Lista de Exercícios - Pré-Cálculo - D

Lista de Exerc´ıcios – Pr´e-C´alculo – D Prof. Carlos Campani 6 de julho de 2015 1. Encontre o valor por onde o gr´afico passa no eixo vertical y e as ass´ıntotas horizontais. (a) f (x) = (b) f (x) = (c) f (x) =

12 1+2.0,8x 18 1+5.0,2x 16 1+3.e−2x

(d) g(x) =

9 1+2.e−x x

(e) q(x) = 1, 5

2. Determine se a fun¸c˜ao ´e limitada superiormente, limitada inferiormente ou limitada sobre seu dom´ınio. (a) y = 2x

(d) f (x) = −e−x

(b) y = 2−x

(e) f (x) = −ex √ (f) f (x) = ex − 1

(c) f (x) = e−x

3. Esboce os gr´aficos das seguintes fun¸c˜oes usando transforma¸co˜es: (a) y = 4x − 3

(c) y = 1 − 21 e−x

(b) y = −2−x

(d) y = ex+1 − 1

4. Encontre o dom´ınio de cada fun¸ca˜o: (a) f (x) =

1 1+ex

(b) f (x) =

1 1−ex

5. Encontre a fun¸c˜ao exponencial f (x) = cax cujo gr´afico ´e dado na Figura 1. Fa¸ca o mesmo para o gr´afico da Figura 2. 1

Figura 1: Curva do exerc´ıcio 5

Figura 2: Curva do exerc´ıcio 5

2

6. Se f (x) = 5x , mostre que: f (x + h) − f (x) 5h − 1 = 5x h h

!

7. Encontre uma f´ormula para a fun¸ca˜o inversa: (a) f (x) = ex

3

(c) y =

√ 1 1+ln x

(d) f (x) = e2x+1 − 1

(b) y = ln(x + 3) 8. Resolva as equa¸c˜oes: (a) 2 ln x = 1

(c) e2x+1 = 1

(b) 2x−5 = 3

(d) ln(ln x + e) = 1

9. Determine o dom´ınio de f , f −1 e seu dom´ınio: √ f (x) = 3 − e2x 10. Seja f a fun¸c˜ao cujo gr´afico aparece na Figura 3. (a) Estime o valor de f (2). (b) Estime os valores de x tal que f(x)=3. (c) Determine o dom´ınio de f . (d) Determine a imagem de f . (e) Em qual intervalo a fun¸ca˜o ´e crescente? (f) f ´e injetora? Explique. (g) f ´e par, ´ımpar ou nenhum dos dois? Explique. 11. Encontre o dom´ınio e a imagem da fun¸ca˜o h(x) = ln(x + 6) . 12. Se f (x) = ln x e g(x) = x2 − 9, encontre as fun¸co˜es f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g e seus dom´ınios. 3

Figura 3: Curva do exerc´ıcio 10 13. Determine o dom´ınio de cada fun¸ca˜o. (a) f (x) = log[x(x + 1)]

(d) g(x) = ln x − ln(x + 1)

(b) g(x) = log x + log(x + 1)

(e) f (x) = 2 ln x

x (c) f (x) = ln x+1

(f) g(x) = ln(x2 )

14. Suponha triˆangulos retˆangulos em que um dos ˆangulos internos ´e x. Encontre as outras medidas de aˆngulos que faltam (ou seja, seno, cosseno e tangente). (a) sin x = (b) sin x = (c) cos x =

3 7 2 3 5 11

(d) cos x = (e) tan x = (f) tan x =

5 8 5 9 12 13

15. Fa¸ca o solicitado e responda a quest˜ao: (a) Fa¸ca o gr´afico da fun¸ca˜o f (x) = sin(arcsin x) e explique sua aparˆencia.

4

(b) Fa¸ca o gr´afico da fun¸ca˜o g(x) = arcsin(sin x). Como vocˆe pode explicar a aparˆencia desse gr´afico? 16. Compare os gr´aficos de y = | sin x| e y = sin |x|. Determine qual das fun¸co˜es ´e par e qual ´e ´ımpar. 17. Determine a fun¸ca˜o inversa da fun¸c˜ao dada. 1 sin x+2

(a) y = sin cos x

(c) y =

(b) y = sin ln(x + 1)

(d) y = etan x−1

√

18. Determine f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g e seus dom´ınios. √ (a) f (x) = x, g(x) = ex − 1 (e) f (x) = x2 + 1, g(x) = cos x √ (b) f (x) = ln(x + 1), g(x) = 3 x (f) f (x) = x1 , g(x) = cos x + 1 x (c) f (x) = e , g(x) = ln x + 1 √ (d) f (x) = sin x + 1, g(x) = x (g) f (x) = √1x , g(x) = sin x − 1 19. Demonstre: (a) cos arcsin x = (b) tan arcsin x =

√

1 − x2

(c) cos arctan x =

√ x 1−x2

(d) sin arctan x =

20. Transforme da forma cartesiana para a forma polar: (d) z4 = −3 + 2i

(a) z1 = 4 + 4i (b) z2 = 7 (c) z3 = 3i

(e) z5 = −4 − 3i

21. Transforme da forma polar para a forma cartesiana: (a) z1 = 106 60◦ (b) z2 = 206 120◦ (c) z3 = 506 − 30◦

(d) z4 = 1006 180◦ (e) z5 = 66 − 90◦

5

√ 1 1+x2 √ x 1+x2

22. Efetue as seguintes opera¸c˜oes sobre n´ umeros complexos: (a) z1 = 3 − 5i, z2 = 1 + i, z1 + z2 , z1 × z2 , z1 ÷ z2 (b) z1 = 2 + 2i, z2 = 2 − 2i, z1 + z2 , z1 × z2 , z1 ÷ z2 (c) z1 = 2 − 3i, z2 = 3 − 2i, z1 + z2 , z1 − z2 , z1 × z2 , z1 ÷ z2 (d) z1 = 76 90◦ , z2 = 106 135◦ , z1 × z2 , z1 ÷ z2 (e) z1 = 26 45◦ , z2 = 66 − 45◦ , z1 × z2 , z1 ÷ z2 (f) z1 = 26 45◦ , z2 = 36 90◦ , z1 + z2 , z1 × z2 , z1 ÷ z2

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