Commissione Internazionale dell’insegnamento matematico) se fundó durante el IV International Congress of Mathematicians (Roma 6-11 de abril de 1908). El primer presidente de ICMI fue Félix Klein, primer Vicepresidente G. Greenhill y primer Secretario General H. Fehr. Tras la creación de la Unión Matemática Internacional IMU, después de la Segunda Guerra Mundial, el ICMI se reconstituyó como Comisión del IMU. En 1954 en la segunda Asamblea General de la IMU cambió su nombre por International Commission on Mathematical Instruction. El evento de mayor importancia en la comunidad internacional de Educación Matemática es el International Congress on Mathematical Education, que se celebra cada cuatro años, bajo los auspicios del ICMI. El lugar donde se desarrollará cada ICME es decidido por la Comité Ejecutivo del ICMI. Su programa científico es planeado por un Comité Internacional del programa IPC, que trabaja independientemente del Comité Ejecutivo del ICMI.

XIII Conferencia Interamericana de Educación Matemática 217

Los congresos anteriores: Edición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Año 1969 1972 1976 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004 2008

Ciudad Lyon Exeter Karlsruhe Berkeley Adelaida Budapest Quebec Sevilla Tokio Copenhague Monterrey

13. ICMI Páginas web Página oficial del evento: http://www.ce.ufpe.br/ciaem2011 E-mails: Programa académico: [email protected] Organización: [email protected] Páginas del CIAEM: • http://www.cimm.ucr.ac.cr/ciaem • http://www.ciaem-iacme.org • http://www.furb.br/ciaem

País Francia Reino Unido Alemania Estados Unidos Australia Hungría Canadá España Japón Dinamarca México

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Comité Interamericano de Educación Matemática

Recife • Dirección para correo: Centro de Educação - Universidade Federal de Pernambuco – Avenida Acadêmico Hélio Ramos S/N 50.740-530 – Recife, PE, Brasil • Teléfonos: 55 (81) 21268326 • Fax: 55 (81) 21268326

Esperamos verlos en Recife en la XIII CIAEM 1961-2011: 50 AÑOS DEL CIAEM

ELENA CHKRYL 1

Escuela de Matemática Universidad de Costa Rica www.emate.ucr.ac.cr Pensar en la partida prematura de alguien como Elena solo puede evocar una sensación de injusticia. ¿Cómo alguien tan especial, llena de inteligencia, de dulzura, de belleza puede abandonarnos tan pronto? ¿Cómo el destino truncó los sentimientos y las expectativas de todos nosotros que la apreciamos tanto como colegas, compañeros y amigos y que la queríamos con nosotros por mucho tiempo más? Pero así es la vida. Ucrania la vio nacer, en una pequeña comunidad, su estudios escolares y secundarios: en Konotop; sus superiores en la Universidad Estatal de Jarkov y, luego, en la Universidad Estatal de Rostov-na-Donu, Federación Rusa, donde obtuvo su Ph. D. en Física y Matemática. De Ucrania a Costa Rica, cruzando tierras y océanos, de la mano de Olman, Elena se integró a otra pequeña comunidad, en la Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica. Durante años, desde 1991, en los más variados cursos, desde geometría, algebra lineal, o cálculo, en grado, pregrado, en matemáticas o ingeniería, centenares de estudiantes se vieron beneficiados por una profesora que no solo dominaba su disciplina, sino que los recibía con rostro apacible y dulce, con un trato cordial, amable. Incluso, hace unos días, en la Universidad Nacional, donde Elena brindaba su presencia desde hace poco tiempo, de nuevo se recogía la opinión unánime: la mejor profesora que habían tenido. A su calidad y calor en sus lecciones, se unió su dedicación a la investigación. Las “superficies” cautivaron su espíritu, ellas fueron convexas a trozos, o no regulares, y su foco más reciente sobre ellas en la teoría de

Elena Chkryl. (Noviembre 2006 XXI) sinposio Costarricense sobre matematicas, siencia y sociedad. San Ramón de Alajuela

1

Este obituario fue escrito por Angel Ruiz, en el 2008, por petición de la Comisión Asesora y la Dirección de la Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica. Cuadernos de Investigación y Formación en Educación Matemática. 2009. Año 5. Número 6. pp 175-191. Costa Rica

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Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica

las deformaciones isométricas infinitesimales. Aportó con todas sus calidades en el Centro de Investigación en Matemática Pura y Aplicada y en los últimos años en el Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas. En las reuniones, de cátedra, en las asambleas, en el consejo científico, hasta en las fiestas, siempre era callada, tímida, pero cuando tenía que hablar lo hacía con toda propiedad y con la gentileza de siempre. Su bella sonrisa y sus ojos profundos decían más que sus palabras. Tener a Elena como colega y como amiga siempre fue una bendición. La pronta partida de Elena nos ha dejado a todos desconcertados, la tristeza nos invade, y también no podemos evitar, de nuevo, esa sensación de injusticia que nos sobrecoge. Pero, también, todos los que la conocimos solo podemos estar agradecidos con la vida por haber tenido la dicha de haberla tenido con nosotros todos estos años.

La Escuela de Matemática de la Universidad de 1 Costa Rica: balance y perspectivas Angel Ruiz Centro de Investigaciones Matemáticas y Metamatemáticas, Universidad de Costa Rica. Escuelas de Matemática de la Universidad de Costa Rica y la Universidad Nacional http://cimm.ucr.ac.cr/aruiz [email protected] Hugo Barrantes Campos Centro de Investigación de Matemáticas y Metamatemáticas, Universidad de Costa Rica Escuela de Ciencias Exactas y Naturales, Universidad Estatal a Distancia [email protected], [email protected] Pilar Campos Bejarano Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica Resumen Este documento constituye el establecimiento de un balance y el trazado de las perspectivas de la Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica (UCR), realizado por 3 académicos de esa dependencia en el año 1993. El mismo sintetiza las etapas de las matemáticas en el marco institucional de la UCR, antes y después de la Reforma de Rodrigo Facio, la creación de la Escuela de Matemática. Identifica dos de los grandes “vectores” ideológicos que determinaron mucho de la vida de esa escuela, y establece algunas perspectivas que los autores en ese momento pensaban podía tener el derrotero de la misma en los años venideros: unos 15 años atrás. Palabras clave Matemáticas, Enseñanza, Historia de la Matemática, Universidad, Costa Rica. Abstract This document develops a historical account and the tracing of the perspectives of the School of Mathematics of the University of Costa Rica (UCR), writen in the year 1993 by 3 members of this dependency. The 1

Este documento constituye el último capítulo del libro La Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica, editado por A. Ruiz, escrito por P. Campos, H. Barrantes y A. Ruiz, y publicado en el año 1993.

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Angel Ruiz - Hugo Barrantes Campos - Pilar Campos Bejarano

same one synthesizes the stages of the mathematics within the institutional frame of the UCR, before and after the Reform of Rodrigo Facio, and the creation of the School of Mathematics. It identifies two of the main ideological “vectors” that determined much of the life of this School, and establishes some perspectives that the authors at that moment believed could be accomplished during the following years: approximately 15 years behind. Key words Mathematics, Teaching, History of Mathematics, University, Costa Rica.

Antes de la Escuela Antes de la creación de la Universidad de Costa Rica la enseñanza de las matemáticas se desarrolló esencialmente en los colegios y en la Escuela Normal aunque algunas personas, de manera autodidacta, realizaron estudios más avanzados, ya fuera como complemento a su formación profesional en el exterior o por simple gusto. En el período de 1940 a 1957, las matemáticas estuvieron asociadas a las Escuelas y Facultades de la joven Universidad de Costa Rica que así lo necesitaban: Ingeniería, Ciencias y Ciencias Económicas y Sociales. En ese primer momento, la nueva institución constituía prácticamente una federación de facultades profesionales y no una unidad estructurada y con patrones académicos homogéneos; por lo que, aparte de la debilidad que en Costa Rica esta disciplina tenía de por sí, era totalmente natural la subordinación que las matemáticas exhibían entonces. Los mayores niveles académicos y la profundidad de los temas dependía de las necesidades de las formaciones dadas por estas facultades; en la Facultad de Ciencias el nivel era más bajo que en las otras, Ingeniería tenía el más alto aunque Ciencias Económicas y Sociales tenía profesores de matemáticas con una formación especial como don José Joaquín Trejos Fernández y don Bernardo Alfaro Sagot. El momento decisivo para la Universidad de Costa Rica y las matemáticas universitarias lo constituyó la Reforma de Facio y la creación del Departamento de Física y Matemáticas en 1957. No está claro por qué se decidió unir matemáticas y física en un departamento y no, por ejemplo, física y química; algunas personas afirman que fue algo fortuito casi accidental, otras que fue la influencia de Bernardo Alfaro que desde sus años como profesor en el Liceo de Costa Rica había fomentado una relación muy estrecha entre física y matemáticas. Lo cierto es que

La Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica: balance y perspectivas 223

esta decisión marcó el destino de las matemáticas por muchos años. Durante estos años, al son de toda la universidad, se fortalecieron las disciplinas académicas como tales de manera autónoma de las viejas facultades: una poderosa Facultad de Ciencias y Letras era la unidad ejecutora de esta política. Allí crecieron las matemáticas las carreras se desarrollaron los profesores extranjeros nutrieron su progreso, los estudiantes se motivaron para estudiar en el extranjero, y en poco tiempo empezaron los graduados en el Profesorado y unos cuantos en la Licenciatura en Física y Matemáticas. Las matemáticas y la física se fortalecieron y en unos diez años se crearon condiciones para que funcionaran por separado. Entre 1957 y 1971, el desarrollo de las matemáticas fuera de las facultades profesionales fue esencial para que se definieran sus perspectivas propias; si se hubiera mantenido la subordinación a estas facultades se habría impedido su progreso científico y también la calidad de las matemáticas recibidas por esas mismas facultades. No obstante, este desprendimiento, históricamente necesario y adecuado, junto con otros factores, abonó un distanciamiento de las matemáticas con relación a aquellas facultades y -además- con lo que creemos son fuentes especiales para la misma construcción matemática. El Departamento y la Escuela de Matemática La creación del Departamento de Matemáticas fue consecuencia natural de la evolución positiva de las fuerzas académicas creadas dentro del viejo Departamento de Física y Matemáticas. Esta nueva unidad, que por razones universitarias globales se llamaría Escuela, ha constituido el marco en el que se ha formado la mayoría de matemáticos y profesores de matemáticas del país. Entre 1972 y 1993, se formó un grupo muy grande de profesionales en matemáticas y su enseñanza, varias personas terminaron sus posgrados dentro y fuera de Costa Rica se han realizado investigaciones de diferentes tipos, se han publicado múltiples artículos académicos y libros dentro y fuera del país, y también varios congresos y seminarios fueron organizados. De manera constante esta escuela ha atendido con mayor o menor éxito las necesidades matemáticas que requerían las diferentes escuelas y facultades de la Universidad de Costa Rica. En veinte años esta unidad académica se convirtió en la más grande de la Facultad de Ciencias Básicas de la Universidad de Costa Rica en términos de su número de profesores y de su presupuesto, y en una de las más grandes de la Universidad de Costa Rica. De las matemáticas que se daban en los colegios y en la Escuela Normal antes de 1940 a la actualidad se ha dado un salto cualitativo hacia adelante. El país ahora cuenta con una unidad especializada en las matemáticas (sin mencionar en esta oportunidad las que existen en la Universidad Nacional, en la Universidad

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Angel Ruiz - Hugo Barrantes Campos - Pilar Campos Bejarano

Estatal a Distancia y en el Instituto Tecnológico), con Matemáticos formados en varias partes del mundo, una larga trayectoria de profesionales que realizaron sus estudios de licenciatura en el país, logrando una formación de una calidad que, en alguna medida, se ha podido contrastar con el éxito de los estudiantes que obtuvieron su posgrado fuera del país. En los años noventa la Universidad de Costa Rica deberá evaluar el significado de los acuerdos de aquel Tercer Congreso Universitario, que despertó tantas ilusiones como mitos y que, esperamos, la realidad histórica se encargue de ir desnudando. Un balance de la Escuela de Matemática deberá incluir también esa evolución del conjunto de la institución con las premisas que se definieron hace 20 años. Nuestra apreciación general con relación a las matemáticas es: entre lo que existía en 1972 y lo que hoy tenemos se ha dado un formidable progreso en términos de recursos humanos y materiales y de “espacio” institucional aunque, también, muchas oportunidades para un mejor avances se desperdiciaron y, en algunas partes de la vida académica de esta Escuela se generaron obstáculos y limitaciones muy difíciles de superar. Vectores ideológicos En la historia de la Escuela de Matemática muchos factores han participado. La situación general de la universidad y del país han condicionado algunas dimensiones de la misma, pero varias otras han sido el producto de la evolución propia de una comunidad de personas con características particulares, creando un contexto colectivo que ha sido -en alguna medida- un mundo en sí mismo. De manera global, los años setenta estuvieron determinados por el funcionamiento independiente de esta unidad académica y por las definiciones programáticas, ideológicas, políticas y personales que se hicieron entonces. La fisonomía básica de la Escuela fue hecha en esos primeros años aunque, por supuesto, a partir del marco académico establecido por las personas y las ideas que habían en los años anteriores. La reforma curricular, el tipo de los cursos, las ideas, la “mística” matemática, las expectativas, todo se definió en esos primeros años. Y ahí también llegaron los estudiantes y empezaron a formarse los profesionales que luego constituirían la mayoría de su claustro. Los siguientes años cambiaron muchas cosas, pero no la fisonomía que se le dio en esa década. Esta década vio un crecimiento cuantitativo en estudiantes y graduados, y no sólo era porque “Computación” formaba parte de la Escuela sino, también, porque se había abierto un espacio académico y laboral y porque existía- por varias razones- una actitud beligerante para crecer y ocupar posiciones en la comunidad universitaria. La historia de la Escuela de Matemática no se podría entender bien si no se plantean dos de las características que más penetraron en esta unidad académica que fueron, si se quiere, ideológicas: por un lado, el predominio de una visión de

La Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica: balance y perspectivas 225

las matemáticas que favorecía los aspectos abstractos y puros en detrimento de los concretos, aplicados y heurísticos, una filosofía que sin tapujos subestimaba otras disciplinas académicas y, dentro de las matemáticas, lo hacía con las aplicaciones y la enseñanza de las mismas. Tanto los estudiantes de computación como los de enseñanza de las matemáticas en alguna ocasión sintieron que sus carreras no eran del orden de importancia que tenía las matemáticas puras (en muchos casos, a pesar de estas subestimaciones, las propias visiones y apreciaciones sobre las matemáticas que ellos desarrollaron en esta situación fueron siempre desvirtuadas). La otra dimensión ideológica tenía un carácter político práctico. Al compás del ascenso en la universidad de grupos de izquierda en los setenta, esta escuela se vio altamente influenciada por éstos y, más que eso, por un proceso de politización excesiva que desvirtuó la actividad académica de la escuela en función de cálculos políticos así como engendró, con el correr del tiempo, un nivel elevado de fraccionamiento en grupos de personas que se enfrentaron durante muchos años. Ambos vectores” ideológicos” fueron beligerantes y despertaron acciones y pasiones en esta pequeña comunidad académica. Sin embargo, por razones históricas muy definidas, lo que más influencia tuvo en la mayor parte de esta década fue esa visión intelectual de las matemáticas que –sociológicamentepretendía sustentar una identidad y una mística particular dentro de la comunidad de profesores y estudiantes que se desarrollaba en esos años. La década de los ochenta vio un crecimiento aun mayor del profesorado de la Escuela. Esta vez la reforma general de los llamados “troncos comunes” en toda la universidad motivó un drástico cambio de los cursos de servicio en la Escuela de Matemática. Siguieron graduándose estudiantes en matemática y enseñanza pero ya “computación” se había embarcado hacia otro horizonte. Varios intentos por abrir carreras orientadas hacia la aplicación se dieron, pero fueron infructuosos. Se dieron dos congresos nacionales de matemáticas y varios diversos seminarios tuvieron lugar. La Maestría arrancó con muchas expectativas, pero en menos de diez años se fue asfixiando, en parte debido a los problemas que se derivaron de los fraccionamientos y la politización iniciada en los años previos. Si en la década anterior pesó más la ideología “purista”, en los ochenta pesó la confrontación. Las tres cuartas partes de esta década vivieron un ambiente tenso de enfrentamiento sectario en las Asambleas y en los pasillos, situación de la que no se escapaban los estudiantes cuya vida estaba influenciada decisivamente por este contexto. Durante años, una importante parte de los esfuerzos de este grupo humano así fracturado fue destinada a la organización y desarrollo de los enfrentamientos, descuidando en una medida muy importante las dimensiones básicas de la Academia: la investigación, la acción social y la docencia de calidad. Ya a finales de esa década, el grado y la persistencia de la confrontación disminuyeron, pero todos esos años dejaron un saldo negativo. Muchos estudiantes se alejaron de esta

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Escuela agobiados por esas circunstancias, algunos profesores se refugiaron en su actividad académica individual formando nichos de casi nula comunicación con el resto de la Escuela, algunos buscaron vías de ascenso en la administración universitaria para distanciarse, otros se encerraron en su rutinas cotidianas sin aportar una gota de sudor más que el que estrictamente les tocaba dar y, en general, muchas posibilidades se dejaron escapar y otras responsabilidades fueron imposibles de cumplir. Lo más grave tal vez fue el debilitamiento de una iniciativa institucional y colectiva como Escuela que permitiese abordar exitosamente esas posibilidades y esas responsabilidades. Desarrollos académicos A finales de los ochenta la declinación del enfrentamiento ayudó a propiciar la emersión de proyectos de investigación, publicaciones y algunos intentos por hacer de los asuntos estrictamente académicos una preocupación más importante. No obstante, en los años noventa, tal vez debamos decir que más que una Escuela de Matemática encontramos “varias” que coexisten -como vidas paralelas- donde todavía permanecen autónoma y aisladamente varios grupos de profesores; y aunque las líneas de definición y estructuración de los mismos no se miden ya por las razones políticas o ideológicas de antes, sin embargo, la experiencia anterior, los lazos establecidos y los agrupamientos que se dieron en esos años, acercaron, ligaron, o alejaron a personas con inquietudes y visiones particulares de la vida, constituyendo esta historia una variable decisiva en la configuración de los grupos humanos que hoy existen. Conviene concluir con la reseña de algunos de los asuntos más importantes que esta unidad académica tiene en frente. Un primer asunto, la forma de entender las matemáticas y de “hacer matemática” que impulsó el cuerpo docente de los primeros años de esta unidad académica, quedó grabado en la mente de los primeros estudiantes de sus carreras y así ha sido trasmitida a las siguientes generaciones de graduados. Este es un asunto complejo que ha sido común a varias partes del mundo y que desde los años ochenta, especialmente en la Enseñanza de las matemáticas se ha abordado por parte de la comunidad académica internacional con una perspectiva intelectual muy prometedora. Favorecer una visión distinta más equilibrada e históricamente pertinente es una tarea de primer orden. Por otra parte, es conveniente señalar que, a pesar de su magnitud y de las muchas actividades que se han dado en esta primera etapa histórica, el grueso de su actividad académica ha estado centrado en brindar apoyo docente, a través de los cursos de servicio, a otras carreras. Los espacios destinados al posgrado y a la investigación han sido relativamente pequeños y no corresponden al volumen de profesores que la Escuela posee. El posgrado ha sufrido diferentes tropiezos que se han reflejado en su escasa graduación y en la poco estimulante decisión

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por CONARE de congelarlo; no es sino hasta 1993 en que el mismo se ha reactivado formalmente. Por su parte, la investigación en esta unidad académica no ha sido muy voluminosa, aunque se nota un progreso positivo, en los últimos años especialmente, por una parte, a partir de la formación de algunos grupos de investigación que han logrado permanecer activos durante un buen tiempo y que han obtenido buenos frutos de su trabajo y, por otra, mediante el éxito de las investigaciones individuales ya consolidadas. La debilidad que esta Escuela exhibe en estos campos no es exclusiva de la misma y, más bien, es un serio problema de toda la universidad. No sólo se trata de destinar globalmente más recursos al posgrado y a la investigación si no de definir estrategias adecuadas de desarrollo, donde la calidad de los estándares académicos internacionales constituye un rasero decisivo al igual que sucede con la participación en los planes de solución de problemas nacionales. Enseñanza de las Matemáticas Otro asunto central: por más que durante varios años se ha hablado de la importancia de la enseñanza de las matemáticas en el país y de la búsqueda de vías de solución, la realidad es que un verdadero compromiso no ha sido nunca asumido. No ha sido suficiente el impacto que esta Escuela ha tenido en la formación de profesionales en el campo de la enseñanza de la matemática en la capacitación de docentes en servicio y en la activa colaboración con las autoridades educativas del país para velar por los programas de estudio. El número de graduados que esta Escuela y el país produce anualmente en este campo es muy insuficiente tanto que, ni en concurso con la Universidad Nacional, ha podido llenar los requerimientos nacionales; lo que llevó a un plan (iniciado en 1992) de formación de profesores para la enseñanza media en el que también participa la Universidad Estatal a Distancia y la Universidad Nacional. En esta “ausencia de compromiso” han pesado muchas cosas, como la misma prepotencia del matemático puro o la del especialista que -incluso hoy en día- llega a negar responsabilidad y deberes a la universidad en los asuntos de la educación secundaria, o como la incapacidad para trazar planes de largo plazo y dedicar presupuesto y realizar acciones efectivas no meramente verbales para afrontar esta situación, como -simplemente- la mediocridad académica de no abordar con seriedad, rigor, y permanencia estos asuntos tan importantes. Es cierto que la problemática de la enseñanza de las matemáticas es un asunto complejo, en la que tienen responsabilidades muchas instituciones y en el que pesan los límites que establece el contexto nacional y, en particular, el decaimiento general de la educación y del estatus del docente en todos los niveles, pero también es cierto que una comprensión, una actitud y una acción apropiadas por parte de la Escuela de Matemática habrían coadyuvado en la búsqueda efectiva de soluciones.

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Angel Ruiz - Hugo Barrantes Campos - Pilar Campos Bejarano

En esta temática es necesario tener en cuenta la perspectiva histórica más general. Antes de la Reforma de Facio las matemáticas estaban subordinadas a varias facultades y entre 1957y 1971 se independizaron para esencialmente formar profesores de segunda enseñanza. El énfasis en los años “setenta” con la motivación de ideas y profesores de la década anterior, fue dado a la creación de un espacio de matemáticas no destinado esencialmente a la formación de profesores de segunda enseñanza sino a las matemáticas superiores. Con este énfasis se fortalecía un espacio de matemáticas Pero a expensas del que la enseñanza para secundaria podría tener. Es esto lo que se empieza a codificar con el cierre del profesorado en 1973, a pesar de la apertura del Bachillerato y la Licenciatura en Enseñanza de las Matemáticas. Independientemente de las ideas” puristas” o no que los protagonistas de esta época tuvieran, la realidad es que profesional y sociológicamente estaban buscando este fortalecimiento y su espacio propio; definido por sus ideas específicas, sus propios intereses temáticos o por la formación particular que recibieron en el extranjero, así se ha configurado el espacio de las matemáticas superiores en el país. Correcto o equivocadamente, con calidad o mediocridad, el devenir de este espacio se puede radiografiar en los temas, publicaciones, tesis dirigidas y demás actividades y resultados que hemos someramente mencionado en esta reseña. Ahora bien, dejemos clara nuestra opinión: la creación de un ancho espacio de matemáticas superiores era necesario históricamente; si se hubiera puesto el énfasis solamente en la formación de profesores de secundaria durante todos estos años se habrían cortado las posibilidades de progreso académico y científico en la perspectiva más amplia de esta disciplina. Sin embargo, lo importante a decir aquí es que por la forma y la ideología con las que este grupo de profesionales creó su espacio, la enseñanza de las matemáticas no ha tenido la atención para generar cuantitativa y cualitativamente los profesionales en enseñanza de las matemáticas que demanda la educación nacional en todos los niveles (incluyendo el universitario). La misma carrera de enseñanza que existe no es más que un embutido de cursos de matemáticas y didáctica que no llenan el perfil sólido de una carrera bien configurada y definida. Los cursos de matemáticas han estado enseñados por personas con la formación, los planes, los métodos y las actitudes creadas por los matemáticos puros; los cursos de educación, por otro lado, han sido impartidos por personas que -salvo excepciones- poco saben de matemáticas. Los nuevos planes de enseñanza de las matemáticas que se aprobaron en 1992 no logran escapar de estas dificultades. Esto no se sostiene ya. Puesto de otra manera, ahora es la enseñanza de las matemáticas la que reclama históricamente un espacio académico propio con sus profesionales, sus objetivos, sus fines, sus métodos, sus programas y sus planes independientes del espacio académico de los matemáticos. En el futuro se deberá buscar los mecanismos para crear un proyecto institucional continuado y permanente, como parte de una estrategia multiinstitucional y nacional para abordar esta problemática con toda seriedad.

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Perspectivas Las dos variables “ideológicas” que determinaron la historia de la Escuela de Matemática durante dos décadas atrasaron en diferente medida un mejor progreso de las matemáticas superiores y la enseñanza de las matemáticas en el país. La calidad de la producción académica que hayan logrado o puedan lograr algunas personas o grupos de esta comunidad no podrá ocultar esa realidad. Superar las fracturas y las divisiones que dominaron esta Escuela durante los años ochenta es muy difícil; lo que supone la casi imposibilidad de poseer políticas institucionales sólidamente respaldadas más allá de lo rutinario y cotidiano. Tal vez habrá que esperar a que exista una composición humana diferente y se pensione una buena parte de quienes hoy en día forman esta unidad académica (lo que tomaría unos 15 años). Históricamente, sin embargo, al margen de quienes hoy componen esta unidad académica, las matemáticas superiores y la enseñanza de las matemáticas en el país requieren redefiniciones sobre su misión académica y profesional, de sus objetivos y sus métodos de cara al siglo XXI y requiere, también, la concertación de acciones colectivas e individuales planteadas en el corto, el mediano y el largo plazo. Está por verse si la realización de estos objetivos se podrá hacer antes de que acabe el siglo o el país tendrá que esperar mucho tiempo más.